Gli studenti vengono introdotti alle frazioni in quinta elementare. Prima delle persone chi sapeva eseguire azioni con le frazioni era considerato molto intelligente. La prima frazione era 1/2, cioè la metà, poi è apparso 1/3 e così via. Per diversi secoli, gli esempi sono stati considerati troppo complessi. Ora sono state sviluppate regole dettagliate per convertire frazioni, addizioni, moltiplicazioni e altre azioni. Basta capire un po 'il materiale e la soluzione sarà data facilmente.
Una frazione ordinaria, detta frazione semplice, si scrive come divisione di due numeri: m e n.
M è il dividendo, cioè il numeratore della frazione, e il divisore n è chiamato denominatore.
Seleziona le frazioni proprie (m< n) а также неправильные (m >n).
Una frazione propria è inferiore a uno (ad esempio, 5/6 - questo significa che 5 parti sono prese da una; 2/8 - 2 parti sono prese da una). Una frazione impropria è uguale o maggiore di 1 (8/7 - l'unità sarà 7/7 e una parte in più viene presa come più).
Quindi, un'unità è quando il numeratore e il denominatore corrispondono (3/3, 12/12, 100/100 e altri).
Con le frazioni semplici, puoi fare quanto segue:
Esempi di operazioni con le frazioni sono considerati di seguito.
Ridurre significa dividere la parte superiore e inferiore di una frazione per un numero uguale.
La figura mostra semplici esempi di riduzione. Nella prima opzione, puoi immediatamente intuire che il numeratore e il denominatore sono divisibili per 2.
Su una nota! Se il numero è pari, è comunque divisibile per 2. I numeri pari sono 2, 4, 6 ... 32 8 (termina in pari), ecc.
Nel secondo caso, dividendo 6 per 18, è subito chiaro che i numeri sono divisibili per 2. Dividendo otteniamo 3/9. Anche questa frazione è divisibile per 3. Quindi la risposta è 1/3. Se moltiplichi entrambi i divisori: 2 per 3, verrà fuori 6. Si scopre che la frazione è stata divisa per sei. Questa divisione graduale è chiamata riduzione successiva di una frazione mediante divisori comuni.
Qualcuno dividerà immediatamente per 6, qualcuno avrà bisogno della divisione per parti. La cosa principale è che alla fine c'è una frazione che non può essere ridotta in alcun modo.
Si noti che se il numero è composto da cifre, la cui somma risulterà in un numero divisibile per 3, anche l'originale può essere ridotto di 3. Esempio: il numero 341. Somma i numeri: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 non è divisibile per 3, quindi il numero 341 non può essere ridotto di 3 senza resto). Un altro esempio: 264. Aggiungi: 2 + 6 + 4 = 12 (diviso per 3). Otteniamo: 264: 3 = 88. Questo semplificherà la riduzione di grandi numeri.
Oltre al metodo di riduzione successiva di una frazione per divisori comuni, esistono altri modi.
MCD è il massimo divisore di un numero. Dopo aver trovato il MCD per denominatore e numeratore, puoi immediatamente ridurre la frazione del numero desiderato. La ricerca viene effettuata dividendo gradualmente ogni numero. Successivamente, guardano quali divisori corrispondono, se ce ne sono molti (come nell'immagine sotto), allora devi moltiplicare.
Tutte le frazioni improprie possono essere convertite in frazioni miste isolando l'intera parte in esse. Il numero intero è scritto a sinistra.
Spesso devi fare un numero misto da una frazione impropria. Il processo di conversione nell'esempio seguente: 22/4 = 22 diviso 4, otteniamo 5 numeri interi (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Otteniamo 5 numeri interi e 2/4 (il denominatore non cambia). Poiché la frazione può essere ridotta, dividiamo la parte superiore e inferiore per 2.
È facile trasformare un numero misto in una frazione impropria (questo è necessario quando si dividono e si moltiplicano frazioni). Per fare questo: moltiplica il numero intero per la parte inferiore della frazione e aggiungi il numeratore a questo. Pronto. Il denominatore non cambia.
È possibile aggiungere numeri misti. Se i denominatori sono gli stessi, è facile: somma le parti intere e i numeratori, il denominatore rimane al suo posto.
Quando si aggiungono numeri con denominatori diversi, il processo è più complicato. Innanzitutto, portiamo i numeri al minimo denominatore (NOD).
