A proporção dos eixos da elipse. Linhas de segunda ordem. Elipse e sua equação canônica. Círculo

Para a=b=R a equação (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descreve um círculo de raio R centrado no ponto O"(x_0,y_0) .

Equação paramétrica de uma elipse

Equação paramétrica de uma elipse no sistema de coordenadas canônicas tem a forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

De fato, substituindo essas expressões na equação (3.49), chegamos à identidade trigonométrica principal \cos^2t+\sin^2t=1 .

Exemplo 3.20. desenhar elipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 no sistema de coordenadas canônicas Oxy. Encontre semi-eixos, distância focal, excentricidade, relação de aspecto, parâmetro focal, equações de diretriz.

Solução. Comparando a equação dada com a canônica, determinamos os semi-eixos: a=2 - o semi-eixo maior, b=1 - o semi-eixo menor da elipse. Construímos o retângulo principal com lados 2a=4,~2b=2 centrados na origem (Fig.3.39). Dada a simetria da elipse, nós a encaixamos no retângulo principal. Se necessário, determinamos as coordenadas de alguns pontos da elipse. Por exemplo, substituindo x=1 na equação da elipse, obtemos

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Portanto, pontos com coordenadas \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pertencem a uma elipse.

Calcular a taxa de compressão k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); comprimento focal 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricidade e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parâmetro focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Nós compomos as equações de diretriz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

11.1. Conceitos Básicos

Considere as linhas definidas por equações do segundo grau em relação às coordenadas atuais

Coeficientes de equação - numeros reais, mas pelo menos um dos números A, B ou C é diferente de zero. Essas linhas são chamadas de linhas (curvas) de segunda ordem. Será estabelecido a seguir que a equação (11.1) define um círculo, elipse, hipérbole ou parábola no plano. Antes de prosseguir com esta afirmação, vamos estudar as propriedades das curvas enumeradas.

11.2. Círculo

A curva mais simples de segunda ordem é um círculo. Lembre-se que um círculo de raio R centrado em um ponto é o conjunto de todos os pontos Μ do plano que satisfazem a condição . Deixe um ponto em um sistema de coordenadas retangulares ter coordenadas x 0, y 0 a - um ponto arbitrário do círculo (veja a Fig. 48).

Então da condição obtemos a equação

(11.2)

A equação (11.2) é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto no círculo dado e não é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto que não esteja no círculo.

A equação (11.2) é chamada a equação canônica do círculo

Em particular, assumindo e , obtemos a equação de um círculo centrado na origem .

A equação do círculo (11.2) após transformações simples assumirá a forma . Ao comparar esta equação com a equação geral (11.1) de uma curva de segunda ordem, é fácil ver que duas condições são satisfeitas para a equação de um círculo:

1) os coeficientes em x 2 e y 2 são iguais entre si;

2) não há barra contendo o produto xy das coordenadas atuais.

Vamos considerar o problema inverso. Colocando na equação (11.1) os valores e , obtemos

Vamos transformar esta equação:

(11.4)

Segue que a equação (11.3) define um círculo sob a condição . Seu centro está no ponto , e o raio

.

Se , então a equação (11.3) tem a forma

.

É satisfeito pelas coordenadas de um único ponto . Nesse caso, eles dizem: “o círculo degenerou em um ponto” (tem raio zero).

Se um , então a equação (11.4) e, portanto, a equação equivalente (11.3), não determinará nenhuma reta, pois o lado direito da equação (11.4) é negativo e o lado esquerdo não é negativo (digamos: “círculo imaginário”).

11.3. Elipse

Equação canônica de uma elipse

Elipse é o conjunto de todos os pontos do plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados desse plano, denominado truques , é um valor constante maior que a distância entre os focos.

Denomine os focos por F1 e F2, a distância entre eles em 2 c, e a soma das distâncias de um ponto arbitrário da elipse aos focos - através de 2 uma(ver fig. 49). Por definição 2 uma > 2c, ou seja uma > c.

Para derivar a equação de uma elipse, escolhemos um sistema de coordenadas de modo que os focos F1 e F2 estão no eixo , e a origem coincide com o ponto médio do segmento F 1 F 2. Então os focos terão as seguintes coordenadas: e .

Let Ser um ponto arbitrário da elipse. Então, de acordo com definição de elipse, , ou seja

Esta, de fato, é a equação de uma elipse.

Transformamos a equação (11.5) para mais à vista Da seguinte maneira:

Porque uma>Com, então . Vamos colocar

(11.6)

Então a última equação assume a forma ou

(11.7)

Pode-se provar que a equação (11.7) é equivalente à equação original. É chamado a equação canônica da elipse .

Elipse é uma curva de segunda ordem.

Estudo da forma de uma elipse de acordo com sua equação

Vamos estabelecer a forma da elipse usando sua equação canônica.

1. A equação (11.7) contém x e y apenas em potências pares, então se um ponto pertence a uma elipse, então os pontos ,, também pertencem a ela. Segue-se que a elipse é simétrica em relação aos eixos e , bem como em relação ao ponto , que é chamado de centro da elipse.

