Legyen egy lineáris rendszer algebrai egyenletek, amelyet meg kell oldani (keresse meg az xi ismeretlenek olyan értékeit, amelyek a rendszer minden egyenletét egyenlőséggé alakítják).
Tudjuk, hogy egy lineáris algebrai egyenletrendszer képes:
1) Nincsenek megoldásai (legyen nem ízületi).
2) Végtelen sok megoldásod legyen.
3) Van egyetlen döntés.
Mint emlékszünk, Cramer szabálya és mátrix módszer nem megfelelőek olyan esetekben, amikor a rendszer végtelen sok megoldást tartalmaz, vagy inkonzisztens. Gauss módszer – a legerősebb és legsokoldalúbb eszköz bármely lineáris egyenletrendszer megoldására, melyik minden esetben elvezet minket a válaszhoz! Maga a módszeralgoritmus mindhárom esetben ugyanúgy működik. Ha a Cramer és a mátrix módszerek determinánsok ismeretét igénylik, akkor a Gauss-módszer alkalmazásához csak az aritmetikai műveletek ismeretére van szükség, így az általános iskolások számára is elérhető.
Kiterjesztett mátrix transzformációk ( ez a rendszer mátrixa - egy mátrix, amely csak az ismeretlenek együtthatóiból, plusz egy szabad kifejezések oszlopából áll) Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Gauss-módszerben:
1) Val vel troki mátrixok Tud átrendezni néhány helyen.
2) ha arányosak jelentek meg (vagy léteznek) a mátrixban (mint különleges eset– azonos) sorok, akkor következik töröl Ezek a sorok egy kivételével a mátrixból származnak.
3) ha a transzformációk során egy nulla sor jelenik meg a mátrixban, akkor annak is lennie kell töröl.
4) a mátrix egy sora lehet szorozni (osztani) nullától eltérő számra.
5) a mátrix egy sorához adjunk hozzá egy másik karakterláncot, szorozzuk meg egy számmal, nullától eltérő.
A Gauss-módszerben az elemi transzformációk nem változtatják meg az egyenletrendszer megoldását.
A Gauss-módszer két szakaszból áll:
Ehhez hajtsa végre a következő lépéseket:
1) Tekintsük egy lineáris algebrai egyenletrendszer első egyenletét, és x 1 együtthatója egyenlő K-val. A második, harmadik stb. az egyenleteket a következőképpen alakítjuk át: minden egyenletet (az ismeretlenek együtthatói, beleértve a szabad tagokat is) elosztjuk az egyenletekben szereplő ismeretlen x 1 együtthatójával, és megszorozzuk K-val. Ezután az elsőt kivonjuk a második egyenlet (ismeretlenek és szabad tagok együtthatói). A második egyenletben szereplő x 1-re a 0 együtthatót kapjuk. A harmadik transzformált egyenletből kivonjuk az első egyenletet, amíg az első kivételével minden egyenlet ismeretlen x 1 együtthatója 0 lesz.
2) Térjünk át a következő egyenletre. Legyen ez a második egyenlet és az x 2 együtthatója egyenlő M-mel. Az összes „alsó” egyenletet a fent leírtak szerint járjuk el. Így az ismeretlen x 2 „alatt” minden egyenletben nullák lesznek.
3) Lépjen tovább a következő egyenletre, és így tovább, amíg egy utolsó ismeretlen és a transzformált szabad tag marad.
Példa.
Oldjuk meg a lineáris egyenletrendszert Gauss-módszerrel, ahogy egyes szerzők tanácsolják:
Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:
Nézzük a bal felső „lépést”. Nekünk kellene egy ott. A probléma az, hogy az első oszlopban egyáltalán nincsenek egységek, így a sorok átrendezése nem old meg semmit. Ilyen esetekben az egységet elemi transzformációval kell megszervezni. Ez általában többféleképpen is megtehető. Csináljuk:
1 lépés
. Az első sorhoz hozzáadjuk a második sort –1-gyel megszorozva. Vagyis a második sort gondolatban megszoroztuk –1-gyel, és összeadtuk az első és a második sort, míg a második sor nem változott.
Most a bal felső sarokban van a „mínusz egy”, ami nagyon jól áll nekünk. Bárki, aki szeretne +1-et kapni, végrehajthat egy további műveletet: az első sort szorozza meg –1-gyel (változtassa meg az előjelét).
2. lépés . Az 5-tel megszorzott első sort a második sorhoz adtuk.
3. lépés . Az első sort –1-gyel szorozták, ez elvileg a szépség miatt van. A harmadik vonal jelzése is megváltozott, és a második helyre került, így a második „lépcsőn” megvolt a szükséges egység.
4. lépés . A harmadik sort hozzáadtuk a másodikhoz, megszorozva 2-vel.
5. lépés . A harmadik sort 3-mal osztották.
A számítási hibára (ritkábban elírásra) utaló jel „rossz” lényeg. Vagyis ha valami (0 0 11 |23)-hoz hasonlót kaptunk alább, és ennek megfelelően 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, akkor nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy hiba történt az elemi alatt. átalakulások.
Tegyük meg fordítva a példák tervezésénél, magát a rendszert gyakran nem írják át, hanem az egyenleteket „közvetlenül az adott mátrixból veszik”. A fordított lépés, emlékeztetlek, alulról felfelé működik. BAN BEN ebben a példában ajándéknak bizonyult:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, tehát x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Válasz:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Oldjuk meg ugyanezt a rendszert a javasolt algoritmussal. Kapunk
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
A második egyenletet elosztjuk 5-tel, a harmadikat 3-mal.
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
A második és a harmadik egyenletet 4-gyel megszorozva kapjuk:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Vonjuk ki az első egyenletet a második és a harmadik egyenletből, így kapjuk:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Osszuk el a harmadik egyenletet 0,64-gyel:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Szorozzuk meg a harmadik egyenletet 0,4-gyel
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Kivonva a másodikat a harmadik egyenletből, egy „lépcsős” kiterjesztett mátrixot kapunk:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Így a számítások során felhalmozott hiba miatt x 3 = 0,96 vagy megközelítőleg 1 kapunk.
x 2 = 3 és x 1 = –1.
Így megoldva soha nem fog összezavarodni a számításokban és a számítási hibák ellenére megkapja az eredményt.
A lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásának ez a módszere könnyen programozható, és nem veszi figyelembe sajátos jellemzők együtthatók ismeretlenekre, mert a gyakorlatban (közgazdasági és műszaki számításoknál) nem egész együtthatókkal kell számolni.
Sok sikert! Találkozunk az osztályban! Oktató.
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Carl Friedrich Gauss, legnagyobb matematikus hosszú ideje tétovázott, a filozófia és a matematika között választott. Talán éppen ez a gondolkodásmód tette lehetővé számára, hogy ilyen észrevehető „örökséget” szerezzen a világtudományban. Különösen a „Gauss-módszer” létrehozásával ...
Ezen az oldalon közel 4 éve foglalkoztak cikkek az iskolai neveléssel, elsősorban a filozófia, a gyerekek tudatába bevezetett (félre)értés alapelvei felől. Jön a konkrétumok, példák és módszerek ideje... Úgy gondolom, hogy pontosan ez a megközelítés a megszokott, zavaros ill. fontos az élet területei jobb eredményeket adnak.
Mi emberek úgy vagyunk megtervezve, hogy bármennyit is beszélünk absztrakt gondolkodás, De megértés Mindig példákon keresztül történik. Ha nincs példa, akkor nem lehet felfogni az alapelveket... Ahogy a hegy tetejére sem lehet feljutni, csak úgy, hogy a lábától a teljes lejtőt végigjárjuk.
Ugyanez az iskolával: egyelőre élő történetek Nem elég, hogy ösztönösen továbbra is olyan helynek tekintjük, ahol a gyerekeket megtanítják megérteni.
Például a Gauss-módszer tanítása...
