funções sin, cos, tg e ctg são sempre seguidos por um arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-tangente. Uma é consequência da outra, e pares de funções são igualmente importantes para trabalhar com expressões trigonométricas.
Considere o desenho de um círculo unitário, que exibe graficamente os valores funções trigonométricas.
Se você calcular os arcos OA, arcos OC, arcctg DE e arcctg MK, todos serão iguais ao valor do ângulo α. As fórmulas abaixo refletem a relação entre as principais funções trigonométricas e seus arcos correspondentes.
Para entender mais sobre as propriedades do arco-seno, é necessário considerar sua função. Cronograma tem a forma de uma curva assimétrica passando pelo centro de coordenadas.
Propriedades do arco-seno:
Se compararmos gráficos pecado e arco pecado, duas funções trigonométricas podem encontrar padrões comuns.
Arccos do número a é o valor do ângulo α, cujo cosseno é igual a a.
Curva y = arcos x espelha o gráfico de arcos em x, com a única diferença de que ele passa pelo ponto π/2 no eixo OY.
Considere a função arco-coseno com mais detalhes:
Algumas propriedades do arco cosseno são as mesmas da função cosseno.
É possível que um estudo tão "detalhado" dos "arcos" pareça supérfluo para os alunos. Caso contrário, no entanto, algum tipo elementar USE atribuições pode confundir os alunos.
Exercício 1. Especifique as funções mostradas na figura.
Responda: arroz. 1 - 4, fig. 2 - 1.
NO este exemplo a ênfase está nas pequenas coisas. Normalmente, os alunos são muito desatentos à construção de gráficos e à aparência de funções. De fato, por que memorizar a forma da curva, se ela sempre pode ser construída a partir de pontos calculados. Não se esqueça que em condições de teste, o tempo gasto no desenho de uma tarefa simples será necessário para resolver tarefas mais complexas.
Arctg o número a é um valor tal do ângulo α que sua tangente é igual a a.
Se considerarmos o gráfico do arco tangente, podemos distinguir as seguintes propriedades:
Aqui está um breve análise comparativa tg x e arctg x como uma tabela.
Arcctg do número a - toma tal valor de α do intervalo (0; π) que sua cotangente é igual a a.
Propriedades da função arco cotangente:
Comparar ctg x e arctg x é muito simples, basta fazer dois desenhos e descrever o comportamento das curvas.
Tarefa 2. Correlacione o gráfico e a forma da função.
Logicamente, os gráficos mostram que ambas as funções são crescentes. Portanto, ambas as figuras exibem alguma função arctg. É conhecido pelas propriedades do arco tangente que y=0 para x = 0,
Responda: arroz. 1 - 1, fig. 2-4.
Anteriormente, já identificamos a relação entre os arcos e as principais funções da trigonometria. Essa dependência pode ser expressa por uma série de fórmulas que permitem expressar, por exemplo, o seno de um argumento por meio de seu arco-seno, arco-cosseno ou vice-versa. O conhecimento de tais identidades pode ser útil na resolução de exemplos específicos.
Há também proporções para arctg e arcctg:
Outro par útil de fórmulas define o valor da soma dos valores arcsin e arcos e arcctg e arcctg do mesmo ângulo.
As tarefas de trigonometria podem ser condicionalmente divididas em quatro grupos: calcular o valor numérico de uma expressão específica, plotar uma determinada função, encontrar seu domínio de definição ou ODZ e realizar transformações analíticas para resolver o exemplo.
Ao resolver o primeiro tipo de tarefas, é necessário aderir ao seguinte plano de ação:
Ao trabalhar com gráficos de funções, o principal é o conhecimento de suas propriedades e aparência torto. Para soluções equações trigonométricas e tabelas de desigualdades de identidades são necessárias. Quanto mais fórmulas o aluno se lembrar, mais fácil será encontrar a resposta para a tarefa.
Suponha que no exame seja necessário encontrar a resposta para uma equação do tipo:
Se você transformar corretamente a expressão e levar a o tipo certo, então é muito simples e rápido resolvê-lo. Primeiro, vamos mover arcsin x para lado direito igualdade.
Se nos lembrarmos da fórmula arcsin (sinα) = α, então podemos reduzir a busca por respostas para resolver um sistema de duas equações:
A restrição no modelo x surgiu, novamente das propriedades de arcsin: ODZ for x [-1; 1]. Quando a ≠ 0, parte do sistema é Equação quadrática com raízes x1 = 1 e x2 = - 1/a. Com a = 0, x será igual a 1.