2. Encontre os pontos de interseção da elipse com os eixos coordenados. Colocando , encontramos dois pontos e , nos quais o eixo intercepta a elipse (ver Fig. 50). Colocando na equação (11.7), encontramos os pontos de interseção da elipse com o eixo: e . pontos UMA 1 , A2 , B1, B2 chamado os vértices da elipse. Segmentos UMA 1 A2 e B1 B2, bem como seus comprimentos 2 uma e 2 b são chamados respectivamente eixos maiores e menores elipse. Números uma e b são chamados de grandes e pequenos, respectivamente. semi-eixos elipse.

3. Segue da equação (11.7) que cada termo do lado esquerdo não excede um, ou seja, existem desigualdades e ou e . Portanto, todos os pontos da elipse estão dentro do retângulo formado pelas retas.

4. Na equação (11.7), a soma dos termos não negativos e é igual a um. Consequentemente, à medida que um termo aumenta, o outro diminui, ou seja, se aumenta, diminui e vice-versa.

Do que foi dito, segue-se que a elipse tem a forma mostrada na Fig. 50 (curva fechada oval).

Mais sobre a elipse

A forma da elipse depende da proporção. Quando a elipse se transforma em um círculo, a equação da elipse (11.7) assume a forma . Como característica da forma de uma elipse, a proporção é mais usada. A razão entre a metade da distância entre os focos e o semi-eixo maior da elipse é chamada de excentricidade da elipse e o6o é denotado pela letra ε ("épsilon"):

com 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Isso mostra que quanto menor a excentricidade da elipse, menos achatada ela será; se colocarmos ε = 0, então a elipse se transforma em um círculo.

Seja M(x; y) um ponto arbitrário da elipse com focos F 1 e F 2 (ver Fig. 51). Os comprimentos dos segmentos F 1 M=r 1 e F 2 M = r 2 são chamados de raios focais do ponto M. Obviamente,

Existem fórmulas

As retas são chamadas

Teorema 11.1. Se é a distância de um ponto arbitrário da elipse a algum foco, d é a distância do mesmo ponto à diretriz correspondente a esse foco, então a razão é um valor constante igual à excentricidade da elipse:

Segue da igualdade (11.6) que . Se , então a equação (11.7) define uma elipse, cujo eixo maior está no eixo Oy, e o eixo menor está no eixo Ox (ver Fig. 52). Os focos de tal elipse estão nos pontos e , onde .

11.4. Hipérbole

Equação canônica de uma hipérbole

Hipérbole o conjunto de todos os pontos do plano é chamado, o módulo da diferença nas distâncias de cada um dos quais a dois pontos dados desse plano, chamado truques , é um valor constante, menor que a distância entre os focos.

Denomine os focos por F1 e F2 a distância entre eles através 2s, e o módulo da diferença nas distâncias de cada ponto da hipérbole aos focos através 2a. Por definição 2a < 2s, ou seja uma < c.

Para derivar a equação da hipérbole, escolhemos um sistema de coordenadas de modo que os focos F1 e F2 estão no eixo , e a origem coincidiu com o ponto médio do segmento F 1 F 2(ver fig. 53). Então os focos terão coordenadas e

Let Ser um ponto arbitrário da hipérbole. Então, de acordo com a definição de uma hipérbole ou , ou seja, após simplificações, como foi feito ao derivar a equação da elipse, obtemos equação canônica de uma hipérbole

(11.9)

(11.10)

Uma hipérbole é uma linha de segunda ordem.

Investigação da forma de uma hipérbole de acordo com sua equação

Vamos estabelecer a forma da hipérbole usando sua equação cacônica.

1. A equação (11.9) contém x e y apenas em potências pares. Portanto, a hipérbole é simétrica em relação aos eixos e , bem como em relação ao ponto , que se chama o centro da hipérbole.

2. Encontre os pontos de interseção da hipérbole com os eixos coordenados. Colocando na equação (11.9), encontramos dois pontos de intersecção da hipérbole com o eixo : ​​e . Colocando (11.9), obtemos , que não pode ser. Portanto, a hipérbole não intercepta o eixo y.

Os pontos e são chamados picos hipérboles e o segmento

eixo real , segmento de linha - semi-eixo real hipérbole.

O segmento de reta que liga os pontos é chamado eixo imaginário , número b - eixo imaginário . Retângulo com lados 2a e 2b chamado o retângulo principal de uma hipérbole .

3. Segue da equação (11.9) que o minuendo não é menor que um, isto é, que ou . Isso significa que os pontos da hipérbole estão localizados à direita da linha (o ramo direito da hipérbole) e à esquerda da linha (o ramo esquerdo da hipérbole).

4. Pela equação (11.9) da hipérbole, pode-se ver que quando ela aumenta, também aumenta. Isso decorre do fato de que a diferença mantém um valor constante igual a um.

Segue-se do que foi dito que a hipérbole tem a forma mostrada na Figura 54 (uma curva que consiste em dois ramos ilimitados).

Assíntotas de uma hipérbole

A reta L é chamada de assíntota de uma curva ilimitada K se a distância d do ponto M da curva K até esta linha tende a zero quando o ponto M se move ao longo da curva K indefinidamente a partir da origem. A Figura 55 ilustra o conceito de uma assíntota: a reta L é uma assíntota para a curva K.

