Lista de divisores. Por definição, o número né primo apenas se não for divisível por 2 e quaisquer inteiros diferentes de 1 e ele mesmo. A fórmula acima elimina etapas desnecessárias e economiza tempo: por exemplo, após verificar se um número é divisível por 3, não há necessidade de verificar se é divisível por 9.
Aprenda sobre aritmética modular. A operação "x mod y" (mod é a abreviação da palavra latina "modulo", que significa "módulo") significa "dividir x por y e encontrar o restante". Em outras palavras, na aritmética modular, ao atingir um determinado valor, que é chamado de módulo, os números "voltam" para zero. Por exemplo, um relógio mede o tempo no módulo 12: mostra 10, 11 e 12 horas e depois volta para 1.
Aprenda sobre as armadilhas do Pequeno Teorema de Fermat. Todos os números para os quais as condições de teste não são atendidas são compostos, mas os números restantes são apenas provavelmente são considerados simples. Se você quiser evitar resultados incorretos, procure n na lista de "números de Carmichael" (números compostos que satisfazem este teste) e "números de Fermat pseudo-primos" (estes números atendem às condições do teste apenas para alguns valores uma).
Se conveniente, use o teste de Miller-Rabin. Embora este método bastante complicado para cálculos manuais, é frequentemente usado em programas de computador. Ele fornece velocidade aceitável e apresenta menos erros do que o método de Fermat. Um número composto não será considerado um número primo se os cálculos forem feitos para mais de ¼ de valores uma. Se você escolher aleatoriamente vários significados uma e para todos eles o teste dará um resultado positivo, podemos assumir com um grau bastante alto de confiança que né um número primo.
Para números grandes, use aritmética modular. Se você não tiver uma calculadora com a função mod em mãos ou a calculadora não for projetada para operações com tais grandes números, use as propriedades de potência e a aritmética modular para facilitar os cálculos. Abaixo segue um exemplo para 3 50 (\displaystyle 3^(50)) modo 50:
Definição 1. número primoé um número natural maior que 1 que só é divisível por ele mesmo e por 1.
Em outras palavras, um número é primo se tiver apenas dois divisores naturais distintos.
Definição 2. Qualquer número natural que tenha outros divisores além de si mesmo e um é chamado número composto.
Em outras palavras inteiros, que não são números primos, são chamados compostos. A definição 1 implica que um número composto tem mais de dois divisores naturais. O número 1 não é primo nem composto. tem apenas um divisor 1 e, além disso, muitos teoremas sobre números primos não valem para a unidade.
Segue-se das Definições 1 e 2 que todo número inteiro positivo maior que 1 é um número primo ou composto.
Abaixo está um programa para exibição de números primos até 5000. Preencha as células, clique no botão "Criar" e aguarde alguns segundos.
Declaração 1. Se um pé um número primo e uma qualquer número inteiro, então ou uma dividido por p, ou p e uma números relativamente primos.
Sério. Se um p número primo, então ele só é divisível por ele mesmo e 1 se uma não divisível por p, então o máximo divisor comum uma e pé igual a 1. Então p e uma números relativamente primos.
Declaração 2. Se o produto de vários números de números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... é divisível por um número primo p, então pelo menos um dos números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... é divisível por p.
Sério. Se nenhum dos números for divisível por p, então os números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... seriam números relativamente primos em relação a p. Mas do Corolário 3 () segue-se que o seu produto uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... também é coprimo em relação a p, o que contraria a condição da afirmação. Portanto, pelo menos um dos números é divisível por p.
Teorema 1. Qualquer número composto pode sempre ser representado, e mais ainda de forma única, como o produto de um número finito de números primos.
