enésimo grau de um número real, eles notaram que de qualquer número não negativo você pode extrair a raiz de qualquer grau (segundo, terceiro, quarto, etc.), e de um número negativo você pode extrair a raiz de qualquer grau ímpar. Mas então você também deve pensar sobre a função da forma , sobre seu gráfico, sobre suas propriedades. É disso que trataremos na presente seção. Primeiro, vamos falar sobre a função no caso de valores não negativos argumento.
Vamos começar com o caso que você conhece, quando n = 2, ou seja. com a função Na fig. 166 mostra o gráfico da função e o gráfico da função y \u003d x 2, x>0. Ambos os gráficos representam a mesma curva - um ramo de uma parábola, apenas diferentemente localizado na plano de coordenadas. Para esclarecer: esses gráficos são simétricos em relação à linha y \u003d x, pois consistem em pontos simétricos entre si em relação à linha especificada. Veja: no ramo considerado da parábola y \u003d x 2 existem pontos (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16) e no gráfico da função de ponto (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
Os pontos (2; 4) e (4; 2), (3; 9) e (9; 3), (4; 16) e (16; 4) são simétricos em relação à reta y = x, ( e os pontos (0; 0 ) e (1; 1) estão nesta linha). E, em geral, para qualquer ponto (a; a 2) em gráfico de função y \u003d x 2 é um ponto simétrico em relação à linha reta y \u003d x (a 2; a) no gráfico da função e vice-versa. O seguinte teorema é verdadeiro.
Prova. Suponhamos, por definição, que a e b são números positivos. Considere os triângulos OAM e OVR (Fig. 167). Eles são iguais, então OP = OM e 
. Mas então e 
já que a linha y \u003d x é a bissetriz do ângulo AOB. Então, o triângulo ROM é isósceles, OH é sua bissetriz e, portanto, o eixo de simetria. Os pontos M e P são simétricos em relação à linha reta OH, que deve ser provada.
Assim, o gráfico da função pode ser obtido a partir do gráfico da função y \u003d x 2, x> 0 usando a transformação de simetria sobre a linha y \u003d x. Da mesma forma, o gráfico da função pode ser obtido a partir do gráfico da função y \u003d x 3, x> 0 usando uma transformação de simetria em torno da linha y \u003d x; o gráfico de uma função pode ser obtido a partir do gráfico de uma função usando uma transformação de simetria em torno de uma linha reta y \u003d x, etc. Lembre-se de que o gráfico da função se assemelha a um ramo de uma parábola na aparência. Quanto maior n, mais inclinado esse ramo se precipita na lacuna e mais próximo ele se aproxima do eixo x nas proximidades do ponto x = 0 (Fig. 168 ).
Vamos formular uma conclusão geral: o gráfico da função é simétrico ao gráfico da função, em relação à reta y \u003d x (Fig. 169).
Propriedades da função
1)
2) a função não é nem par nem ímpar;
3) aumenta em
4) não limitado de cima, limitado de baixo;
5) não é da maior importância;
6) contínuo;
7)
Preste atenção a uma circunstância curiosa. Considere duas funções cujos gráficos são mostrados na Fig. 169: Acabamos de listar sete propriedades para a primeira função, mas a segunda função tem exatamente as mesmas propriedades. "retratos" verbais de dois várias funções são os mesmos. Mas vamos ser claros, eles são os mesmos.
Os matemáticos não suportariam tal injustiça quando funções diferentes com gráficos diferentes são descritas verbalmente da mesma maneira e introduziram os conceitos de convexidade para cima e convexidade para baixo. O gráfico da função é convexo para cima, enquanto o gráfico da função y \u003d x n é convexo para baixo.
Costuma-se dizer que uma função contínua é convexa para baixo se, ligando dois pontos quaisquer de seu gráfico com um segmento de reta, se descobre que a parte correspondente do gráfico está abaixo do segmento desenhado (Fig. 170); uma função contínua é convexa para cima se, ligando quaisquer dois pontos de seu gráfico com um segmento de linha reta, verifica-se que a parte correspondente do gráfico está acima do segmento desenhado (Fig. 171).
