", isto é, equações de primeiro grau. Nesta lição veremos o que é chamado de equação quadrática e como resolver isso.
Importante!
O grau de uma equação é determinado pelo grau mais alto em que a incógnita se encontra.
Se a potência máxima na qual a incógnita for “2”, então você tem uma equação quadrática.
| 1 |
| 3 |
Importante! A forma geral de uma equação quadrática é assim:
A x 2 + b x + c = 0
“a”, “b” e “c” recebem números.Para encontrar “a”, “b” e “c” você precisa comparar sua equação com a forma geral da equação quadrática “ax 2 + bx + c = 0”.
Vamos praticar a determinação dos coeficientes "a", "b" e "c" em equações quadráticas.
| A equação | Chances | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
Diferente equações lineares para resolver equações quadráticas, um especial fórmula para encontrar raízes.
Lembrar!
Para resolver uma equação quadrática você precisa:
Vejamos um exemplo de como usar a fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Vamos resolver uma equação quadrática.
X 2 − 3x − 4 = 0
A equação “x 2 − 3x − 4 = 0” já foi reduzida à forma geral “ax 2 + bx + c = 0” e não requer simplificações adicionais. Para resolvê-lo, basta aplicar fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática.
Vamos determinar os coeficientes “a”, “b” e “c” para esta equação.
Pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática.
Na fórmula “x 1;2 =” a expressão radical é frequentemente substituída
“b 2 - 4ac” para a letra “D” e é chamado de discriminante. O conceito de discriminante é discutido com mais detalhes na lição “O que é um discriminante”.
Vejamos outro exemplo de equação quadrática.
x 2 + 9 + x = 7x
Desta forma, é bastante difícil determinar os coeficientes “a”, “b” e “c”. Vamos primeiro reduzir a equação à forma geral “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Agora você pode usar a fórmula das raízes.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
Há momentos em que as equações quadráticas não têm raízes. Esta situação ocorre quando a fórmula contém um número negativo na raiz.
Primeiro nível
No termo “equação quadrática”, a palavra-chave é “quadrática”. Isso significa que a equação deve necessariamente conter uma variável (esse mesmo x) ao quadrado, e não deve haver x elevado à terceira (ou maior).
A solução de muitas equações se resume a resolver equações quadráticas.
Vamos aprender a determinar que esta é uma equação quadrática e não alguma outra equação.
Exemplo 1.
Vamos nos livrar do denominador e multiplicar cada termo da equação por
Vamos mover tudo para o lado esquerdo e organizar os termos em ordem decrescente de potências de X
Agora podemos dizer com confiança que esta equação é quadrática!
Exemplo 2.
Vamos multiplicar a esquerda e lado direito no:
Esta equação, embora originalmente estivesse nela, não é quadrática!
Exemplo 3.
Vamos multiplicar tudo por:
Apavorante? O quarto e segundo graus... Porém, se fizermos uma substituição, veremos que temos uma equação quadrática simples:
Exemplo 4.
Parece estar lá, mas vamos dar uma olhada mais de perto. Vamos mover tudo para o lado esquerdo:
Veja, foi reduzido - e agora é uma equação linear simples!
Agora tente determinar por si mesmo quais das seguintes equações são quadráticas e quais não são:
Exemplos:
Respostas:
Os matemáticos dividem convencionalmente todas as equações quadráticas nos seguintes tipos:
Eles estão incompletos porque falta algum elemento. Mas a equação deve sempre conter x ao quadrado!!! Caso contrário, não será mais uma equação quadrática, mas alguma outra equação.
Por que eles criaram essa divisão? Parece que existe um X ao quadrado, e tudo bem. Esta divisão é determinada pelos métodos de solução. Vejamos cada um deles com mais detalhes.
Primeiro, vamos nos concentrar na resolução de equações quadráticas incompletas - elas são muito mais simples!
Existem tipos de equações quadráticas incompletas:
1. eu. Porque sabemos como extrair Raiz quadrada, então vamos expressar a partir desta equação
A expressão pode ser negativa ou positiva. Um número ao quadrado não pode ser negativo, pois ao multiplicar dois números negativos ou dois números positivos, o resultado será sempre um número positivo, portanto: se, então a equação não tem solução.
E se, então temos duas raízes. Não há necessidade de memorizar essas fórmulas. O principal é que você saiba e lembre sempre que não pode ser menos.
Vamos tentar resolver alguns exemplos.
Exemplo 5:
Resolva a equação
Agora só falta extrair a raiz dos lados esquerdo e direito. Afinal, você lembra como extrair raízes?
Responder:
Nunca se esqueça das raízes com sinal negativo!!!
Exemplo 6:
Resolva a equação
Responder:
Exemplo 7:
Resolva a equação
Oh! O quadrado de um número não pode ser negativo, o que significa que a equação
sem raízes!
