Na economia, assim como em outras áreas da atividade humana ou na natureza, constantemente temos que lidar com eventos que não podem ser previstos com precisão. Assim, o volume de vendas de mercadorias depende da demanda, que pode variar significativamente, e de uma série de outros fatores que são quase impossíveis de levar em conta. Portanto, na organização da produção e das vendas, deve-se prever o resultado de tais atividades com base na própria experiência anterior, ou experiência semelhante de outras pessoas, ou intuição, que também é amplamente baseada em dados experimentais.
Para avaliar de alguma forma o evento em questão, é necessário levar em consideração ou organizar especialmente as condições em que esse evento é registrado.
A implementação de certas condições ou ações para identificar o evento em questão é chamada experiência ou experimentar.
O evento é chamado aleatória se, como resultado do experimento, pode ou não ocorrer.
O evento é chamado confiável, se necessariamente surgir como resultado dessa experiência, e impossível se não pode aparecer nesta experiência.
Por exemplo, a queda de neve em Moscou em 30 de novembro é um evento aleatório. O nascer do sol diário pode ser considerado um determinado evento. A queda de neve no equador pode ser vista como um evento impossível.
Um dos principais problemas na teoria da probabilidade é o problema de determinar uma medida quantitativa da possibilidade de um evento ocorrer.
Os eventos são chamados incompatíveis se não podem ser observados juntos na mesma experiência. Assim, a presença de dois e três carros em uma loja para venda ao mesmo tempo são dois eventos incompatíveis.
soma eventos é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um desses eventos
Um exemplo de soma de eventos é a presença de pelo menos um de dois produtos em uma loja.
trabalhar eventos é chamado de evento que consiste na ocorrência simultânea de todos esses eventos
Um evento que consiste no aparecimento de duas mercadorias ao mesmo tempo na loja é um produto de eventos: - o aparecimento de um produto, - o aparecimento de outro produto.
Os eventos formam um grupo completo de eventos se pelo menos um deles ocorre necessariamente na experiência.
Exemplo. O porto tem dois berços para navios. Três eventos podem ser considerados: - a ausência de navios nos berços, - a presença de um navio em um dos berços, - a presença de dois navios em dois berços. Esses três eventos formam um grupo completo de eventos.
Oposto dois eventos possíveis únicos que formam um grupo completo são chamados.
Se um dos eventos que são opostos é denotado por , então o evento oposto é normalmente indicado por .
Cada um dos resultados de teste igualmente possíveis (experimentos) é chamado de resultado elementar. Eles geralmente são indicados por letras. Por exemplo, um dado é lançado. Pode haver seis resultados elementares de acordo com o número de pontos nos lados.
A partir de resultados elementares, você pode compor um evento mais complexo. Assim, o evento de um número par de pontos é determinado por três resultados: 2, 4, 6.
Uma medida quantitativa da possibilidade de ocorrência do evento em consideração é a probabilidade.
Duas definições da probabilidade de um evento são mais amplamente usadas: clássico e estatística.
A definição clássica de probabilidade está relacionada à noção de resultado favorável.
Êxodo é chamado favorável este evento, se a sua ocorrência implicar a ocorrência deste evento.
No exemplo dado, o evento em consideração é um número par de pontos na borda de queda, tem três resultados favoráveis. NO este caso conhecido e comum
o número de resultados possíveis. Então, aqui você pode usar a definição clássica da probabilidade de um evento.
Definição clássicaé igual à razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis
onde é a probabilidade do evento , é o número de resultados favoráveis para o evento, é o número total de resultados possíveis.
No exemplo considerado
A definição estatística de probabilidade está associada ao conceito de frequência relativa de ocorrência de um evento em experimentos.
A frequência relativa de ocorrência de um evento é calculada pela fórmula
onde é o número de ocorrência de um evento em uma série de experimentos (testes).
Definição estatística. A probabilidade de um evento é o número relativo ao qual a frequência relativa é estabilizada (estabelecida) com um aumento ilimitado no número de experimentos.
Em problemas práticos, a frequência relativa para um número suficientemente grande de tentativas é tomada como a probabilidade de um evento.
A partir dessas definições da probabilidade de um evento, pode-se ver que a desigualdade sempre vale
Para determinar a probabilidade de um evento com base na fórmula (1.1), as fórmulas combinatórias são frequentemente usadas para encontrar o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis.
É claro que cada evento tem algum grau de possibilidade de sua ocorrência (de sua implementação). Para comparar quantitativamente os eventos entre si de acordo com seu grau de possibilidade, obviamente é necessário associar um certo número a cada evento, que é quanto maior, mais possível o evento. Esse número é chamado de probabilidade do evento.
Probabilidade do evento- é uma medida numérica do grau de possibilidade objetiva da ocorrência deste evento.
Considere um experimento estocástico e um evento aleatório A observado neste experimento. Vamos repetir este experimento n vezes e seja m(A) o número de experimentos em que o evento A aconteceu.
Relação (1.1)
chamado frequência relativa evento A na série de experimentos.
