Gráfico da função sen senx. Gráfico da função y = sen x

Para trás para a frente

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O ferro enferruja, não encontrando um uso para si mesmo,
água parada apodrece ou congela no frio,
e a mente humana, não encontrando um uso para si mesma, definha.
Leonardo da Vinci

Tecnologias usadas: aprendizagem baseada em problemas, pensamento crítico, comunicação comunicativa.

Metas:

Desenvolvimento do interesse cognitivo pela aprendizagem.
Estudando as propriedades da função y \u003d sen x.
Formação de habilidades práticas para a construção de um gráfico da função y \u003d sen x com base no material teórico estudado.

Tarefas:

1. Use o potencial de conhecimento existente sobre as propriedades da função y \u003d sen x em situações específicas.

2. Aplicar o estabelecimento consciente de ligações entre os modelos analítico e geométrico da função y \u003d sen x.

Desenvolver iniciativa, certa prontidão e interesse em encontrar uma solução; a capacidade de tomar decisões, de não parar por aí, de defender o próprio ponto de vista.

Educar os alunos na atividade cognitiva, senso de responsabilidade, respeito pelo outro, compreensão mútua, apoio mútuo, autoconfiança; cultura da comunicação.

durante as aulas

Estágio 1. Atualização do conhecimento básico, motivação para aprender novos materiais

"Entrada da lição"

Existem 3 declarações escritas no quadro:

A equação trigonométrica sen t = a sempre tem soluções.
Uma função ímpar pode ser representada graficamente usando uma transformação de simetria sobre o eixo y.
Uma função trigonométrica pode ser representada graficamente usando uma meia onda principal.

Os alunos discutem em pares: As afirmações são verdadeiras? (1 minuto). Os resultados da discussão inicial (sim, não) são inseridos na tabela na coluna "Antes".

O professor define as metas e os objetivos da aula.

2. Atualização de conhecimento (frontalmente no modelo de círculo trigonométrico).

Já encontramos a função s = sin t.

1) Quais valores a variável t pode assumir. Qual é o escopo dessa função?

2) Em que intervalo estão os valores da expressão sin t. Encontre os maiores e menores valores da função s = sin t.

3) Resolva a equação sen t = 0.

4) O que acontece com a ordenada do ponto conforme ele se move ao longo do primeiro quarto? (a ordenada aumenta). O que acontece com a ordenada de um ponto conforme ele se move ao longo do segundo quarto? (a ordenada diminui gradualmente). Como isso se relaciona com a monotonicidade da função? (a função s = sin t aumenta no segmento e diminui no segmento ).

5) Vamos escrever a função s = sin t na forma usual para nós y = sin x (iremos construir no sistema de coordenadas xOy usual) e compilar uma tabela de valores para esta função.

x	0
no	0			1			0

Estágio 2. Percepção, compreensão, consolidação primária, memorização involuntária

Etapa 4. Sistematização primária de conhecimentos e métodos de atividade, sua transferência e aplicação em novas situações

6. Nº 10.18 (b, c)

Estágio 5 Controle final, correção, avaliação e autoavaliação

7. Voltamos às declarações (o início da lição), discutimos o uso das propriedades da função trigonométrica y \u003d sen x e preenchemos a coluna "Depois" da tabela.

8. D / z: item 10, nºs 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

>>Matemática: Funções y \u003d sen x, y \u003d cos x, suas propriedades e gráficos

Funções y \u003d sen x, y \u003d cos x, suas propriedades e gráficos

Nesta seção, discutimos algumas propriedades das funções y = sen x,y= cos x e traçar seus gráficos.

1. Função y \u003d sin X.

Acima, no § 20, formulamos uma regra que permite que cada número t seja associado ao número custo t, ou seja, caracterizou a função y = sin t. Notamos algumas de suas propriedades.

Propriedades da função u = sint.

O domínio de definição é o conjunto K dos números reais.
Isso decorre do fato de que qualquer número 2 corresponde a um ponto M(1) no círculo numérico, que tem uma ordenada bem definida; esta ordenada é o custo t.

u = sin t é uma função ímpar.