Para equações que não têm raízes, os matemáticos criaram um ícone especial - (conjunto vazio). E a resposta pode ser escrita assim:
Responder:
Assim, esta equação quadrática tem duas raízes. Não há restrições aqui, pois não extraímos a raiz.
Exemplo 8:
Resolva a equação
Vamos tirar o fator comum dos colchetes:
Por isso,
Esta equação tem duas raízes.
Responder:
O tipo mais simples de equações quadráticas incompletas (embora sejam todas simples, certo?). Obviamente, esta equação sempre tem apenas uma raiz:
Dispensaremos aqui os exemplos.
Lembramos que uma equação quadrática completa é uma equação da forma equação onde
Resolver equações quadráticas completas é um pouco mais difícil (só um pouco) do que estas.
Lembrar, Qualquer equação quadrática pode ser resolvida usando um discriminante! Mesmo incompleto.
Os outros métodos irão ajudá-lo a fazer isso mais rápido, mas se você tiver problemas com equações quadráticas, primeiro domine a solução usando o discriminante.
Resolver equações quadráticas usando este método é muito simples, o principal é lembrar a sequência de ações e algumas fórmulas.
Se, então a equação tem uma raiz. Atenção especial dê um passo. Discriminante () nos diz o número de raízes da equação.
Vamos voltar às nossas equações e ver alguns exemplos.
Exemplo 9:
Resolva a equação
Passo 1 nós pulamos.
Passo 2.
Encontramos o discriminante:
Isso significa que a equação tem duas raízes.
Etapa 3.
Responder:
Exemplo 10:
Resolva a equação
A equação é apresentada na forma padrão, então Passo 1 nós pulamos.
Passo 2.
Encontramos o discriminante:
Isso significa que a equação tem uma raiz.
Responder:
Exemplo 11:
Resolva a equação
A equação é apresentada na forma padrão, então Passo 1 nós pulamos.
Passo 2.
Encontramos o discriminante:
Isso significa que não seremos capazes de extrair a raiz do discriminante. Não há raízes da equação.
Agora sabemos como anotar corretamente essas respostas.
Responder: sem raízes
Se você se lembra, existe um tipo de equação que se chama reduzida (quando o coeficiente a é igual a):
Tais equações são muito fáceis de resolver usando o teorema de Vieta:
Soma das raízes dado a equação quadrática é igual e o produto das raízes é igual.
Exemplo 12:
Resolva a equação
Esta equação pode ser resolvida usando o teorema de Vieta porque .
A soma das raízes da equação é igual, ou seja, obtemos a primeira equação:
E o produto é igual a:
Vamos compor e resolver o sistema:
e são a solução do sistema:
Responder: ; .
Exemplo 13:
Resolva a equação
Responder:
Exemplo 14:
Resolva a equação
A equação é dada, o que significa:
Responder:
Em outras palavras, uma equação quadrática é uma equação da forma, onde - a incógnita, - alguns números, e.
O número é chamado de mais alto ou primeiro coeficiente Equação quadrática, - segundo coeficiente, A - Membro grátis.
Por que? Porque se a equação se tornar imediatamente linear, porque vai desaparecer.
Neste caso, e pode ser igual a zero. Nesta cadeira, a equação é chamada de incompleta. Se todos os termos estiverem em vigor, ou seja, a equação está completa.
Primeiro, vejamos os métodos para resolver equações quadráticas incompletas - eles são mais simples.
Podemos distinguir os seguintes tipos de equações:
I., nesta equação o coeficiente e o termo livre são iguais.
II. , nesta equação o coeficiente é igual.
III. , nesta equação o termo livre é igual a.
Agora vamos ver a solução para cada um desses subtipos.
Obviamente, esta equação sempre tem apenas uma raiz:
Um número ao quadrado não pode ser negativo, porque quando você multiplica dois números negativos ou dois números positivos, o resultado será sempre um número positivo. É por isso:
se, então a equação não tem solução;
se tivermos duas raízes
Não há necessidade de memorizar essas fórmulas. A principal coisa a lembrar é que não pode ser menos.
Exemplos:
Soluções:
Responder:
Nunca se esqueça das raízes com sinal negativo!
O quadrado de um número não pode ser negativo, o que significa que a equação
sem raízes.
Para escrever brevemente que um problema não tem solução, usamos o ícone do conjunto vazio.
Responder:
Então, esta equação tem duas raízes: e.
Responder:
Vamos tirar o fator comum dos colchetes:
O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Isso significa que a equação tem solução quando:
Portanto, esta equação quadrática tem duas raízes: e.
Exemplo:
Resolva a equação.
