A fórmula para o segundo limite notável é lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Outra forma de escrita é assim: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Quando falamos sobre o segundo limite notável, temos que lidar com uma incerteza da forma 1 ∞, ou seja, unidade em um grau infinito.
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Consideremos problemas em que a capacidade de calcular o segundo limite maravilhoso.
Exemplo 1
Encontre o limite x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Solução
Vamos substituir a fórmula necessária e realizar os cálculos.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Nossa resposta acabou sendo elevada à potência do infinito. Para determinar o método de solução, usamos a tabela de incertezas. Vamos escolher o segundo limite notável e fazer uma mudança de variáveis.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Se x → ∞, então t → - ∞.
Vamos ver o que obtivemos após a substituição:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Responder: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Exemplo 2
Calcule o limite limite x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Solução
Vamos substituir o infinito e obter o seguinte.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Na resposta, obtivemos novamente o mesmo que no problema anterior, portanto, podemos utilizar novamente o segundo limite notável. Em seguida, precisamos selecionar na base Função liga-desliga parte inteira:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Depois disso, o limite assume a seguinte forma:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Substitua variáveis. Vamos supor que t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; se x → ∞, então t → ∞.
Depois disso, anotamos o que obtivemos no limite original:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Para realizar esta transformação, utilizamos as propriedades básicas de limites e potências.
Responder: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Exemplo 3
Calcule o limite limite x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Solução
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Depois disso, precisamos transformar a função para aplicar o segundo limite máximo. Obtivemos o seguinte:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Como agora temos os mesmos expoentes no numerador e no denominador da fração (igual a seis), o limite da fração no infinito será igual à razão desses coeficientes em potências superiores.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Ao substituir t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 obtemos um segundo limite notável. Significa o que:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Responder: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Incerteza 1 ∞, ou seja, a unidade a uma potência infinita é uma incerteza da lei de potência, portanto, pode ser revelada usando as regras para encontrar os limites das funções de potência exponenciais.
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Este artigo: “O Segundo Limite Notável” é dedicado à divulgação dentro dos limites das incertezas da forma:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ e $ ^\infty $.
Além disso, tais incertezas podem ser reveladas usando o logaritmo da função exponencial, mas este é outro método de solução, que será abordado em outro artigo.
Fórmula o segundo limite notável é escrito da seguinte forma: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$
Segue da fórmula consequências, que são muito convenientes de usar para resolver exemplos com limites: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( onde ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Vale ressaltar que o segundo limite notável nem sempre pode ser aplicado a uma função exponencial, mas apenas nos casos em que a base tende à unidade. Para fazer isso, primeiro calcule mentalmente o limite da base e depois tire conclusões. Tudo isso será discutido em soluções de exemplo.
Vejamos exemplos de soluções usando a fórmula direta e suas consequências. Analisaremos também os casos em que a fórmula não é necessária. Basta anotar apenas uma resposta pronta.
| Exemplo 1 |
| Encontre o limite $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Solução |
|
Vamos substituir o infinito no limite e olhar para a incerteza: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Vamos encontrar o limite da base: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Obtivemos uma base igual a um, o que significa que já podemos aplicar o segundo limite notável. Para fazer isso, vamos ajustar a base da função à fórmula subtraindo e adicionando um: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Vejamos o segundo corolário e escrevamos a resposta: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Se você não conseguir resolver seu problema, envie-nos. Forneceremos uma solução detalhada. Você poderá visualizar o andamento do cálculo e obter informações. Isso o ajudará a obter a nota do seu professor em tempo hábil! |
| Responder |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Exemplo 4 |
| Resolva o limite $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Solução |
|
Encontramos o limite da base e vemos que $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, o que significa que podemos aplicar o segundo limite notável. De acordo com o plano padrão, adicionamos e subtraímos um da base do grau: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Ajustamos a fração à fórmula da 2ª nota. limite: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Agora vamos ajustar o grau. A potência deve conter uma fração igual ao denominador da base $ \frac(3x^2-2)(6) $. Para fazer isso, multiplique e divida o grau por ele e continue resolvendo: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ O limite localizado na potência em $ e $ é igual a: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Portanto, continuando a solução temos: |
| Responder |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Examinemos casos em que o problema é semelhante ao segundo limite notável, mas pode ser resolvido sem ele.