Isso decorre do fato de que, como foi provado no § 19, para qualquer t a igualdade
Isso significa que o gráfico da função u \u003d sin t, como o gráfico de qualquer função ímpar, é simétrico em relação à origem em sistema retangular coordenadas tOi.

A função u = sin t aumenta no intervalo
Isso decorre do fato de que quando o ponto se move ao longo do primeiro quarto do círculo numérico, a ordenada aumenta gradualmente (de 0 a 1 - veja a Fig. 115), e quando o ponto se move ao longo do segundo quarto do círculo numérico, o ordenada diminui gradualmente (de 1 a 0 - ver Fig. 115). Fig. 116).

A função u = sin t é limitada por baixo e por cima. Isso decorre do fato de que, como vimos no § 19, para qualquer t a desigualdade

(a função atinge este valor em qualquer ponto do formulário (a função atinge este valor em qualquer ponto do formulário
Utilizando as propriedades obtidas, construímos um gráfico da função que nos interessa. Mas (atenção!) ao invés de u - sin t, vamos escrever y \u003d sin x (afinal, estamos mais acostumados a escrever y \u003d f (x), e não u \u003d f (t)). Isso significa que construiremos um gráfico no sistema de coordenadas usual хОу (e não tOy).

Vamos fazer uma tabela de valores de funções por - sen x:

Comente.

Aqui está uma das versões da origem do termo "sine". Em latim, sinus significa curvar (corda de arco).

O gráfico construído até certo ponto justifica esta terminologia.

A linha que serve como gráfico da função y \u003d sen x é chamada de senóide. A parte da sinusóide, que é mostrada na Fig. 118 ou 119, é chamada de onda senoidal, e aquela parte da senóide, que é mostrada na fig. 117 é chamado de meia onda ou arco de uma onda senoidal.

2. Função y = cos x.

O estudo da função y \u003d cos x poderia ser realizado aproximadamente de acordo com o mesmo esquema usado acima para a função y \u003d sen x. Mas escolheremos o caminho que leva mais rápido ao objetivo. Primeiro, provaremos duas fórmulas que são importantes em si mesmas (você verá isso no ensino médio), mas até agora têm apenas um valor auxiliar para nossos propósitos.

Para qualquer valor de t, as igualdades

Prova. Deixe o número t corresponder ao ponto M do círculo numérico n, e o número * + - ao ponto P (Fig. 124; para simplificar, tomamos o ponto M no primeiro trimestre). Os arcos AM e BP são iguais, respectivamente, e os triângulos retângulos OKM e OBP também são iguais. Assim, O K = Ob, MK = Pb. A partir dessas igualdades e da localização dos triângulos OKM e OLR no sistema de coordenadas, tiramos duas conclusões:

1) a ordenada do ponto P tanto em valor absoluto como em sinal coincide com a abcissa do ponto M; significa que

2) a abcissa do ponto P é igual em valor absoluto à ordenada do ponto M, mas difere dela em sinal; significa que

Aproximadamente o mesmo raciocínio é realizado nos casos em que o ponto M não pertence ao primeiro quarto.
Vamos usar a fórmula (essa é a fórmula provada acima, só que ao invés da variável t usamos a variável x). O que esta fórmula nos dá? Isso nos permite afirmar que as funções

são idênticos, então seus gráficos são iguais.
Vamos plotar a função Para fazer isso, vamos para sistema auxiliar coordenadas com a origem no ponto (linha reta tracejada desenhada na Fig. 125). Associe a função y \u003d sin x a novo sistema coordenadas - este será o gráfico da função (Fig. 125), ou seja, gráfico da função y - cos x. Ele, como o gráfico da função y \u003d sen x, é chamado de sinusóide (o que é bastante natural).

Propriedades da função y = cos x.

y = cos x é uma função par.

As etapas de construção são mostradas na fig. 126:

1) construímos um gráfico da função y \u003d cos x (mais precisamente, uma meia onda);
2) esticando o gráfico construído a partir do eixo x com um coeficiente de 0,5, obtemos uma meia onda do gráfico desejado;
3) usando a meia onda resultante, construímos todo o gráfico da função y \u003d 0,5 cos x.