É fácil verificar a validade das propriedades:
se A e B são incompatíveis (AB= ), então ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
A frequência relativa é determinada somente após uma série de experimentos e, em geral, pode variar de série para série. No entanto, a experiência mostra que em muitos casos, à medida que o número de experimentos aumenta, a frequência relativa se aproxima de um determinado número. Este fato da estabilidade da frequência relativa tem sido repetidamente verificado e pode ser considerado estabelecido experimentalmente.
Exemplo 1.19.. Se você jogar uma moeda, ninguém pode prever de que lado ela cairá. Mas se você jogar duas toneladas de moedas, todos dirão que cerca de uma tonelada cairá como um brasão, ou seja, a frequência relativa da queda do brasão é de aproximadamente 0,5.
Se, à medida que o número de experimentos aumenta, a frequência relativa do evento ν(A) tende a algum número fixo, então dizemos que o evento A é estatisticamente estável, e esse número é chamado de probabilidade do evento A.
Probabilidade de um evento MAS algum número fixo P(A) é chamado, para o qual a frequência relativa ν(A) deste evento tende com o aumento do número de experimentos, ou seja,
Essa definição é chamada definição estatística de probabilidade .
Considere algum experimento estocástico e deixe que o espaço de seus eventos elementares consista em um conjunto finito ou infinito (mas contável) de eventos elementares ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . suponha que a cada evento elementar ω i seja atribuído um certo número - р i , que caracteriza o grau de possibilidade da ocorrência desse evento elementar e satisfaz as seguintes propriedades:
Tal número p i é chamado probabilidade de evento elementarωi.
Agora seja A um evento aleatório observado neste experimento, e um certo conjunto corresponde a ele
Em tal configuração probabilidade do evento MAS é chamado a soma das probabilidades de eventos elementares que favorecem A(incluído no conjunto correspondente A):
(1.4)
A probabilidade introduzida desta forma tem as mesmas propriedades que a frequência relativa, a saber:
E se AB \u003d (A e B são incompatíveis),
então P(A+B) = P(A) + P(B)
De fato, de acordo com (1.4)
Na última relação, aproveitamos o fato de que nenhum evento elementar pode favorecer simultaneamente dois eventos incompatíveis.
Observamos especialmente que a teoria da probabilidade não indica métodos para determinar pi, eles devem ser buscados a partir de considerações práticas ou obtidos de um experimento estatístico apropriado.
Como exemplo, considere o esquema clássico da teoria das probabilidades. Para fazer isso, considere um experimento estocástico, cujo espaço de eventos elementares consiste em um número finito (n) de elementos. Suponhamos adicionalmente que todos esses eventos elementares são igualmente prováveis, ou seja, as probabilidades de eventos elementares são p(ω i)=pi =p. Daí segue que
Exemplo 1.20. Ao lançar uma moeda simétrica, o brasão e a cauda são igualmente possíveis, suas probabilidades são 0,5.
Exemplo 1.21. Quando um dado simétrico é lançado, todas as faces são igualmente prováveis, suas probabilidades são 1/6.
Seja agora o evento A favorecido por m eventos elementares, eles são usualmente chamados resultados que favorecem o evento A. Então
Pegou definição clássica de probabilidade: a probabilidade P(A) do evento A é igual à razão entre o número de resultados que favorecem o evento A e o número total de resultados
Exemplo 1.22. Uma urna contém m bolas brancas e n pretas. Qual é a probabilidade de tirar uma bola branca?
Solução. Existem m+n eventos elementares no total. Todos são igualmente incríveis. Evento favorável A deles m. Consequentemente, 
.
As seguintes propriedades seguem da definição de probabilidade:
Propriedade 1. A probabilidade de um determinado evento é igual a um.
De fato, se o evento é confiável, então cada resultado elementar do teste favorece o evento. Nesse caso m=p, Consequentemente,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Propriedade 2. A probabilidade de um evento impossível é zero.
De fato, se o evento é impossível, então nenhum dos resultados elementares da tentativa favorece o evento. Nesse caso t= 0, portanto, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Propriedade 3.Probabilidade evento aleatorioé um número positivo entre zero e um.
De fato, apenas uma parte do número total de resultados elementares do teste favorece um evento aleatório. Ou seja, 0≤m≤n, que significa 0≤m/n≤1, portanto, a probabilidade de qualquer evento satisfaz a dupla desigualdade 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Comparando as definições de probabilidade (1,5) e frequência relativa (1,1), concluímos: a definição de probabilidade não requer teste para ser feito na realidade; a definição da frequência relativa assume que testes foram realmente realizados. Em outras palavras, a probabilidade é calculada antes da experiência e a frequência relativa - após a experiência.
No entanto, o cálculo de probabilidade requer informações prévias sobre o número ou probabilidades de resultados elementares que favorecem um determinado evento. Na ausência de tais informações preliminares, dados empíricos são usados para determinar a probabilidade, ou seja, a frequência relativa do evento é determinada a partir dos resultados de um experimento estocástico.
Exemplo 1.23. Departamento controle técnico descoberto 3 peças não padronizadas em um lote de 80 peças selecionadas aleatoriamente. Frequência relativa de ocorrência de peças não padronizadas r (A)= 3/80.
