O volume de um corpo de revolução pode ser calculado pela fórmula:
Na fórmula, deve haver um número antes da integral. Simplesmente aconteceu - tudo o que gira na vida está conectado com essa constante.
Como definir os limites de integração "a" e "ser", eu acho, é fácil de adivinhar a partir do desenho completo.
Função... que função é esta? Vejamos o desenho. A figura plana é delimitada pelo gráfico parabólico no topo. Esta é a função que está implícita na fórmula.
Em tarefas práticas, uma figura plana às vezes pode estar localizada abaixo do eixo. Isso não muda nada - o integrando na fórmula é elevado ao quadrado:, portanto integral é sempre não negativo , o que é bastante lógico.
Calcule o volume do corpo de revolução usando esta fórmula:
Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.
Responda: 
Na resposta, é necessário indicar a dimensão - unidades cúbicas. Ou seja, em nosso corpo de rotação existem aproximadamente 3,35 "cubos". Por que exatamente cúbico unidades? Porque a formulação mais universal. Pode ser centímetros cúbicos, pode ser Metros cúbicos, talvez quilômetros cúbicos, etc., é quantos homenzinhos verdes sua imaginação pode caber em um disco voador.
Exemplo 2
Encontre o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo da figura delimitada por linhas,,
Este é um exemplo faça-você-mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
Vamos considerar dois problemas mais complexos, que também são frequentemente encontrados na prática.
Exemplo 3
Calcule o volume do corpo obtido girando em torno do eixo das abcissas da figura delimitada pelas linhas ,, e
Solução: Vamos desenhar uma figura plana no desenho, delimitada por linhas ,,,, sem esquecer que a equação define o eixo:
A figura desejada é sombreada em azul. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um donut surreal com quatro cantos.
O volume do corpo de revolução é calculado como diferença de volume corporal.
Primeiro, vamos olhar para a figura que está circulada em vermelho. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um cone truncado. Denote o volume deste cone truncado por.
Considere a figura que está circulada em verde. Se girar esta figura ao redor do eixo, você também obterá um cone truncado, apenas um pouco menor. Vamos denotar seu volume por .
E, obviamente, a diferença de volumes é exatamente o volume do nosso “donut”.
Usamos a fórmula padrão para encontrar o volume de um corpo de revolução:
1) A figura circulada em vermelho é limitada por cima por uma linha reta, portanto:
2) A figura circulada em verde é delimitada por cima por uma linha reta, portanto:
3) O volume do corpo de revolução desejado:
Responda:
É curioso que em este caso a solução pode ser verificada usando a fórmula escolar para calcular o volume de um cone truncado.
A decisão em si costuma ser mais curta, algo assim:
Agora vamos fazer uma pausa e falar sobre ilusões geométricas.
As pessoas costumam ter ilusões associadas a volumes, que Perelman (outro) notou no livro geometria interessante. Observe a figura plana no problema resolvido - parece ser pequena em área e o volume do corpo de revolução é de pouco mais de 50 unidades cúbicas, o que parece muito grande. A propósito, uma pessoa média em toda a sua vida bebe um líquido com o volume de uma sala com uma área de 18 metros quadrados, que, pelo contrário, parece ser muito pequeno.
Em geral, o sistema educacional da URSS era realmente o melhor. O mesmo livro de Perelman, publicado em 1950, desenvolve muito bem, como dizia o humorista, o raciocínio e ensina a buscar soluções originais não padronizadas para os problemas. Recentemente reli alguns capítulos com muito interesse, recomendo, é acessível até para humanitários. Não, você não precisa sorrir que eu sugeri um passatempo bespontovy, erudição e uma visão ampla na comunicação é uma grande coisa.
Depois de uma digressão lírica, é justo decidir tarefa criativa:
Exemplo 4
Calcule o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura plana delimitada pelas linhas,, onde.
