O primeiro limite notável é chamado a seguinte igualdade:
\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)
Como para $\alpha\to(0)$ temos $\sin\alpha\to(0)$, dizemos que o primeiro limite maravilhoso revela a incerteza da forma $\frac(0)(0)$. De um modo geral, na fórmula (1), em vez da variável $\alpha$, sob o sinal do seno e no denominador, qualquer expressão pode ser localizada, desde que sejam atendidas duas condições:
Corolários do primeiro limite notável também são frequentemente usados:
\begin(equação) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equação)
Onze exemplos são resolvidos nesta página. O Exemplo No. 1 é dedicado à prova das fórmulas (2)-(4). Os exemplos #2, #3, #4 e #5 contêm soluções com comentários detalhados. Os exemplos 6-10 contêm soluções com pouco ou nenhum comentário, conforme explicações detalhadas foram dadas nos exemplos anteriores. Ao resolver, são usadas algumas fórmulas trigonométricas, que podem ser encontradas.
Observo que a presença de funções trigonométricas, juntamente com a incerteza de $\frac (0) (0)$, não significa que o primeiro limite notável deva ser aplicado. Às vezes, transformações trigonométricas simples são suficientes - por exemplo, veja.
Exemplo 1
Prove que $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Como $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, então:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Como $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ e $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , então:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Vamos fazer a substituição $\alpha=\sin(y)$. Como $\sin(0)=0$, então da condição $\alpha\to(0)$ temos $y\to(0)$. Além disso, existe uma vizinhança de zero onde $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, então:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
A igualdade $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ está provada.
c) Vamos fazer a substituição $\alpha=\tg(y)$. Como $\tg(0)=0$, as condições $\alpha\to(0)$ e $y\to(0)$ são equivalentes. Além disso, existe uma vizinhança de zero onde $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, portanto, contando com os resultados do ponto a), teremos:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
A igualdade $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ está provada.
As igualdades a), b), c) são frequentemente usadas junto com o primeiro limite notável.
Exemplo #2
Calcular limite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.
Como $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ e $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ou seja e o numerador e o denominador da fração simultaneamente tendem a zero, então aqui estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$, ou seja, realizado. Além disso, pode-se ver que as expressões sob o sinal do seno e no denominador são as mesmas (ou seja, e é satisfeita):
Assim, ambas as condições listadas no início da página são atendidas. Segue-se daí que a fórmula é aplicável, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Responda: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Exemplo #3
Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Como $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ e $\lim_(x\to(0))x=0$, estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac( 0 )(0)$, ou seja, realizado. No entanto, as expressões sob o sinal do seno e no denominador não coincidem. Aqui é necessário ajustar a expressão no denominador para forma desejada. Precisamos que a expressão $9x$ esteja no denominador - então ela se tornará verdadeira. Basicamente, estamos perdendo o fator $9$ no denominador, que não é tão difícil de inserir, basta multiplicar a expressão no denominador por $9$. Naturalmente, para compensar a multiplicação por $9$, você terá que dividir imediatamente por $9$ e dividir:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$
Agora as expressões no denominador e sob o sinal do seno são as mesmas. Ambas as condições para o limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ são satisfeitas. Portanto, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. E isso significa que:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Exemplo #4
Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Como $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ e $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aqui estamos lidando com uma indeterminação do forma $\frac(0)(0)$. No entanto, a forma do primeiro limite notável é quebrada. Um numerador contendo $\sin(5x)$ requer $5x$ no denominador. Nessa situação, a maneira mais fácil é dividir o numerador por $5x$ e imediatamente multiplicar por $5x$. Além disso, faremos uma operação semelhante com o denominador, multiplicando e dividindo $\tg(8x)$ por $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Reduzindo por $x$ e tirando a constante $\frac(5)(8)$ do sinal de limite, temos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Observe que $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisfaz totalmente os requisitos para o primeiro limite notável. Para encontrar $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ a seguinte fórmula é aplicável:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Exemplo #5
Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Como $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (lembre-se que $\cos(0)=1$) e $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, então estamos lidando com uma indeterminação da forma $\frac(0)(0)$. No entanto, para aplicar o primeiro limite maravilhoso, você deve se livrar do cosseno no numerador indo em senos (para depois aplicar a fórmula) ou tangentes (para depois aplicar a fórmula). Você pode fazer isso com a seguinte transformação:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Voltemos ao limite:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
A fração $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ já está próxima da forma exigida para o primeiro limite notável. Vamos trabalhar um pouco com a fração $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustando-a ao primeiro limite maravilhoso (observe que as expressões no numerador e abaixo do seno devem corresponder):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Voltemos ao limite considerado:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Exemplo #6
Encontre o limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Como $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ e $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, então estamos lidando com a incerteza de $\frac(0)(0)$. Vamos abri-lo com a ajuda do primeiro limite notável. Para fazer isso, vamos passar de cossenos para senos. Como $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, então:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Passando o limite dado para os senos, teremos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Exemplo #7
Calcular limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ dado $\alpha\neq\ beta $.
