Una delle figure volumetriche più semplici è una piramide triangolare, poiché consiste nel minor numero di facce da cui si può formare una figura nello spazio. In questo articolo considereremo le formule con cui puoi trovare il volume di un triangolare piramide corretta.
Secondo definizione comune Una piramide è un poligono, i cui vertici sono tutti collegati a un punto che non si trova nel piano di questo poligono. Se quest'ultimo è un triangolo, l'intera figura è chiamata piramide triangolare.
La piramide considerata è costituita da una base (triangolo) e tre facce laterali (triangoli). Il punto in cui le tre facce laterali sono collegate è chiamato vertice della figura. La perpendicolare caduta alla base da questo vertice è l'altezza della piramide. Se il punto di intersezione della perpendicolare con la base coincide con il punto di intersezione delle mediane del triangolo alla base, allora si parla di piramide regolare. In caso contrario, sarà in pendenza.
Come accennato, la base di una piramide triangolare può essere un triangolo tipo generale. Tuttavia, se è equilatero e la piramide stessa è diritta, allora parlano della figura tridimensionale corretta.
Ognuno ha 4 facce, 6 bordi e 4 vertici. Se le lunghezze di tutti i bordi sono uguali, tale figura è chiamata tetraedro.
Prima di scrivere una piramide triangolare regolare, diamo un'espressione per questo quantità fisica per una piramide generale. Questa espressione assomiglia a:
Qui S o è l'area della base, h è l'altezza della figura. Questa uguaglianza sarà valida per qualsiasi tipo di base del poligono della piramide, così come per il cono. Se alla base c'è un triangolo con lato a e altezza h o inferiore ad esso, la formula per il volume sarà scritta come segue:
Triangolare ha un triangolo equilatero alla base. È noto che l'altezza di questo triangolo è correlata alla lunghezza del suo lato dall'uguaglianza:
Sostituendo questa espressione nella formula del volume di una piramide triangolare, scritta nel paragrafo precedente, otteniamo:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Il volume di una piramide regolare a base triangolare è funzione della lunghezza del lato della base e dell'altezza della figura.
Poiché qualsiasi poligono regolare può essere inscritto in un cerchio il cui raggio determina in modo univoco la lunghezza del lato del poligono, allora questa formula può essere scritta in termini del raggio corrispondente r:
Questa formula è facilmente ricavabile dalla precedente, dato che il raggio r della circonferenza circoscritta per la lunghezza del lato a del triangolo è determinato dall'espressione:
Mostriamo come utilizzare le formule di cui sopra per risolvere problemi di geometria specifici.
È noto che il tetraedro ha una lunghezza del bordo di 7 cm Trova il volume di un tetraedro piramidale triangolare regolare.
Ricordiamo che un tetraedro è una piramide triangolare regolare in cui tutte le basi sono uguali tra loro. Per utilizzare la formula per il volume di una piramide triangolare regolare, devi calcolare due quantità:
Il primo valore è noto dalla condizione del problema:
Per determinare l'altezza, considerare la figura mostrata in figura.
Il triangolo contrassegnato ABC è un triangolo rettangolo in cui l'angolo ABC è 90o. Il lato AC è l'ipotenusa, la cui lunghezza è a. Con un semplice ragionamento geometrico, si può dimostrare che il lato BC ha lunghezza:
Si noti che la lunghezza BC è il raggio del cerchio circoscritto attorno al triangolo.
h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).
Ora puoi sostituire he a nella formula corrispondente per il volume:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Quindi, abbiamo ottenuto la formula per il volume di un tetraedro. Si può vedere che il volume dipende solo dalla lunghezza della nervatura. Se sostituiamo il valore della condizione del problema nell'espressione, otteniamo la risposta:
V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Se confrontiamo questo valore con il volume di un cubo che ha lo stesso bordo, otteniamo che il volume di un tetraedro è 8,5 volte inferiore. Ciò indica che il tetraedro è una figura compatta, che si realizza in alcune sostanze naturali. Ad esempio, la molecola di metano è tetraedrica e ogni atomo di carbonio nel diamante è collegato ad altri quattro atomi per formare un tetraedro.
Risolviamo un curioso problema geometrico. Supponiamo che ci sia una piramide regolare triangolare con un certo volume V 1 . Di quante volte si dovrebbe ridurre la dimensione di questa figura per ottenere una piramide omotetica ad essa con un volume tre volte più piccolo di quello originario?
Iniziamo a risolvere il problema scrivendo la formula per la piramide regolare originale:
V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.
