Primeiro nível
Então vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser (no nosso caso, eles). Não importa quantos números escrevamos, sempre podemos dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo e assim por diante até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica:
sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número exclusivo.
Por exemplo, para nossa sequência:
O número atribuído é específico para apenas um número de sequência. Em outras palavras, não há três segundos números na sequência. O segundo número (como o número -th) é sempre o mesmo.
O número com o número é chamado de -ésimo membro da sequência.
Normalmente chamamos toda a sequência de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .
No nosso caso:
Os tipos mais comuns de progressão são aritmética e geométrica. Neste tópico, falaremos sobre o segundo tipo - progressão geométrica.
Ainda na antiguidade, o matemático italiano, o monge Leonardo de Pisa (mais conhecido como Fibonacci), tratou das necessidades práticas do comércio. O monge se deparou com a tarefa de determinar qual é o menor número de pesos que podem ser usados para pesar as mercadorias? Em seus escritos, Fibonacci prova que tal sistema de pesos é ótimo: Esta é uma das primeiras situações em que as pessoas tiveram que lidar com uma progressão geométrica, da qual você provavelmente já ouviu falar e pelo menos já ouviu falar. conceito geral. Depois de entender completamente o tópico, pense por que esse sistema é ideal?
Atualmente, na prática da vida, uma progressão geométrica se manifesta na aplicação de recursos em um banco, quando o valor dos juros é cobrado sobre o valor acumulado na conta do período anterior. Em outras palavras, se você colocar dinheiro em um depósito a prazo em um banco de poupança, em um ano o depósito aumentará em relação ao valor original, ou seja, o novo valor será igual à contribuição multiplicada por. Em outro ano, esse valor aumentará em, i.е. a quantidade obtida naquele momento é novamente multiplicada por e assim por diante. Situação similar descrito nas tarefas para calcular o chamado juros compostos- a porcentagem é retirada de cada vez do valor que está na conta, levando em consideração os juros anteriores. Falaremos sobre essas tarefas um pouco mais tarde.
Existem muitos casos mais simples em que uma progressão geométrica é aplicada. Por exemplo, a disseminação da gripe: uma pessoa infectou uma pessoa, ela, por sua vez, infectou outra pessoa e, portanto, a segunda onda de infecção - uma pessoa, e ela, por sua vez, infectou outra ... e assim por diante .. .
A propósito, uma pirâmide financeira, o mesmo MMM, é um cálculo simples e seco de acordo com as propriedades de uma progressão geométrica. Interessante? Vamos descobrir.
Digamos que temos uma sequência numérica:
Você responderá imediatamente que é fácil e o nome dessa sequência é uma progressão aritmética com a diferença de seus membros. Que tal algo como isso:
Se você subtrair o número anterior do próximo número, verá que toda vez que obtiver nova diferença(e assim por diante), mas a sequência definitivamente existe e é fácil de detectar - cada número subseqüente é multiplicado pelo anterior!
Este tipo de sequência é chamada progressão geométrica e está marcado.
Uma progressão geométrica ( ) é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.
As restrições de que o primeiro termo ( ) não é igual e não são aleatórios. Digamos que não haja nenhum, e o primeiro termo ainda é igual, e q é, hmm .. vamos, então acontece:
Concorde que isso não é uma progressão.
Como você entende, obteremos os mesmos resultados se for qualquer número diferente de zero, mas. Nesses casos, simplesmente não haverá progressão, pois toda a série numérica será toda zero ou um número e todos os demais zeros.
Agora vamos falar com mais detalhes sobre o denominador de uma progressão geométrica, ou seja, sobre.
Vamos repetir: - isso é um número, quantas vezes cada termo subsequente muda progressão geométrica.
O que você acha que poderia ser? Isso mesmo, positivo e negativo, mas não zero (falamos sobre isso um pouco mais alto).
Digamos que temos um positivo. Deixe no nosso caso, a. Qual é o segundo termo e? Você pode facilmente responder a isso:
Tudo bem. Conseqüentemente, se, então todos os membros subseqüentes da progressão têm o mesmo sinal - eles positivo.
E se for negativo? Por exemplo, a. Qual é o segundo termo e?
É uma história completamente diferente
Tente contar o termo dessa progressão. Quanto você conseguiu? Eu tenho. Assim, se, então os sinais dos termos da progressão geométrica se alternam. Ou seja, se você observar uma progressão com sinais alternados em seus membros, seu denominador é negativo. Esse conhecimento pode ajudá-lo a se testar ao resolver problemas sobre esse tópico.
Agora vamos praticar um pouco: tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão geométrica e quais são aritméticas:
Entendi? Compare nossas respostas:
Voltemos à nossa última progressão e tentemos encontrar seu termo da mesma forma que na aritmética. Como você deve ter adivinhado, existem duas maneiras de encontrá-lo.
Multiplicamos sucessivamente cada termo por.
Portanto, o -ésimo membro da progressão geométrica descrita é igual a.
Como você já adivinhou, agora você mesmo derivará uma fórmula que o ajudará a encontrar qualquer membro de uma progressão geométrica. Ou você já trouxe para si mesmo, descrevendo como encontrar o membro th em etapas? Em caso afirmativo, verifique a exatidão de seu raciocínio.
Vamos ilustrar isso com o exemplo de encontrar o -ésimo membro dessa progressão:
Em outras palavras:
Encontre você mesmo o valor de um membro de uma determinada progressão geométrica.