Incluiremos ainda a propriedade de convexidade no procedimento de leitura do gráfico. Observamos isso "(continuando a numeração das propriedades descritas anteriormente) para a função em consideração:
8) a função é convexa para cima na viga
NO capítulo anterior nos familiarizamos com mais uma propriedade de uma função - diferenciabilidade, vimos que a função y \u003d x p é diferenciável em qualquer ponto, sua derivada é igual a x n-1. Geometricamente, isso significa que em qualquer ponto do gráfico da função y \u003d x n, uma tangente pode ser desenhada a ela. O gráfico da função também tem a mesma propriedade: em qualquer um de seus pontos, uma tangente pode ser traçada ao gráfico. Assim, podemos notar mais uma propriedade da função
9) a função é diferenciável em qualquer ponto x > 0.
Observe: a diferenciabilidade da função no ponto x = 0 está fora de questão - neste ponto a tangente ao gráfico da função coincide com o eixo y, ou seja, perpendicular ao eixo x.
Exemplo 1. Faça o gráfico de uma função
Solução. 1) Vá para sistema auxiliar coordenadas com a origem no ponto (-1; -4) - linhas pontilhadas x = -1 e y = -4 na fig. 172.
2) "Ligar" a função a novo sistema coordenadas. Este será o cronograma desejado.
Exemplo 2 resolva a equação
Solução. Primeira maneira. 1) Vamos introduzir duas funções
2) Vamos construir um gráfico da função
3) Vamos construir um gráfico de uma função linear y \u003d 2-x (veja a Fig. 173).
4) Os gráficos construídos se cruzam em um ponto A, e de acordo com o gráfico, pode-se supor que as coordenadas do ponto A são: (1; 1). A verificação mostra que de fato o ponto (1; 1) pertence tanto ao gráfico da função quanto ao gráfico da função y=2-x. Isso significa que nossa equação tem uma raiz: x \u003d 1 - a abcissa do ponto A.
A segunda maneira.
O modelo geométrico apresentado na fig. 173, ilustra claramente a seguinte afirmação, que às vezes permite uma solução muito elegante da equação (e que já usamos no § 35 ao resolver o exemplo 2):
Se a função y \u003d f (x) aumentar e a função y \u003d g (x) diminuir, e se a equação f (x) \u003d g (x) tiver uma raiz, ela será apenas uma.
Aqui está como, com base nesta afirmação, podemos resolver a equação dada:
1) observe que para x \u003d 1, a igualdade é verdadeira, o que significa que x \u003d 1 é a raiz da equação (adivinhamos essa raiz);
2) a função y=2-x é decrescente, mas a função é crescente; significa a raiz dada equação apenas um, e esta raiz é o valor x = 1 encontrado acima.
Responda: x = 1.
Até agora, falamos apenas sobre a função para valores de argumentos não negativos. Mas se n é um número ímpar, então a expressão também faz sentido para x<0. Значит, есть смысл поговорить о функции в случае нечетного п для любых значений х.
De fato, apenas um imóvel será adicionado aos listados:
se n é um número ímpar (n = 3,5, 7,...), então é uma função ímpar.
De fato, sejam essas transformações verdadeiras para um expoente ímpar n. Então, f(-x) = -f(x), e isso significa que a função é ímpar.
Como é o gráfico da função no caso de um expoente ímpar n? Quando, como mostrado na Fig. 169 é um ramo do gráfico desejado. Adicionando a ela um ramo que é simétrico em relação à origem das coordenadas (o que, lembre-se, é típico para qualquer função ímpar), obtemos o gráfico da função (Fig. 174). Observe que o eixo y é tangente ao gráfico em x = 0.
Então vamos repetir novamente:
se n é um número par, então o gráfico da função tem a forma mostrada na Fig. 169;
se n é um número ímpar, então o gráfico da função tem a forma mostrada na Fig. 174.
