§ 1º Sistema de coordenadas: definição e método de construção
Nesta lição, vamos nos familiarizar com os conceitos de "sistema de coordenadas", "plano de coordenadas", "eixos de coordenadas", aprenderemos a construir pontos no plano de acordo com as coordenadas.
Pegue a linha de coordenadas x com o ponto de origem O, a direção positiva e o segmento unitário.
Através do ponto de origem O da linha coordenada x desenhamos outra linha coordenada y perpendicular a x, definimos a direção positiva para cima, o segmento unitário é o mesmo. Assim, construímos um sistema de coordenadas.
Vamos dar uma definição:
Duas linhas de coordenadas mutuamente perpendiculares que se cruzam no ponto, que é a origem de cada uma delas, formam um sistema de coordenadas.
§ 2 Eixo de coordenadas e plano de coordenadas
As linhas que formam o sistema de coordenadas são chamadas de eixos de coordenadas, cada um com seu próprio nome: a linha de coordenadas x é o eixo de abcissas, a linha de coordenadas y é o eixo de ordenadas.
O plano no qual o sistema de coordenadas é escolhido é chamado de plano de coordenadas.
O sistema de coordenadas descrito é chamado de retangular. Muitas vezes é chamado de sistema de coordenadas cartesianas em homenagem ao filósofo e matemático francês René Descartes.
Cada ponto do plano de coordenadas tem duas coordenadas, que podem ser determinadas soltando as perpendiculares no eixo de coordenadas a partir do ponto. As coordenadas de um ponto no plano são um par de números, dos quais o primeiro número é a abcissa, o segundo número é a ordenada. A abcissa mostra a perpendicular ao eixo x, a ordenada mostra a perpendicular ao eixo y.
Marcamos o ponto A no plano de coordenadas, traçamos perpendiculares dele aos eixos do sistema de coordenadas.
Ao longo da perpendicular ao eixo das abcissas (eixo x), determinamos a abcissa do ponto A, é igual a 4, a ordenada do ponto A - ao longo da perpendicular ao eixo das ordenadas (eixo y) é 3. As coordenadas do nosso ponto são 4 e 3. A (4; 3). Assim, as coordenadas podem ser encontradas para qualquer ponto no plano de coordenadas.
§ 3 Construção de um ponto em um plano
E como construir um ponto em um plano com as coordenadas dadas, ou seja, determinar sua posição a partir das coordenadas de um ponto em um plano? NO este caso ações são realizadas em ordem reversa. Nos eixos coordenados encontramos os pontos correspondentes às coordenadas dadas, através dos quais traçamos linhas retas perpendiculares aos eixos xey. O ponto de intersecção das perpendiculares será o desejado, ou seja, ponto com as coordenadas dadas.
Vamos completar a tarefa: construir um ponto M (2; -3) no plano de coordenadas.
Para fazer isso, no eixo x encontramos um ponto com coordenada 2, traçamos uma linha reta perpendicular ao eixo x através deste ponto. No eixo y encontramos um ponto com coordenada -3, através dele traçamos uma linha perpendicular ao eixo y. O ponto de intersecção das linhas perpendiculares será o ponto dado M.
Agora vamos ver alguns casos especiais.
Marcamos os pontos A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) no plano de coordenadas.
As abcissas desses pontos são iguais a 0. A figura mostra que todos os pontos estão no eixo y.
Portanto, os pontos cujas abcissas são iguais a zero estão no eixo y.
Vamos trocar as coordenadas desses pontos.
Obtenha A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0). Neste caso, todas as ordenadas são 0 e os pontos estão no eixo x.
Isso significa que os pontos cujas ordenadas são iguais a zero estão no eixo das abcissas.
Vamos considerar mais dois casos.
No plano de coordenadas, marque os pontos M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).
É fácil ver que todas as abscissas dos pontos são iguais. Se esses pontos estiverem conectados, você obtém uma linha reta paralela ao eixo das ordenadas e perpendicular ao eixo das abcissas.
A conclusão sugere-se: pontos que têm a mesma abcissa estão na mesma reta, que é paralela ao eixo das ordenadas e perpendicular ao eixo das abcissas.
