Este artigo continua o tópico da equação de uma linha reta em um plano: considere esse tipo de equação como a equação geral de uma linha reta. Vamos definir um teorema e dar sua prova; Vamos descobrir o que é uma equação geral incompleta de uma linha reta e como fazer a transição de uma equação geral para outros tipos de equações de uma linha reta. Vamos consolidar toda a teoria com ilustrações e resolução de problemas práticos.
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Seja dado no plano um sistema de coordenadas retangulares O x y.
Teorema 1
Qualquer equação do primeiro grau, tendo a forma A x + B y + C \u003d 0, onde A, B, C são alguns numeros reais(A e B não são iguais a zero ao mesmo tempo) define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano. Por sua vez, qualquer linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano é determinada por uma equação que tem a forma A x + B y + C = 0 para um determinado conjunto de valores A, B, C.
Prova
Este teorema consiste em dois pontos, provaremos cada um deles.
Seja algum ponto M 0 (x 0 , y 0) cujas coordenadas correspondem à equação A x + B y + C = 0 . Assim: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia dos lados esquerdo e direito das equações A x + B y + C \u003d 0 os lados esquerdo e direito da equação A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obtemos uma nova equação que se parece com A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . É equivalente a A x + B y + C = 0 .
A equação resultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 é uma condição necessária e suficiente para a perpendicularidade dos vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Assim, o conjunto dos pontos M (x, y) define em um sistema de coordenadas retangulares uma reta perpendicular à direção do vetor n → = (A, B) . Podemos assumir que não é assim, mas então os vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) não seriam perpendiculares, e a igualdade A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 não seria verdadeiro.
Portanto, a equação A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 define alguma linha em um sistema de coordenadas retangular no plano e, portanto, a equação equivalente A x + B y + C \u003d 0 define a mesma linha. Assim, provamos a primeira parte do teorema.
Vamos definir uma linha reta a em um sistema de coordenadas retangular no plano; ponto M 0 (x 0 , y 0) por onde passa esta reta, assim como o vetor normal desta reta n → = (A , B) .
Deixe também existir algum ponto M (x , y) - um ponto flutuante da linha. Nesse caso, os vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) são perpendiculares entre si e seus produto escalaré nulo:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
Vamos reescrever a equação A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definir C: C = - A x 0 - B y 0 e finalmente obter a equação A x + B y + C = 0 .
Assim, provamos a segunda parte do teorema e provamos todo o teorema como um todo.
Definição 1
Uma equação que parece A x + B y + C = 0 - isto é equação geral da reta em um plano em um sistema de coordenadas retangularO x y .
Com base no teorema provado, podemos concluir que uma reta dada em um plano em um sistema de coordenadas retangulares fixo e sua equação geral estão inextricavelmente ligadas. Em outras palavras, a reta original corresponde à sua equação geral; a equação geral de uma reta corresponde a uma dada reta.
Resulta também da prova do teorema que os coeficientes A e B para as variáveis x e y são as coordenadas do vetor normal da reta, que é dado pela equação geral da reta A x + B y + C = 0 .
Considerar exemplo específico equação geral de uma reta.
Seja dada a equação 2 x + 3 y - 2 = 0, que corresponde a uma reta em um dado sistema de coordenadas retangulares. O vetor normal desta reta é o vetor n → = (2 , 3) . Desenhe uma determinada linha reta no desenho.
Também se pode argumentar o seguinte: a reta que vemos no desenho é determinada pela equação geral 2 x + 3 y - 2 = 0, pois as coordenadas de todos os pontos de uma determinada reta correspondem a esta equação.
Podemos obter a equação λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 multiplicando ambos os lados da equação geral da reta por um número diferente de zero λ. A equação resultante é equivalente à equação geral original, portanto, descreverá a mesma reta no plano.
Definição 2Equação geral completa de uma reta- tal equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, na qual os números A, B, C são diferentes de zero. Caso contrário, a equação é incompleto.