No artigo: “O Segundo Limite Notável: Exemplos de Soluções” foram analisadas a fórmula, suas consequências e apresentados tipos comuns de problemas neste tema.
No artigo acima você pode descobrir qual é o limite e com o que se come - isso é MUITO importante. Por que? Você pode não entender o que são determinantes e resolvê-los com sucesso; você pode não entender o que é uma derivada e encontrá-los com um “A”. Mas se você não entende o que é um limite, será difícil resolver problemas práticos. Também seria uma boa ideia familiarizar-se com os exemplos de soluções e minhas recomendações de design. Todas as informações são apresentadas de forma simples e acessível.
E para os propósitos desta lição, precisaremos dos seguintes materiais didáticos: Limites Maravilhosos E Fórmulas trigonométricas. Eles podem ser encontrados na página. É melhor imprimir os manuais - é muito mais conveniente e, além disso, muitas vezes você terá que consultá-los offline.
O que há de tão especial nos limites notáveis? O que é notável sobre esses limites é que eles foram comprovados pelas maiores mentes de matemáticos famosos, e os descendentes agradecidos não precisam sofrer com limites terríveis com uma pilha de funções trigonométricas, logaritmos e potências. Ou seja, ao encontrar os limites, utilizaremos resultados prontos e comprovados teoricamente.
Existem vários limites maravilhosos, mas na prática, os alunos de meio período em 95% dos casos têm dois limites maravilhosos: O primeiro limite maravilhoso, Segundo limite maravilhoso. Deve-se notar que estes são nomes historicamente estabelecidos, e quando, por exemplo, falam sobre “o primeiro limite notável”, querem dizer com isso uma coisa muito específica, e não algum limite aleatório retirado do teto.
Considere o seguinte limite: (em vez da letra nativa “ele” usarei a letra grega “alfa”, isso é mais conveniente do ponto de vista de apresentação do material).
De acordo com nossa regra para encontrar limites (ver artigo Limites. Exemplos de soluções) tentamos substituir zero na função: no numerador obtemos zero (o seno de zero é zero), e no denominador, obviamente, também há zero. Assim, estamos perante uma incerteza da forma, que, felizmente, não necessita de ser divulgada. No decorrer da análise matemática, fica comprovado que:
Este fato matemático é chamado O primeiro limite maravilhoso. Não darei uma prova analítica do limite, mas veremos seu significado geométrico na lição sobre funções infinitesimais.
Muitas vezes, em tarefas práticas, as funções podem ser organizadas de forma diferente, isso não muda nada:
- o mesmo primeiro limite maravilhoso.
Mas você não pode reorganizar o numerador e o denominador sozinho! Se um limite for dado na forma , então ele deverá ser resolvido da mesma forma, sem reorganizar nada.
Na prática, não apenas uma variável, mas também uma função elementar pode atuar como parâmetro, função complexa. A única coisa importante é que tende a zero.
Exemplos:
, , , 
Aqui , , , 
, e tudo está bem - o primeiro limite maravilhoso é aplicável.
Mas a seguinte entrada é uma heresia:
Por que? Como o polinômio não tende a zero, tende a cinco.
A propósito, uma pergunta rápida: por quê? limite igual 
? A resposta pode ser encontrada no final da lição.
Na prática, nem tudo é tão tranquilo; quase nunca um aluno é oferecido para resolver um limite grátis e obter uma aprovação fácil. Hmmm... Estou escrevendo estas linhas, e um pensamento muito importante me veio à mente - afinal, é melhor lembrar de cor definições e fórmulas matemáticas “livres”, isso pode fornecer uma ajuda inestimável no teste, quando a questão for ser decidido entre “dois” e “três”, e o professor decide fazer ao aluno alguma pergunta simples ou oferecer-se para resolver um exemplo simples (“talvez ele(s) ainda saiba o quê?!”).
Vamos prosseguir para considerar exemplos práticos:
Exemplo 1
Encontre o limite
Se notarmos um seno no limite, isso deverá levar-nos imediatamente a pensar na possibilidade de aplicar o primeiro limite notável.
Primeiro, tentamos substituir 0 na expressão sob o sinal de limite (fazemos isso mentalmente ou em rascunho):
Então temos uma incerteza da forma certifique-se de indicar ao tomar uma decisão. A expressão sob o sinal de limite é semelhante ao primeiro limite maravilhoso, mas não é exatamente isso, está sob o seno, mas no denominador.
Nesses casos, precisamos organizar nós mesmos o primeiro limite notável, usando uma técnica artificial. A linha de raciocínio poderia ser a seguinte: “sob o seno temos , o que significa que também precisamos entrar no denominador”.
E isso é feito de forma muito simples:
Ou seja, o denominador é multiplicado artificialmente por nesse caso por 7 e é divisível pelos mesmos sete. Agora nossa gravação assumiu uma forma familiar.
Quando uma tarefa é elaborada à mão, é aconselhável marcar o primeiro limite notável com um simples lápis:
O que aconteceu? Na verdade, nossa expressão circulada se transformou em uma unidade e desapareceu na obra: 
Agora só falta se livrar da fração de três andares: 
Quem se esqueceu da simplificação das frações multiníveis, atualize o material do livro de referência Fórmulas quentes para curso de matemática escolar .
Preparar. Resposta final:
Se você não quiser usar marcas de lápis, a solução pode ser escrita assim:
“
Vamos usar o primeiro limite maravilhoso 
“
Exemplo 2
Encontre o limite
Novamente vemos uma fração e um seno no limite. Vamos tentar substituir zero no numerador e no denominador:
Na verdade, temos incertezas e, por isso, precisamos tentar organizar o primeiro limite maravilhoso. Na lição Limites. Exemplos de soluções consideramos a regra de que quando temos incerteza, precisamos fatorar o numerador e o denominador. Aqui é a mesma coisa, representaremos os graus como um produto (multiplicadores):
Semelhante ao exemplo anterior, desenhamos com um lápis os limites notáveis (aqui há dois deles) e indicamos que eles tendem à unidade:
Na verdade, a resposta está pronta:
Nos exemplos a seguir não farei arte no Paint, penso em como traçar corretamente uma solução em um caderno - você já entendeu.
Exemplo 3
Encontre o limite
Substituímos zero na expressão sob o sinal de limite:
Foi obtida uma incerteza que precisa ser divulgada. Se houver uma tangente no limite, então ela quase sempre é convertida em seno e cosseno usando a conhecida fórmula trigonométrica (a propósito, eles fazem aproximadamente a mesma coisa com a cotangente, veja a Fig. material metodológico Fórmulas trigonométricas quentes Na página Fórmulas matemáticas, tabelas e materiais de referência).
Nesse caso:
O cosseno de zero é igual a um e é fácil eliminá-lo (não se esqueça de marcar que tende a um):
Assim, se no limite o cosseno é um MULTIPLICADOR, então, grosso modo, ele precisa ser transformado em unidade, que desaparece no produto.
Aqui tudo ficou mais simples, sem multiplicações e divisões. O primeiro limite notável também se transforma em um e desaparece no produto:
O resultado é o infinito, e isso acontece.
Exemplo 4
Encontre o limite
Vamos tentar substituir zero no numerador e no denominador:
A incerteza é obtida (o cosseno de zero, como lembramos, é igual a um)
Nós usamos fórmula trigonométrica. Tome nota! Por alguma razão, os limites que utilizam esta fórmula são muito comuns.