Vamos mostrar que a hipérbole tem duas assíntotas:

(11.11)

Como as retas (11.11) e a hipérbole (11.9) são simétricas em relação aos eixos coordenados, basta considerar apenas os pontos das retas indicadas que estão localizados no primeiro quadrante.

Tome em uma linha reta um ponto N com a mesma abscissa x como um ponto em uma hipérbole (ver Fig. 56) e encontre a diferença ΜN entre as ordenadas da linha reta e o ramo da hipérbole:

Como você pode ver, à medida que x aumenta, o denominador da fração aumenta; numerador é um valor constante. Portanto, o comprimento do segmento ΜN tende a zero. Como ΜN é maior que a distância d do ponto Μ até a linha, d ainda mais tende a zero. Assim, as retas são assíntotas da hipérbole (11.9).

Ao construir uma hipérbole (11.9), é aconselhável primeiro construir o retângulo principal da hipérbole (ver Fig. 57), desenhar linhas passando pelos vértices opostos deste retângulo - as assíntotas da hipérbole e marcar os vértices e , hipérbole .

A equação de uma hipérbole equilátera.

cujas assíntotas são os eixos coordenados

A hipérbole (11.9) é dita equilátera se seus semi-eixos são iguais (). Sua equação canônica

(11.12)

As assíntotas de uma hipérbole equilátera têm equações e são, portanto, bissetrizes dos ângulos coordenados.

Considere a equação desta hipérbole em um novo sistema de coordenadas (ver Fig. 58), obtido do antigo girando os eixos de coordenadas por um ângulo. Usamos as fórmulas para a rotação dos eixos coordenados:

Substituímos os valores de x e y na equação (11.12):

A equação de uma hipérbole equilátera, para a qual os eixos Ox e Oy são assíntotas, terá a forma .

mais sobre hipérbole

excentricidade hipérbole (11.9) é a razão entre a distância entre os focos e o valor do eixo real da hipérbole, denotado por ε:

Visto que para uma hipérbole , a excentricidade da hipérbole é maior que um: . A excentricidade caracteriza a forma de uma hipérbole. De fato, segue da igualdade (11.10) que i.e. e .

Isso mostra que quanto menor a excentricidade da hipérbole, menor a razão - de seus semi-eixos, o que significa que quanto mais seu retângulo principal é estendido.

A excentricidade de uma hipérbole equilátera é . Sério,

raios focais e pois os pontos do ramo direito da hipérbole têm a forma e , e para o ramo esquerdo - e .

As retas são chamadas de diretrizes de uma hipérbole. Como para a hipérbole ε > 1, então . Isso significa que a diretriz direita está localizada entre o centro e o vértice direito da hipérbole, a diretriz esquerda está entre o centro e o vértice esquerdo.

As diretrizes de uma hipérbole têm a mesma propriedade que as diretrizes de uma elipse.

A curva definida pela equação também é uma hipérbole, cujo eixo real 2b está localizado no eixo Oy e o eixo imaginário 2 uma- no eixo Ox. Na Figura 59, é mostrado como uma linha pontilhada.

Obviamente, as hipérboles e têm assíntotas comuns. Essas hipérboles são chamadas de conjugadas.

11.5. Parábola

Equação da parábola canônica

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano, cada um dos quais está igualmente distante de um determinado ponto, chamado foco, e de uma reta dada, chamada diretriz. A distância do foco F à diretriz é chamada de parâmetro da parábola e é denotada por p (p > 0).

Para derivar a equação da parábola, escolhemos o sistema de coordenadas Oxy de modo que o eixo Oxy passe pelo foco F perpendicular à diretriz na direção da diretriz para F, e a origem O esteja localizada no meio entre o foco e a diretriz (ver Fig. 60). No sistema selecionado, o foco F tem coordenadas , e a equação diretriz tem a forma , ou .

1. Na equação (11.13), a variável y está incluída em grau par, o que significa que a parábola é simétrica em relação ao eixo Ox; o eixo x é o eixo de simetria da parábola.

2. Como ρ > 0, segue de (11.13) que . Portanto, a parábola está localizada à direita do eixo y.

3. Quando temos y \u003d 0. Portanto, a parábola passa pela origem.

4. Com um aumento ilimitado em x, o módulo y também aumenta indefinidamente. A parábola tem a forma (forma) mostrada na Figura 61. O ponto O (0; 0) é chamado de vértice da parábola, o segmento FM \u003d r é chamado de raio focal do ponto M.

Equações , , ( p>0) também definem parábolas, elas são mostradas na Figura 62

É fácil mostrar que o gráfico de um trinômio quadrado, onde , B e C são quaisquer números reais, é uma parábola no sentido de sua definição acima.

11.6. Equação geral de retas de segunda ordem

Equações de curvas de segunda ordem com eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados

Vamos primeiro encontrar a equação de uma elipse centrada em um ponto cujos eixos de simetria são paralelos aos eixos de coordenadas Ox e Oy e os semi-eixos são respectivamente iguais a uma e b. Coloquemos no centro da elipse O 1 a origem do novo sistema de coordenadas , cujos eixos e semi-eixos uma e b(ver fig. 64):

E finalmente, as parábolas mostradas na Figura 65 possuem equações correspondentes.

