Neste artigo, você aprenderá como encontrar a área de uma figura delimitada por linhas usando cálculos integrais. Pela primeira vez, encontramos a formulação de tal problema no ensino médio, quando o estudo de certas integrais acaba de ser concluído e é hora de iniciar a interpretação geométrica do conhecimento adquirido na prática.
Então, o que é necessário para resolver com sucesso o problema de encontrar a área de uma figura usando integrais:
Algoritmo para resolver o problema de calcular a área de uma figura delimitada por linhas:
1. Construímos um desenho. É aconselhável fazer isso em um pedaço de papel em uma gaiola, em grande escala. Assinamos com um lápis acima de cada gráfico o nome dessa função. A assinatura dos gráficos é feita apenas para conveniência de cálculos posteriores. Tendo recebido o gráfico da figura desejada, na maioria dos casos ficará imediatamente claro quais limites de integração serão usados. Assim, resolvemos o problema graficamente. No entanto, acontece que os valores dos limites são fracionários ou irracionais. Portanto, você pode fazer cálculos adicionais, vá para a etapa dois.
2. Se os limites de integração não forem definidos explicitamente, encontraremos os pontos de interseção dos gráficos entre si e veremos se nossa solução gráfica corresponde à analítica.
3. Em seguida, você precisa analisar o desenho. Dependendo de como os gráficos das funções estão localizados, existem abordagens diferentes para encontrar a área de uma figura. Considere vários exemplos de encontrar a área de uma figura usando integrais.
3.1. A versão mais clássica e simples do problema é quando você precisa encontrar a área de um trapézio curvilíneo. O que é um trapézio curvilíneo? Esta é uma figura plana limitada pelo eixo x (y=0), direto x = a, x = b e qualquer curva contínua no intervalo de uma antes da b. Ao mesmo tempo, esse valor não é negativo e está localizado não abaixo do eixo x. Nesse caso, a área do trapézio curvilíneo é numericamente igual à integral definida calculada usando a fórmula de Newton-Leibniz:
Exemplo 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Que linhas definem a figura? Temos uma parábola y = x2 - 3x + 3, que está localizado acima do eixo OH, é não negativo, pois todos os pontos desta parábola são positivos. Em seguida, dadas as linhas retas x = 1 e x = 3 que correm paralelamente ao eixo UO, são as linhas delimitadoras da figura à esquerda e à direita. Nós iremos y = 0, ela é o eixo x, que limita a figura a partir de baixo. A figura resultante é sombreada, como visto na figura à esquerda. NO este caso, você pode começar imediatamente a resolver o problema. Diante de nós está um exemplo simples de um trapézio curvilíneo, que resolvemos usando a fórmula de Newton-Leibniz.
3.2. No parágrafo 3.1 anterior, foi analisado o caso em que o trapézio curvilíneo está localizado acima do eixo x. Agora considere o caso em que as condições do problema são as mesmas, exceto que a função está sob o eixo x. Um menos é adicionado à fórmula padrão de Newton-Leibniz. Como resolver esse problema, consideraremos mais adiante.
Exemplo 2 . Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Neste exemplo, temos uma parábola y=x2+6x+2, que se origina sob o eixo OH, direto x=-4, x=-1, y=0. Aqui y = 0 limita a figura desejada de cima. Direto x = -4 e x = -1 estes são os limites dentro dos quais a integral definida será calculada. O princípio de resolver o problema de encontrar a área de uma figura coincide quase completamente com o exemplo número 1. A única diferença é que determinada função não é positivo, e tudo também é contínuo no intervalo [-4; -1] . O que não significa positivo? Como pode ser visto na figura, a figura que está dentro do x dado possui coordenadas exclusivamente "negativas", que é o que precisamos ver e lembrar ao resolver o problema. Estamos procurando a área da figura usando a fórmula de Newton-Leibniz, apenas com um sinal de menos no início.
O artigo não está concluído.
Agora nos voltamos para a consideração de aplicações do cálculo integral. Nesta lição, analisaremos uma tarefa típica e mais comum. Como usar uma integral definida para calcular a área de uma figura plana. Finalmente procurando um significado em matemática superior- deixe-os encontrá-lo. Nunca se sabe. Teremos que nos aproximar na vida área de casa de campo funções elementares e encontre sua área usando uma integral definida.
