Este artigo é Ponto de partida no estudo da teoria das equações diferenciais. Aqui estão reunidas as principais definições e conceitos que aparecerão constantemente no texto. Para melhor assimilação e compreensão, as definições são fornecidas com exemplos.

Equação Diferencial (DE)- esta é uma equação que inclui uma função desconhecida sob o sinal da derivada ou diferencial.

Se a função desconhecida é uma função de uma variável, então a equação diferencial é chamada comum(abreviado EDO - equação diferencial ordinária). Se a função desconhecida é uma função de muitas variáveis, então a equação diferencial é chamada Equação diferencial parcial.

A ordem máxima da derivada de uma função desconhecida incluída em uma equação diferencial é chamada em ordem equação diferencial .

Aqui estão exemplos de EDOs de primeira, segunda e quinta ordens, respectivamente

Como exemplos de equações diferenciais parciais de segunda ordem, apresentamos

Além disso, consideraremos apenas equações diferenciais ordinárias da enésima ordem da forma ou , onde Ф(x, y) = 0 é uma função desconhecida definida implicitamente (quando possível, iremos escrevê-la em representação explícita y = f(x) ).

O processo de encontrar soluções para uma equação diferencial é chamado integração da equação diferencial.

Resolvendo uma equação diferencial- está implícito dada funçãoФ(x, y) = 0 (em alguns casos, a função y pode ser expressa explicitamente em termos do argumento x), o que transforma a equação diferencial em uma identidade.

NOTA.

A solução de uma equação diferencial é sempre buscada em um intervalo pré-determinado X .

Por que estamos falando sobre isso separadamente? Sim, porque nas condições de muitos problemas o intervalo X não é mencionado. Ou seja, a condição dos problemas é geralmente formulada da seguinte forma: “encontre uma solução para a equação diferencial ordinária ". Nesse caso, entende-se que a solução deve ser buscada para todo x para o qual tanto a função desejada y quanto a equação original fazem sentido.

A solução de uma equação diferencial é muitas vezes referida como integral de equação diferencial.

As funções ou podem ser chamadas de solução para uma equação diferencial.

Uma das soluções da equação diferencial é a função . Com efeito, substituindo esta função na equação original, obtemos a identidade . É fácil perceber que outra solução para esta EDO é, por exemplo, . Assim, as equações diferenciais podem ter muitas soluções.

Solução geral da equação diferencialé o conjunto de soluções contendo todas as soluções desta equação diferencial sem exceção.

A solução geral de uma equação diferencial também é chamada integral geral da equação diferencial.

Vamos voltar ao exemplo. A solução geral da equação diferencial tem a forma ou , onde C é uma constante arbitrária. Acima, indicamos duas soluções para esta EDO, que são obtidas a partir da integral geral da equação diferencial substituindo C = 0 e C = 1, respectivamente.

Se a solução de uma equação diferencial satisfaz as condições adicionais inicialmente dadas, então ela é chamada uma solução particular da equação diferencial.

Uma solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição y(1)=1 é . Sério, e .

Os principais problemas da teoria das equações diferenciais são problemas de Cauchy, problemas de valor de contorno e problemas de encontrar uma solução geral de uma equação diferencial em qualquer intervalo dado X .

problema de Cauchyé o problema de encontrar uma solução particular de uma equação diferencial que satisfaça o dado condições iniciais, onde estão os números.

problema de fronteiraé o problema de encontrar uma solução particular para uma equação diferencial de segunda ordem que satisfaça condições adicionais nos pontos de fronteira x 0 e x 1:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, onde f 0 ef 1 são números dados.

O problema de valor de contorno é frequentemente chamado problema de valor limite.

Uma equação diferencial ordinária de ordem n é chamada linear, se tem a forma , e os coeficientes são funções contínuas do argumento x no intervalo de integração.

Muitas vezes apenas uma menção equações diferenciais deixa os alunos desconfortáveis. Por que isso está acontecendo? Na maioria das vezes, porque ao estudar o básico do material, surge uma lacuna no conhecimento, devido à qual o estudo mais aprofundado dos difurs se torna simplesmente uma tortura. Nada está claro o que fazer, como decidir por onde começar?

No entanto, tentaremos mostrar a você que difurs não é tão difícil quanto parece.