Solução:
Vamos fatorar o lado esquerdo da equação e encontrar as raízes:
Responder:
Resolver equações quadráticas desta forma é fácil, o principal é lembrar a sequência de ações e algumas fórmulas. Lembre-se, qualquer equação quadrática pode ser resolvida usando um discriminante! Mesmo incompleto.
Você notou a raiz do discriminante na fórmula das raízes? Mas o discriminante pode ser negativo. O que fazer? Precisamos prestar atenção especial ao passo 2. O discriminante nos informa o número de raízes da equação.
Essas raízes são chamadas de raízes duplas.
Por que é possível quantidades diferentes raízes? Passemos ao significado geométrico da equação quadrática. O gráfico da função é uma parábola:
Em um caso especial, que é uma equação quadrática, . Isso significa que as raízes de uma equação quadrática são os pontos de intersecção com o eixo das abcissas (eixo). Uma parábola pode não interceptar o eixo ou pode interceptá-lo em um (quando o vértice da parábola está no eixo) ou dois pontos.
Além disso, o coeficiente é responsável pela direção dos ramos da parábola. Se, então os ramos da parábola são direcionados para cima, e se, então para baixo.
Exemplos:
Soluções:
Responder:
Responder: .
Responder:
Isso significa que não há soluções.
Responder: .
É muito fácil usar o teorema de Vieta: basta escolher um par de números cujo produto seja igual ao termo livre da equação, e a soma seja igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto.
É importante lembrar que o teorema de Vieta só pode ser aplicado em equações quadráticas reduzidas ().
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1:
Resolva a equação.
Solução:
Esta equação pode ser resolvida usando o teorema de Vieta porque . Outros coeficientes: ; .
A soma das raízes da equação é:
E o produto é igual a:
Vamos selecionar pares de números cujo produto é igual e verificar se a soma é igual:
e são a solução do sistema:
Assim, e são as raízes da nossa equação.
Responder: ; .
Exemplo #2:
Solução:
Vamos selecionar pares de números que dão no produto e depois verificar se a soma deles é igual:
e: eles dão no total.
e: eles dão no total. Para obtê-lo, basta simplesmente alterar os sinais das supostas raízes: e, afinal, do produto.
Responder:
Exemplo #3:
Solução:
O termo livre da equação é negativo e, portanto, o produto das raízes é um número negativo. Isso só é possível se uma das raízes for negativa e a outra positiva. Portanto a soma das raízes é igual a diferenças de seus módulos.
Selecionemos pares de números que dão no produto e cuja diferença é igual a:
e: a diferença deles é igual - não cabe;
e: - não adequado;
e: - não adequado;
e: - adequado. Resta lembrar que uma das raízes é negativa. Como a soma deles deve ser igual, a raiz com módulo menor deve ser negativa: . Nós verificamos:
Responder:
Exemplo #4:
Resolva a equação.
Solução:
A equação é dada, o que significa:
O termo livre é negativo e, portanto, o produto das raízes é negativo. E isso só é possível quando uma raiz da equação é negativa e a outra positiva.
Vamos selecionar pares de números cujo produto é igual e então determinar quais raízes devem ter sinal negativo:
Obviamente, apenas as raízes são adequadas para a primeira condição:
Responder:
Exemplo #5:
Resolva a equação.
Solução:
A equação é dada, o que significa:
A soma das raízes é negativa, o que significa que pelo menos uma das raízes é negativa. Mas como o seu produto é positivo, significa que ambas as raízes têm um sinal negativo.
Vamos selecionar pares de números cujo produto é igual a:
Obviamente, as raízes são os números e.
Responder:
Concordo, é muito conveniente criar raízes oralmente, em vez de contar esse discriminante desagradável. Tente usar o teorema de Vieta sempre que possível.
Mas o teorema de Vieta é necessário para facilitar e agilizar a descoberta das raízes. Para que você se beneficie com seu uso, você deve automatizar as ações. E para isso resolva mais cinco exemplos. Mas não trapaceie: você não pode usar um discriminante! Apenas o teorema de Vieta:
Soluções para tarefas de trabalho independente:
Tarefa 1. ((x)^(2))-8x+12=0
De acordo com o teorema de Vieta:
Como de costume, iniciamos a seleção pela peça:
Não é adequado devido à quantidade;
: a quantidade é exatamente o que você precisa.
Responder: ; .
Tarefa 2.
E novamente nosso teorema favorito de Vieta: a soma deve ser igual e o produto deve ser igual.
Mas como não deve ser, mas, mudamos os sinais das raízes: e (no total).
Responder: ; .
Tarefa 3.
Hmm... Onde é isso?
Você precisa mover todos os termos em uma parte:
A soma das raízes é igual ao produto.