Vamos mover os fatores constantes além do ícone de limite:
Vamos organizar o primeiro limite maravilhoso:
Aqui temos apenas um limite notável, que se transforma em um e desaparece no produto:
Vamos nos livrar da estrutura de três andares:
O limite está realmente resolvido, indicamos que o seno restante tende a zero:
Exemplo 5
Encontre o limite 
Este exemplo é mais complicado, tente descobrir você mesmo:
Alguns limites podem ser reduzidos ao primeiro limite notável alterando uma variável, você pode ler sobre isso um pouco mais adiante neste artigo Métodos para resolver limites.
Na teoria da análise matemática foi provado que:
Este fatoé chamado segundo limite maravilhoso.
Referência: 
é um número irracional.
O parâmetro pode ser não apenas uma variável, mas também uma função complexa. A única coisa importante é que ele se esforce pelo infinito.
Exemplo 6
Encontre o limite
Quando a expressão sob o sinal de limite está em grau, este é o primeiro sinal de que você precisa tentar aplicar o segundo limite maravilhoso.
Mas primeiro, como sempre, tentamos substituir um número infinitamente grande na expressão, o princípio pelo qual isso é feito é discutido na lição Limites. Exemplos de soluções.
É fácil perceber que quando a base do grau é e o expoente é , ou seja, há incerteza da forma:
Esta incerteza é revelada precisamente com a ajuda do segundo limite notável. Mas, como muitas vezes acontece, o segundo limite maravilhoso não está numa bandeja de prata e precisa ser organizado artificialmente. Pode-se raciocinar da seguinte forma: em neste exemplo parâmetro, o que significa que no indicador também precisamos organizar. Para isso, elevamos a base à potência, e para que a expressão não mude, elevamos à potência:
Quando a tarefa for concluída manualmente, marcamos com um lápis:
Quase tudo está pronto, o grau terrível virou uma linda carta:
Neste caso, movemos o próprio ícone de limite para o indicador:
Exemplo 7
Encontre o limite
Atenção! Limite tipo semelhante ocorre com muita frequência, por favor estude este exemplo com muito cuidado.
Vamos tentar substituir um número infinitamente grande na expressão sob o sinal de limite:
O resultado é a incerteza. Mas o segundo limite notável aplica-se à incerteza da forma. O que fazer? Precisamos converter a base do grau. Raciocinamos assim: no denominador temos , o que significa que no numerador também precisamos organizar .
O primeiro limite notável é frequentemente usado para calcular limites contendo seno, arco seno, tangente, arco tangente e as incertezas resultantes de zero dividido por zero.
A fórmula para o primeiro limite notável é: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Notamos que para $ \alpha\to 0 $ obtemos $ \sin\alpha \to 0 $, portanto temos zeros no numerador e no denominador. Assim, a fórmula do primeiro limite notável é necessária para revelar as incertezas $ \frac(0)(0) $.
Para aplicar a fórmula, duas condições devem ser atendidas:
Atenção! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Embora as expressões sob o seno e no denominador sejam as mesmas, no entanto $ 2x ^2+1 = 1 $, para $ x\para 0 $. A segunda condição não é atendida, então você NÃO PODE aplicar a fórmula!