Explicações detalhadas foram dadas anteriormente, mas aqui nós simplesmente notamos que novamente há uma indeterminação de $\frac(0)(0)$. Vamos passar de cossenos para senos usando a fórmula
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Usando a fórmula acima, obtemos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\direito| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Exemplo #8
Encontre o limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Como $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (lembre-se que $\sin(0)=\tg(0)=0$) e $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, então aqui estamos lidando com uma indeterminação da forma $\frac(0)(0)$. Vamos decompô-lo assim:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Exemplo #9
Encontre o limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Como $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ e $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, então existe uma indeterminação da forma $\frac(0)(0)$. Antes de prosseguir com sua expansão, é conveniente alterar a variável de tal forma que a nova variável tenda a zero (observe que a variável $\alpha \to 0$ nas fórmulas). A maneira mais fácil é introduzir a variável $t=x-3$. Porém, para conveniência de outras transformações (esse benefício pode ser visto no decorrer da solução abaixo), vale a pena fazer a seguinte substituição: $t=\frac(x-3)(2)$. Observe que ambas as substituições são aplicáveis em este caso, apenas a segunda substituição permitirá que você trabalhe menos com frações. Como $x\to(3)$, então $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\direito| =\esquerda|\begin(alinhado)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(alinhado)\direita| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Responda: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Exemplo #10
Encontre o limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Novamente estamos lidando com a incerteza de $\frac(0)(0)$. Antes de proceder à sua expansão, é conveniente fazer uma mudança de variável de forma que a nova variável tenda a zero (note que nas fórmulas a variável é $\alpha\to(0)$). A maneira mais fácil é introduzir a variável $t=\frac(\pi)(2)-x$. Como $x\to\frac(\pi)(2)$, então $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\esquerda|\frac(0)(0)\direita| =\esquerda|\begin(alinhado)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(alinhado)\direita| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$
Responda: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Exemplo #11
Encontrar limites $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Nesse caso, não precisamos usar o primeiro limite maravilhoso. Observe: tanto no primeiro quanto no segundo limites, existem apenas funções trigonométricas e números. Muitas vezes, em exemplos desse tipo, é possível simplificar a expressão localizada sob o sinal de limite. Neste caso, após a mencionada simplificação e redução de alguns fatores, a incerteza desaparece. Dei este exemplo com apenas um propósito: mostrar que a presença de funções trigonométricas sob o sinal de limite não significa necessariamente a aplicação do primeiro limite notável.
Como $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (lembre-se que $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) e $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (lembre-se que $\cos\frac(\pi)(2)=0$), então temos que lidar com incerteza da forma $\frac(0)(0)$. No entanto, isso não significa que precisamos usar o primeiro limite notável. Para revelar a incerteza, basta levar em conta que $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Há uma solução semelhante no livro de soluções de Demidovich (nº 475). Quanto ao segundo limite, como nos exemplos anteriores desta seção, temos uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Por que surge? Surge porque $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ e $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usamos esses valores para transformar expressões no numerador e denominador. O objetivo de nossas ações: escrever a soma no numerador e denominador como um produto. A propósito, muitas vezes é conveniente mudar uma variável dentro de uma forma semelhante para que a nova variável tenda a zero (veja, por exemplo, os exemplos nº 9 ou nº 10 nesta página). No entanto, em este exemplo não faz sentido substituir a variável, embora, se desejado, a mudança da variável $t=x-\frac(2\pi)(3)$ seja fácil de implementar.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\direita)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$
Como você pode ver, não tivemos que aplicar o primeiro limite maravilhoso. Claro, isso pode ser feito se desejado (veja a nota abaixo), mas não é necessário.
