Instrução. Para obter uma solução pelo método da matriz inversa, é necessário especificar a dimensão da matriz. Em seguida, na nova caixa de diálogo, preencha a matriz A e o vetor resultante B .
Veja também Solução de equações matriciais.| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
Este é um conceito que generaliza todas as operações possíveis realizadas com matrizes. Matriz matemática - uma tabela de elementos. Sobre uma mesa onde m linhas e n colunas, eles dizem que esta matriz tem a dimensão m no n.
Visão geral da matriz:
Por soluções matriciais você precisa entender o que é uma matriz e conhecer seus principais parâmetros. Os principais elementos da matriz:
Os principais tipos de matrizes:
A matriz pode ser simétrica em relação às diagonais principal e secundária. Isto é, se a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n = a mn-1, então a matriz é simétrica em relação à diagonal principal. Somente matrizes quadradas podem ser simétricas.
Quase tudo métodos de solução matricialé encontrar seu determinante nª ordem e a maioria deles são bastante incómodos. Para encontrar o determinante de 2ª e 3ª ordem, existem outras formas mais racionais.
Para calcular o determinante da matriz MAS 2ª ordem, é necessário subtrair o produto dos elementos da diagonal secundária do produto dos elementos da diagonal principal:
Abaixo estão as regras para encontrar o determinante de 3ª ordem.
Simplificou a regra do triângulo como uma das métodos de solução matricial, pode ser representado da seguinte forma:
Em outras palavras, o produto dos elementos do primeiro determinante que são conectados por linhas é obtido com o sinal "+"; também, para o 2º determinante - os produtos correspondentes são tomados com o sinal "-", ou seja, de acordo com o seguinte esquema:
No resolvendo matrizes pela regra de Sarrus, à direita do determinante, as 2 primeiras colunas são adicionadas e os produtos dos elementos correspondentes na diagonal principal e nas diagonais paralelas a ela são tomados com um sinal "+"; e os produtos dos elementos correspondentes da diagonal secundária e das diagonais que lhe são paralelas, com o sinal "-":
Expansão de linha ou coluna do determinante ao resolver matrizes.
Determinante é igual a soma produtos dos elementos da linha determinante e seus complementos algébricos. Normalmente escolha a linha/coluna em que/th há zeros. A linha ou coluna na qual a decomposição é realizada será indicada por uma seta.
Reduzindo o determinante a uma forma triangular ao resolver matrizes.
No resolvendo matrizes reduzindo o determinante a uma forma triangular, eles funcionam assim: usando as transformações mais simples em linhas ou colunas, o determinante torna-se triangular e então seu valor, de acordo com as propriedades do determinante, será igual ao produto dos elementos que estão na diagonal principal.
Teorema de Laplace para resolver matrizes.
Ao resolver matrizes usando o teorema de Laplace, é necessário conhecer o próprio teorema diretamente. Teorema de Laplace: Seja Δ é um determinante n-ésima ordem. Nós selecionamos qualquer k linhas (ou colunas), desde que k≤ n-1. Neste caso, a soma dos produtos de todos os menores kª ordem contida no selecionado k linhas (colunas), suas adições algébricas serão iguais ao determinante.
Sequência de ações para soluções de matriz inversa:
Por soluções de sistemas matriciais mais comumente usado é o método de Gauss.
O método de Gauss é uma maneira padrão de resolver sistemas lineares equações algébricas(SLAE) e reside no fato de que as variáveis são excluídas sequencialmente, ou seja, com a ajuda de mudanças elementares, o sistema de equações é levado a um sistema equivalente de tipo triangular e a partir dele, sequencialmente, a partir do último ( por número), cada elemento do sistema é encontrado.
método Gaussé a ferramenta mais versátil e melhor para encontrar soluções matriciais. Se o sistema tiver um número infinito de soluções ou o sistema for incompatível, ele não pode ser resolvido usando a regra de Cramer e o método da matriz.
O método de Gauss também implica movimentos diretos (redução da matriz estendida a uma forma escalonada, ou seja, obtenção de zeros abaixo da diagonal principal) e reverso (obtenção de zeros acima da diagonal principal da matriz estendida). O movimento para frente é o método de Gauss, o inverso é o método de Gauss-Jordan. O método de Gauss-Jordan difere do método de Gauss apenas na sequência de eliminação das variáveis.