Nell'esempio seguente, per i numeri 9 e 6, il denominatore sarà 18. Successivamente, sono necessari ulteriori fattori. Per trovarli, dovresti dividere 18 per 9, quindi viene trovato un numero aggiuntivo - 2. Lo moltiplichiamo per il numeratore 4, otteniamo la frazione 8/18). Lo stesso si fa con la seconda frazione. Aggiungiamo già le frazioni convertite (numeri interi e numeratori separatamente, non cambiamo il denominatore). Nell'esempio, la risposta doveva essere convertita in una frazione propria (inizialmente, il numeratore risultava essere maggiore del denominatore).
Tieni presente che con la differenza delle frazioni, l'algoritmo delle azioni è lo stesso.
Quando si moltiplicano le frazioni, è importante posizionarle entrambe sotto la stessa riga. Se il numero è misto, lo trasformiamo in una semplice frazione. Successivamente, moltiplica le parti superiore e inferiore e scrivi la risposta. Se è chiaro che le frazioni possono essere ridotte, riduciamo immediatamente.
In questo esempio, non abbiamo dovuto tagliare nulla, abbiamo solo annotato la risposta ed evidenziato l'intera parte.
In questo esempio, ho dovuto ridurre i numeri sotto una riga. Sebbene sia possibile ridurre anche la risposta pronta.
Quando si divide, l'algoritmo è quasi lo stesso. Per prima cosa trasformiamo la frazione mista in una impropria, quindi scriviamo i numeri sotto una riga, sostituendo la divisione con la moltiplicazione. Non dimenticare di scambiare la parte superiore e inferiore della seconda frazione (questa è la regola per dividere le frazioni).
Se necessario, riduciamo i numeri (nell'esempio seguente, lo hanno ridotto di cinque e due). Trasformiamo la frazione impropria evidenziando la parte intera.
Il video mostra alcune altre attività. Per chiarezza, le immagini grafiche delle soluzioni vengono utilizzate per aiutare a visualizzare le frazioni.
Le frazioni di moltiplicazione sono scritte sotto una riga. Successivamente, vengono ridotti dividendo per gli stessi numeri (ad esempio, 15 al denominatore e 5 al numeratore possono essere divisi per cinque).
Per confrontare le frazioni, devi ricordare due semplici regole.
Regola 1. Se i denominatori sono diversi
Regola 2. Quando i denominatori sono gli stessi
Ad esempio, confrontiamo le frazioni 7/12 e 2/3.
Per rappresentare meglio le frazioni, puoi utilizzare i disegni per chiarezza, in cui un oggetto è diviso in parti (ad esempio una torta). Se vuoi confrontare 4/7 e 2/3, nel primo caso la torta viene divisa in 7 parti e ne vengono scelte 4. Nel secondo si dividono in 3 parti e ne prendono 2. Ad occhio nudo sarà chiaro che 2/3 sarà più di 4/7.
Come esercizio, puoi eseguire le seguenti attività.
Suggerimento: se è difficile trovare il minimo comune denominatore delle frazioni (soprattutto se i loro valori sono piccoli), puoi moltiplicare il denominatore della prima e della seconda frazione. Esempio: 2/8 e 5/9. Trovare il loro denominatore è semplice: moltiplica 8 per 9, ottieni 72.
Nel risolvere le equazioni, devi ricordare le azioni con le frazioni: moltiplicazione, divisione, sottrazione e addizione. Se uno dei fattori è sconosciuto, il prodotto (totale) viene diviso per il fattore noto, ovvero le frazioni vengono moltiplicate (il secondo viene capovolto).
Se il dividendo è sconosciuto, il denominatore viene moltiplicato per il divisore e per trovare il divisore devi dividere il dividendo per il quoziente.
Immaginiamo semplici esempi di risoluzione di equazioni:
Qui è richiesto solo di produrre la differenza delle frazioni, senza portare a un comune denominatore.
La risposta è una frazione impropria. Può essere convertito in 1 intero e 3/5.
Nel secondo metodo, il numeratore e il denominatore sono stati moltiplicati per 4 per accorciare la parte inferiore anziché capovolgere il denominatore.