Conceitos básicos da teoria das equações diferenciais

Da escola, conhecemos as equações mais simples nas quais precisamos encontrar o x desconhecido. Na verdade equações diferenciais apenas ligeiramente diferente deles - em vez de uma variável x eles precisam encontrar uma função y(x) , que transformará a equação em uma identidade.

D equações diferenciais são de grande importância prática. Isso não é matemática abstrata que nada tem a ver com o mundo ao nosso redor. Com a ajuda de equações diferenciais, muitos processos naturais reais são descritos. Por exemplo, as vibrações das cordas, o movimento de um oscilador harmônico, por meio de equações diferenciais nos problemas da mecânica, encontram a velocidade e a aceleração de um corpo. Também DU são amplamente utilizados em biologia, química, economia e muitas outras ciências.

Equação diferencial (DU) é uma equação contendo as derivadas da função y(x), a própria função, variáveis ​​independentes e outros parâmetros em várias combinações.

Existem muitos tipos de equações diferenciais: equações diferenciais ordinárias, lineares e não lineares, homogêneas e não homogêneas, equações diferenciais de primeira e ordem superior, equações diferenciais parciais e assim por diante.

A solução de uma equação diferencial é uma função que a transforma em uma identidade. Existem soluções gerais e particulares de controle remoto.

A solução geral da equação diferencial é o conjunto geral de soluções que transformam a equação em uma identidade. Uma solução particular de uma equação diferencial é uma solução que satisfaz condições adicionais especificadas inicialmente.

A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem mais alta das derivadas incluídas nela.

Equações diferenciais ordinárias

Equações diferenciais ordinárias são equações contendo uma variável independente.

Considere a equação diferencial ordinária mais simples de primeira ordem. Parece que:

Esta equação pode ser resolvida simplesmente integrando-a lado direito.

Exemplos de tais equações:

Equações de variáveis ​​separáveis

Em geral, esse tipo de equação se parece com isso:

Aqui está um exemplo:

Resolvendo tal equação, você precisa separar as variáveis, trazendo para a forma:

Depois disso, resta integrar as duas partes e obter uma solução.

Equações diferenciais lineares de primeira ordem

Tais equações assumem a forma:

Aqui p(x) e q(x) são algumas funções da variável independente, e y=y(x) é a função desejada. Aqui está um exemplo de tal equação:

Resolvendo tal equação, na maioria das vezes eles usam o método de variação de uma constante arbitrária ou representam a função desejada como um produto de duas outras funções y(x)=u(x)v(x).

Para resolver tais equações, é necessária uma certa preparação, e será muito difícil tomá-las “por capricho”.

Um exemplo de resolução de um DE com variáveis ​​separáveis

Portanto, consideramos os tipos mais simples de controle remoto. Agora vamos dar uma olhada em um deles. Seja uma equação com variáveis ​​separáveis.

Primeiro, reescrevemos a derivada de uma forma mais familiar:

Então vamos separar as variáveis, ou seja, em uma parte da equação vamos coletar todos os “jogos” e na outra - os “xes”:

Agora resta integrar as duas partes:

Integramos e obtemos decisão comum dada equação:

Claro, resolver equações diferenciais é uma espécie de arte. Você precisa ser capaz de entender a que tipo pertence uma equação e também aprender a ver quais transformações você precisa fazer com ela para trazê-la de uma forma ou de outra, sem falar apenas na capacidade de diferenciar e integrar. E é preciso prática (como em tudo) para conseguir resolver DE. E se você tiver este momento não há tempo para tratar de como as equações diferenciais são resolvidas ou o problema de Cauchy surgiu como um osso na garganta ou você não sabe, entre em contato com nossos autores. NO tempo curto iremos fornecer-lhe pronto solução detalhada, para entender os detalhes dos quais você pode a qualquer momento conveniente para você. Enquanto isso, sugerimos assistir a um vídeo sobre o tema "Como resolver equações diferenciais":

Equação diferencial ordinária chamada de equação que conecta uma variável independente, uma função desconhecida dessa variável e suas derivadas (ou diferenciais) de várias ordens.

A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada mais alta contida nele.

Além das ordinárias, também são estudadas equações diferenciais parciais. São equações relacionando variáveis ​​independentes, uma função desconhecida dessas variáveis ​​e suas derivadas parciais em relação às mesmas variáveis. Mas vamos apenas considerar Equações diferenciais ordinárias e, portanto, omitiremos a palavra "comum" por brevidade.

Exemplos de equações diferenciais:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

A equação (1) é de quarta ordem, a equação (2) é de terceira ordem, as equações (3) e (4) são de segunda ordem, a equação (5) é de primeira ordem.