A equação

As equações de uma elipse, hipérbole, parábola e a equação de um círculo após transformações (abrir colchetes, mover todos os termos da equação em uma direção, trazer termos semelhantes, introduzir nova notação para os coeficientes) podem ser escritas usando uma única equação de a forma

onde os coeficientes A e C não são iguais a zero ao mesmo tempo.

Surge a pergunta: alguma equação da forma (11.14) determina uma das curvas (círculo, elipse, hipérbole, parábola) de segunda ordem? A resposta é dada pelo seguinte teorema.

Teorema 11.2. A equação (11.14) sempre define: ou um círculo (para A = C), ou uma elipse (para A C > 0), ou uma hipérbole (para A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Equação geral de segunda ordem

Considere agora equação geral segundo grau com duas incógnitas:

Difere da equação (11.14) pela presença de um termo com o produto de coordenadas (B¹ 0). É possível, girando os eixos coordenados por um ângulo a, transformar esta equação de forma que o termo com o produto das coordenadas esteja ausente nela.

Usando fórmulas para eixos de giro

Vamos expressar as coordenadas antigas em função das novas:

Escolhemos o ângulo a para que o coeficiente em x "y" desapareça, ou seja, para que a igualdade

Assim, quando os eixos são girados de um ângulo a que satisfaz a condição (11.17), a equação (11.15) se reduz à equação (11.14).

Conclusão: a equação geral de segunda ordem (11.15) define no plano (exceto nos casos de degeneração e decadência) as seguintes curvas: círculo, elipse, hipérbole, parábola.

Nota: Se A = C, então a equação (11.17) perde seu significado. Neste caso cos2α = 0 (ver (11.16)), então 2α = 90°, ou seja, α = 45°. Portanto, em A = C, o sistema de coordenadas deve ser girado em 45 °.

Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos em um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados F_1, e F_2 é um valor constante (2a), maior que a distância (2c) entre esses pontos dados (Fig. 3.36, a). Esta definição geométrica expressa propriedade focal de uma elipse.

Propriedade focal de uma elipse

Os pontos F_1 e F_2 são chamados de focos da elipse, a distância entre eles 2c=F_1F_2 é a distância focal, o ponto médio O do segmento F_1F_2 é o centro da elipse, o número 2a é o comprimento do eixo maior da a elipse (respectivamente, o número a é o semi-eixo maior da elipse). Os segmentos F_1M e F_2M conectando um ponto arbitrário M da elipse com seus focos são chamados de raios focais do ponto M . Um segmento de linha conectando dois pontos de uma elipse é chamado de corda da elipse.

A razão e=\frac(c)(a) é chamada de excentricidade da elipse. Da definição (2a>2c) segue que 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definição geométrica de uma elipse, expressando sua propriedade focal, é equivalente à sua definição analítica - uma linha dada pela equação canônica de uma elipse:

De fato, vamos introduzir um sistema de coordenadas retangulares (Fig. 3.36, c). O centro O da elipse é tomado como origem do sistema de coordenadas; a linha reta que passa pelos focos (o eixo focal ou o primeiro eixo da elipse), tomaremos como o eixo das abcissas (a direção positiva sobre ela do ponto F_1 ao ponto F_2); a linha reta perpendicular ao eixo focal e passando pelo centro da elipse (o segundo eixo da elipse) é tomada como o eixo y (a direção no eixo y é escolhida de modo que o sistema de coordenadas retangulares Oxy esteja correto ).

Vamos formular a equação de uma elipse usando sua definição geométrica, que expressa a propriedade focal. No sistema de coordenadas selecionado, determinamos as coordenadas dos focos F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para um ponto arbitrário M(x,y) pertencente à elipse, temos:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Escrevendo essa igualdade na forma de coordenadas, obtemos:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Transferimos o segundo radical para o lado direito, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado e fornecemos termos semelhantes:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Dividindo por 4, elevamos ao quadrado os dois lados da equação:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

denotando b=\sqrt(a^2-c^2)>0, Nós temos b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dividindo ambas as partes por a^2b^2\ne0 , chegamos à equação canônica da elipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Portanto, o sistema de coordenadas escolhido é canônico.

Se os focos da elipse coincidirem, então a elipse é um círculo (Fig. 3.36.6), pois a=b. Neste caso, qualquer sistema de coordenadas retangulares com origem no ponto O\equiv F_1\equiv F_2, e a equação x^2+y^2=a^2 é a equação de um círculo com centro O e raio a .

Raciocinando de trás para frente, pode-se mostrar que todos os pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (3.49), e somente eles, pertencem ao lugar geométrico dos pontos, chamado de elipse. Em outras palavras, a definição analítica de uma elipse equivale à sua definição geométrica, que expressa a propriedade focal da elipse.

Propriedade de diretório de uma elipse

As diretrizes de uma elipse são duas linhas retas que passam paralelas ao eixo de ordenadas do sistema de coordenadas canônicas na mesma distância \frac(a^2)(c) dele. Para c=0 , quando a elipse é um círculo, não há diretrizes (podemos assumir que as diretrizes são infinitamente removidas).