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Nesta lição, consideraremos em detalhes a função y \u003d sen x, suas principais propriedades e gráfico. No início da lição, daremos a definição da função trigonométrica y \u003d sin t no círculo de coordenadas e consideraremos o gráfico da função no círculo e na linha. Vamos mostrar a periodicidade desta função no gráfico e considerar as principais propriedades da função. No final da lição, resolveremos alguns problemas simples usando o gráfico da função e suas propriedades.

Tópico: Funções trigonométricas

Lição: Função y=sinx, suas principais propriedades e gráfico

Ao considerar uma função, é importante associar um único valor da função a cada valor do argumento. este lei da correspondência e é chamada de função.

Vamos definir a lei de correspondência para .

Qualquer número real corresponde a um único ponto no círculo unitário, o ponto tem uma única ordenada, que é chamada de seno do número (Fig. 1).

Cada valor de argumento é atribuído a um único valor de função.

As propriedades óbvias decorrem da definição do seno.

A figura mostra que Porque é a ordenada de um ponto do círculo unitário.

Considere o gráfico da função. Recordemos a interpretação geométrica do argumento. O argumento é o ângulo central medido em radianos. No eixo vamos demitir numeros reais ou ângulos em radianos ao longo do eixo dos valores de função correspondentes.

Por exemplo, o ângulo no círculo unitário corresponde a um ponto no gráfico (Fig. 2)

Obtemos o gráfico da função no site, mas conhecendo o período do seno, podemos representar o gráfico da função em todo o domínio de definição (Fig. 3).

O período principal da função é Isso significa que o gráfico pode ser obtido em um segmento e depois continuar em todo o domínio de definição.

Considere as propriedades da função:

1) Domínio de definição:

2) Faixa de valores:

3) Função ímpar:

4) O menor período positivo:

5) Coordenadas dos pontos de interseção do gráfico com o eixo x:

6) Coordenadas do ponto de interseção do gráfico com o eixo y:

7) Intervalos em que a função assume valores positivos:

8) Intervalos em que a função assume valores negativos:

9) Intervalos crescentes:

10) Intervalos descendentes:

11) Pontos baixos:

12) Características mínimas:

13) Pontos altos:

14) Recursos máximos:

Consideramos as propriedades de uma função e seu gráfico. As propriedades serão usadas repetidamente na solução de problemas.

Bibliografia

1. Álgebra e início da análise, 10ª classe (em duas partes). Livro didático para instituições de ensino (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Álgebra e início da análise, 10.ª classe (em duas partes). Livro de tarefas para instituições de ensino (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra e análise matemática para a 10ª série ( tutorial para alunos de escolas e turmas com estudo aprofundado de matemática).-M.: Educação, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Um estudo aprofundado de álgebra e análise matemática.-M.: Educação, 1997.

5. Coleção de problemas de matemática para candidatos a universidades técnicas (sob a direção de M.I.Skanavi).-M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic trainer.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tasks in Algebra and the Beginnings of Analysis (um manual para alunos da 10ª à 11ª série de instituições de ensino geral).-M .: Educação, 2003.

8. Karp A.P. Coleção de problemas de álgebra e os primórdios da análise: livro didático. subsídio para 10-11 células. com um profundo estudar matemática.-M.: Educação, 2006.

Trabalho de casa

Álgebra e os primórdios da análise, 10ª série (em duas partes). Livro de tarefas para instituições de ensino (nível de perfil), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Recursos adicionais da Web

3. portal educacional para se preparar para os exames ().

Descobrimos que o comportamento das funções trigonométricas e das funções y = sen x em particular, em toda a linha numérica (ou para todos os valores do argumento x) é completamente determinado pelo seu comportamento no intervalo 0 < x < π / 2 .

Portanto, em primeiro lugar, vamos plotar a função y = sen x exatamente neste intervalo.

Vamos fazer a seguinte tabela de valores da nossa função;

Marcando os pontos correspondentes no plano coordenado e conectando-os com uma linha suave, obtemos a curva mostrada na figura

A curva resultante também pode ser construída geometricamente sem compilar uma tabela de valores de função y = sen x .

1. O primeiro quarto de um círculo de raio 1 é dividido em 8 partes iguais.As ordenadas dos pontos de divisão do círculo são os senos dos ângulos correspondentes.