Ok, pare! A equação não é dada. Mas o teorema de Vieta é aplicável apenas nas equações fornecidas. Então, primeiro você precisa fornecer uma equação. Se você não consegue liderar, desista dessa ideia e resolva de outra forma (por exemplo, por meio de um discriminante). Deixe-me lembrá-lo de que fornecer uma equação quadrática significa tornar o coeficiente líder igual:
Ótimo. Então a soma das raízes é igual a e ao produto.
Aqui é tão fácil quanto escolher: afinal, é um número primo (desculpem a tautologia).
Responder: ; .
Tarefa 4.
O membro gratuito é negativo. O que há de especial nisso? E o fato é que as raízes terão sinais diferentes. E agora, durante a seleção, verificamos não a soma das raízes, mas a diferença em seus módulos: essa diferença é igual, mas um produto.
Então, as raízes são iguais a e, mas uma delas é menos. O teorema de Vieta nos diz que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente com sinal oposto, isto é. Isso significa que a raiz menor terá menos: e, desde então.
Responder: ; .
Tarefa 5.
O que você deve fazer primeiro? Isso mesmo, dê a equação:
Novamente: selecionamos os fatores do número, e sua diferença deve ser igual a:
As raízes são iguais a e, mas uma delas é menos. Qual? A soma deles deve ser igual, o que significa que o menos terá uma raiz maior.
Responder: ; .
Se todos os termos contendo a incógnita forem representados na forma de termos de fórmulas de multiplicação abreviadas - o quadrado da soma ou diferença - então, após a substituição das variáveis, a equação pode ser apresentada na forma de uma equação quadrática incompleta do tipo.
Por exemplo:
Exemplo 1:
Resolva a equação: .
Solução:
Responder:
Exemplo 2:
Resolva a equação: .
Solução:
Responder:
EM visão geral a transformação ficará assim:
Isso implica: .
Não te lembra nada? Isso é uma coisa discriminatória! Foi exatamente assim que obtivemos a fórmula discriminante.
Equação quadrática- esta é uma equação da forma, onde - a incógnita, - os coeficientes da equação quadrática, - o termo livre.
Equação quadrática completa- uma equação em que os coeficientes não são iguais a zero.
Equação quadrática reduzida- uma equação em que o coeficiente, isto é: .
Equação quadrática incompleta- uma equação em que o coeficiente e ou o termo livre c são iguais a zero:
1. Algoritmo para resolução de equações quadráticas incompletas
1.1. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde,:
1) Vamos expressar o desconhecido: ,
2) Verifique o sinal da expressão:
1.2. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde,:
1) Vamos tirar o fator comum dos colchetes: ,
2) O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Portanto, a equação tem duas raízes:
1.3. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde:
Esta equação sempre tem apenas uma raiz: .
2. Algoritmo para resolver equações quadráticas completas da forma onde
2.1. Solução usando discriminante
1) Vamos trazer a equação para a forma padrão: ,
2) Vamos calcular o discriminante utilizando a fórmula: , que indica o número de raízes da equação:
3) Encontre as raízes da equação:
2.2. Solução usando o teorema de Vieta
A soma das raízes da equação quadrática reduzida (equação da forma onde) é igual, e o produto das raízes é igual, ou seja, , A.
2.3. Solução pelo método de seleção de um quadrado completo
Problemas de equações quadráticas são estudados tanto no currículo escolar quanto nas universidades. Eles significam equações da forma a*x^2 + b*x + c = 0, onde x- variável, a, b, c – constantes; a<>0. A tarefa é encontrar as raízes da equação.
O gráfico de uma função representada por uma equação quadrática é uma parábola. As soluções (raízes) de uma equação quadrática são os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas (x). Segue-se que existem três casos possíveis:
1) a parábola não tem pontos de intersecção com o eixo das abcissas. Isso significa que está no plano superior com galhos para cima ou no plano inferior com galhos para baixo. Nesses casos, a equação quadrática não possui raízes reais (possui duas raízes complexas).
2) a parábola tem um ponto de intersecção com o eixo do Boi. Tal ponto é chamado de vértice da parábola, e a equação quadrática nele adquire seu valor mínimo ou máximo. Neste caso, a equação quadrática possui uma raiz real (ou duas raízes idênticas).
3) O último caso é mais interessante na prática - existem dois pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas. Isso significa que existem duas raízes reais da equação.
Com base na análise dos coeficientes das potências das variáveis, podem-se tirar conclusões interessantes sobre a colocação da parábola.
1) Se o coeficiente a for maior que zero, então os ramos da parábola estão direcionados para cima; se for negativo, os ramos da parábola estão direcionados para baixo.
2) Se o coeficiente b for maior que zero, então o vértice da parábola está no semiplano esquerdo, se assumir um valor negativo, então à direita.