Rögtön leszögezem: a Gauss-módszer sokkal szélesebb körben alkalmazható például a megoldásnál lineáris egyenletrendszerek. Amiről beszélni fogunk, az 5. osztályban történik. Ez elindult, miután megértette melyiket, sokkal könnyebb megérteni a „haladóbb lehetőségeket”. Ebben a cikkben arról beszélünk Gauss módszere (módszere) egy sorozat összegének meghatározására
Itt van egy példa, amit az iskolából hoztam kisebbik fia, egy moszkvai gimnázium 5. osztályába jár.
Matek tanár segítségével interaktív tábla (modern módszerek tréning) bemutatta a gyerekeknek a kis Gauss „módszer megalkotásának” történetét.
Az iskolai tanár megkorbácsolta a kis Karlt (elavult módszer, manapság nem használják az iskolákban), mert ő
az 1-től 100-ig terjedő számok egymás utáni összeadása helyett keresse meg az összegüket megjegyezte hogy egy aritmetikai sorozat éleitől egyenlő távolságra lévő számpárok összeadódnak ugyanannak a számnak. például 100 és 1, 99 és 2. Miután megszámolta az ilyen párok számát, a kis Gauss szinte azonnal megoldotta a tanár által javasolt problémát. Amiért az elképedt nyilvánosság előtt kivégezték. Hogy mások elkedvetlenítsék a gondolkodást.
Mit csinált a kis Gauss? fejlett számérzék? Megjegyezte valamilyen funkciótállandó lépésű számsorok (számtani progresszió). ÉS pontosan ezt később nagy tudóssá tette, képes észrevenni, amelynek érzés, megértés ösztöne.
Ezért értékes, fejlesztő a matematika látás képességeáltalános különösen - absztrakt gondolkodás. Ezért a legtöbb szülő és munkaadó ösztönösen fontos tudományágnak tekinti a matematikát ...
„A matematikát aztán tanítani kell, mert az rendet tesz az elmében.
M. V. Lomonoszov".
A jövőbeli zseniket megkorbácsolók követői azonban a Módszert az ellenkezőjére fordították. Ahogy a felettesem mondta 35 évvel ezelőtt: „A kérdés megtanult.” Vagy ahogy a legkisebb fiam mondta tegnap Gauss módszeréről: „Talán nem érdemes ebből nagy tudományt csinálni, mi?”
A „tudósok” kreativitásának következményei láthatóak a jelenlegi iskolai matematika színvonalán, oktatásának színvonalán és a „Tudományok Királynőjének” többségi megértésében.
Azonban folytassuk...
Egy moszkvai gimnázium matematika tanára, aki Vilenkin szerint magyarázta a Gauss-módszert, megnehezítette a feladatot.
Mi van akkor, ha egy aritmetikai sorozat különbsége (lépése) nem egy, hanem egy másik szám? Például 20.
A probléma, amit az ötödik osztályosoknak adott:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Mielőtt megismerkednénk a gimnáziumi módszerrel, vessünk egy pillantást az internetre: hogyan csinálják ezt az iskolai tanárok és a matektanárok?
Egy jól ismert oktató a YOUTUBE csatornáján a következő érvelést adja:
"Írjuk fel a számokat 1-től 100-ig a következőképpen:
először egy számsor 1-től 50-ig, és szigorúan alatta egy másik számsor 50-től 100-ig, de fordított sorrendben."
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Kérjük, vegye figyelembe: az egyes számpárok összege a felső és az alsó sorból azonos és 101! Számoljuk meg a párok számát, ez 50, és szorozzuk meg egy pár összegét a párok számával! Voila: A kész a válasz!"
„Ha nem érted, ne haragudj!” – ismételte meg a tanár háromszor a magyarázat alatt. – Ezt a módszert 9. osztályban fogod alkalmazni!
Egy másik, kevésbé ismert oktató (a megtekintések számából ítélve) tudományosabb megközelítést alkalmaz, 5 pontból álló megoldási algoritmust kínál, amelyet sorban kell kitölteni.
Az avatatlanok számára az 5 a hagyományosan varázslatos Fibonacci-számok egyike. Az 5 lépéses módszer mindig tudományosabb, mint például a 6 lépéses módszer. ...És ez aligha véletlen, nagy valószínűséggel a Szerző a Fibonacci elmélet rejtett támogatója
Dana számtani progresszió: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Ugyanakkor emlékezni kell plusz egy szabály : a kapott hányadoshoz hozzá kell adnunk egyet: különben eggyel kisebb eredményt kapunk, mint a valódi párok száma: 42 + 1 = 43.
Ez a 4-től 256-ig tartó számtani haladás szükséges összege 6-os különbséggel!
A sorozat összegének megtalálásának problémája a következőképpen oldható meg:
20+40+60+ ... +460+480+500
egy moszkvai gimnázium 5. osztályában, Vilenkin tankönyve (fiam szerint).
Az előadás bemutatása után a matematikatanár mutatott néhány példát Gauss-módszerrel, és azt a feladatot adta az osztálynak, hogy keresse meg a számok összegét egy sorozatban 20-as lépésekben.
Ehhez a következőkre volt szükség:
Mint látható, ez kompaktabb és hatékony technika: a 3-as szám is a Fibonacci-sorozat tagja
A nagy matematikus határozottan a filozófiát választotta volna, ha előre látta volna, mivé változtatják „módszerét” követői német tanár, aki botokkal megkorbácsolta Karlt. Látta volna a „tanárok” szimbolikáját, dialektikus spirálját és halhatatlan butaságát, próbálja mérni az élő matematikai gondolkodás harmóniáját a félreértés algebrájával ....
Apropó: tudtad. hogy oktatási rendszerünk a 18. és 19. századi német iskolában gyökerezik?
De Gauss a matematikát választotta.
Mi a módszerének lényege?
BAN BEN egyszerűsítés. BAN BEN megfigyelése és megragadása egyszerű számminták. BAN BEN száraz iskolai aritmetikává alakítva érdekes és izgalmas tevékenység , aktiválja az agyban a folytatási vágyat, ahelyett, hogy blokkolná a költséges mentális tevékenységet.
Lehetséges-e a Gauss-féle „módosítások” valamelyikével kiszámítani egy aritmetikai sorozat számainak összegét azonnal? Az „algoritmusok” szerint a kis Karl garantáltan elkerüli a fenekelést, idegenkedést alakít ki a matematika iránt, és már az elején elnyomja kreatív impulzusait.
Miért tanácsolta az oktató olyan kitartóan az ötödikeseknek, hogy „ne féljenek a módszer félreértésétől”, meggyőzve őket arról, hogy már 9. osztályban megoldják az „ilyen” problémákat? Pszichológiailag írástudatlan cselekvés. Jó lépés volt megjegyezni: "Találkozunk már 5. osztályban lehet oldja meg azokat a problémákat, amelyeket csak 4 év alatt fog megoldani! Milyen nagyszerű ember vagy!”
A Gauss-módszer használatához elegendő a 3. szint, amikor a normál gyerekek már tudják, hogyan kell összeadni, szorozni és osztani 2-3 jegyű számokat. A problémák abból adódnak, hogy az „érintetlen” felnőtt tanárok képtelenek normális emberi nyelven elmagyarázni a legegyszerűbb dolgokat, nem is beszélve a matematikáról... Képtelenek felkelteni az emberek érdeklődését a matematika iránt, és teljesen elkedvetlenítik még azokat is, akik „ képes."
Vagy ahogy a fiam kommentálta: „nagy tudományt csinálok belőle”.
Feleségemmel ezt a „módszert” elmagyaráztuk gyermekünknek, úgy tűnik, még iskola előtt...
"Nézd, itt vannak a számok 1-től 100-ig. Mit látsz?"
Nem az a lényeg, hogy a gyerek pontosan mit lát. A trükk az, hogy rávegyük, hogy megnézze.
– Hogyan tudod összerakni őket? A fiú rájött, hogy az ilyen kérdéseket nem „csak úgy” teszik fel, és a kérdést „valahogy másként, másként, mint általában” kell nézni.