Este é um exemplo faça-você-mesmo. Observe que todas as coisas acontecem na banda , ou seja, limites de integração prontos são realmente dados. Desenhe corretamente gráficos de funções trigonométricas, vou lembrá-lo do material da lição sobre transformações geométricas de gráficos : se o argumento for divisível por dois: , os gráficos serão esticados ao longo do eixo duas vezes. É desejável encontrar pelo menos 3-4 pontos de acordo com tabelas trigonométricas para completar o desenho com mais precisão. Solução completa e resposta no final da lição. A propósito, a tarefa pode ser resolvida racionalmente e não muito racionalmente.
Tal como acontece com o problema de encontrar a área, você precisa de habilidades de desenho confiantes - isso é quase a coisa mais importante (já que as próprias integrais geralmente são fáceis). Você pode dominar uma técnica gráfica competente e rápida usando Materiais de ensino e Transformações de Gráficos Geométricos. Mas, na verdade, tenho falado repetidamente sobre a importância dos desenhos na aula.
Em geral, existem muitas aplicações interessantes em cálculo integral, com a ajuda de integral definida você pode calcular a área de uma figura, o volume de um corpo de revolução, o comprimento de um arco, a área da superfície de uma revolução e muito mais. Então vai ser divertido, por favor, seja otimista!
Imagine alguma figura plana em plano coordenado. Representado? ... Eu me pergunto quem apresentou o quê ... =))) Já encontramos sua área. Mas, além disso, essa figura também pode ser girada e girada de duas maneiras:
- em torno do eixo das abcissas;
- em torno do eixo y.
Neste artigo, ambos os casos serão discutidos. O segundo método de rotação é especialmente interessante, causa as maiores dificuldades, mas na verdade a solução é quase a mesma que na rotação mais comum em torno do eixo x. Como bônus, voltarei a o problema de encontrar a área de uma figura, e diga como encontrar a área da segunda maneira - ao longo do eixo. Nem tanto um bônus quanto o material se encaixa bem no tema.
Vamos começar com o tipo de rotação mais popular.
Exemplo 1
Calcule o volume do corpo obtido pela rotação da figura delimitada por linhas em torno do eixo.
Solução: Como no problema da área, a solução começa com o desenho de uma figura plana. Ou seja, no plano é preciso construir uma figura delimitada por retas , , sem esquecer que a equação define o eixo . Como fazer um desenho de forma mais racional e rápida pode ser encontrado nas páginas Gráficos e Propriedades de Funções Elementares e Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Este é um lembrete chinês, e em este momento Eu não paro mais.
O desenho aqui é bem simples:
A figura plana desejada é sombreada em azul, e é essa figura que gira em torno do eixo.Como resultado da rotação, é obtido um disco voador levemente oval, simétrico em relação ao eixo. Na verdade, o corpo tem um nome matemático, mas é preguiça de especificar algo no livro de referência, então seguimos em frente.
O volume de um corpo de revolução pode ser calculado pela fórmula:
Na fórmula, deve haver um número antes da integral. Simplesmente aconteceu - tudo o que gira na vida está conectado com essa constante.
Como definir os limites de integração "a" e "ser", eu acho, é fácil de adivinhar a partir do desenho completo.
Função... que função é esta? Vejamos o desenho. A figura plana é limitada pelo gráfico da parábola de cima. Esta é a função que está implícita na fórmula.
Em tarefas práticas, uma figura plana às vezes pode estar localizada abaixo do eixo. Isso não muda nada - o integrando na fórmula é elevado ao quadrado: , portanto integral é sempre não negativo, o que é bastante lógico.
Calcule o volume do corpo de revolução usando esta fórmula: 
Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.
Responda: 
Na resposta, é necessário indicar a dimensão - unidades cúbicas. Ou seja, em nosso corpo de rotação existem aproximadamente 3,35 "cubos". Por que exatamente cúbico unidades? Porque a formulação mais universal. Pode haver centímetros cúbicos, pode haver metros cúbicos, pode haver quilômetros cúbicos, etc., é quantos homenzinhos verdes sua imaginação pode caber em um disco voador.
Exemplo 2
Encontre o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo da figura delimitada pelas linhas , ,
Este é um exemplo faça-você-mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
Vamos considerar dois problemas mais complexos, que também são frequentemente encontrados na prática.