Qual seria a solução usando o primeiro limite notável? aparecer esconder
Usando o primeiro limite notável, temos:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ right))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Responda: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
O primeiro limite notável é frequentemente usado para calcular limites contendo seno, arco-seno, tangente, arco-tangente e as incertezas resultantes zero divididas por zero.
A fórmula para o primeiro limite notável é: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Notamos que $ \alpha\to 0 $ rende $ \sin\alpha \to 0 $, portanto temos zeros no numerador e denominador. Assim, a fórmula do primeiro limite notável é necessária para revelar as incertezas de $ \frac(0)(0) $.
Para que a fórmula se aplique, duas condições devem ser atendidas:
Atenção! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Embora as expressões sob o seno e no denominador sejam as mesmas, porém $ 2x ^2+1 = 1 $, quando $ x\to 0 $. A segunda condição não é atendida, então a fórmula NÃO PODE ser aplicada!
Muito raramente, nas tarefas você pode ver um primeiro limite limpo e maravilhoso no qual você pode escrever imediatamente a resposta. Na prática, tudo parece um pouco mais complicado, mas para esses casos será útil conhecer as consequências do primeiro limite notável. Graças a eles, você pode calcular rapidamente os limites desejados.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Consideremos o primeiro limite notável, cujos exemplos de solução para o cálculo de limites contendo funções trigonométricas e incerteza $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Exemplo 1 |
| Calcular $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Solução |
|
Considere o limite e observe que ele contém um seno. Em seguida, substituímos $ x = 0 $ no numerador e denominador e obtemos a incerteza de zero dividida por zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Já há dois sinais de que você precisa aplicar um limite maravilhoso, mas há uma pequena nuance: não poderemos aplicar a fórmula imediatamente, pois a expressão sob o sinal do seno difere da expressão no denominador. E precisamos que eles sejam iguais. Portanto, com a ajuda de transformações elementares do numerador, vamos transformá-lo em $2x$. Para fazer isso, vamos tirar o deuce do denominador da fração por um fator separado. Fica assim: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , que no final $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ foi obtido pela fórmula. Se você não conseguir resolver seu problema, envie-o para nós. Forneceremos uma solução detalhada. Você poderá se familiarizar com o andamento do cálculo e coletar informações. Isso ajudará você a obter um crédito do professor em tempo hábil! |
| Responda |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Exemplo 2 |
| Encontre $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Solução |
|
Como sempre, primeiro você precisa saber o tipo de incerteza. Se for zero dividido por zero, prestamos atenção à presença de um seno: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Essa incerteza nos permite usar a fórmula do primeiro limite notável, mas a expressão do denominador não é igual ao argumento do seno? Portanto, é impossível aplicar a fórmula "na testa". Você precisa multiplicar e dividir a fração pelo argumento do seno: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^) 4)(x ^3+2x)) = $$ Agora descrevemos as propriedades dos limites: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ O segundo limite apenas se encaixa na fórmula e é igual a um: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Substitua novamente $ x = 0 $ em uma fração e obtenha a incerteza $ \frac(0)(0) $. Para eliminá-lo, basta tirar $ x $ dos colchetes e reduzir por ele: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2)(2) = 1 $$ |
| Responda |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Exemplo 4 |
| Calcular $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Solução |
|
Vamos começar o cálculo substituindo $ x=0 $. Como resultado, obtemos a incerteza $ \frac(0)(0) $. O limite contém um seno e uma tangente, o que sugere um possível desenvolvimento da situação usando a fórmula do primeiro limite notável. Vamos transformar o numerador e o denominador da fração em uma fórmula e uma consequência: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Agora vemos no numerador e denominador que existem expressões adequadas para a fórmula e consequências. O argumento seno e o argumento tangente são os mesmos para os respectivos denominadores $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Responda |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
No artigo: "O primeiro limite notável, exemplos de soluções" foi dito sobre os casos em que é aconselhável usar esta fórmula e suas consequências.
O termo "limite notável" é amplamente utilizado em livros didáticos e material didáctico para indicar identidades importantes que ajudam significativamente simplificar o trabalho para encontrar limites.
Mas para poder trazer seu limite para o maravilhoso, você precisa dar uma boa olhada nele, porque eles não são encontrados em forma direta, e muitas vezes na forma de corolários, equipados com termos e fatores adicionais. No entanto, primeiro a teoria, depois os exemplos, e você terá sucesso!
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O primeiro limite notável é escrito da seguinte forma (uma incerteza da forma $0/0$):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
Exemplo 1 Calcular limite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Solução. O primeiro passo é sempre o mesmo - substituímos o valor limite $x=0$ na função e obtemos:
$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Temos uma incerteza da forma $\left[\frac(0)(0)\right]$, que deve ser resolvida. Se você olhar de perto, o limite original é muito semelhante ao primeiro notável, mas não coincide com ele. Nossa tarefa é trazer à semelhança. Vamos transformar assim - veja a expressão sob o seno, faça o mesmo no denominador (relativamente falando, multiplique e divida por $3x$), reduza e simplifique ainda mais:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Acima, o primeiro limite maravilhoso foi obtido: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( fez uma substituição condicional ) y=3x. $$ Responda: $3/8$.
Exemplo 2 Calcular limite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Solução. Substituímos o valor limite $x=0$ na função e obtemos:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$
Temos uma incerteza da forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Vamos transformar o limite, usando o primeiro limite maravilhoso em simplificação (três vezes!):
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Responda: $9/16$.
Exemplo 3 Encontre o limite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
Solução. Mas e se houver uma expressão complexa sob a função trigonométrica? Não importa, e aqui agimos da mesma forma. Primeiro, verifique o tipo de incerteza, substitua $x=0$ na função e obtenha:
$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$
Temos uma incerteza da forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Multiplique e divida por $2x^3+3x$:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$
Novamente tenho a incerteza, mas neste caso é apenas uma fração. Vamos reduzir o numerador e denominador em $x$:
$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$
Responda: $3/5$.
O segundo limite notável é escrito da seguinte forma (indeterminação da forma $1^\infty$):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$
Exemplo 4 Encontre o limite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Solução. Vamos verificar o tipo de incerteza, substituir $x=\infty$ na função e obter:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
Temos uma incerteza da forma $\left$. O limite pode ser reduzido ao segundo notável. Vamos transformar:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
A expressão entre colchetes é na verdade o segundo limite maravilhoso $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, apenas $t=- 3x/2$, então
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
Responda:$e^(-2/3)$.
Exemplo 5 Encontre o limite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $
Solução. Substitua $x=\infty$ na função e obtenha a incerteza da forma $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. E precisamos de $\left$. Então vamos começar convertendo a expressão entre parênteses:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$
A expressão entre colchetes é na verdade o segundo limite maravilhoso $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, apenas $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, então
$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
Encontre limites maravilhososé difícil não só para muitos alunos do primeiro, segundo ano de estudo que estudam a teoria dos limites, mas também para alguns professores.
Consequências do primeiro limite notável
escreva as fórmulas
1. 2. 3. 4. Mas, por si só, as fórmulas gerais de limites notáveis não ajudam ninguém em um exame ou prova. A linha inferior é que as tarefas reais são construídas de modo que as fórmulas escritas acima ainda precisam ser alcançadas. E a maioria dos alunos que faltam às aulas, estudam este curso por correspondência ou têm professores que nem sempre entendem o que estão explicando, não conseguem calcular os exemplos mais elementares com limites notáveis. A partir das fórmulas do primeiro limite notável, vemos que elas podem ser usadas para investigar incertezas como zero dividido por zero para expressões com funções trigonométricas. Consideremos primeiro uma série de exemplos sobre o primeiro limite notável e, em seguida, estudaremos o segundo limite notável.
Exemplo 1. Encontre o limite da função sin(7*x)/(5*x)
Solução: Como você pode ver, a função abaixo do limite está próxima do primeiro limite notável, mas o limite da própria função definitivamente não é igual a um. Em tais atribuições aos limites, deve-se destacar no denominador uma variável com o mesmo coeficiente que está contida na variável sob o seno. Nesse caso, divida e multiplique por 7
Para alguns, esse detalhamento parecerá supérfluo, mas para a maioria dos alunos que têm dificuldade em dar limites, ajudará a entender melhor as regras e aprender o material teórico.
Além disso, se houver uma forma inversa da função - este também é o primeiro limite maravilhoso. E tudo porque o limite maravilhoso é igual a um
A mesma regra se aplica às consequências de 1 limite notável. Portanto, se lhe perguntarem "Qual é o primeiro limite maravilhoso?" Você deve responder sem hesitação que é uma unidade.