Um método para derivar fórmulas para funções trigonométricas inversas é apresentado. São obtidas fórmulas para argumentos negativos, expressões relacionando o arco seno, arco cosseno, arco tangente e arco tangente. É indicado um método para derivar fórmulas para a soma de arcos senos, arco cossenos, arco tangentes e arco tangentes.
A derivação de fórmulas para funções trigonométricas inversas é simples, mas requer controle sobre os valores dos argumentos das funções diretas. Isso se deve ao fato de que as funções trigonométricas são periódicas e, portanto, suas funções inversas são multivaloradas. Salvo indicação em contrário, funções trigonométricas inversas significam seus valores principais. Para determinar o valor principal, o domínio de definição da função trigonométrica é reduzido ao intervalo em que é monotônico e contínuo. A derivação de fórmulas para funções trigonométricas inversas é baseada nas fórmulas de funções trigonométricas e nas propriedades de funções inversas como tal. As propriedades das funções inversas podem ser divididas em dois grupos.
O primeiro grupo inclui fórmulas válidas em todo o domínio das funções inversas:
sin(arcsin x) = x
cos(arcos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞
)
ctg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞
)
O segundo grupo inclui fórmulas válidas apenas no conjunto de valores de funções inversas.
arcsin(sin x) = x no
arccos(cos x) = x no
arctg(tg x) = x no
arcctg(ctg x) = x no
Se a variável x não cair no intervalo acima, ela deve ser reduzida a ela usando as fórmulas das funções trigonométricas (doravante n é um número inteiro):
sinx = sin(-x-π);
sinx = sin(π-x);
senx = sen(x+2πn);
cosx = cos(-x);
cosx = cos(2π-x);
cosx = cos(x+2πn);
tgx = tg(x+πn);
ctgx = ctg(x+πn)
Por exemplo, se é sabido que
arcosin(sin x) = arcsin(sin(π - x )) = π - x .
É fácil ver que para π - x cai dentro do intervalo requerido. Para fazer isso, multiplique por -1: e adicione π: ou Tudo está correto.
Aplicando as fórmulas e propriedades das funções trigonométricas acima, obtemos fórmulas para as funções inversas de um argumento negativo.
arco sen(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arco sen x
Desde então multiplicando por -1 , temos: ou
O argumento do seno está dentro do intervalo permitido do intervalo do arco seno. Portanto a fórmula está correta.
Da mesma forma para outras funções.
arcos(-x) = arccos(-cos arcos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arcos x
arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arco x
arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arco x
Expressamos o arco-seno em termos do arco-cosseno.
A fórmula é válida para Essas desigualdades são válidas porque
Para verificar isso, multiplicamos as desigualdades por -1 : e somamos π/2 : ou Tudo está correto.
Da mesma forma, expressamos o arco tangente através do arco tangente.
Procedemos de maneira semelhante.
De maneira semelhante, obtemos a fórmula da soma dos arcos senos.
Estabeleçamos os limites de aplicabilidade da fórmula. Para não lidar com expressões incômodas, introduzimos a notação: X = arco sen x, Y = arcsin y. A fórmula é aplicável quando
. Além disso, notamos que, uma vez que arco sen(- x) = - arco sen x, arco sen(- y) = - arco sen y, então para diferentes sinais de x e y, X e Y também sinal diferente e assim as desigualdades se mantêm. A condição de sinais diferentes para x e y pode ser escrita com uma desigualdade: . Isto é, quando a fórmula é válida.
Agora considere o caso x > 0
e você > 0
, ou X > 0
e Y > 0
. Então a condição de aplicabilidade da fórmula é o cumprimento da desigualdade: . Como o cosseno diminui monotonicamente para valores do argumento no intervalo de 0
, para π, então pegamos o cosseno dos lados esquerdo e direito dessa desigualdade e transformamos a expressão:
;
;
;
.
Desde e ; então os cossenos incluídos aqui não são negativos. Ambas as partes da desigualdade são positivas. Nós os elevamos ao quadrado e convertemos os cossenos pelos senos:
;
.
Substituto sen X = sen arco sen x = x:
;
;
;
.
Portanto, a fórmula resultante é válida para ou .
Agora considere o caso x > 0, y > 0 e x 2 + y 2 > 1 . Aqui o argumento do seno assume os valores: . Ele precisa ser reduzido ao intervalo da área de valor do arco seno:
Então,
em eu.
Substituindo x e y por - x e - y, temos
em eu.