Ocorrido? Compare nossas respostas:
Observe que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando multiplicamos sucessivamente por cada membro anterior da progressão geométrica.
Vamos tentar "despersonalizar" esta fórmula - nós a trazemos para uma forma geral e obtemos:
A fórmula derivada é verdadeira para todos os valores - positivos e negativos. Verifique você mesmo calculando os termos de uma progressão geométrica com as seguintes condições: , a.
você contou? Vamos comparar os resultados:
Concorda que seria possível encontrar um membro da progressão da mesma forma que um membro, porém, existe a possibilidade de erro de cálculo. E se já encontramos o termo de uma progressão geométrica, a, então o que poderia ser mais fácil do que usar a parte “truncada” da fórmula.
Mais recentemente, falamos sobre o que pode ser maior ou menor que zero, porém, existem valores especiais para os quais a progressão geométrica é chamada infinitamente diminuindo.
Por que você acha que tem esse nome?
Para começar, vamos escrever alguma progressão geométrica que consiste em membros.
Digamos, então:
Vemos que cada termo subseqüente é menor que o anterior em tempos, mas haverá algum número? Você responde imediatamente - "não". É por isso que o infinitamente decrescente - diminui, diminui, mas nunca se torna zero.
Para entender claramente como isso se parece visualmente, vamos tentar desenhar um gráfico de nossa progressão. Assim, para o nosso caso, a fórmula assume a seguinte forma:
Nos gráficos, estamos acostumados a construir dependência, portanto:
A essência da expressão não mudou: na primeira entrada, mostramos a dependência do valor de um membro de progressão geométrica em seu número ordinal e, na segunda entrada, simplesmente tomamos o valor de um membro de progressão geométrica para e o número ordinal foi designado não como, mas como. Tudo o que resta a fazer é plotar o gráfico.
Vamos ver o que você tem. Aqui está o gráfico que consegui:
Ver? A função diminui, tende a zero, mas nunca o atravessa, por isso é infinitamente decrescente. Vamos marcar nossos pontos no gráfico e, ao mesmo tempo, o que significa a coordenada e:
Tente representar esquematicamente um gráfico de uma progressão geométrica se seu primeiro termo também for igual. Analise qual é a diferença com nosso gráfico anterior?
Você conseguiu? Aqui está o gráfico que consegui:
Agora que você entendeu completamente o básico do tópico de progressão geométrica: você sabe o que é, sabe como encontrar seu termo e também sabe o que é uma progressão geométrica infinitamente decrescente, vamos passar para sua propriedade principal.
Lembre-se da propriedade dos membros progressão aritmética? Sim, sim, como encontrar o valor de um determinado número de uma progressão quando existem valores anteriores e posteriores dos membros desta progressão. Lembrou? Este:
Agora nos deparamos exatamente com a mesma questão para os termos de uma progressão geométrica. Para derivar tal fórmula, vamos começar a desenhar e raciocinar. Você vai ver, é muito fácil e, se você esquecer, pode retirá-lo você mesmo.
Vamos pegar outra progressão geométrica simples, na qual sabemos e. Como encontrar? Com uma progressão aritmética, isso é fácil e simples, mas como é aqui? Na verdade, também não há nada complicado em geometria - você só precisa pintar cada valor que nos é dado de acordo com a fórmula.
Você pergunta, e agora o que fazemos com isso? Sim, muito simples. Para começar, vamos representar essas fórmulas na figura e tentar fazer várias manipulações com elas para chegar a um valor.
Abstraímos dos números que nos são dados, vamos nos concentrar apenas em sua expressão por meio de uma fórmula. Precisamos encontrar o valor destacado laranja, conhecendo os termos adjacentes a ele. Vamos tentar realizar várias ações com eles, como resultado podemos obter.
Adição.
Vamos tentar somar duas expressões e obtemos:
A partir dessa expressão, como você pode ver, não poderemos expressar de forma alguma, portanto, tentaremos outra opção - a subtração.
Subtração.
Como você pode ver, também não podemos expressar isso, portanto, tentaremos multiplicar essas expressões umas pelas outras.
Multiplicação.
Agora observe bem o que temos, multiplicando os termos de uma progressão geométrica que nos foi dada em comparação com o que precisa ser encontrado:
Adivinha do que estou falando? Certo, para encontrar precisamos pegar Raiz quadrada dos números de progressão geométrica adjacentes ao número desejado multiplicados entre si:
Aqui está. Você mesmo deduziu a propriedade de uma progressão geométrica. Tente escrever esta fórmula em visão geral. Ocorrido?
Esqueceu a condição quando? Pense por que é importante, por exemplo, tente calcular você mesmo, em. O que acontece nesse caso? Isso mesmo, um absurdo completo, já que a fórmula fica assim:
Portanto, não se esqueça dessa limitação.
Agora vamos calcular o que é
Resposta correta - ! Se você não esqueceu o segundo valor possível ao calcular, então você é um grande sujeito e pode começar imediatamente a treinar, e se você esqueceu, leia o que é analisado abaixo e preste atenção porque as duas raízes devem ser escritas na resposta .
Vamos desenhar nossas duas progressões geométricas - uma com um valor e a outra com um valor, e verificar se ambas têm o direito de existir:
Para verificar se tal progressão geométrica existe ou não, é necessário verificar se ela é a mesma entre todos os seus membros dados. Calcule q para o primeiro e segundo casos.