Exemplo 3 Construa e leia o gráfico da função y \u003d f (x), onde 
Solução. Primeiro, vamos construir um gráfico da função e selecionar sua parte na viga (Fig. 175).
Em seguida, construiremos um gráfico da função e selecionaremos sua parte na viga aberta (Fig. 176). Por fim, representaremos as duas “peças” no mesmo sistema de coordenadas - este será o gráfico da função y \u003d f (x) (Fig. 177).
Listamos (com base no gráfico construído) as propriedades da função y \u003d f (x):
1)
2) nem par nem ímpar;
3) diminui no feixe, aumenta no feixe
4) não limitado de baixo, limitado de cima;
5) não há menor valor, a (alcançado no ponto x = 1);
6) contínuo;
7)
8) convexo para baixo em , convexo para cima no segmento , convexo para baixo em
9) a função é diferenciável em todos os lugares, exceto nos pontos x = 0 e x = 1.
10) o gráfico da função tem uma assíntota horizontal, ou seja, lembre-se que
Exemplo 4 Encontre o escopo de uma função:
Solução, a) Deve haver um número não negativo sob o sinal da raiz de um grau par, o que significa que o problema se reduz a resolver a desigualdade
b) Qualquer número pode estar sob o signo da raiz de grau ímpar, o que significa que aqui não são impostas restrições a x, ou seja. D(f) = R.
c) A expressão faz sentido sob a condição e a expressão Portanto, duas desigualdades devem valer simultaneamente: 
Essa. O problema se reduz a resolver o sistema de desigualdades:
Resolvendo a desigualdade
Vamos resolver a desigualdade Vamos fatorar o lado esquerdo da desigualdade: O lado esquerdo da desigualdade vira 0 nos pontos -4 e 4. Vamos marcar esses pontos na reta real (Fig. 178). A linha numérica é dividida pelos pontos indicados em três intervalos e, em cada intervalo, a expressão p (x) \u003d (4-x) (4 + x) mantém um sinal constante (os sinais são mostrados na Fig. 178). O intervalo no qual a desigualdade p(x)>0 é válida está sombreado na Fig. 178. Pela condição do problema, também estamos interessados nos pontos x nos quais a igualdade p(x) = 0. Existem dois desses pontos: x = -4, x = 4 - eles estão marcados na fig. . 178 olheiras. Assim, na fig. 178 mostra um modelo geométrico para resolver a segunda desigualdade do sistema.
Marcamos as soluções encontradas para a primeira e a segunda desigualdade do sistema em uma linha de coordenadas, usando a hachura superior para a primeira e a hachura inferior para a segunda (Fig. 179). A solução do sistema de inequações será a interseção das soluções das inequações do sistema, ou seja. o intervalo onde ambas as hachuras coincidem. O segmento [-1, 4] é tal intervalo.
Responda. D(f) = [-1,4].
A.G. Álgebra de Mordkovich 10º ano
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Objetivos básicos:
1) para formar uma ideia da conveniência de um estudo generalizado das dependências de quantidades reais no exemplo de quantidades relacionadas pela relação y=
2) formar a capacidade de plotar y= e suas propriedades;
3) repetir e consolidar os métodos de cálculo oral e escrito, elevando ao quadrado, extraindo a raiz quadrada.
Equipamento, material de demonstração: apostila.
1. Algoritmo:
2. Exemplo para completar a tarefa em grupos:
3.Amostra para autoteste de trabalho independente:
4. Cartão para a etapa de reflexão:
1) Descobri como representar graficamente a função y=.
2) Posso listar suas propriedades de acordo com o cronograma.
3) Não cometi erros no meu trabalho independente.
4) Cometi erros no trabalho independente (relacione esses erros e indique o motivo).
Durante as aulas
1. Autodeterminação para atividades de aprendizagem
Objetivo do palco:
1) incluir os alunos nas atividades de aprendizagem;
2) determinar o conteúdo da lição: continuamos a trabalhar com números reais.
Organização processo educacional na etapa 1:
O que estudamos na última lição? (Nós estudamos muitos numeros reais, ações com eles, construiu um algoritmo para descrever as propriedades de uma função, repetiu as funções estudadas na 7ª série).