Seja uma matriz quadrada de ordem n
A matriz A -1 é chamada matriz inversa em relação à matriz A, se A * A -1 = E, onde E é a matriz identidade de enésima ordem.
Matriz de identidade- tal matriz quadrada, na qual todos os elementos ao longo da diagonal principal, passando do canto superior esquerdo ao canto inferior direito, são um, e o resto são zeros, por exemplo:
matriz inversa pode existir apenas para matrizes quadradas Essa. para aquelas matrizes que têm o mesmo número de linhas e colunas.
Teorema da Condição de Existência da Matriz Inversa
Para uma matriz ter uma matriz inversa, é necessário e suficiente que ela seja não degenerada.
A matriz A = (A1, A2,...A n) é chamada não degenerado se os vetores coluna são linearmente independentes. O número de vetores coluna linearmente independentes de uma matriz é chamado de posto da matriz. Portanto, podemos dizer que para que exista uma matriz inversa é necessário e suficiente que o posto da matriz seja igual a sua dimensão, ou seja, r = n.
Para a matriz A, encontre a matriz inversa A -1
Solução: Escrevemos a matriz A e à direita atribuímos a matriz identidade E. Usando as transformações de Jordan, reduzimos a matriz A à matriz identidade E. Os cálculos são mostrados na Tabela 31.1.
Vamos verificar a exatidão dos cálculos multiplicando a matriz original A e a matriz inversa A -1.
Como resultado da multiplicação da matriz, obtém-se a matriz identidade. Portanto, os cálculos estão corretos.
Responda: 
As equações matriciais podem se parecer com:
AX = B, XA = B, AXB = C,
onde A, B, C são matrizes dadas, X é a matriz desejada.
As equações matriciais são resolvidas multiplicando a equação por matrizes inversas.
Por exemplo, para encontrar a matriz de uma equação, você precisa multiplicar essa equação por à esquerda.
Portanto, para encontrar uma solução para a equação, você precisa encontrar a matriz inversa e multiplicá-la pela matriz do lado direito da equação.
Outras equações são resolvidas de forma semelhante.
Resolva a equação AX = B se 
Solução: Como a inversa da matriz é igual (veja o exemplo 1)
Junto com outros, eles também encontram aplicações métodos matriciais. Esses métodos são baseados em álgebra linear e vetorial-matriz. Tais métodos são utilizados para fins de análise de fenômenos econômicos complexos e multidimensionais. Na maioria das vezes, esses métodos são usados quando é necessário comparar o funcionamento das organizações e suas divisões estruturais.
No processo de aplicação de métodos matriciais de análise, várias etapas podem ser distinguidas.
Na primeira fase a formação de um sistema de indicadores econômicos é realizada e com base em uma matriz de dados iniciais é compilada, que é uma tabela na qual os números do sistema são mostrados em suas linhas individuais (i = 1,2,....,n), e ao longo dos gráficos verticais - números de indicadores (j = 1,2,....,m).
Na segunda fase para cada coluna vertical, é revelado o maior dos valores disponíveis dos indicadores, que é tomado como uma unidade.
Depois disso, todos os valores refletidos nesta coluna são divididos por valor mais alto e uma matriz de coeficientes padronizados é formada.
Na terceira fase todos os componentes da matriz são elevados ao quadrado. Se eles tiverem significado diferente, cada indicador da matriz recebe um determinado coeficiente de ponderação k. O valor deste último é determinado por um especialista.
no último quarta etapa valores encontrados de avaliações RJ agrupados em ordem crescente ou decrescente.
Os métodos de matriz acima devem ser usados, por exemplo, quando análise comparativa vários projetos de investimento, bem como na avaliação de outros indicadores de desempenho econômico das organizações.
Sistema m equações lineares com n incógnitas chamado de sistema da forma
Onde aij e b eu (eu=1,…,m; b=1,…,n) são alguns números conhecidos, e x 1 ,…,x n- desconhecido. Na notação dos coeficientes aij primeiro índice eu denota o número da equação, e o segundo jé o número da incógnita em que esse coeficiente se encontra.
Os coeficientes para as incógnitas serão escritos na forma de uma matriz 
, que chamaremos matriz do sistema.
Os números do lado direito das equações b 1 ,…, b m chamado membros livres.
Agregar n números c 1 ,…,c n chamado decisão deste sistema, se cada equação do sistema se tornar uma igualdade após a substituição de números nela c 1 ,…,c n em vez das incógnitas correspondentes x 1 ,…,x n.