Analisemos todas as variações da equação geral incompleta da reta.
Vamos ilustrar graficamente todos os tipos acima da equação geral incompleta de uma linha reta.
Exemplo 1
Sabe-se que a reta dada é paralela ao eixo y e passa pelo ponto 2 7 , - 11 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.
Solução
Uma linha reta paralela ao eixo y é dada por uma equação da forma A x + C \u003d 0, na qual A ≠ 0. A condição também especifica as coordenadas do ponto através do qual a linha passa, e as coordenadas deste ponto correspondem às condições da equação geral incompleta A x + C = 0 , ou seja, a igualdade está correta:
A 2 7 + C = 0
É possível determinar C a partir dele dando a A algum valor diferente de zero, por exemplo, A = 7 . Nesse caso, obtemos: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conhecemos os coeficientes A e C, substitua-os na equação A x + C = 0 e obtenha a equação necessária da linha: 7 x - 2 = 0
Responda: 7 x - 2 = 0
Exemplo 2
O desenho mostra uma linha reta, é necessário anotar sua equação.
Solução
O desenho dado nos permite facilmente pegar os dados iniciais para resolver o problema. Vemos no desenho que a reta dada é paralela ao eixo Ox e passa pelo ponto (0,3).
A reta, que é paralela à abcissa, é determinada pela equação geral incompleta B y + С = 0. Encontre os valores de B e C. As coordenadas do ponto (0, 3), uma vez que a reta dada passa por ele, irão satisfazer a equação da reta B y + С = 0, então a igualdade é válida: В · 3 + С = 0. Vamos definir B para algum valor diferente de zero. Digamos B \u003d 1, neste caso, da igualdade B · 3 + C \u003d 0 podemos encontrar C: C \u003d - 3. Usando os valores conhecidos de B e C, obtemos a equação necessária da linha reta: y - 3 = 0.
Responda: y - 3 = 0 .
Deixe a linha dada passar pelo ponto M 0 (x 0, y 0), então suas coordenadas correspondem à equação geral da linha, ou seja, a igualdade é verdadeira: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia os lados esquerdo e direito desta equação dos lados esquerdo e direito da equação geral completa da reta. Obtemos: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, esta equação é equivalente à geral original, passa pelo ponto M 0 (x 0, y 0) e tem um vetor normal n → \u003d (A, B) .
O resultado que obtivemos permite escrever a equação geral de uma reta para as coordenadas conhecidas do vetor normal da reta e as coordenadas de um determinado ponto dessa reta.
Exemplo 3
Dado um ponto M 0 (- 3, 4) através do qual a linha passa, e o vetor normal desta linha n → = (1 , - 2) . É necessário escrever a equação de uma reta dada.
Solução
As condições iniciais nos permitem obter os dados necessários para compilar a equação: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Então:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
O problema poderia ter sido resolvido de forma diferente. A equação geral de uma reta tem a forma A x + B y + C = 0 . O vetor normal fornecido permite obter os valores dos coeficientes A e B , então:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Agora vamos encontrar o valor de C, usando o ponto M 0 (- 3, 4) dado pela condição do problema, por onde passa a reta. As coordenadas deste ponto correspondem à equação x - 2 · y + C = 0 , ou seja - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Daí C = 11. A equação de linha reta necessária assume a forma: x - 2 · y + 11 = 0 .
Responda: x - 2 a + 11 = 0 .
Exemplo 4
Dada uma linha 2 3 x - y - 1 2 = 0 e um ponto M 0 situado nesta linha. Apenas a abcissa deste ponto é conhecida, e é igual a -3. É necessário determinar a ordenada do ponto dado.