Veja por que temos que escrever duas respostas? Porque o sinal do termo requerido depende se é positivo ou negativo! E como não sabemos o que é, precisamos escrever as duas respostas com mais e menos.
Agora que você domina os pontos principais e deduziu a fórmula da propriedade de uma progressão geométrica, encontre, conheça e
Compare suas respostas com as corretas:
O que você acha, e se não tivéssemos os valores dos membros da progressão geométrica adjacentes ao número desejado, mas equidistantes dele. Por exemplo, precisamos encontrar e dado e. Podemos usar a fórmula que derivamos neste caso? Tente confirmar ou refutar essa possibilidade da mesma forma, descrevendo em que consiste cada valor, como você fez ao derivar a fórmula inicialmente.
O que você conseguiu?
Agora olhe com atenção novamente.
e correspondentemente:
A partir disso, podemos concluir que a fórmula funciona não só com vizinhos com os termos desejados de uma progressão geométrica, mas também com equidistante do que os membros estão procurando.
Assim, nossa fórmula original fica:
Ou seja, se no primeiro caso dissemos isso, agora dizemos que pode ser igual a qualquer número natural menor. O principal é ser o mesmo para os dois números dados.
Praticar para exemplos concretos apenas seja extremamente cuidadoso!
Eu decidi? Espero que você tenha sido extremamente atencioso e notado uma pequena captura.
Comparamos os resultados.
Nos dois primeiros casos, aplicamos calmamente a fórmula acima e obtemos os seguintes valores:
No terceiro caso, após uma consideração cuidadosa dos números de série dos números que nos foram dados, entendemos que eles não são equidistantes do número que procuramos: é o número anterior, mas afastado na posição, portanto não é possível para aplicar a fórmula.
Como resolver isso? Na verdade, não é tão difícil quanto parece! Vamos anotar com você em que consiste cada número que nos é dado e o número desejado.
Então nós temos e. Vamos ver o que podemos fazer com eles. Sugiro dividir. Nós temos:
Substituímos nossos dados na fórmula:
O próximo passo que podemos encontrar - para isso, precisamos tirar a raiz cúbica do número resultante.
Agora vamos olhar novamente para o que temos. Temos, mas precisamos encontrar, e isso, por sua vez, é igual a:
Encontramos todos os dados necessários para o cálculo. Substituindo na fórmula:
Nossa resposta: .
Tente resolver outro mesmo problema você mesmo:
Dado: ,
Achar:
Quanto você conseguiu? Eu tenho - .
Como você pode ver, na verdade, você precisa lembre-se de apenas uma fórmula- . Todo o resto você pode retirar sem qualquer dificuldade a qualquer momento. Para fazer isso, basta escrever a progressão geométrica mais simples em um pedaço de papel e anotar a que, de acordo com a fórmula acima, cada um de seus números é igual.
Agora considere as fórmulas que nos permitem calcular rapidamente a soma dos termos de uma progressão geométrica em um determinado intervalo:
Para derivar a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica finita, multiplicamos todas as partes da equação acima por. Nós temos:
Observe bem: o que as duas últimas fórmulas têm em comum? Isso mesmo, membros comuns, por exemplo e assim por diante, exceto o primeiro e o último membro. Vamos tentar subtrair a 1ª equação da 2ª equação. O que você conseguiu?
Agora expresse por meio da fórmula de um membro de uma progressão geométrica e substitua a expressão resultante em nossa última fórmula:
Agrupe a expressão. Voce deveria pegar:
Tudo o que resta a fazer é expressar:
Assim, neste caso.
E se? Qual fórmula funciona então? Imagine uma progressão geométrica em. Como ela é? Corretamente uma série de números idênticos, respectivamente, a fórmula ficará assim:
Tal como acontece com a progressão aritmética e geométrica, existem muitas lendas. Uma delas é a lenda de Seth, o criador do xadrez.
Muitas pessoas sabem que o jogo de xadrez foi inventado na Índia. Quando o rei hindu a conheceu, ficou encantado com sua inteligência e a variedade de posições possíveis nela. Ao saber que foi inventado por um de seus súditos, o rei decidiu recompensá-lo pessoalmente. Chamou o inventor até ele e ordenou que pedisse o que quisesse, prometendo realizar até o desejo mais habilidoso.
Seta pediu um tempo para pensar, e quando no dia seguinte Seta apareceu perante o rei, surpreendeu o rei com a modéstia incomparável de seu pedido. Pediu um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, trigo para a segunda, para a terceira, para a quarta e assim por diante.
O rei ficou zangado e expulsou Seth, dizendo que o pedido do servo era indigno da generosidade real, mas prometeu que o servo receberia seus grãos por todas as células do conselho.
E agora a pergunta é: usando a fórmula da soma dos membros de uma progressão geométrica, calcule quantos grãos Seth deve receber?
Vamos começar a discutir. Visto que, de acordo com a condição, Seth pediu um grão de trigo para a primeira célula do tabuleiro, para a segunda, para a terceira, para a quarta, etc., vemos que no problema nós estamos falando sobre progressão geométrica. O que é igual neste caso?
Corretamente.
Total de células do tabuleiro de xadrez. Respectivamente, . Temos todos os dados, resta apenas substituir na fórmula e calcular.