Equação diferencial n ordem não precisa conter explicitamente uma função, todas as suas derivadas de primeiro a nª ordem e uma variável independente. Pode não conter explicitamente derivadas de algumas ordens, uma função, uma variável independente.

Por exemplo, na equação (1) claramente não há derivadas de terceira e segunda ordens, bem como funções; na equação (2) - derivada e função de segunda ordem; na equação (4) - variável independente; na equação (5) - funções. Apenas a equação (3) contém explicitamente todas as derivadas, a função e a variável independente.

Resolvendo a equação diferencial qualquer função é chamada y = f(x), substituindo qual na equação, torna-se uma identidade.

O processo de encontrar uma solução para uma equação diferencial é chamado de integração.

Exemplo 1 Encontre uma solução para a equação diferencial.

Solução. Escrevemos esta equação na forma . A solução é encontrar a função por sua derivada. A função original, como é conhecido do cálculo integral, é a antiderivada para, ou seja,

É isso que é solução da equação diferencial dada . mudando nele C, teremos soluções diferentes. Descobrimos que há um número infinito de soluções para uma equação diferencial de primeira ordem.

Solução geral da equação diferencial n a ordem é sua solução expressa explicitamente em relação à função desconhecida e contendo n constantes arbitrárias independentes, ou seja,

A solução da equação diferencial no exemplo 1 é geral.

Solução parcial da equação diferencial sua solução é chamada, na qual valores numéricos específicos são atribuídos a constantes arbitrárias.

Exemplo 2 Encontre a solução geral da equação diferencial e uma solução particular para .

Solução. Integramos ambas as partes da equação tantas vezes que a ordem da equação diferencial é igual.

,

.

Como resultado, obtivemos a solução geral -

dada equação diferencial de terceira ordem.

Agora vamos encontrar uma solução particular nas condições especificadas. Para fazer isso, substituímos seus valores em vez de coeficientes arbitrários e obtemos

.

Se, além da equação diferencial, a condição inicial for dada na forma , então tal problema é chamado problema de Cauchy . Os valores e são substituídos na solução geral da equação e o valor de uma constante arbitrária é encontrado C, e então uma solução particular da equação para o valor encontrado C. Esta é a solução para o problema de Cauchy.

Exemplo 3 Resolva o problema de Cauchy para a equação diferencial do Exemplo 1 sob a condição .

Solução. Substituímos na solução geral os valores da condição inicial y = 3, x= 1. Temos

Escrevemos a solução do problema de Cauchy para a equação diferencial dada de primeira ordem:

Resolver equações diferenciais, mesmo as mais simples, requer boas habilidades em integração e derivação, incluindo funções complexas. Isso pode ser visto no exemplo a seguir.

Exemplo 4 Encontre a solução geral da equação diferencial.

Solução. A equação é escrita de tal forma que ambos os lados podem ser integrados imediatamente.

.

Aplicamos o método de integração mudando a variável (substituição). Vamos , então .

Necessário para tomar dx e agora - atenção - fazemos isso de acordo com as regras de diferenciação de uma função complexa, pois x e há uma função complexa ("maçã" - extrair raiz quadrada ou, o que é o mesmo, elevando à potência de "um segundo", e "carne picada" é a própria expressão sob a raiz):

encontramos a integral:

Voltando à variável x, Nós temos:

.

Esta é a solução geral desta equação diferencial de primeiro grau.

Não apenas as habilidades das seções anteriores matemática superior serão necessários na resolução de equações diferenciais, mas também habilidades desde o ensino fundamental, ou seja, matemática escolar. Como já mencionado, em uma equação diferencial de qualquer ordem pode não haver uma variável independente, ou seja, uma variável x. O conhecimento sobre proporções que não foi esquecido (porém, qualquer um gosta) do banco de escola ajudará a resolver esse problema. Este é o próximo exemplo.

Equações diferenciais de primeira ordem. Exemplos de solução.
Equações diferenciais com variáveis ​​separáveis

Equações Diferenciais (DE). Essas duas palavras geralmente aterrorizam o leigo comum. As equações diferenciais parecem ser algo escandaloso e difícil de dominar para muitos alunos. Uuuuuuu… equações diferenciais, como eu sobreviveria a tudo isso?!