Prova. Deixar k número composto, e seja uma 1 é um de seus divisores diferentes de 1 e de si mesmo. Se um uma 1 é composto, então tem além de 1 e uma 1 e outro divisor uma 2. Se um uma 2 é um número composto, então ele tem, além de 1 e uma 2 e outro divisor uma 3 . Argumentando desta forma e tendo em conta que os números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... diminuir e esta série contém um número finito de termos, chegaremos a algum número primo p 1 . Então k pode ser representado como
Suponha que haja duas expansões de um número k:
Porque k=p 1 p 2 p 3 ... é divisível por um número primo q 1 , então pelo menos um dos fatores, por exemplo p 1 é divisível por q 1 . Mas p 1 é primo e só é divisível por 1 e por ele mesmo. Consequentemente p 1 =q 1 (porque q 1 ≠1)
Então de (2) podemos excluir p 1 e q 1:
Assim, garantimos que qualquer número primo que entre na primeira expansão como fator uma ou mais vezes entre na segunda expansão pelo menos o mesmo número de vezes e vice-versa, qualquer número primo que entre na segunda expansão como fator um ou vários times também entra na primeira expansão pelo menos tantas vezes. Portanto, qualquer número primo entra como fator em ambas as expansões o mesmo número de vezes e, portanto, essas duas expansões são iguais.■
Decomposição de um número composto k pode ser escrito da seguinte forma
| (3) |
Onde p 1 , p 2 , ... números primos distintos, α, β, γ ... números inteiros positivos.
A decomposição (3) é chamada decomposição canônica números.
números primos na série de números naturais ocorrem de forma desigual. Em algumas partes da série há mais deles, em outros - menos. Quanto mais avançamos na série numérica, mais raros são os números primos. A questão é: existe um maior número primo? O antigo matemático grego Euclides provou que existem infinitos números primos. Apresentamos esta prova a seguir.
Teorema 2. O número de números primos é infinito.
Prova. Suponha que haja um número finito de primos, e seja o maior primo p. Vamos considerar todos os números p. Pela suposição da afirmação, esses números devem ser compostos e devem ser divisíveis por pelo menos um dos números primos. Vamos escolher um número que é o produto de todos esses primos mais 1:
Número z mais p Porque 2p já mais p. p não é divisível por nenhum desses números primos, pois quando dividido por cada um deles, dá um resto de 1. Assim chegamos a uma contradição. Portanto, há um número infinito de números primos.
Este teorema é um caso especial de um teorema mais geral:
Teorema 3. Seja dada uma progressão aritmética
Então qualquer número primo em n, também deve ser incluído m, assim em n não pode incluir outros fatores primos que não estão incluídos em m e, além disso, esses fatores primos em n não aparecem mais vezes do que em m.
O contrário também é verdade. Se todo fator primo de um número n ocorre pelo menos o mesmo número de vezes m, então m dividido por n.
Declaração 3. Deixar uma 1 ,uma 2 ,uma 3 ,... vários primos que aparecem em m assim
Onde eu=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . notar que um eu aceita α +1 valores, β j aceita β +1 valores, γ k leva γ valores +1, ... .
O artigo trata dos conceitos de números primos e compostos. São dadas definições de tais números com exemplos. Damos uma prova de que o número de primos é ilimitado e fazemos uma entrada na tabela de primos usando o método de Eratóstenes. Serão dadas provas se um número é primo ou composto.
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Os números primos e compostos são classificados como inteiros positivos. Eles devem ser maiores que um. Os divisores também são divididos em simples e compostos. Para entender o conceito de números compostos, é necessário primeiro estudar os conceitos de divisores e múltiplos.
Definição 1
Os números primos são inteiros maiores que um e têm dois divisores positivos, ou seja, eles mesmos e 1.
Definição 2
Números compostos são números inteiros que são maiores que um e têm pelo menos três divisores positivos.
Um não é um número primo nem um número composto. Ele tem apenas um divisor positivo, então é diferente de todos os outros números positivos. Todos os inteiros positivos são chamados naturais, isto é, usados na contagem.
Definição 3
números primos são números naturais que possuem apenas dois divisores positivos.
Definição 4
Número compostoé um número natural que tem mais de dois divisores positivos.
Qualquer número maior que 1 é primo ou composto. Pela propriedade da divisibilidade, temos que 1 e o número a sempre serão divisores de qualquer número a, ou seja, será divisível por ele mesmo e por 1. Damos a definição de inteiros.
Definição 5
Os números naturais que não são primos são chamados de números compostos.
Números primos: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Eles são divisíveis apenas por eles mesmos e por 1. Números compostos: 6, 63, 121, 6697. Ou seja, o número 6 pode ser decomposto em 2 e 3, e 63 em 1, 3, 7, 9, 21, 63 e 121 em 11, 11, ou seja, seus divisores serão 1, 11, 121. O número 6697 se decomporá em 37 e 181. Observe que os conceitos de números primos e números relativamente primos são conceitos diferentes.
Para facilitar o uso de números primos, você precisa usar uma tabela:
Uma tabela para todos os números naturais existentes não é realista, pois há um número infinito deles. Quando os números atingem tamanhos de 10000 ou 1000000000, então você deve pensar em usar a peneira de Eratóstenes.
Considere um teorema que explica a última afirmação.
Teorema 1
O menor divisor positivo de um número natural maior que 1 diferente de 1 é um número primo.
Prova 1
Suponha que a é um número natural maior que 1, b é o menor divisor não-um de a. Devemos provar que b é um número primo usando o método da contradição.
Digamos que b é um número composto. Daqui temos que existe um divisor para b , que é diferente de 1 assim como de b . Tal divisor é denotado como b 1 . É necessário que a condição 1< b 1 < b foi completado.
Pode ser visto da condição de que a é divisível por b, b é divisível por b 1, o que significa que o conceito de divisibilidade é expresso da seguinte forma: a = bq e b = b 1 q 1 , de onde a = b 1 (q 1 q) , onde q e q 1 são inteiros. De acordo com a regra da multiplicação de inteiros, temos que o produto de inteiros é um inteiro com uma igualdade da forma a = b 1 · (q 1 · q) . Pode-se ver que b 1 é o divisor de a. Desigualdade 1< b 1 < b não corresponde, porque obtemos que b é o menor divisor positivo não-1 de a.
Teorema 2
Existem infinitos números primos.
Prova 2
Suponha que tomamos um número finito de números naturais n e denotamos como p 1 , p 2 , … , p n . Vamos considerar uma variante de encontrar um número primo diferente dos indicados.
Considere o número p, que é igual a p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Não é igual a cada um dos números correspondentes aos primos da forma p 1 , p 2 , … , p n . O número p é primo. Então o teorema é considerado provado. Se for composto, precisamos tomar a notação p n + 1 e mostre a incompatibilidade do divisor com qualquer um de p 1 , p 2 , … , p n .
Se não fosse assim, então, com base na propriedade de divisibilidade do produto p 1 , p 2 , … , p n , temos que seria divisível por p n + 1 . Observe que a expressão p n + 1 o número p é dividido é igual à soma p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Obtemos que a expressão p n + 1 o segundo termo dessa soma, que é igual a 1, deve ser dividido, mas isso é impossível.
Pode-se ver que qualquer número primo pode ser encontrado entre qualquer número de primos dados. Segue-se que existem infinitos números primos.
Como há muitos números primos, as tabelas são limitadas aos números 100, 1000, 10000 e assim por diante.
Ao compilar uma tabela de números primos, deve-se levar em consideração o fato de que tal tarefa requer uma verificação sequencial de números, começando de 2 a 100. Se não houver divisor, ele será registrado na tabela; se for composto, não será inserido na tabela.
Vamos considerar passo a passo.
Se você começar com o número 2, ele terá apenas 2 divisores: 2 e 1, o que significa que pode ser inserido na tabela. Também com o número 3. O número 4 é composto, deve ser decomposto em 2 e 2. O número 5 é primo, o que significa que pode ser fixado na tabela. Faça isso até o número 100.
Este método desconfortável e longo. Você pode fazer uma mesa, mas tem que gastar um grande número de Tempo. É necessário utilizar critérios de divisibilidade, o que agilizará o processo de encontrar os divisores.
O método usando a peneira de Eratóstenes é considerado o mais conveniente. Vamos dar uma olhada nas tabelas abaixo. Para começar, os números 2, 3, 4, ..., 50 são escritos.
Agora você precisa riscar todos os números que são múltiplos de 2. Faça tachado sequencial. Obtemos uma tabela da forma:
Vamos passar a riscar os números que são múltiplos de 5. Nós temos:
Riscamos os números que são múltiplos de 7, 11. Finalmente a tabela parece
Passemos à formulação do teorema.
Teorema 3
O menor divisor positivo e diferente de 1 do número base a não excede a , onde a é a raiz aritmética do número dado.
Prova 3
É necessário denotar b como o menor divisor de um número composto a. Existe um inteiro q , onde a = b · q , e temos que b ≤ q . Uma desigualdade da forma b > q porque a condição foi violada. Ambos os lados da desigualdade b ≤ q devem ser multiplicados por qualquer número positivo b diferente de 1 . Obtemos que b b ≤ b q , onde b 2 ≤ a e b ≤ a .
Pode-se ver pelo teorema provado que a exclusão de números na tabela leva ao fato de que é necessário começar com um número que é igual a b 2 e satisfaz a desigualdade b 2 ≤ a . Ou seja, se você riscar números que são múltiplos de 2, o processo começa em 4, e aqueles que são múltiplos de 3 começam em 9 e assim por diante até 100.
A compilação de tal tabela usando o teorema de Eratóstenes diz que quando todos os números compostos são riscados, restarão primos que não excedem n. No exemplo onde n = 50 , temos que n = 50 . A partir daqui, temos que a peneira de Eratóstenes peneira todos os números compostos que não são maiores em valor do que o valor da raiz de 50. A busca por números é feita riscando.
Antes de resolver, é necessário descobrir se o número é primo ou composto. Critérios de divisibilidade são frequentemente usados. Vejamos isso no exemplo abaixo.
Exemplo 1
Prove que 898989898989898989 é um número composto.
Solução
A soma dos dígitos do número dado é 9 8 + 9 9 = 9 17 . Portanto, o número 9 17 é divisível por 9, com base no sinal de divisibilidade por 9. Segue-se que é composto.
Tais sinais não são capazes de provar a primogenitura de um número. Se a verificação for necessária, outras etapas devem ser tomadas. A maneira mais adequada é enumerar números. Durante o processo, números primos e compostos podem ser encontrados. Ou seja, os números em valor não devem exceder a . Ou seja, o número a deve ser decomposto em fatores primos. se isso for verdade, então o número a pode ser considerado primo.
Exemplo 2
Determine o número composto ou primo 11723.
Solução
Agora você precisa encontrar todos os divisores para o número 11723. Precisa avaliar 11723 .
A partir daqui vemos que 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , e 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Para uma estimativa mais precisa do número 11723, é necessário escrever a expressão 108 2 = 11 664, e 109 2 = 11 881 , então 108 2 < 11 723 < 109 2 . Segue-se disso que 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Ao decompor, obtemos que 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107 são todos números primos. Todo esse processo pode ser descrito como uma divisão por uma coluna. Ou seja, divida 11723 por 19. O número 19 é um de seus fatores, pois temos divisão sem resto. Vamos representar a divisão por uma coluna:
Segue-se que 11723 é um número composto, pois além de si mesmo e de 1 tem um divisor 19 .
Responda: 11723 é um número composto.
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Um número primo é um número natural que só é divisível por ele mesmo e por um.
O resto dos números são chamados compostos.
Mas nem todos os números naturais são primos.
Os números naturais simples são apenas aqueles que são divisíveis apenas por eles mesmos e por um.
Exemplos de números primos:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
Segue-se que apenas os números naturais são números primos.
Isso significa que os números primos são necessariamente naturais.
Mas todos os números naturais também são inteiros.
Assim, todos os números primos são inteiros.
Exemplos de números primos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Existe apenas um número primo par, que é dois.
Todos os outros números primos são ímpares.
Por que um número par maior que dois não pode ser um número primo?
Mas porque qualquer número par maior que dois será divisível por si mesmo, não por um, mas por dois, ou seja, tal número sempre terá três divisores, e possivelmente mais.