Si ottenga il volume della figura richiesta dalla condizione del problema moltiplicando i suoi parametri per il coefficiente k. Abbiamo:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Poiché il rapporto tra i volumi delle figure è noto dalla condizione, otteniamo il valore del coefficiente k:
k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.
Si noti che avremmo ottenuto un valore simile del coefficiente k per un tipo arbitrario di piramide, e non solo per una triangolare regolare.
Definizione. Faccia laterale- questo è un triangolo in cui un angolo si trova in cima alla piramide e il lato opposto coincide con il lato della base (poligono).
Definizione. Costole laterali sono i lati comuni delle facce laterali. Una piramide ha tanti spigoli quanti sono gli angoli di un poligono.
Definizione. altezza della piramideè una perpendicolare caduta dalla sommità alla base della piramide.
Definizione. Apotema- questa è la perpendicolare della faccia laterale della piramide, abbassata dalla sommità della piramide al lato della base.
Definizione. Sezione diagonale- questa è una sezione della piramide di un piano passante per la sommità della piramide e la diagonale della base.
Definizione. Piramide corretta- Questa è una piramide in cui la base è un poligono regolare e l'altezza scende al centro della base.
Formula. volume piramidale attraverso l'area di base e l'altezza:
Se tutti i bordi laterali sono uguali, allora un cerchio può essere circoscritto attorno alla base della piramide e il centro della base coincide con il centro del cerchio. Inoltre, la perpendicolare caduta dall'alto passa per il centro della base (cerchio).
Se tutte le nervature laterali sono uguali, sono inclinate rispetto al piano di base con gli stessi angoli.
Le nervature laterali sono uguali quando formano angoli uguali con il piano di base, o se è possibile descrivere un cerchio attorno alla base della piramide.
Se le facce laterali sono inclinate di un angolo rispetto al piano della base, è possibile inscrivere un cerchio nella base della piramide e la sommità della piramide viene proiettata al centro.
Se le facce laterali sono inclinate di un angolo rispetto al piano di base, gli apotemi delle facce laterali sono uguali.
1. La sommità della piramide è equidistante da tutti gli angoli della base.
2. Tutti i bordi laterali sono uguali.
3. Tutte le nervature laterali sono inclinate con gli stessi angoli rispetto alla base.
4. Gli apotemi di tutte le facce laterali sono uguali.
5. Le aree di tutte le facce laterali sono uguali.
6. Tutte le facce hanno gli stessi angoli diedri (piatti).
7. Una sfera può essere descritta intorno alla piramide. Il centro della sfera descritta sarà il punto di intersezione delle perpendicolari che passano attraverso il centro dei bordi.
8. Una sfera può essere inscritta in una piramide. Il centro della sfera inscritta sarà il punto di intersezione delle bisettrici emanate dall'angolo tra il bordo e la base.
9. Se il centro della sfera inscritta coincide con il centro della sfera circoscritta, allora la somma degli angoli piatti all'apice è uguale a π o viceversa, un angolo è uguale a π / n, dove n è il numero di angoli alla base della piramide.
Una sfera può essere descritta attorno alla piramide quando alla base della piramide giace un poliedro attorno al quale può essere descritto un cerchio (condizione necessaria e sufficiente). Il centro della sfera sarà il punto di intersezione dei piani che passano perpendicolarmente attraverso i punti medi dei bordi laterali della piramide.
Una sfera può sempre essere descritta attorno a qualsiasi piramide triangolare o regolare.
Una sfera può essere inscritta in una piramide se i piani della bisettrice degli angoli diedri interni della piramide si intersecano in un punto (condizione necessaria e sufficiente). Questo punto sarà il centro della sfera.
Un cono si dice inscritto in una piramide se i suoi vertici coincidono e la base del cono è inscritta nella base della piramide.
Un cono può essere inscritto in una piramide se gli apotemi della piramide sono uguali.
Un cono si dice circoscritto attorno a una piramide se i suoi vertici coincidono e la base del cono è circoscritta attorno alla base della piramide.
Un cono può essere descritto attorno a una piramide se tutti i bordi laterali della piramide sono uguali tra loro.
Si dice che una piramide sia inscritta in un cilindro se la sommità della piramide giace su una base del cilindro e la base della piramide è inscritta in un'altra base del cilindro.
Un cilindro può essere circoscritto intorno a una piramide se un cerchio può essere circoscritto intorno alla base della piramide.
Un tetraedro ha quattro facce e quattro vertici e sei spigoli, dove due spigoli qualsiasi non hanno vertici comuni ma non si toccano.
Ogni vertice è costituito da tre facce e bordi che si formano angolo del triangolo.
Si chiama il segmento che collega il vertice del tetraedro con il centro della faccia opposta mediana del tetraedro(GM).