Vamos transferir a constante da equação quadrática 
para o sinal de igual, obtemos a expressão
Multiplique ambos os lados por 4a 
Para obter um quadrado completo à esquerda, adicione b^2 em ambos os lados e faça a transformação
A partir daqui encontramos
O discriminante é o valor da expressão radical. Se for positivo, então a equação tem duas raízes reais, calculadas pela fórmula 
Quando o discriminante é zero, a equação quadrática tem uma solução (duas raízes coincidentes), que pode ser facilmente obtida a partir da fórmula acima para D = 0. Quando o discriminante é negativo, a equação não tem raízes reais. Porém, as soluções da equação quadrática são encontradas no plano complexo e seu valor é calculado pela fórmula 
Vamos considerar duas raízes de uma equação quadrática e construir uma equação quadrática com base nelas. O próprio teorema de Vieta segue facilmente da notação: se tivermos uma equação quadrática da forma 
então a soma de suas raízes é igual ao coeficiente p retirado de sinal oposto, e o produto das raízes da equação é igual ao termo livre q. A representação formulada acima será semelhante a: Se em uma equação clássica a constante a é diferente de zero, então você precisa dividir a equação inteira por ela e então aplicar o teorema de Vieta.
Deixe a tarefa ser definida: fatorar uma equação quadrática. Para fazer isso, primeiro resolvemos a equação (encontramos as raízes). A seguir, substituímos as raízes encontradas na fórmula de expansão da equação quadrática, o que resolverá o problema.
Tarefa 1. Encontre as raízes de uma equação quadrática
x^2-26x+120=0 .
Solução: Anote os coeficientes e substitua-os na fórmula discriminante
Raiz de dado valoré igual a 14, é fácil de encontrar com uma calculadora, ou lembrar com o uso frequente, porém, por conveniência, no final do artigo darei uma lista de quadrados de números que muitas vezes podem ser encontrados em tais problemas.
Substituímos o valor encontrado na fórmula raiz 
e nós obtemos 
Tarefa 2. Resolva a equação
2x2 +x-3=0.
Solução: Temos uma equação quadrática completa, escrevemos os coeficientes e encontramos o discriminante 
Usando fórmulas conhecidas, encontramos as raízes da equação quadrática 
Tarefa 3. Resolva a equação
9x 2 -12x+4=0.
Solução: Temos uma equação quadrática completa. Determinando o discriminante
Temos um caso em que as raízes coincidem. Encontre os valores das raízes usando a fórmula 
Tarefa 4. Resolva a equação
x^2+x-6=0 .
Solução: Nos casos em que existem coeficientes pequenos para x, é aconselhável aplicar o teorema de Vieta. Por sua condição obtemos duas equações
Da segunda condição descobrimos que o produto deve ser igual a -6. Isso significa que uma das raízes é negativa. Temos o seguinte par possível de soluções (-3;2), (3;-2) . Tendo em conta a primeira condição, rejeitamos o segundo par de soluções.
As raízes da equação são iguais
Problema 5. Encontre os comprimentos dos lados de um retângulo se seu perímetro for 18 cm e sua área for 77 cm 2.
Solução: Metade do perímetro de um retângulo é igual à soma dos lados adjacentes. Vamos denotar x como o lado maior, então 18-x é o seu lado menor. A área do retângulo é igual ao produto destes comprimentos:
x(18-x)=77;
ou
x 2 -18x+77=0.
Vamos encontrar o discriminante da equação
Calculando as raízes da equação 
Se x = 11, Que 18 = 7, o oposto também é verdadeiro (se x=7, então 21’s=9).
Problema 6. Fatore a equação quadrática 10x 2 -11x+3=0.
Solução: Vamos calcular as raízes da equação, para isso encontramos o discriminante 
Substituímos o valor encontrado na fórmula raiz e calculamos 
Aplicamos a fórmula para decompor uma equação quadrática por raízes 
Abrindo os colchetes obtemos uma identidade.
Exemplo 1. Em quais valores de parâmetros A , a equação (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tem uma raiz?
Solução: Por substituição direta do valor a=3 vemos que não tem solução. A seguir, usaremos o fato de que com um discriminante zero a equação tem uma raiz de multiplicidade 2. Vamos escrever o discriminante 
Vamos simplificar e igualar a zero
Obtivemos uma equação quadrática em relação ao parâmetro a, cuja solução pode ser facilmente obtida utilizando o teorema de Vieta. A soma das raízes é 7 e seu produto é 12. Por pesquisa simples estabelecemos que os números 3,4 serão as raízes da equação. Como já rejeitamos a solução a=3 no início dos cálculos, a única correta será - uma=4. Assim, para a=4 a equação tem uma raiz.
Exemplo 2. Em quais valores de parâmetros A , a equação uma(uma+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 tem mais de uma raiz?
Solução: Vamos primeiro considerar os pontos singulares, eles terão os valores a=0 e a=-3. Quando a=0, a equação será simplificada para a forma 6x-9=0; x=3/2 e haverá uma raiz. Para a= -3 obtemos a identidade 0=0.