– Hoje continuaremos a trabalhar com o conjunto dos números reais, uma função.
2. Atualizando conhecimentos e corrigindo dificuldades nas atividades
Objetivo do palco:
1) atualizar o conteúdo educacional necessário e suficiente para a percepção do novo material: função, variável independente, variável dependente, gráficos
y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,
2) atualizar as operações mentais necessárias e suficientes para a percepção do novo material: comparação, análise, generalização;
3) corrigir todos os conceitos e algoritmos repetidos na forma de esquemas e símbolos;
4) corrigir uma dificuldade individual na atividade, demonstrando a insuficiência do conhecimento existente em um nível pessoalmente significativo.
Organização do processo educativo na fase 2:
1. Vamos lembrar como você pode definir as dependências entre as quantidades? (Através de texto, fórmula, tabela, gráfico)
2. O que é chamado de função? (A relação entre duas quantidades, onde cada valor de uma variável corresponde a um único valor da outra variável y = f(x)).
Como se chama x? (variável independente - argumento)
Qual é o nome de vc? (Variável dependente).
3. Aprendemos funções na 7ª série? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2 , y = - x 2 , ).
Tarefa individual:
Qual é o gráfico das funções y = kx + m, y =x 2 , y = ?
3. Identificação das causas das dificuldades e definição do objetivo da atividade
Objetivo do palco:
1) organizar a interação comunicativa, durante a qual se revela e fixa a propriedade distintiva da tarefa que causou dificuldade nas atividades educativas;
2) concordar com o propósito e o tema da lição.
Organização do processo educativo na fase 3:
O que há de especial nessa tarefa? (A dependência é dada pela fórmula y = que ainda não conhecemos).
- Qual é o objetivo da aula? (Conheça a função y \u003d, suas propriedades e gráfico. A função na tabela determina o tipo de dependência, construa uma fórmula e gráfico.)
- Você consegue adivinhar o tema da lição? (Função y=, suas propriedades e gráfico).
- Escreva o tema em seu caderno.
4. Construindo um projeto para sair de uma dificuldade
Objetivo do palco:
1) organizar a interação comunicativa para construir um novo modo de ação que elimine a causa da dificuldade identificada;
2) fixar um novo modo de ação no signo, forma verbal e com um padrão.
Organização do processo educativo na fase 4:
O trabalho no estágio pode ser organizado em grupos, convidando os grupos a traçar y = , depois analisar os resultados. Além disso, grupos podem ser oferecidos para descrever as propriedades desta função de acordo com o algoritmo.
5. Consolidação primária na fala externa
O objetivo do estágio: fixar o conteúdo educacional estudado no discurso externo.
Organização do processo educativo na fase 5:
Construa um gráfico y= - e descreva suas propriedades.
Propriedades y= - .
1. Âmbito de definição da função.
2. Escopo dos valores das funções.
3. y=0, y>0, y<0.
y=0 se x=0.
y<0, если х(0;+)
4.Aumentar, diminuir a função.
A função é decrescente em x.
Vamos traçar y=.
Vamos selecionar sua parte no segmento . Observemos que em Naim. = 1 para x = 1, ey max. \u003d 3 para x \u003d 9.
Resposta: naim. = 1, no máx. =3
6. Trabalho independente com autoteste de acordo com o padrão
O objetivo do estágio: testar sua capacidade de aplicar o novo conteúdo de aprendizado em condições típicas com base na comparação de sua solução com um padrão de autoteste.
Organização do processo educativo na fase 6:
Os alunos realizam a tarefa por conta própria, realizam um autoteste de acordo com o padrão, analisam, corrigem erros.
Vamos traçar y=.
Usando o gráfico, encontre o menor e o maior valor da função no segmento.
7. Inclusão no sistema de conhecimento e repetição
O objetivo do estágio: treinar as habilidades de uso de novos conteúdos em conjunto com os aprendidos anteriormente: 2) repetir o conteúdo de aprendizagem que será exigido nas próximas lições.