Exemplo 1.24. Por propósito.produzido 24 tiro, e 19 acertos foram registrados. A frequência relativa de acertar o alvo. r (A)=19/24.
Observações de longo prazo mostraram que se os experimentos são realizados sob as mesmas condições, em cada um dos quais o número de testes é suficientemente grande, então a frequência relativa exibe a propriedade de estabilidade. Esta propriedade é que em vários experimentos a frequência relativa muda pouco (quanto menos, mais testes são feitos), flutuando em torno de um certo número constante. Descobriu-se que este número constante pode ser tomado como um valor aproximado da probabilidade.
A relação entre frequência relativa e probabilidade será descrita em mais detalhes e com mais precisão a seguir. Agora vamos ilustrar a propriedade de estabilidade com exemplos.
Exemplo 1.25. De acordo com as estatísticas suecas, a taxa de natalidade relativa de meninas em 1935 por mês é caracterizada pelos seguintes números (os números são organizados na ordem dos meses, a partir de Janeiro): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
A frequência relativa flutua em torno do número 0,481, que pode ser tomado como valor aproximado probabilidade de ter meninas.
Observe que as estatísticas varios paises dê aproximadamente o mesmo valor da frequência relativa.
Exemplo 1.26. Experimentos repetidos foram realizados jogando uma moeda, em que o número de ocorrências do "brasão" foi contado. Os resultados de vários experimentos são mostrados na tabela.
Esta é a razão entre o número dessas observações em que o evento em questão ocorreu e o número total de observações. Tal interpretação é admissível no caso de um número suficientemente grande de observações ou experimentos. Por exemplo, se cerca de metade das pessoas que você encontra na rua são mulheres, então você pode dizer que a probabilidade de que a pessoa que você encontra na rua seja uma mulher é 1/2. Em outras palavras, a frequência de sua ocorrência em uma longa série de repetições independentes de um experimento aleatório pode servir como uma estimativa da probabilidade de um evento.
Na abordagem matemática moderna, a probabilidade clássica (isto é, não quântica) é dada pela axiomática de Kolmogorov. A probabilidade é uma medida P, que é definido no conjunto X, chamado de espaço de probabilidade. Essa medida deve ter as seguintes propriedades:
Segue-se dessas condições que a medida de probabilidade P também tem a propriedade aditividade: se define UMA 1 e UMA 2 não se cruzam, então . Para provar isso, você precisa colocar tudo UMA 3 , UMA 4 , … igual ao conjunto vazio e aplicar a propriedade da aditividade contável.
A medida de probabilidade pode não ser definida para todos os subconjuntos do conjunto X. Basta defini-lo na sigma-álgebra que consiste em alguns subconjuntos do conjunto X. Neste caso, eventos aleatórios são definidos como subconjuntos mensuráveis do espaço X, isto é, como elementos da álgebra sigma.
Quando constatamos que as razões para que algum fato possível realmente ocorra superam as razões opostas, consideramos esse fato provável, por outro lado - incrível. Essa predominância das bases positivas sobre as negativas, e vice-versa, pode representar um conjunto indefinido de graus, pelo que probabilidade(e improbabilidade) acontece mais ou menos .
Fatos simples complicados não permitem um cálculo exato de seus graus de probabilidade, mas mesmo aqui é importante estabelecer algumas grandes subdivisões. Assim, por exemplo, no campo do direito, quando um fato pessoal sujeito a julgamento é estabelecido com base no depoimento de testemunhas, ele permanece sempre, a rigor, apenas provável, e é necessário saber quão significativa é essa probabilidade; no direito romano, uma divisão quádrupla foi aceita aqui: probatio plenário(onde a probabilidade praticamente se transforma em autenticidade), Mais longe - probatio menos plena, então - probatio semiplena maior e finalmente probatio semiplena menor .
Além da questão da probabilidade do caso, pode surgir, tanto no campo do direito quanto no campo da moral (com certo ponto de vista ético), a questão de quão provável é que determinado fato constitui uma violação da lei geral. Esta questão, que serve de motivo principal na jurisprudência religiosa do Talmude, deu origem na teologia moral católica romana (especialmente a partir do final do século XVI) a construções sistemáticas muito complexas e uma enorme literatura, dogmática e polêmica (ver Probabilismo ).