Exemplo 3
Calcule o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo das abcissas da figura delimitada pelas linhas , , e
Solução: Desenhe uma figura plana no desenho, limitada pelas linhas , , , , sem esquecer que a equação define o eixo:
A figura desejada é sombreada em azul. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um donut surreal com quatro cantos.
O volume do corpo de revolução é calculado como diferença de volume corporal.
Primeiro, vamos olhar para a figura que está circulada em vermelho. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um cone truncado. Vamos denotar o volume deste cone truncado como .
Considere a figura que está circulada em verde. Se você girar esta figura em torno do eixo, também obterá um cone truncado, apenas um pouco menor. Vamos denotar seu volume por .
E, obviamente, a diferença de volumes é exatamente o volume do nosso “donut”.
Usamos a fórmula padrão para encontrar o volume de um corpo de revolução: 
1) A figura circulada em vermelho é limitada por cima por uma linha reta, portanto:
2) A figura circulada em verde é delimitada por cima por uma linha reta, portanto:
3) O volume do corpo de revolução desejado: 
Responda: 
É curioso que, neste caso, a solução pode ser verificada usando a fórmula escolar para calcular o volume de um cone truncado.
A decisão em si costuma ser mais curta, algo assim: 
Agora vamos fazer uma pausa e falar sobre ilusões geométricas.
As pessoas costumam ter ilusões associadas a volumes, que Perelman (outro) notou no livro geometria interessante. Observe a figura plana no problema resolvido - parece ser pequena em área e o volume do corpo de revolução é de pouco mais de 50 unidades cúbicas, o que parece muito grande. Aliás, uma pessoa média em toda a sua vida bebe um líquido com volume de uma sala de 18 metros quadrados, que, ao contrário, parece um volume muito pequeno.
Em geral, o sistema educacional da URSS era realmente o melhor. O mesmo livro de Perelman, publicado em 1950, desenvolve muito bem, como dizia o humorista, o raciocínio e ensina a buscar soluções originais não padronizadas para os problemas. Recentemente reli alguns capítulos com muito interesse, recomendo, é acessível até para humanitários. Não, você não precisa sorrir que eu sugeri um passatempo bespontovy, erudição e uma visão ampla na comunicação é uma grande coisa.
Após uma digressão lírica, é apropriado resolver uma tarefa criativa:
Exemplo 4
Calcule o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura plana limitada pelas linhas , , onde .
Este é um exemplo faça-você-mesmo. Observe que todas as coisas acontecem na banda , ou seja, limites de integração prontos são realmente dados. Acerte os gráficos funções trigonométricas, relembre o material da lição sobre transformações geométricas de gráficos: se o argumento for divisível por dois: , os gráficos serão esticados ao longo do eixo duas vezes. É desejável encontrar pelo menos 3-4 pontos de acordo com tabelas trigonométricas para completar o desenho com mais precisão. Solução completa e resposta no final da lição. A propósito, a tarefa pode ser resolvida racionalmente e não muito racionalmente.
O segundo parágrafo será ainda mais interessante do que o primeiro. A tarefa de calcular o volume de um corpo de revolução em torno do eixo y também é um convidado bastante frequente em trabalho de controle. De passagem será considerado problema de encontrar a área de uma figura a segunda via - integração ao longo do eixo, isso permitirá não só melhorar suas habilidades, mas também ensinar como encontrar a solução mais lucrativa. Também tem uma prática significado da vida! Como minha professora de métodos de ensino de matemática relembrou com um sorriso, muitos graduados a agradeceram com as palavras: “Sua matéria nos ajudou muito, agora nós gerentes eficazes e gerenciar de forma otimizada a equipe. Aproveitando a oportunidade, expresso também a ela minha imensa gratidão, principalmente por utilizar os conhecimentos adquiridos para o fim a que se destina =).
Eu recomendo para todos lerem, mesmo para os manequins completos. Além disso, o material assimilado do segundo parágrafo será de ajuda inestimável no cálculo de integrais duplas.