Tal opinião e tal atitude são fundamentalmente erradas, porque na verdade AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SÃO SIMPLES E ATÉ DIVERTIDAS. O que você precisa saber e poder aprender para resolver equações diferenciais? Para estudar diferenças com sucesso, você deve ser bom em integrar e diferenciar. Quanto melhor os tópicos são estudados Derivada de uma função de uma variável e Integral indefinida, mais fácil será entender as equações diferenciais. Direi mais, se você tiver habilidades de integração mais ou menos decentes, o tópico está praticamente dominado! Quanto mais integrais Vários tipos você sabe como decidir - melhor. Por quê? Você tem que integrar muito. E diferenciar. Também altamente recomendado aprender a encontrar.

Em 95% dos casos em trabalho de controle existem 3 tipos de equações diferenciais de primeira ordem: equações separáveis, que abordaremos nesta lição; equações homogêneas e equações não homogêneas lineares. Para iniciantes no estudo dos difusores, aconselho a ler as lições nesta sequência e, depois de estudar os dois primeiros artigos, não custa nada consolidar suas habilidades em um workshop adicional - equações que se reduzem a homogênea.

Existem tipos ainda mais raros de equações diferenciais: equações em diferenciais totais, equações de Bernoulli e algumas outras. Dos dois últimos tipos, o mais importante são as equações em diferenciais totais, pois, além deste DE, considero novo material – integração parcial.

Se você tiver apenas um ou dois dias restantes, então para uma preparação ultrarrápida há curso blitz em formato pdf.

Então, os marcos estão definidos - vamos lá:

Vamos primeiro relembrar as equações algébricas usuais. Eles contêm variáveis ​​e números. O exemplo mais simples: . O que significa resolver uma equação ordinária? Isso significa encontrar conjunto de números que satisfazem esta equação. É fácil ver que a equação das crianças tem uma única raiz: . Por diversão, vamos fazer uma verificação, substituir a raiz encontrada em nossa equação:

- a igualdade correta é obtida, o que significa que a solução foi encontrada corretamente.

Os difusos são organizados da mesma maneira!

Equação diferencial primeira ordem dentro caso Geral contém:
1) variável independente;
2) variável dependente (função);
3) a primeira derivada da função: .

Em algumas equações de 1ª ordem, pode não haver "x" ou (e) "y", mas isso não é essencial - importante para que em DU foi primeira derivada, e não tinha derivadas de ordens superiores - , etc.

O que significa ? Resolver uma equação diferencial significa encontrar conjunto de todas as funções que satisfazem esta equação. Tal conjunto de funções geralmente tem a forma ( é uma constante arbitrária), que é chamada solução geral da equação diferencial.

Exemplo 1

Resolver equação diferencial

Munição completa. Por onde começar solução?

Em primeiro lugar, você precisa reescrever a derivada de uma forma ligeiramente diferente. Recordamos a notação incômoda, que muitos de vocês provavelmente acharam ridícula e desnecessária. É ele que manda nos difusores!

Na segunda etapa, vamos ver se é possível dividir variáveis? O que significa separar variáveis? A grosso modo, no lado esquerdo precisamos sair apenas "jogos", uma do lado direito organizar apenas x's. A separação de variáveis ​​é realizada com a ajuda de manipulações “escolares”: parênteses, transferência de termos de parte para parte com mudança de sinal, transferência de fatores de parte para parte de acordo com a regra de proporção, etc.

Diferenciais e são multiplicadores plenos e participantes ativos nas hostilidades. Neste exemplo, as variáveis ​​são facilmente separadas invertendo os fatores de acordo com a regra de proporção:

As variáveis ​​são separadas. No lado esquerdo - apenas "Jogo", no lado direito - apenas "X".

Próximo estágio - integração de equação diferencial. É simples, colocamos integrais em ambas as partes:

Claro, integrais devem ser tomadas. NO este caso são tabulares:

Como lembramos, uma constante é atribuída a qualquer antiderivada. Existem duas integrais aqui, mas basta escrever a constante uma vez (porque uma constante + uma constante ainda é igual a outra constante). Na maioria dos casos, é colocado no lado direito.

Estritamente falando, depois que as integrais são tomadas, a equação diferencial é considerada resolvida. A única coisa é que o nosso “y” não se expressa através do “x”, ou seja, a solução é apresentada no implícito Formato. A solução implícita de uma equação diferencial é chamada integral geral da equação diferencial. Ou seja, é a integral geral.