O conceito de probabilidade admite uma expressão numérica definida em sua aplicação apenas aos fatos que fazem parte de certas séries homogêneas. Assim (no exemplo mais simples), quando alguém joga uma moeda cem vezes seguidas, encontramos aqui uma série comum ou grande (a soma de todas as quedas de uma moeda), que é composta por duas privadas ou menores, neste caso numericamente igual, série (quedas "águia" e caindo "caudas"); A probabilidade de que desta vez a moeda dê coroa, ou seja, que este novo membro da série geral pertença a esta das duas séries menores, é igual a uma fração que expressa a razão numérica entre esta pequena série e a grande, ou seja, 1/2, ou seja, a mesma probabilidade pertence a uma ou outra das duas séries privadas. Em exemplos menos simples, a conclusão não pode ser tirada diretamente dos dados do problema em si, mas requer indução prévia. Assim, por exemplo, pergunta-se: qual é a probabilidade de um determinado recém-nascido viver até 80 anos? Aqui deve haver uma série geral ou grande de um número conhecido de pessoas nascidas em condições semelhantes e morrendo em idades diferentes (esse número deve ser grande o suficiente para eliminar desvios aleatórios e pequeno o suficiente para preservar a homogeneidade da série, porque para um pessoa, nascida, por exemplo, em São Petersburgo em uma família cultural abastada, toda a população de um milhão de habitantes da cidade, uma parte significativa da qual é composta por pessoas de vários grupos que podem morrer prematuramente - soldados, jornalistas , trabalhadores em profissões perigosas - representa um grupo muito heterogêneo para uma definição real de probabilidade); que esta série geral consista em dez mil vidas humanas; inclui linhas menores representando o número de pessoas que vivem até esta ou aquela idade; uma dessas linhas menores representa o número daqueles que vivem até os 80 anos de idade. Mas é impossível determinar o tamanho dessa série menor (assim como todas as outras). a priori; isso é feito de forma puramente indutiva, por meio de estatísticas. Suponha que estudos estatísticos tenham estabelecido que de 10.000 petersburguenses da classe média, apenas 45 sobrevivem até a idade de 80 anos; assim, essa fileira menor está relacionada à maior como 45 a 10.000, e a probabilidade de uma determinada pessoa pertencer a essa fileira menor, ou seja, viver até 80 anos, é expressa como uma fração de 0,0045. O estudo da probabilidade do ponto de vista matemático constitui uma disciplina especial, a teoria da probabilidade.
Fundação Wikimedia. 2010.
Sinônimos:Antônimos:
Científico e filosófico geral. uma categoria que denota o grau quantitativo da possibilidade do aparecimento de eventos aleatórios de massa sob condições fixas de observação, caracterizando a estabilidade de suas frequências relativas. Na lógica, o grau semântico ... ... Enciclopédia Filosófica
PROBABILIDADE, um número na faixa de zero a um, inclusive, que representa a possibilidade deste evento acontecer. A probabilidade de um evento é definida como a razão entre o número de chances de que um evento possa ocorrer e o número total de possíveis ... ... Dicionário enciclopédico científico e técnico
Com toda a probabilidade .. Dicionário de sinônimos russos e expressões semelhantes em significado. debaixo. ed. N. Abramova, M.: dicionários russos, 1999. probabilidade, possibilidade, probabilidade, chance, possibilidade objetiva, maza, admissibilidade, risco. Formiga. impossibilidade... ... Dicionário de sinônimos
probabilidade- Uma medida de que um evento pode ocorrer. Nota Definição matemática de probabilidade: " número real no intervalo de 0 a 1, relacionado a um evento aleatório. O número pode refletir a frequência relativa em uma série de observações ... ... Manual do Tradutor Técnico
Probabilidade- "matemática, característica numérica o grau de possibilidade da ocorrência de qualquer evento em uma ou outra condição específica que pode ser repetida um número ilimitado de vezes. Baseado neste clássico… … Dicionário Econômico e Matemático
- (probabilidade) A possibilidade de ocorrência de um evento ou um determinado resultado. Pode ser representado como uma escala com divisões de 0 a 1. Se a probabilidade de um evento for zero, sua ocorrência é impossível. Com uma probabilidade igual a 1, o início de ... Glossário de termos comerciais
É improvável que muitas pessoas pensem se é possível calcular eventos mais ou menos aleatórios. Falando em termos simples, se é realista saber qual lado do dado cairá na próxima vez. Foi esta pergunta que fizeram dois grandes cientistas, que lançaram as bases para uma ciência como a teoria da probabilidade, na qual a probabilidade de um evento é estudada bastante extensivamente.
Se você tentar definir tal conceito como teoria da probabilidade, obterá o seguinte: este é um dos ramos da matemática que estuda a constância de eventos aleatórios. Está claro este conceito realmente não revela toda a essência, por isso é necessário considerá-lo com mais detalhes.
Gostaria de começar com os criadores da teoria. Como mencionado acima, havia dois deles, e foram eles que estavam entre os primeiros que tentaram calcular o resultado de um evento usando fórmulas e cálculos matemáticos. Em geral, os primórdios desta ciência apareceram na Idade Média. Naquela época, vários pensadores e cientistas tentaram analisar jogos de azar, como roleta, dados e assim por diante, estabelecendo assim um padrão e porcentagem de um determinado número caindo. A fundação foi lançada no século XVII pelos cientistas acima mencionados.
A princípio, seu trabalho não poderia ser atribuído às grandes conquistas nesse campo, pois tudo o que faziam eram simplesmente fatos empíricos, e os experimentos eram feitos visualmente, sem o uso de fórmulas. Com o tempo, acabou obtendo ótimos resultados, que surgiram como resultado da observação do lançamento de dados. Foi esta ferramenta que ajudou a derivar as primeiras fórmulas inteligíveis.