Organização do processo educativo na fase 7:
Resolva graficamente a equação: \u003d x - 6.
Um aluno no quadro-negro, o resto em cadernos.
8. Reflexão da atividade
Objetivo do palco:
1) corrigir o novo conteúdo aprendido na lição;
2) avaliar suas próprias atividades na aula;
3) agradecer aos colegas que ajudaram a obter o resultado da aula;
4) corrigir dificuldades não resolvidas como direções para futuras atividades de aprendizagem;
5) Discuta e anote os trabalhos de casa.
Organização do processo educativo na fase 8:
- Pessoal, qual foi o objetivo para nós hoje? (Estude a função y \u003d, suas propriedades e gráfico).
- Que conhecimento nos ajudou a atingir o objetivo? (A capacidade de procurar padrões, a capacidade de ler gráficos.)
- Revise suas atividades em sala de aula. (Cartões de reflexão)
Trabalho de casa
item 13 (até o exemplo 2) № 13.3, 13.4
Resolva graficamente a equação:
Desenhe um gráfico de função e descreva suas propriedades.
Propriedades do gráfico e da função no = │Oh│ (módulo)
Considere a função no = │Oh│, onde uma- um certo número.
Escopo da definição funções no = │Oh│, é o conjunto de todos os números reais. A figura mostra respectivamente gráficos de função no = │X│, no = │ 2x │, no = │X/2│.
Você pode ver que o gráfico da função no = | Oh| obtido a partir do gráfico da função no = Oh, se a parte negativa do gráfico da função no = Oh(está abaixo do eixo O X), refletir simetricamente este eixo.
O gráfico é fácil de ver propriedades funções no = │ Oh │.
No X= 0, obtemos no= 0, ou seja, a origem das coordenadas pertence ao gráfico da função; no X= 0, obtemos no> 0, ou seja, todos os outros pontos do gráfico estão acima do eixo O X.
Para valores opostos X, valores no será o mesmo; Eixo O no este é o eixo de simetria do gráfico.
Por exemplo, você pode plotar a função no = │X 3│. Para comparar recursos no = │X 3 │e no = X 3, faremos uma tabela de seus valores com os mesmos valores dos argumentos.
Na tabela, vemos que, para traçar a função no = │X 3 │, você pode começar traçando a função no = X 3 . Depois disso, fica simetricamente ao eixo O X exibir a parte dele que está abaixo deste eixo. Como resultado, obtemos o gráfico mostrado na figura.
Propriedades do gráfico e da função no = x 1/2
(raiz)
Considere a função no = x 1/2 .
Escopo da definição desta função é o conjunto dos números reais não negativos, pois a expressão x 1/2 só importa quando X > 0.
Vamos construir um gráfico. Para compilar uma tabela de seus valores, usamos uma microcalculadora, arredondando os valores da função para décimos.
Depois de desenhar pontos no plano de coordenadas e sua conexão suave, obtemos gráfico de função no = x 1/2 .
O gráfico construído nos permite formular algumas propriedades funções no = x 1/2 .
No X= 0, obtemos no= 0; no X> 0, obtemos no> 0; o gráfico passa pela origem; os pontos restantes do gráfico estão localizados no primeiro quarto de coordenadas.
Teorema. Gráfico de funções no = x 1/2 é simétrico ao gráfico da função no = X 2, onde X> 0, relativamente reto no = X.
Prova. Gráfico de funções no = X 2, onde X> 0 é o ramo da parábola localizado no primeiro quadrante de coordenadas. Deixe o ponto R (uma; b) é um ponto arbitrário deste gráfico. Então a igualdade é verdadeira b = uma 2. Uma vez que, de acordo com a condição, o número umaé não negativo, então a igualdade também é verdadeira uma= b 1/2. E isso significa que as coordenadas do ponto Q (b; uma) transforma a fórmula no = x 1/2 para igualdade verdadeira, ou caso contrário, ponto Q (b; uma no= x 1/2 .