Solução
Vamos definir a designação das coordenadas do ponto M 0 como x 0 e y 0 . Os dados iniciais indicam que x 0 \u003d - 3. Como o ponto pertence a uma determinada reta, suas coordenadas correspondem à equação geral dessa reta. Então a seguinte igualdade será verdadeira:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Defina y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Responda: - 5 2
Como sabemos, existem vários tipos de equação de uma mesma reta no plano. A escolha do tipo de equação depende das condições do problema; é possível escolher aquele que for mais conveniente para sua solução. É aqui que a habilidade de converter uma equação de um tipo em uma equação de outro tipo é muito útil.
Primeiro, considere a transição da equação geral da forma A x + B y + C = 0 para a equação canônica x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Se A ≠ 0, então transferimos o termo B y para lado direito equação geral. No lado esquerdo, tiramos A dos colchetes. Como resultado, obtemos: A x + C A = - B y .
Esta igualdade pode ser escrita como uma proporção: x + C A - B = y A .
Se B ≠ 0, deixamos apenas o termo A x no lado esquerdo da equação geral, transferimos os outros para o lado direito, obtemos: A x \u003d - B y - C. Tiramos - B dos colchetes, então: A x \u003d - B y + C B.
Vamos reescrever a igualdade como uma proporção: x - B = y + C B A .
Claro, não há necessidade de memorizar as fórmulas resultantes. Basta conhecer o algoritmo de ações durante a transição da equação geral para a canônica.
Exemplo 5
A equação geral da reta 3 y - 4 = 0 é dada. Você precisa convertê-lo para equação canônica.
Solução
Escrevemos a equação original como 3 y - 4 = 0 . Em seguida, agimos de acordo com o algoritmo: o termo 0 x permanece no lado esquerdo; e do lado direito tiramos - 3 fora dos colchetes; obtemos: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Vamos escrever a igualdade resultante como uma proporção: x - 3 = y - 4 3 0 . Assim, obtivemos uma equação da forma canônica.
Resposta: x - 3 = y - 4 3 0.
Para transformar a equação geral de uma linha reta em paramétrica, primeiro é realizada a transição para a forma canônica e, em seguida, a transição da equação canônica da linha reta para as equações paramétricas.
Exemplo 6
A reta é dada pela equação 2 x - 5 y - 1 = 0 . Escreva as equações paramétricas desta reta.
Solução
Vamos fazer a transição da equação geral para a canônica:
2 x - 5 anos - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 anos + 1 ⇔ 2 x = 5 anos + 1 5 ⇔ x 5 = anos + 1 5 2
Agora vamos pegar ambas as partes da equação canônica resultante iguais a λ, então:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Responda:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
A equação geral pode ser convertida em uma equação de linha reta com uma inclinação y = k x + b, mas somente quando B ≠ 0. Para a transição do lado esquerdo, deixamos o termo B y , o restante é transferido para a direita. Obtemos: B y = - A x - C . Vamos dividir ambas as partes da igualdade resultante por B , que é diferente de zero: y = - A B x - C B .
Exemplo 7
A equação geral de uma reta é dada: 2 x + 7 y = 0 . Você precisa converter essa equação em uma equação de inclinação.
Solução
Vamos realizar as ações necessárias de acordo com o algoritmo:
2 x + 7 anos = 0 ⇔ 7 anos - 2 x ⇔ anos = - 2 7 x
Responda: y = - 2 7 x .
A partir da equação geral de uma reta, basta simplesmente obter uma equação em segmentos da forma x a + y b \u003d 1. Para fazer essa transição, transferimos o número C para o lado direito da igualdade, dividimos as duas partes da igualdade resultante por - С e, por fim, transferimos os coeficientes das variáveis x e y para os denominadores:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Exemplo 8
É necessário converter a equação geral da reta x - 7 y + 1 2 = 0 na equação da reta em segmentos.
Solução
Vamos mover 1 2 para o lado direito: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Divida por -1/2 ambos os lados da equação: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Responda: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
Em geral, a transição reversa também é fácil: de outros tipos de equações para a geral.
