Será útil para todos os alunos que estão se preparando para o exame de matemática repetir o tópico “Encontrando o ângulo entre as linhas”. Como as estatísticas mostram, ao passar em um teste de certificação, as tarefas nesta seção de estereometria causam dificuldades para um grande número alunos. Ao mesmo tempo, as tarefas que exigem encontrar o ângulo entre linhas retas são encontradas no USE nos níveis básico e de perfil. Isso significa que todos devem ser capazes de resolvê-los.
Existem 4 tipos no espaço posição relativa direto. Eles podem coincidir, se cruzar, ser paralelos ou se cruzar. O ângulo entre eles pode ser agudo ou reto.
Para encontrar o ângulo entre as linhas no Exame Unificado do Estado ou, por exemplo, na solução, crianças em idade escolar em Moscou e outras cidades podem usar vários métodos para resolver problemas nesta seção de estereometria. Você pode completar a tarefa por construções clássicas. Para fazer isso, vale a pena aprender os axiomas e teoremas básicos da estereometria. O aluno precisa ser capaz de construir raciocínios logicamente e criar desenhos para trazer a tarefa para um problema planimétrico.
Você também pode usar o método de coordenadas vetoriais aplicando fórmulas simples, regras e algoritmos. O principal neste caso é executar corretamente todos os cálculos. Aprimore suas habilidades de resolução de problemas em estereometria e outros tópicos curso escolar Ajudará você projeto educacional"Shkolkovo".
Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como
Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 . Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2 .
Teorema. As linhas retas Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB são proporcionais. Se também С 1 = λС, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução para o sistema de equações dessas retas.
Equação de uma linha que passa por um ponto dado
Perpendicular a esta linha
Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:
Distância do ponto à linha
Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for fornecido, a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 será definida como
.
Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:
(1)
As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:
A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicular a uma linha reta dada. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
então, resolvendo, temos:
Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:
O teorema foi provado.
Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3 x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p/4.
Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.
Solução. Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.
Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.
Solução. Encontramos a equação do lado AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3y + 3 = 0;
A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: 
onde b = 17. Total: . 
Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.
Equação de uma linha que passa por um determinado ponto em uma determinada direção. Equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados. Ângulo entre duas linhas. Condição de paralelismo e perpendicularidade de duas linhas. Determinando o ponto de intersecção de duas linhas
1. Equação de uma linha que passa por um ponto dado UMA(x 1 , y 1) em uma determinada direção, determinada pela inclinação k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Esta equação define um lápis de linhas passando por um ponto UMA(x 1 , y 1), que é chamado de centro da viga.
2. Equação de uma linha reta que passa por dois pontos: UMA(x 1 , y 1) e B(x 2 , y 2) está escrito assim:
A inclinação de uma linha reta que passa por dois pontos dados é determinada pela fórmula
3. Ângulo entre linhas retas UMA e Bé o ângulo pelo qual a primeira linha reta deve ser girada UMA em torno do ponto de intersecção dessas linhas no sentido anti-horário até coincidir com a segunda linha B. Se duas linhas são dadas por equações de inclinação
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
então o ângulo entre eles é determinado pela fórmula
Deve-se notar que no numerador da fração, a inclinação da primeira reta é subtraída da inclinação da segunda reta.
Se as equações de uma reta são dadas em visão geral
UMA 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
UMA 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
o ângulo entre eles é determinado pela fórmula
4. Condições para paralelismo de duas linhas:
a) Se as retas são dadas pelas equações (4) com inclinação, então a condição necessária e suficiente para seu paralelismo é a igualdade de suas inclinações:
k 1 = k 2 . (8)
b) Para o caso em que as retas são dadas por equações na forma geral (6), a condição necessária e suficiente para seu paralelismo é que os coeficientes nas correspondentes coordenadas de corrente em suas equações sejam proporcionais, ou seja.
5. Condições para perpendicularidade de duas linhas:
a) No caso em que as retas são dadas pelas equações (4) com inclinação, a condição necessária e suficiente para sua perpendicularidade é que suas inclinações sejam recíprocas em magnitude e opostas em sinal, ou seja,
Esta condição também pode ser escrita na forma
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Se as equações das retas são dadas na forma geral (6), então a condição para sua perpendicularidade (necessária e suficiente) é satisfazer a igualdade
UMA 1 UMA 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. As coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas são encontradas resolvendo o sistema de equações (6). As linhas (6) se cruzam se e somente se
1. Escreva as equações das retas que passam pelo ponto M, uma das quais é paralela e a outra é perpendicular à reta dada l.
Sejam duas linhas l e m em um plano em um sistema de coordenadas cartesianas dadas pelas equações gerais: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
Os vetores de normais para essas linhas: = (A 1 , B 1) - para a linha l,
= (A 2 , B 2) para a linha m.
Seja j o ângulo entre as linhas l e m.
Como os ângulos com lados mutuamente perpendiculares são iguais ou somam p, então 
, ou seja, cos j = .
Assim, provamos o seguinte teorema.