Muito raramente nas tarefas você pode ver um primeiro limite puro e maravilhoso, no qual você pode anotar imediatamente a resposta. Na prática, tudo parece um pouco mais complicado, mas para tais casos será útil conhecer as consequências do primeiro limite notável. Graças a eles, você pode calcular rapidamente os limites exigidos.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Consideremos o primeiro limite notável, cujos exemplos de soluções para calcular limites contendo funções trigonométricas e incerteza $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Exemplo 1 |
| Calcule $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Solução |
|
Vejamos o limite e observemos que ele contém um seno. Em seguida, substituímos $ x = 0 $ no numerador e no denominador e obtemos a incerteza zero dividida por zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Já são dois sinais de que precisamos aplicar um limite maravilhoso, mas há uma pequena nuance: não podemos aplicar imediatamente a fórmula, pois a expressão sob o sinal do seno difere da expressão no denominador. E precisamos que eles sejam iguais. Portanto, utilizando transformações elementares do numerador, vamos transformá-lo em $2x$. Para fazer isso, retiraremos os dois do denominador da fração como um fator separado. Fica assim: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Por favor observe que no final $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ foi obtido de acordo com a fórmula. Se você não conseguir resolver seu problema, envie-nos. Forneceremos uma solução detalhada. Você poderá visualizar o andamento do cálculo e obter informações. Isso o ajudará a obter a nota do seu professor em tempo hábil! |
| Responder |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Exemplo 2 |
| Encontre $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Solução |
|
Como sempre, primeiro você precisa saber o tipo de incerteza. Se for zero dividido por zero, então prestamos atenção à presença de um seno: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Essa incerteza nos permite usar a fórmula do primeiro limite notável, mas a expressão do denominador não é igual ao argumento do seno? Portanto, a fórmula não pode ser aplicada “de frente”. É necessário multiplicar e dividir a fração pelo argumento do seno: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Agora escrevemos as propriedades dos limites: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ O segundo limite se ajusta à fórmula e é igual a um: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x) (2x-x^4) = $$ Substitua novamente $ x = 0 $ em uma fração e obteremos a incerteza $ \frac(0)(0) $. Para eliminá-lo, basta tirar $ x $ dos colchetes e reduzi-lo em: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Responder |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Exemplo 4 |
| Calcule $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Solução |
|
Vamos iniciar o cálculo com a substituição $x=0$. Como resultado, obtemos a incerteza $ \frac(0)(0) $. O limite contém um seno e uma tangente, o que sugere um possível desenvolvimento da situação utilizando a fórmula do primeiro limite notável. Vamos transformar o numerador e o denominador da fração em fórmula e consequência: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Agora vemos que no numerador e no denominador existem expressões que se enquadram na fórmula e nas consequências. O argumento do seno e o argumento da tangente são iguais para os denominadores correspondentes $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Responder |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
O artigo: “O primeiro limite notável, exemplos de soluções” falava de casos em que é aconselhável utilizar esta fórmula e suas consequências.
Agora, com a alma calma, vamos considerar limites maravilhosos.
parece .
Em vez da variável x pode haver várias funções, o principal é que tendem a 0.
É necessário calcular o limite
Como você pode ver, esse limite é muito semelhante ao primeiro notável, mas isso não é inteiramente verdade. Em geral, se você notar um pecado no limite, você deve pensar imediatamente se é possível usar o primeiro limite notável.
De acordo com nossa regra nº 1, substituímos zero em vez de x:
Ficamos com incerteza.
Agora vamos tentar organizar nós mesmos o primeiro limite maravilhoso. Para fazer isso, vamos fazer uma combinação simples:
Então organizamos o numerador e o denominador para destacar 7x. Agora, o familiar limite notável já apareceu. É aconselhável destacá-lo na hora de decidir:
Vamos substituir a solução do primeiro exemplo maravilhoso e obtemos:
Simplificando a fração:
Resposta: 7/3.
Como você pode ver, tudo é muito simples.
Parece 
, onde e = 2,718281828... é um número irracional.
Várias funções podem estar presentes no lugar da variável x, o principal é que tendem a .
É necessário calcular o limite
Aqui vemos a presença de um grau sob o sinal de um limite, o que significa que é possível utilizar um segundo limite notável.
Como sempre, usaremos a regra nº 1 - substitua x em vez de:
Pode-se ver que em x a base do grau é, e o expoente é 4x >, ou seja, obtemos uma incerteza da forma:
Vamos usar o segundo limite maravilhoso para revelar a nossa incerteza, mas primeiro precisamos organizá-la. Como você pode ver, precisamos conseguir presença no indicador, para o qual elevamos a base à potência de 3x, e ao mesmo tempo à potência de 1/3x, para que a expressão não mude:
Não se esqueça de destacar nosso maravilhoso limite:
Isso é o que eles realmente são limites maravilhosos!
Se você ainda tiver alguma dúvida sobre o primeiro e o segundo limites maravilhosos e fique à vontade para perguntar nos comentários.
Responderemos a todos na medida do possível.
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