Nossa tarefa será encontrar soluções para o sistema. Neste caso, podem surgir três situações:
Um sistema de equações lineares que tem pelo menos uma solução é chamado articulação. Caso contrário, ou seja se o sistema não tem soluções, então ele é chamado incompatível.
Considere maneiras de encontrar soluções para o sistema.
MÉTODO DE MATRIZ PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
As matrizes permitem escrever brevemente um sistema de equações lineares. Seja dado um sistema de 3 equações com três incógnitas:
Considere a matriz do sistema 
e colunas de matrizes de membros desconhecidos e livres 
Vamos encontrar o produto
Essa. como resultado do produto, obtemos os lados esquerdos das equações desse sistema. Então, usando a definição de igualdade de matrizes, esse sistema pode ser escrito como
ou mais curto UMA∙X=B.
Aqui matrizes UMA e B são conhecidos, e a matriz x desconhecido. Ela precisa ser encontrada, porque. seus elementos são a solução desse sistema. Esta equação é chamada equação matricial.
Seja o determinante da matriz diferente de zero | UMA| ≠ 0. Então a equação da matriz é resolvida como segue. Multiplique ambos os lados da equação à esquerda pela matriz A-1, a inversa da matriz UMA: . Porque o A -1 A = E e E∙X=X, então obtemos a solução da equação matricial na forma X = A -1 B .
Observe que, como a matriz inversa só pode ser encontrada para matrizes quadradas, o método da matriz só pode resolver os sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. No entanto, a notação matricial do sistema também é possível no caso em que o número de equações não é igual ao número de incógnitas, então a matriz UMA não é quadrado e, portanto, é impossível encontrar uma solução para o sistema na forma X = A -1 B.
Exemplos. Resolver sistemas de equações.
REGRA DE CRAMER
Considere um sistema de 3 equações lineares com três incógnitas:
Determinante de terceira ordem correspondente à matriz do sistema, ou seja, composto de coeficientes em incógnitas,
chamado determinante do sistema.
Compomos mais três determinantes da seguinte forma: substituímos sucessivamente 1, 2 e 3 colunas no determinante D por uma coluna de membros livres
Então podemos provar o seguinte resultado.
Teorema (regra de Cramer). Se o determinante do sistema for Δ ≠ 0, então o sistema em questão tem uma e apenas uma solução, e
Prova. Então, considere um sistema de 3 equações com três incógnitas. Multiplique a 1ª equação do sistema pelo complemento algébrico A 11 elemento um 11, 2ª equação - em A21 e 3º - em A 31:
Vamos somar estas equações:
Considere cada um dos colchetes e lado direito esta equação. Pelo teorema da expansão do determinante em termos dos elementos da 1ª coluna
Da mesma forma, pode-se mostrar que e .
Finalmente, é fácil ver que 
Assim, obtemos a igualdade: .
Consequentemente, .
As igualdades e são derivadas de forma semelhante, de onde segue a afirmação do teorema.
Assim, notamos que se o determinante do sistema for Δ ≠ 0, então o sistema tem única decisão e volta. Se o determinante do sistema for igual a zero, então o sistema tem um conjunto infinito de soluções ou não tem soluções, ou seja, incompatível.
Exemplos. Resolver um sistema de equações
MÉTODO GAUSS
Os métodos considerados anteriormente podem ser usados para resolver apenas os sistemas nos quais o número de equações coincide com o número de incógnitas e o determinante do sistema deve ser diferente de zero. O método gaussiano é mais universal e adequado para sistemas com qualquer número de equações. Consiste na eliminação sucessiva de incógnitas das equações do sistema.
Considere novamente um sistema de três equações com três incógnitas:
.
Deixamos a primeira equação inalterada e da 2ª e 3ª excluímos os termos que contêm x 1. Para fazer isso, dividimos a segunda equação por uma 21 e multiplique por - uma 11 e depois some com a 1ª equação. Da mesma forma, dividimos a terceira equação em uma 31 e multiplique por - uma 11 e, em seguida, adicioná-lo ao primeiro. Como resultado, o sistema original terá a forma:
Agora, da última equação, eliminamos o termo que contém x2. Para fazer isso, divida a terceira equação por , multiplique por e some à segunda. Teremos então um sistema de equações:
Portanto, a partir da última equação, é fácil encontrar x 3, então da 2ª equação x2 e finalmente a partir do dia 1 - x 1.