Se alterarmos as coordenadas dos pontos M, N, P em lugares, obtemos M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). As ordenadas dos pontos serão as mesmas. Nesse caso, se você conectar esses pontos, obterá uma linha reta paralela ao eixo das abcissas e perpendicular ao eixo das ordenadas.
Assim, pontos com a mesma ordenada estão na mesma reta paralela ao eixo das abcissas e perpendicular ao eixo das ordenadas.
Nesta lição, você se familiarizou com os conceitos de "sistema de coordenadas", "plano de coordenadas", "eixos de coordenadas - o eixo das abcissas e o eixo y". Aprendemos a encontrar as coordenadas de um ponto em um plano de coordenadas e aprendemos a construir pontos em um plano por suas coordenadas.
Lista de literatura usada:
A matemática é uma ciência bastante complexa. Ao estudá-lo, é preciso não apenas resolver exemplos e problemas, mas também trabalhar com várias figuras e até planos. Um dos mais usados na matemática é o sistema de coordenadas no plano. As crianças foram ensinadas a trabalhar com ele corretamente por mais de um ano. Portanto, é importante saber o que é e como trabalhar com ele corretamente.
Vamos descobrir o que é esse sistema, quais ações você pode realizar com ele e também descobrir suas principais características e recursos.
Um plano de coordenadas é um plano no qual um determinado sistema de coordenadas é definido. Tal plano é definido por duas linhas retas que se cruzam em um ângulo reto. O ponto de intersecção dessas linhas é a origem das coordenadas. Cada ponto no plano de coordenadas é dado por um par de números, que são chamados de coordenadas.
NO curso escolar Em matemática, as crianças em idade escolar precisam trabalhar muito de perto com o sistema de coordenadas - construir figuras e pontos nele, determinar a qual plano uma determinada coordenada pertence e também determinar as coordenadas de um ponto e escrever ou nomeá-las. Portanto, vamos falar com mais detalhes sobre todos os recursos das coordenadas. Mas primeiro, vamos falar sobre a história da criação, e então vamos falar sobre como trabalhar no plano coordenado.
As idéias sobre a criação de um sistema de coordenadas estavam nos dias de Ptolomeu. Mesmo assim, astrônomos e matemáticos estavam pensando em como aprender a definir a posição de um ponto em um plano. Infelizmente, naquela época não havia nenhum sistema de coordenadas conhecido por nós, e os cientistas tiveram que usar outros sistemas.
Inicialmente, eles definem pontos especificando latitude e longitude. Por muito tempo era uma das formas mais utilizadas de mapear esta ou aquela informação. Mas em 1637, René Descartes criou seu próprio sistema de coordenadas, mais tarde nomeado em homenagem a "Cartesiano".
Já no final do século XVII. o conceito de "plano coordenado" tornou-se amplamente utilizado no mundo da matemática. Apesar de vários séculos terem se passado desde a criação desse sistema, ele ainda é amplamente utilizado na matemática e até na vida.
Antes de falar sobre a teoria, vamos dar uma olhada em alguns bons exemplos plano de coordenadas para que você possa visualizá-lo. O sistema de coordenadas é usado principalmente no xadrez. No tabuleiro, cada quadrado tem suas próprias coordenadas - uma coordenada de letra, a segunda - digital. Com sua ajuda, você pode determinar a posição de uma peça específica no tabuleiro.
segundo mais um excelente exemplo o amado por muitos jogo "Battleship" pode servir. Lembre-se de como, ao jogar, você nomeia uma coordenada, por exemplo, B3, indicando exatamente para onde você está mirando. Ao mesmo tempo, ao posicionar as naves, você define pontos no plano de coordenadas.
Este sistema de coordenadas é amplamente utilizado não apenas em matemática, jogos de lógica, mas também em assuntos militares, astronomia, física e muitas outras ciências.
Como já mencionado, dois eixos são distinguidos no sistema de coordenadas. Vamos falar um pouco sobre eles, pois são de considerável importância.
O primeiro eixo - abcissa - é horizontal. É indicado como ( Boi). O segundo eixo é a ordenada, que passa verticalmente pelo ponto de referência e é denotada como ( Oi). São esses dois eixos que formam o sistema de coordenadas, dividindo o plano em quatro quartos. A origem está localizada no ponto de interseção desses dois eixos e assume o valor 0 . Somente se o plano for formado por dois eixos que se cruzam perpendicularmente e têm um ponto de referência, é um plano coordenado.