A equação de uma reta em segmentos e a equação com uma inclinação podem ser facilmente convertidas em uma geral simplesmente reunindo todos os termos do lado esquerdo da equação:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
A equação canônica é convertida para a geral de acordo com o seguinte esquema:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Para passar do paramétrico, primeiro é realizada a transição para o canônico e depois para o geral:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Exemplo 9
As equações paramétricas da reta x = - 1 + 2 · λ y = 4 são dadas. É necessário anotar a equação geral desta reta.
Solução
Vamos fazer a transição de equações paramétricas para canônicas:
x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Vamos passar do canônico para o geral:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Responda: y - 4 = 0
Exemplo 10
A equação de uma reta nos segmentos x 3 + y 1 2 = 1 é dada. É necessário realizar a transição para a forma geral da equação.
Solução:
Vamos apenas reescrever a equação na forma necessária:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Responda: 1 3 x + 2 anos - 1 = 0 .
Acima, dissemos que a equação geral pode ser escrita com as coordenadas conhecidas do vetor normal e as coordenadas do ponto por onde passa a reta. Tal linha reta é definida pela equação A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . No mesmo local analisamos o exemplo correspondente.
Agora vamos ver exemplos mais complexos nos quais, primeiro, é necessário determinar as coordenadas do vetor normal.
Exemplo 11
Dada uma reta paralela à reta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Também é conhecido o ponto M 0 (4 , 1) através do qual passa a reta dada. É necessário escrever a equação de uma reta dada.
Solução
As condições iniciais nos dizem que as linhas são paralelas, enquanto, como vetor normal da linha cuja equação precisa ser escrita, tomamos o vetor diretor da linha n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Agora sabemos todos os dados necessários para compor a equação geral de uma reta:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Responda: 2 x - 3 anos - 5 = 0 .
Exemplo 12
A reta dada passa pela origem perpendicular à reta x - 2 3 = y + 4 5 . É necessário escrever a equação geral de uma reta dada.
Solução
O vetor normal da reta dada será o vetor diretor da reta x - 2 3 = y + 4 5 .
Então n → = (3 , 5) . A reta passa pela origem, ou seja, através do ponto O (0, 0) . Vamos compor a equação geral de uma reta dada:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Responda: 3x + 5y = 0 .
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As equações canônicas de uma reta no espaço são equações que definem uma reta passando por um dado ponto colinearmente a um vetor de direção.
Sejam dados um ponto e um vetor de direção. Um ponto arbitrário está em uma linha eu somente se os vetores e forem colineares, ou seja, satisfizerem a condição:
.
As equações acima são as equações canônicas da reta.
Números m , n e p são projeções do vetor de direção nos eixos coordenados. Como o vetor é diferente de zero, todos os números m , n e p não pode ser zero ao mesmo tempo. Mas um ou dois deles podem ser zero. Na geometria analítica, por exemplo, a seguinte notação é permitida:
,
o que significa que as projeções do vetor nos eixos oi e onça são iguais a zero. Portanto, tanto o vetor quanto a reta dados pelas equações canônicas são perpendiculares aos eixos oi e onça, ou seja, aviões yOz .
Exemplo 1 Compor equações de uma reta no espaço perpendicular a um plano 
e passando pelo ponto de intersecção deste plano com o eixo onça
.
Solução. Encontre o ponto de interseção do plano dado com o eixo onça. Como qualquer ponto no eixo onça, tem coordenadas , então, assumindo na equação dada do plano x=y= 0, temos 4 z- 8 = 0 ou z= 2 . Portanto, o ponto de interseção do plano dado com o eixo onça tem coordenadas (0; 0; 2). Como a reta desejada é perpendicular ao plano, ela é paralela ao seu vetor normal. Portanto, o vetor normal pode servir como vetor diretor da linha reta 
determinado avião.