Ao usar o método gaussiano, as equações podem ser trocadas, se necessário.
Muitas vezes, em vez de escrever novo sistema equações são limitadas a escrever a matriz estendida do sistema:
e depois trazê-lo para uma forma triangular ou diagonal usando transformações elementares.
Para transformações elementares matrizes incluem as seguintes transformações:
Exemplos: Resolver sistemas de equações usando o método de Gauss.
Assim, o sistema tem um número infinito de soluções.
Na primeira parte, consideramos algum material teórico, o método da substituição, bem como o método da adição termo a termo das equações do sistema. A todos que chegaram ao site através desta página, recomendo que leiam a primeira parte. Talvez alguns visitantes achem o material muito simples, mas durante a resolução de sistemas de equações lineares, fiz várias observações e conclusões muito importantes sobre a solução de problemas matemáticos em geral.
E agora vamos analisar a regra de Cramer, bem como a solução de um sistema de equações lineares usando a matriz inversa (método das matrizes). Todos os materiais são apresentados de forma simples, detalhada e clara, quase todos os leitores poderão aprender como resolver sistemas usando os métodos acima.
Primeiro consideramos a regra de Cramer em detalhes para um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas. Pelo que? - Afinal o sistema mais simples pode ser resolvido pelo método escolar, por adição de termos!
O fato é que, às vezes, existe essa tarefa - resolver um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas usando as fórmulas de Cramer. Em segundo lugar, um exemplo mais simples ajudará você a entender como usar a regra de Cramer para mais caso difícil– sistemas de três equações com três incógnitas.
Além disso, existem sistemas de equações lineares com duas variáveis, que é aconselhável resolver exatamente de acordo com a regra de Cramer!
Considere o sistema de equações
Na primeira etapa, calculamos o determinante , é chamado o principal determinante do sistema.
Método de Gauss.
Se , então o sistema tem solução única, e para encontrar as raízes, devemos calcular mais dois determinantes:
e
Na prática, os qualificadores acima também podem ser denotados pela letra latina.
As raízes da equação são encontradas pelas fórmulas:
,
Exemplo 7
Resolver um sistema de equações lineares 
Solução: Vemos que os coeficientes da equação são bastante grandes, no lado direito existem decimais com uma vírgula. A vírgula é um convidado bastante raro em tarefas práticas de matemática; tirei esse sistema de um problema econométrico.
Como resolver tal sistema? Você pode tentar expressar uma variável em termos de outra, mas, neste caso, certamente obterá frações extravagantes terríveis, com as quais é extremamente inconveniente trabalhar, e o design da solução parecerá horrível. Você pode multiplicar a segunda equação por 6 e subtrair termo por termo, mas as mesmas frações aparecerão aqui.
O que fazer? Nesses casos, as fórmulas de Cramer vêm em socorro.
;
;
Responda: ,
Ambas as raízes têm caudas infinitas e são encontradas aproximadamente, o que é bastante aceitável (e até mesmo lugar-comum) para problemas de econometria.
Comentários não são necessários aqui, pois a tarefa é resolvida de acordo com fórmulas prontas, porém, há uma ressalva. quando usar este método, obrigatório O fragmento da atribuição é o seguinte fragmento: "para que o sistema tenha uma solução única". Caso contrário, o revisor pode puni-lo por desrespeitar o teorema de Cramer.
Não será supérfluo verificar, o que é conveniente fazer na calculadora: substituímos os valores aproximados no lado esquerdo de cada equação do sistema. Como resultado, com um pequeno erro, os números que estão do lado direito devem ser obtidos.
Exemplo 8
Expresse sua resposta em frações impróprias comuns. Faça uma verificação.
Este é um exemplo de solução independente (exemplo de design fino e resposta no final da lição).
Voltamo-nos para a consideração da regra de Cramer para um sistema de três equações com três incógnitas: 
Encontramos o principal determinante do sistema: 
Se , então o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente (não tem soluções). Nesse caso, a regra de Cramer não ajudará, você precisa usar o método de Gauss.
Se , então o sistema tem solução única, e para encontrar as raízes, devemos calcular mais três determinantes: 
, 
, 
E, finalmente, a resposta é calculada pelas fórmulas: 
Como você pode ver, o caso “três por três” não é fundamentalmente diferente do caso “dois por dois”, a coluna de termos livres “caminha” sequencialmente da esquerda para a direita ao longo das colunas do determinante principal.