Para representar pelo menos aproximadamente as "escalas" de um determinado número, transformamos usando as propriedades do grau:
É claro que, se você quiser, pode pegar uma calculadora e calcular o tipo de número que obtém; caso contrário, terá que acreditar na minha palavra: o valor final da expressão será.
Aquilo é:
quintilhão quatrilhão trilhão bilhão milhão milhão mil.
Fuh) Se você quiser imaginar a enormidade desse número, estime o tamanho do celeiro necessário para acomodar toda a quantidade de grãos.
Com uma altura de celeiro de m e uma largura de m, seu comprimento teria que se estender a km, ou seja, duas vezes mais longe do que da Terra ao Sol.
Se o rei fosse forte em matemática, poderia se oferecer ao próprio cientista para contar os grãos, pois para contar um milhão de grãos precisaria de pelo menos um dia de contagem incansável, e visto que é preciso contar os quintilhões, os grãos teriam que ser contados durante toda a sua vida.
E agora vamos resolver um problema simples sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica.
Vasya, um aluno da 5ª série, adoeceu com gripe, mas continua a frequentar a escola. Todos os dias, Vasya infecta duas pessoas que, por sua vez, infectam mais duas pessoas e assim por diante. Apenas uma pessoa na classe. Em quantos dias toda a classe ficará gripada?
Assim, o primeiro membro de uma progressão geométrica é Vasya, ou seja, uma pessoa. º integrante da progressão geométrica, essas são as duas pessoas que ele infectou no primeiro dia de sua chegada. A soma total dos integrantes da progressão é igual ao número de alunos 5A. Assim, estamos falando de uma progressão em que:
Vamos substituir nossos dados na fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica:
A classe inteira ficará doente em poucos dias. Não acredita em fórmulas e números? Tente retratar você mesmo a "infecção" dos alunos. Ocorrido? Veja como fica para mim:
Calcule você mesmo quantos dias os alunos pegariam gripe se todos infectassem uma pessoa e houvesse uma pessoa na classe.
Qual valor você conseguiu? Acontece que todo mundo começou a ficar doente depois de um dia.
Como você pode ver, tal tarefa e seu desenho se assemelham a uma pirâmide, na qual cada subseqüente “traz” novas pessoas. Porém, mais cedo ou mais tarde chega um momento em que este último não consegue atrair ninguém. No nosso caso, se imaginarmos que a turma está isolada, a pessoa de fecha a cadeia (). Assim, se uma pessoa estiver envolvida em pirâmide financeira, em que o dinheiro foi dado se você trouxer dois outros participantes, então a pessoa (ou em caso Geral) não trariam ninguém, respectivamente, perderiam tudo o que investiram nessa fraude financeira.
Tudo o que foi dito acima refere-se a uma progressão geométrica decrescente ou crescente, mas, como você se lembra, temos tipo especialé uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Como calcular a soma de seus membros? E por que esse tipo de progressão tem certas características? Vamos descobrir isso juntos.
Então, para começar, vamos olhar novamente para esta imagem de uma progressão geométrica infinitamente decrescente do nosso exemplo:
E agora vamos ver a fórmula da soma de uma progressão geométrica, derivada um pouco antes:
ou
Pelo que estamos nos esforçando? Isso mesmo, o gráfico mostra que tende a zero. Ou seja, quando for quase igual, respectivamente, ao calcular a expressão, obteremos quase. Nesse sentido, acreditamos que ao calcular a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, esse colchete pode ser desprezado, pois será igual.
- a fórmula é a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.
IMPORTANTE! Usamos a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente apenas se a condição afirmar explicitamente que precisamos encontrar a soma sem fim o número de membros.
Se um número específico n for indicado, usamos a fórmula para a soma de n termos, mesmo se ou.
E agora vamos praticar.
Espero que você tenha sido muito cuidadoso. Compare nossas respostas:
Agora você sabe tudo sobre progressão geométrica e é hora de passar da teoria para a prática. Os problemas exponenciais mais comuns encontrados no exame são problemas de juros compostos. É sobre eles que falaremos.
Você já deve ter ouvido falar da chamada fórmula de juros compostos. Você entende o que ela quer dizer? Se não, vamos descobrir, porque tendo percebido o próprio processo, você vai entender imediatamente o que a progressão geométrica tem a ver com isso.
Todos nós vamos ao banco e sabemos que existem condições diferentes em depósitos: trata-se de um prazo e manutenção adicional e uma porcentagem com dois jeitos diferentes seu cálculo - simples e complexo.
A PARTIR DE simples interesse tudo é mais ou menos claro: os juros são cobrados uma vez no final do prazo do depósito. Ou seja, se estamos falando em colocar 100 rublos por ano, eles serão creditados apenas no final do ano. Assim, ao final do depósito, receberemos rublos.
Juros compostosé uma opção em que capitalização de juros, ou seja sua adição ao valor do depósito e o cálculo subsequente da receita não do inicial, mas do valor acumulado do depósito. A capitalização não ocorre constantemente, mas com certa periodicidade. Como regra, esses períodos são iguais e, na maioria das vezes, os bancos usam um mês, um trimestre ou um ano.
Digamos que colocamos todos os mesmos rublos por ano, mas com uma capitalização mensal do depósito. O que ganhamos?
Você entende tudo aqui? Se não, vamos passo a passo.