É impossível não mencionar uma pessoa como Christian Huygens, no processo de estudar um tópico chamado "teoria da probabilidade" (a probabilidade de um evento é coberta precisamente nesta ciência). Essa pessoa é muito interessante. Ele, como os cientistas apresentados acima, tentou derivar a regularidade de eventos aleatórios na forma de fórmulas matemáticas. Vale ressaltar que ele não fez isso junto com Pascal e Fermat, ou seja, todas as suas obras não cruzaram de forma alguma com essas mentes. Huygens trouxe
Um fato interessante é que seu trabalho surgiu muito antes dos resultados do trabalho dos descobridores, ou melhor, vinte anos antes. Entre os conceitos designados, os mais famosos são:
Também é impossível não lembrar quem também contribuiu significativamente para o estudo do problema. Realizando seus próprios testes, independente de qualquer pessoa, ele conseguiu apresentar uma prova da lei grandes números. Por sua vez, os cientistas Poisson e Laplace, que trabalharam no início do século XIX, conseguiram provar os teoremas originais. Foi a partir deste momento que a teoria das probabilidades começou a ser usada para analisar erros no decorrer das observações. desvio lateral esta ciência nem os cientistas russos, ou melhor, Markov, Chebyshev e Dyapunov. Com base no trabalho feito pelos grandes gênios, eles fixaram esse assunto como um ramo da matemática. Essas figuras funcionavam já no final do século XIX e, graças à sua contribuição, fenômenos como:
Então, com a história do nascimento da ciência e com as principais pessoas que a influenciaram, tudo fica mais ou menos claro. Agora é hora de concretizar todos os fatos.
Antes de tocar em leis e teoremas, vale a pena estudar os conceitos básicos da teoria das probabilidades. O evento assume o papel principal nele. Este tópico bastante volumoso, mas sem ele não será possível descobrir todo o resto.
Um evento na teoria da probabilidade é qualquer conjunto de resultados de um experimento. Não há muitos conceitos desse fenômeno. Então, o cientista Lotman, trabalhando nesta área, disse que neste caso nós estamos falando sobre o que "aconteceu, embora possa não ter acontecido".
Eventos aleatórios (a teoria da probabilidade dá-lhes Atenção especial) é um conceito que implica absolutamente qualquer fenômeno que tenha a capacidade de ocorrer. Ou, inversamente, esse cenário pode não acontecer quando muitas condições forem atendidas. Também vale a pena saber que são eventos aleatórios que capturam todo o volume de fenômenos que ocorreram. A teoria da probabilidade indica que todas as condições podem ser repetidas constantemente. Foi sua conduta que foi chamada de "experiência" ou "teste".
Um determinado evento é aquele que ocorrerá 100% em um determinado teste. Assim, um evento impossível é aquele que não acontecerá.
A combinação de um par de ações (condicionalmente caso A e caso B) é um fenômeno que ocorre simultaneamente. Eles são designados como AB.
A soma dos pares de eventos A e B é C, ou seja, se pelo menos um deles acontecer (A ou B), será obtido C. A fórmula do fenômeno descrito é escrita da seguinte forma: C \u003d A + B.
Eventos disjuntos na teoria da probabilidade implicam que os dois casos são mutuamente exclusivos. Eles nunca podem acontecer ao mesmo tempo. Eventos conjuntos na teoria da probabilidade são seus antípodas. Isso implica que se A aconteceu, então não impede B de forma alguma.
Eventos opostos (a teoria da probabilidade lida com eles em grande detalhe) são fáceis de entender. É melhor lidar com eles em comparação. Eles são quase o mesmo que eventos incompatíveis na teoria das probabilidades. Mas sua diferença está no fato de que um dos muitos fenômenos em qualquer caso deve ocorrer.
Eventos igualmente prováveis são aquelas ações cuja possibilidade de repetição é igual. Para deixar mais claro, podemos imaginar o lançamento de uma moeda: a perda de um de seus lados tem a mesma probabilidade de cair do outro.
Um evento favorável é mais fácil de ver com um exemplo. Digamos que haja o episódio B e o episódio A. O primeiro é o lançamento do dado com o aparecimento de um número ímpar, e o segundo é o aparecimento do número cinco no dado. Então acontece que A favorece B.
Eventos independentes na teoria da probabilidade são projetados apenas em dois ou mais casos e implicam a independência de qualquer ação de outra. Por exemplo, A - soltando coroa ao jogar uma moeda e B - pegando um valete do baralho. Eles são eventos independentes na teoria da probabilidade. Neste ponto, ficou mais claro.
Eventos dependentes na teoria da probabilidade também são admissíveis apenas para seu conjunto. Implicam a dependência de um do outro, ou seja, o fenômeno B só pode ocorrer se A já aconteceu ou, ao contrário, não aconteceu quando esta é a condição principal para B.
O resultado de um experimento aleatório consistindo de um componente são eventos elementares. A teoria da probabilidade explica que este é um fenômeno que aconteceu apenas uma vez.
Assim, os conceitos de "evento", "teoria da probabilidade" foram considerados acima, a definição dos principais termos desta ciência também foi dada. Agora é hora de se familiarizar diretamente com as fórmulas importantes. Essas expressões confirmam matematicamente todos os principais conceitos em um assunto tão difícil como a teoria das probabilidades. A probabilidade de um evento desempenha um papel enorme aqui também.
É melhor começar com os principais e antes de prosseguir com eles, vale a pena considerar o que é.