Exemplo 9
Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
Solução: Vamos resolver o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
, então o sistema tem uma única solução.
Responda: 
.
Na verdade, não há nada de especial a comentar aqui novamente, tendo em vista que a decisão é feita de acordo com fórmulas prontas. Mas há algumas notas.
Acontece que, como resultado dos cálculos, são obtidas frações irredutíveis “ruins”, por exemplo: .
Eu recomendo o seguinte algoritmo de "tratamento". Se não houver computador disponível, fazemos o seguinte:
1) Pode haver um erro nos cálculos. Assim que você encontrar um tiro “ruim”, você deve verificar imediatamente se a condição é reescrita corretamente. Se a condição for reescrita sem erros, você precisará recalcular os determinantes usando a expansão em outra linha (coluna).
2) Se nenhum erro foi encontrado como resultado da verificação, provavelmente foi cometido um erro de digitação na condição da atribuição. Nesse caso, resolva a tarefa com calma e CUIDADOSAMENTE até o fim e, em seguida, certifique-se de verificar e lavrá-lo em cópia limpa após a decisão. Claro, verificar uma resposta fracionária é uma tarefa desagradável, mas será um argumento desarmante para o professor, que, bem, realmente gosta de colocar um sinal de menos para qualquer coisa ruim como. Como lidar com frações é detalhado na resposta do Exemplo 8.
Se você tiver um computador em mãos, use um programa automatizado para verificá-lo, que pode ser baixado gratuitamente logo no início da aula. A propósito, é mais vantajoso usar o programa na hora (mesmo antes de iniciar a solução), você verá imediatamente a etapa intermediária em que cometeu um erro! A mesma calculadora calcula automaticamente a solução do sistema usando o método matricial.
Segunda observação. De vez em quando existem sistemas em cujas equações faltam algumas variáveis, por exemplo: 
Aqui na primeira equação não tem variável, na segunda não tem variável. Nesses casos, é muito importante anotar correta e CUIDADOSAMENTE o determinante principal: 
– zeros são colocados no lugar de variáveis ausentes.
A propósito, é racional abrir determinantes com zeros na linha (coluna) em que o zero está localizado, pois há visivelmente menos cálculos.
Exemplo 10
Resolva o sistema usando as fórmulas de Cramer. 
Este é um exemplo para auto-resolução (exemplo final e resposta no final da lição).
Para o caso de um sistema de 4 equações com 4 incógnitas, as fórmulas de Cramer são escritas de acordo com princípios semelhantes. Você pode ver um exemplo ao vivo na lição Determinant Properties. Reduzindo a ordem do determinante - cinco determinantes de 4ª ordem são bastante solucionáveis. Embora a tarefa já lembre muito o sapato de um professor no peito de um aluno sortudo.
O método da matriz inversa é essencialmente caso especial equação matricial(Veja o Exemplo No. 3 da lição especificada).
Para estudar esta seção, você precisa ser capaz de expandir os determinantes, encontrar a matriz inversa e realizar a multiplicação de matrizes. Links relevantes serão fornecidos à medida que a explicação avança.
Exemplo 11
Resolva o sistema com o método matricial 
Solução: Escrevemos o sistema em forma de matriz:
, Onde 
Por favor, olhe para o sistema de equações e as matrizes. Por qual princípio escrevemos elementos em matrizes, acho que todos entendem. O único comentário: se algumas variáveis estivessem faltando nas equações, então zeros teriam que ser colocados nos lugares correspondentes na matriz.
Encontramos a matriz inversa pela fórmula:
, onde é a matriz transposta dos complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz .
Primeiro, vamos lidar com o determinante:
Aqui o determinante é expandido pela primeira linha.
Atenção! Se , então a matriz inversa não existe e é impossível resolver o sistema pelo método da matriz. Neste caso, o sistema é resolvido pela eliminação de incógnitas (método de Gauss).
Agora você precisa calcular 9 menores e escrevê-los na matriz de menores 
Referência:É útil saber o significado de índices duplos em álgebra linear. O primeiro dígito é o número da linha na qual o elemento está localizado. O segundo dígito é o número da coluna na qual o elemento está localizado: 
Ou seja, um duplo subscrito indica que o elemento está na primeira linha, terceira coluna, enquanto, por exemplo, o elemento está na 3ª linha, 2ª coluna