2. O primeiro quarto do círculo corresponde aos ângulos de 0 a π / 2 . Portanto, no eixo x Pegue um segmento e divida-o em 8 partes iguais.

3.Vamos desenhar linhas retas paralelas ao eixo x, e a partir dos pontos de divisão restauramos as perpendiculares à interseção com as linhas horizontais.

4. Conecte os pontos de interseção com uma linha suave.

Agora vamos olhar para o intervalo π / 2 < x < π .
Cada valor de argumento x deste intervalo pode ser representado como

x = π / 2 + φ

Onde 0 < φ < π / 2 . De acordo com as fórmulas de redução

pecado( π / 2 + φ ) = cos φ = pecado ( π / 2 - φ ).

Pontos do eixo x com abcissa π / 2 + φ e π / 2 - φ simétricos entre si sobre o ponto do eixo x com abcissa π / 2 , e os senos nesses pontos são os mesmos. Isso permite que você obtenha um gráfico da função y = sen x no intervalo [ π / 2 , π ] simplesmente exibindo simetricamente o gráfico desta função no intervalo relativo à linha reta x = π / 2 .

Agora usando a propriedade Função estranha y \u003d sen x,

pecado(- x) = -sin x,

é fácil plotar essa função no intervalo [- π , 0].

A função y \u003d sen x é periódica com um período de 2π ;. Portanto, para construir o gráfico completo dessa função, basta continuar a curva mostrada na figura à esquerda e à direita periodicamente com um período 2π .

A curva resultante é chamada sinusóide . É o gráfico da função y = sen x.

A figura ilustra bem todas as propriedades da função y = sen x , que foram previamente comprovados por nós. Lembre-se dessas propriedades.

1) Função y = sen x definido para todos os valores x , de modo que seu domínio é o conjunto de todos os números reais.

2) Função y = sen x limitado. Todos os valores que leva estão entre -1 e 1, incluindo esses dois números. Portanto, o alcance dessa função é determinado pela desigualdade -1 < no < 1. Quando x = π / 2 + 2k π a função assume os maiores valores iguais a 1, e para x = - π / 2 + 2k π - os menores valores iguais a - 1.

3) Função y = sen x é ímpar (a sinusóide é simétrica em relação à origem).

4) Função y = sen x periódica com período 2 π .

5) Nos intervalos 2n π < x < π +2n π (n é qualquer inteiro) é positivo, e em intervalos π + 2k π < x < 2π + 2k π (k é qualquer número inteiro) é negativo. Para x = k π a função vai para zero. Portanto, esses valores do argumento x (0; ± π ; ±2 π ; ...) são chamados de zeros da função y = senx

6) Em intervalos - π / 2 +2n π < x < π / 2 +2n π função y = pecado x aumenta monotonicamente e em intervalos π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π diminui monotonicamente.

Preste atenção especial ao comportamento da função y = senx perto do ponto x = 0 .

Por exemplo, sen 0,012 ≈ 0,012; pecado (-0,05) ≈ -0,05;

sen2° = sen π 2 / 180=pecado π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

No entanto, deve-se notar que para quaisquer valores de x

| pecado x| < | x | . (1)

De fato, deixe o raio do círculo mostrado na figura ser igual a 1,
uma / AOB = x.

Então pecar x= CA. mas UA< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. O comprimento deste arco é obviamente igual a x, já que o raio do círculo é 1. Portanto, para 0< x < π / 2

pecado x< х.

Portanto, devido à estranheza da função y = senx é fácil mostrar que quando - π / 2 < x < 0

| pecado x| < | x | .

Finalmente, em x = 0

| pecado x | = | x|.

Assim, para | x | < π / 2 a desigualdade (1) está provada. De fato, essa desigualdade também é verdadeira para | x | > π / 2 devido ao fato de que | | pecado x | < 1, um π / 2 > 1

exercícios

1. De acordo com o cronograma de funções y = senx determine: a) pecado 2; b) pecado 4; c) pecado (-3).

2.Função de agendamento y = senx determinar qual número do intervalo
[ - π / 2 , π / 2 ] tem seno igual a: a) 0,6; b) -0,8.

