A törtek összeadásának két típusa van:
Először tanuljuk meg a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadását. Itt minden egyszerű. Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Például vegyük össze a törteket és a . Adja hozzá a számlálókat, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
2. példa Adjunk hozzá törteket és .
A válasz helytelen törtnek bizonyult. Amikor eljön a feladat vége, szokás megválni a helytelen törtektől. Ahhoz, hogy megszabaduljon egy nem megfelelő törttől, ki kell választania annak teljes részét. Esetünkben az egész rész könnyen elkülöníthető - kettő osztva kettővel egyenlő:
Ez a példa könnyen érthető, ha egy két részre osztott pizzára emlékezünk. Ha több pizzát adsz a pizzához, egy egész pizzát kapsz:
3. példa. Adjunk hozzá törteket és .
Ismét összeadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlanul hagyjuk:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha több pizzát adsz a pizzához, akkor pizzát kapsz:
4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. A számlálókat hozzá kell adni, a nevezőt pedig változatlanul kell hagyni:
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, és még több pizzát adsz hozzá, akkor 1 egész pizzát és még egy pizzát kapsz.
Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek összeadásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
Most pedig tanuljuk meg, hogyan adjunk hozzá különböző nevezőkkel rendelkező törteket. Törtek összeadásakor a törtek nevezőinek azonosaknak kell lenniük. De nem mindig ugyanazok.
Például törtek adhatók hozzá, mert ugyanazok a nevezők.
De a törteket nem lehet azonnal összeadni, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell csökkenteni.
Többféle módon is csökkenthetjük a törteket ugyanarra a nevezőre. Ma csak az egyiket nézzük meg, mivel a többi módszer bonyolultnak tűnhet egy kezdő számára.
Ennek a módszernek az a lényege, hogy először mindkét tört nevezőjének LCM-jét keressük. Az LCM-et ezután elosztjuk az első tört nevezőjével, hogy megkapjuk az első további tényezőt. Ugyanezt teszik a második törttel is - az LCM-et elosztják a második tört nevezőjével, és egy második további tényezőt kapnak.
A törtek számlálóit és nevezőit ezután megszorozzuk a további tényezőkkel. Ezen műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törtek azonos nevezővel rendelkező törtekké alakulnak. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni.
1. példa. Adjuk össze a törteket és
Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének legkisebb közös többszörösét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 2. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 6
LCM (2 és 3) = 6
Most térjünk vissza a törtekhez és . Először ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével, és kapja meg az első további tényezőt. Az LCM a 6-os szám, az első tört nevezője pedig a 3. A 6-ot elosztjuk 3-mal, így 2-t kapunk.
A kapott 2-es szám az első további szorzó. Leírjuk az első törtre. Ehhez húzzon egy kis ferde vonalat a tört fölé, és írja fel a felette található további tényezőt:
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és megkapjuk a második járulékos tényezőt. Az LCM a 6-os szám, a második tört nevezője pedig a 2. A 6-ot elosztva 2-vel, 3-at kapunk.
Az így kapott 3 a második további szorzó. Felírjuk a második törtre. Ismét készítünk egy kis ferde vonalat a második tört fölé, és felírjuk a felette talált további tényezőt:
Most már minden készen áll a kiegészítésre. Továbbra is meg kell szorozni a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőkkel:
Nézd meg alaposan, mire jutottunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell ilyen törteket összeadni. Vegyük ezt a példát a végére:
Ezzel teljes a példa. Kiderül hozzá .
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát adsz egy pizzához, akkor egy egész pizzát és egy pizza másik hatodát kapod:
A törtek ugyanarra a (közös) nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. A törteket és a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezt a két frakciót ugyanazok a pizzadarabok képviselik. Az egyetlen különbség az lesz, hogy ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve).
Az első rajz egy töredéket (hatból négy darabot), a második pedig egy törtet (hatból három darabot) ábrázol. Ezeket a darabokat összeadva (hatból hét darabot) kapunk. Ez a tört nem megfelelő, ezért a teljes részt kiemeltük. Ennek eredményeként kaptunk (egy egész pizza és egy másik hatodik pizza).
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ezt a példát túl részletesen írtuk le. Az oktatási intézményekben nem szokás ilyen részletesen írni. Gyorsan meg kell találnia mindkét nevező és a hozzájuk tartozó további tényezők LCM-jét, valamint gyorsan meg kell szoroznia a talált további tényezőket a számlálóival és a nevezőivel. Az iskolában ezt a példát a következőképpen kell leírnunk:
De van az éremnek egy másik oldala is. Ha a matematika tanulmányozásának első szakaszában nem készít részletes jegyzeteket, akkor ilyen jellegű kérdések kezdenek megjelenni. „Honnan jön ez a szám?”, „Miért válnak a törtek hirtelen teljesen más törtté? «.
A különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának megkönnyítése érdekében kövesse az alábbi lépésenkénti utasításokat:
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
.
Használjuk a fenti utasításokat.
1. lépés. Keresse meg a törtek nevezőinek LCM-jét
Keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét! A törtek nevezői a 2, 3 és 4 számok
2. lépés: Ossza el az LCM-et az egyes törtek nevezőjével, és kapjon további tényezőt minden törthez
Ossza el az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 2. A 12-t elosztjuk 2-vel, így 6-ot kapunk. Az első további 6-os tényezőt kaptuk. Az első tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 12-t elosztjuk 3-mal, így 4-et kapunk. A második további 4-es tényezőt kapjuk. A második tört fölé írjuk:
Most elosztjuk az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a harmadik tört nevezője pedig a 4. A 12-t elosztjuk 4-gyel, így 3-at kapunk. A harmadik járulékos tényezőt 3-at kapjuk. A harmadik tört fölé írjuk:
3. lépés. Szorozzuk meg a törtek számlálóit és nevezőit további tényezőikkel
A számlálókat és a nevezőket megszorozzuk további tényezőikkel:
4. lépés: Adjon hozzá azonos nevezővel rendelkező törteket
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. Már csak ezeket a törteket kell összeadni. Add hozzá:
Az összeadás nem fért egy sorba, ezért a fennmaradó kifejezést áthelyeztük a következő sorba. Ez a matematikában megengedett. Ha egy kifejezés nem fér el egy sorba, akkor a következő sorba kerül, és egyenlőségjelet (=) kell tenni az első sor végére és az új sor elejére. A második sorban lévő egyenlőségjel azt jelzi, hogy ez az első sorban lévő kifejezés folytatása.
5. lépés: Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, jelölje ki benne a teljes részt
Nem megfelelő törtet kaptunk a válaszunkban. Ennek egy egész részét ki kell emelnünk. Kiemeljük:
Választ kaptunk
A törtek kivonásának két típusa van:
Először is, tanuljuk meg, hogyan kell kivonni a törteket hasonló nevezőkkel. Itt minden egyszerű. Ha egy törtből egy másikat szeretne kivonni, ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, de a nevezőt változatlannak kell hagynia.
Például keressük meg a kifejezés értékét. A példa megoldásához ki kell vonni a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlanul kell hagyni. Csináljuk:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely négy részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
2. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Ismét az első tört számlálójából vonjuk ki a második tört számlálóját, és hagyjuk változatlanul a nevezőt:
Ez a példa könnyen érthető, ha a pizzára emlékezünk, amely három részre oszlik. Ha pizzát vágsz ki egy pizzából, akkor pizzát kapsz:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ez a példa pontosan ugyanúgy van megoldva, mint az előzőek. Az első tört számlálójából ki kell vonni a fennmaradó törtek számlálóit:
Amint látja, nincs semmi bonyolult az azonos nevezőjű törtek kivonásában. Elég megérteni a következő szabályokat:
Például levonhat egy törtet a törtből, mert a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek. De nem lehet törtet kivonni a törtből, mivel ezeknek a törteknek más a nevezője. Ilyen esetekben a törteket ugyanarra a (közös) nevezőre kell redukálni.
A közös nevezőt ugyanazon az elv alapján találjuk meg, amelyet a különböző nevezőjű törtek összeadásakor használtunk. Először is keresse meg mindkét tört nevezőinek LCM-jét. Ezután az LCM-et elosztjuk az első tört nevezőjével, és megkapjuk az első további tényezőt, amelyet az első tört fölé írunk. Hasonlóképpen, az LCM-et elosztjuk a második tört nevezőjével, és egy második járulékos tényezőt kapunk, amelyet a második tört fölé írunk.
A törteket ezután megszorozzuk további tényezőikkel. E műveletek eredményeként a különböző nevezővel rendelkező törteket azonos nevezővel rendelkező törtekké alakítják. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket.
1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.
Először is megtaláljuk mindkét tört nevezőjének LCM-jét. Az első tört nevezője a 3, a másodiké pedig a 4. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 12
LCM (3 és 4) = 12
Most térjünk vissza a törtekhez és
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Ehhez el kell osztani az LCM-et az első tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, az első tört nevezője pedig a 3. Oszd el a 12-t 3-mal, így 4-et kapunk. Írj négyest az első tört fölé!
Ugyanezt tesszük a második törttel is. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 12-es szám, a második tört nevezője pedig a 4. Oszd el a 12-t 4-gyel, 3-at kapunk. Írj hármast a második tört fölé:
Most készen állunk a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek ugyanaz a nevezője. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Vegyük ezt a példát a végére:
Választ kaptunk
Próbáljuk meg rajz segítségével ábrázolni a megoldásunkat. Ha pizzát vágsz egy pizzából, akkor pizzát kapsz
Ez a megoldás részletes változata. Ha iskolában lennénk, ezt a példát rövidebben kellene megoldanunk. Egy ilyen megoldás így nézne ki:
A törtek közös nevezőre való redukálása kép segítségével is ábrázolható. Ezeket a törteket közös nevezőre redukálva megkaptuk a és a törteket. Ezeket a törtrészeket ugyanazok a pizzaszeletek képviselik, de ezúttal egyenlő részekre osztják őket (azonos nevezőre csökkentve):
Az első képen egy töredék látható (nyolc darab a tizenkettőből), a második képen pedig egy töredék (három darab a tizenkettőből). Nyolc darabból három darabot levágva a tizenkettőből öt darabot kapunk. A tört ezt az öt darabot írja le.
2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét 
Ezeknek a törteknek különböző nevezői vannak, ezért először le kell redukálni őket ugyanarra a (közös) nevezőre.
Keressük meg e törtek nevezőinek LCM-jét.
A törtek nevezői a 10, 3 és 5 számok. Ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a 30
LCM(10;3;5) = 30
Most minden törthez további tényezőket találunk. Ehhez el kell osztani az LCM-et az egyes törtek nevezőjével.
Keressünk egy további tényezőt az első törthez. Az LCM a 30-as szám, az első tört nevezője pedig a 10. A 30-at elosztva 10-zel kapjuk az első további 3-as tényezőt. Az első tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a második törthez. Ossza el az LCM-et a második tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a második tört nevezője pedig a 3. A 30-at elosztva 3-mal kapjuk a második további 10-es tényezőt. A második tört fölé írjuk:
Most találunk egy további tényezőt a harmadik törthez. Ossza el az LCM-et a harmadik tört nevezőjével. Az LCM a 30-as szám, a harmadik tört nevezője pedig az 5. A 30-at elosztva 5-tel kapjuk a harmadik további 6-os tényezőt. A harmadik tört fölé írjuk:
Most minden készen áll a kivonásra. Továbbra is meg kell szorozni a törteket további tényezőikkel:
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a különböző nevezőjű törtek olyan törtekké alakultak, amelyeknek azonos (közös) nevezője volt. És már tudjuk, hogyan kell kivonni az ilyen törteket. Fejezzük be ezt a példát.
A példa folytatása nem fér el egy sorba, ezért a folytatást áthelyezzük a következő sorba. Ne feledkezzünk meg az egyenlőségjelről (=) az új sorban:
A válasz szabályos törtnek bizonyult, és úgy tűnik, minden megfelel nekünk, de túl nehézkes és csúnya. Egyszerűbbé kellene tennünk. Mit lehet tenni? Lerövidítheti ezt a törtet.
A tört csökkentéséhez a számlálót és a nevezőt el kell osztani a 20 és 30 számokkal (GCD).
Tehát megtaláljuk a 20 és 30 számok gcd-jét:
Most visszatérünk a példánkhoz, és elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét a talált gcd-vel, azaz 10-zel
Választ kaptunk
Egy tört számmal való szorzásához meg kell szoroznia a tört számlálóját ezzel a számmal, és a nevezőt változatlanul kell hagynia.
1. példa. Szorozza meg a törtet 1-gyel.
Szorozzuk meg a tört számlálóját 1-gyel
A felvétel fele 1 idő alatt érthető. Például, ha egyszer pizzát veszel, akkor pizzát kapsz
A szorzás törvényeiből tudjuk, hogy ha a szorzót és a tényezőt felcseréljük, a szorzat nem változik. Ha a kifejezést így írjuk, akkor a szorzat továbbra is egyenlő lesz. Ismét működik az egész szám és a tört szorzásának szabálya:
Ez a jelölés úgy értelmezhető, hogy az egy felét veszi. Például, ha van 1 egész pizza és a felét kivesszük, akkor pizzánk lesz:
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg a tört számlálóját 4-gyel
A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy 4-szer kétnegyedet vesz. Például, ha veszel 4 pizzát, akkor két egész pizzát kapsz
És ha felcseréljük a szorzót és a szorzót, akkor a kifejezést kapjuk. Ez is egyenlő lesz 2-vel. Ez a kifejezés úgy értelmezhető, hogy négy egész pizzából két pizzát veszünk:
A törttel szorzott szám és a tört nevezője akkor lesz feloldva, ha van egynél nagyobb közös tényező.
Például egy kifejezést kétféleképpen lehet kiértékelni.
Első út. Szorozzuk meg a 4-et a tört számlálójával, és hagyjuk változatlanul a tört nevezőjét:
Második út. A négy szorozva és a négy a tört nevezőjében csökkenthető. Ezek a négyesek csökkenthetők 4-gyel, mivel két négyes legnagyobb közös osztója maga a négy:
Ugyanezt az eredményt kaptuk 3. A négyesek lecsökkentése után új számok alakulnak ki helyettük: két egyes. De ha egyet megszorozunk hárommal, majd oszt eggyel, az nem változtat semmit. Ezért a megoldást röviden leírhatjuk:
A csökkentés akkor is elvégezhető, ha az első módszer mellett döntöttünk, de a 4-es szám és a 3-as számláló szorzásának szakaszában a csökkentés mellett döntöttünk:
De például a kifejezés csak az első módon számítható ki - szorozza meg 7-et a tört nevezőjével, és hagyja változatlanul a nevezőt:
Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a 7-es számnak és a tört nevezőjének nincs egynél nagyobb közös osztója, és ennek megfelelően nem törlődnek.
Egyes tanulók tévedésből lerövidítik a szorzandó számot és a tört számlálóját. Ezt nem tudod megtenni. Például a következő bejegyzés helytelen:
A töredék csökkentése azt jelenti számlálót és nevezőt is osztva lesz ugyanazzal a számmal. A kifejezéssel kapcsolatos helyzetben az osztás csak a számlálóban történik, mivel ennek írása megegyezik az írással. Látjuk, hogy az osztás csak a számlálóban történik, a nevezőben nem történik osztás.
A törtek szorzásához meg kell szorozni a számlálóikat és a nevezőiket. Ha a válasz helytelen törtnek bizonyul, ki kell emelnie a teljes részét.
1. példa Keresse meg a kifejezés értékét.
Választ kaptunk. Ezt a hányadot célszerű csökkenteni. A tört 2-vel csökkenthető. Ekkor a végső oldat a következő formát ölti:
A kifejezés úgy értelmezhető, hogy egy fél pizzából pizzát veszünk. Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Hogyan lehet ebből a félből kétharmadot kivenni? Először ezt a felét három egyenlő részre kell osztania:
És ebből a három darabból vegyél kettőt:
Pizzát készítünk. Ne feledje, hogyan néz ki egy pizza, három részre osztva:
Ebből a pizzából egy darab és az általunk vett két darab azonos méretű lesz:
Vagyis azonos méretű pizzáról beszélünk. Ezért a kifejezés értéke
2. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz egy helytelen tört volt. Kiemeljük a teljes részt:
3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét
Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második tört számlálójával, az első tört nevezőjét pedig a második tört nevezőjével:
A válasz szabályos törtnek bizonyult, de jó lenne, ha lerövidítenék. Ennek a törtnek a csökkentéséhez el kell osztania ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a 105 és 450 számok legnagyobb közös osztójával (GCD).
Tehát keressük meg a 105 és 450 számok gcd-jét:
Most elosztjuk a válaszunk számlálóját és nevezőjét a most megtalált gcd-vel, azaz 15-tel
Bármely egész szám ábrázolható törtként. Például az 5-ös szám ábrázolható . Ez nem fogja megváltoztatni az öt jelentését, mivel a kifejezés azt jelenti, hogy „az ötös szám osztva eggyel”, és ez, mint tudjuk, egyenlő öttel:
Most egy nagyon érdekes matematikai témával fogunk megismerkedni. Ezt "fordított számoknak" hívják.
Meghatározás. Fordítva a számhoza egy olyan szám, amelyet ha megszorozunka ad egyet.
Helyettesítsük be ezt a definíciót a változó helyett a az 5-ös számot, és próbálja meg elolvasni a definíciót:
Fordítva a számhoz 5 egy olyan szám, amelyet ha megszorozunk 5 ad egyet.
Lehet-e találni olyan számot, amelyet 5-tel megszorozva egyet kapunk? Kiderül, hogy lehetséges. Képzeljük el az ötöt törtként:
Ezután szorozza meg ezt a törtet önmagával, csak cserélje fel a számlálót és a nevezőt. Más szóval, szorozzuk meg a törtet önmagával, csak fejjel lefelé:
Mi lesz ennek eredményeként? Ha folytatjuk a példa megoldását, egyet kapunk:
Ez azt jelenti, hogy az 5-ös szám inverze a szám, mivel ha 5-öt szorozunk, akkor egyet kapunk.
Egy szám reciproka bármely más egész számra is megtalálható.
Megtalálhatja bármely más tört reciprokát is. Ehhez csak fordítsa meg.
Tegyük fel, hogy van egy fél pizza:
Osszuk el egyenlő arányban kettő között. Mennyi pizzát kap egy ember?
Látható, hogy a pizza fele felosztása után két egyenlő darabot kaptunk, amelyek mindegyike egy-egy pizzát alkot. Szóval mindenki kap egy pizzát.
Több tört közös nevezője azoknak a természetes számoknak az LCM-je (legkisebb közös többszöröse), amelyek az adott törtek nevezői.
Az adott törtek számlálóihoz további tényezőket kell hozzáadni, amelyek megegyeznek az LCM és a megfelelő nevező arányával.
Az adott törtek számlálóit megszorozzuk a járulékos tényezőivel, így a törtek egyetlen közös nevezővel rendelkező számlálóit kapjuk. A közös nevezőre redukált törtek rögzítésekor a cselekvési jelek („+” vagy „-”) minden tört előtt eltárolódnak. A közös nevezővel rendelkező törtek esetében a cselekvési jelek minden csökkentett számláló előtt megmaradnak.
Csak most tudja összeadni vagy kivonni a számlálókat, és aláírni a közös nevezőt az eredmény alá.