Observe também que cada um dos eixos tem sua própria direção. Normalmente, ao construir um sistema de coordenadas, costuma-se indicar a direção do eixo na forma de uma seta. Além disso, ao construir o plano de coordenadas, cada um dos eixos é assinado.
Agora vamos dizer algumas palavras sobre um conceito como quartos do plano coordenado. O plano é dividido por dois eixos em quatro quartos. Cada um deles tem seu próprio número, enquanto a numeração dos planos é anti-horária.
Cada um dos bairros tem suas próprias características. Assim, no primeiro trimestre, a abcissa e a ordenada são positivas, no segundo trimestre, a abcissa é negativa, a ordenada é positiva, no terceiro, tanto a abcissa quanto a ordenada são negativas, no quarto, a abcissa é positivo e a ordenada é negativa.
Ao lembrar desses recursos, você pode determinar facilmente a qual trimestre um determinado ponto pertence. Além disso, esta informação pode ser útil se você tiver que fazer cálculos usando o sistema cartesiano.
Quando tivermos lidado com o conceito de um plano e falado sobre seus quartos, podemos passar para um problema como trabalhar com esse sistema e também falar sobre como colocar pontos, coordenadas de figuras nele. No plano de coordenadas, isso não é tão difícil quanto pode parecer à primeira vista.
Em primeiro lugar, o próprio sistema é construído, todas as designações importantes são aplicadas a ele. Depois, há trabalho diretamente com pontos ou figuras. Nesse caso, mesmo na construção de figuras, os pontos são aplicados primeiro ao plano e, em seguida, as figuras já são desenhadas.
Se você decidir começar a marcar formas e pontos no papel, precisará de um plano de coordenadas. As coordenadas dos pontos são plotadas nele. Para construir um plano de coordenadas, você só precisa de uma régua e uma caneta ou lápis. Primeiro desenha-se a abcissa horizontal, depois a vertical - ordenada. É importante lembrar que os eixos se cruzam em ângulos retos.
Próximo item obrigatório está marcando. Os segmentos de unidades são marcados e assinados em cada um dos eixos em ambas as direções. Isso é feito para que você possa trabalhar com o avião com a máxima comodidade.
Agora vamos falar sobre como plotar as coordenadas dos pontos no plano de coordenadas. Este é o básico que você precisa saber para colocar com sucesso uma variedade de formas no plano e até mesmo marcar equações.
Ao construir pontos, deve-se lembrar como suas coordenadas são registradas corretamente. Então, geralmente definindo um ponto, dois números são escritos entre colchetes. O primeiro dígito indica a coordenada do ponto ao longo do eixo das abcissas, o segundo - ao longo do eixo das ordenadas.
O ponto deve ser construído desta forma. Marque primeiro no eixo Boi dado ponto, então marque um ponto no eixo Oi. Em seguida, desenhe linhas imaginárias dessas designações e encontre o local de sua interseção - este será o ponto dado.
Tudo que você tem a fazer é marcá-lo e assiná-lo. Como você pode ver, tudo é bastante simples e não requer habilidades especiais.
Agora vamos passar para uma questão como a construção de figuras no plano coordenado. Para construir qualquer figura no plano de coordenadas, você deve saber como colocar pontos nele. Se você sabe como fazer isso, colocar uma figura em um avião não é tão difícil.
Em primeiro lugar, você precisará das coordenadas dos pontos da figura. É neles que vamos aplicar os que você escolheu ao nosso sistema de coordenadas.Vamos considerar desenhar um retângulo, um triângulo e um círculo.
Vamos começar com um retângulo. Aplicá-lo é bem fácil. Primeiro, quatro pontos são aplicados ao plano, indicando os cantos do retângulo. Então todos os pontos são sequencialmente conectados uns aos outros.
Desenhar um triângulo não é diferente. A única coisa é que ele tem três vértices, o que significa que três pontos são aplicados ao plano, denotando seus vértices.
Em relação ao círculo, aqui você deve saber as coordenadas de dois pontos. O primeiro ponto é o centro do círculo, o segundo é o ponto que denota seu raio. Esses dois pontos são plotados em um plano. Em seguida, uma bússola é tomada, a distância entre dois pontos é medida. A ponta da bússola é colocada em um ponto que denota o centro, e um círculo é descrito.