Exemplo 5
Dada uma figura plana delimitado por linhas , , .
1) Encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas.
2) Encontre o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.
Atenção! Mesmo que você queira ler apenas o segundo parágrafo, primeiro necessariamente leia o primeiro!
Solução: A tarefa consiste em duas partes. Vamos começar com o quadrado.
1) Vamos executar o desenho:
É fácil ver que a função define o ramo superior da parábola e a função define o ramo inferior da parábola. Diante de nós está uma parábola trivial, que "está de lado".
A figura desejada, cuja área deve ser encontrada, é sombreada em azul.
Como encontrar a área de uma figura? Pode ser encontrado da maneira "usual", que foi considerada na lição. Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Além disso, a área da figura é encontrada como a soma das áreas:
- no segmento 
;
- no segmento.
É por isso:
O que há de errado com a solução usual neste caso? Primeiro, existem duas integrais. Em segundo lugar, raízes sob integrais e raízes em integrais não são um presente, além disso, pode-se confundir ao substituir os limites da integração. Na verdade, as integrais, claro, não são mortais, mas na prática tudo é muito mais triste, acabei de pegar funções “melhores” para a tarefa.
Existe uma solução mais racional: consiste na passagem para funções inversas e integração ao longo do eixo.
Como passar para funções inversas? Grosso modo, você precisa expressar "x" até "y". Primeiro, vamos lidar com a parábola:
Isso é suficiente, mas vamos garantir que a mesma função possa ser derivada do ramo inferior:
Com uma linha reta, tudo fica mais fácil:
Agora olhe para o eixo: por favor, incline periodicamente a cabeça 90 graus para a direita enquanto explica (isso não é uma piada!). A figura de que precisamos está no segmento, indicado pela linha pontilhada vermelha. Além disso, no segmento, a linha reta está localizada acima da parábola, o que significa que a área da figura deve ser encontrada usando a fórmula que você já conhece: 
. O que mudou na fórmula? Apenas uma carta e nada mais.
! Observação: Os limites de integração ao longo do eixo devem ser definidos estritamente de baixo para cima!
Encontrando a área:
No segmento , portanto: 
Preste atenção em como fiz a integração, essa é a forma mais racional, e no próximo parágrafo do trabalho ficará claro o porquê.
Para os leitores que duvidam da correção da integração, encontrarei derivadas: 
O integrando original é obtido, o que significa que a integração é realizada corretamente.
Responda:
2) Calcule o volume do corpo formado pela rotação desta figura em torno do eixo.
Vou redesenhar o desenho em um design ligeiramente diferente:
Assim, a figura sombreada em azul gira em torno do eixo. O resultado é uma "borboleta pairando" que gira em torno de seu eixo.
Para encontrar o volume do corpo de revolução, vamos integrar ao longo do eixo. Primeiro, precisamos passar para as funções inversas. Isso já foi feito e descrito em detalhes no parágrafo anterior.
Agora inclinamos a cabeça para a direita novamente e estudamos nossa figura. Obviamente, o volume do corpo de revolução deve ser encontrado como a diferença entre os volumes.
Giramos a figura circulada em vermelho em torno do eixo, resultando em um cone truncado. Vamos denotar esse volume por .
Giramos a figura, circulada em verde, em torno do eixo e o denotamos pelo volume do corpo de revolução resultante.
O volume da nossa borboleta é igual à diferença de volumes.
Usamos a fórmula para encontrar o volume de um corpo de revolução: 
Em que difere da fórmula do parágrafo anterior? Só em letras.
E aqui está a vantagem da integração que eu estava falando há um tempo atrás, é muito mais fácil de encontrar 
do que elevar o integrando à 4ª potência.
Responda: 
No entanto, uma borboleta doentia.
Observe que, se a mesma figura plana for girada em torno do eixo, um corpo de revolução completamente diferente resultará, de um volume diferente, naturalmente.
Exemplo 6
Dada uma figura plana delimitada por linhas e um eixo.
1) Vá para funções inversas e encontre a área de uma figura plana limitada por essas linhas integrando sobre a variável .