Elipse com excentricidade 0 lugar geométrico dos pontos no plano, para cada um dos quais a razão entre a distância a um determinado ponto F (foco) e a distância a uma determinada linha reta d (diretriz) que não passa por um determinado ponto é constante e igual ao excentricidade e ( propriedade do diretório elipse). Aqui F e d são um dos focos da elipse e uma de suas diretrizes, localizadas no mesmo lado do eixo y do sistema de coordenadas canônicas, ou seja, F_1,d_1 ou F_2,d_2 .

De fato, por exemplo, para foco F_2 e diretriz d_2 (Fig. 3.37.6) a condição \frac(r_2)(\rho_2)=e pode ser escrito na forma de coordenadas:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Livrar-se da irracionalidade e substituir e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, chegamos à equação canônica da elipse (3.49). Raciocínio semelhante pode ser realizado para o foco F_1 e a diretriz d_1\dois pontos\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Equação da elipse em coordenadas polares

A equação da elipse no sistema de coordenadas polares F_1r\varphi (Fig.3.37,c e 3.37(2)) tem a forma

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

onde p=\frac(b^2)(a) é o parâmetro focal da elipse.

De fato, vamos escolher o foco esquerdo F_1 da elipse como o pólo do sistema de coordenadas polares e o raio F_1F_2 como o eixo polar (Fig. 3.37, c). Então para um ponto arbitrário M(r,\varphi) , de acordo com a definição geométrica (propriedade focal) de uma elipse, temos r+MF_2=2a . Expressamos a distância entre os pontos M(r,\varphi) e F_2(2c,0) (ver ):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)

Portanto, na forma de coordenadas, a equação da elipse F_1M+F_2M=2a tem a forma

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Isolamos o radical, elevamos ao quadrado os dois lados da equação, dividimos por 4 e damos termos semelhantes:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\direita)\!\cdot r=a^2-c^2.

Expressamos o raio polar r e fazemos a substituição e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

O significado geométrico dos coeficientes na equação da elipse

Vamos encontrar os pontos de intersecção da elipse (ver Fig. 3.37, a) com os eixos de coordenadas (vértices dos zllips). Substituindo y=0 na equação, encontramos os pontos de interseção da elipse com o eixo das abcissas (com o eixo focal): x=\pm a . Portanto, o comprimento do segmento do eixo focal contido na elipse é igual a 2a. Este segmento, como observado acima, é chamado de eixo maior da elipse, e o número a é o semi-eixo maior da elipse. Substituindo x=0 , obtemos y=\pm b . Portanto, o comprimento do segmento do segundo eixo da elipse dentro da elipse é igual a 2b. Este segmento é chamado de eixo menor da elipse, e o número b é chamado de semi-eixo menor da elipse.

Sério, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, e a igualdade b=a é obtida apenas no caso c=0 quando a elipse é um círculo. Atitude k=\frac(b)(a)\leqslant1é chamado de fator de contração da elipse.

Observações 3.9

1. As linhas x=\pm a,~y=\pm b limitam o retângulo principal no plano coordenado, dentro do qual a elipse está localizada (ver Fig. 3.37, a).

2. Uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos obtido pela contração de um círculo ao seu diâmetro.

De fato, deixe que no sistema de coordenadas retangulares Oxy a equação do círculo tenha a forma x^2+y^2=a^2 . Quando comprimido no eixo x com um fator de 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Substituindo x=x" e y=\frac(1)(k)y" na equação do círculo, obtemos uma equação para as coordenadas da imagem M"(x",y") do ponto M(x ,y):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

já que b=k\cdot a . Esta é a equação canônica da elipse.

3. Os eixos coordenados (do sistema de coordenadas canônicas) são os eixos de simetria da elipse (chamados eixos principais da elipse), e seu centro é o centro de simetria.

Com efeito, se o ponto M(x,y) pertence à elipse . então os pontos M"(x,-y) e M""(-x,y) , simétricos ao ponto M em relação aos eixos coordenados, também pertencem à mesma elipse.

4. Da equação de uma elipse em um sistema de coordenadas polares r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(ver Fig. 3.37, c), o significado geométrico do parâmetro focal é esclarecido - é metade do comprimento da corda da elipse passando por seu foco perpendicular ao eixo focal (r = p em \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. A excentricidade e caracteriza a forma da elipse, ou seja, a diferença entre a elipse e o círculo. Quanto maior e, mais alongada é a elipse, e quanto mais próximo e está de zero, mais próxima a elipse está do círculo (Fig. 3.38, a). De fato, dado que e=\frac(c)(a) e c^2=a^2-b^2 , obtemos

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

onde k é o fator de contração da elipse, 0

6. Equação \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 para

7. Equação \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b define uma elipse centrada no ponto O "(x_0, y_0) , cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados (Fig. 3.38, c). Esta equação é reduzida à canônica usando translação paralela (3.36).

Para a=b=R a equação (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descreve um círculo de raio R centrado no ponto O"(x_0,y_0) .

Equação paramétrica de uma elipse

Equação paramétrica de uma elipse no sistema de coordenadas canônicas tem a forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

De fato, substituindo essas expressões na equação (3.49), chegamos à identidade trigonométrica básica \cos^2t+\sin^2t=1.