Vamos calcular o discriminante 
e encontre o valor de a no qual é positivo 
Da primeira condição obtemos a>3. Para o segundo, encontramos o discriminante e as raízes da equação 
Vamos determinar os intervalos onde a função assume valores positivos. Substituindo o ponto a=0 obtemos 3>0
.
Portanto, fora do intervalo (-3;1/3) a função é negativa. Não se esqueça do ponto uma=0, que deve ser excluído porque a equação original tem uma raiz.
Como resultado, obtemos dois intervalos que satisfazem as condições do problema 
Haverá muitas tarefas semelhantes na prática, tente descobrir você mesmo as tarefas e não se esqueça de levar em consideração as condições que são mutuamente exclusivas. Estude bem as fórmulas para resolver equações quadráticas, pois elas são frequentemente necessárias em cálculos de vários problemas e ciências.
As equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é absolutamente necessária.
Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números arbitrários e a ≠ 0.
Antes de estudar métodos específicos de solução, observe que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:
Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.
Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac.
Você precisa saber esta fórmula de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante você pode determinar quantas raízes uma equação quadrática possui. Nomeadamente:
Atenção: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como por algum motivo muitas pessoas acreditam. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:
Tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Vamos escrever os coeficientes da primeira equação e encontrar o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Portanto, o discriminante é positivo, portanto a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação de maneira semelhante:
uma = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação restante é:
uma = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
O discriminante é zero – a raiz será um.
Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso, mas você não vai confundir as probabilidades e cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.
A propósito, se você pegar o jeito, depois de um tempo não precisará anotar todos os coeficientes. Você realizará essas operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, não tanto.
Agora vamos passar para a solução em si. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:
Fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática
Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - você obterá o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Primeira equação:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ uma = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:
Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fim(alinhar)\]
Finalmente, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ uma = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:
Como você pode ver nos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e sabe contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, ocorrem erros ao substituir coeficientes negativos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: observe a fórmula literalmente, anote cada passo - e muito em breve você se livrará dos erros.
Acontece que uma equação quadrática é ligeiramente diferente daquela dada na definição. Por exemplo:
É fácil notar que falta um dos termos nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem exigem o cálculo do discriminante. Então, vamos apresentar um novo conceito:
A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja, o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.
Claro, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b = c = 0. Neste caso, a equação assume a forma ax 2 = 0. Obviamente, tal equação tem uma única raiz: x = 0.
Vamos considerar os casos restantes. Seja b = 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0. Vamos transformá-la um pouco:
Como a raiz quadrada aritmética existe apenas para um número não negativo, a última igualdade só faz sentido para (−c /a) ≥ 0. Conclusão:
Como você pode ver, não foi necessário um discriminante – não há cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é necessário lembrar a desigualdade (−c /a) ≥ 0. Basta expressar o valor x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se for negativo, não haverá raízes.
Agora vejamos equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:
Tirando o fator comum dos colchetesO produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. É daí que vêm as raízes. Concluindo, vejamos algumas dessas equações:
Tarefa. Resolva equações quadráticas:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Não há raízes, porque um quadrado não pode ser igual a um número negativo.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.
Descrição bibliográfica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Métodos para resolver equações quadráticas // Jovem cientista. 2016. Nº 6.1. P. 17-20..02.2019).
Nosso projeto é sobre maneiras de resolver equações quadráticas. Objetivo do projeto: aprender a resolver equações quadráticas de formas não incluídas no currículo escolar. Tarefa: encontrar tudo maneiras possíveis resolvendo equações quadráticas e aprendendo como usá-las você mesmo e apresentando esses métodos aos seus colegas.
O que são “equações quadráticas”?
Equação quadrática- equação da forma machado2 + bx + c = 0, Onde a, b, c- alguns números ( uma ≠ 0), x- desconhecido.
Os números a, b, c são chamados de coeficientes da equação quadrática.
Quem foi o primeiro a “inventar” equações quadráticas?
Algumas técnicas algébricas para resolver equações lineares e quadráticas eram conhecidas há 4.000 anos na Antiga Babilônia. A descoberta de antigas tabuletas de argila da Babilônia, datadas de algum lugar entre 1.800 e 1.600 aC, fornece a evidência mais antiga do estudo de equações quadráticas. As mesmas tabuinhas contêm métodos para resolver certos tipos de equações quadráticas.
A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau, ainda na antiguidade, foi provocada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização de áreas de terrenos e com trabalhos de escavação de carácter militar, também como aconteceu com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática.
A regra para resolver estas equações, estabelecida nos textos babilônicos, coincide essencialmente com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a esta regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora apresentam apenas problemas com soluções apresentadas na forma de receitas, sem nenhuma indicação de como foram encontrados. Apesar de alto nível desenvolvimento da álgebra na Babilônia, os textos cuneiformes carecem do conceito de número negativo e de métodos gerais para resolver equações quadráticas.