Como você pode ver, também não há nada complicado aqui, o principal é que sempre há uma régua e um compasso à mão.
Agora você sabe como plotar coordenadas de forma. No plano de coordenadas, isso não é tão difícil de fazer, como pode parecer à primeira vista.
Então, consideramos com você um dos conceitos mais interessantes e básicos para a matemática com os quais todo aluno deve lidar.
Descobrimos que o plano coordenado é o plano formado pela intersecção de dois eixos. Com sua ajuda, você pode definir as coordenadas dos pontos, colocar formas nele. O avião é dividido em quartos, cada um com suas próprias características.
A principal habilidade que deve ser desenvolvida ao trabalhar com o plano de coordenadas é a capacidade de plotar corretamente determinados pontos nele. Para isso você precisa saber localização correta eixos, características de quartos, bem como as regras pelas quais as coordenadas dos pontos são definidas.
Esperamos que as informações fornecidas por nós tenham sido acessíveis e compreensíveis, e também tenham sido úteis para você e tenham ajudado a entender melhor este tema.
Entendendo o Plano de Coordenadas
Cada objeto (por exemplo, uma casa, um lugar no auditório, um ponto no mapa) tem seu próprio endereço ordenado (coordenadas), que tem uma designação numérica ou alfabética.
Os matemáticos desenvolveram um modelo que permite determinar a posição de um objeto e é chamado de plano de coordenadas.
Para construir um plano de coordenadas, você precisa desenhar $2$ linhas perpendiculares , no final das quais são indicadas com as setas da direção "direita" e "para cima". As divisões são aplicadas às linhas, e o ponto de interseção das linhas é a marca zero para ambas as escalas.
Definição 1
A linha horizontal é chamada eixo x e é denotado por x, e a linha vertical é chamada eixo y e está marcado com y.
Dois eixos perpendiculares x e y com divisões são retangular, ou cartesiano, sistema de coordenadas proposta pelo filósofo e matemático francês René Descartes.
Plano de coordenadas
Um ponto no plano de coordenadas é definido por duas coordenadas.
Para determinar as coordenadas do ponto $A$ no plano de coordenadas, você precisa desenhar linhas retas através dele, que serão paralelas aos eixos de coordenadas (na figura eles estão marcados com uma linha pontilhada). A intersecção da linha com o eixo x dá a coordenada $x$ de $A$, e a intersecção com o eixo y dá a coordenada y de $A$. Ao escrever as coordenadas de um ponto, escreve-se primeiro a coordenada $x$ e depois a coordenada $y$.
O ponto $A$ na figura tem coordenadas $(3; 2)$ e o ponto $B (–1; 4)$.
Para traçar um ponto em um plano de coordenadas, proceda na ordem inversa.
Exemplo 1
Construir os pontos $A(2;5)$ e $B(3; –1).$ no plano de coordenadas
Solução.
Ponto de construção $A$:
Ponto de construção $B$:
Exemplo 2
Construa pontos no plano de coordenadas com as coordenadas fornecidas $C (3; 0)$ e $D(0; 2)$.
Solução.
Construção do ponto $C$:
Construção do ponto $D$:
Observação 1
Portanto, na coordenada $x=0$ o ponto estará no eixo $y$, e na coordenada $y=0$ o ponto estará no eixo $x$.
Exemplo 3
Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D.$
Solução.
Vamos determinar as coordenadas do ponto $A$. Para fazer isso, traçamos linhas retas por este ponto $2$, que serão paralelas aos eixos coordenados. A interseção de uma reta com o eixo de abcissas dá a coordenada $x$, a interseção da reta com o eixo y dá a coordenada $y$. Assim, obtemos que o ponto $A (1; 3).$
Vamos determinar as coordenadas do ponto $B$. Para fazer isso, traçamos linhas retas por este ponto $2$, que serão paralelas aos eixos coordenados. A interseção de uma reta com o eixo de abcissas dá a coordenada $x$, a interseção da reta com o eixo y dá a coordenada $y$. Obtemos que o ponto $B (–2; 4).$
Vamos determinar as coordenadas do ponto $C$. Porque está localizado no eixo $y$, então a coordenada $x$ deste ponto é igual a zero. A coordenada y é $–2$. Assim, o ponto é $C(0; –2)$.