Para dominar o material com sucesso, você deve:
1) Compreender a integral indefinida pelo menos em um nível intermediário. Assim, os manequins devem primeiro ler a lição Não.
2) Ser capaz de aplicar a fórmula de Newton-Leibniz e calcular a integral definida. Você pode estabelecer relações amigáveis com certas integrais na página Integral definida. Exemplos de soluções.
De fato, para encontrar a área de uma figura, você não precisa de tanto conhecimento da integral indefinida e definida. A tarefa "calcular a área usando uma integral definida" sempre envolve a construção de um desenho, então seus conhecimentos e habilidades de desenho serão uma questão muito mais relevante. Nesse sentido, é útil refrescar a memória dos gráficos das principais funções elementares e, no mínimo, poder construir uma linha reta, uma parábola e uma hipérbole. Isso pode ser feito (muitos precisam) com a ajuda de material metodológico e artigos sobre transformações geométricas de grafos.
Na verdade, todos estão familiarizados com o problema de encontrar a área usando uma integral definida desde a escola, e iremos um pouco à frente currículo escolar. Este artigo pode não existir, mas o fato é que o problema ocorre em 99 casos em 100, quando um aluno é atormentado por uma torre odiada com entusiasmo para dominar um curso de matemática superior.
Os materiais deste workshop são apresentados de forma simples, detalhada e com um mínimo de teoria.
Vamos começar com um trapézio curvilíneo.
trapézio curvilíneo chamada de figura plana limitada pelo eixo , linhas retas , e o gráfico de uma função contínua em um segmento que não muda de sinal nesse intervalo. Seja esta figura localizada não menos abscissa:
Então a área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral. Qualquer integral definida (que existe) tem um significado geométrico muito bom. Na lição Integral definida. Exemplos de soluções Eu disse que uma integral definida é um número. E agora é hora de declarar outro fato útil. Do ponto de vista da geometria, a integral definida é a ÁREA.
Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Por exemplo, considere a integral definida . O integrando define uma curva no plano que está localizado acima do eixo (quem desejar pode completar o desenho), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.
Exemplo 1
Esta é uma declaração de tarefa típica. O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.
Ao construir um blueprint, recomendo a seguinte ordem: primeiroé melhor construir todas as linhas (se houver) e apenas depois- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. Gráficos de função são mais rentáveis para construir ponto por ponto, com a técnica de construção pontual pode ser encontrada no material de referência Gráficos e propriedades de funções elementares. Lá você também pode encontrar material muito útil em relação à nossa lição - como construir rapidamente uma parábola.
Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer um desenho (note que a equação define o eixo):
Eu não vou chocar um trapézio curvilíneo, é óbvio aqui qual área em questão. A solução continua assim:
No segmento, o gráfico da função está localizado sobre o eixo, é por isso:
Responda:
Quem tem dificuldade em calcular a integral definida e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz 
, consulte a palestra Integral definida. Exemplos de soluções.
Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, “a olho” contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células obviamente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.
Exemplo 2
Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , e o eixo
Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo?
Exemplo 3
Calcule a área da figura delimitada por linhas e eixos de coordenadas.
Solução: Vamos fazer um desenho: 
Se o trapézio curvilíneo está localizado sob o eixo(ou pelo menos não mais alto dado eixo), então sua área pode ser encontrada pela fórmula:
Nesse caso: 
Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:
1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.
2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.
Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.
Exemplo 4
Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas , .
Solução: Primeiro você precisa completar o desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Vamos encontrar os pontos de intersecção da parábola e da linha. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:
Portanto, o limite inferior de integração , o limite superior de integração .
É melhor não usar esse método, se possível..
É muito mais lucrativo e rápido construir as linhas ponto a ponto, enquanto os limites da integração são descobertos “por si mesmos”. A técnica de construção ponto a ponto para vários gráficos é discutida em detalhes na ajuda Gráficos e propriedades de funções elementares. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). E também consideraremos esse exemplo.
Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma linha reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho: 
Repito que com a construção pontual, os limites da integração são mais frequentemente descobertos “automaticamente”.
E agora a fórmula de trabalho: Se houver alguma função contínua no intervalo maior ou igual alguma função contínua, então a área da figura limitada pelos gráficos dessas funções e linhas retas, pode ser encontrada pela fórmula: 
Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo e, grosso modo, importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está ABAIXO.
No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de
A conclusão da solução pode ficar assim:
A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.
No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:
Responda:
De fato, a fórmula escolar para a área de um trapézio curvilíneo no semiplano inferior (veja o exemplo simples nº 3) é caso especial fórmulas 
. Como o eixo é dado pela equação , e o gráfico da função está localizado não mais alto eixos, então 
E agora alguns exemplos para uma solução independente
Exemplo 5
Exemplo 6
Encontre a área da figura delimitada pelas linhas , .
Ao resolver problemas para calcular a área usando uma determinada integral, às vezes acontece um incidente engraçado. O desenho foi feito corretamente, os cálculos estavam corretos, mas por desatenção... encontrou a área da figura errada, foi assim que seu servo obediente errou várias vezes. Aqui caso real da vida:
Exemplo 7
Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , , .
Solução: Vamos fazer um desenho primeiro: 
…Eh, o desenho ficou uma porcaria, mas tudo parece estar legível.
A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(olhe atentamente para a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, devido à desatenção, ocorre frequentemente uma "falha", que você precisa encontrar a área da figura sombreada em verde!
Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas. Sério:
1) No segmento acima do eixo há um gráfico de linha reta;
2) No segmento acima do eixo há um gráfico de hipérbole.
É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser adicionadas, portanto:
Responda:
Vamos passar para mais uma tarefa significativa.
Exemplo 8
Calcule a área de uma figura delimitada por linhas,
Vamos apresentar as equações em forma de "escola" e fazer um desenho ponto a ponto: 
Pode-se ver pelo desenho que nosso limite superior é “bom”: .
Mas qual é o limite inferior? É claro que isso não é um número inteiro, mas o quê? Pode ser ? Mas onde está a garantia de que o desenho é feito com perfeita precisão, pode ser que isso aconteça. Ou raiz. E se não acertarmos o gráfico?
Nesses casos, você deve gastar Tempo adicional e refinar os limites de integração analiticamente.
Vamos encontrar os pontos de intersecção da linha e da parábola.
Para isso, resolvemos a equação: 
,
Sério, .
A solução adicional é trivial, o principal é não se confundir com substituições e sinais, os cálculos aqui não são os mais fáceis.
No segmento 
, de acordo com a fórmula correspondente: 
Responda: 
Bem, na conclusão da lição, vamos considerar duas tarefas mais difíceis.
Exemplo 9
Calcule a área da figura delimitada por linhas , ,
Solução: Empate esta figura no desenho. 
Caramba, esqueci de assinar o cronograma, e refazendo a foto, desculpe, não hotz. Não é um desenho, resumindo, hoje é o dia =)
Para construção pontual, você precisa saber aparência sinusóides (e, em geral, é útil saber gráficos de todas as funções elementares), bem como alguns valores de seno, eles podem ser encontrados em tabela trigonométrica. Em alguns casos (como neste caso), é permitido construir um desenho esquemático, no qual gráficos e limites de integração devem ser exibidos em princípio corretamente.
Não há problemas com os limites de integração aqui, eles seguem diretamente da condição: - "x" muda de zero para "pi". Tomamos mais uma decisão:
No segmento, o gráfico da função está localizado acima do eixo, portanto:
Como inserir fórmulas matemáticas no site?
Se você precisar adicionar uma ou duas fórmulas matemáticas a uma página da Web, a maneira mais fácil de fazer isso é conforme descrito no artigo: as fórmulas matemáticas são facilmente inseridas no site na forma de imagens que o Wolfram Alpha gera automaticamente. Além da simplicidade, este método universal ajudará a melhorar a visibilidade do site em motores de busca. Está funcionando há muito tempo (e acho que funcionará para sempre), mas está moralmente desatualizado.
Se você está constantemente usando fórmulas matemáticas em seu site, então eu recomendo que você use MathJax, uma biblioteca JavaScript especial que exibe notação matemática em navegadores da web usando marcação MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.
Existem duas maneiras de começar a usar o MathJax: (1) usando um código simples, você pode conectar rapidamente um script MathJax ao seu site, que será carregado automaticamente de um servidor remoto no momento certo (lista de servidores); (2) carregue o script MathJax de um servidor remoto para o seu servidor e conecte-o a todas as páginas do seu site. O segundo método é mais complexo e demorado e permitirá que você acelere o carregamento das páginas do seu site, e se o servidor MathJax pai ficar temporariamente indisponível por algum motivo, isso não afetará seu próprio site de forma alguma. Apesar dessas vantagens, optei pelo primeiro método, por ser mais simples, rápido e não exigir habilidades técnicas. Siga meu exemplo e em 5 minutos você poderá usar todos os recursos do MathJax em seu site.
Você pode conectar o script da biblioteca MathJax de um servidor remoto usando duas opções de código retiradas do site principal do MathJax ou da página de documentação:
Uma dessas opções de código precisa ser copiada e colada no código da sua página da web, de preferência entre as tags
e ou logo após a etiqueta . De acordo com a primeira opção, o MathJax carrega mais rápido e diminui a velocidade da página. Mas a segunda opção rastreia e carrega automaticamente as versões mais recentes do MathJax. Se você inserir o primeiro código, ele precisará ser atualizado periodicamente. Se você colar o segundo código, as páginas carregarão mais lentamente, mas você não precisará monitorar constantemente as atualizações do MathJax.A maneira mais fácil de conectar o MathJax é no Blogger ou WordPress: no painel de controle do site, adicione um widget projetado para inserir código JavaScript de terceiros, copie a primeira ou segunda versão do código de carregamento acima e coloque o widget mais próximo de o início do modelo (a propósito, isso não é necessário, pois o script MathJax é carregado de forma assíncrona). Isso é tudo. Agora aprenda a sintaxe de marcação MathML, LaTeX e ASCIIMathML e você estará pronto para incorporar fórmulas matemáticas em suas páginas da web.
Qualquer fractal é construído de acordo com uma determinada regra, que é aplicada consistentemente um número ilimitado de vezes. Cada um desses momentos é chamado de iteração.
O algoritmo iterativo para construir uma esponja de Menger é bastante simples: o cubo original de lado 1 é dividido por planos paralelos às suas faces em 27 cubos iguais. Um cubo central e 6 cubos adjacentes a ele ao longo das faces são removidos dele. Acontece um conjunto composto por 20 cubos menores restantes. Fazendo o mesmo com cada um desses cubos, obtemos um conjunto composto por 400 cubos menores. Continuando esse processo indefinidamente, obtemos a esponja Menger.
Começamos a considerar o processo real de cálculo da integral dupla e nos familiarizamos com seu significado geométrico.
A integral dupla é numericamente igual à área de uma figura plana (região de integração). isto forma mais simples integral dupla quando a função de duas variáveis é igual a um: .
Consideremos primeiro o problema em visão geral. Agora você ficará surpreso com o quão simples é realmente! Vamos calcular a área de uma figura plana delimitada por linhas. Por definição, assumimos que no intervalo . A área desta figura é numericamente igual a:
Vamos representar a área no desenho: 
Vamos escolher a primeira maneira de contornar a área: 
Nesse caminho: 
E imediatamente um truque técnico importante: integrais iteradas podem ser consideradas separadamente. Primeiro a integral interna, depois a integral externa. Este método Altamente recomendado para iniciantes no tema bules.
1) Calcule a integral interna, enquanto a integração é realizada sobre a variável "y": 
A integral indefinida aqui é a mais simples, e então a fórmula banal de Newton-Leibniz é usada, com a única diferença de que os limites de integração não são números, mas funções. Primeiro substituído em "y" ( função antiderivada) limite superior, depois limite inferior
2) O resultado obtido no primeiro parágrafo deve ser substituído na integral externa: 
Uma notação mais compacta para toda a solução se parece com isso:
A fórmula resultante 
- esta é exatamente a fórmula de trabalho para calcular a área de uma figura plana usando a integral definida "ordinária"! Ver lição Calculando a área usando uma integral definida, lá está ela em cada turno!
Aquilo é, o problema de calcular a área usando uma integral dupla pouco diferente do problema de encontrar a área usando uma integral definida! Na verdade, eles são a mesma coisa!
Assim, nenhuma dificuldade deve surgir! Não considerarei muitos exemplos, pois você, de fato, encontrou repetidamente esse problema.
Exemplo 9
Solução: Vamos representar a área no desenho: 
Vamos escolher a seguinte ordem de travessia da região: 
Aqui e abaixo, não vou entrar em como atravessar uma área porque o primeiro parágrafo foi muito detalhado.
Nesse caminho: 
Como já observei, é melhor que os iniciantes calculem as integrais iteradas separadamente, seguirei o mesmo método:
1) Primeiro, usando a fórmula de Newton-Leibniz, lidamos com a integral interna: 
2) O resultado obtido na primeira etapa é substituído na integral externa: 
O ponto 2 está na verdade encontrando a área de uma figura plana usando uma integral definida.
Responda:
Aqui está uma tarefa tão estúpida e ingênua.
Um exemplo curioso para uma solução independente:
Exemplo 10
Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana limitada pelas linhas , ,
Um exemplo de uma solução final no final da lição.
Nos Exemplos 9-10, é muito mais lucrativo usar a primeira forma de contornar a área, leitores curiosos, aliás, podem alterar a ordem do desvio e calcular as áreas da segunda forma. Se você não cometer um erro, naturalmente, os mesmos valores de área serão obtidos.
Mas, em alguns casos, a segunda maneira de contornar a área é mais eficaz e, na conclusão do curso do jovem nerd, vejamos mais alguns exemplos sobre esse tópico:
Exemplo 11
Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas.
Solução: estamos ansiosos por duas parábolas com uma brisa que estão de lado. Não há necessidade de sorrir, coisas semelhantes em integrais múltiplas são frequentemente encontradas.
Qual é a maneira mais fácil de fazer um desenho?
Vamos representar a parábola como duas funções:
- ramo superior e - ramo inferior.
Da mesma forma, imagine uma parábola como uma parte superior e inferior 
galhos.
Em seguida, unidades de plotagem ponto a ponto, resultando em uma figura tão bizarra: 
A área da figura é calculada usando a integral dupla de acordo com a fórmula:
O que acontece se escolhermos a primeira maneira de contornar a área? Em primeiro lugar, esta área terá de ser dividida em duas partes. E em segundo lugar, observaremos este triste quadro: 
. As integrais, é claro, não são de um nível supercomplexo, mas... existe um velho ditado matemático: quem é amigo das raízes não precisa de compensação.
Portanto, a partir do mal-entendido que é dado na condição, expressamos as funções inversas: 
Funções inversas neste exemplo, eles têm a vantagem de definir imediatamente toda a parábola sem folhas, bolotas, galhos e raízes.
De acordo com o segundo método, a área transversal será a seguinte: 
Nesse caminho: 
Como dizem, sinta a diferença.
1) Lidamos com a integral interna:
Substituímos o resultado na integral externa:
A integração sobre a variável "y" não deve ser embaraçosa, se houvesse uma letra "zyu" - seria ótimo integrar sobre ela. Embora quem leu o segundo parágrafo da lição Como calcular o volume de um corpo de revolução, ele não sente mais o menor constrangimento com a integração sobre "y".
Preste atenção também ao primeiro passo: o integrando é par e o segmento de integração é simétrico em relação a zero. Portanto, o segmento pode ser dividido pela metade e o resultado pode ser dobrado. Esta técnica é comentada em detalhes na lição. Métodos eficazes cálculo de uma integral definida.
O que adicionar…. Tudo!
Responda:
Para testar sua técnica de integração, você pode tentar calcular . A resposta deve ser exatamente a mesma.