Nem baj, ha a gyerek azonnal látja a megoldást, nem valószínű. Fontos, hogy ő megszűnt félni a tekintetétől, vagy ahogy én mondom: „áthelyezte a feladatot”. Ez a megértéshez vezető út kezdete
"Mi a könnyebb: például 5 és 6 vagy 5 és 95 hozzáadása?" Vezető kérdés... De minden képzés abból adódik, hogy az embert a „válaszra” „vezetjük” – bármilyen, számára elfogadható módon.
Ebben a szakaszban már felmerülhetnek találgatások arról, hogyan lehet „takarékoskodni” a számításokon.
Csak utaltunk rá: nem a „frontális, lineáris” számolási módszer az egyetlen lehetséges. Ha egy gyerek ezt megérti, akkor később még sok ilyen módszert fog kitalálni, érdekes!!!És mindenképpen elkerüli a matematika „félreértéseit”, és nem fogja undorodni tőle. Megszerezte a győzelmet!
Ha gyermek fedezte fel hogy olyan számpárok összeadása, amelyek százat adnak össze, egy szelet tortán "számtani progresszió 1 különbséggel"- elég sivár és érdektelen dolog egy gyerek számára - hirtelen életet talált számára . A rend a káoszból alakult ki, és ez mindig lelkesedést vált ki: így készülünk!
Megválaszolandó kérdés: miért kell a gyereket a kapott belátás után ismét a száraz algoritmusok keretei közé terelni, amelyek ebben az esetben funkcionálisan is haszontalanok?!
Miért kell a hülye átírásokat erőltetni? sorszámok egy füzetben: hogy még a rátermettnek se legyen egyetlen esélye a megértésre? Statisztikailag persze, de a tömegoktatás a „statisztika” felé irányul...
És mégis, a 100-at adó számok összeadása sokkal elfogadhatóbb az elme számára, mint azok, amelyek 101-et adnak...
A „Gauss iskolai módszer” pontosan ezt követeli meg: ész nélkül hajtogatni a haladás középpontjától egyenlő távolságra lévő számpárok, Mindennek ellenére.
Mi van, ha megnézed?
Ennek ellenére a nulla az emberiség legnagyobb találmánya, amely több mint 2000 éves. A matematikatanárok pedig továbbra is figyelmen kívül hagyják őt.
Sokkal egyszerűbb egy 1-gyel kezdődő számsort 0-val kezdődő sorozattá alakítani. Az összeg nem változik, ugye? Abba kell hagynia a „tankönyvekben való gondolkodást”, és el kell kezdenie keresni...És nézze meg, hogy a 101-es összegű párok teljesen helyettesíthetők a 100-as összegű párokkal!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Hogy őszinte legyek, először attól a YouTube-oktatótól hallottam egy ilyen szabályról...
Mit tegyek, ha meg kell határoznom egy sorozat tagjainak számát?
Nézem a sorrendet:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
és ha teljesen elfáradt, akkor lépjen egy egyszerűbb sorra:
1, 2, 3, 4, 5
és úgy gondolom: ha 5-ből kivonsz egyet, akkor 4-et kapsz, de teljesen világos Látom 5 szám! Ezért hozzá kell adni egyet! A számérzék ben fejlődött ki Általános Iskola, azt sugallja: még ha van is egy egész Google a sorozat tagjaiból (10-től a századik hatványig), a minta ugyanaz marad.
Mi a fenének a szabályok?...
Hogy pár-három éven belül kitöltse a homloka és a tarkója közötti teret, és abbahagyja a gondolkodást? Hogyan keress kenyeret és vajat? Hiszen egyenletes sorokban haladunk a digitális gazdaság korszakába!
Nem véletlenül tettem fel egy képernyőképet a fiam notebookjából...
– Mi történt az osztályban?
„Nos, azonnal számoltam, felemeltem a kezem, de nem kérdezte, ezért, amíg a többiek számoltak, elkezdtem a házi feladatot, hogy ne veszítsem az időt (. ???), felhívott a fórumra, mondtam a választ."
– Így van, mutasd meg, hogyan oldottad meg – mondta a tanár. megmutattam. Azt mondta: "Rossz, úgy kell számolnod, ahogy mutattam!"
„Jó, hogy nem adott rossz jegyet, és a maguk módján írtam be a füzetembe a „megoldás menetét”.
Aligha utána azt az incidenst Carl Gauss nagy tiszteletet tapasztalt iskolai matematika tanára iránt. De ha tudta hogyan annak a tanárnak a követői eltorzítja a módszer lényegét...ordítana felháborodva és keresztül világszervezet szellemi tulajdon A WIPO elérte, hogy betiltsák jó hírnevét az iskolai tankönyvekben!
Miben fő hiba iskolai megközelítés? Vagy ahogy én fogalmaztam, az iskolai matematikatanárok bűne a gyerekek ellen?
Mit csinálnak az iskolai módszertanosok, akiknek túlnyomó többsége nem tud gondolkodni?
Módszereket és algoritmusokat hoznak létre (lásd). Ez védekező reakció, amely megvédi a tanárokat a kritikától („Minden a szerint történik...”), a gyerekeket pedig a megértéstől. És így - a tanárok kritizálásának vágyától!(A bürokratikus „bölcsesség” második származéka, a probléma tudományos megközelítése). Aki nem érti a jelentést, az inkább a saját félreértését fogja okolni, mint az iskolarendszer ostobaságát.
Ez történik: a szülők a gyerekeiket hibáztatják, a tanárok pedig... ugyanezt teszik azokkal a gyerekekkel, akik „nem értenek a matematikához!”
Okos vagy?
Mit csinált a kis Karl?
Teljesen szokatlan megközelítés egy képletfeladathoz. Ez az Ő megközelítésének lényege. Ez a fő dolog, amit az iskolában meg kell tanítani, hogy ne a tankönyvekkel, hanem a fejeddel gondolkodj. Természetesen van egy hangszeres alkatrész is, ami használható... keresésére egyszerűbb és hatékony módszerek fiókok.
Az iskolában azt tanítják, hogy Gauss módszere az, hogy
Mit, ha a sorozat elemeinek száma páratlan, mint a fiamhoz rendelt problémában?...
A "fogás" ebben az esetben az találnia kell egy „extra” számot a sorozatbanés add hozzá a párok összegéhez. Példánkban ez a szám 260.
Hogyan lehet észlelni? Minden számpár másolása füzetbe!(Ezért tette rá a tanár a gyerekeket arra az ostoba munkára, hogy "kreativitást" próbálnak tanítani Gauss-módszerrel... És ezért egy ilyen "módszer" gyakorlatilag nem alkalmazható nagy adatsoroknál, ÉS ezért van az nem a Gauss-módszer.)
A fiú másként viselkedett.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nem nehéz, igaz?
De a gyakorlatban ez még könnyebbé válik, ami lehetővé teszi, hogy 2-3 percet szánjon az orosz távérzékelésre, míg a többi „számol”. Ezenkívül megtartja a módszer lépéseinek számát: 5, ami nem teszi lehetővé, hogy a megközelítést tudománytalanság miatt kritizálják.
Nyilvánvalóan ez a megközelítés egyszerűbb, gyorsabb és univerzálisabb, a Módszer stílusában. De... a tanárnő nemhogy nem dicsérte meg, hanem átírásra is kényszerítette" a megfelelő módon"(lásd a képernyőképet). Vagyis kétségbeesett kísérletet tett arra, hogy elfojtsa a kreatív impulzusokat és a matematika megértésének képességét a gyökerénél! Nyilván azért, hogy később felvegyék oktatónak... Rossz embert támadott meg. ..
Mindent, amit olyan hosszan és unalmasan leírtam, egy normális gyereknek maximum fél óra alatt el lehet magyarázni. Példákkal együtt.
És úgy, hogy soha nem felejti el.
És lesz is lépés a megértés felé...nem csak matematikusok.
Valld be: életedben hányszor tettél hozzá Gauss-módszerrel? És én sose tettem!