Figyelem! Ha a kapott törtben a számlálónak és a nevezőnek közös tényezői vannak, akkor a törtet csökkenteni kell. Célszerű a nem megfelelő frakciót vegyes frakcióvá alakítani. Az összeadás vagy kivonás eredményének elhagyása a tört törlése nélkül, ahol lehetséges, a példa hiányos megoldása!
Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása. Szabály. Nak nek különböző nevezőjű törteket összeadni vagy kivonni, először csökkentenie kell őket a legkisebb közös nevezőre, majd végre kell hajtania az összeadást vagy kivonást, mint az azonos nevezővel rendelkező törteknél.
A törtek összeadhatók és kivonhatók is, ha a számlálóban betűk vannak.
A különböző nevezőjű törtek összeadásának szabályai nagyon egyszerűek.
Lépésről lépésre nézzük meg a különböző nevezőjű törtek összeadásának szabályait:
1. Keresse meg a nevezők LCM-jét (legkisebb közös többszörösét). A kapott LCM lesz a törtek közös nevezője;
2. Csökkentse a törteket közös nevezőre;
3. Adja hozzá a közös nevezőre csökkentett törteket.
Egy egyszerű példa segítségével megtanuljuk, hogyan kell alkalmazni a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásának szabályait.
Példa különböző nevezőjű törtek összeadására.
Különböző nevezőjű törtek hozzáadása:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Lépésről lépésre döntünk.
1. Keresse meg a nevezők LCM-jét (legkisebb közös többszörösét).
A 12-es szám osztható 6-tal.
Ebből arra következtetünk, hogy a 12 a 6 és 12 számok legkisebb közös többszöröse.
Válasz: a 6-os és 12-es számok száma 12:
LCM(6; 12) = 12
A kapott LCM lesz a közös nevező két tört 1/6 és 5/12 között.
2. Csökkentse a törteket közös nevezőre.
Példánkban csak az első törtet kell 12-es közös nevezőre redukálni, mert a második törtnek már 12-es a nevezője.
Osszuk el a 12 közös nevezőjét az első tört nevezőjével:
2-nek van egy további szorzója.
Szorozzuk meg az első tört (1/6) számlálóját és nevezőjét további 2-szeres tényezővel.
A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknős” aporia. Így hangzik:Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.
Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a mai napig folynak a viták a tudományos közösségben a paradoxonok lényegéről ... ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.
Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.
Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.
Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:
Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.
Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.
Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról szól:
A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.
Ebben az apóriában a logikai paradoxont nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire külön szeretném felhívni a figyelmet, az az, hogy két időpont és két térpont különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más kutatási lehetőséget biztosítanak.
A halmaz és a multihalmaz közötti különbségek nagyon jól le vannak írva a Wikipédián. Lássuk.
Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Ésszerű lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.
Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.
Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább: „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.
Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetéskészletét”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.
Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek megnyugtatni bennünket, hogy az azonos címletű váltószámok eltérőek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: a különböző érmékben különböző mennyiségű szennyeződés van, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi...
És most van a legérdekesebb kérdésem: hol van az a határ, amelyen túl a multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak, és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.
Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy multihalmazunk van. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.
Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, a matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ezért ők sámánok, hogy megtanítsák leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.
Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: „Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét!” A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok könnyen meg tudják oldani.
Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tehát legyen az 12345 szám. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.
1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot grafikus számszimbólummá alakítottuk át. Ez nem matematikai művelet.
2. Egy kapott képet több, egyedi számokat tartalmazó képre vágunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.
3. Alakítsa át az egyes grafikus szimbólumokat számokká. Ez nem matematikai művelet.
4. Adja hozzá a kapott számokat. Ez most a matematika.
Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a sámánok által tanított „szabás- és varrótanfolyamok”, amelyeket a matematikusok használnak. De ez még nem minden.
Matematikai szempontból nem mindegy, hogy melyik számrendszerben írunk egy számot. Tehát különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. Az 12345-ös nagy számmal nem akarom becsapni a fejem, vegyük figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem nézünk mikroszkóp alatt minden lépést, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.
Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez ugyanaz, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben határozná meg, teljesen más eredményeket kapna.
A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyek összege. Ez egy újabb érv amellett, hogy. Kérdés matematikusokhoz: hogyan jelölik ki a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül semmi sem létezik? Ezt megengedhetem a sámánoknak, de nem a tudósoknak. A valóság nem csak a számokból áll.
A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.
Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám nagyságától, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi ezt a műveletet.
Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek indefil szentségének tanulmányozására a mennybemenetelük során! Halo a tetején és nyíl felfelé. Milyen másik wc?
Női... A tetején lévő halo és a lefelé mutató nyíl férfi.
Ha egy ilyen dizájnművészeti alkotás naponta többször felvillan a szemed előtt,
Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:
Én személy szerint igyekszem mínusz négy fokot látni egy kakiló emberben (egy kép) (több képből álló kompozíció: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És szerintem ez a lány nem bolond, aki nem ismeri a fizikát. Csak erős sztereotípiája van a grafikus képek észlelésével kapcsolatban. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.
Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám hexadecimális jelöléssel. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, automatikusan egy számot és egy betűt egyetlen grafikus szimbólumként érzékelnek.
Hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadása és kivonása
Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása
A NOC fogalma
Törtek redukálása ugyanarra a nevezőre
Hogyan adjunk össze egy egész számot és egy törtet
1 Hasonló nevezővel rendelkező törtek összeadása és kivonása
Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, de a nevezőt változatlannak kell hagyni, például:
Az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagynia, például:
Vegyes törtek hozzáadásához külön-külön hozzá kell adni az egész részeket, majd hozzá kell adni a törtrészeiket, és az eredményt vegyes törtként kell írni,
Ha törtrészek hozzáadásakor nem megfelelő törtet kap, válassza ki belőle a teljes részt, és adja hozzá a teljes részhez, például:
2 Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása
A különböző nevezőjű törtek összeadásához vagy kivonásához először ugyanarra a nevezőre kell csökkentenie őket, majd a cikk elején leírtak szerint kell eljárnia. Több tört közös nevezője az LCM (legkisebb közös többszörös). Az egyes törtek számlálójához további tényezőket találunk, ha az LCM-et elosztjuk ennek a törtnek a nevezőjével. Később megnézünk egy példát, miután megértjük, mi az a NOC.
3 Legkisebb közös többszörös (LCM)
Két szám legkisebb közös többszöröse (LCM) az a legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható mindkét számmal. Néha az LCM szóban is megtalálható, de gyakrabban, különösen nagy számokkal való munka esetén, írásban kell megtalálnia az LCM-et a következő algoritmus segítségével:
Több szám LCM-jének megtalálásához a következőkre van szüksége:
Például keressük meg a 28-as és 21-es számok LCM-jét:
4 Törtek redukálása ugyanarra a nevezőre
Térjünk vissza a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásához.
Ha a törteket ugyanarra a nevezőre redukáljuk, ami egyenlő mindkét nevező LCM-jével, akkor ezeknek a törteknek a számlálóit meg kell szoroznunk további szorzók. Megtalálhatja őket, ha elosztja az LCM-et a megfelelő tört nevezőjével, például:
Így a törtek ugyanarra a kitevőre való redukálásához először meg kell találnia e törtek nevezőinek LCM-jét (vagyis a legkisebb számot, amely osztható mindkét nevezővel), majd további tényezőket kell hozzáadnia a törtek számlálóihoz. Ezeket úgy találhatja meg, hogy a közös nevezőt (CLD) elosztja a megfelelő tört nevezőjével. Ezután minden tört számlálóját meg kell szoroznia egy további tényezővel, és nevezőként az LCM-et kell megadnia.
5 Hogyan adjunk össze egész számot és törtet
Egész szám és tört összeadásához csak ezt a számot kell hozzáadni a tört elé, ami például vegyes törtet eredményez.