Trouxemos rublos para o banco. No final do mês, devemos ter um valor em nossa conta que consiste em nossos rublos mais juros sobre eles, ou seja:
Concordo?
Podemos tirá-lo do colchete e obter:
Concordo, esta fórmula já é mais parecida com a que escrevemos no início. Resta lidar com as porcentagens
Na condição do problema, somos informados sobre o anual. Como você sabe, não multiplicamos por - convertemos porcentagens em decimais, isso é:
Certo? Agora você pergunta, de onde veio o número? Muito simples!
Repito: a condição do problema diz sobre ANUAL juros acumulados POR MÊS. Como você sabe, em um ano de meses, respectivamente, o banco nos cobrará uma parte dos juros anuais por mês:
Percebi? Agora tente escrever como ficaria essa parte da fórmula se eu dissesse que os juros são calculados diariamente.
Você conseguiu? Vamos comparar os resultados:
Bem feito! Voltemos à nossa tarefa: anotar quanto será creditado em nossa conta no segundo mês, levando em consideração que são cobrados juros sobre o valor do depósito acumulado.
Aqui está o que aconteceu comigo:
Ou, em outras palavras:
Acho que você já percebeu um padrão e viu uma progressão geométrica nisso tudo. Escreva a quanto seu membro será igual, ou seja, quanto dinheiro receberemos no final do mês.
Fez? Verificando!
Como você pode ver, se você colocar dinheiro no banco por um ano com juros simples, receberá rublos e, se colocar com uma taxa composta, receberá rublos. O benefício é pequeno, mas isso acontece apenas durante o décimo ano, mas por um período maior, a capitalização é muito mais rentável:
Considere outro tipo de problema de juros compostos. Depois do que você descobriu, será elementar para você. Então a tarefa é:
A Zvezda começou a investir no setor em 2000 com capital em dólares. Todos os anos, desde 2001, obteve um lucro igual ao capital do ano anterior. Quanto lucro a empresa Zvezda receberá no final de 2003, se o lucro não for retirado de circulação?
O capital da empresa Zvezda em 2000.
- o capital da empresa Zvezda em 2001.
- o capital da empresa Zvezda em 2002.
- o capital da empresa Zvezda em 2003.
Ou podemos escrever brevemente:
Para o nosso caso:
2000, 2001, 2002 e 2003.
Respectivamente:
rublos
Observe que neste problema não temos divisão nem por nem por, pois a porcentagem é dada ANUALMENTE e é calculada ANUALMENTE. Ou seja, ao ler o problema para juros compostos, preste atenção em qual percentual é dado e em que período é cobrado, para só então proceder aos cálculos.
Agora você sabe tudo sobre progressão geométrica.
Respostas:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- aumenta em 100%, ou seja, 2 vezes.
Respectivamente:
rublos
Fluxos de Caixa MSK:
2005, 2006, 2007.
- aumenta, isto é, vezes.
Respectivamente:
rublos
rublos
1) Uma progressão geométrica ( ) é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.
2) A equação dos membros de uma progressão geométrica -.
3) pode assumir qualquer valor, exceto para e.
4) , at - propriedade de uma progressão geométrica (termos vizinhos)
ou
, em (termos equidistantes)
Quando você encontrá-lo, não se esqueça que deve haver duas respostas..
Por exemplo,
5) A soma dos membros de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:
ou
Se a progressão é infinitamente decrescente, então:
ou
IMPORTANTE! Usamos a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente apenas se a condição declarar explicitamente que precisamos encontrar a soma de um número infinito de termos.
6) Tarefas de juros compostos também são calculadas pela fórmula do eésimo membro de uma progressão geométrica, desde que dinheiro não retirado de circulação:
Progressão geométrica( ) é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. Este número é chamado o denominador de uma progressão geométrica.
Denominador de uma progressão geométrica pode assumir qualquer valor, exceto para e.
Equação dos membros de uma progressão geométrica - .
A soma dos termos de uma progressão geométrica calculado pela fórmula:
ou
Instrução
10, 30, 90, 270...
É necessário encontrar o denominador de uma progressão geométrica.
Solução:
1 opção. Vamos pegar um membro arbitrário da progressão (por exemplo, 90) e dividi-lo pelo anterior (30): 90/30=3.
Se a soma de vários membros de uma progressão geométrica ou a soma de todos os membros de uma progressão geométrica decrescente for conhecida, então, para encontrar o denominador da progressão, use as fórmulas apropriadas:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), onde Sn é a soma dos primeiros n termos da progressão geométrica e
S = b1/(1-q), onde S é a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente (a soma de todos os membros da progressão com um denominador menor que um).
Exemplo.
O primeiro termo de uma progressão geométrica decrescente é igual a um, e a soma de todos os seus termos é igual a dois.
É necessário determinar o denominador desta progressão.
Solução:
Substitua os dados da tarefa na fórmula. Pegue:
2=1/(1-q), onde – q=1/2.
Uma progressão é uma sequência de números. Em uma progressão geométrica, cada termo subseqüente é obtido multiplicando-se o anterior por um certo número q, denominado denominador da progressão.
Instrução
Se dois membros vizinhos da geometria b(n+1) e b(n) são conhecidos, para obter o denominador, é necessário dividir o número com um número grande pelo anterior: q=b(n +1)/b(n). Isso decorre da definição da progressão e seu denominador. Uma condição importanteé a desigualdade zero do primeiro termo e denominador da progressão, caso contrário é considerada indefinida.