Agora escrevemos as equações desejadas da reta que passa pelo ponto UMA= (0; 0; 2) na direção do vetor:
Uma linha reta pode ser definida por dois pontos sobre ela 
e 
Nesse caso, o vetor diretor da reta pode ser o vetor . Então as equações canônicas da reta assumem a forma
.
As equações acima definem uma reta que passa por dois pontos dados.
Exemplo 2 Escreva a equação de uma reta no espaço passando pelos pontos e .
Solução. Escrevemos as equações desejadas da reta na forma dada acima no referencial teórico:
.
Desde , então a linha desejada é perpendicular ao eixo oi .
Uma linha reta no espaço pode ser definida como uma linha de interseção de dois planos não paralelos e, ou seja, como um conjunto de pontos que satisfazem um sistema de duas equações lineares
As equações do sistema também são chamadas de equações gerais de uma linha reta no espaço.
Exemplo 3 Compor equações canônicas de uma reta no espaço dado por equações gerais
Solução. Para escrever as equações canônicas de uma reta ou, o que é o mesmo, a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, você precisa encontrar as coordenadas de dois pontos quaisquer na reta. Eles podem servir como pontos de interseção de uma linha reta com quaisquer duas planos coordenados, por exemplo yOz e xOz .
Ponto de interseção de uma reta com um plano yOz tem uma abcissa x= 0 . Portanto, assumindo neste sistema de equações x= 0 , obtemos um sistema com duas variáveis:
A decisão dela y = 2 , z= 6 juntamente com x= 0 define um ponto UMA(0; 2; 6) da linha desejada. Supondo então no sistema de equações dado y= 0 , obtemos o sistema
A decisão dela x = -2 , z= 0 juntamente com y= 0 define um ponto B(-2; 0; 0) interseção de uma reta com um plano xOz .
Agora escrevemos as equações de uma reta que passa pelos pontos UMA(0; 2; 6) e B (-2; 0; 0) :
,
ou depois de dividir os denominadores por -2:
,
A reta que passa pelo ponto K(x 0; y 0) e paralela à reta y = kx + a é encontrada pela fórmula:
y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)
Onde k- declive direto.
Fórmula alternativa:
A reta que passa pelo ponto M 1 (x 1 ; y 1) e paralela à reta Ax+By+C=0 é representada pela equação
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Exemplo 1. Componha a equação de uma reta passando pelo ponto M 0 (-2,1) e ao mesmo tempo:Exemplo #2. Escreva a equação de uma reta paralela à reta 2x + 5y = 0 e formando, juntamente com os eixos coordenados, um triângulo cuja área é 5.
Solução
. Como as linhas são paralelas, a equação da linha desejada é 2x + 5y + C = 0. A área de um triângulo retângulo, onde a e b são suas pernas. Encontre os pontos de interseção da linha desejada com os eixos de coordenadas: 
;
.
Então, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Substituindo na fórmula da área: 
. Obtemos duas soluções: 2x + 5y + 10 = 0 e 2x + 5y - 10 = 0 .
Exemplo #3. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 5) e pela paralela 5x-7y-4=0 .
Solução. Esta reta pode ser representada pela equação y = 5/7 x – 4/7 (aqui a = 5/7). A equação da reta desejada é y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), ou seja 7(y-5)=5(x+2) ou 5x-7y+45=0 .
Exemplo #4. Resolvendo o exemplo 3 (A=5, B=-7) usando a fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.
Exemplo número 5. Escreva a equação de uma reta passando pelo ponto (-2;5) e uma reta paralela 7x+10=0.
Solução. Aqui A=7, B=0. A fórmula (2) dá 7(x+2)=0, ou seja, x+2=0. A fórmula (1) não é aplicável, pois esta equação não pode ser resolvida em relação a y (esta linha reta é paralela ao eixo y).
Neste artigo, vamos considerar a equação geral de uma reta em um plano. Vamos dar exemplos de construção da equação geral de uma reta se dois pontos dessa reta forem conhecidos ou se um ponto e o vetor normal dessa reta forem conhecidos. Vamos apresentar métodos para converter uma equação em visão geral nas formas canônica e paramétrica.
Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesiano arbitrário Oxi. Considere uma equação de primeiro grau ou equação linear:
| Ax+By+C=0, | (1) |
Onde A,B,C são algumas constantes, e pelo menos um dos elementos UMA e B diferente de zero.
Mostraremos que uma equação linear no plano define uma reta. Provemos o seguinte teorema.
Teorema 1. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesiano arbitrário em um plano, cada linha reta pode ser dada por uma equação linear. Por outro lado, cada equação linear (1) em um sistema de coordenadas cartesiano retangular arbitrário no plano define uma linha reta.
Prova. Basta provar que a linha eué determinado por uma equação linear para qualquer sistema cartesiano de coordenadas retangulares, desde então será determinado por uma equação linear e para qualquer escolha de sistema cartesiano de coordenadas retangulares.
Seja dada uma linha reta no plano eu. Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o eixo Boi alinhado com a linha eu, e o eixo oi era perpendicular a ele. Então a equação da reta eu terá a seguinte forma:
| y=0. | (2) |
Todos os pontos em uma linha eu satisfará a equação linear (2), e todos os pontos fora desta linha reta não satisfarão a equação (2). A primeira parte do teorema está provada.
Seja dado um sistema cartesiano retangular de coordenadas e seja dada a equação linear (1), onde pelo menos um dos elementos UMA e B diferente de zero. Encontre o lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (1). Como pelo menos um dos coeficientes UMA e Bé diferente de zero, então a equação (1) tem pelo menos uma solução M(x 0 ,y 0). (por exemplo, quando UMA≠0, ponto M 0 (−C/A, 0) pertence ao lugar geométrico dos pontos dado). Substituindo essas coordenadas em (1) obtemos a identidade
| Machado 0 +Por 0 +C=0. | (3) |
Vamos subtrair a identidade (3) de (1):
| UMA(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Obviamente, a equação (4) é equivalente à equação (1). Portanto, basta provar que (4) define alguma reta.
Como estamos considerando um cartesiano sistema retangular coordenadas, segue da igualdade (4) que o vetor com componentes ( x-x 0 , y-y 0 ) é ortogonal ao vetor n com coordenadas ( A,B}.
Considere alguma linha eu passando pelo ponto M 0 (x 0 , y 0) e perpendicular ao vetor n(Figura 1). deixe o ponto M(x,y) pertence à linha eu. Então o vetor com coordenadas x-x 0 , y-y 0 perpendicular n e a equação (4) é satisfeita (produto escalar de vetores n e igual a zero). Inversamente, se o ponto M(x,y) não está em uma linha eu, então o vetor com coordenadas x-x 0 , y-y 0 não é ortogonal ao vetor n e a equação (4) não é satisfeita. O teorema foi provado.
Prova. Como as linhas (5) e (6) definem a mesma linha, os vetores normais n 1 ={UMA 1 ,B 1) e n 2 ={UMA 2 ,B 2) são colineares. Uma vez que os vetores n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, então existe um número λ , o que n 2 =n 1 λ . Daí temos: UMA 2 =UMA 1 λ , B 2 =B 1 λ . Vamos provar que C 2 =C 1 λ . É óbvio que as linhas coincidentes têm ponto comum M 0 (x 0 , y 0). Multiplicando a equação (5) por λ e subtraindo a equação (6) dela, obtemos:
Como as duas primeiras igualdades das expressões (7) são satisfeitas, então C 1 λ −C 2=0. Aqueles. C 2 =C 1 λ . A observação foi comprovada.
Observe que a equação (4) define a equação de uma reta que passa pelo ponto M 0 (x 0 , y 0) e tendo um vetor normal n={A,B). Portanto, se o vetor normal da reta e o ponto pertencente a esta reta são conhecidos, então a equação geral da reta pode ser construída usando a equação (4).
Exemplo 1. Uma reta passa por um ponto M=(4,−1) e tem um vetor normal n=(3, 5). Construir a equação geral de uma reta.
Solução. Nós temos: x 0 =4, y 0 =−1, UMA=3, B=5. Para construir a equação geral de uma reta, substituímos esses valores na equação (4):
Responda:
Vetor paralelo à linha eu e, portanto, é perpendicular ao vetor normal da linha eu. Vamos construir um vetor reta normal eu, dado que o produto escalar de vetores n e é igual a zero. Podemos escrever, por exemplo, n={1,−3}.
Para construir a equação geral de uma reta, usamos a fórmula (4). Substituamos em (4) as coordenadas do ponto M 1 (também podemos tomar as coordenadas do ponto M 2) e o vetor normal n:
Substituindo as coordenadas do ponto M 1 e M 2 em (9) podemos ter certeza de que a linha reta dado pela equação(9) passa por esses pontos.
Responda:
Subtrair (10) de (1):
Obtivemos a equação canônica de uma reta. Vetor q={−B, UMA) é o vetor diretor da reta (12).
Veja transformação reversa.
Exemplo 3. Uma linha reta em um plano é representada pela seguinte equação geral:
Mova o segundo termo para a direita e divida ambos os lados da equação por 2 5.
Deixe a linha reta passar pelos pontos M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2). A equação de uma reta que passa pelo ponto M 1 tem a forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)
Onde k - coeficiente ainda desconhecido.
Como a linha reta passa pelo ponto M 2 (x 2 y 2), as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
A partir daqui encontramos Substituindo o valor encontrado k
na equação (10.6), obtemos a equação de uma reta passando pelos pontos M 1 e M 2: 
Supõe-se que nesta equação x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Se x 1 \u003d x 2, então a linha reta que passa pelos pontos M 1 (x 1, y I) e M 2 (x 2, y 2) é paralela ao eixo y. sua equação é x = x 1 .
Se y 2 \u003d y I, então a equação da reta pode ser escrita como y \u003d y 1, a reta M 1 M 2 é paralela ao eixo x.
Deixe a linha reta interceptar o eixo Ox no ponto M 1 (a; 0) e o eixo Oy - no ponto M 2 (0; b). A equação terá a forma: 
Essa. 
. Esta equação é chamada a equação de uma reta em segmentos, porque os números a e b indicam quais segmentos a reta corta nos eixos coordenados.
Vamos encontrar a equação de uma reta passando por um dado ponto Mo (x O; y o) perpendicular a um dado vetor diferente de zero n = (A; B).
Tome um ponto arbitrário M(x; y) na linha reta e considere o vetor M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como os vetores n e M o M são perpendiculares, seu produto escalar é igual a zero: isto é,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
A equação (10.8) é chamada equação de uma reta que passa por um ponto dado perpendicular a um vetor dado .
O vetor n = (A; B) perpendicular à linha é chamado normal vetor normal desta linha .
A equação (10.8) pode ser reescrita como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
onde A e B são as coordenadas do vetor normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membro livre. Equação (10.9) é a equação geral de uma reta(ver Fig.2).
Fig.1 Fig.2
,
Onde 
são as coordenadas do ponto através do qual a linha passa, e 
- vetor de direção.
Um círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um determinado ponto, que é chamado de centro.
Equação canônica de um círculo de raio
R centrado em um ponto 
:
Em particular, se o centro da estaca coincidir com a origem, a equação ficará assim: 
Elipse
Uma elipse é um conjunto de pontos em um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados
e 
, que são chamados de focos, é um valor constante 
, maior que a distância entre os focos 
.
A equação canônica de uma elipse cujos focos estão no eixo Ox e cuja origem está no meio entre os focos tem a forma 
G 
de uma o comprimento do semi-eixo maior; b é o comprimento do semi-eixo menor (Fig. 2).