De a megértés ösztöne, amely a tanulás folyamatában alakul ki (vagy kialszik). matematikai módszerek az iskolában... Ó!.. Ez valóban pótolhatatlan dolog!
Különösen az egyetemes digitalizáció korában, amelybe csendesen beléptünk a párt és a kormány szigorú vezetése alatt.
Igazságtalan és helytelen az ilyen tanítási stílusért járó felelősséget kizárólag az iskolai tanárokra hárítani. A rendszer érvényben van.
Néhány a tanárok megértik, hogy mi történik, de mit tegyenek? Oktatási törvény, szövetségi állami oktatási szabványok, módszerek, technológiai térképek leckék... Mindent „a szerint és az alapján” kell csinálni, és mindent dokumentálni kell. Lépjen félre – sorban állt, hogy kirúgják. Ne legyünk álszentek: a moszkvai tanárok fizetése nagyon jó... Ha kirúgnak, hová menjen?
Ezért ez az oldal nem az oktatásról. Ő kb egyéni oktatás, csak lehetséges módja kilépni a tömegből Z generáció ...
Ebben a cikkben a módszert lineáris egyenletrendszerek (SLAE) megoldási módszerének tekintjük. A módszer analitikus, azaz lehetővé teszi egy megoldási algoritmus beírását Általános nézet, majd helyettesítsen értékeket az ott található konkrét példákból. A mátrixmódszerrel vagy a Cramer-képletekkel ellentétben lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során olyanokkal is dolgozhatunk, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Vagy egyáltalán nincs meg nekik.
Először is fel kell írnunk az egyenletrendszerünket a Így néz ki. Vegyük a rendszert:
Az együtthatók táblázat formájában, a szabad kifejezések pedig külön oszlopban a jobb oldalon. A szabad kifejezéseket tartalmazó oszlop a kényelem kedvéért el van választva. Az ezt az oszlopot tartalmazó mátrixot kiterjesztettnek nevezzük.
Ezután az együtthatókkal rendelkező fő mátrixot egy felső háromszög alakúra kell redukálni. Ez a fő pontja a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának. Egyszerűen fogalmazva, bizonyos manipulációk után a mátrixnak úgy kell kinéznie, hogy a bal alsó része csak nullákat tartalmazzon:
Ezután, ha az új mátrixot ismét egyenletrendszerként írod fel, észre fogod venni, hogy az utolsó sor már tartalmazza az egyik gyök értékét, amelyet aztán behelyettesítenek a fenti egyenletbe, egy másik gyökér található, és így tovább.
Ez leginkább a Gauss-módszer szerinti megoldás leírása általános vázlat. Mi történik, ha hirtelen a rendszernek nincs megoldása? Vagy végtelenül sok van belőlük? Ezen és sok más kérdés megválaszolásához külön mérlegelni kell a Gauss-módszer megoldásában használt összes elemet.
Egyik sem rejtett jelentése nem a mátrixban. Ez egyszerűen egy kényelmes módja az adatok rögzítésének a vele végzett későbbi műveletekhez. Még az iskolásoknak sem kell félniük tőlük.
A mátrix mindig téglalap alakú, mert kényelmesebb. Még a Gauss-módszerben is, ahol minden egy háromszög alakú mátrix megalkotásán múlik, egy téglalap jelenik meg a bejegyzésben, csak nullákkal azon a helyen, ahol nincsenek számok. Lehet, hogy a nullákat nem írják le, de beleértettek.
A mátrixnak van mérete. A „szélessége” a sorok száma (m), a „hossza” az oszlopok száma (n). Ekkor az A mátrix méretét (a latin nagybetűket szokták jelölni) A m×n-ként jelöljük. Ha m=n, akkor ez a mátrix négyzet, és m=n a sorrendje. Ennek megfelelően az A mátrix bármely eleme jelölhető sor- és oszlopszámaival: a xy ; x - sorszám, változások, y - oszlopszám, változások.
B nem a döntés fő pontja. Elvileg minden művelet közvetlenül végrehajtható magával az egyenletekkel, de a jelölés sokkal körülményesebb lesz, és sokkal könnyebb lesz összezavarodni benne.
A mátrixnak is van determinánsa. Ez egy nagyon fontos jellemző. Nem kell most kideríteni a jelentését, egyszerűen megmutathatja, hogyan számítják ki, majd megmondhatja, hogy a mátrix mely tulajdonságait határozza meg. A determináns megtalálásának legegyszerűbb módja az átlók segítségével. A mátrixban képzeletbeli átlókat rajzolnak; az mindegyiken elhelyezkedő elemeket megszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk: jobbra lejtős átlók - pluszjellel, balra lejtéssel - mínusz előjellel.
Rendkívül fontos megjegyezni, hogy a determináns csak négyzetmátrixra számítható. Téglalap alakú mátrix esetén a következőket teheti: válassza ki a legkisebbet a sorok és az oszlopok számából (legyen k), majd véletlenszerűen jelöljön ki a mátrixban k oszlopot és k sort. A kijelölt oszlopok és sorok metszéspontjában elhelyezkedő elemek újat alkotnak négyzetmátrix. Ha egy ilyen mátrix determinánsa nem nulla szám, akkor az eredeti téglalap alakú mátrix alap-molljának nevezzük.
Mielőtt elkezdené egy egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldását, nem árt kiszámolni a determinánst. Ha kiderül, hogy nulla, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a mátrixnak vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs is. Ilyen szomorú esetben tovább kell menni, és megtudni a mátrix rangját.
Van olyan, hogy egy mátrix rangja. Ez a nem nulla determináns maximális sorrendje (ha emlékszünk az alap-mollra, akkor azt mondhatjuk, hogy egy mátrix rangja az alap-moll sorrendje).
A ranggal kapcsolatos helyzet alapján az SLAE a következőkre osztható:
A Gauss-módszer azért jó, mert a megoldás során vagy egyértelmû bizonyítást kapunk a rendszer inkonzisztenciájáról (nagy mátrixok determinánsainak kiszámítása nélkül), vagy egy végtelen számú megoldású rendszerre általános formájú megoldást.
Mielőtt közvetlenül a rendszer megoldásához kezdene, kevésbé nehézkessé és kényelmesebbé teheti a számításokat. Ezt elemi átalakításokkal érik el – úgy, hogy azok végrehajtása semmilyen módon nem változtatja meg a végső választ. Megjegyzendő, hogy a megadott elemi transzformációk egy része csak olyan mátrixokra érvényes, amelyek forrása az SLAE volt. Íme az átalakítások listája:
A könnyebb érthetőség érdekében érdemes ezt a folyamatot lépésről lépésre lebontani. Két sort vettünk a mátrixból:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Tegyük fel, hogy hozzá kell adni az elsőt a másodikhoz, meg kell szorozni a "-2" együtthatóval.
a" 21 = a 21 + -2 × a 11
a" 22 = a 22 + -2 × a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Ezután a mátrix második sora egy újra cserélődik, és az első változatlan marad.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Megjegyzendő, hogy a szorzási együtthatót úgy is meg lehet választani, hogy két sor összeadása következtében az új sor egyik eleme nullával egyenlő. Következésképpen lehetséges egy egyenlet egy olyan rendszerben, ahol eggyel kevesebb lesz az ismeretlen. És ha két ilyen egyenletet kapunk, akkor a műveletet meg lehet ismételni, és olyan egyenletet kapunk, amely kettővel kevesebb ismeretlent tartalmaz. És ha minden alkalommal nullára fordítja az összes, az eredeti alatti sor egy együtthatóját, akkor a lépcsőkhöz hasonlóan lemehet a mátrix legaljára, és kaphat egy egyenletet egy ismeretlennel. Ezt a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának nevezzük.
Legyen rendszer. M egyenlete és n ismeretlen gyöke van. A következőképpen írhatod:
A fő mátrixot a rendszer együtthatóiból állítják össze. A kibővített mátrixhoz hozzáadunk egy szabad kifejezéseket tartalmazó oszlopot, és az egyszerűség kedvéért egy sor választja el őket.