Exemplo 12
Usando a integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas 
Este é um exemplo de faça você mesmo. É interessante notar que, se você tentar usar a primeira maneira de contornar a área, a figura não será mais dividida em duas, mas em três partes! E, consequentemente, obtemos três pares de integrais iteradas. As vezes acontece.
A master class chegou ao fim, e é hora de passar para o nível de grande mestre - Como calcular a integral dupla? Exemplos de soluções. Vou tentar não ser tão maníaco no segundo artigo =)
Desejo-lhe sucesso!
Soluções e respostas:
Exemplo 2:Solução:
Desenhe uma área no desenho:
Vamos escolher a seguinte ordem de travessia da região:
Nesse caminho: 
Vamos para as funções inversas:
Nesse caminho: 
Responda:
Exemplo 4:Solução:
Vamos para as funções diretas:
Vamos executar o desenho:
Vamos alterar a ordem de travessia da área:
Responda:
Agora nos voltamos para a consideração de aplicações do cálculo integral. Nesta lição, analisaremos uma tarefa típica e mais comum. calcular a área de uma figura plana usando uma integral definida. Finalmente, todos aqueles que procuram significado na matemática superior - que eles o encontrem. Nunca se sabe. Na vida real, você terá que aproximar uma casa de verão com funções elementares e encontrar sua área usando uma determinada integral.
Para dominar o material com sucesso, você deve:
1) Compreender a integral indefinida pelo menos em um nível intermediário. Assim, os manequins devem primeiro ler a lição Não.
2) Ser capaz de aplicar a fórmula de Newton-Leibniz e calcular a integral definida. Você pode estabelecer relações amigáveis com certas integrais na página Integral definida. Exemplos de soluções. A tarefa "calcular a área usando uma integral definida" sempre envolve a construção de um desenho, portanto, seus conhecimentos e habilidades de desenho também serão uma questão urgente. No mínimo, deve-se ser capaz de construir uma linha reta, uma parábola e uma hipérbole.
Vamos começar com um trapézio curvilíneo. Um trapézio curvilíneo é uma figura plana limitada pelo gráfico de alguma função y = f(x), eixo BOI e linhas x = uma; x = b.
A área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral
Qualquer integral definida (que existe) tem um significado geométrico muito bom. Na lição Integral definida. Exemplos de soluções dissemos que uma integral definida é um número. E agora é hora de declarar outro fato útil. Do ponto de vista da geometria, a integral definida é a ÁREA. Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Considere a integral definida
Integrando
define uma curva no plano (pode ser desenhada se desejado), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.
Exemplo 1
, , , .
Esta é uma declaração de tarefa típica. O momento mais importante soluções - desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.
Ao construir um blueprint, recomendo a seguinte ordem: primeiroé melhor construir todas as linhas (se houver) e apenas depois- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. A técnica de construção ponto a ponto pode ser encontrada no material de referência Gráficos e propriedades de funções elementares. Lá você também pode encontrar material muito útil em relação à nossa lição - como construir rapidamente uma parábola.
Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer um desenho (note que a equação y= 0 especifica o eixo BOI):
Não vamos eclodir o trapézio curvilíneo, é óbvio de que área estamos falando aqui. A solução continua assim:
No intervalo [-2; 1] gráfico de função y = x 2 + 2 localizado sobre o eixoBOI, é por isso:
Responda: .
Quem tem dificuldade em calcular a integral definida e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz
,
consulte a palestra Integral definida. Exemplos de soluções. Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, “a olho” contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células obviamente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.
Exemplo 2
Calcular a área de uma figura delimitada por linhas xy = 4, x = 2, x= 4 e eixo BOI.
Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixoBOI?
Exemplo 3
Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y = ex, x= 1 e eixos coordenados.
Solução: Vamos fazer um desenho:
Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo BOI , então sua área pode ser encontrada pela fórmula:
Nesse caso:
.
Atenção! Os dois tipos de tarefas não devem ser confundidos:
1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.
2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.
Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.
Exemplo 4
Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas y = 2x – x 2 , y = -x.