A combinatória é principalmente um ramo da matemática, lida com o estudo de um grande número de inteiros, bem como várias permutações dos próprios números e seus elementos, vários dados, etc., levando ao aparecimento de várias combinações. Além da teoria da probabilidade, esse ramo é importante para estatística, ciência da computação e criptografia.
Então, agora você pode passar para a apresentação das próprias fórmulas e sua definição.
A primeira delas será uma expressão para o número de permutações, fica assim:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
A equação se aplica apenas se os elementos diferem apenas em sua ordem.
Agora a fórmula de posicionamento será considerada, fica assim:
A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!
Esta expressão é aplicável não apenas à ordem do elemento, mas também à sua composição.
A terceira equação da combinatória, e também a última, é chamada de fórmula do número de combinações:
C_n^m = n! : ((n - m))! :m!
Uma combinação é chamada de seleção não ordenada, respectivamente, e essa regra se aplica a elas.
Acabou sendo fácil descobrir as fórmulas da combinatória, agora podemos passar para a definição clássica de probabilidades. Essa expressão fica assim:
Nesta fórmula, m é o número de condições favoráveis ao evento A, e n é o número de absolutamente todos os resultados igualmente possíveis e elementares.
Existe um grande número de expressões, o artigo não considerará todas elas, mas as mais importantes delas serão afetadas, como, por exemplo, a probabilidade da soma dos eventos:
P(A + B) = P(A) + P(B) - este teorema é para adicionar apenas eventos incompatíveis;
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - e este é para adicionar apenas os compatíveis.
Probabilidade de produzir eventos:
P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - este teorema é para eventos independentes;
(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - e este é para dependentes.
A fórmula do evento encerrará a lista. A teoria da probabilidade nos fala sobre o teorema de Bayes, que se parece com isso:
P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n
Nesta fórmula, H 1 , H 2 , …, H n é o grupo completo de hipóteses.
Se você estudar cuidadosamente qualquer ramo da matemática, não estará completo sem exercícios e exemplos de soluções. Assim é a teoria da probabilidade: eventos, exemplos aqui são um componente integral que confirma os cálculos científicos.
Digamos que haja trinta cartas em um baralho de cartas, começando com o valor nominal um. Próxima questão. Quantas maneiras existem de empilhar o baralho para que as cartas com valor nominal de um e dois não fiquem próximas umas das outras?
A tarefa está definida, agora vamos resolvê-la. Primeiro você precisa determinar o número de permutações de trinta elementos, para isso pegamos a fórmula acima, verifica-se P_30 = 30!.
Com base nessa regra, descobriremos quantas opções existem para dobrar o baralho de maneiras diferentes, mas precisamos subtrair delas aquelas em que a primeira e a segunda cartas são as próximas. Para fazer isso, vamos começar com a opção quando a primeira estiver acima da segunda. Acontece que a primeira carta pode ocupar vinte e nove lugares - do primeiro ao vigésimo nono, e o segundo cartão do segundo ao trigésimo, verifica-se apenas vinte e nove lugares para um par de cartas. Por sua vez, o resto pode ocupar vinte e oito lugares, e em qualquer ordem. Ou seja, para uma permutação de vinte e oito cartas, existem vinte e oito opções P_28 = 28!
Como resultado, verifica-se que, se considerarmos a solução quando a primeira carta estiver acima da segunda, existem 29 ⋅ 28 possibilidades extras! = 29!
Usando o mesmo método, você precisa calcular o número de opções redundantes para o caso em que a primeira placa está abaixo da segunda. Acontece também 29 ⋅ 28! = 29!
A partir disso, há 2 ⋅ 29! opções extras, enquanto existem 30 maneiras necessárias para construir o baralho! - 2 ⋅ 29!. Resta apenas contar.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Agora você precisa multiplicar todos os números de um a vinte e nove entre si e, no final, multiplicar tudo por 28. A resposta é 2,4757335 ⋅〖10〗^32
Neste problema, você precisa descobrir quantas maneiras existem para colocar quinze volumes em uma prateleira, mas com a condição de que haja trinta volumes no total.
Neste problema, a solução é um pouco mais simples do que no anterior. Usando a fórmula já conhecida, é necessário calcular o número total de arranjos de trinta volumes de quinze.
A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000
A resposta, respectivamente, será igual a 202.843.204.931.727.360.000.
Agora vamos levar a tarefa um pouco mais difícil. Você precisa descobrir quantas maneiras existem para organizar trinta livros em duas estantes, contanto que apenas quinze volumes possam estar em uma prateleira.
Antes de iniciar a solução, gostaria de esclarecer que alguns problemas são resolvidos de várias maneiras, portanto, existem duas maneiras nesta, mas a mesma fórmula é usada em ambas.
Neste problema, você pode pegar a resposta do anterior, pois ali calculamos quantas vezes você pode encher uma estante com quinze livros de maneiras diferentes. Acabou que A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.
Calculamos a segunda prateleira de acordo com a fórmula de permutação, pois nela são colocados quinze livros, enquanto restam apenas quinze. Usamos a fórmula P_15 = 15!.
Acontece que no total haverá A_30^15 ⋅ P_15 maneiras, mas, além disso, o produto de todos os números de trinta a dezesseis precisará ser multiplicado pelo produto de números de um a quinze, como resultado, o será obtido o produto de todos os números de um a trinta, ou seja, a resposta é igual a 30!
Mas esse problema pode ser resolvido de uma maneira diferente - mais fácil. Para fazer isso, você pode imaginar que há uma prateleira para trinta livros. Todos eles são colocados neste plano, mas como a condição exige que haja duas prateleiras, cortamos uma longa ao meio, resultando em duas e quinze cada. A partir disso, verifica-se que as opções de posicionamento podem ser P_30 = 30!.
Agora vamos considerar uma variante do terceiro problema da combinatória. Você precisa descobrir quantas maneiras existem para organizar quinze livros, desde que você precise escolher entre trinta absolutamente idênticos.
Para a solução, é claro, será aplicada a fórmula do número de combinações. Da condição fica claro que a ordem dos quinze livros idênticos não é importante. Portanto, inicialmente você precisa descobrir o número total de combinações de trinta livros de quinze.
C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : quinze ! = 155 117 520
Isso é tudo. Usando esta fórmula, tempo mais curto conseguiu resolver tal problema, a resposta, respectivamente, é 155 117 520.
Usando a fórmula acima, você pode encontrar a resposta em um problema simples. Mas ajudará a ver visualmente e traçar o curso das ações.
O problema é que há dez bolas absolutamente idênticas na urna. Destes, quatro são amarelos e seis são azuis. Uma bola é retirada da urna. Você precisa descobrir a probabilidade de ficar azul.
Para resolver o problema, é necessário designar a obtenção da bola azul como evento A. Essa experiência pode ter dez resultados, que, por sua vez, são elementares e igualmente prováveis. Ao mesmo tempo, seis em cada dez são favoráveis ao evento A. Resolvemos usando a fórmula:
P(A) = 6: 10 = 0,6
Aplicando esta fórmula, descobrimos que a probabilidade de obter uma bola azul é 0,6.
Agora será apresentada uma variante, que é resolvida usando a fórmula da probabilidade da soma dos eventos. Assim, na condição de haver duas caixas, a primeira contém uma bola cinza e cinco bolas brancas, e a segunda contém oito bolas cinzas e quatro brancas. Como resultado, um deles foi retirado da primeira e segunda caixas. É necessário descobrir qual é a chance de que as bolas retiradas sejam cinza e branca.
Para resolver este problema, é necessário designar eventos.
De acordo com a condição do problema, é necessário que um dos fenômenos ocorra: AB 'ou A'B. Usando a fórmula, obtemos: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.
Agora a fórmula para multiplicar a probabilidade foi usada. Em seguida, para descobrir a resposta, você precisa aplicar a equação para sua adição:
P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.
Então, usando a fórmula, você pode resolver problemas semelhantes.
O artigo trouxe informações sobre o tema "Teoria da Probabilidade", no qual a probabilidade de um evento desempenha um papel crucial. É claro que nem tudo foi levado em consideração, mas, com base no texto apresentado, pode-se teoricamente se familiarizar com essa seção da matemática. A ciência em questão pode ser útil não só no trabalho profissional, mas também no Vida cotidiana. Com sua ajuda, você pode calcular qualquer possibilidade de qualquer evento.
O texto também abordou datas significativas na história da formação da teoria da probabilidade como ciência e os nomes de pessoas cujos trabalhos nela foram investidos. Foi assim que a curiosidade humana levou ao fato de que as pessoas aprenderam a calcular até eventos aleatórios. Antigamente eles só se interessavam, mas hoje todo mundo já sabe disso. E ninguém dirá o que nos espera no futuro, que outras brilhantes descobertas relacionadas à teoria em consideração serão feitas. Mas uma coisa é certa - a pesquisa não fica parada!
Breve teoria
Para uma comparação quantitativa de eventos de acordo com o grau de possibilidade de sua ocorrência, é introduzida uma medida numérica, que é chamada de probabilidade de um evento. A probabilidade de um evento aleatórioé chamado um número, que é uma expressão de uma medida da possibilidade objetiva da ocorrência de um evento.
Os valores que determinam quão significativos são os motivos objetivos para contar com a ocorrência de um evento são caracterizados pela probabilidade do evento. Deve-se enfatizar que a probabilidade é uma quantidade objetiva que existe independentemente do conhecedor e é condicionada pela totalidade das condições que contribuem para a ocorrência de um evento.
As explicações que demos ao conceito de probabilidade não são uma definição matemática, pois não definem esse conceito quantitativamente. Existem várias definições de probabilidade de um evento aleatório que são amplamente utilizadas na resolução de problemas específicos (clássica, definição geométrica de probabilidade, estatística, etc.).
A definição clássica da probabilidade de um evento reduz esse conceito a um conceito mais elementar de eventos igualmente prováveis, que não está mais sujeito a definição e se supõe intuitivamente claro. Por exemplo, se um dado é um cubo homogêneo, então a precipitação de qualquer uma das faces desse cubo será eventos igualmente prováveis.
Seja um certo evento dividido em casos igualmente prováveis, cuja soma dá o evento. Ou seja, os casos de , em que se desfaz, são chamados de favoráveis ao evento, pois o aparecimento de um deles garante a ofensiva.
A probabilidade de um evento será denotada pelo símbolo .
A probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de casos favoráveis a ele, do número total de casos únicos, igualmente possíveis e incompatíveis, pelo número, ou seja,
Esta é a definição clássica de probabilidade. Assim, para encontrar a probabilidade de um evento, é necessário, após considerar os vários resultados do teste, encontrar um conjunto dos únicos casos possíveis, igualmente possíveis e incompatíveis, calcular o seu número total n, o número de casos m que favorecer este evento, e então realizar o cálculo de acordo com a fórmula acima.
A probabilidade de um evento igual à razão entre o número de resultados da experiência favoráveis ao evento e o número total de resultados da experiência é chamada probabilidade clássica evento aleatorio.
As seguintes propriedades de probabilidade seguem da definição:
Propriedade 1. A probabilidade de um determinado evento é igual a um.
Propriedade 2. A probabilidade de um evento impossível é zero.
Propriedade 3. A probabilidade de um evento aleatório é um número positivo entre zero e um.
Propriedade 4. A probabilidade de ocorrência de eventos que formam um grupo completo é igual a um.
Propriedade 5. A probabilidade de ocorrência do evento oposto é definida da mesma forma que a probabilidade de ocorrência do evento A.
O número de ocorrências que favorecem a ocorrência do evento oposto. Portanto, a probabilidade do evento oposto ocorrer é igual à diferença entre a unidade e a probabilidade do evento A ocorrer:
Dignidade importante definição clássica A probabilidade de um evento reside no fato de que, com sua ajuda, a probabilidade de um evento pode ser determinada sem recorrer à experiência, mas com base no raciocínio lógico.
Quando um conjunto de condições é atendido, um determinado evento definitivamente acontecerá, e o impossível definitivamente não acontecerá. Entre os eventos que, quando se cria um complexo de condições, podem ou não ocorrer, pode-se contar com o aparecimento de alguns com mais razão, com o aparecimento de outros com menos razão. Se, por exemplo, houver mais bolas brancas na urna do que pretas, espere o aparecimento de uma bola branca quando retirada da urna aleatoriamente mais razão do que a aparência de uma bola preta.
Visto na página seguinte.
Exemplo de solução de problema
Uma caixa contém 8 bolas brancas, 4 pretas e 7 vermelhas. 3 bolas são retiradas ao acaso. Encontre as probabilidades dos seguintes eventos: - pelo menos 1 bola vermelha ser retirada, - pelo menos 2 bolas da mesma cor, - pelo menos 1 vermelha e 1 branca.
Encontramos o número total de resultados do teste como o número de combinações de 19 (8 + 4 + 7) elementos de 3 cada:
Encontre a probabilidade de um evento– sacar pelo menos 1 bola vermelha (1,2 ou 3 bolas vermelhas)
Probabilidade necessária:
Deixe o evento- houver pelo menos 2 bolas da mesma cor (2 ou 3 bolas brancas, 2 ou 3 bolas pretas e 2 ou 3 bolas vermelhas)
Número de resultados que favorecem o evento:
Probabilidade necessária:
Deixe o evento– há pelo menos uma bola vermelha e uma branca
(1 vermelho, 1 branco, 1 preto ou 1 vermelho, 2 brancos ou 2 vermelhos, 1 branco)
Número de resultados que favorecem o evento:
Probabilidade necessária:
Responda: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068
Dois dados são lançados. Encontre a probabilidade de que a soma dos pontos seja pelo menos 5.
Seja o evento a soma de pontos não inferior a 5
Vamos usar a definição clássica de probabilidade:
Número total de possíveis resultados do estudo
O número de ensaios que favorecem o evento de nosso interesse
Na face caída do primeiro dado, um ponto, dois pontos..., seis pontos podem aparecer. da mesma forma, seis resultados são possíveis na segunda jogada de dados. Cada um dos resultados do primeiro dado pode ser combinado com cada um dos resultados do segundo. Assim, o número total de resultados elementares possíveis do teste é igual ao número de colocações com repetições (seleção com colocações de 2 elementos de um conjunto do volume 6):
Encontre a probabilidade do evento oposto - a soma dos pontos é menor que 5
As seguintes combinações de pontos perdidos favorecerão o evento:
| № | 1º osso | 2º osso | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Médio custo da solução trabalho de controle 700 - 1200 rublos (mas não menos de 300 rublos para todo o pedido). O preço é fortemente influenciado pela urgência da decisão (de dias a várias horas). O custo da ajuda on-line no exame / teste - a partir de 1000 rublos. para a solução de bilhetes.
O aplicativo pode ser deixado diretamente no chat, tendo previamente descartado a condição das tarefas e informando os prazos para resolvê-lo. O tempo de resposta é de vários minutos.
Exemplos de tarefas relacionadas
Fórmula de Probabilidade Total. Fórmula de Bayes
No exemplo de resolução do problema, considera-se a fórmula da probabilidade total e a fórmula de Bayes, e descreve-se também o que são hipóteses e probabilidades condicionais.