Teorema. Seja j o ângulo entre duas linhas retas no plano, e sejam essas linhas retas dadas no sistema de coordenadas cartesianas pelas equações gerais A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 e A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Então cos j = 
.
Exercícios.
1) Deduza uma fórmula para calcular o ângulo entre as linhas se:
(1) ambas as linhas são dadas parametricamente; (2) ambas as linhas são dadas equações canônicas; (3) uma reta é dada parametricamente, a outra reta – pela equação geral; (4) ambas as linhas são dadas pela equação da inclinação.
2) Seja j o ângulo entre duas retas no plano, e sejam essas retas dadas ao sistema de coordenadas cartesianas pelas equações y = k 1 x + b 1 e y =k 2 x + b 2 .
Então tanj = .
3) Explore a posição relativa de duas linhas dadas por equações gerais no sistema de coordenadas cartesianas e preencha a tabela:
A distância de um ponto a uma linha em um plano.
Seja a reta l no plano no sistema de coordenadas cartesianas dada pela equação geral Ax + By + C = 0. Encontre a distância do ponto M(x 0 , y 0) até a reta l.
A distância do ponto M à linha l é o comprimento da perpendicular HM (H н l, HM ^ l).
O vetor e o vetor normal à reta l são colineares, de modo que | | = | | | | e | | = .
Sejam as coordenadas do ponto H (x,y).
Como o ponto H pertence à linha l, então Ax + By + C = 0 (*).
As coordenadas dos vetores e: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Ax - By , veja (*))
Teorema. Seja a linha l dada no sistema de coordenadas cartesianas pela equação geral Ax + By + C = 0. Então a distância do ponto M(x 0 , y 0) até esta linha é calculada pela fórmula: r (M; e) = .
Exercícios.
1) Deduza uma fórmula para calcular a distância de um ponto a uma linha se: (1) a linha for dada parametricamente; (2) a reta é dada pelas equações canônicas; (3) a linha reta é dada pela equação da inclinação.
2) Escreva a equação de um círculo tangente à reta 3x - y = 0 centrada em Q(-2,4).
3) Escreva as equações das linhas que dividem os ângulos formados pela interseção das linhas 2x + y - 1 = 0 e x + y + 1 = 0 ao meio.
§ 27. Definição analítica de um plano no espaço
Definição. O vetor normal ao plano chamaremos um vetor diferente de zero, qualquer representante do qual seja perpendicular ao plano dado.
Comente.É claro que se pelo menos um representante do vetor for perpendicular ao plano, todos os outros representantes do vetor serão perpendiculares a esse plano.
Seja um sistema de coordenadas cartesianas dado no espaço.
Seja o plano a, = (A, B, C) – o vetor normal a este plano, o ponto M (x 0 , y 0 , z 0) pertence ao plano a.
Para qualquer ponto N(x, y, z) do plano a, os vetores e são ortogonais, isto é, seus produto escalaré igual a zero: = 0. Vamos escrever a última igualdade em coordenadas: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.
Seja -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, então Ax + By + Cz + D = 0.
Pegue um ponto K (x, y) tal que Ax + By + Cz + D \u003d 0. Como D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, então A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Como as coordenadas do segmento direcionado = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), a última igualdade significa que ^ , e, portanto, K н a.
Assim, provamos o seguinte teorema:
Teorema. Qualquer plano no espaço no sistema de coordenadas cartesianas pode ser definido por uma equação da forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), onde (A, B, C) são os coordenadas do vetor normal a este plano.
O contrário também é verdade.
Teorema. Qualquer equação da forma Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) no sistema de coordenadas cartesianas define um determinado plano, enquanto (A, B, C) são as coordenadas do vetor normal a este plano.
Prova.
Tome um ponto M (x 0 , y 0 , z 0) tal que Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 e vetor = (A, B, C) ( ≠ q).
Um plano (e apenas um) passa pelo ponto M perpendicular ao vetor. De acordo com o teorema anterior, esse plano é dado pela equação Ax + By + Cz + D = 0.
Definição. Uma equação da forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) é chamada a equação geral do plano.
Exemplo.
Vamos escrever a equação do plano que passa pelos pontos M (0.2.4), N (1,-1.0) e K (-1.0.5).
1. Encontre as coordenadas do vetor normal ao plano (MNK). Como o produto vetorial ´ é ortogonal a vetores não colineares e , o vetor é colinear a ´ .
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Então, como um vetor normal, tome o vetor = (-11, 3, -5).
2. Vamos agora usar os resultados do primeiro teorema:
a equação deste plano A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, onde (A, B, C) são as coordenadas do vetor normal, (x 0 , y 0 , z 0) – coordenadas de um ponto situado no plano (por exemplo, ponto M).
11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0
11x + 3a - 5z + 14 = 0
Resposta: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Exercícios.
1) Escreva a equação do plano se
(1) o plano passa pelo ponto M (-2,3,0) paralelo ao plano 3x + y + z = 0;
(2) o plano contém o eixo (Ox) e é perpendicular ao plano x + 2y – 5z + 7 = 0.
2) Escreva a equação de um plano que passa por três pontos dados.