Assim, as seguintes relações são estabelecidas entre os membros da progressão: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Pela fórmula b(n)=b1 q^(n-1) pode-se calcular qualquer barra de uma progressão geométrica, na qual o denominador q e a barra b1 são conhecidos. Além disso, cada módulo de progressão é igual à média de seus membros vizinhos: |b(n)|=√, portanto a progressão obteve seu .
Um análogo de uma progressão geométrica é a função exponencial mais simples y=a^x, onde x está no expoente, a é algum número. Neste caso, o denominador da progressão é o mesmo do primeiro termo e é igual ao número uma. O valor da função y pode ser entendido como enésimo membro progressões se o argumento x for tomado como número natural n (contador).
Existe para a soma dos primeiros n membros de uma progressão geométrica: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Esta fórmula é válida para q≠1. Se q=1, então a soma dos primeiros n termos é calculada pela fórmula S(n)=n b1. A propósito, a progressão será chamada crescente para q maior que um e b1 positivo. Quando o denominador da progressão, módulo não exceder um, a progressão será chamada decrescente.
caso especial progressão geométrica - uma progressão geométrica infinitamente decrescente (b.u.g.p.). O fato é que os membros de uma progressão geométrica decrescente diminuirão repetidamente, mas nunca chegarão a zero. Apesar disso, é possível encontrar a soma de todos os termos dessa progressão. É determinado pela fórmula S=b1/(1-q). O número total de membros n é infinito.
Para visualizar como você pode somar um número infinito de números e não obter o infinito, faça um bolo. Corte metade dela. Em seguida, corte 1/2 da metade e assim por diante. As peças que você obterá nada mais são do que membros de uma progressão geométrica infinitamente decrescente com denominador 1/2. Se você juntar todas essas peças, obterá o bolo original.
Problemas de geometria são um tipo especial de exercício que requer pensamento espacial. Se você não consegue resolver o problema geométrico tarefa tente seguir as regras abaixo.
Instrução
Leia a condição do problema com muito cuidado, se não lembrar ou não entender algo, releia novamente.
Tente determinar que tipo de problema geométrico é, por exemplo: computacional, quando você precisa descobrir algum valor, tarefas para, exigindo cadeia lógica raciocínio, problemas de construção com a ajuda de um compasso e régua. Mais tarefas tipo misto. Depois de descobrir o tipo de problema, tente pensar logicamente.
Aplique o teorema necessário para este problema, se houver dúvidas ou não houver opções, tente se lembrar da teoria que você estudou sobre o tópico relevante.
Faça também um rascunho do problema. Tente aplicar maneiras conhecidas verificando a exatidão de sua solução.
Complete a solução do problema perfeitamente em um caderno, sem borrões e tachados, e o mais importante - Talvez leve tempo e esforço para resolver os primeiros problemas geométricos. No entanto, assim que você pegar o jeito desse processo, começará a clicar em tarefas como nozes e se divertir fazendo isso!
Uma progressão geométrica é uma sequência de números b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) tal que b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Em outras palavras, cada membro da progressão é obtido do anterior multiplicando-o por algum denominador diferente de zero da progressão q.
Instrução
Os problemas em uma progressão são geralmente resolvidos compilando e seguindo um sistema em relação ao primeiro termo da progressão b1 e ao denominador da progressão q. Para escrever equações, é útil lembrar algumas fórmulas.
Como expressar o n-ésimo membro da progressão até o primeiro membro da progressão e o denominador da progressão: b(n)=b1*q^(n-1).
Considere separadamente o caso |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Materiais adicionais
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Funções e gráficos de potências e raízes
Pessoal, hoje vamos conhecer outro tipo de progressão.
O tema da lição de hoje é a progressão geométrica.
Exemplo. 1,2,4,8,16… Progressão geométrica, em que a primeira barra é igual a um, e $q=2$.
Exemplo. 8,8,8,8… Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é oito,
e $q=1$.
Exemplo. 3,-3,3,-3,3... Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é três,
e $q=-1$.
A progressão geométrica tem as propriedades de monotonicidade.
Se $b_(1)>0$, $q>1$,
então a sequência é crescente.
Se $b_(1)>0$, $0 A sequência é geralmente denotada como: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Assim como em uma progressão aritmética, se o número de elementos em uma progressão geométrica for finito, a progressão é chamada de progressão geométrica finita.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Observe que, se a sequência for uma progressão geométrica, a sequência de termos ao quadrado também será uma progressão geométrica. A segunda sequência tem o primeiro termo $b_(1)^2$ e o denominador $q^2$.
Voltemos aos nossos exemplos.
Exemplo. 1,2,4,8,16… Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a um,
e $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Exemplo. 16,8,4,2,1,1/2… Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é dezesseis e $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Exemplo. 8,8,8,8… Uma progressão geométrica onde o primeiro termo é oito e $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Exemplo. 3,-3,3,-3,3… Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é três e $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Exemplo. Dada uma progressão geométrica $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Sabe-se que $b_(1)=6, q=3$. Encontre $b_(5)$.
b) Sabe-se que $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Encontrar n.
c) Sabe-se que $q=-2, b_(6)=96$. Encontre $b_(1)$.
d) Sabe-se que $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Encontre q.
Solução.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ desde $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Exemplo. A diferença entre o sétimo e o quinto membros da progressão geométrica é 192, a soma do quinto e do sexto membros da progressão é 192. Encontre o décimo membro desta progressão.