Matemáticos babilônios por volta do século 4 aC. usou o método do complemento de quadrados para resolver equações com raízes positivas. Por volta de 300 a.C. Euclides apresentou um método de solução geométrica mais geral. O primeiro matemático que encontrou soluções para equações com raízes negativas na forma fórmula algébrica, era um cientista indiano Brahmagupta(Índia, século VII d.C.).
Brahmagupta estabeleceu uma regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica:
ax2 + bx = c, a>0
Os coeficientes nesta equação também podem ser negativos. O governo de Brahmagupta é essencialmente o mesmo que o nosso.
As competições públicas para resolver problemas eram comuns na Índia. tarefas difíceis. Um dos antigos livros indianos diz o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol eclipsa as estrelas com seu brilho, assim também homem instruído eclipsará sua glória nas assembléias públicas ao propor e resolver problemas algébricos.” Os problemas eram frequentemente apresentados de forma poética.
Em um tratado algébrico Al-Khwarizmié dada uma classificação de equações lineares e quadráticas. O autor conta 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:
1) “Quadrados são iguais a raízes”, ou seja, ax2 = bx.
2) “Quadrados são iguais a números”, ou seja, ax2 = c.
3) “As raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 = c.
4) “Quadrados e números são iguais a raízes”, ou seja, ax2 + c = bx.
5) “Quadrados e raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 + bx = c.
6) “Raízes e números são iguais a quadrados”, ou seja, bx + c == ax2.
Para Al-Khwarizmi, que evitou o uso de números negativos, os termos de cada uma dessas equações são adendos e não subtraíveis. Neste caso, equações que não possuem decisões positivas. O autor expõe métodos para resolver essas equações utilizando as técnicas de al-jabr e al-mukabal. A decisão dele, é claro, não coincide completamente com a nossa. Sem falar que é puramente retórico, deve-se notar, por exemplo, que ao resolver uma equação quadrática incompleta do primeiro tipo, Al-Khorezmi, como todos os matemáticos até o século XVII, não leva em consideração a solução zero, provavelmente porque na prática específica isso não importa nas tarefas. Ao resolver equações quadráticas completas, Al-Khwarizmi estabelece as regras para resolvê-las usando exemplos numéricos específicos e, em seguida, suas provas geométricas.
As formas para resolver equações quadráticas seguindo o modelo de Al-Khwarizmi na Europa foram estabelecidas pela primeira vez no “Livro do Ábaco”, escrito em 1202. Matemático italiano Leonardo Fibonacci. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos resolvendo problemas e foi o primeiro na Europa a introduzir números negativos.
Este livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitos problemas deste livro foram usados em quase todos os livros europeus dos séculos XIV-XVII. Regra geral a solução de equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x2 + bх = с para todas as combinações possíveis de sinais e coeficientes b, c foi formulada na Europa em 1544. Sr. Stiefel.
A derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática na forma geral está disponível em Viète, mas Viète reconheceu apenas raízes positivas. Matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli entre os primeiros do século XVI. Além das positivas, também são levadas em consideração as raízes negativas. Somente no século XVII. graças aos esforços Girard, Descartes, Newton e outros caminho dos cientistas resolver equações quadráticas assume uma forma moderna.
Vejamos várias maneiras de resolver equações quadráticas.
Métodos padrão para resolver equações quadráticas de currículo escolar:
Detenhamo-nos mais detalhadamente na solução de equações quadráticas reduzidas e não reduzidas usando o teorema de Vieta.
Lembre-se que para resolver as equações quadráticas acima, basta encontrar dois números cujo produto seja igual ao termo livre e cuja soma seja igual ao segundo coeficiente com sinal oposto.
Exemplo.x 2 -5x+6=0
Você precisa encontrar números cujo produto seja 6 e cuja soma seja 5. Esses números serão 3 e 2.
Resposta: x 1 =2,x 2 =3.
Mas você também pode usar este método para equações com o primeiro coeficiente diferente de um.
Exemplo.3x 2 +2x-5=0
Pegue o primeiro coeficiente e multiplique-o pelo termo livre: x 2 +2x-15=0
As raízes desta equação serão números cujo produto é igual a -15 e cuja soma é igual a -2. Esses números são 5 e 3. Para encontrar as raízes da equação original, divida as raízes resultantes pelo primeiro coeficiente.
Resposta: x 1 =-5/3,x 2 =1
6. Resolver equações pelo método "throw".
Considere a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, onde a≠0.
Multiplicando ambos os lados por a, obtemos a equação a 2 x 2 + abx + ac = 0.