Bimedianoè chiamato segmento che collega i punti medi degli spigoli opposti che non si toccano (KL).
Tutti i bimediani e le mediane di un tetraedro si intersecano in un punto (S). In questo caso, le bimedie sono divise a metà e le mediane in un rapporto di 3:1 partendo dall'alto.
Definizione. Piramide ad angolo acutoè una piramide in cui l'apotema è più della metà della lunghezza del lato della base.
Definizione. piramide ottusaè una piramide in cui l'apotema è meno della metà della lunghezza del lato della base.
Definizione. tetraedro regolare Un tetraedro le cui quattro facce sono triangoli equilateri. È uno dei cinque poligoni regolari. In un tetraedro regolare, tutti gli angoli diedro (tra le facce) e gli angoli del triangolo (in corrispondenza di un vertice) sono uguali.
Definizione. tetraedro rettangolare viene chiamato un tetraedro che ha un angolo retto tra tre spigoli al vertice (i bordi sono perpendicolari). Si formano tre facce triangolo rettangolo rettangolare e le facce sono triangoli rettangoli e la base è un triangolo arbitrario. L'apotema di qualsiasi faccia è uguale alla metà del lato della base su cui cade l'apotema.
Definizione. tetraedro isoedrico Si chiama tetraedro in cui le facce laterali sono uguali tra loro e la base è un triangolo regolare. Le facce di un tale tetraedro sono triangoli isoscele.
Definizione. tetraedro ortocentrico si chiama tetraedro in cui tutte le altezze (perpendicolari) che si abbassano dall'alto alla faccia opposta si intersecano in un punto.
Definizione. piramide stellare Si chiama poliedro la cui base è una stella.
Una piramide è un poliedro con un poligono alla base. Tutte le facce, a loro volta, formano triangoli che convergono in un vertice. Le piramidi sono triangolari, quadrangolari e così via. Per determinare quale piramide si trova di fronte a te, è sufficiente contare il numero di angoli alla sua base. La definizione di "altezza della piramide" si trova molto spesso nei problemi di geometria in curriculum scolastico. Nell'articolo cercheremo di considerare diversi modi la sua posizione.
Parti della piramide
Ogni piramide è composta dai seguenti elementi:
Come trovare l'altezza di una piramide se si conosce il suo volume
Attraverso la formula V \u003d (S * h) / 3 (nella formula V è il volume, S è l'area di base, h è l'altezza della piramide), troviamo che h \u003d (3 * V) / S . Per consolidare il materiale, risolviamo immediatamente il problema. A base triangolareè 50 cm 2, mentre il suo volume è 125 cm 3. L'altezza della piramide triangolare è sconosciuta, che dobbiamo trovare. Qui tutto è semplice: inseriamo i dati nella nostra formula. Otteniamo h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Come trovare l'altezza di una piramide se si conoscono la lunghezza della diagonale e il suo bordo
Come ricordiamo, l'altezza della piramide forma un angolo retto con la sua base. E questo significa che l'altezza, il bordo e la metà della diagonale insieme formano Molti, ovviamente, ricordano il teorema di Pitagora. Conoscendo due dimensioni, non sarà difficile trovare il terzo valore. Ricordiamo il noto teorema a² = b² + c², dove a è l'ipotenusa, e nel nostro caso il bordo della piramide; b - la prima gamba o metà della diagonale e c - rispettivamente la seconda gamba o l'altezza della piramide. Da questa formula, c² = a² - b².
Ora il problema: in una piramide regolare la diagonale è di 20 cm, mentre la lunghezza del bordo è di 30 cm, devi trovare l'altezza. Risolviamo: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Quindi c \u003d √ 500 \u003d circa 22,4.
Come trovare l'altezza di una piramide tronca
È un poligono che ha una sezione parallela alla sua base. L'altezza di una piramide tronca è il segmento che collega le sue due basi. L'altezza può essere trovata a una piramide regolare se si conoscono le lunghezze delle diagonali di entrambe le basi, nonché il bordo della piramide. Passiamo alla diagonale motivo in piùè uguale a d1, mentre la diagonale della base più piccola è d2 e il bordo ha lunghezza - l. Per trovare l'altezza, puoi abbassare le altezze dai due punti opposti superiori del diagramma alla sua base. Vediamo che abbiamo due triangoli rettangoli, resta da trovare la lunghezza delle loro gambe. Per fare ciò, sottrai la diagonale più piccola dalla diagonale più grande e dividi per 2. Quindi troveremo una gamba: a \u003d (d1-d2) / 2. Dopodiché, secondo il teorema di Pitagora, dobbiamo solo trovare la seconda gamba, che è l'altezza della piramide.