Também está provado que se o ponto M (Com; d) pertence ao gráfico da função no = x 1/2 então ponto N (d; Com) pertence ao gráfico no = X 2, onde X > 0.
Acontece que cada ponto R(uma; b) gráfico de função no = X 2, onde X> 0, apenas um ponto corresponde Q (b; uma) gráfico de função no = x 1/2 e vice-versa.
Resta provar que os pontos R (uma; b) e Q (b; uma) são simétricas em relação à linha reta no = X. Soltando perpendiculares aos eixos de coordenadas dos pontos R e Q, obtemos pontos nesses eixos E(uma; 0), D (0; b), F (b; 0), A PARTIR DE (0; uma). Ponto R interseções de perpendiculares RÉ e CQ tem coordenadas ( uma; uma) e, portanto, pertence à linha no = X. Triângulo PRQé isósceles, pois seus lados PR e RQ igual │ b – uma│ cada. Em linha reta no = X bissectar como um ângulo DOF, assim é o ângulo PRQ e cruza a linha QP em um determinado ponto S. Portanto, o segmento RSé a bissetriz do triângulo PRQ. Como a bissetriz de um triângulo isósceles é sua altura e mediana, então QP ┴ RS e PS = QS. E isso significa que os pontos R (uma; b) e Q (b; uma) simétrico em relação à linha reta no = X.
Como o gráfico da função no = x 1/2 é simétrico ao gráfico da função no = X 2, onde X> 0, relativamente reto no= X, então o gráfico da função no = x 1/2 é um ramo da parábola.
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Vamos verificar a igualdade: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Seja $\sqrt((-x))=a$ e $\sqrt(x)=b$. Vamos elevar ambas as expressões à terceira potência. $–x=a^3$ e $x=b^3$. Então $a^3=-b^3$ ou $a=-b$. Na notação das raízes, obtemos a identidade desejada.
Vamos provar a segunda propriedade. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Descobrimos que o número $\sqrt(\frac(a)(b))$ no cubo é igual a $\frac(a)(b)$ e então é igual a $\sqrt(\frac(a) (b))$, que precisavam ser comprovados.
Pessoal, vamos traçar nosso gráfico de função.
1) O domínio de definição é o conjunto dos números reais.
2) A função é ímpar porque $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Em seguida, considere nossa função para $x≥0$, então reflita o gráfico relativo à origem.
3) A função aumenta para $х≥0$. Para nossa função, um valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função, o que significa aumentar.
4) A função não é limitada por cima. De fato, a partir de um número arbitrariamente grande, você pode calcular a raiz do terceiro grau, e podemos subir até o infinito, encontrando tudo grandes valores argumento.
5) Para $x≥0$, o menor valor é 0. Esta propriedade é óbvia.
Vamos construir um gráfico da função por pontos para x≥0.
Vamos construir nosso gráfico da função em todo o domínio de definição. Lembre-se que nossa função é ímpar. 
Propriedades da função:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Função ímpar.
3) Aumenta em (-∞;+∞).
4) Ilimitado.
5) Não há valor mínimo ou máximo.
7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convexo para baixo por (-∞;0), convexo para cima por (0;+∞).
Como você pode ver, nossos gráficos se cruzam em três pontos. 2. Construa um gráfico da função. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Solução. Nosso gráfico é obtido a partir do gráfico da função $y=\sqrt(x)$, deslocando paralelamente duas unidades para a direita e três unidades para baixo. 
3. Construa um gráfico de função e leia-o. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Solução. Vamos construir dois gráficos de funções no mesmo plano de coordenadas, levando em consideração nossas condições. Para $х≥-1$ construímos um gráfico de uma raiz cúbica, para $х≤-1$ um gráfico de uma função linear. 
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) A função não é par nem ímpar.
3) Diminui em (-∞;-1), aumenta em (-1;+∞).
4) Ilimitado de cima, limitado de baixo.
5) Maior valor não. O menor valor é menos um.
6) A função é contínua em toda a reta real.
7) E(y)= (-1;+∞).
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