Solução: Primeiro você precisa fazer um desenho. Ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Encontre os pontos de interseção da parábola y = 2x – x 2 e direto y = -x. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:
Portanto, o limite inferior de integração uma= 0, limite superior de integração b= 3. Muitas vezes é mais lucrativo e rápido construir linhas ponto a ponto, enquanto os limites da integração são descobertos “por si mesmos”. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma linha reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho:
Repetimos que na construção pontual, os limites de integração são mais frequentemente descobertos “automaticamente”.
E agora a fórmula de trabalho:
Se no segmento [ uma; b] alguma função contínua f(x) maior ou igual alguma função contínua g(x), então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula:
Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo, mas importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está ABAIXO.
No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, de 2 x – x 2 deve ser subtraído - x.
A conclusão da solução pode ficar assim:
A figura desejada é limitada por uma parábola y = 2x – x 2 superior e reto y = -x de baixo.
No segmento 2 x – x 2 ≥ -x. De acordo com a fórmula correspondente:
Responda: .
De fato, a fórmula escolar para a área de um trapézio curvilíneo no semiplano inferior (veja o exemplo nº 3) é um caso especial da fórmula
.
Desde o eixo BOIé dado pela equação y= 0, e o gráfico da função g(x) está localizado abaixo do eixo BOI, então
.
E agora alguns exemplos para uma solução independente
Exemplo 5
Exemplo 6
Encontre a área de uma figura delimitada por linhas
Ao resolver problemas para calcular a área usando uma determinada integral, às vezes acontece um incidente engraçado. O desenho foi feito corretamente, os cálculos estavam corretos, mas, por desatenção, ... encontrou a área da figura errada.
Exemplo 7
Vamos desenhar primeiro:
A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(olhe atentamente para a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, devido à desatenção, eles geralmente decidem que precisam encontrar a área da figura sombreada em verde!
Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas. Sério:
1) No segmento [-1; 1] acima do eixo BOI o gráfico é reto y = x+1;
2) No segmento acima do eixo BOI o gráfico da hipérbole está localizado y = (2/x).
É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser adicionadas, portanto:
Responda:
Exemplo 8
Calcular a área de uma figura delimitada por linhas
Vamos apresentar as equações na forma "escola"
e faça o desenho da linha:
Pode-se ver pelo desenho que nosso limite superior é “bom”: b = 1.
Mas qual é o limite inferior? É claro que isso não é um número inteiro, mas o quê?
Talvez, uma=(-1/3)? Mas onde está a garantia de que o desenho é feito com perfeita precisão, pode acontecer que uma=(-1/4). E se não acertarmos o gráfico?
Nesses casos, é preciso gastar mais tempo e refinar analiticamente os limites da integração.
Encontre os pontos de interseção dos gráficos
Para isso, resolvemos a equação:
.
Consequentemente, uma=(-1/3).
A outra solução é trivial. O principal é não se confundir em substituições e sinais. Os cálculos aqui não são os mais fáceis. No segmento
, 
,
de acordo com a fórmula correspondente:
Responda: 
Na conclusão da lição, consideraremos duas tarefas mais difíceis.
Exemplo 9
Calcular a área de uma figura delimitada por linhas
Solução: Desenhe esta figura no desenho.
Para desenhar um desenho ponto a ponto, você precisa conhecer a aparência da senóide. Em geral, é útil conhecer os gráficos de todas as funções elementares, bem como alguns valores do seno. Eles podem ser encontrados na tabela de valores funções trigonométricas . Em alguns casos (por exemplo, neste caso), é permitido construir um desenho esquemático, no qual gráficos e limites de integração devem ser exibidos em princípio corretamente.
Não há problemas com os limites de integração aqui, eles seguem diretamente da condição:
- "x" muda de zero para "pi". Tomamos mais uma decisão:
No segmento, o gráfico da função y= pecado 3 x localizado acima do eixo BOI, é por isso:
(1) Você pode ver como senos e cossenos são integrados em potências ímpares na lição Integrais de funções trigonométricas. Retiramos um seno.
(2) Usamos a identidade trigonométrica básica na forma
(3) Vamos mudar a variável t= cos x, então: localizado acima do eixo , então:
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Observação: observe como a integral da tangente no cubo é tomada, aqui a consequência da principal identidade trigonométrica
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