Uma resposta nesta forma é bastante aceitável, mas existe uma opção melhor? Vamos tentar obter decisão comum.

Por favor, lembre-se da primeira técnica, é muito comum e frequentemente usado em tarefas práticas: se um logaritmo aparecer no lado direito após a integração, em muitos casos (mas nem sempre!) Também é aconselhável escrever a constante sob o logaritmo.

Aquilo é, AO INVÉS DE registros são geralmente escritos .

Por que isso é necessário? E para facilitar a expressão "y". Usamos a propriedade dos logaritmos . Nesse caso:

Agora logaritmos e módulos podem ser removidos:

A função é apresentada explicitamente. Esta é a solução geral.

Responda: decisão comum: .

As respostas para muitas equações diferenciais são bastante fáceis de verificar. No nosso caso, isso é feito de forma bastante simples, pegamos a solução encontrada e a diferenciamos:

Em seguida, substituímos a derivada na equação original:

- a igualdade correta é obtida, o que significa que a solução geral satisfaz a equação , que precisava ser verificada.

dando uma constante vários significados, você pode obter infinitamente muitos decisões privadas equação diferencial. É claro que qualquer uma das funções , , etc. satisfaz a equação diferencial .

Às vezes, a solução geral é chamada família de funções. NO este exemplo decisão comum é uma família de funções lineares, ou melhor, uma família de proporcionalidades diretas.

Após uma discussão detalhada do primeiro exemplo, é apropriado responder a algumas perguntas ingênuas sobre equações diferenciais:

1)Neste exemplo, conseguimos separar as variáveis. É sempre possível fazer isso? Não nem sempre. E ainda mais frequentemente as variáveis ​​não podem ser separadas. Por exemplo, em equações homogêneas de primeira ordem deve ser substituído primeiro. Em outros tipos de equações, por exemplo, em uma equação linear não homogênea de primeira ordem, você precisa usar vários truques e métodos para encontrar uma solução geral. As equações de variáveis ​​separáveis ​​que consideramos na primeira lição são o tipo mais simples de equações diferenciais.

2) É sempre possível integrar uma equação diferencial? Não nem sempre. É muito fácil inventar uma equação "fantasia" que não pode ser integrada, além disso, existem integrais que não podem ser calculadas. Mas tais DEs podem ser resolvidos aproximadamente usando métodos especiais. D'Alembert e Cauchy garantem... ...ugh, lurkmore.to que li muito agora, quase acrescentei "do outro mundo".

3) Neste exemplo, obtivemos uma solução na forma de uma integral geral . É sempre possível encontrar uma solução geral a partir da integral geral, ou seja, expressar "y" de forma explícita? Não nem sempre. Por exemplo: . Bem, como posso expressar "y" aqui ?! Nesses casos, a resposta deve ser escrita como uma integral geral. Além disso, às vezes uma solução geral pode ser encontrada, mas é escrita de maneira tão complicada e desajeitada que é melhor deixar a resposta na forma de uma integral geral

4) ...talvez o suficiente por enquanto. No primeiro exemplo, encontramos outro ponto importante , mas para não cobrir os "manequins" com uma avalanche nova informação Vou deixar para a próxima aula.

Não nos apressemos. Outro controle remoto simples e outra solução típica:

Exemplo 2

Encontre uma solução particular da equação diferencial que satisfaça a condição inicial

Solução: de acordo com a condição que é necessário encontrar decisão privada DE que satisfaz uma dada condição inicial. Esse tipo de questionamento também é chamado problema de Cauchy.

Primeiro, encontramos uma solução geral. Não existe variável “x” na equação, mas isso não deve ser embaraçoso, o principal é que tem a primeira derivada.

Reescrevemos a derivada em forma desejada:

Obviamente, as variáveis ​​podem ser divididas, meninos à esquerda, meninas à direita:

Integramos a equação:

A integral geral é obtida. Aqui desenhei uma constante com acento estrela, o fato é que muito em breve ela vai virar outra constante.

Agora estamos tentando converter a integral geral em uma solução geral (expresse "y" explicitamente). Nós nos lembramos da velha e boa escola: . Nesse caso:

A constante no indicador parece de alguma forma não kosher, então geralmente é baixada do céu para a terra. No detalhe, acontece assim. Usando a propriedade dos graus, reescrevemos a função da seguinte forma:

Se é uma constante, então também é alguma constante, redesigne-a com a letra:

Lembre-se que a "demolição" de uma constante é segunda técnica, que é frequentemente usado durante a resolução de equações diferenciais.