Exemplo 3.20. desenhar elipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 no sistema de coordenadas canônicas Oxy. Encontre semi-eixos, distância focal, excentricidade, relação de aspecto, parâmetro focal, equações de diretriz.

Solução. Comparando a equação dada com a canônica, determinamos os semi-eixos: a=2 - o semi-eixo maior, b=1 - o semi-eixo menor da elipse. Construímos o retângulo principal com lados 2a=4,~2b=2 centrados na origem (Fig.3.39). Dada a simetria da elipse, nós a encaixamos no retângulo principal. Se necessário, determinamos as coordenadas de alguns pontos da elipse. Por exemplo, substituindo x=1 na equação da elipse, obtemos

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Portanto, pontos com coordenadas \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pertencem a uma elipse.

Calcular a taxa de compressão k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); comprimento focal 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricidade e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parâmetro focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Nós compomos as equações de diretriz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Definição. Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados desse plano, chamados focos, é um valor constante (desde que esse valor seja maior que a distância entre os focos).

Vamos denotar os focos pela distância entre eles - through , e um valor constante igual à soma das distâncias de cada ponto da elipse aos focos, through (por condição ).

Vamos construir um sistema de coordenadas cartesianas de modo que os focos estejam no eixo das abcissas e a origem das coordenadas coincida com o meio do segmento (Fig. 44). Então os focos terão as seguintes coordenadas: foco esquerdo e foco direito. Vamos derivar a equação da elipse no sistema de coordenadas que escolhemos. Para isso, considere um ponto arbitrário da elipse. Por definição de elipse, a soma das distâncias deste ponto aos focos é:

Usando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos, portanto,

Para simplificar esta equação, podemos escrevê-la na forma

Em seguida, elevar ao quadrado ambos os lados da equação dá

ou, após simplificações óbvias:

Agora novamente elevamos ao quadrado ambos os lados da equação, após o que teremos:

ou, após transformações idênticas:

Já que de acordo com a condição na definição de uma elipse , então é um número positivo. Introduzimos a notação

Então a equação terá a seguinte forma:

Pela definição de uma elipse, as coordenadas de qualquer um de seus pontos satisfazem a equação (26). Mas a equação (29) é uma consequência da equação (26). Portanto, também satisfaz as coordenadas de qualquer ponto da elipse.

Pode-se mostrar que as coordenadas dos pontos que não pertencem à elipse não satisfazem a equação (29). Assim, a equação (29) é a equação de uma elipse. É chamada de equação canônica da elipse.

Vamos estabelecer a forma da elipse usando sua equação canônica.

Em primeiro lugar, observe que esta equação contém apenas potências pares de x e y. Isso significa que, se qualquer ponto pertencer a uma elipse, ele também inclui um ponto simétrico a um ponto sobre o eixo das abcissas e um ponto simétrico a um ponto sobre o eixo y. Assim, a elipse tem dois eixos de simetria mutuamente perpendiculares, que em nosso sistema de coordenadas escolhido coincidem com os eixos de coordenadas. Os eixos de simetria da elipse serão chamados de eixos da elipse e o ponto de sua interseção - o centro da elipse. O eixo no qual estão localizados os focos da elipse (neste caso, o eixo das abcissas) é chamado de eixo focal.

Vamos determinar a forma da elipse primeiro no primeiro trimestre. Para fazer isso, resolvemos a equação (28) em relação a y:

É óbvio que aqui , já que y assume valores imaginários para . Com um aumento de 0 para a, y diminui de b para 0. A parte da elipse situada no primeiro trimestre será um arco limitado pelos pontos B (0; b) e situado nos eixos coordenados (Fig. 45). Usando agora a simetria da elipse, concluímos que a elipse tem a forma mostrada na Fig. 45.

Os pontos de interseção da elipse com os eixos são chamados de vértices da elipse. Segue-se da simetria da elipse que, além dos vértices, a elipse tem mais dois vértices (ver Fig. 45).

Os segmentos e conectando os vértices opostos da elipse, bem como seus comprimentos, são chamados de eixos maiores e menores da elipse, respectivamente. Os números a e b são chamados de semi-eixos maior e menor da elipse, respectivamente.

A razão de metade da distância entre os focos para o semi-eixo maior da elipse é chamada de excentricidade da elipse e geralmente é denotada pela letra:

Desde , então a excentricidade da elipse é menor que um: A excentricidade caracteriza a forma da elipse. De fato, decorre da fórmula (28), Disso pode ser visto que quanto menor a excentricidade da elipse, menos seu semi-eixo menor b difere do semi-eixo maior a, ou seja, menos a elipse é estendida (ao longo do eixo focal eixo).

No caso limite, quando você obtém um círculo de raio a: , ou . Ao mesmo tempo, os focos da elipse, por assim dizer, se fundem em um ponto - o centro do círculo. A excentricidade do círculo é zero:

A conexão entre a elipse e o círculo pode ser estabelecida de outro ponto de vista. Vamos mostrar que uma elipse com semi-eixos a e b pode ser considerada como uma projeção de um círculo de raio a.