Comodo e semplice calcolatrice in linea frazioni con soluzione dettagliata può essere:
Il risultato della risoluzione delle frazioni sarà qui ...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Segno di frazione "/" + - * :
_wipe Cancella
Il nostro calcolatore di frazioni online ha un input rapido. Per ottenere la soluzione delle frazioni, ad esempio, basta scrivere 1/2+2/7
nella calcolatrice e premi il tasto " risolvere le frazioni". La calcolatrice ti scriverà soluzione dettagliata frazioni e problema immagine copiabile.
Se devi risolvere frazioni negative, usa semplicemente le proprietà meno. Quando si moltiplicano e si dividono frazioni negative, meno per meno dà più. Cioè, il prodotto e la divisione delle frazioni negative è uguale al prodotto e alla divisione delle stesse frazioni positive. Se una frazione è negativa quando viene moltiplicata o divisa, rimuovi semplicemente il meno e poi aggiungilo al risultato. Quando si aggiungono frazioni negative, il risultato sarà lo stesso che se si aggiungessero le stesse frazioni positive. Se aggiungi una frazione negativa, equivale a sottrarre la stessa frazione positiva.
Quando si sottraono le frazioni negative, il risultato sarà lo stesso che se fossero state invertite e rese positive. Questo è meno per meno in questo caso dà un vantaggio e la somma non cambia dal riarrangiamento dei termini. Usiamo le stesse regole quando sottraiamo le frazioni, una delle quali è negativa.
Per risolvere le frazioni miste (frazioni in cui è evidenziata l'intera parte), trasforma semplicemente l'intera parte in una frazione. Per fare ciò, moltiplica la parte intera per il denominatore e aggiungi al numeratore.
Se devi risolvere 3 o più frazioni online, dovresti risolverle una per una. Innanzitutto, conta le prime 2 frazioni, quindi risolvi la frazione successiva con la risposta ricevuta e così via. Esegui le operazioni a turno per 2 frazioni e alla fine otterrai la risposta corretta.
) e il denominatore per denominatore (otteniamo il denominatore del prodotto).
Formula di moltiplicazione della frazione:
Per esempio:
Prima di procedere con la moltiplicazione di numeratori e denominatori, è necessario verificare la possibilità di riduzione frazionaria. Se riesci a ridurre la frazione, sarà più facile per te continuare a fare calcoli.
Non è così spaventoso come sembra. Come nel caso dell'addizione, convertiamo un numero intero in una frazione con un'unità nel denominatore. Per esempio:
Regole per la moltiplicazione delle frazioni (miste):
Nota! Per moltiplicare una frazione mista per un'altra frazione mista, devi prima portarle sotto forma di frazioni improprie, quindi moltiplicare secondo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie.
È più conveniente utilizzare il secondo metodo di moltiplicazione di una frazione ordinaria per un numero.
Nota! Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, è necessario dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare invariato il numeratore.
Dall'esempio sopra, è chiaro che questa opzione è più comoda da usare quando il denominatore di una frazione è diviso senza resto da un numero naturale.
Al liceo si trovano spesso frazioni a tre piani (o più). Esempio:
Per portare una tale frazione nella sua forma abituale, viene utilizzata la divisione per 2 punti:
Nota! Quando si dividono le frazioni, l'ordine di divisione è molto importante. Attenzione, qui è facile confondersi.
Nota, per esempio:
Quando si divide uno per qualsiasi frazione, il risultato sarà la stessa frazione, solo invertita:
Consigli pratici per moltiplicare e dividere frazioni:
1. La cosa più importante nel lavorare con le espressioni frazionarie è l'accuratezza e l'attenzione. Esegui tutti i calcoli con attenzione e precisione, in modo concentrato e chiaro. È meglio scrivere qualche riga in più in una bozza piuttosto che confondersi nei calcoli nella tua testa.
2. Nelle attività con diversi tipi di frazioni, vai al tipo di frazioni ordinarie.
3. Riduciamo tutte le frazioni finché non è più possibile ridurre.
4. Portiamo espressioni frazionarie multilivello in quelle ordinarie, usando la divisione per 2 punti.
5. Dividiamo mentalmente l'unità in una frazione, semplicemente capovolgendo la frazione.
Questa sezione si occupa delle azioni frazioni ordinarie. Se è necessario eseguire un'operazione matematica con numeri misti, è sufficiente convertire la frazione mista in una straordinaria, eseguire le operazioni necessarie e, se necessario, presentare nuovamente il risultato finale come numero misto. Questa operazione verrà descritta di seguito.