Exemplo 2. Encontre o limite da função sin(6x)/tan(11x)
Solução: Para entender o resultado final, escrevemos a função na forma 
Para aplicar as regras do limite notável multiplique e divida por fatores
Em seguida, escrevemos o limite do produto de funções em termos do produto dos limites 
Sem fórmulas complicadas, encontramos o limite de algumas funções trigonométricas. Para assimilação fórmulas simples tente chegar e encontrar o limite em 2 e 4, a fórmula do corolário 1 do limite maravilhoso. Vamos considerar tarefas mais complexas.
Exemplo 3. Calcular limite (1-cos(x))/x^2
Solução: Ao verificar por substituição, obtemos a incerteza 0/0 . Muitos não sabem como reduzir tal exemplo a 1 limite maravilhoso. Aqui você deve usar fórmula trigonométrica 
Neste caso, o limite será transformado em uma forma clara 
Conseguimos reduzir a função ao quadrado de um limite notável.
Exemplo 4. Encontre o limite
Solução: Ao substituir, obtemos o recurso familiar 0/0 . No entanto, a variável se aproxima de Pi, não de zero. Portanto, para aplicar o primeiro limite notável, realizaremos tal mudança na variável x, de modo que a nova variável vá para zero. Para fazer isso, denotamos o denominador como a nova variável Pi-x=y 
Assim, usando a fórmula trigonométrica, que é dada na tarefa anterior, o exemplo é reduzido a 1 limite notável.
Exemplo 5 Calcular Limite 
Solução: A princípio não está claro como simplificar os limites. Mas se há um exemplo, então deve haver uma resposta. O fato de a variável ir para a unidade dá, ao substituir, uma singularidade da forma zero multiplicado por infinito, então a tangente deve ser substituída pela fórmula 
Depois disso, obtemos a incerteza desejada 0/0. Em seguida, realizamos uma mudança de variáveis no limite e usamos a periodicidade da cotangente 
As últimas substituições nos permitem usar o Corolário 1 do limite notável.
Este é um clássico ao qual em problemas reais nem sempre é fácil chegar aos limites.
Para os cálculos você vai precisar limites são consequências do segundo limite notável:
1. 
2. 
3. 
4.
Graças ao segundo limite notável e suas consequências, pode-se explorar incertezas como zero dividido por zero, um elevado ao infinito e infinito dividido por infinito, e até no mesmo grau. 
Vamos começar com alguns exemplos simples.
Exemplo 6 Encontrar o limite de uma função
Solução: Aplicar diretamente 2 limites maravilhosos não funcionará. Primeiro você precisa girar o indicador para que ele tenha a forma inversa do termo entre parênteses 
Esta é a técnica de redução ao 2 limite notável e, de fato, a derivação da fórmula 2 da consequência do limite.
Exemplo 7 Encontrar o limite de uma função
Solução: Temos tarefas para a fórmula 3 do corolário 2 do limite notável. A substituição zero dá uma singularidade da forma 0/0. Para aumentar o limite sob a regra, giramos o denominador para que a variável tenha o mesmo coeficiente que no logaritmo 
Também é fácil de entender e realizar no exame. As dificuldades dos alunos em calcular os limites começam com as seguintes tarefas.
Exemplo 8 Calcular limite de função[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Solução: Temos uma singularidade do tipo 1 elevado a infinito. Se você não acredita em mim, pode substituir infinito em vez de “x” em todos os lugares e ver por si mesmo. Para aumentar sob a regra, dividimos o numerador pelo denominador entre colchetes, para isso primeiro realizamos as manipulações 
Substitua a expressão no limite e transforme-a no limite notável de 2 
O limite é o expoente à potência de 10. Constantes que são termos com uma variável entre colchetes e o grau não contribuem com nenhum "tempo" - isso deve ser lembrado. E se os professores lhe perguntarem - "Por que você não liga o indicador?" (Para este exemplo em x-3 ), diga que "Quando uma variável tende ao infinito, adicione 100 a ela ou subtraia 1000 e o limite permanecerá o mesmo!".
Existe uma segunda maneira de calcular limites desse tipo. Falaremos sobre isso na próxima tarefa.
Exemplo 9 Encontre o limite 
Solução: Agora retiramos a variável do numerador e do denominador e transformamos uma característica em outra. Para obter o valor final, usamos a fórmula do Corolário 2 do limite notável 
Exemplo 10 Encontrar o limite de uma função
Solução: Nem todos podem encontrar o limite fornecido. Para aumentar o limite para 2, imagine que sin (3x) é uma variável e você precisa girar o expoente 
Em seguida, escrevemos o indicador como um grau em um grau 
Os argumentos intermediários são descritos entre parênteses. Como resultado do uso do primeiro e do segundo limites maravilhosos, obtivemos o expoente ao cubo.