Consideremos dois planos P e Q, formando um tal ângulo a entre si, para o qual (Fig. 46). Construímos um sistema de coordenadas no plano P e um sistema Oxy no plano Q com uma origem comum O e um eixo de abcissas comum coincidindo com a linha de interseção dos planos. Considere no plano P o círculo

com centro na origem e raio a. Seja um ponto do círculo escolhido arbitrariamente, sua projeção no plano Q e a projeção do ponto M no eixo Ox. Vamos mostrar que o ponto está sobre uma elipse com semi-eixos a e b.

Definição 7.1. O conjunto de todos os pontos no plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 é uma dada constante é chamado elipse.

A definição de uma elipse fornece a seguinte maneira de construí-la geometricamente. Fixamos dois pontos F 1 e F 2 no plano e denotamos um valor constante não negativo por 2a. Seja a distância entre os pontos F 1 e F 2 igual a 2c. Imagine que um fio inextensível de comprimento 2a seja fixado nos pontos F 1 e F 2, por exemplo, com o auxílio de duas agulhas. É claro que isso só é possível para a ≥ c. Puxando o fio com um lápis, desenhe uma linha, que será uma elipse (Fig. 7.1).

Assim, o conjunto descrito não é vazio se a ≥ c. Quando a = c, a elipse é um segmento com extremidades F 1 e F 2, e quando c = 0, ou seja, se os pontos fixos especificados na definição de uma elipse coincidem, é um círculo de raio a. Descartando esses casos degenerados, assumiremos ainda, como regra, que a > c > 0.

Os pontos fixos F 1 e F 2 na definição 7.1 da elipse (ver Fig. 7.1) são chamados truques de elipse, a distância entre eles, denotada por 2c, - comprimento focal, e os segmentos F 1 M e F 2 M, conectando um ponto arbitrário M na elipse com seus focos, - raios focais.

A forma da elipse é completamente determinada pela distância focal |F 1 F 2 | = 2с e parâmetro a, e sua posição no plano - por um par de pontos F 1 e F 2 .

Segue-se da definição de uma elipse que é simétrica em relação a uma linha reta que passa pelos focos F 1 e F 2, bem como em relação a uma linha reta que divide o segmento F 1 F 2 ao meio e é perpendicular a ela (Fig 7.2, a). Essas linhas são chamadas eixos de elipse. O ponto O de sua interseção é o centro de simetria da elipse, e é chamado o centro da elipse, e os pontos de interseção da elipse com os eixos de simetria (pontos A, B, C e D na Fig. 7.2, a) - os vértices da elipse.

O número a é chamado semi-eixo maior de uma elipse, e b = √ (a 2 - c 2) - sua semi-eixo menor. É fácil ver que para c > 0, o semi-eixo maior a é igual à distância do centro da elipse aos seus vértices que estão no mesmo eixo dos focos da elipse (vértices A e B na Fig. .7.2, a), e o semi-eixo menor b é igual à distância da elipse central aos seus outros dois vértices (vértices C e D na Fig. 7.2, a).

Equação da elipse. Considere uma elipse no plano com focos nos pontos F 1 e F 2 , eixo maior 2a. Seja 2c a distância focal, 2c = |F 1 F 2 |

Escolhemos um sistema de coordenadas retangular Oxy no plano de modo que sua origem coincida com o centro da elipse e os focos estejam em abscissa(Fig. 7.2, b). Este sistema de coordenadas é chamado canônico para a elipse em consideração, e as variáveis ​​correspondentes são canônico.

No sistema de coordenadas selecionado, os focos têm as coordenadas F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Usando a fórmula da distância entre pontos, escrevemos a condição |F 1 M| + |F 2M| = 2a nas coordenadas:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Esta equação é inconveniente porque contém dois radicais quadrados. Então vamos transformá-lo. Transferimos o segundo radical da equação (7.2) para o lado direito e elevamos ao quadrado:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Depois de abrir os parênteses e reduzir os termos semelhantes, obtemos

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

onde ε = c/a. Repetimos a operação de quadratura para remover também o segundo radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ou, dado o valor do parâmetro inserido ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Como a 2 - c 2 = b 2 > 0, então

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

A equação (7.4) é satisfeita pelas coordenadas de todos os pontos situados na elipse. Mas ao derivar esta equação, foram usadas transformações não equivalentes da equação original (7.2) - dois quadrados que removem os radicais quadrados. O quadrado de uma equação é uma transformação equivalente se ambos os lados contiverem quantidades com o mesmo sinal, mas não verificamos isso em nossas transformações.

Podemos não verificar a equivalência das transformações se considerarmos o seguinte. Um par de pontos F 1 e F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, no plano define uma família de elipses com focos nestes pontos. Cada ponto do plano, exceto os pontos do segmento F 1 F 2 , pertence a alguma elipse da família indicada. Nesse caso, duas elipses não se cruzam, pois a soma dos raios focais determina exclusivamente uma elipse específica. Assim, a família descrita de elipses sem interseções cobre todo o plano, exceto os pontos do segmento F 1 F 2 . Considere um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (7.4) com um dado valor do parâmetro a. Esse conjunto pode ser distribuído entre várias elipses? Alguns dos pontos do conjunto pertencem a uma elipse de semi-eixo maior a. Seja um ponto neste conjunto situado em uma elipse com um semi-eixo maior a. Então as coordenadas deste ponto obedecem à equação

Essa. as equações (7.4) e (7.5) têm soluções gerais. No entanto, é fácil verificar que o sistema

para ã ≠ a não tem soluções. Para isso, basta excluir, por exemplo, x da primeira equação:

que após as transformações leva à equação

não tendo soluções para ã ≠ a, pois . Assim, (7.4) é a equação de uma elipse com semi-eixo maior a > 0 e semi-eixo menor b = √ (a 2 - c 2) > 0. Chama-se a equação canônica da elipse.