Ora diamo un'occhiata a tutta questa faccenda in pratica. Abbiamo un compito davanti a noi. Il tronco piramidale ha un quadrato alla base, la diagonale della base più grande è di 10 cm, mentre quella più piccola è di 6 cm, e il bordo è di 4 cm, occorre trovare l'altezza. Per cominciare, troviamo una gamba: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm Una gamba è 2 cm e l'ipotenusa è 4 cm Si scopre che la seconda gamba o altezza sarà 16- 4 \u003d 12, ovvero h \u003d √12 = circa 3,5 cm.
Come appare?
Vedi: alla piramide sottostante (si dice " alla base"") un poligono e tutti i vertici di questo poligono sono collegati a un punto nello spazio (questo punto è chiamato " vertice»).
Tutta questa struttura ha facce laterali, nervature laterali e nervature di base. Ancora una volta, disegniamo una piramide insieme a tutti questi nomi:
Alcune piramidi possono sembrare molto strane, ma sono pur sempre piramidi.
Qui, ad esempio, abbastanza "obliquo" piramide.
E un po' di più sui nomi: se c'è un triangolo alla base della piramide, allora la piramide è chiamata triangolare;
Allo stesso tempo, il punto in cui è caduto altezza, è chiamato altezza base. Nota che nelle piramidi "storte". altezza potrebbe anche essere al di fuori della piramide. Come questo:
E non c'è niente di terribile in questo. Sembra un triangolo ottuso.
Molti parole complesse? Decifriamo: " Alla base - corretto"- questo è comprensibile. E ora ricorda che un poligono regolare ha un centro, un punto che è il centro di e , e .
Bene, e le parole "la parte superiore è proiettata al centro della base" significano che la base dell'altezza cade esattamente al centro della base. Guarda come sembra liscio e carino piramide destra.
Esagonale: alla base - un esagono regolare, il vertice è proiettato al centro della base.
quadrangolare: alla base - un quadrato, la parte superiore è proiettata nel punto di intersezione delle diagonali di questo quadrato.
triangolare: alla base c'è un triangolo regolare, il vertice è proiettato nel punto di intersezione delle altezze (sono anche mediane e bisettrici) di questo triangolo.
Altamente proprietà importanti di una piramide regolare:
Nella piramide di destra
Da dove viene esattamente? Non è così semplice e all'inizio devi solo ricordare che la piramide e il cono hanno volume nella formula, ma il cilindro no.
Ora calcoliamo il volume delle piramidi più popolari.
Lascia che il lato della base sia uguale e il bordo laterale uguale. Ho bisogno di trovare e.
Questa è l'area di un triangolo rettangolo.
Ricordiamo come cercare quest'area. Usiamo la formula dell'area:
Abbiamo "" - questo e "" - anche questo, eh.
Ora troviamo.
Secondo il teorema di Pitagora per
Cosa importa? Questo è il raggio del cerchio circoscritto in, perché piramidecorretta e quindi il centro.
Poiché - anche il punto di intersezione e la mediana.
(Teorema di Pitagora per)
Sostituisci nella formula per.
Inseriamo tutto nella formula del volume:
Attenzione: se hai un tetraedro regolare (cioè), la formula è:
Lascia che il lato della base sia uguale e il bordo laterale uguale.
Non è necessario cercare qui; perché alla base c'è un quadrato, e quindi.
Cerchiamo. Secondo il teorema di Pitagora per
Sappiamo? Quasi. Aspetto:
(l'abbiamo visto recensindo).
Sostituisci nella formula per:
E ora sostituiamo e nella formula del volume.
Lascia che il lato della base sia uguale e il bordo laterale.
Come trovare? Guarda, un esagono è composto esattamente da sei triangoli regolari identici. Abbiamo già cercato l'area di un triangolo regolare quando calcoliamo il volume di una piramide triangolare regolare, qui utilizziamo la formula trovata.
Ora troviamo (questo).
Secondo il teorema di Pitagora per
Ma cosa importa? È semplice perché (e anche tutti gli altri) è corretto.
Sostituiamo:
\ displaystyle V=\ frac(\ sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))
Una piramide è un poliedro costituito da qualsiasi poligono piatto (), un punto che non giace sul piano della base (parte superiore della piramide) e tutti i segmenti che collegano la parte superiore della piramide ai punti base (bordi laterali).
Una perpendicolare caduta dalla sommità della piramide al piano della base.
Piramide corretta- una piramide, che ha un poligono regolare alla base, e la sommità della piramide è proiettata al centro della base.
Proprietà di una piramide regolare:
Volume della piramide:
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