§ 28. Especificação analítica de um meio-espaço*
Comente*. Deixe algum plano ser consertado. Debaixo meio Espaço entenderemos o conjunto de pontos situados em um lado de um determinado plano, ou seja, dois pontos estão no mesmo semi-espaço se o segmento que os conecta não interceptar o plano dado. Este avião é chamado limite deste semi-espaço. A união de um dado plano e meio espaço será chamada semi-espaço fechado.
Seja um sistema de coordenadas cartesianas fixo no espaço.
Teorema. Seja o plano a dado pela equação geral Ax + By + Cz + D = 0. Então um dos dois semi-espaços em que o plano a divide o espaço é dado pela desigualdade Ax + By + Cz + D > 0 , e o segundo semi-espaço é dado pela desigualdade Ax + By + Cz + D< 0.
Prova.
Vamos traçar o vetor normal = (A, B, С) ao plano a a partir do ponto M (x 0 , y 0 , z 0) situado neste plano: = , M н a, MN ^ a. O plano divide o espaço em dois semi-espaços: b 1 e b 2 . É claro que o ponto N pertence a um desses semi-espaços. Sem perda de generalidade, assumimos que N н b 1 .
Vamos provar que o semi-espaço b 1 é definido pela desigualdade Ax + By + Cz + D > 0.
1) Pegue um ponto K(x,y,z) no semi-espaço b 1 . O ângulo Ð NMK é o ângulo entre os vetores e é agudo, portanto o produto escalar desses vetores é positivo: > 0. Vamos escrever esta desigualdade em coordenadas: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ou seja, Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.
Como M н b 1 , então Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, portanto -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Portanto, a última inequação pode ser escrita da seguinte forma: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Tome um ponto L(x,y) tal que Ax + By + Cz + D > 0.
Vamos reescrever a desigualdade, substituindo D por (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (já que M н b 1, então Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0): ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.
O vetor com coordenadas (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) é um vetor , então a expressão A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) pode ser entendido, como o produto escalar dos vetores e . Como o produto escalar dos vetores e é positivo, o ângulo entre eles é agudo e o ponto L í b 1 .
Da mesma forma, pode-se provar que o semi-espaço b 2 é dado pela desigualdade Ax + By + Cz + D< 0.
Observações.
1) É claro que a prova acima não depende da escolha do ponto M no plano a.
2) É claro que o mesmo semi-espaço pode ser definido por diferentes desigualdades.
O contrário também é verdade.
Teorema. Qualquer desigualdade linear da forma Ax + By + Cz + D > 0 (ou Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Prova.
A equação Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) no espaço define algum plano a (ver § ...). Como foi provado no teorema anterior, um dos dois semi-espaços em que o plano divide o espaço é dado pela desigualdade Ax Ax + By + Cz + D > 0.
Observações.
1) É claro que um semi-espaço fechado pode ser definido por uma desigualdade linear não estrita, e qualquer desigualdade linear não estrita no sistema de coordenadas cartesianas define um semi-espaço fechado.
2) Qualquer poliedro convexo pode ser definido como a interseção de semi-espaços fechados (cujos contornos são planos contendo as faces do poliedro), ou seja, analiticamente, por um sistema de desigualdades lineares não estritas.
Exercícios.
1) Prove os dois teoremas apresentados para um sistema de coordenadas afim arbitrário.
2) A recíproca é verdadeira que qualquer sistema de não estrito desigualdades lineares define um polígono convexo?
Um exercício.1) Explore a posição relativa de dois planos dada por equações gerais no sistema de coordenadas cartesianas e preencha a tabela.
Oh-oh-oh-oh-oh ... bem, é minúsculo, como se você lesse a frase para si mesmo =) No entanto, o relaxamento ajudará, especialmente porque comprei acessórios adequados hoje. Portanto, vamos para a primeira seção, espero que até o final do artigo eu mantenha um clima alegre.
O caso em que o salão canta junto em coro. Duas linhas podem:
1) partida;
2) ser paralelo: ;
3) ou se cruzam em um único ponto: .
Ajuda para manequins : lembre-se do sinal matemático da interseção , isso ocorrerá com muita frequência. A entrada significa que a linha cruza com a linha no ponto.
Vamos começar com o primeiro caso:
Duas linhas coincidem se e somente se seus respectivos coeficientes são proporcionais, ou seja, existe tal número "lambda" que as igualdades
Vamos considerar linhas retas e compor três equações a partir dos coeficientes correspondentes: . De cada equação segue-se que, portanto, essas linhas coincidem.
De fato, se todos os coeficientes da equação 
multiplicar por -1 (sinais de mudança), e todos os coeficientes da equação 
reduzir por 2, você obtém a mesma equação: .
O segundo caso quando as linhas são paralelas:
Duas linhas são paralelas se e somente se seus coeficientes nas variáveis são proporcionais: 
, mas.
Como exemplo, considere duas linhas retas. Verificamos a proporcionalidade dos coeficientes correspondentes para as variáveis: 
No entanto, é claro que.