Exemplo 11. Calcular limite de função sin(2*x)/log(3*x+1)
Solução: Temos uma incerteza da forma 0/0. Além disso, vemos que a função deve ser convertida para o uso de ambos os limites maravilhosos. Vamos realizar as transformações matemáticas anteriores 
Além disso, sem dificuldade, o limite assume o valor 
É assim que você se sentirá à vontade em testes, testes, módulos se aprender a pintar funções rapidamente e reduzi-las ao primeiro ou segundo limite maravilhoso. Se for difícil para você memorizar os métodos acima para encontrar limites, você sempre pode pedir teste aos nossos limites.
Para isso, preencha o formulário, especifique os dados e anexe um arquivo com exemplos. Já ajudamos muitos alunos - também podemos ajudar você!
Existem vários limites maravilhosos, mas os mais famosos são o primeiro e o segundo limites maravilhosos. A coisa notável sobre esses limites é que eles são amplamente utilizados e podem ser usados para encontrar outros limites encontrados em vários problemas. Isto é o que faremos na parte prática desta lição. Para resolver problemas reduzindo ao primeiro ou segundo limite notável, não é necessário divulgar as incertezas contidas neles, pois os valores desses limites há muito são deduzidos por grandes matemáticos.
O primeiro limite notável chamado de limite da razão do seno de um arco infinitamente pequeno para o mesmo arco, expresso em medida radiano:
Vamos passar para a resolução de problemas no primeiro limite notável. Nota: se uma função trigonométrica está abaixo do sinal de limite, isso é quase sinal certo que esta expressão pode ser reduzida ao primeiro limite notável.
Exemplo 1 Encontre o limite.
Solução. Substituição x zero leva à incerteza:
.
O denominador é um seno, portanto, a expressão pode ser reduzida ao primeiro limite notável. Vamos começar a transformação:
.
No denominador - o seno de três x, e no numerador há apenas um x, o que significa que você precisa obter três x no numerador. Para que? Para apresentar 3 x = uma e obter a expressão.
E chegamos a uma variação do primeiro limite notável:
porque não importa qual letra (variável) nesta fórmula é em vez de X.
Multiplicamos x por três e imediatamente dividimos:
.
De acordo com o primeiro limite notável observado, substituímos a expressão fracionária:
Agora podemos finalmente resolver este limite:
.
Exemplo 2 Encontre o limite.
Solução. A substituição direta novamente leva à incerteza "zero dividido por zero":
.
Para obter o primeiro limite notável, é necessário que o x sob o sinal do seno no numerador e apenas o x no denominador tenham o mesmo coeficiente. Seja esse coeficiente igual a 2. Para isso, imagine o coeficiente atual em x conforme abaixo, realizando ações com frações, obtemos:
.
Exemplo 3 Encontre o limite.
Solução. Ao substituir, obtemos novamente a incerteza "zero dividido por zero":
.
Você provavelmente já entendeu que da expressão original você pode obter o primeiro limite maravilhoso multiplicado pelo primeiro limite maravilhoso. Para fazer isso, decompomos os quadrados do x no numerador e o seno no denominador nos mesmos fatores e, para obter os mesmos coeficientes para o x e o seno, dividimos o x no numerador por 3 e imediatamente multiplique por 3. Obtemos:
.
Exemplo 4 Encontre o limite.
Solução. Novamente obtemos a incerteza "zero dividido por zero":
.
Podemos obter a razão dos dois primeiros limites notáveis. Dividimos o numerador e o denominador por x. Então, para que os coeficientes em senos e em x coincidam, multiplicamos o x superior por 2 e imediatamente dividimos por 2, e multiplicamos o x inferior por 3 e imediatamente dividimos por 3. Obtemos:
Exemplo 5 Encontre o limite.
Solução. E novamente, a incerteza de "zero dividido por zero":
Lembramos da trigonometria que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, e o cosseno de zero é igual a um. Fazemos transformações e obtemos:
.
Exemplo 6 Encontre o limite.
Solução. função trigonométrica sob o signo do limite sugere novamente a ideia de aplicar o primeiro limite notável. Nós o representamos como a razão entre seno e cosseno.