Realizamos transformações:
em eu.
Ou
em eu.
Assim, obtivemos as seguintes expressões para a soma dos arcos senos:
em ou ;
Para e ;
em e .
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O que vamos estudar:
1. Qual é o arco-seno?
2. Designação do arco seno.
3. Um pouco de história.
4. Definição.
6. Exemplos.
Pessoal, já aprendemos como resolver equações para cosseno, agora vamos aprender como resolver equações semelhantes para seno. Considere sen(x)= √3/2. Para resolver esta equação, você precisa construir uma reta y= √3/2 e ver: em que pontos ela intercepta o círculo numérico. Pode-se ver que a linha intercepta o círculo em dois pontos F e G. Esses pontos serão a solução para nossa equação. Renomeie F como x1 e G como x2. Já encontramos a solução para esta equação e obtivemos: x1= π/3 + 2πk,
e x2= 2π/3 + 2πk.
Resolver essa equação é bem simples, mas como resolver, por exemplo, a equação
sen(x)=5/6. Obviamente, esta equação também terá duas raízes, mas quais valores corresponderão à solução no círculo numérico? Vamos dar uma olhada em nossa equação sen(x)=5/6.
A solução da nossa equação será de dois pontos: F= x1 + 2πk e G= x2 + 2πk,
onde x1 é o comprimento do arco AF, x2 é o comprimento do arco AG.
Nota: x2= π - x1, porque AF= AC - FC, mas FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Mas o que são esses pontos?
Confrontado com situação similar, os matemáticos criaram um novo símbolo - arcsin (x). Parece um arco-seno.
Então a solução da nossa equação será escrita da seguinte forma: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
E a decisão em visão geral: x= arcsin(5/6) + 2πk e x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
O arco seno é o ângulo (comprimento do arco AF, AG) seno, que é igual a 5/6.
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A história da origem do nosso símbolo é exatamente a mesma da arccos. Pela primeira vez, o símbolo arcsin aparece nas obras do matemático Scherfer e do famoso cientista francês J.L. Lagrange. Um pouco antes, o conceito de arco-seno foi considerado por D. Bernuli, embora ele o tenha escrito com outros símbolos.
Esses símbolos tornaram-se geralmente aceitos apenas no final do século XVIII. O prefixo "arco" vem do latim "arcus" (arco, arco). Isso é bastante consistente com o significado do conceito: arcsin x é um ângulo (ou você pode dizer um arco), cujo seno é igual a x.
Se |а|≤ 1, então arcsin(a) é tal número do intervalo [- π/2; π/2], cujo seno é a.
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Se |a|≤ 1, então a equação sin(x)= a tem solução: x= arcsin(a) + 2πk e
x= π - arco sen(a) + 2πk
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Vamos reescrever:
x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).
Pessoal, observem atentamente nossas duas soluções. O que você acha: eles podem ser escritos em uma fórmula geral? Observe que, se houver um sinal de mais antes do arco-seno, π será multiplicado por um número par 2πk e, se o sinal for menos, o multiplicador será ímpar 2k+1.
Com isso em mente, escrevemos a fórmula de solução geral para a equação sin(x)=a: _4.jpg)
Existem três casos em que se prefere escrever soluções de forma mais simples:
sin(x)=0, então x= πk,
sin(x)=1, então x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, então x= -π/2 + 2πk.
Para qualquer -1 ≤ a ≤ 1, vale a seguinte igualdade: arcsin(-a)=-arcsin(a).
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Vamos escrever uma tabela de valores de cosseno ao contrário e obter uma tabela para o arco seno.
1. Calcule: arcsin(√3/2).
Solução: Seja arcsin(√3/2)= x, então sin(x)= √3/2. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: x= π/3, pois sin(π/3)= √3/2 e –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Resposta: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Calcule: arcsin(-1/2).
Solução: Seja arcsin(-1/2)= x, então sin(x)= -1/2. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: x= -π/6, pois sin(-π/6)= -1/2 e -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Resposta: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Calcule: arcsin(0).
Solução: Seja arcsin(0)= x, então sin(x)= 0. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: significa x = 0, porque sin(0)= 0 e - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Resposta: arcosin(0)=0.
4. Resolva a equação: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk e x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Vejamos o valor na tabela: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Resposta: x= -π/4 + 2πk e x= 5π/4 + 2πk.
5. Resolva a equação: sin(x) = 0.
Solução: Vamos usar a definição, então a solução será escrita na forma:
x= arcsin(0) + 2πk e x= π - arcsin(0) + 2πk. Vejamos o valor na tabela: arcsin(0)= 0.
Resposta: x= 2πk e x= π + 2πk
6. Resolva a equação: sin(x) = 3/5.
Solução: Vamos usar a definição, então a solução será escrita na forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk e x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Resposta: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.
7. Resolva a inequação sen(x) Solução: O seno é a ordenada do ponto do círculo numérico. Então: precisamos encontrar esses pontos, cuja ordenada é menor que 0,7. Vamos traçar uma linha reta y=0,7. Ele intercepta o círculo numérico em dois pontos. Desigualdade y Então a solução da desigualdade será: -π – arcsin(0.7) + 2πk _7.jpg)
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")
Para conceitos arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco tangente a população estudantil é cautelosa. Ele não entende esses termos e, portanto, não confia nessa família gloriosa.) Mas em vão. Isto é muito conceitos simples. O que, aliás, facilita muito a vida de um conhecedor na hora de resolver equações trigonométricas!
Confuso sobre simplicidade? Em vão.) Aqui e agora você ficará convencido disso.
Claro, para entender, seria bom saber o que são seno, cosseno, tangente e cotangente. Sim, seus valores tabulares para alguns ângulos ... Pelo menos no mais em termos gerais. Então também não haverá problemas aqui.
Então, estamos surpresos, mas lembre-se: arco seno, arco cosseno, arco tangente e arco tangente são apenas alguns ângulos. Nem mais nem menos. Há um ângulo, digamos 30°. E há um ângulo arcosin0.4. Ou arctg(-1.3). Existem todos os tipos de ângulos.) Você pode simplesmente anotar os ângulos jeitos diferentes. Você pode escrever o ângulo em graus ou radianos. Ou você pode - através de seu seno, cosseno, tangente e cotangente ...
o que significa a expressão
arcosin 0.4?
Este é o ângulo cujo seno é 0,4! Sim Sim. Este é o significado do arco-seno. Repito especificamente: arcsin 0,4 é um ângulo cujo seno é 0,4.
E é isso.
Para manter esse pensamento simples em minha cabeça por muito tempo, vou até detalhar esse termo terrível - o arco-seno:
arco pecado 0,4
canto, cujo seno igual a 0,4
Como está escrito, assim é ouvido.) Quase. Console arco significa arco(palavra arco sabe?), porque os antigos usavam arcos em vez de cantos, mas isso não muda a essência do assunto. Lembre-se desta decodificação elementar de um termo matemático! Além disso, para arco cosseno, arco tangente e arco tangente, a decodificação difere apenas no nome da função.
O que é arcos 0.8?
Este é um ângulo cujo cosseno é 0,8.
O que é arctan(-1,3)?
Este é um ângulo cuja tangente é -1,3.
O que é arcctg 12?
Este é um ângulo cuja cotangente é 12.
Essa decodificação elementar permite, a propósito, evitar erros épicos.) Por exemplo, a expressão arccos1,8 parece bastante sólida. Vamos começar a decodificar: arccos1,8 é um ângulo cujo cosseno é igual a 1,8... Hop-hop!? 1.8!? O cosseno não pode ser maior que um!
Certo. A expressão arccos1,8 não faz sentido. E escrever tal expressão em alguma resposta divertirá muito o verificador.)
Elementar, como você pode ver.) Cada ângulo tem seu próprio seno e cosseno. E quase todo mundo tem sua própria tangente e cotangente. Portanto, conhecendo a função trigonométrica, você pode anotar o próprio ângulo. Para isso, pretende-se arcossenos, arcocossenos, arcotangentes e arcotangentes. Além disso, chamarei toda essa família de diminutivo - arcos. para digitar menos.)
Atenção! Verbal elementar e consciente decifrar os arcos permite que você resolva uma variedade de tarefas com calma e confiança. E em incomum tarefas só ela salva.
É possível mudar de arcos para graus ou radianos comuns?- Eu ouço uma pergunta cautelosa.)
Por que não!? Facilmente. Você pode ir lá e voltar. Além disso, às vezes é necessário fazê-lo. Arcos são uma coisa simples, mas sem eles fica mais tranquilo, né?)
Por exemplo: o que é arcsin 0.5?
Vejamos a descriptografia: arcsin 0,5 é o ângulo cujo seno é 0,5. Agora vire a cabeça (ou o Google)) e lembre-se de qual ângulo tem um seno de 0,5? O seno é 0,5 y ângulo de 30 graus. Isso é tudo que existe: arcosin 0,5 é um ângulo de 30°. Você pode escrever com segurança:
arco sen 0,5 = 30°
Ou, mais solidamente, em termos de radianos:
É isso, você pode esquecer o arco-seno e trabalhar com os graus ou radianos usuais.
Se você percebeu o que é arco seno, arco cosseno... O que é arco tangente, arco tangente... Então você pode facilmente lidar com, por exemplo, tal monstro.)
Um ignorante recuará de horror, sim ...) E um conhecedor lembre-se da descriptografia: o arco-seno é o ângulo cujo seno é ... Bem, e assim por diante. Se um conhecedor também conhece a tabela dos senos... A tabela dos cossenos. Uma tabela de tangentes e cotangentes, então não há problemas!
Basta considerar que:
Vou decifrar, ou seja, traduza a fórmula em palavras: ângulo cuja tangente é 1 (arctg1)é um ângulo de 45°. Ou, o que é o mesmo, Pi/4. De forma similar:
e pronto... Substituímos todos os arcos por valores em radianos, tudo se reduz, resta calcular quanto será 1 + 1. Será 2.) Qual é a resposta correta.
É assim que você pode (e deve) passar de arcosenos, arcocossenos, arcotangentes e arcotangentes para graus e radianos comuns. Isso simplifica muito os exemplos assustadores!
Muitas vezes, em tais exemplos, dentro dos arcos são negativo valores. Tipo, arctg(-1.3), ou, por exemplo, arccos(-0.8)... Isso não é um problema. Aí está você fórmulas simples transição de valores negativos para positivos:
Você precisa, digamos, determinar o valor de uma expressão:
Você pode resolver isso usando um círculo trigonométrico, mas não deseja desenhá-lo. Bem, tudo bem. Indo de negativo valores dentro do arco cosseno para positivo segundo a segunda fórmula:
Dentro do arco cosseno à direita já positivo significado. o que
você apenas tem que saber. Resta substituir os radianos em vez do arco cosseno e calcular a resposta:
Isso é tudo.
Existe um problema com os exemplos 7 - 9? Bem, sim, há algum truque aí.)
Todos esses exemplos, do 1º ao 9º, estão cuidadosamente separados nas prateleiras da Seção 555. O quê, como e por quê. Com todas as armadilhas e truques secretos. Mais maneiras de simplificar drasticamente a solução. A propósito, nesta seção há muitos informação útil e Conselho prático trigonometria em geral. E não apenas em trigonometria. Ajuda muito.
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
São dadas definições de funções trigonométricas inversas e seus gráficos. Bem como fórmulas relacionadas a funções trigonométricas inversas, fórmulas para somas e diferenças.
Como as funções trigonométricas são periódicas, as funções inversas a elas não são de valor único. Então, a equação y = pecado x, para dado , tem infinitas raízes. De fato, devido à periodicidade do seno, se x é tal raiz, então x + 2n(onde n é um número inteiro) também será a raiz da equação. Nesse caminho, funções trigonométricas inversas são multivaloradas. Para facilitar o trabalho com eles, é apresentado o conceito de seus principais valores. Considere, por exemplo, o seno: y = pecado x. Se limitarmos o argumento x ao intervalo , então nele a função y = pecado x aumenta monotonicamente. Portanto, tem uma função inversa de valor único, chamada de arco seno: x = arcsin y.
Salvo indicação em contrário, funções trigonométricas inversas significam seus valores principais, que são definidos pelas seguintes definições.
arco-seno ( y= arco sen x) é a função inversa do seno ( x= sinuoso
Arco cosseno ( y= arcos x) é a função inversa do cosseno ( x= aconchegante) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Arcotangente ( y= arco x) é a função inversa da tangente ( x= tg y) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Arco tangente ( y= arco x) é a função inversa da cotangente ( x= ctg y) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Gráficos de funções trigonométricas inversas são obtidos a partir de gráficos de funções trigonométricas por reflexão no espelho em relação à linha reta y = x. Consulte as seções Seno, cosseno, tangente, cotangente.
y= arco sen x
y= arcos x
y= arco x
y= arco x
Aqui, atenção especial deve ser dada aos intervalos para os quais as fórmulas são válidas.
arcsin(sin x) = x no
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x no
cos(arcos x) = x
arctg(tg x) = x no
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x no
ctg(arctg x) = x
em ou
em e
em e
em ou
em e
em e
no
no
no
no