Seja ax = y, de onde x = y/a; então chegamos à equação y 2 + by + ac = 0, equivalente à dada. Encontramos as suas raízes para 1 e 2 utilizando o teorema de Vieta.
Finalmente obtemos x 1 = y 1 /a e x 2 = y 2 /a.
Com este método, o coeficiente a é multiplicado pelo termo livre, como se fosse “jogado” nele, por isso é chamado de método “lançamento”. Este método é usado quando as raízes da equação podem ser facilmente encontradas usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.
Exemplo.2x 2 - 11x + 15 = 0.
Vamos “jogar” o coeficiente 2 para o termo livre e fazer uma substituição e obter a equação y 2 - 11y + 30 = 0.
De acordo com o teorema inverso de Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.
Resposta: x 1 =2,5; X 2 = 3.
7. Propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática.
Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
1. Se a+ b + c = 0 (ou seja, a soma dos coeficientes da equação é zero), então x 1 = 1.
2. Se a - b + c = 0, ou b = a + c, então x 1 = - 1.
Exemplo.345x 2 - 137x - 208 = 0.
Como a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), então x 1 = 1, x 2 = -208/345.
Resposta: x 1 =1; X 2 = -208/345 .
Exemplo.132x 2 + 247x + 115 = 0
Porque a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), então x 1 = - 1, x 2 = - 115/132
Resposta: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132
Existem outras propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática. mas seu uso é mais complexo.
8. Resolver equações quadráticas utilizando um nomograma.
Figura 1. Nomograma
Este é um método antigo e atualmente esquecido de resolução de equações quadráticas, colocado na página 83 da coleção: Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.
Tabela XXII. Nomograma para resolver a equação z 2 + pz + q = 0. Este nomograma permite, sem resolver uma equação quadrática, determinar as raízes da equação a partir de seus coeficientes.
A escala curvilínea do nomograma é construída de acordo com as fórmulas (Fig. 1):
Acreditar OS = p, ED = q, OE = a(tudo em cm), da Fig. 1 semelhanças de triângulos SAN E CDF obtemos a proporção
que, após substituições e simplificações, produz a equação z 2 + pz + q = 0, e a carta z significa a marca de qualquer ponto em uma escala curva.
Arroz. 2 Resolvendo equações quadráticas usando um nomograma
Exemplos.
1) Para a equação z 2 - 9z + 8 = 0 o nomograma fornece as raízes z 1 = 8,0 e z 2 = 1,0
Resposta:8,0; 1,0.
2) Usando um nomograma, resolvemos a equação
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Divida os coeficientes desta equação por 2, obtemos a equação z 2 - 4,5z + 1 = 0.
O nomograma fornece raízes z 1 = 4 e z 2 = 0,5.
Resposta: 4; 0,5.
9. Método geométrico de resolução de equações quadráticas.
Exemplo.X 2 + 10x = 39.
No original, este problema é formulado da seguinte forma: “O quadrado e as dez raízes são iguais a 39”.
Considere um quadrado de lado x, são construídos retângulos em seus lados de forma que o outro lado de cada um deles seja 2,5, portanto a área de cada um é 2,5x. A figura resultante é então completada em um novo quadrado ABCD, adicionando quatro quadrados nos cantos. quadrado igual, o lado de cada um deles é 2,5 e a área é 6,25
Arroz. 3 Método gráfico para resolver a equação x 2 + 10x = 39
A área S do quadrado ABCD pode ser representada como a soma das áreas de: o quadrado original x 2, quatro retângulos (4∙2,5x = 10x) e quatro quadrados adicionais (6,25∙4 = 25), ou seja, S = x 2 + 10x = 25. Substituindo x 2 + 10x pelo número 39, obtemos que S = 39 + 25 = 64, o que significa que o lado do quadrado é ABCD, ou seja, segmento AB = 8. Para o lado requerido x do quadrado original, obtemos
10. Resolução de equações utilizando o teorema de Bezout.
Teorema de Bezout. O restante da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x - α é igual a P(α) (ou seja, o valor de P(x) em x = α).
Se o número α for a raiz do polinômio P(x), então este polinômio é divisível por x -α sem resto.
Exemplo.x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Divida P(x) por (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, ou x-3=0, x=3; Resposta: x1 =2,x2 =3.
Conclusão: A capacidade de resolver equações quadráticas de forma rápida e racional é simplesmente necessária para resolver equações mais complexas, por exemplo, equações racionais fracionárias, equações graus mais elevados, equações biquadráticas e no ensino médio trigonométricas, exponenciais e equações logarítmicas. Tendo estudado todos os métodos encontrados para resolução de equações quadráticas, podemos aconselhar nossos colegas, além dos métodos padrão, a resolver pelo método de transferência (6) e resolver equações usando a propriedade dos coeficientes (7), pois são mais acessíveis para entender.
Literatura:
