In questa sezione ricorderemo (o studieremo - come piace a chiunque) le equazioni più elementari. Allora, cos'è un'equazione? Parlando in termini umani, questa è una specie di espressione matematica, in cui c'è un segno di uguale e uno sconosciuto. Che di solito è indicato dalla lettera "X". risolvere l'equazioneè trovare tali valori x che, durante la sostituzione in iniziale espressione, ci darà la corretta identità. Vorrei ricordarvi che identità è un'espressione che non solleva dubbi anche per una persona che non è assolutamente gravata di conoscenze matematiche. Come 2=2, 0=0, ab=ab ecc. Allora come si risolvono le equazioni? Scopriamolo.
Ci sono tutti i tipi di equazioni (mi ha sorpreso, vero?). Ma tutta la loro infinita varietà può essere suddivisa solo in quattro tipi.
4. Altro.)
Tutto il resto, ovviamente, soprattutto, sì ...) Questo include cubico, esponenziale, logaritmico e trigonometrico e ogni sorta di altro. Lavoreremo a stretto contatto con loro nelle sezioni pertinenti.
Devo dire subito che a volte le equazioni dei primi tre tipi sono così confuse che non le riconosci... Niente. Impareremo come rilassarli.
E perché abbiamo bisogno di questi quattro tipi? E poi cosa equazioni lineari risolto in un modo quadrato altri razionale frazionario - il terzo, un riposo per niente risolto! Bene, non è che non decidano affatto, ho offeso la matematica invano.) È solo che hanno le loro tecniche e metodi speciali.
Ma per qualsiasi (ripeto - per qualunque!) equazioni è una base affidabile e senza problemi per la risoluzione. Funziona ovunque e sempre. Questa base - Sembra spaventosa, ma la cosa è molto semplice. E molto (molto!) importante.
In realtà, la soluzione dell'equazione consiste in queste stesse trasformazioni. Al 99%. Rispondi alla domanda: " Come risolvere le equazioni?" bugie, proprio in queste trasformazioni. Il suggerimento è chiaro?)
A eventuali equazioni per trovare l'ignoto, è necessario trasformare e semplificare l'esempio originale. Inoltre, in modo che quando si cambia aspetto esteriore l'essenza dell'equazione non è cambiata. Tali trasformazioni sono chiamate identico o equivalente.
Nota che queste trasformazioni lo sono solo per le equazioni. In matematica, ci sono ancora trasformazioni identiche espressioni. Questo è un altro argomento.
Ora ripeteremo tutto-tutto-tutto di base trasformazioni identiche di equazioni.
Basic perché possono essere applicati qualunque equazioni - lineare, quadratica, frazionaria, trigonometrica, esponenziale, logaritmica, ecc. eccetera.
Prima trasformazione identica: entrambi i lati di qualsiasi equazione possono essere aggiunti (sottratti) qualunque(ma lo stesso!) un numero o un'espressione (compresa un'espressione con un'incognita!). L'essenza dell'equazione non cambia.
A proposito, hai usato costantemente questa trasformazione, pensavi solo di trasferire alcuni termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. Tipo:
La questione è familiare, spostiamo il due a destra e otteniamo:
In realtà tu portato via da entrambi i lati dell'equazione deuce. Il risultato è lo stesso:
x+2 - 2 = 3 - 2
Il trasferimento dei termini a sinistra-destra con un cambio di segno è semplicemente una versione abbreviata della prima trasformazione identica. E perché abbiamo bisogno di una conoscenza così profonda? - tu chiedi. Niente nelle equazioni. Spostalo, per l'amor di Dio. Basta non dimenticare di cambiare il segno. Ma nelle disuguaglianze, l'abitudine al transfert può portare a un vicolo cieco ....