operazione matematica. Riduzione della frazione
Per ridurre la frazione \frac(m)(n) devi trovare il massimo comune divisore del suo numeratore e denominatore: mcd(m,n), quindi dividere il numeratore e il denominatore della frazione per questo numero. Se MCD(m,n)=1, allora la frazione non può essere ridotta. Esempio: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)
Di solito trovare immediatamente il massimo comune divisore è un compito difficile, e in pratica la frazione viene ridotta in più fasi, evidenziando passo dopo passo evidenti fattori comuni dal numeratore e dal denominatore. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)
operazione matematica. Portare le frazioni a un denominatore comune
Per ridurre due frazioni \frac(a)(b) e \frac(c)(d) a un denominatore comune, è necessario:
Pertanto, convertiamo le frazioni originali in frazioni con gli stessi denominatori (che saranno uguali al numero M).
Ad esempio, le frazioni \frac(5)(6) e \frac(4)(9) hanno LCM(6,9) = 18. Allora: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Pertanto, le frazioni risultanti hanno un comune denominatore.
In pratica, trovare il minimo comune multiplo (LCM) dei denominatori non è sempre un compito facile. Pertanto, come denominatore comune viene scelto un numero uguale al prodotto dei denominatori delle frazioni originali. Ad esempio, le frazioni \frac(5)(6) e \frac(4)(9) sono ridotte a un comune denominatore N=6\cdot9:
\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)
operazione matematica. Confronto di frazioni
Per confrontare due frazioni comuni:
Quando si confrontano le frazioni, ci sono diversi casi speciali:
Attenzione! La regola 1 si applica a tutte le frazioni se il loro comune denominatore è un numero positivo. Le regole 2 e 3 si applicano alle frazioni positive (che hanno numeratore e denominatore maggiori di zero).
operazione matematica. Addizione e sottrazione di frazioni
Per sommare due frazioni, hai bisogno di:
Esempio: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)
Per sottrarre un'altra frazione da una, è necessario:
Esempio: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)
Se le frazioni originali hanno inizialmente un denominatore comune, il punto 1 (riduzione a un denominatore comune) viene saltato.
operazione matematica. Conversione di un numero misto in una frazione impropria e viceversa
Per convertire una frazione mista in una impropria è sufficiente sommare la parte intera della frazione mista con la parte frazionaria. Il risultato di tale somma sarà una frazione impropria, il cui numeratore è uguale alla somma il prodotto della parte intera e il denominatore di una frazione con il numeratore di una frazione mista, e il denominatore rimane lo stesso. Ad esempio, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)
Per convertire una frazione impropria in un numero misto:
Ad esempio, la frazione \frac(23)(4) . Quando si divide 23:4=5,75, cioè la parte intera è 5, il resto della divisione è 23-5*4=3. Quindi verrà scritto il numero misto: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)
operazione matematica. Conversione di un decimale in una frazione comune
Per convertire un decimale in una frazione comune:
Esempio 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 cifre decimali, quindi il denominatore 10 4 =10000, poiché la parte intera è 0, il numeratore è il numero dopo la virgola senza zeri iniziali)
Esempio 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (al numeratore scriviamo il numero dopo la virgola con tutti zeri: "0109", e poi aggiungiamo la parte intera del numero originale "31" prima di esso)
Se la parte intera di una frazione decimale è diversa da zero, allora può essere convertita in una frazione mista. Per fare ciò, traduciamo il numero in una frazione ordinaria come se la parte intera fosse uguale a zero (punti 1 e 2), e riscriviamo semplicemente la parte intera prima della frazione: questa sarà la parte intera del numero misto. Esempio:
3.014=3\fraz(14)(100)
Per convertire una frazione ordinaria in un decimale, è sufficiente dividere semplicemente il numeratore per il denominatore. A volte ottieni un decimale infinito. In questo caso è necessario arrotondare alla cifra decimale desiderata. Esempi:
\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\circa0.6667
operazione matematica. Moltiplicazione e divisione di frazioni
Per moltiplicare due frazioni comuni, devi moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni.
\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)
Per dividere una frazione comune per un'altra, devi moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda ( reciprocoè una frazione in cui numeratore e denominatore sono invertiti.
\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)
Se una delle frazioni è numero naturale, allora le regole di cui sopra per la moltiplicazione e la divisione rimangono in vigore. Tieni presente che un numero intero è la stessa frazione, il cui denominatore è uguale a uno. Ad esempio: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7
Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")
Le frazioni al liceo non sono molto fastidiose. Per ora. Finché non ti imbatti in esponenti con esponenti razionali e logaritmi. E lì…. Premi, premi la calcolatrice e mostra tutto il tabellone completo di alcuni numeri. Devi pensare con la testa, come in terza elementare.
Occupiamoci delle frazioni, finalmente! Bene, quanto puoi confonderti in loro!? Inoltre, è tutto semplice e logico. Così, cosa sono le frazioni?
Le frazioni sono di tre tipi.
1. Frazioni comuni , Per esempio:
A volte, invece di una linea orizzontale, mettono una barra: 1/2, 3/4, 19/5, beh, e così via. Qui useremo spesso questa grafia. Viene chiamato il numero più alto numeratore, minore - denominatore. Se confondi costantemente questi nomi (succede ...), dì a te stesso la frase con l'espressione: " Zzzzz ricordare! Zzzzz denominatore - fuori zzzz u!" Guarda, tutto sarà ricordato.)
Un trattino, che è orizzontale, che è obliquo, significa divisione dal numero superiore (numeratore) al numero inferiore (denominatore). E questo è tutto! Invece di un trattino, è del tutto possibile inserire un segno di divisione: due punti.
Quando la divisione è interamente possibile, deve essere fatta. Quindi, invece della frazione "32/8" è molto più piacevole scrivere il numero "4". Quelli. 32 è semplicemente diviso per 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Non sto parlando della frazione "4/1". Che è anche solo "4". E se non si divide completamente, lo lasciamo come frazione. A volte devi fare il contrario. Fai una frazione da un numero intero. Ma ne parleremo più avanti.
2. Decimali , Per esempio:
È in questa forma che sarà necessario annotare le risposte ai compiti "B".
3. numeri misti , Per esempio:
I numeri misti non sono praticamente usati al liceo. Per lavorare con loro, devono essere convertiti in frazioni ordinarie. Ma devi assolutamente sapere come farlo! E poi un tale numero si imbatterà nel puzzle e si bloccherà ... Da zero. Ma ricordiamo questa procedura! Un po' più in basso.
Il più versatile frazioni comuni. Cominciamo con loro. A proposito, se ci sono tutti i tipi di logaritmi, seni e altre lettere nella frazione, questo non cambia nulla. Nel senso che tutto le azioni con espressioni frazionarie non sono diverse dalle azioni con frazioni ordinarie!
Quindi andiamo! Prima di tutto, ti sorprenderò. L'intera varietà di trasformazioni di frazioni è fornita da un'unica proprietà! È così che si chiama proprietà di base di una frazione. Ricorda: Se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati (divisi) per lo stesso numero, la frazione non cambierà. Quelli:
È chiaro che puoi scrivere ulteriormente, finché non sei blu in faccia. Non lasciare che i seni e i logaritmi ti confondano, li tratteremo ulteriormente. La cosa principale da capire è che tutte queste varie espressioni lo sono la stessa frazione . 2/3.
E ne abbiamo bisogno, tutte queste trasformazioni? E come! Ora vedrai di persona. Per prima cosa, usiamo la proprietà di base di una frazione per abbreviazioni di frazione. Sembrerebbe che la cosa sia elementare. Dividiamo il numeratore e il denominatore per lo stesso numero e il gioco è fatto! Impossibile sbagliare! Ma... l'uomo è un essere creativo. Puoi sbagliare ovunque! Soprattutto se devi ridurre non una frazione come 5/10, ma un'espressione frazionaria con tutti i tipi di lettere.
Come ridurre correttamente e rapidamente le frazioni senza eseguire lavori inutili si trova nella sezione speciale 555.
Uno studente normale non si preoccupa di dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero (o espressione)! Cancella tutto uguale dall'alto e dal basso! È qui che si nasconde errore tipico, blooper se vuoi.
Ad esempio, è necessario semplificare l'espressione:
Non c'è niente a cui pensare, cancelliamo la lettera "a" dall'alto e il diavolo dal basso! Noi abbiamo:
Tutto è corretto. Ma in realtà hai condiviso il tutto numeratore e il tutto denominatore "a". Se sei abituato a cancellare semplicemente, allora, in fretta, puoi cancellare la "a" nell'espressione
e riprenditi
Il che sarebbe categoricamente sbagliato. Perché qui il tutto numeratore su "a" già non condiviso! Questa frazione non può essere ridotta. A proposito, una tale abbreviazione è, ehm ... una seria sfida per l'insegnante. Questo non è perdonato! Ricorda? Quando si riduce, è necessario dividere il tutto numeratore e il tutto denominatore!
Ridurre le frazioni rende la vita molto più semplice. Otterrai una frazione da qualche parte, ad esempio 375/1000. E come lavorare con lei adesso? Senza calcolatrice? Moltiplicare, dire, sommare, elevare al quadrato!? E se non sei troppo pigro, ma riduci attentamente di cinque, e anche di cinque, e anche ... mentre si riduce, insomma. Otteniamo 3/8! Molto più bello, vero?
La proprietà di base di una frazione consente di convertire le frazioni ordinarie in decimali e viceversa senza calcolatrice! Questo è importante per l'esame, giusto?
È facile con i decimali. Come si sente, così è scritto! Diciamo 0,25. È zero virgola, venticinque centesimi. Quindi scriviamo: 25/100. Riduciamo (dividiamo il numeratore e il denominatore per 25), otteniamo la solita frazione: 1/4. Tutto quanto. Succede e nulla è ridotto. Come 0,3. Questo è tre decimi, cioè 3/10.
Cosa succede se i numeri interi sono diversi da zero? Va bene. Scrivi l'intera frazione senza alcuna virgola al numeratore e al denominatore: cosa si sente. Ad esempio: 3.17. Questo è tre interi, diciassette centesimi. Scriviamo al numeratore 317 e al denominatore 100. Otteniamo 317/100. Niente è ridotto, questo significa tutto. Questa è la risposta. Elementare Watson! Da tutto quanto sopra, un'utile conclusione: qualsiasi frazione decimale può essere convertita in una frazione comune .
Ma la conversione inversa, ordinaria in decimale, alcuni non possono fare a meno di una calcolatrice. Ma tu devi! Come scriverai la risposta sull'esame!? Leggiamo attentamente e padroneggiamo questo processo.
Cos'è una frazione decimale? Ha nel denominatore sempre vale 10 o 100 o 1000 o 10000 e così via. Se la tua solita frazione ha un tale denominatore, non ci sono problemi. Ad esempio, 4/10 = 0,4. O 7/100 = 0,07. O 12/10 = 1,2. E se nella risposta al compito della sezione "B" risultasse 1/2? Cosa scriveremo in risposta? I decimali sono obbligatori...
Noi ricordiamo proprietà di base di una frazione ! La matematica ti consente favorevolmente di moltiplicare il numeratore e il denominatore per lo stesso numero. Per chiunque, a proposito! Tranne zero, ovviamente. Usiamo questa funzione a nostro vantaggio! Per cosa può essere moltiplicato il denominatore, ad es. 2 in modo che diventi 10, o 100, o 1000 (più piccolo è meglio, ovviamente...)? 5, ovviamente. Sentiti libero di moltiplicare il denominatore (questo è noi necessario) per 5. Ma allora anche il numeratore deve essere moltiplicato per 5. Questo è già matematica richieste! Otteniamo 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. È tutto.
Tuttavia, si incontrano tutti i tipi di denominatori. Ad esempio, la frazione 3/16 cadrà. Provalo, scopri per cosa moltiplicare 16 per ottenere 100 o 1000... Non funziona? Quindi puoi semplicemente dividere 3 per 16. In assenza di una calcolatrice, dovrai dividere in un angolo, su un pezzo di carta, come insegnavano alle elementari. Otteniamo 0,1875.
E ci sono alcuni pessimi denominatori. Ad esempio, la frazione 1/3 non può essere trasformata in un buon decimale. Sia su una calcolatrice che su un pezzo di carta, otteniamo 0,3333333 ... Ciò significa che 1/3 in una frazione decimale esatta non traduce. Proprio come 1/7, 5/6 e così via. Molti di loro sono intraducibili. Da qui un'altra utile conclusione. Non tutte le frazioni comuni vengono convertite in decimali. !
A proposito, questo informazioni utili per l'autotest. Nella sezione "B" in risposta, è necessario annotare una frazione decimale. E hai, per esempio, 4/3. Questa frazione non viene convertita in decimale. Ciò significa che da qualche parte lungo la strada hai commesso un errore! Torna indietro, controlla la soluzione.
Quindi, con le frazioni ordinarie e decimali risolte. Resta da trattare con numeri misti. Per lavorare con loro, devono essere tutti convertiti in frazioni ordinarie. Come farlo? Puoi prendere uno studente di prima media e chiederglielo. Ma non sempre un alunno di prima media sarà a portata di mano ... Dovremo farlo da soli. Questo non è difficile. Moltiplica il denominatore della parte frazionaria per la parte intera e aggiungi il numeratore della parte frazionaria. Questo sarà il numeratore di una frazione comune. E il denominatore? Il denominatore rimarrà lo stesso. Sembra complicato, ma in realtà è abbastanza semplice. Vediamo un esempio.
Lascia entrare il problema che hai visto con orrore il numero:
Con calma, senza panico, capiamo. L'intera parte è 1. Uno. La parte frazionaria è 3/7. Pertanto, il denominatore della parte frazionaria è 7. Questo denominatore sarà il denominatore della frazione ordinaria. Contiamo il numeratore. Moltiplichiamo 7 per 1 (la parte intera) e aggiungiamo 3 (il numeratore della parte frazionaria). Otteniamo 10. Questo sarà il numeratore di una frazione ordinaria. È tutto. Sembra ancora più semplice in notazione matematica:
Chiaramente? Allora assicurati il tuo successo! Converti in frazioni comuni. Dovresti ottenere 10/7, 7/2, 23/10 e 21/4.
L'operazione inversa - convertire una frazione impropria in un numero misto - è raramente richiesta al liceo. Beh, se... E se tu - non al liceo - puoi esaminare la sezione speciale 555. Nello stesso posto, tra l'altro, imparerai a conoscere le frazioni improprie.
Bene, quasi tutto. Hai ricordato i tipi di frazioni e capito come convertirli da un tipo all'altro. La domanda rimane: perché fallo? Dove e quando applicare questa profonda conoscenza?
Rispondo. Ogni esempio stesso suggerisce le azioni necessarie. Se nell'esempio frazioni ordinarie, decimali e anche numeri misti vengono mescolati in un gruppo, traduciamo tutto in frazioni ordinarie. Si può sempre fare. Bene, se viene scritto qualcosa come 0.8 + 0.3, allora pensiamo di sì, senza alcuna traduzione. Perché abbiamo bisogno di lavoro extra? Scegliamo la soluzione che conviene noi !
Se l'attività è piena di frazioni decimali, ma um ... una specie di malvagie, vai a quelle ordinarie, provalo! Guarda, andrà tutto bene. Ad esempio, devi elevare al quadrato il numero 0,125. Non è così facile se non hai perso l'abitudine alla calcolatrice! Non solo devi moltiplicare i numeri in una colonna, ma anche pensare a dove inserire la virgola! Certamente non funziona nella mia mente! E se vai a una frazione ordinaria?
0,125 = 125/1000. Riduciamo di 5 (questo è per i principianti). Otteniamo 25/200. Ancora una volta sul 5. Otteniamo 5/40. Oh, si sta restringendo! Torna a 5! Otteniamo 1/8. Piazza facilmente (nella tua mente!) E ottieni 1/64. Tutto quanto!
Riassumiamo questa lezione.
1. Esistono tre tipi di frazioni. Numeri ordinari, decimali e misti.
2. Decimali e numeri misti sempre possono essere convertiti in frazioni comuni. Traduzione inversa non sempre a disposizione.
3. La scelta del tipo di frazioni per lavorare con l'attività dipende proprio da questa attività. In presenza di tipi diversi frazioni in un'attività, la cosa più affidabile è passare alle frazioni ordinarie.
Ora puoi esercitarti. Innanzitutto, converti queste frazioni decimali in quelle ordinarie:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Dovresti ottenere risposte come questa (in un pasticcio!):
Su questo finiremo. In questa lezione, abbiamo rinfrescato la nostra memoria punti chiave per frazioni. Succede, tuttavia, che non c'è niente di speciale da aggiornare ...) Se qualcuno l'ha completamente dimenticato, o non l'ha ancora imparato ... Quelli possono andare in una sezione speciale 555. Tutte le basi sono dettagliate lì. Molti all'improvviso capire tutto stanno iniziando. E risolvono le frazioni al volo).
A proposito, ho un paio di siti più interessanti per te.)
Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)
puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