Solução.
Sabemos que: $b_(7)-b_(5)=192$ e $b_(5)+b_(6)=192$.
Também sabemos: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Então:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Temos um sistema de equações:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Igualando, nossas equações ficam:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Temos duas soluções q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substituindo sucessivamente na segunda equação:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ sem soluções.
Temos que: $b_(1)=4, q=2$.
Vamos encontrar o décimo termo: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Seja dada uma progressão geométrica finita: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Vamos introduzir a notação para a soma de seus membros: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
No caso em que $q=1$. Todos os membros da progressão geométrica são iguais ao primeiro membro, então é óbvio que $S_(n)=n*b_(1)$.
Considere agora o caso $q≠1$.
Multiplique o valor acima por q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Observação:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Obtivemos a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita.
Solução.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Exemplo.
Encontre o quinto membro da progressão geométrica, que é conhecido: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Solução.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $.
$ 341q = 1364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Uma sequência numérica é uma progressão geométrica somente quando o quadrado de cada um de seus termos é igual ao produto de seus dois termos vizinhos da progressão. Não se esqueça que para uma progressão finita esta condição não é satisfeita para o primeiro e último termo.
O módulo de qualquer membro de uma progressão geométrica é igual à média geométrica dos dois membros adjacentes a ele.
Solução.
Vamos usar a propriedade característica:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ e $x_(2)=-1$.
Substitua sequencialmente na expressão original, nossas soluções:
Com $x=2$, temos a sequência: 4;6;9 é uma progressão geométrica com $q=1,5$.
Com $x=-1$, obtemos a sequência: 1;0;0.
Resposta: $x=2.$
matemática é o queas pessoas controlam a natureza e a si mesmas.
Matemático soviético, acadêmico A.N. Kolmogorov
Progressão geométrica.
Juntamente com tarefas de progressões aritméticas, tarefas relacionadas ao conceito de progressão geométrica também são comuns em provas de admissão em matemática. Para resolver esses problemas com sucesso, você precisa conhecer as propriedades de uma progressão geométrica e ter boas habilidades para usá-las.
Este artigo é dedicado à apresentação das principais propriedades de uma progressão geométrica. Ele também fornece exemplos de resolução de problemas típicos, emprestado das tarefas dos testes de admissão em matemática.
Vamos observar preliminarmente as principais propriedades de uma progressão geométrica e relembrar as fórmulas e declarações mais importantes, associados a este conceito.
Definição. Uma sequência numérica é chamada de progressão geométrica se cada um de seus números, a partir do segundo, for igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número. O número é chamado de denominador de uma progressão geométrica.
Para uma progressão geométricaas fórmulas são válidas
, (1)
Onde . A fórmula (1) é chamada de fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, e a fórmula (2) é a principal propriedade de uma progressão geométrica: cada membro da progressão coincide com a média geométrica de seus membros vizinhos e .
Observação, que é justamente por causa dessa propriedade que a progressão em questão é chamada de "geométrica".
As fórmulas (1) e (2) acima são resumidas da seguinte forma:
, (3)
Para calcular a soma primeiro membros de uma progressão geométricaa fórmula se aplica
se nós designarmos
Onde . Como , a fórmula (6) é uma generalização da fórmula (5).
No caso em que e progressão geométricaé infinitamente decrescente. Para calcular a somade todos os membros de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, a fórmula é usada
. (7)
Por exemplo , usando a fórmula (7), pode-se mostrar, o que
Onde . Essas igualdades são obtidas da fórmula (7) desde que , (a primeira igualdade) e , (a segunda igualdade).
Teorema. Se então
Prova. Se então ,
O teorema foi provado.
Vamos considerar exemplos de resolução de problemas no tópico "Progressão geométrica".
Exemplo 1 Dados: , e . Achar .
Solução. Se a fórmula (5) for aplicada, então
Responda: .
Exemplo 2 Deixe e . Achar .
Solução. Como e , usamos as fórmulas (5), (6) e obtemos o sistema de equações
Se a segunda equação do sistema (9) for dividida pela primeira, então ou . A partir disso segue . Vamos considerar dois casos.
1. Se , então da primeira equação do sistema (9) temos.
2. Se , então .
Exemplo 3 Seja , e . Achar .
Solução. Segue da fórmula (2) que ou . Desde , então ou .
Por condição. No entanto, portanto . Porque e , então aqui temos um sistema de equações
Se a segunda equação do sistema for dividida pela primeira, então ou .
Desde , a equação tem uma única raiz adequada . Neste caso, a primeira equação do sistema implica .
Levando em conta a fórmula (7), obtemos.
Responda: .
Exemplo 4 Dado: e . Achar .
Solução. Desde então .
Porque , então ou
De acordo com a fórmula (2), temos . Nesse sentido, da igualdade (10) obtemos ou .
No entanto, por condição , portanto .
Exemplo 5 Sabe-se que . Achar .
Solução. Pelo teorema, temos duas igualdades
Desde , então ou . Porque , então .
Responda: .
Exemplo 6 Dado: e . Achar .
Solução. Levando em consideração a fórmula (5), obtemos
Desde então . Desde , e , então .
Exemplo 7 Deixe e . Achar .
Solução. De acordo com a fórmula (1), podemos escrever
Portanto, temos ou . Sabe-se que e , portanto e .