3. Função programada y = senx determinar quais números têm um seno,
igual a 1/2.

4. Encontre aproximadamente (sem usar tabelas): a) sen 1°; b) sen 0,03;
c) sen (-0,015); d) sen (-2°30").

Aula e apresentação sobre o tema: "Função y=sin(x). Definições e propriedades"

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O que vamos estudar:

Propriedades da função Y=sin(X).
Gráfico de função.
Como construir um gráfico e sua escala.
Exemplos.

propriedades do seno. Y=sen(X)

Pessoal, nós já nos conhecemos funções trigonométricas argumento numérico. Você se lembra deles?

Vamos dar uma olhada mais de perto na função Y=sin(X)

Vamos anotar algumas propriedades desta função:
1) O domínio de definição é o conjunto dos números reais.
2) A função é ímpar. Vamos relembrar a definição de uma função ímpar. Uma função é chamada ímpar se a igualdade for verdadeira: y(-x)=-y(x). Como nos lembramos das fórmulas fantasmas: sin(-x)=-sin(x). A definição é satisfeita, então Y=sin(X) é uma função ímpar.
3) A função Y=sin(X) aumenta no intervalo e diminui no intervalo [π/2; π]. Quando nos movemos ao longo do primeiro quarto (sentido anti-horário), a ordenada aumenta, e quando nos movemos ao longo do segundo quarto, ela diminui.

4) A função Y=sin(X) é limitada por baixo e por cima. Está Propriedade decorre do fato de que
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) O menor valor da função é -1 (para x = - π/2+ πk). O maior valor da função é 1 (para x = π/2+ πk).

Vamos usar as propriedades 1-5 para plotar a função Y=sin(X). Construiremos nosso gráfico sequencialmente, aplicando nossas propriedades. Vamos começar a construir um gráfico no segmento.

Atenção especial vale a pena prestar atenção à escala. No eixo das ordenadas, é mais conveniente pegar um único segmento igual a 2 células, e no eixo das abcissas - um único segmento (duas células) a ser tomado igual a π / 3 (veja a figura).

Plotando a função seno x, y=sin(x)

Vamos calcular os valores da função em nosso segmento:

Vamos construir um gráfico para nossos pontos, levando em consideração a terceira propriedade.

Tabela de conversão para fórmulas fantasmas

Vamos usar a segunda propriedade, que diz que nossa função é ímpar, o que significa que ela pode ser refletida simetricamente sobre a origem:

Sabemos que sin(x+ 2π) = sin(x). Isso significa que no intervalo [- π; π] o gráfico tem a mesma aparência do segmento [π; 3π] ou ou [-3π; - pi] e assim por diante. Resta redesenhar cuidadosamente o gráfico da figura anterior em todo o eixo x.

O gráfico da função Y=sin(X) é chamado de sinusóide.

Vamos escrever mais algumas propriedades de acordo com o grafo construído:
6) A função Y=sin(X) aumenta em qualquer segmento da forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k é um inteiro e decresce em qualquer segmento da forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k é um inteiro.
7) A função Y=sin(X) é uma função contínua. Vamos olhar o gráfico da função e garantir que nossa função não tenha quebras, isso significa continuidade.
8) Faixa de valores: segmento [- 1; 1]. Isso também é claramente visível no gráfico da função.
9) A função Y=sin(X) é uma função periódica. Vamos olhar o gráfico novamente e ver que a função assume os mesmos valores em alguns intervalos.

Exemplos de problemas com seno

1. Resolva a equação sin(x)= x-π

Solução: Vamos construir 2 gráficos da função: y=sin(x) e y=x-π (ver figura).
Nossos gráficos se cruzam em um ponto A(π; 0), esta é a resposta: x = π

2. Plote a função y=sin(π/6+x)-1

Solução: O gráfico desejado é obtido movendo o gráfico da função y=sin(x) π/6 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo.

Solução: Vamos construir um gráfico da função e considerar nosso segmento [π/2; 5π/4].
O gráfico da função mostra que os maiores e menores valores são alcançados nas extremidades do segmento, nos pontos π/2 e 5π/4, respectivamente.
Resposta: sen (π / 2) \u003d 1 - valor mais alto, sin(5π/4) = menor valor.