Most ugyanazt az átalakítási sorozatot hajtják végre, csak az első és a harmadik sor érintett. Ennek megfelelően az algoritmus minden lépésében az a 21 elemet 31-re cseréljük. Ezután minden megismétlődik egy 41, ... egy m1-re. Az eredmény egy mátrix, ahol a sorok első eleme nulla. Most el kell felejtenie az első sort, és ugyanazt az algoritmust kell végrehajtania, a második sortól kezdve:
Az algoritmust addig kell ismételni, amíg a k = (-a m,m-1 /a mm) együttható meg nem jelenik. Ez azt jelenti, hogy be utoljára az algoritmust csak az alsó egyenletre végeztük el. Most a mátrix úgy néz ki, mint egy háromszög, vagy lépcsős alakú. Az alsó sorban ott van az a mn × x n = b m egyenlőség. Ismert az együttható és a szabad tag, ezeken keresztül fejeződik ki a gyök: x n = b m /a mn. Az eredményül kapott gyöket behelyettesítjük a felső sorba, hogy megtaláljuk x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. És így tovább analógia útján: minden következő sorban van egy új gyökér, és miután elérte a rendszer „tetejét”, sok megoldást találhat. Ez lesz az egyetlen.
Ha az egyik mátrixsorban a szabad tag kivételével minden elem nulla, akkor az ennek a sornak megfelelő egyenlet 0 = b. Nincs megoldása. És mivel egy ilyen egyenlet benne van a rendszerben, akkor az egész rendszer megoldásainak halmaza üres, azaz degenerált.
Előfordulhat, hogy az adott háromszögmátrixban nincsenek olyan sorok, amelyekben az egyenlet egy együttható eleme és egy szabad tagja lenne. Csak olyan sorok vannak, amelyek átírva két vagy több változót tartalmazó egyenletnek tűnnek. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válasz általános megoldás formájában adható meg. Hogyan kell csinálni?
A mátrix minden változója alap és szabad változókra van felosztva. Az alapvetőek azok, amelyek a lépésmátrix sorainak „szélén” állnak. A többi ingyenes. Az általános megoldásban az alapváltozókat szabad változók formájában írjuk fel.
A kényelem kedvéért a mátrixot először visszaírják egy egyenletrendszerbe. Aztán az utolsóban, ahol pontosan csak egy alapváltozó maradt, az egyik oldalon marad, és minden más átkerül a másikra. Ez minden egyenletre egy alapváltozóval történik. Ezután a többi egyenletben, ahol lehetséges, az alapváltozó helyett a rá kapott kifejezést helyettesítjük. Ha az eredmény ismét csak egy alapváltozót tartalmazó kifejezés, akkor onnantól ismét kifejeződik, és így tovább, amíg minden alapváltozót szabad változókkal rendelkező kifejezésként fel nem írunk. Ez a SLAE általános megoldása.
Megtalálhatja a rendszer alapmegoldását is - adjon meg tetszőleges értéket a szabad változóknak, majd erre a konkrét esetre számítsa ki az alapváltozók értékeit. Végtelen számú konkrét megoldás adható.
Itt van egy egyenletrendszer.
A kényelem érdekében jobb, ha azonnal létrehozza a mátrixát
Ismeretes, hogy Gauss-módszerrel megoldva az első sornak megfelelő egyenlet változatlan marad a transzformációk végén. Ezért jövedelmezőbb lesz, ha a mátrix bal felső eleme a legkisebb - akkor a műveletek után a fennmaradó sorok első elemei nullára fordulnak. Ez azt jelenti, hogy az összeállított mátrixban előnyös lesz az első sor helyett a második sort tenni.
második sor: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24
harmadik sor: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57
Most, hogy ne keveredjen össze, fel kell írnia egy mátrixot a transzformációk közbenső eredményeivel.
Nyilvánvaló, hogy egy ilyen mátrix bizonyos műveletek segítségével kényelmesebbé tehető az észleléshez. Például eltávolíthatja az összes „mínuszt” a második sorból, ha minden elemet „-1”-gyel megszoroz.
Azt is érdemes megjegyezni, hogy a harmadik sorban minden elem három többszöröse. Ezután lerövidítheti a karakterláncot ezzel a számmal, minden elemet megszorozva "-1/3"-mal (mínusz - ugyanakkor a negatív értékek eltávolításához).
Sokkal szebben néz ki. Most békén kell hagynunk az első sort, és dolgozni a másodikkal és a harmadikkal. A feladat az, hogy a második sort hozzá kell adni a harmadikhoz, megszorozva olyan együtthatóval, hogy az a 32 elem nullával egyenlő legyen.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ha néhány transzformáció során a válasz nem egész szám, akkor ajánlott a számítások pontosságának megőrzése a kilépéshez „ahogy van”, formában közönséges tört, és csak ezután, a válaszok beérkezése után döntse el, hogy kerekíti-e, és átváltja-e egy másik rögzítési formára)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7
A mátrix újra új értékekkel íródik.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Amint látható, a kapott mátrixnak már van lépcsős formája. Ezért nincs szükség a rendszer további átalakításaira a Gauss-módszerrel. Itt annyit tehet, hogy eltávolítja a "-1/7" általános együtthatót a harmadik sorból.
Most minden gyönyörű. Nincs más hátra, mint a mátrix újraírása egyenletrendszer formájában, és a gyökök kiszámítása
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Azt az algoritmust, amellyel a gyököket most megtaláljuk, a Gauss-módszerben fordított mozgásnak nevezzük. A (3) egyenlet tartalmazza a z értéket:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
És az első egyenlet lehetővé teszi, hogy megtaláljuk x-et:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3
Jogunk van egy ilyen rendszert együttesnek, sőt határozottnak nevezni, vagyis egyedi megoldással. A választ a következő formában írjuk:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának változatát elemeztük, most azt az esetet kell figyelembe venni, ha a rendszer bizonytalan, vagyis végtelenül sok megoldást találhatunk rá.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Már a rendszer megjelenése is riasztó, mert az ismeretlenek száma n = 5, és a rendszermátrix rangja már pontosan kisebb ennél, mert a sorok száma m = 4, azaz a determinánsnégyzet legnagyobb sorrendje 4. Ez azt jelenti, hogy végtelen sok megoldás létezik, és meg kell keresni az általános megjelenését. A lineáris egyenletek Gauss-módszere lehetővé teszi ezt.
Először, mint általában, egy kiterjesztett mátrixot állítanak össze.
Második sor: együttható k = (-a 21 /a 11) = -3. A harmadik sorban az első elem az átalakítások előtt van, tehát nem kell hozzányúlni semmihez, hanem úgy kell hagyni, ahogy van. Negyedik sor: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Ha az első sor elemeit egymás után megszorozzuk az egyes együtthatóikkal, és hozzáadjuk a szükséges sorokhoz, a következő alakú mátrixot kapjuk:
Mint látható, a második, harmadik és negyedik sor egymással arányos elemekből áll. A második és a negyedik általában megegyezik, így az egyiket azonnal eltávolíthatjuk, a maradékot pedig megszorozzuk a „-1” együtthatóval, és megkapjuk a 3-as sort. És ismét két azonos sorból hagyjunk egyet.
Az eredmény egy ilyen mátrix. Bár a rendszert még nem írták le, itt meg kell határozni az alapvető változókat - az a 11 = 1 és a 22 = 1 együtthatónál állókat, illetve a szabadokat - a többit.
A második egyenletben csak egy alapváltozó van - x 2. Ez azt jelenti, hogy onnantól az x 3, x 4, x 5 változókon keresztül írva kifejezhető, amelyek szabadok.
A kapott kifejezést behelyettesítjük az első egyenletbe.
Az eredmény egy egyenlet, amelyben az egyetlen alapváltozó x 1. Tegyük meg vele ugyanazt, mint az x 2-vel.