E o terceiro caso, quando as linhas se cruzam:
Duas linhas se cruzam se e somente se seus coeficientes das variáveis NÃO são proporcionais, ou seja, NÃO existe tal valor de "lambda" que as igualdades sejam cumpridas 
Então, para linhas retas vamos compor um sistema: 
Da primeira equação segue que , e da segunda equação: , portanto, o sistema é inconsistente(sem soluções). Assim, os coeficientes nas variáveis não são proporcionais.
Conclusão: as linhas se cruzam
Em problemas práticos, o esquema de solução que acabamos de considerar pode ser usado. A propósito, é muito semelhante ao algoritmo para verificar a colinearidade de vetores, que consideramos na lição. O conceito de (não) dependência linear de vetores. Base vetorial. Mas há um pacote mais civilizado:
Exemplo 1
Descubra a posição relativa das linhas: 
Solução baseado no estudo de vetores diretores de linhas retas:
a) Das equações, encontramos os vetores de direção das linhas: 
.
, então os vetores não são colineares e as linhas se cruzam.
Por precaução, vou colocar uma pedra com ponteiros na encruzilhada:
O resto salta sobre a pedra e segue em frente, direto para Kashchei, o Imortal =)
b) Encontre os vetores de direção das linhas: 
As linhas têm o mesmo vetor de direção, o que significa que elas são paralelas ou iguais. Aqui o determinante não é necessário.
Obviamente, os coeficientes das incógnitas são proporcionais, enquanto .
Vamos descobrir se a igualdade é verdadeira: 
Nesse caminho,
c) Encontre os vetores de direção das linhas: 
Vamos calcular o determinante, composto pelas coordenadas desses vetores: 
, portanto, os vetores de direção são colineares. As linhas são paralelas ou coincidentes.
O fator de proporcionalidade "lambda" é fácil de ver diretamente da razão de vetores de direção colineares. No entanto, também pode ser encontrado através dos coeficientes das próprias equações: 
.
Agora vamos descobrir se a igualdade é verdadeira. Ambos os termos livres são zero, então:
O valor resultante satisfaz esta equação (qualquer número geralmente a satisfaz).
Assim, as linhas coincidem.
Responda:
Muito em breve você aprenderá (ou mesmo já aprendeu) a resolver o problema considerado verbalmente literalmente em questão de segundos. A esse respeito, não vejo razão para oferecer algo para uma solução independente, é melhor colocar mais um tijolo importante na fundação geométrica:
Por desconhecimento disso a tarefa mais simples pune severamente o Rouxinol, o Ladrão.
Exemplo 2
A linha reta é dada pela equação . Escreva uma equação para uma reta paralela que passa pelo ponto.
Solução: Denote a linha desconhecida pela letra. O que a condição diz sobre isso? A linha passa pelo ponto. E se as linhas são paralelas, então é óbvio que o vetor diretor da linha "ce" também é adequado para construir a linha "de".
Tiramos o vetor de direção da equação:
Responda:
A geometria do exemplo parece simples: 
A verificação analítica consiste nas seguintes etapas:
1) Verificamos que as retas têm o mesmo vetor de direção (se a equação da reta não for devidamente simplificada, então os vetores serão colineares).
2) Verifique se o ponto satisfaz a equação resultante.
A verificação analítica na maioria dos casos é fácil de realizar verbalmente. Olhe para as duas equações e muitos de vocês descobrirão rapidamente como as linhas são paralelas sem nenhum desenho.
Exemplos de auto-solução hoje serão criativos. Porque você ainda tem que competir com Baba Yaga, e ela, você sabe, é uma amante de todos os tipos de enigmas.
Exemplo 3
Escreva uma equação para uma reta que passa por um ponto paralelo à reta se
Existe uma maneira racional e não muito racional de resolver. O caminho mais curto é no final da lição.
Fizemos um pequeno trabalho com linhas paralelas e voltaremos a elas mais tarde. O caso de linhas coincidentes é de pouco interesse, então vamos considerar um problema que você conhece bem do currículo escolar:
Se em linha reta 
intersectam no ponto , então suas coordenadas são a solução sistemas de equações lineares 
Como encontrar o ponto de intersecção das linhas? Resolva o sistema.
Aqui está para você significado geométrico do sistema de dois equações lineares com duas incógnitas são duas linhas retas que se cruzam (na maioria das vezes) em um plano.
Exemplo 4
Encontre o ponto de intersecção das linhas
Solução: Existem duas maneiras de resolver - gráfica e analítica.
A maneira gráfica é simplesmente desenhar as linhas dadas e descobrir o ponto de interseção diretamente do desenho: 
Aqui está o nosso ponto: . Para verificar, você deve substituir suas coordenadas em cada equação de uma linha reta, elas devem caber tanto ali quanto ali. Em outras palavras, as coordenadas de um ponto são a solução do sistema. Na verdade, consideramos uma forma gráfica de resolver sistemas de equações lineares com duas equações, duas incógnitas.
O método gráfico, é claro, não é ruim, mas há desvantagens visíveis. Não, a questão não é que os alunos da sétima série decidam dessa forma, a questão é que levará tempo para fazer um desenho correto e EXATO. Além disso, algumas linhas não são tão fáceis de construir, e o próprio ponto de interseção pode estar em algum lugar no trigésimo reino fora da folha do caderno.
Portanto, é mais conveniente procurar o ponto de interseção Método Analítico. Vamos resolver o sistema: 
Para resolver o sistema, foi utilizado o método de adição de equações termo a termo. Para desenvolver as habilidades relevantes, visite a lição Como resolver um sistema de equações?
Responda:
A verificação é trivial - as coordenadas do ponto de interseção devem satisfazer cada equação do sistema.
Exemplo 5
Encontre o ponto de interseção das linhas se elas se cruzam.
Este é um exemplo de faça você mesmo. A tarefa pode ser convenientemente dividida em várias etapas. A análise da condição sugere que é necessário:
1) Escreva a equação de uma reta.
2) Escreva a equação de uma reta.
3) Descubra a posição relativa das linhas.
4) Se as linhas se cruzam, encontre o ponto de interseção.
O desenvolvimento de um algoritmo de ação é típico para muitos problemas geométricos, e vou focar repetidamente nisso.
Solução completa e resposta no final do tutorial:
Um par de sapatos ainda não foi usado, pois chegamos à segunda seção da lição:
Vamos começar com uma tarefa típica e muito importante. Na primeira parte, aprendemos a construir uma linha reta paralela à dada, e agora a cabana nas pernas de frango girará 90 graus:
Exemplo 6
A linha reta é dada pela equação . Escreva uma equação para uma reta perpendicular que passa por um ponto.
Solução: Sabe-se por suposição que . Seria bom encontrar o vetor de direção da linha reta. Como as linhas são perpendiculares, o truque é simples:
Da equação “retiramos” o vetor normal: , que será o vetor orientador da reta.
Compomos a equação de uma reta por um ponto e um vetor diretor:
Responda: 
Vamos desdobrar o esboço geométrico:
Hmmm... Céu laranja, mar laranja, camelo laranja.
Verificação analítica da solução:
1) Extraia os vetores de direção das equações 
e com a ajuda produto escalar de vetores concluímos que as linhas são de fato perpendiculares: .
A propósito, você pode usar vetores normais, é ainda mais fácil.
2) Verifique se o ponto satisfaz a equação resultante 
.
A verificação, novamente, é fácil de realizar verbalmente.
Exemplo 7
Encontre o ponto de intersecção das linhas perpendiculares, se a equação for conhecida 
e ponto.
Este é um exemplo de faça você mesmo. Existem várias ações na tarefa, por isso é conveniente organizar a solução ponto a ponto.
Nosso uma viagem divertida continuou:
Diante de nós está uma faixa reta do rio e nossa tarefa é alcançá-la pelo caminho mais curto. Não há obstáculos, e a rota mais ideal será o movimento ao longo da perpendicular. Ou seja, a distância de um ponto a uma linha é o comprimento do segmento perpendicular.
A distância em geometria é tradicionalmente denotada pela letra grega "ro", por exemplo: - a distância do ponto "em" à linha reta "de".
Distância do ponto à linha 
é expresso pela fórmula
Exemplo 8
Encontrar a distância de um ponto a uma linha 
Solução: tudo que você precisa é substituir cuidadosamente os números na fórmula e fazer os cálculos:
Responda: 
Vamos executar o desenho: 
A distância encontrada do ponto até a linha é exatamente o comprimento do segmento vermelho. Se você fizer um desenho em papel quadriculado em uma escala de 1 unidade. \u003d 1 cm (2 células), então a distância pode ser medida com uma régua comum.
Considere outra tarefa de acordo com o mesmo desenho:
A tarefa é encontrar as coordenadas do ponto , que é simétrico ao ponto em relação à linha 
. Proponho realizar as ações por conta própria, no entanto, descreverei o algoritmo da solução com resultados intermediários:
1) Encontre uma linha que é perpendicular a uma linha.
2) Encontre o ponto de intersecção das linhas: 
.
Ambas as ações são discutidas em detalhes nesta lição.
3) O ponto é o ponto médio do segmento. Conhecemos as coordenadas do meio e de uma das extremidades. Por fórmulas para as coordenadas do meio do segmento achar .
Não será supérfluo verificar se a distância também é igual a 2,2 unidades.
Dificuldades aqui podem surgir nos cálculos, mas na torre uma microcalculadora ajuda muito, permitindo contar frações comuns. Já aconselhei muitas vezes e recomendarei novamente.
Exemplo 9
Encontre a distância entre duas retas paralelas
Este é outro exemplo para uma solução independente. Uma pequena dica: existem infinitas maneiras de resolver. Debriefing no final da lição, mas é melhor tentar adivinhar por si mesmo, acho que você conseguiu dispersar bem sua ingenuidade.
Seja qual for o canto, então o batente: 
Na geometria, o ângulo entre duas linhas retas é tomado como o ângulo MENOR, do qual se segue automaticamente que não pode ser obtuso. Na figura, o ângulo indicado pelo arco vermelho não é considerado o ângulo entre as linhas de interseção. E seu vizinho “verde” ou orientado opostamente canto carmesim.
Se as linhas são perpendiculares, qualquer um dos 4 ângulos pode ser considerado como o ângulo entre elas.
Como os ângulos são diferentes? Orientação. Primeiro, a direção de "rolagem" do canto é fundamentalmente importante. Em segundo lugar, um ângulo orientado negativamente é escrito com um sinal de menos, por exemplo, se .
Por que eu disse isso? Parece que você pode conviver com o conceito usual de um ângulo. O fato é que nas fórmulas pelas quais encontraremos os ângulos, um resultado negativo pode ser facilmente obtido, e isso não deve surpreendê-lo. Um ângulo com sinal de menos não é pior e tem um significado geométrico muito específico. No desenho de um ângulo negativo, é imperativo indicar sua orientação (sentido horário) com uma seta.
Como encontrar o ângulo entre duas linhas? Existem duas fórmulas de trabalho:
Exemplo 10
Encontre o ângulo entre as linhas
Solução e Método um
Considere duas linhas retas dadas por equações na forma geral: 
Se em linha reta não perpendicular, então orientado o ângulo entre eles pode ser calculado usando a fórmula: 
Vamos prestar muita atenção ao denominador - isso é exatamente produto escalar vetores de direção de linhas retas:
Se , então o denominador da fórmula desaparece, e os vetores serão ortogonais e as linhas serão perpendiculares. Por isso, foi feita uma ressalva quanto à não perpendicularidade das linhas na formulação.
Com base no exposto, a solução é convenientemente formalizada em duas etapas:
1) Calcule o produto escalar de vetores diretores de linhas retas:
então as retas não são perpendiculares.
2) Encontramos o ângulo entre as linhas pela fórmula:
Usando função inversa fácil de encontrar o canto em si. Neste caso, usamos a estranheza do arco tangente (ver Fig. Gráficos e propriedades de funções elementares):
Responda: 
Na resposta, indique valor exato, bem como um valor aproximado (de preferência em graus e radianos) calculado usando uma calculadora.
Bem, menos, então menos, está tudo bem. Aqui está uma ilustração geométrica: 
Não é de surpreender que o ângulo tenha uma orientação negativa, porque na condição do problema o primeiro número é uma linha reta e a “torção” do ângulo começou precisamente a partir dele.
Se você realmente deseja obter um ângulo positivo, precisa trocar as linhas retas, ou seja, pegar os coeficientes da segunda equação 
, e pegue os coeficientes da primeira equação . Em suma, você precisa começar com um 
.
Este material é dedicado a um conceito como o ângulo entre duas linhas retas que se cruzam. No primeiro parágrafo, explicaremos o que é e mostraremos em ilustrações. Em seguida, analisaremos como você pode encontrar o seno, o cosseno desse ângulo e o próprio ângulo (consideraremos separadamente casos com um plano e espaço tridimensional), forneceremos as fórmulas necessárias e mostraremos com exemplos como exatamente elas são aplicadas na prática.
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Para entender o que é um ângulo formado na interseção de duas retas, precisamos relembrar a própria definição de ângulo, perpendicularidade e ponto de interseção.
Definição 1
Chamamos duas linhas de interseção se elas tiverem uma ponto comum. Este ponto é chamado de ponto de intersecção das duas linhas.
Cada linha é dividida pelo ponto de interseção em raios. Neste caso, ambas as linhas formam 4 ângulos, dos quais dois são verticais e dois são adjacentes. Se soubermos a medida de um deles, podemos determinar os outros restantes.
Digamos que sabemos que um dos ângulos é igual a α. Nesse caso, o ângulo que é vertical a ele também será igual a α. Para encontrar os ângulos restantes, precisamos calcular a diferença 180 ° - α . Se α for igual a 90 graus, então todos os ângulos serão retos. As linhas que se cruzam em ângulos retos são chamadas de perpendiculares (um artigo separado é dedicado ao conceito de perpendicularidade).
Dê uma olhada na foto:
Passemos à formulação da definição principal.
Definição 2
O ângulo formado por duas linhas que se cruzam é a medida do menor dos 4 ângulos que formam essas duas linhas.
Uma importante conclusão deve ser tirada da definição: o tamanho do ângulo neste caso será expresso por qualquer número real no intervalo (0 , 90 ] . Se as linhas são perpendiculares, então o ângulo entre elas será em qualquer caso igual a 90 graus.
A capacidade de encontrar a medida do ângulo entre duas linhas de interseção é útil para resolver muitos problemas práticos. O método de solução pode ser selecionado entre várias opções.
Para começar, podemos usar métodos geométricos. Se soubermos algo sobre ângulos adicionais, podemos conectá-los ao ângulo que precisamos usando as propriedades de formas iguais ou semelhantes. Por exemplo, se conhecemos os lados de um triângulo e precisamos calcular o ângulo entre as linhas nas quais esses lados estão localizados, o teorema do cosseno é adequado para resolver. Se tivermos um triângulo retângulo na condição, para os cálculos também precisaremos conhecer o seno, o cosseno e a tangente do ângulo.
O método de coordenadas também é muito conveniente para resolver problemas desse tipo. Vamos explicar como usá-lo corretamente.
Temos um sistema de coordenadas retangular (cartesiano) O x y com duas linhas retas. Vamos denotá-los pelas letras a e b. Neste caso, as linhas retas podem ser descritas usando quaisquer equações. As linhas originais têm um ponto de interseção M . Como determinar o ângulo desejado (vamos denotar α) entre essas linhas?
Vamos começar com a formulação do princípio básico de encontrar um ângulo sob determinadas condições.
Sabemos que conceitos como direção e vetor normal estão intimamente relacionados ao conceito de linha reta. Se tivermos a equação de alguma reta, podemos tirar dela as coordenadas desses vetores. Podemos fazer isso para duas linhas que se cruzam ao mesmo tempo.
O ângulo formado por duas linhas de interseção pode ser encontrado usando:
Agora vamos ver cada método separadamente.
1. Suponha que temos uma reta a com vetor de direção a → = (a x , a y) e uma reta b com vetor de direção b → (b x , b y) . Agora vamos separar dois vetores a → e b → do ponto de interseção. Depois disso, veremos que cada um deles estará localizado em sua própria linha. Então temos quatro opções para sua posição relativa. Veja ilustração:
Se o ângulo entre dois vetores não for obtuso, então será o ângulo que precisamos entre as linhas de interseção a e b. Se for obtuso, então o ângulo desejado será igual ao ângulo adjacente ao ângulo a → , b → ^ . Assim, α = a → , b → ^ se a → , b → ^ ≤ 90 ° e α = 180 ° - a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .
Com base no fato de que os cossenos de ângulos iguais são iguais, podemos reescrever as igualdades resultantes da seguinte forma: cos α = cos a → , b → ^ if a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = -cos a → , b → ^ se a → , b → ^ > 90 ° .
No segundo caso, foram utilizadas fórmulas de redução. Nesse caminho,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Vamos escrever a última fórmula em palavras:
Definição 3
O cosseno do ângulo formado por duas linhas que se cruzam será igual ao módulo do cosseno do ângulo entre seus vetores de direção.
A forma geral da fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores a → = (a x, a y) e b → = (b x, b y) é assim:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Dele podemos derivar a fórmula para o cosseno do ângulo entre duas linhas dadas:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Então o próprio ângulo pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Aqui a → = (a x , a y) eb → = (b x , b y) são os vetores de direção das linhas dadas.
Vamos dar um exemplo de resolução do problema.
Exemplo 1
Em um sistema de coordenadas retangular, duas linhas de interseção a e b são dadas no plano. Eles podem ser descritos por equações paramétricas x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ex 5 = y - 6 - 3 . Calcule o ângulo entre essas linhas.
Solução
Temos uma equação paramétrica na condição, o que significa que para esta linha reta podemos escrever imediatamente as coordenadas de seu vetor de direção. Para fazer isso, precisamos pegar os valores dos coeficientes no parâmetro, ou seja, a reta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R terá um vetor direcional a → = (4 , 1) .
A segunda linha reta é descrita usando a equação canônica x 5 = y - 6 - 3 . Aqui podemos tirar as coordenadas dos denominadores. Assim, esta reta tem um vetor direcional b → = (5 , - 3) .
Em seguida, prosseguimos diretamente para encontrar o ângulo. Para fazer isso, basta substituir as coordenadas disponíveis dos dois vetores na fórmula acima α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Obtemos o seguinte:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Responda: Estas linhas formam um ângulo de 45 graus.
Podemos resolver um problema semelhante encontrando o ângulo entre os vetores normais. Se tivermos uma linha a com um vetor normal n a → = (n a x , n a y) e uma linha b com um vetor normal n b → = (n b x , n b y) , então o ângulo entre elas será igual ao ângulo entre n a → e n b → ou o ângulo que será adjacente a n a → , n b → ^ . Este método é mostrado na imagem:
As fórmulas para calcular o cosseno do ângulo entre as linhas de interseção e esse próprio ângulo usando as coordenadas dos vetores normais são assim:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Aqui n a → e n b → denotam os vetores normais de duas linhas dadas.
Exemplo 2
Duas linhas retas são dadas em um sistema de coordenadas retangular usando as equações 3 x + 5 y - 30 = 0 e x + 4 y - 17 = 0 . Encontre o seno, o cosseno do ângulo entre eles e a magnitude do próprio ângulo.