Então a solução geral é: Uma bela família de funções exponenciais.

No estágio final, você precisa encontrar uma solução particular que satisfaça a condição inicial dada. É simples também.

Qual é a tarefa? Precisa pegar tal o valor da constante para satisfazer a condição.

Você pode organizá-lo de maneiras diferentes, mas o mais compreensível, talvez, seja assim. Na solução geral, em vez de “x”, substituímos zero e, em vez de “y”, dois:



Aquilo é,

Versão de design padrão:

Agora substituímos o valor encontrado da constante na solução geral:
– esta é a solução particular de que precisamos.

Responda: solução privada:

Vamos fazer uma verificação. A verificação de uma solução particular inclui duas etapas:

Primeiramente, é necessário verificar se a solução particular encontrada realmente satisfaz a condição inicial ? Em vez de "x" substituímos zero e vemos o que acontece:
- sim, de fato, um deuce foi obtido, o que significa que a condição inicial foi satisfeita.

A segunda etapa já é familiar. Tomamos a solução particular resultante e encontramos a derivada:

Substituindo na equação original:

- a igualdade correta é obtida.

Conclusão: a solução particular foi encontrada corretamente.

Vamos passar para exemplos mais significativos.

Exemplo 3

Resolver equação diferencial

Solução: Reescrevemos a derivada na forma que precisamos:

Avaliando se as variáveis ​​podem ser separadas? Posso. Transferimos o segundo termo para o lado direito com uma mudança de sinal:

E invertemos os fatores de acordo com a regra de proporção:

As variáveis ​​estão separadas, vamos integrar as duas partes:

Devo avisá-lo, o dia do julgamento está chegando. Se você não aprendeu bem integrais indefinidas, resolveu alguns exemplos, então não há para onde ir - você tem que dominá-los agora.

A integral do lado esquerdo é fácil de encontrar, com a integral da cotangente lidamos com a técnica padrão que consideramos na lição Integração de funções trigonométricas No ano passado:

Do lado direito, temos um logaritmo e, de acordo com minha primeira recomendação técnica, a constante também deve ser escrita sob o logaritmo.

Agora tentamos simplificar a integral geral. Como temos apenas logaritmos, é bem possível (e necessário) nos livrarmos deles. usando propriedades conhecidas maximamente "empacotar" os logaritmos. Vou escrever detalhadamente:

A embalagem está completa para ser barbaramente esfarrapada:

É possível expressar "y"? Posso. Ambas as partes devem ser quadradas.

Mas você não precisa.

Terceira dica técnica: se para obter uma solução geral você precisa elevar a uma potência ou criar raízes, então Na maioria dos casos você deve abster-se dessas ações e deixar a resposta na forma de uma integral geral. O fato é que a solução geral parecerá horrível - com grandes raízes, placas e outros tipos de lixo.

Portanto, escrevemos a resposta como uma integral geral. É considerado uma boa forma apresentá-lo na forma, ou seja, do lado direito, se possível, deixe apenas uma constante. Não é necessário fazer isso, mas é sempre bom agradar o professor ;-)

Responda: integral geral:

! Observação: a integral geral de qualquer equação pode ser escrita de mais de uma maneira. Portanto, se o seu resultado não coincidir com uma resposta conhecida anteriormente, isso não significa que você resolveu a equação incorretamente.

A integral geral também é verificada com bastante facilidade, o principal é poder encontrar derivada de uma função definida implicitamente. Vamos diferenciar a resposta:

Multiplicamos ambos os termos por:

E dividimos por:

A equação diferencial original foi obtida exatamente, o que significa que a integral geral foi encontrada corretamente.

Exemplo 4

Encontre uma solução particular da equação diferencial que satisfaça a condição inicial. Execute uma verificação.

Este é um exemplo faça-você-mesmo.

Relembro que o algoritmo consiste em duas etapas:
1) encontrar uma solução geral;
2) encontrar a solução particular necessária.

A verificação também é realizada em duas etapas (veja a amostra no Exemplo nº 2), você precisa:
1) certifique-se de que a solução particular encontrada satisfaz a condição inicial;
2) verifique se uma solução particular geralmente satisfaz a equação diferencial.

Solução completa e resposta no final da lição.

Exemplo 5

Encontrar uma solução particular de uma equação diferencial , satisfazendo a condição inicial . Execute uma verificação.