2) Calcule o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.
Este é um exemplo faça-você-mesmo. Quem desejar também pode encontrar a área da figura da forma "usual", completando assim o teste do ponto 1). Mas se, repito, você gira uma figura plana em torno do eixo, obtém um corpo de rotação completamente diferente com um volume diferente, aliás, a resposta correta (também para quem gosta de resolver).
A solução completa dos dois itens propostos da tarefa no final da aula.
Ah, e não se esqueça de inclinar a cabeça para a direita para entender os corpos de rotação e dentro da integração!
O volume de um corpo de revolução pode ser calculado pela fórmula:
Na fórmula, deve haver um número antes da integral. Simplesmente aconteceu - tudo o que gira na vida está conectado com essa constante.
Como definir os limites de integração "a" e "ser", eu acho, é fácil de adivinhar a partir do desenho completo.
Função... que função é esta? Vejamos o desenho. A figura plana é limitada pelo gráfico da parábola de cima. Esta é a função que está implícita na fórmula.
Em tarefas práticas, uma figura plana às vezes pode estar localizada abaixo do eixo. Isso não muda nada - a função na fórmula é elevada ao quadrado: , portanto o volume de um corpo de revolução é sempre não negativo, o que é bastante lógico.
Calcule o volume do corpo de revolução usando esta fórmula: 
Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.
Responda: 
Na resposta, é necessário indicar a dimensão - unidades cúbicas. Ou seja, em nosso corpo de rotação existem aproximadamente 3,35 "cubos". Por que exatamente cúbico unidades? Porque a formulação mais universal. Pode haver centímetros cúbicos, pode haver metros cúbicos, pode haver quilômetros cúbicos, etc., é quantos homenzinhos verdes sua imaginação pode caber em um disco voador.
Exemplo 2
Encontre o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo da figura delimitada pelas linhas , ,
Este é um exemplo faça-você-mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
Vamos considerar dois problemas mais complexos, que também são frequentemente encontrados na prática.
Exemplo 3
Calcule o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo das abcissas da figura delimitada pelas linhas , , e
Solução: Vamos representar no desenho uma figura plana delimitada por linhas , , , , sem esquecer que a equação define o eixo:
A figura desejada é sombreada em azul. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um donut surreal com quatro cantos.
O volume do corpo de revolução é calculado como diferença de volume corporal.
Primeiro, vamos olhar para a figura que está circulada em vermelho. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um cone truncado. Vamos denotar o volume deste cone truncado como .
Considere a figura que está circulada em verde. Se você girar esta figura em torno do eixo, também obterá um cone truncado, apenas um pouco menor. Vamos denotar seu volume por .
E, obviamente, a diferença de volumes é exatamente o volume do nosso “donut”.
Usamos a fórmula padrão para encontrar o volume de um corpo de revolução:
1) A figura circulada em vermelho é limitada por cima por uma linha reta, portanto:
2) A figura circulada em verde é delimitada por cima por uma linha reta, portanto:
3) O volume do corpo de revolução desejado: 
Responda: 
É curioso que, neste caso, a solução pode ser verificada usando a fórmula escolar para calcular o volume de um cone truncado.
A decisão em si costuma ser mais curta, algo assim: 
Agora vamos fazer uma pausa e falar sobre ilusões geométricas.
As pessoas costumam ter ilusões associadas a volumes, que Perelman (não o mesmo) notou no livro geometria interessante. Observe a figura plana no problema resolvido - parece ser pequena em área e o volume do corpo de revolução é de pouco mais de 50 unidades cúbicas, o que parece muito grande. Aliás, uma pessoa média em toda a sua vida bebe um líquido com volume de uma sala de 18 metros quadrados, que, ao contrário, parece um volume muito pequeno.
Em geral, o sistema educacional da URSS era realmente o melhor. O mesmo livro de Perelman, escrito por ele em 1950, desenvolve muito bem, como disse o humorista, o raciocínio e ensina a buscar soluções originais fora do padrão para os problemas. Recentemente reli alguns capítulos com muito interesse, recomendo, é acessível até para humanitários. Não, você não precisa sorrir que eu sugeri um passatempo bespontovy, erudição e uma visão ampla na comunicação é uma grande coisa.