Minden alapváltozó, amelyből kettő van, három szabad változóval van kifejezve, most már általános formában is megírhatja a választ.
Megadhatja a rendszer egyik konkrét megoldását is. Ilyen esetekben általában nullákat választanak a szabad változók értékeként. Akkor ez lesz a válasz:
16, 23, 0, 0, 0.
Megoldás nem kompatibilis rendszerek egyenletek Gauss-módszerrel - a leggyorsabb. Azonnal véget ér, amint az egyik szakaszban olyan egyenletet kapunk, amelynek nincs megoldása. Vagyis a gyökerek kiszámításának szakasza, amely meglehetősen hosszú és fárasztó, megszűnik. A következő rendszert veszik figyelembe:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Szokás szerint a mátrix összeállítása:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
És lépésenkénti formára redukálódik:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Az első transzformáció után a harmadik sor a forma egyenletét tartalmazza
megoldás nélkül. Következésképpen a rendszer inkonzisztens, és a válasz az üres halmaz lesz.
Ha kiválasztja, hogy melyik módszert oldja meg az SLAE-k papíron egy tollal, akkor az ebben a cikkben tárgyalt módszer tűnik a legvonzóbbnak. Sokkal nehezebb összezavarodni az elemi transzformációkban, mintha kézzel kellene keresni egy determinánst vagy valami trükkös inverz mátrixot. Ha azonban programokat használ az ilyen típusú adatokkal való munkavégzéshez, például táblázatokat, akkor kiderül, hogy az ilyen programok már tartalmaznak algoritmusokat a mátrixok fő paramétereinek - determináns, minor, inverz és így tovább - kiszámításához. És ha biztos abban, hogy a gép ezeket az értékeket maga is kiszámítja, és nem hibázik, akkor célszerűbb a mátrix módszert vagy a Cramer-képleteket használni, mert ezek használata a determinánsok kiszámításával kezdődik és végződik. inverz mátrixok.
Mivel a Gauss-féle megoldás egy algoritmus, a mátrix pedig valójában egy kétdimenziós tömb, programozásban használható. De mivel a cikk „a bábuknak” szóló útmutatónak tekinti magát, el kell mondanunk, hogy a módszert legegyszerűbben táblázatokba, például Excelbe lehet helyezni. Az Excel ismét kétdimenziós tömbnek tekinti a táblázatba mátrix formájában beírt SLAE-ket. A velük végzett műveletekhez pedig sok szép parancs létezik: összeadás (csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá!), szorzás számmal, mátrixok szorzása (bizonyos megkötésekkel is), az inverz és transzponált mátrixok megtalálása és ami a legfontosabb , a determináns kiszámítása. Ha ezt az időigényes feladatot egyetlen paranccsal helyettesítjük, sokkal gyorsabban meg lehet határozni a mátrix rangját, és így megállapítható a kompatibilitása vagy inkompatibilitása.
Ebben a cikkben a módszert lineáris egyenletrendszerek (SLAE) megoldási módszerének tekintjük. A módszer analitikus, azaz lehetővé teszi egy megoldási algoritmus írását általános formában, majd az ott található konkrét példákból helyettesítő értékeket. A mátrixmódszerrel vagy a Cramer-képletekkel ellentétben lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során olyanokkal is dolgozhatunk, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Vagy egyáltalán nincs meg nekik.
Először is fel kell írnunk az egyenletrendszerünket a Így néz ki. Vegyük a rendszert:
Az együtthatók táblázat formájában, a szabad kifejezések pedig külön oszlopban a jobb oldalon. A szabad kifejezéseket tartalmazó oszlop a kényelem kedvéért el van választva. Az ezt az oszlopot tartalmazó mátrixot kiterjesztettnek nevezzük.
Ezután az együtthatókkal rendelkező fő mátrixot egy felső háromszög alakúra kell redukálni. Ez a fő pontja a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának. Egyszerűen fogalmazva, bizonyos manipulációk után a mátrixnak úgy kell kinéznie, hogy a bal alsó része csak nullákat tartalmazzon:
Ezután, ha az új mátrixot ismét egyenletrendszerként írod fel, észre fogod venni, hogy az utolsó sor már tartalmazza az egyik gyök értékét, amelyet aztán behelyettesítenek a fenti egyenletbe, egy másik gyökér található, és így tovább.
Ez a megoldás Gauss-módszerrel történő leírása a legáltalánosabb értelemben. Mi történik, ha hirtelen a rendszernek nincs megoldása? Vagy végtelenül sok van belőlük? Ezen és sok más kérdés megválaszolásához külön mérlegelni kell a Gauss-módszer megoldásában használt összes elemet.
A mátrixban nincs rejtett jelentés. Ez egyszerűen egy kényelmes módja az adatok rögzítésének a vele végzett későbbi műveletekhez. Még az iskolásoknak sem kell félniük tőlük.
A mátrix mindig téglalap alakú, mert kényelmesebb. Még a Gauss-módszerben is, ahol minden egy háromszög alakú mátrix megalkotásán múlik, egy téglalap jelenik meg a bejegyzésben, csak nullákkal azon a helyen, ahol nincsenek számok. Lehet, hogy a nullákat nem írják le, de beleértettek.
A mátrixnak van mérete. A „szélessége” a sorok száma (m), a „hossza” az oszlopok száma (n). Ekkor az A mátrix méretét (a latin nagybetűket szokták jelölni) A m×n-ként jelöljük. Ha m=n, akkor ez a mátrix négyzet, és m=n a sorrendje. Ennek megfelelően az A mátrix bármely eleme jelölhető sor- és oszlopszámaival: a xy ; x - sorszám, változások, y - oszlopszám, változások.
B nem a döntés fő pontja. Elvileg minden művelet közvetlenül végrehajtható magával az egyenletekkel, de a jelölés sokkal körülményesebb lesz, és sokkal könnyebb lesz összezavarodni benne.
A mátrixnak is van determinánsa. Ez egy nagyon fontos jellemző. Nem kell most kideríteni a jelentését, egyszerűen megmutathatja, hogyan számítják ki, majd megmondhatja, hogy a mátrix mely tulajdonságait határozza meg. A determináns megtalálásának legegyszerűbb módja az átlók segítségével. A mátrixban képzeletbeli átlókat rajzolnak; az mindegyiken elhelyezkedő elemeket megszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk: jobbra lejtős átlók - pluszjellel, balra lejtéssel - mínusz előjellel.
Rendkívül fontos megjegyezni, hogy a determináns csak négyzetmátrixra számítható. Téglalap alakú mátrix esetén a következőket teheti: válassza ki a legkisebbet a sorok és az oszlopok számából (legyen k), majd véletlenszerűen jelöljön ki a mátrixban k oszlopot és k sort. A kijelölt oszlopok és sorok metszéspontjában lévő elemek új négyzetmátrixot alkotnak. Ha egy ilyen mátrix determinánsa nem nulla szám, akkor az eredeti téglalap alakú mátrix alap-molljának nevezzük.
Mielőtt elkezdené egy egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldását, nem árt kiszámolni a determinánst. Ha kiderül, hogy nulla, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a mátrixnak vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs is. Ilyen szomorú esetben tovább kell menni, és megtudni a mátrix rangját.
Van olyan, hogy egy mátrix rangja. Ez a nem nulla determináns maximális sorrendje (ha emlékszünk az alap-mollra, akkor azt mondhatjuk, hogy egy mátrix rangja az alap-moll sorrendje).
A ranggal kapcsolatos helyzet alapján az SLAE a következőkre osztható:
A Gauss-módszer azért jó, mert a megoldás során vagy egyértelmû bizonyítást kapunk a rendszer inkonzisztenciájáról (nagy mátrixok determinánsainak kiszámítása nélkül), vagy egy végtelen számú megoldású rendszerre általános formájú megoldást.