Solução: Primeiro, vamos encontrar uma solução geral.Esta equação já contém diferenciais prontas e , o que significa que a solução é simplificada. Separando variáveis:

Integramos a equação:

A integral à esquerda é tabular, a integral à direita é tomada o método de somar a função sob o sinal do diferencial:

A integral geral foi obtida, é possível expressar com sucesso a solução geral? Posso. Penduramos logaritmos em ambos os lados. Como são positivos, os sinais de módulo são redundantes:

(Espero que todos entendam a transformação, essas coisas já devem ser conhecidas)

Então a solução geral é:

Vamos encontrar uma solução particular correspondente à condição inicial dada.
Na solução geral, em vez de “x”, substituímos zero e, em vez de “y”, o logaritmo de dois:

Design mais familiar:

Substituímos o valor encontrado da constante na solução geral.

Responda: solução privada:

Check: Primeiro, verifique se a condição inicial é atendida:
- tudo é bom.

Agora vamos verificar se a solução particular encontrada satisfaz a equação diferencial. encontramos a derivada:

Vejamos a equação original: – é apresentado em diferenciais. Existem duas maneiras de verificar. É possível expressar o diferencial da derivada encontrada:

Substituímos a solução particular encontrada e o diferencial resultante na equação original :

Usamos a identidade logarítmica básica:

A igualdade correta é obtida, o que significa que a solução particular foi encontrada corretamente.

A segunda forma de verificação é espelhada e mais familiar: a partir da equação expresse a derivada, para isso dividimos todos os pedaços por:

E no DE transformado substituímos a solução particular obtida e a derivada encontrada. Como resultado de simplificações, a igualdade correta também deve ser obtida.

Exemplo 6

Resolva a equação diferencial. Expresse a resposta como uma integral geral.

Este é um exemplo de auto-resolução, solução completa e resposta no final da lição.

Que dificuldades aguardam na resolução de equações diferenciais com variáveis ​​separáveis?

1) Nem sempre é óbvio (especialmente para um bule de chá) que as variáveis ​​podem ser separadas. Considere um exemplo condicional: . Aqui você precisa tirar os fatores dos colchetes: e separar as raízes:. Como prosseguir é claro.

2) Dificuldades na própria integração. Frequentemente, os integrais não são os mais simples e, se houver falhas nas habilidades de encontrar integral indefinida, então será difícil com muitos difusores. Além disso, os compiladores de coleções e manuais são populares com a lógica “como a equação diferencial é simples, pelo menos as integrais serão mais complicadas”.

3) Transformações com uma constante. Como todos notaram, uma constante em equações diferenciais pode ser manipulada com bastante liberdade, e algumas transformações nem sempre são claras para um iniciante. Vejamos outro exemplo hipotético: . Nele, é aconselhável multiplicar todos os termos por 2: . A constante resultante também é algum tipo de constante, que pode ser denotada por: . Sim, e como há um logaritmo do lado direito, é aconselhável reescrever a constante como outra constante: .

O problema é que muitas vezes eles não se importam com índices e usam a mesma letra. Como resultado, o registro de decisão assume a seguinte forma:

Que heresia? Aqui estão os erros! A rigor, sim. Porém, do ponto de vista substantivo, não há erros, pois como resultado da transformação de uma constante variável, ainda se obtém uma constante variável.

Ou outro exemplo, suponha que, ao resolver a equação, uma integral geral seja obtida. Esta resposta parece feia, por isso é aconselhável mudar o sinal de cada termo: . Formalmente, há novamente um erro - à direita, deve ser escrito . Mas está informalmente implícito que “menos ce” ainda é uma constante ( que também assume quaisquer valores!), então colocar um "menos" não faz sentido e você pode usar a mesma letra.

Tentarei evitar uma abordagem descuidada e ainda colocar diferentes índices para constantes ao convertê-los.

Exemplo 7

Resolva a equação diferencial. Execute uma verificação.

Solução: Esta equação admite separação de variáveis. Separando variáveis:

Nós integramos:

A constante aqui não precisa ser definida pelo logaritmo, pois nada de bom resultará disso.

Responda: integral geral:

Verifique: Diferencie a resposta (função implícita):

Nos livramos das frações, para isso multiplicamos os dois termos por:

A equação diferencial original foi obtida, o que significa que a integral geral foi encontrada corretamente.