Solução
As linhas retas originais são dadas usando equações de linha reta normal da forma A x + B y + C = 0 . Denote o vetor normal n → = (A , B) . Vamos encontrar as coordenadas do primeiro vetor normal para uma linha reta e escrevê-las: n a → = (3 , 5) . Para a segunda linha x + 4 y - 17 = 0 o vetor normal terá coordenadas n b → = (1 , 4) . Agora some os valores obtidos na fórmula e calcule o total:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Se conhecemos o cosseno de um ângulo, podemos calcular seu seno usando o identidade trigonométrica. Como o ângulo α formado por linhas retas não é obtuso, então sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
Neste caso, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Resposta: cos α = 23 2 34 , sen α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sen 7 2 34
Vamos analisar o último caso - encontrar o ângulo entre as linhas, se soubermos as coordenadas do vetor diretor de uma linha e o vetor normal da outra.
Suponha que a linha a tenha um vetor direcional a → = (a x , a y) , e a linha b tenha um vetor normal n b → = (n b x , n b y) . Precisamos adiar esses vetores do ponto de interseção e considerar todas as opções para sua posição relativa. Ver foto:
Se o ângulo entre os vetores dados não for maior que 90 graus, verifica-se que complementará o ângulo entre a e b em um ângulo reto.
a → , n b → ^ = 90 ° - α se a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Se for inferior a 90 graus, obteremos o seguinte:
a → , n b → ^ > 90 ° , então a → , n b → ^ = 90 ° + α
Usando a regra da igualdade de cossenos de ângulos iguais, escrevemos:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sen α para a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = -sen α em a → , n b → ^ > 90 ° .
Nesse caminho,
sen α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Vamos formular uma conclusão.
Definição 4
Para encontrar o seno do ângulo entre duas linhas que se cruzam em um plano, você precisa calcular o módulo do cosseno do ângulo entre o vetor de direção da primeira linha e o vetor normal da segunda.
Vamos anotar as fórmulas necessárias. Encontrando o seno de um ângulo:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Encontrando o canto em si:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Aqui a → é o vetor de direção da primeira linha, e n b → é o vetor normal da segunda.
Exemplo 3
Duas linhas de interseção são dadas pelas equações x - 5 = y - 6 3 ex + 4 y - 17 = 0 . Encontre o ângulo de interseção.
Solução
Tomamos as coordenadas do vetor diretivo e normal das equações dadas. Acontece que a → = (- 5 , 3) e n → b = (1 , 4) . Tomamos a fórmula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 e consideramos:
α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34
Observe que pegamos as equações do problema anterior e obtivemos exatamente o mesmo resultado, mas de uma maneira diferente.
Responda:α = a r c sen 7 2 34
Aqui está outra maneira de encontrar o ângulo desejado usando os coeficientes de inclinação de determinadas linhas.
Temos uma linha a , que é definida em um sistema de coordenadas retangulares usando a equação y = k 1 · x + b 1 , e uma linha b , definida como y = k 2 · x + b 2 . Estas são equações de linhas com uma inclinação. Para encontrar o ângulo de interseção, use a fórmula:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , onde k 1 e k 2 são fatores de inclinação linhas dadas. Para obter esse registro, foram utilizadas fórmulas para determinar o ângulo através das coordenadas dos vetores normais.
Exemplo 4
Há duas retas que se interceptam no plano, dadas pelas equações y = - 3 5 x + 6 ey = - 1 4 x + 17 4 . Calcule o ângulo de interseção.
Solução
As inclinações de nossas linhas são iguais a k 1 = - 3 5 e k 2 = - 1 4 . Vamos adicioná-los à fórmula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 e calcular:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Responda:α = a r c cos 23 2 34
Nas conclusões deste parágrafo, deve-se notar que as fórmulas para encontrar o ângulo dadas aqui não precisam ser aprendidas de cor. Para isso, basta conhecer as coordenadas das guias e/ou vetores normais das linhas dadas e poder determiná-las a partir de tipos diferentes equações. Mas as fórmulas para calcular o cosseno de um ângulo são melhores para lembrar ou anotar.
O cálculo de tal ângulo pode ser reduzido ao cálculo das coordenadas dos vetores de direção e à determinação da magnitude do ângulo formado por esses vetores. Para tais exemplos, usamos o mesmo raciocínio que demos antes.
Digamos que temos sistema retangular coordenadas localizadas em espaço tridimensional. Ele contém duas linhas a e b com o ponto de interseção M . Para calcular as coordenadas dos vetores de direção, precisamos conhecer as equações dessas linhas. Denote os vetores de direção a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , b y , b z) . Para calcular o cosseno do ângulo entre eles, usamos a fórmula:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Para encontrar o ângulo em si, precisamos desta fórmula:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Exemplo 5
Temos uma linha reta definida no espaço 3D usando a equação x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Sabe-se que ele intercepta o eixo O z. Calcule o ângulo de interseção e o cosseno desse ângulo.
Solução
Vamos denotar o ângulo a ser calculado pela letra α. Vamos escrever as coordenadas do vetor de direção para a primeira linha reta - a → = (1 , - 3 , - 2) . Para o eixo aplicável, podemos tomar o vetor de coordenadas k → = (0 , 0 , 1) como guia. Recebemos os dados necessários e podemos adicioná-los à fórmula desejada:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Como resultado, temos que o ângulo que precisamos será igual a a r c cos 1 2 = 45°.
Responda: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
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