Seconda trasformazione dell'identità: entrambi i lati dell'equazione possono essere moltiplicati (divisi) per lo stesso diverso da zero numero o espressione. Qui appare già un limite comprensibile: è stupido moltiplicare per zero, ma è impossibile dividere del tutto. Questa è la trasformazione che usi quando decidi qualcosa di interessante
Comprensibilmente, X= 2. Ma come l'hai trovato? Selezione? O semplicemente illuminato? Per non raccogliere e attendere l'intuizione, devi capire che sei giusto dividere entrambi i membri dell'equazione per 5. Dividendo il lato sinistro (5x), il cinque è stato ridotto, lasciando una X pura. Che è ciò di cui avevamo bisogno. E dividendo il lato destro di (10) per cinque, si è rivelato, ovviamente, un due.
È tutto.
È divertente, ma queste due (solo due!) trasformazioni identiche sono alla base della soluzione tutte le equazioni della matematica. Come! Ha senso guardare esempi di cosa e come, giusto?)
Iniziamo con primo trasformazione identica. Sposta a sinistra-destra.
Un esempio per i più piccoli.)
Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente equazione:
3-2x=5-3x
Ricordiamo l'incantesimo: "con X - a sinistra, senza X - a destra!" Questo incantesimo è un'istruzione per applicare la prima trasformazione dell'identità.) Qual è l'espressione con la x a destra? 3x? La risposta è sbagliata! Alla nostra destra - 3x! Meno tre x! Pertanto, quando si passa a sinistra, il segno cambierà in più. Ottenere:
3-2x+3x=5
Quindi, le X sono state messe insieme. Facciamo i numeri. Tre a sinistra. Quale segno? La risposta "con nessuno" non viene accettata!) Davanti al triplo, infatti, non si pesca nulla. E questo significa che davanti al triplo c'è un vantaggio. Quindi i matematici erano d'accordo. Niente è scritto, quindi un vantaggio. Pertanto, la tripla verrà trasferita sul lato destro con un meno. Noi abbiamo:
-2x+3x=5-3
Sono rimasti degli spazi vuoti. A sinistra - dai simili, a destra - conta. La risposta è subito:
In questo esempio è stata sufficiente una trasformazione identica. Il secondo non era necessario. Allora ok.)
Un esempio per gli anziani.)
A proposito, ho un altro paio di siti interessanti per te.)
Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)
puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
I. ascia 2 \u003d 0 – incompleto equazione quadrata (b=0, c=0 ). Soluzione: x=0. Risposta: 0.
Risolvi equazioni.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Soluzione. Espandi le parentesi moltiplicando 2x per ogni termine tra parentesi:
2x2 +6x=6x-x2 ; spostando i termini da destra a sinistra:
2x2 +6x-6x+x2=0; Ecco termini simili:
3x 2 =0, quindi x=0.
Risposta: 0.
II. ax2+bx=0 –incompleto equazione quadrata (s=0 ). Soluzione: x (ax+b)=0 → x 1 =0 o ax+b=0 → x 2 =-b/a. Risposta: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
Soluzione. Elimina il fattore comune X per parentesi:
x(5x-26)=0; ogni fattore può essere zero:
x=0 o 5x-26=0→ 5x=26, dividi entrambi i membri dell'uguaglianza per 5 e otteniamo: x \u003d 5.2.
Risposta: 0; 5,2.
Esempio 3 64x+4x2=0.
Soluzione. Elimina il fattore comune 4x per parentesi:
4x(16+x)=0. Abbiamo tre fattori, 4≠0, quindi, o x=0 o 16+x=0. Dall'ultima uguaglianza otteniamo x=-16.
Risposta: -16; 0.
Esempio 4(x-3) 2 +5x=9.
Soluzione. Applicando la formula per il quadrato della differenza di due espressioni, apri le parentesi:
x 2 -6x+9+5x=9; trasforma nella forma: x 2 -6x+9+5x-9=0; Ecco termini simili:
x2-x=0; sopportare X fuori dalle parentesi otteniamo: x (x-1)=0. Da qui o x=0 o x-1=0→ x=1.
Risposta: 0; 1.
III. ax2+c=0 –incompleto equazione quadrata (b=0 ); Soluzione: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
Se una (-circa)<0 , allora non ci sono vere radici. Se una (-s/a)>0
Esempio 5 x 2 -49=0.
Soluzione.
x 2 \u003d 49, da qui x=±7. Risposta:-7; 7.
Esempio 6 9x2-4=0.
Soluzione.
Spesso è necessario trovare la somma dei quadrati (x 1 2 +x 2 2) o la somma dei cubi (x 1 3 +x 2 3) radici equazione quadrata, meno spesso - la somma dei reciproci dei quadrati delle radici o la somma dell'aritmetica radici quadrate dalle radici dell'equazione quadratica:
Il teorema di Vieta può aiutare in questo:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Esprimere attraverso p e q:
1) la somma dei quadrati delle radici dell'equazione x2+px+q=0;
2) la somma dei cubi delle radici dell'equazione x2+px+q=0.
Soluzione.
1) Espressione x 1 2 + x 2 2 ottenuto quadrando entrambi i membri dell'equazione x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; apri le parentesi: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; esprimiamo la quantità desiderata: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Abbiamo un'equazione utile: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) Espressione x 1 3 + x 2 3 rappresentare con la formula della somma dei cubi nella forma:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).
Un'altra utile equazione: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
Esempi.
3) x 2 -3x-4=0. Senza risolvere l'equazione, calcolare il valore dell'espressione x 1 2 + x 2 2.
Soluzione.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, e il lavoro x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dnell'esempio 1) uguaglianza:
x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q. abbiamo -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Quindi x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Risposta: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Calcola: x 1 3 + x 2 3 .
Soluzione.
Per il teorema di Vieta, la somma delle radici di questa equazione quadratica ridotta x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, e il lavoro x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-quattro. Applichiamo ciò che abbiamo ottenuto ( nell'esempio 2) uguaglianza: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
Risposta: x 1 3 + x 2 3 =32.
Domanda: cosa succede se ci viene data un'equazione quadratica non ridotta? Risposta: si può sempre “ridurre” dividendo termine per termine per il primo coefficiente.
5) 2x2 -5x-7=0. Senza risolvere, calcola: x 1 2 + x 2 2.
Soluzione. Ci viene data un'equazione quadratica completa. Dividi entrambi i membri dell'equazione per 2 (il primo coefficiente) e ottieni la seguente equazione quadratica: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
Per il teorema di Vieta, la somma delle radici è 2,5 ; il prodotto delle radici è -3,5 .
Risolviamo allo stesso modo di un esempio 3) usando l'uguaglianza: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Risposta: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0. Trova:
Trasformiamo questa uguaglianza e, sostituendo la somma delle radici nei termini del teorema di Vieta, -p, e il prodotto delle radici attraverso q, otteniamo un'altra formula utile. Nel derivare la formula, abbiamo usato l'uguaglianza 1): x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
Nel nostro esempio x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Sostituisci questi valori nella formula risultante:
7) x 2 -13x+36=0. Trova:
Trasformiamo questa somma e otteniamo una formula con la quale sarà possibile trovare la somma delle radici quadrate aritmetiche dalle radici di un'equazione quadratica.
abbiamo x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Sostituisci questi valori nella formula derivata:
Consiglio : verifica sempre la possibilità di trovare le radici di un'equazione quadratica in modo opportuno, perché 4 rivisto formule utili consentono di completare rapidamente l'attività, prima di tutto, nei casi in cui il discriminante è un numero "scomodo". In tutti i casi semplici, trova le radici e opera su di esse. Ad esempio, nell'ultimo esempio, selezioniamo le radici usando il teorema di Vieta: la somma delle radici dovrebbe essere uguale a 13 , e il prodotto delle radici 36 . Quali sono questi numeri? Certo, 4 e 9. Ora calcola la somma delle radici quadrate di questi numeri: 2+3=5. Questo è tutto!
I. Teorema di Vieta per l'equazione quadratica ridotta.
La somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta x 2 +px+q=0è uguale al secondo coefficiente preso da segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Trova le radici dell'equazione quadratica data usando il teorema di Vieta.