Mielőtt közvetlenül a rendszer megoldásához kezdene, kevésbé nehézkessé és kényelmesebbé teheti a számításokat. Ezt elemi átalakításokkal érik el – úgy, hogy azok végrehajtása semmilyen módon nem változtatja meg a végső választ. Megjegyzendő, hogy a megadott elemi transzformációk egy része csak olyan mátrixokra érvényes, amelyek forrása az SLAE volt. Íme az átalakítások listája:
A könnyebb érthetőség érdekében érdemes ezt a folyamatot lépésről lépésre lebontani. Két sort vettünk a mátrixból:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Tegyük fel, hogy hozzá kell adni az elsőt a másodikhoz, meg kell szorozni a "-2" együtthatóval.
a" 21 = a 21 + -2 × a 11
a" 22 = a 22 + -2 × a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Ezután a mátrix második sora egy újra cserélődik, és az első változatlan marad.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Megjegyzendő, hogy a szorzási együtthatót úgy is meg lehet választani, hogy két sor összeadása következtében az új sor egyik eleme nullával egyenlő. Következésképpen lehetséges egy egyenlet egy olyan rendszerben, ahol eggyel kevesebb lesz az ismeretlen. És ha két ilyen egyenletet kapunk, akkor a műveletet meg lehet ismételni, és olyan egyenletet kapunk, amely kettővel kevesebb ismeretlent tartalmaz. És ha minden alkalommal nullára fordítja az összes, az eredeti alatti sor egy együtthatóját, akkor a lépcsőkhöz hasonlóan lemehet a mátrix legaljára, és kaphat egy egyenletet egy ismeretlennel. Ezt a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának nevezzük.
Legyen rendszer. M egyenlete és n ismeretlen gyöke van. A következőképpen írhatod:
A fő mátrixot a rendszer együtthatóiból állítják össze. A kibővített mátrixhoz hozzáadunk egy szabad kifejezéseket tartalmazó oszlopot, és az egyszerűség kedvéért egy sor választja el őket.
Most ugyanazt az átalakítási sorozatot hajtják végre, csak az első és a harmadik sor érintett. Ennek megfelelően az algoritmus minden lépésében az a 21 elemet 31-re cseréljük. Ezután minden megismétlődik egy 41, ... egy m1-re. Az eredmény egy mátrix, ahol a sorok első eleme nulla. Most el kell felejtenie az első sort, és ugyanazt az algoritmust kell végrehajtania, a második sortól kezdve:
Az algoritmust addig kell ismételni, amíg a k = (-a m,m-1 /a mm) együttható meg nem jelenik. Ez azt jelenti, hogy az algoritmus legutóbbi végrehajtása csak az alsó egyenletre volt. Most a mátrix úgy néz ki, mint egy háromszög, vagy lépcsős alakú. Az alsó sorban ott van az a mn × x n = b m egyenlőség. Ismert az együttható és a szabad tag, ezeken keresztül fejeződik ki a gyök: x n = b m /a mn. Az eredményül kapott gyöket behelyettesítjük a felső sorba, hogy megtaláljuk x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. És így tovább analógia útján: minden következő sorban van egy új gyökér, és miután elérte a rendszer „tetejét”, sok megoldást találhat. Ez lesz az egyetlen.
Ha az egyik mátrixsorban a szabad tag kivételével minden elem nulla, akkor az ennek a sornak megfelelő egyenlet 0 = b. Nincs megoldása. És mivel egy ilyen egyenlet benne van a rendszerben, akkor az egész rendszer megoldásainak halmaza üres, azaz degenerált.
Előfordulhat, hogy az adott háromszögmátrixban nincsenek olyan sorok, amelyekben az egyenlet egy együttható eleme és egy szabad tagja lenne. Csak olyan sorok vannak, amelyek átírva két vagy több változót tartalmazó egyenletnek tűnnek. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válasz általános megoldás formájában adható meg. Hogyan kell csinálni?
A mátrix minden változója alap és szabad változókra van felosztva. Az alapvetőek azok, amelyek a lépésmátrix sorainak „szélén” állnak. A többi ingyenes. Az általános megoldásban az alapváltozókat szabad változók formájában írjuk fel.
A kényelem kedvéért a mátrixot először visszaírják egy egyenletrendszerbe. Aztán az utolsóban, ahol pontosan csak egy alapváltozó maradt, az egyik oldalon marad, és minden más átkerül a másikra. Ez minden egyenletre egy alapváltozóval történik. Ezután a többi egyenletben, ahol lehetséges, az alapváltozó helyett a rá kapott kifejezést helyettesítjük. Ha az eredmény ismét csak egy alapváltozót tartalmazó kifejezés, akkor onnantól ismét kifejeződik, és így tovább, amíg minden alapváltozót szabad változókkal rendelkező kifejezésként fel nem írunk. Ez a SLAE általános megoldása.
Megtalálhatja a rendszer alapmegoldását is - adjon meg tetszőleges értéket a szabad változóknak, majd erre a konkrét esetre számítsa ki az alapváltozók értékeit. Végtelen számú konkrét megoldás adható.
Itt van egy egyenletrendszer.
A kényelem érdekében jobb, ha azonnal létrehozza a mátrixát
Ismeretes, hogy Gauss-módszerrel megoldva az első sornak megfelelő egyenlet változatlan marad a transzformációk végén. Ezért jövedelmezőbb lesz, ha a mátrix bal felső eleme a legkisebb - akkor a műveletek után a fennmaradó sorok első elemei nullára fordulnak. Ez azt jelenti, hogy az összeállított mátrixban előnyös lesz az első sor helyett a második sort tenni.
második sor: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24
harmadik sor: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57
Most, hogy ne keveredjen össze, fel kell írnia egy mátrixot a transzformációk közbenső eredményeivel.
Nyilvánvaló, hogy egy ilyen mátrix bizonyos műveletek segítségével kényelmesebbé tehető az észleléshez. Például eltávolíthatja az összes „mínuszt” a második sorból, ha minden elemet „-1”-gyel megszoroz.
Azt is érdemes megjegyezni, hogy a harmadik sorban minden elem három többszöröse. Ezután lerövidítheti a karakterláncot ezzel a számmal, minden elemet megszorozva "-1/3"-mal (mínusz - ugyanakkor a negatív értékek eltávolításához).
Sokkal szebben néz ki. Most békén kell hagynunk az első sort, és dolgozni a másodikkal és a harmadikkal. A feladat az, hogy a második sort hozzá kell adni a harmadikhoz, megszorozva olyan együtthatóval, hogy az a 32 elem nullával egyenlő legyen.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ha néhány transzformáció során a válasz nem egész szám, akkor ajánlott a számítások pontosságának megőrzése a kilépéshez „ahogy van”, közönséges törtek formájában, és csak ezután, a válaszok beérkezése után döntse el, hogy kerekíti-e, és átváltja-e egy másik rögzítési formára)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7
A mátrix újra új értékekkel íródik.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Amint látható, a kapott mátrixnak már van lépcsős formája. Ezért nincs szükség a rendszer további átalakításaira a Gauss-módszerrel. Itt annyit tehet, hogy eltávolítja a "-1/7" általános együtthatót a harmadik sorból.
Most minden gyönyörű. Nincs más hátra, mint a mátrix újraírása egyenletrendszer formájában, és a gyökök kiszámítása
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Azt az algoritmust, amellyel a gyököket most megtaláljuk, a Gauss-módszerben fordított mozgásnak nevezzük. A (3) egyenlet tartalmazza a z értéket:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
És az első egyenlet lehetővé teszi, hogy megtaláljuk x-et:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3
Jogunk van egy ilyen rendszert együttesnek, sőt határozottnak nevezni, vagyis egyedi megoldással. A választ a következő formában írjuk:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának változatát elemeztük, most azt az esetet kell figyelembe venni, ha a rendszer bizonytalan, vagyis végtelenül sok megoldást találhatunk rá.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Már a rendszer megjelenése is riasztó, mert az ismeretlenek száma n = 5, és a rendszermátrix rangja már pontosan kisebb ennél, mert a sorok száma m = 4, azaz a determinánsnégyzet legnagyobb sorrendje 4. Ez azt jelenti, hogy végtelen sok megoldás létezik, és meg kell keresni az általános megjelenését. A lineáris egyenletek Gauss-módszere lehetővé teszi ezt.