Após uma digressão lírica, é apropriado resolver uma tarefa criativa:
Exemplo 4
Calcule o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura plana limitada pelas linhas , , onde .
Este é um exemplo faça-você-mesmo. Observe que todas as coisas acontecem na banda, ou seja, limites de integração quase prontos são dados. Tente também desenhar corretamente os gráficos das funções trigonométricas, se o argumento for dividido por dois: , os gráficos serão esticados ao longo do eixo duas vezes. Tente encontrar pelo menos 3-4 pontos de acordo com tabelas trigonométricas e tornar o desenho mais preciso. Solução completa e resposta no final da lição. A propósito, a tarefa pode ser resolvida racionalmente e não muito racionalmente.
Cálculo do volume de um corpo formado por rotação
figura plana em torno de um eixo
O segundo parágrafo será ainda mais interessante do que o primeiro. A tarefa de calcular o volume de um corpo de revolução em torno do eixo y também é bastante frequente em testes. De passagem será considerado problema de encontrar a área de uma figura a segunda via - integração ao longo do eixo, isso permitirá não só melhorar suas habilidades, mas também ensinar como encontrar a solução mais lucrativa. Também tem um significado prático! Como minha professora de métodos de ensino de matemática lembrou com um sorriso, muitos graduados agradeceram a ela com as palavras: “Sua disciplina nos ajudou muito, agora somos gerentes eficazes e gerenciamos nossa equipe de maneira ideal”. Aproveitando a oportunidade, expresso também a ela minha imensa gratidão, principalmente por utilizar os conhecimentos adquiridos para o fim a que se destina =).
Exemplo 5
Dada uma figura plana limitada por linhas , , .
1) Encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas.
2) Encontre o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.
Atenção! Mesmo que você queira ler apenas o segundo parágrafo, primeiro necessariamente leia o primeiro!
Solução: A tarefa consiste em duas partes. Vamos começar com o quadrado.
1) Vamos executar o desenho:
É fácil ver que a função define o ramo superior da parábola e a função define o ramo inferior da parábola. Diante de nós está uma parábola trivial, que "está de lado".
A figura desejada, cuja área deve ser encontrada, é sombreada em azul.
Como encontrar a área de uma figura? Pode ser encontrado da maneira "usual", que foi considerada na lição. Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Além disso, a área da figura é encontrada como a soma das áreas:
- no segmento 
;
- no segmento.
É por isso:
O que há de errado com a solução usual neste caso? Primeiro, existem duas integrais. Em segundo lugar, raízes sob integrais e raízes em integrais não são um presente, além disso, pode-se confundir ao substituir os limites da integração. Na verdade, as integrais, claro, não são mortais, mas na prática tudo é muito mais triste, acabei de pegar funções “melhores” para a tarefa.
Existe uma solução mais racional: consiste na transição para funções inversas e integração ao longo do eixo.
Como passar para funções inversas? Grosso modo, você precisa expressar "x" até "y". Primeiro, vamos lidar com a parábola:
Isso é suficiente, mas vamos garantir que a mesma função possa ser derivada do ramo inferior:
Com uma linha reta, tudo fica mais fácil:
Agora olhe para o eixo: por favor, incline periodicamente a cabeça 90 graus para a direita enquanto explica (isso não é uma piada!). A figura de que precisamos está no segmento, indicado pela linha pontilhada vermelha. Além disso, no segmento, a linha reta está localizada acima da parábola, o que significa que a área da figura deve ser encontrada usando a fórmula que você já conhece: 
. O que mudou na fórmula? Apenas uma carta e nada mais.
! Nota: Os limites de integração ao longo do eixo devem ser definidos estritamente de baixo para cima!
Encontrando a área:
No segmento , portanto: 
Preste atenção em como fiz a integração, essa é a forma mais racional, e no próximo parágrafo do trabalho ficará claro o porquê.
Para os leitores que duvidam da correção da integração, encontrarei derivadas: 
O integrando original é obtido, o que significa que a integração é realizada corretamente.
Responda:
2) Calcule o volume do corpo formado pela rotação desta figura em torno do eixo.
Vou redesenhar o desenho em um design ligeiramente diferente:
Assim, a figura sombreada em azul gira em torno do eixo. O resultado é uma "borboleta pairando" que gira em torno de seu eixo.
Para encontrar o volume do corpo de revolução, vamos integrar ao longo do eixo. Primeiro, precisamos passar para as funções inversas. Isso já foi feito e descrito em detalhes no parágrafo anterior.
Agora inclinamos a cabeça para a direita novamente e estudamos nossa figura. Obviamente, o volume do corpo de revolução deve ser encontrado como a diferença entre os volumes.
Giramos a figura circulada em vermelho em torno do eixo, resultando em um cone truncado. Vamos denotar esse volume por .
Giramos a figura, circulada em verde, em torno do eixo e o denotamos pelo volume do corpo de revolução resultante.
O volume da nossa borboleta é igual à diferença de volumes.
Usamos a fórmula para encontrar o volume de um corpo de revolução: 
Em que difere da fórmula do parágrafo anterior? Só em letras.
E aqui está a vantagem da integração que eu estava falando há um tempo atrás, é muito mais fácil de encontrar 
do que elevar preliminarmente o integrando à quarta potência.
Responda: 
No entanto, uma borboleta doentia.
Observe que, se a mesma figura plana for girada em torno do eixo, um corpo de revolução completamente diferente resultará, de um volume diferente, naturalmente.
Exemplo 6
Dada uma figura plana delimitada por linhas e um eixo.
1) Vá para funções inversas e encontre a área de uma figura plana limitada por essas linhas integrando sobre a variável .
2) Calcule o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.
figura plana em torno de um eixo
Exemplo 3
Dada uma figura plana limitada por linhas , , .
1) Encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas.
2) Encontre o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.
Atenção! Mesmo que você queira ler apenas o segundo parágrafo, primeiro necessariamente leia o primeiro!
Solução: A tarefa consiste em duas partes. Vamos começar com o quadrado.
1) Vamos executar o desenho:
É fácil ver que a função define o ramo superior da parábola e a função define o ramo inferior da parábola. Diante de nós está uma parábola trivial, que "está de lado".
A figura desejada, cuja área deve ser encontrada, é sombreada em azul.
Como encontrar a área de uma figura? Pode ser encontrado da maneira "normal". Além disso, a área da figura é encontrada como a soma das áreas:
- no segmento 
;
- no segmento.
É por isso:
Existe uma solução mais racional: consiste na transição para funções inversas e integração ao longo do eixo.
Como passar para funções inversas? Grosso modo, você precisa expressar "x" até "y". Primeiro, vamos lidar com a parábola:
Isso é suficiente, mas vamos garantir que a mesma função possa ser derivada do ramo inferior:
Com uma linha reta, tudo fica mais fácil:
Agora olhe para o eixo: por favor, incline periodicamente a cabeça 90 graus para a direita enquanto explica (isso não é uma piada!). A figura de que precisamos está no segmento, indicado pela linha pontilhada vermelha. Além disso, no segmento, a linha reta está localizada acima da parábola, o que significa que a área da figura deve ser encontrada usando a fórmula que você já conhece: 
. O que mudou na fórmula? Apenas uma carta e nada mais.
! Observação : Limites de integração do eixo deve ser arranjadoestritamente de baixo para cima !
Encontrando a área:
No segmento , portanto:
Preste atenção em como fiz a integração, essa é a forma mais racional, e no próximo parágrafo do trabalho ficará claro o porquê.
Para os leitores que duvidam da correção da integração, encontrarei derivadas:
O integrando original é obtido, o que significa que a integração é realizada corretamente.
Responda:
2) Calcule o volume do corpo formado pela rotação desta figura em torno do eixo.
Vou redesenhar o desenho em um design ligeiramente diferente:
Assim, a figura sombreada em azul gira em torno do eixo. O resultado é uma "borboleta pairando" que gira em torno de seu eixo.