Esempio 1) x 2 -x-30=0. Questa è l'equazione quadratica ridotta ( x 2 +px+q=0), il secondo coefficiente p=-1, e il termine libero q=-30. Innanzitutto, assicurati che l'equazione data abbia radici e che le radici (se presenti) siano espresse come numeri interi. Per questo è sufficiente che il discriminante sia il quadrato intero di un intero.
Trovare il discriminante D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Ora, secondo il teorema di Vieta, la somma delle radici deve essere uguale al secondo coefficiente, preso con segno opposto, cioè ( -p), e il prodotto è uguale al termine libero, cioè ( q). Quindi:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Dobbiamo scegliere questi due numeri in modo che il loro prodotto sia uguale a -30 , e la somma è unità. Questi sono i numeri -5 e 6 . Risposta: -5; 6.
Esempio 2) x 2 +6x+8=0. Abbiamo l'equazione quadratica ridotta con il secondo coefficiente p=6 e membro libero q=8. Assicurati che ci siano radici intere. Troviamo il discriminante D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Il discriminante D 1 è il quadrato perfetto del numero 1 , quindi le radici di questa equazione sono numeri interi. Scegliamo le radici secondo il teorema di Vieta: la somma delle radici è uguale a –p=-6, e il prodotto delle radici è q=8. Questi sono i numeri -4 e -2 .
In realtà: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Risposta: -4; -2.
Esempio 3) x 2 +2x-4=0. In questa equazione quadratica ridotta, il secondo coefficiente p=2, e il termine libero q=-4. Troviamo il discriminante D1, poiché il secondo coefficiente è un numero pari. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Il discriminante non è un quadrato perfetto di un numero, quindi lo facciamo conclusione: le radici di questa equazione non sono interi e non possono essere trovate usando il teorema di Vieta. Quindi, risolviamo questa equazione, come al solito, secondo le formule (in questo caso formule). Noi abbiamo:
Esempio 4). Scrivi un'equazione quadratica usando le sue radici se x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Soluzione. L'equazione desiderata sarà scritta nella forma: x 2 +px+q=0, inoltre, sulla base del teorema di Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Quindi l'equazione assumerà la forma: x2 +3x-28=0.
Esempio 5). Scrivi un'equazione quadratica usando le sue radici se:
II. Il teorema di Vieta per l'equazione quadratica completa ax2+bx+c=0.
La somma delle radici è meno b diviso per un, il prodotto delle radici è Insieme a diviso per un:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
Esempio 6). Trova la somma delle radici di un'equazione quadratica 2x2 -7x-11=0.
Soluzione.
Siamo convinti che questa equazione avrà radici. Per fare ciò è sufficiente scrivere un'espressione per il discriminante e, senza calcolarla, assicurarsi solo che il discriminante sia maggiore di zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . E ora usiamo teorema Vieta per equazioni quadratiche complete.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
Esempio 7). Trova il prodotto delle radici di un'equazione quadratica 3x2 +8x-21=0.
Soluzione.
Troviamo il discriminante D1, poiché il secondo coefficiente ( 8 ) è un numero pari. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . L'equazione quadratica ha 2 radice, secondo il teorema di Vieta, il prodotto delle radici x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0è un'equazione quadratica generale
Discriminante Re=b 2 - 4ac.
Se una D>0, allora abbiamo due vere radici:
Se una D=0, allora abbiamo una sola radice (o due radici uguali) x=-b/(2a).
Se D<0, то действительных корней нет.
Esempio 1) 2x2 +5x-3=0.
Soluzione. un=2; b=5; c=-3.
Re=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 vere radici.
4x2 +21x+5=0.
Soluzione. un=4; b=21; c=5.
Re=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 vere radici.
II. ax2+bx+c=0 – equazione quadratica speciale per un secondo pari
coefficiente b
Esempio 3) 3x2 -10x+3=0.
Soluzione. un=3; b\u003d -10 (numero pari); c=3.
Esempio 4) 5x2-14x-3=0.
Soluzione. un=5; b= -14 (numero pari); c=-3.
Esempio 5) 71x2 +144x+4=0.
Soluzione. un=71; b=144 (numero pari); c=4.
Esempio 6) 9x 2 -30x+25=0.
Soluzione. un=9; b\u003d -30 (numero pari); c=25.
III. ax2+bx+c=0 – equazione quadrata tipo privato, fornito: a-b+c=0.
La prima radice è sempre meno uno e la seconda radice è meno Insieme a diviso per un:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
Esempio 7) 2x2+9x+7=0.
Soluzione. un=2; b=9; c=7. Verifichiamo l'uguaglianza: a-b+c=0. Noi abbiamo: 2-9+7=0 .
Quindi x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. Risposta: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – equazione quadratica di una forma particolare sotto la condizione : a+b+c=0.
La prima radice è sempre uguale a uno e la seconda radice è uguale a Insieme a diviso per un:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.
Esempio 8) 2x2 -9x+7=0.
Soluzione. un=2; b=-9; c=7. Verifichiamo l'uguaglianza: a+b+c=0. Noi abbiamo: 2-9+7=0 .
Quindi x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5. Risposta: 1; 3,5.
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1. Soluzione del sistema con il metodo della sostituzione.
2. Soluzione del sistema per addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.
Per risolvere il sistema di equazioni metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimiamo. Da qualsiasi equazione, esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo in un'altra equazione al posto della variabile espressa, il valore risultante.
3. Risolviamo l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.
Risolvere sistema per addizione termine per termine (sottrazione) bisogno:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo gli stessi coefficienti.
2. Aggiungiamo o sottraiamo le equazioni, di conseguenza otteniamo un'equazione con una variabile.
3. Risolviamo l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.
La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici della funzione.
Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.
Esempio 1:
2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)
1. Espresso
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con coefficiente 1, quindi risulta che è più facile esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10a
2. Dopo aver espresso, sostituiamo 3 + 10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10 anni)+5 anni=1
3. Risolviamo l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10a)+5a=1 (parentesi aperte)
6+20 anni+5 anni=1
25a=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è costituito da xey.Troviamo x, nel primo paragrafo dove abbiamo espresso sostituiamo y lì.
x=3+10a
x=3+10*(-0,2)=1
È consuetudine scrivere punti in primo luogo, scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)
Esempio n. 2:
3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)
1. Seleziona una variabile, diciamo di selezionare x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere i coefficienti uguali, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividere per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4 anni=2
2x-3a=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Dalla prima equazione, sottrai la seconda per eliminare la variabile x Risolvi l'equazione lineare.
__6x-4a=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Il punto di intersezione sarà x=4,6; y=6.4
Risposta: (4.6; 6.4)
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Nel corso di matematica di 7a elementare, si incontrano per la prima volta equazioni con due variabili, ma sono studiati solo nel contesto di sistemi di equazioni a due incognite. Ecco perché non ci sono più problemi in cui vengono introdotte determinate condizioni sui coefficienti dell'equazione che li limitano. Inoltre, vengono ignorati anche metodi per risolvere problemi come “Risolvi un'equazione in numeri naturali o interi”, sebbene problemi di questo tipo si incontrino sempre più spesso nei materiali USE e agli esami di ammissione.
Quale equazione sarà chiamata equazione con due variabili?
Quindi, ad esempio, le equazioni 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 o xy = 12 sono equazioni a due variabili.
Considera l'equazione 2x - y = 1. Si trasforma in una vera uguaglianza in x = 2 e y = 3, quindi questa coppia di valori variabili è la soluzione dell'equazione in esame.
Pertanto, la soluzione di qualsiasi equazione con due variabili è l'insieme delle coppie ordinate (x; y), i valori delle variabili che questa equazione trasforma in una vera uguaglianza numerica.
Un'equazione con due incognite può:
un) avere una soluzione. Ad esempio, l'equazione x 2 + 5y 2 = 0 ha unica decisione (0; 0);
b) avere più soluzioni. Ad esempio, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ha 4 soluzioni: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
in) non avere soluzioni. Ad esempio, l'equazione x 2 + y 2 + 1 = 0 non ha soluzioni;
G) avere infinite soluzioni. Ad esempio, x + y = 3. Le soluzioni di questa equazione saranno numeri la cui somma è 3. L'insieme delle soluzioni di questa equazione può essere scritto come (k; 3 - k), dove k è qualsiasi numero reale.
I metodi principali per risolvere le equazioni con due variabili sono metodi basati sulla fattorizzazione di espressioni, evidenziando il quadrato intero, utilizzando le proprietà di un'equazione quadratica, espressioni limitate e metodi di valutazione. L'equazione, di regola, viene trasformata in una forma da cui è possibile ottenere un sistema per trovare incognite.
Fattorizzazione
Esempio 1
Risolvi l'equazione: xy - 2 = 2x - y.
Soluzione.
Raggruppiamo i termini ai fini del factoring:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. Estrai il fattore comune da ciascuna parentesi:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. Abbiamo:
y = 2, x è un numero reale o x = -1, y è un numero reale.
In questo modo, la risposta sono tutte le coppie della forma (x; 2), x € R e (-1; y), y € R.
Uguaglianza a zero di numeri non negativi
Esempio 2
Risolvi l'equazione: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Soluzione.
Raggruppamento:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Ora ogni parentesi può essere compressa usando la formula della differenza quadrata.
(3x - 2) 2 + (2a - 3) 2 = 0.
La somma di due espressioni non negative è zero solo se 3x - 2 = 0 e 2y - 3 = 0.
Quindi x = 2/3 e y = 3/2.
Risposta: (2/3; 3/2).
Metodo di valutazione
Esempio 3
Risolvi l'equazione: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Soluzione.
In ogni parentesi, seleziona il quadrato completo:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Stima 
il significato delle espressioni tra parentesi.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 e (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, allora il lato sinistro dell'equazione è sempre almeno 2. L'uguaglianza è possibile se:
(x + 1) 2 + 1 = 1 e (y - 2) 2 + 2 = 2, quindi x = -1, y = 2.
Risposta: (-1; 2).
Facciamo conoscenza con un altro metodo per risolvere equazioni con due variabili di secondo grado. Questo metodo è che l'equazione è considerata come quadrato rispetto a qualche variabile.
Esempio 4
Risolvi l'equazione: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Soluzione.
Risolviamo l'equazione come quadratica rispetto a x. Troviamo il discriminante:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . L'equazione avrà una soluzione solo quando D = 0, cioè se y = 4. Sostituiamo il valore di y nell'equazione originale e troviamo che x = 3.
Risposta: (3; 4).
Spesso in equazioni con due incognite indicano restrizioni sulle variabili.
Esempio 5
Risolvi l'equazione in numeri interi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Soluzione.
Riscriviamo l'equazione come x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Parte destra l'equazione risultante, divisa per 5, dà un resto di 2. Pertanto, x 2 non è divisibile per 5. Ma il quadrato di un numero che non è divisibile per 5 dà un resto di 1 o 4. Quindi, l'uguaglianza è impossibile e non ci sono soluzioni.
Risposta: niente radici.
Esempio 6
Risolvi l'equazione: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Soluzione.
Selezioniamo i quadrati completi in ciascuna parentesi:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Il lato sinistro dell'equazione è sempre maggiore o uguale a 3. L'uguaglianza è possibile se |x| – 2 = 0 e y + 3 = 0. Quindi, x = ± 2, y = -3.
Risposta: (2; -3) e (-2; -3).
Esempio 7
Per ogni coppia di numeri interi negativi (x; y) che soddisfa l'equazione
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcola la somma (x + y). Rispondi alla cifra più piccola.
Soluzione.
Seleziona quadrati interi:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Poiché xey sono interi, anche i loro quadrati sono interi. La somma dei quadrati di due interi, pari a 37, si ottiene sommando 1 + 36. Pertanto:
(x - y) 2 = 36 e (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 e (y + 2) 2 = 36.
Risolvendo questi sistemi e tenendo conto che xey sono negativi, troviamo le soluzioni: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Risposta: -17.
Non disperare se hai difficoltà a risolvere equazioni con due incognite. Con un po' di pratica, sarai in grado di padroneggiare qualsiasi equazione.
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