Exemplo 8

Encontre uma solução particular de DE.
,

Este é um exemplo faça-você-mesmo. A única dica é que aqui você obtém uma integral geral e, mais corretamente, precisa encontrar não uma solução específica, mas integral privado. Solução completa e resposta no final da lição.

Solução de equações diferenciais. graças ao nosso serviço on-line você pode resolver equações diferenciais de qualquer tipo e complexidade: não homogênea, homogênea, não linear, linear, primeira, segunda ordem, com ou sem variáveis ​​separáveis, etc. Você obtém a solução de equações diferenciais na forma analítica com descrição detalhada. Muitos estão interessados ​​em: por que é necessário resolver equações diferenciais online? Esse tipo equações é muito comum em matemática e física, onde será impossível resolver muitos problemas sem calcular uma equação diferencial. Além disso, equações diferenciais são comuns em economia, medicina, biologia, química e outras ciências. Resolver essa equação online facilita muito suas tarefas, permite entender melhor o material e testar você mesmo. Benefícios de resolver equações diferenciais online. Site de serviço matemático moderno permite resolver equações diferenciais online qualquer dificuldades. Como você sabe que existe um grande número de tipos de equações diferenciais e cada uma delas tem seus próprios métodos de solução. Em nosso serviço você encontra online a solução de equações diferenciais de qualquer ordem e tipo. Para obter uma solução, sugerimos que preencha os dados iniciais e clique no botão "Solução". Erros na operação do serviço são excluídos, para que você tenha 100% de certeza de que recebeu a resposta correta. Resolva equações diferenciais com nosso serviço. Resolva equações diferenciais online. Por padrão, em tal equação, a função y é uma função da variável x. Mas você também pode definir sua própria designação de variável. Por exemplo, se você especificar y(t) em uma equação diferencial, nosso serviço determinará automaticamente que y é uma função da variável t. A ordem de toda a equação diferencial dependerá da ordem máxima da derivada da função presente na equação. Resolver tal equação significa encontrar a função desejada. Nosso serviço ajudará você a resolver equações diferenciais online. Não é preciso muito esforço de sua parte para resolver a equação. Você só precisa inserir as partes esquerda e direita de sua equação nos campos obrigatórios e clicar no botão "Solução". Ao inserir a derivada de uma função, é necessário denotá-la com um apóstrofo. Em questão de segundos, você terá uma solução detalhada pronta para a equação diferencial. Nosso serviço é totalmente gratuito. Equações diferenciais com variáveis ​​separáveis. Se em uma equação diferencial no lado esquerdo há uma expressão que depende de y, e no lado direito há uma expressão que depende de x, então essa equação diferencial é chamada com variáveis ​​​​separáveis. No lado esquerdo pode haver uma derivada de y, a solução de equações diferenciais desse tipo será na forma de uma função de y, expressa através da integral do lado direito da equação. Se houver uma diferencial de uma função de y no lado esquerdo, ambas as partes da equação serão integradas. Quando as variáveis ​​em uma equação diferencial não estão separadas, elas precisarão ser divididas para obter uma equação diferencial separada. Equação diferencial linear. Uma equação diferencial é chamada linear se a função e todas as suas derivadas estão no primeiro grau. Forma geral equações: y'+a1(x)y=f(x). f(x) e a1(x) são funções contínuas de x. A solução de equações diferenciais deste tipo se reduz à integração de duas equações diferenciais com variáveis ​​separadas. A ordem da equação diferencial. A equação diferencial pode ser de primeira, segunda e n-ésima ordem. A ordem de uma equação diferencial determina a ordem da derivada mais alta contida nela. Em nosso serviço você pode resolver equações diferenciais online da primeira, segunda, terceira, etc. ordem. A solução para a equação será qualquer função y=f(x), substituindo qual na equação, você obterá uma identidade. O processo de encontrar uma solução para uma equação diferencial é chamado de integração. Problema Cauchy. Se, além da própria equação diferencial, a condição inicial y(x0)=y0 for especificada, então isso é chamado de problema de Cauchy. Os indicadores y0 e x0 são adicionados à solução da equação e o valor de uma constante arbitrária C é determinado, e então uma solução particular da equação para este valor de C. Esta é a solução do problema de Cauchy. O problema de Cauchy também é chamado de problema com condições de contorno, o que é muito comum em física e mecânica. Você também tem a oportunidade de definir o problema de Cauchy, ou seja, de todas as soluções possíveis para a equação, escolha uma em particular que atenda às condições iniciais dadas.