Visualização de elipse. O método geométrico de construção de uma elipse considerado acima dá uma idéia suficiente de aparência elipse. Mas a forma de uma elipse também pode ser investigada com a ajuda de sua equação canônica (7.4). Por exemplo, considerando y ≥ 0, você pode expressar y em termos de x: y = b√(1 - x 2 /a 2), e, tendo examinado esta função, construir seu gráfico. Existe outra maneira de construir uma elipse. Um círculo de raio a centrado na origem do sistema de coordenadas canônicas da elipse (7.4) é descrito pela equação x 2 + y 2 = a 2 . Se for comprimido com o coeficiente a/b > 1 ao longo eixo y, então você obtém uma curva descrita pela equação x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, ou seja, uma elipse.

Observação 7.1. Se o mesmo círculo é comprimido com o coeficiente a/b

Excentricidade da elipse. A razão entre a distância focal de uma elipse e seu eixo maior é chamada excentricidade da elipse e denotado por ε. Para uma elipse dada

equação canônica (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Se em (7.4) os parâmetros a e b estão relacionados pela desigualdade a

Para c = 0, quando a elipse se transforma em um círculo, e ε = 0. Em outros casos, 0

A equação (7.3) é equivalente à equação (7.4) porque as equações (7.4) e (7.2) são equivalentes. Portanto, (7.3) também é uma equação de elipse. Além disso, a relação (7.3) é interessante porque fornece uma fórmula livre de radicais simples para o comprimento |F 2 M| um dos raios focais do ponto M(x; y) da elipse: |F 2 M| = a + εx.

Uma fórmula similar para o segundo raio focal pode ser obtida a partir de considerações de simetria ou repetindo cálculos nos quais, antes de elevar a equação (7.2), o primeiro radical é transferido para o lado direito, e não o segundo. Assim, para qualquer ponto M(x; y) na elipse (ver Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

e cada uma dessas equações é uma equação de elipse.

Exemplo 7.1. Vamos encontrar a equação canônica de uma elipse com semi-eixo maior 5 e excentricidade 0,8 e construí-la.

Conhecendo o semi-eixo maior da elipse a = 5 e a excentricidade ε = 0,8, encontramos seu semi-eixo menor b. Como b \u003d √ (a 2 - c 2) e c \u003d εa \u003d 4, então b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Portanto, a equação canônica tem a forma x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Para construir uma elipse, é conveniente desenhar um retângulo centrado na origem do sistema de coordenadas canônicas, cujos lados são paralelos aos eixos de simetria da elipse e iguais aos seus eixos correspondentes (Fig. 7.4). Este retângulo cruza com

os eixos da elipse em seus vértices A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), e a própria elipse está inscrita nela. Na fig. 7.4 também mostra os focos F 1.2 (±4; 0) da elipse.

Propriedades geométricas de uma elipse. Vamos reescrever a primeira equação em (7.6) como |F 1 M| = (à/ε - x)ε. Observe que o valor de a / ε - x para a > c é positivo, pois o foco F 1 não pertence à elipse. Este valor é a distância à linha vertical d: x = a/ε do ponto M(x; y) à esquerda desta linha. A equação da elipse pode ser escrita como

|F 1 M|/(à/ε - x) = ε

Isso significa que esta elipse consiste nos pontos M (x; y) do plano para os quais a razão entre o comprimento do raio focal F 1 M e a distância à linha reta d é um valor constante igual a ε (Fig. 7.5).

A linha d tem um "duplo" - uma linha vertical d", simétrica a d em relação ao centro da elipse, que é dada pela equação x \u003d -a / ε. Em relação a d, a elipse é descrita da mesma forma que em relação a d. Ambas as linhas d e d" são chamadas directrizes de elipse. As diretrizes da elipse são perpendiculares ao eixo de simetria da elipse em que seus focos estão localizados e são separadas do centro da elipse por uma distância a / ε = a 2 / c (ver Fig. 7.5).

A distância p da diretriz ao foco mais próximo a ela é chamada parâmetro focal da elipse. Este parâmetro é igual a

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

A elipse tem outra propriedade geométrica importante: os raios focais F 1 M e F 2 M fazem ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M (Fig. 7.6).

Esta propriedade tem uma clara significado físico. Se uma fonte de luz for colocada no foco F 1, o feixe que sai desse foco, após a reflexão da elipse, percorrerá o segundo raio focal, pois após a reflexão ficará no mesmo ângulo da curva que antes da reflexão . Assim, todos os raios que saem do foco F 1 serão concentrados no segundo foco F 2 e vice-versa. Com base nessa interpretação, essa propriedade é chamada propriedade óptica de uma elipse.