Para encontrar o volume do corpo de revolução, vamos integrar ao longo do eixo. Primeiro, precisamos passar para as funções inversas. Isso já foi feito e descrito em detalhes no parágrafo anterior.
Agora inclinamos a cabeça para a direita novamente e estudamos nossa figura. Obviamente, o volume do corpo de revolução deve ser encontrado como a diferença entre os volumes.
Giramos a figura circulada em vermelho em torno do eixo, resultando em um cone truncado. Vamos denotar esse volume por .
Giramos a figura, circulada em verde, em torno do eixo e o denotamos pelo volume do corpo de revolução resultante.
O volume da nossa borboleta é igual à diferença de volumes.
Usamos a fórmula para encontrar o volume de um corpo de revolução: 
Em que difere da fórmula do parágrafo anterior? Só em letras.
E aqui está a vantagem da integração que eu estava falando há um tempo atrás, é muito mais fácil de encontrar 
do que elevar preliminarmente o integrando à quarta potência.
Responda: 
Observe que, se a mesma figura plana for girada em torno do eixo, um corpo de revolução completamente diferente resultará, de um volume diferente, naturalmente.
Exemplo 7
Calcule o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo da figura delimitada pelas curvas e .
Solução: Vamos fazer um desenho:
Ao longo do caminho, nos familiarizamos com os gráficos de algumas outras funções. Este é um gráfico tão interessante. função par ….
Para efeito de encontrar o volume do corpo de revolução, basta usar a metade direita da figura, que sombreei de azul. Ambas as funções são pares, seus gráficos são simétricos em relação ao eixo e nossa figura também é simétrica. Então o sombreado parte direita, girando em torno do eixo , certamente coincidirá com a parte esquerda não preparada.
Usando integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução
A utilidade prática da matemática se deve ao fato de que, sem
conhecimentos matemáticos específicos dificultam a compreensão dos princípios do dispositivo e o uso tecnologia moderna. Cada pessoa em sua vida deve realizar cálculos bastante complexos, usar equipamentos comumente usados, encontrar as fórmulas necessárias em livros de referência e compor algoritmos simples para resolver problemas. NO sociedade moderna mais especialidades que requerem alto nível a educação está associada à aplicação direta da matemática. Assim, para um aluno, a matemática torna-se uma disciplina profissionalmente significativa. O papel principal pertence à matemática na formação do pensamento algorítmico, traz a capacidade de agir de acordo com um determinado algoritmo e projetar novos algoritmos.
Estudando o tópico do uso da integral para calcular os volumes dos corpos de revolução, sugiro que os alunos das aulas optativas considerem o tópico: "Volumes dos corpos de revolução usando integrais". Aqui estão algumas diretrizes para lidar com este tópico:
1. A área de uma figura plana.
Do curso de álgebra, sabemos que problemas práticos levaram ao conceito de integral definida..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">
https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.
Para encontrar o volume de um corpo de revolução formado pela rotação de um trapézio curvilíneo em torno do eixo Ox, limitado por uma linha quebrada y=f(x), o eixo Ox, linhas retas x=a e x=b, calculamos pela fórmula
https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y
3. O volume do cilindro.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">O cone é obtido girando um triângulo retângulo ABC(C=90) em torno do eixo Ox sobre o qual se encontra a perna AC.
O segmento AB está na linha y=kx+c, onde https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.
Seja a=0, b=H (H é a altura do cone), então Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.
5. O volume de um cone truncado.
Um cone truncado pode ser obtido girando um trapézio retangular ABCD (CDOx) em torno do eixo Ox.
O segmento AB está na reta y=kx+c, onde 
, c=r.
Como a reta passa pelo ponto A (0; r).
Assim, a linha reta se parece com https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">
Seja a=0, b=H (H é a altura do cone truncado), então https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = 
.
6. O volume da bola.
A bola pode ser obtida girando um círculo com centro (0;0) em torno do eixo x. O semicírculo localizado acima do eixo x é dado pela equação
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.