Responda: .
Exemplo 8 Encontre o denominador de uma progressão geométrica decrescente infinita se
e .
Solução. Da fórmula (7) segue e . A partir daqui e da condição do problema, obtemos o sistema de equações
Se a primeira equação do sistema for elevada ao quadrado, e depois divida a equação resultante pela segunda equação, então obtemos
Ou .
Responda: .
Exemplo 9 Encontre todos os valores para os quais a sequência , , é uma progressão geométrica.
Solução. Seja , e . De acordo com a fórmula (2), que define a propriedade principal de uma progressão geométrica, podemos escrever ou .
A partir daqui, obtemos a equação quadrática, cujas raízes são e .
Vamos verificar: se, então , e ; se , então , e .
No primeiro caso temos e , e no segundo - e .
Responda: , .
Exemplo 10resolva a equação
, (11)
onde e .
Solução. O lado esquerdo da equação (11) é a soma de uma progressão geométrica decrescente infinita, na qual e , desde que: e .
Da fórmula (7) segue, o que . A este respeito, a equação (11) assume a forma ou . raiz adequada Equação quadráticaé
Responda: .
Exemplo 11. P sequência de números positivosforma uma progressão aritmética, uma - progressão geométrica, o que isso tem a ver com . Achar .
Solução. Porque sequência aritmética, então (a principal propriedade de uma progressão aritmética). Porque o, então ou . Isso implica , que a progressão geométrica é. De acordo com a fórmula (2), então escrevemos isso.
Desde e , então . Nesse caso, a expressão assume a forma ou . Por condição, então da equaçãoNós temos única decisão problema em consideração, ou seja .
Responda: .
Exemplo 12. Calcular soma
. (12)
Solução. Multiplique ambos os lados da igualdade (12) por 5 e obtenha
Se subtrairmos (12) da expressão resultante, então
ou .
Para calcular, substituímos os valores na fórmula (7) e obtemos . Desde então .
Responda: .
Os exemplos de resolução de problemas dados aqui serão úteis para os candidatos na preparação para os exames de admissão. Para um estudo mais profundo dos métodos de resolução de problemas, associada a uma progressão geométrica, pode ser usado guias de estudo da lista de literatura recomendada.
1. Coleta de tarefas em matemática para candidatos a universidades técnicas / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: seções adicionais currículo escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.
3. Medynsky M.M. Curso completo matemática elementar em tarefas e exercícios. Livro 2: Sequências numéricas e progressões. – M.: Editus, 2015. - 208 p.
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Progressão geométrica não menos importante na matemática do que na aritmética. Uma progressão geométrica é uma sequência de números b1, b2,..., b[n] cada próximo membro da qual é obtido multiplicando o anterior por um número constante. Esse número, que também caracteriza a taxa de crescimento ou decréscimo da progressão, é denominado denominador de uma progressão geométrica e denotar
Para uma atribuição completa de uma progressão geométrica, além do denominador, é necessário conhecer ou determinar seu primeiro termo. Para um valor positivo do denominador, a progressão é uma sequência monótona, e se esta sequência de números é monotonicamente decrescente e monotonicamente crescente quando. O caso em que o denominador é igual a um não é considerado na prática, pois temos uma sequência de números idênticos e sua soma não é de interesse prático
Termo geral de uma progressão geométrica calculado pela fórmula
A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica determinado pela fórmula
Vamos considerar soluções de problemas clássicos de progressão geométrica. Vamos começar com o mais simples de entender.
Exemplo 1. O primeiro termo de uma progressão geométrica é 27 e seu denominador é 1/3. Encontre os seis primeiros termos de uma progressão geométrica.
Solução: Escrevemos a condição do problema na forma
Para cálculos, usamos a fórmula para o n-ésimo membro de uma progressão geométrica
Com base nisso, encontramos membros desconhecidos da progressão
Como você pode ver, calcular os termos de uma progressão geométrica não é difícil. A progressão em si ficará assim
Exemplo 2. Os três primeiros membros de uma progressão geométrica são dados: 6; -12; 24. Encontre o denominador e o sétimo termo.
Solução: Calculamos o denominador da progressão geométrica com base em sua definição
Temos uma progressão geométrica alternada cujo denominador é -2. O sétimo termo é calculado pela fórmula
Nesta tarefa é resolvido.
Exemplo 3. Uma progressão geométrica é dada por dois de seus membros 
. Encontre o décimo termo da progressão.
Solução:
Vamos escrever os valores dados através das fórmulas
De acordo com as regras, seria necessário encontrar o denominador e depois procurar o valor desejado, mas para o décimo termo temos
A mesma fórmula pode ser obtida com base em manipulações simples com os dados de entrada. Dividimos o sexto termo da série por outro, como resultado obtemos
Se o valor resultante for multiplicado pelo sexto termo, obtemos o décimo
Assim, para tais problemas, com o auxílio de transformações simples em via rápida você pode encontrar a solução certa.
Exemplo 4. A progressão geométrica é dada por fórmulas recorrentes
Encontre o denominador da progressão geométrica e a soma dos seis primeiros termos.
Solução:
Escrevemos os dados fornecidos na forma de um sistema de equações
Expresse o denominador dividindo a segunda equação pela primeira
Encontre o primeiro termo da progressão da primeira equação
Calcule os cinco termos a seguir para encontrar a soma da progressão geométrica