Először, mint általában, egy kiterjesztett mátrixot állítanak össze.
Második sor: együttható k = (-a 21 /a 11) = -3. A harmadik sorban az első elem az átalakítások előtt van, tehát nem kell hozzányúlni semmihez, hanem úgy kell hagyni, ahogy van. Negyedik sor: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Ha az első sor elemeit egymás után megszorozzuk az egyes együtthatóikkal, és hozzáadjuk a szükséges sorokhoz, a következő alakú mátrixot kapjuk:
Mint látható, a második, harmadik és negyedik sor egymással arányos elemekből áll. A második és a negyedik általában megegyezik, így az egyiket azonnal eltávolíthatjuk, a maradékot pedig megszorozzuk a „-1” együtthatóval, és megkapjuk a 3-as sort. És ismét két azonos sorból hagyjunk egyet.
Az eredmény egy ilyen mátrix. Bár a rendszert még nem írták le, itt meg kell határozni az alapvető változókat - az a 11 = 1 és a 22 = 1 együtthatónál állókat, illetve a szabadokat - a többit.
A második egyenletben csak egy alapváltozó van - x 2. Ez azt jelenti, hogy onnantól az x 3, x 4, x 5 változókon keresztül írva kifejezhető, amelyek szabadok.
A kapott kifejezést behelyettesítjük az első egyenletbe.
Az eredmény egy egyenlet, amelyben az egyetlen alapváltozó x 1. Tegyük meg vele ugyanazt, mint az x 2-vel.
Minden alapváltozó, amelyből kettő van, három szabad változóval van kifejezve, most már általános formában is megírhatja a választ.
Megadhatja a rendszer egyik konkrét megoldását is. Ilyen esetekben általában nullákat választanak a szabad változók értékeként. Akkor ez lesz a válasz:
16, 23, 0, 0, 0.
Az inkompatibilis egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása a leggyorsabb. Azonnal véget ér, amint az egyik szakaszban olyan egyenletet kapunk, amelynek nincs megoldása. Vagyis a gyökerek kiszámításának szakasza, amely meglehetősen hosszú és fárasztó, megszűnik. A következő rendszert veszik figyelembe:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Szokás szerint a mátrix összeállítása:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
És lépésenkénti formára redukálódik:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Az első transzformáció után a harmadik sor a forma egyenletét tartalmazza
megoldás nélkül. Következésképpen a rendszer inkonzisztens, és a válasz az üres halmaz lesz.
Ha kiválasztja, hogy melyik módszert oldja meg az SLAE-k papíron egy tollal, akkor az ebben a cikkben tárgyalt módszer tűnik a legvonzóbbnak. Sokkal nehezebb összezavarodni az elemi transzformációkban, mintha kézzel kellene keresni egy determinánst vagy valami trükkös inverz mátrixot. Ha azonban programokat használ az ilyen típusú adatokkal való munkavégzéshez, például táblázatokat, akkor kiderül, hogy az ilyen programok már tartalmaznak algoritmusokat a mátrixok fő paramétereinek - determináns, minor, inverz és így tovább - kiszámításához. Ha pedig biztos abban, hogy a gép ezeket az értékeket maga számítja ki, és nem hibázik, akkor célszerűbb a mátrix módszert vagy a Cramer-képleteket használni, mert ezek alkalmazása a determinánsok és inverz mátrixok kiszámításával kezdődik és végződik. .
Mivel a Gauss-féle megoldás egy algoritmus, a mátrix pedig valójában egy kétdimenziós tömb, programozásban használható. De mivel a cikk „a bábuknak” szóló útmutatónak tekinti magát, el kell mondanunk, hogy a módszert legegyszerűbben táblázatokba, például Excelbe lehet helyezni. Az Excel ismét kétdimenziós tömbnek tekinti a táblázatba mátrix formájában beírt SLAE-ket. A velük végzett műveletekhez pedig sok szép parancs létezik: összeadás (csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá!), szorzás számmal, mátrixok szorzása (bizonyos megkötésekkel is), az inverz és transzponált mátrixok megtalálása és ami a legfontosabb , a determináns kiszámítása. Ha ezt az időigényes feladatot egyetlen paranccsal helyettesítjük, sokkal gyorsabban meg lehet határozni a mátrix rangját, és így megállapítható a kompatibilitása vagy inkompatibilitása.
Ma a Gauss-módszerrel foglalkozunk lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására. Hogy melyek ezek a rendszerek, arról az előző cikkben olvashat, amely ugyanazon SLAE-k Cramer-módszerrel történő megoldásával foglalkozott. A Gauss-módszer nem igényel speciális ismereteket, csak figyelmesség és következetesség. Annak ellenére, hogy matematikai szempontból az iskolai képzés elegendő az alkalmazásához, a tanulók gyakran nehezen tudják elsajátítani ezt a módszert. Ebben a cikkben megpróbáljuk ezeket semmivé redukálni!
M Gauss módszer– a leguniverzálisabb módszer az SLAE-k megoldására (a nagyon nagy rendszerek kivételével). A korábban tárgyaltakkal ellentétben nemcsak olyan rendszerekre alkalmas, amelyeknek egyetlen megoldása van, hanem olyan rendszerekre is, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Itt három lehetőség van.
Tehát van egy rendszerünk (legyen egy megoldása), és a Gauss-módszerrel fogjuk megoldani. Hogyan működik?
A Gauss-módszer két szakaszból áll - előre és inverz.
Először is írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát. Ehhez adjunk hozzá egy szabad tagokból álló oszlopot a fő mátrixhoz.
A Gauss-módszer lényege, hogy ezt a mátrixot elemi transzformációkkal lépcsőzetes (vagy ahogy szokták mondani, háromszög alakú) formába hozni. Ebben a formában a mátrix főátlója alatt (vagy felett) csak nullák lehetnek.
Amit megtehetsz:
Miután így átalakítottuk a rendszert, egy ismeretlen Xn ismertté válik, és megteheti fordított sorrendben keresse meg az összes fennmaradó ismeretlent úgy, hogy a már ismert x-eket behelyettesíti a rendszer egyenleteibe, egészen az elsőig.
Ha az internet mindig kéznél van, egy egyenletrendszert is megoldhat a Gauss-módszerrel online. Csak be kell írnia az együtthatókat az online számológépbe. De be kell vallani, sokkal kellemesebb ráébredni, hogy a példa nem oldódott meg számítógépes program, hanem a saját agyaddal.
És most - egy példa, hogy minden világos és érthető legyen. Adjunk meg egy lineáris egyenletrendszert, és ezt a Gauss-módszerrel kell megoldani:
Először felírjuk a kiterjesztett mátrixot:
Most végezzük el az átalakításokat. Emlékezzünk arra, hogy el kell érnünk a mátrix háromszög alakú megjelenését. Az 1. sort szorozzuk meg (3-mal). Szorozd meg a 2. sort (-1)-gyel. Adja hozzá a 2. sort az 1.-hez, és kapja meg:
Ezután szorozza meg a 3. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:
Az 1. sort szorozzuk meg (6-tal). Szorozzuk meg a 2. sort (13-mal). Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:
Voila - a rendszer a megfelelő formába kerül. Marad az ismeretlenek megtalálása:
A példában szereplő rendszer egyedi megoldást kínál. Egy külön cikkben foglalkozunk a végtelen számú megoldással rendelkező rendszerek megoldásával. Talán eleinte nem fogja tudni, hol kezdje el a mátrix átalakítását, de megfelelő gyakorlás után rájön, és a Gauss-módszerrel feltöri az SLAE-ket, mint a diót. És ha hirtelen olyan SLA-ra bukkan, amely túl kemény diónak bizonyul, forduljon szerzőinkhoz! megteheti, ha a Levelezési Irodában hagy egy kérést. Együtt minden problémát megoldunk!