Vamos determinar as coordenadas do ponto $D$. Porque está no eixo $x$, então a coordenada $y$ é igual a zero. A coordenada $x$ deste ponto é $–5$. Assim, o ponto $D (5; 0).$
Exemplo 4
Construir pontos $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Solução.
Construção do ponto $E$:
Ponto de construção $F$:
Construção do ponto $G$:
Construção do ponto $H$:
Construção do ponto $O$:
Entendendo o Plano de Coordenadas
Cada objeto (por exemplo, uma casa, um lugar no auditório, um ponto no mapa) tem seu próprio endereço ordenado (coordenadas), que tem uma designação numérica ou alfabética.
Os matemáticos desenvolveram um modelo que permite determinar a posição de um objeto e é chamado de plano de coordenadas.
Para construir um plano de coordenadas, você precisa desenhar $2$ linhas perpendiculares , no final das quais são indicadas com as setas da direção "direita" e "para cima". As divisões são aplicadas às linhas, e o ponto de interseção das linhas é a marca zero para ambas as escalas.
Definição 1
A linha horizontal é chamada eixo x e é denotado por x, e a linha vertical é chamada eixo y e está marcado com y.
Dois eixos perpendiculares x e y com divisões são retangular, ou cartesiano, sistema de coordenadas proposta pelo filósofo e matemático francês René Descartes.
Plano de coordenadas
Um ponto no plano de coordenadas é definido por duas coordenadas.
Para determinar as coordenadas do ponto $A$ no plano de coordenadas, você precisa desenhar linhas retas através dele, que serão paralelas aos eixos de coordenadas (na figura eles estão marcados com uma linha pontilhada). A intersecção da linha com o eixo x dá a coordenada $x$ de $A$, e a intersecção com o eixo y dá a coordenada y de $A$. Ao escrever as coordenadas de um ponto, escreve-se primeiro a coordenada $x$ e depois a coordenada $y$.
O ponto $A$ na figura tem coordenadas $(3; 2)$ e o ponto $B (–1; 4)$.
Para traçar um ponto em um plano de coordenadas, proceda na ordem inversa.
Exemplo 1
Construir os pontos $A(2;5)$ e $B(3; –1).$ no plano de coordenadas
Solução.
Ponto de construção $A$:
Ponto de construção $B$:
Exemplo 2
Construa pontos no plano de coordenadas com as coordenadas fornecidas $C (3; 0)$ e $D(0; 2)$.
Solução.
Construção do ponto $C$:
Construção do ponto $D$:
Observação 1
Portanto, na coordenada $x=0$ o ponto estará no eixo $y$, e na coordenada $y=0$ o ponto estará no eixo $x$.
Exemplo 3
Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D.$
Solução.
Vamos determinar as coordenadas do ponto $A$. Para fazer isso, traçamos linhas retas por este ponto $2$, que serão paralelas aos eixos coordenados. A interseção de uma reta com o eixo de abcissas dá a coordenada $x$, a interseção da reta com o eixo y dá a coordenada $y$. Assim, obtemos que o ponto $A (1; 3).$
Vamos determinar as coordenadas do ponto $B$. Para fazer isso, traçamos linhas retas por este ponto $2$, que serão paralelas aos eixos coordenados. A interseção de uma reta com o eixo de abcissas dá a coordenada $x$, a interseção da reta com o eixo y dá a coordenada $y$. Obtemos que o ponto $B (–2; 4).$
Vamos determinar as coordenadas do ponto $C$. Porque está localizado no eixo $y$, então a coordenada $x$ deste ponto é igual a zero. A coordenada y é $–2$. Assim, o ponto é $C(0; –2)$.
Vamos determinar as coordenadas do ponto $D$. Porque está no eixo $x$, então a coordenada $y$ é igual a zero. A coordenada $x$ deste ponto é $–5$. Assim, o ponto $D (5; 0).$
Exemplo 4
Construir pontos $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Solução.
Construção do ponto $E$:
Ponto de construção $F$:
Construção do ponto $G$:
Construção do ponto $H$:
Construção do ponto $O$:
