Fórmula de progressão aritmética e geométrica com exemplos. progressão algébrica

Problemas de progressão aritmética existem desde os tempos antigos. Apareceram e exigiram uma solução, porque tinham uma necessidade prática.

Assim, em um dos papiros do Antigo Egito, que possui conteúdo matemático - o papiro de Rhind (século XIX aC) - contém a seguinte tarefa: dividir dez medidas de pão em dez pessoas, desde que a diferença entre cada uma delas seja uma oitavo de compasso.

E nas obras matemáticas dos antigos gregos existem teoremas elegantes relacionados à progressão aritmética. Então, Gipsicles de Alexandria (século II, que equivalia a muito tarefas interessantes e acrescentando o décimo quarto livro aos Elementos de Euclides, formulou a ideia: "Numa progressão aritmética com um número par de membros, a soma dos membros da 2ª metade é maior que a soma dos membros do 1º pelo quadrado de 1 /2 do número de membros."

A sequência an é denotada. Os números da sequência são chamados de seus membros e geralmente são denotados por letras com índices que indicam o número de série desse membro (a1, a2, a3 ... leia-se: “a 1º”, “a 2º”, “a 3º” e assim por diante).

A sequência pode ser infinita ou finita.

O que é uma progressão aritmética? Entende-se como obtido pela soma do termo anterior (n) com o mesmo número d, que é a diferença da progressão.

Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, então tal progressão é considerada crescente.

Uma progressão aritmética é dita finita se apenas alguns de seus primeiros termos forem levados em consideração. muito em grande número membros já é uma progressão infinita.

Qualquer progressão aritmética é dada pela seguinte fórmula:

an =kn+b, enquanto b e k são alguns números.

A afirmação, que é o oposto, é absolutamente verdadeira: se a sequência é dada por uma fórmula semelhante, então esta é exatamente uma progressão aritmética, que possui as propriedades:

Cada membro da progressão é a média aritmética do membro anterior e do próximo.
O oposto: se, a partir do 2º, cada termo é a média aritmética do termo anterior e do próximo, ou seja, se a condição for satisfeita, então a sequência dada é uma progressão aritmética. Essa igualdade é ao mesmo tempo um sinal de progressão, por isso é geralmente chamada de propriedade característica de progressão.
Da mesma forma, o teorema que reflete essa propriedade é verdadeiro: uma sequência é uma progressão aritmética somente se essa igualdade for verdadeira para qualquer um dos membros da sequência, a partir do 2º.

A propriedade característica para quaisquer quatro números de uma progressão aritmética pode ser expressa pela fórmula an + am = ak + al se n + m = k + l (m, n, k são os números da progressão).

Em uma progressão aritmética, qualquer termo necessário (Nº) pode ser encontrado aplicando a seguinte fórmula:

Por exemplo: o primeiro termo (a1) em uma progressão aritmética é dado e é igual a três, e a diferença (d) é igual a quatro. Você precisa encontrar o quadragésimo quinto termo dessa progressão. a45 = 1+4(45-1)=177

A fórmula an = ak + d(n - k) nos permite determinar enésimo membro progressão aritmética através de qualquer um de seus k-ésimos termos, desde que seja conhecido.

A soma dos membros de uma progressão aritmética (assumindo os 1º n membros da progressão final) é calculada da seguinte forma:

Sn = (a1+an) n/2.

Se o 1º termo também for conhecido, outra fórmula é conveniente para o cálculo:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

A soma de uma progressão aritmética que contém n termos é calculada da seguinte forma:

A escolha das fórmulas para cálculos depende das condições das tarefas e dos dados iniciais.

A série natural de quaisquer números como 1,2,3,...,n,... é o exemplo mais simples de uma progressão aritmética.

Além da progressão aritmética, existe também a progressão geométrica, que possui propriedades e características próprias.

Por exemplo, a sequência \(2\); \(5\); \(oito\); \(onze\); \(14\)… é uma progressão aritmética, pois cada próximo elemento difere do anterior por três (pode ser obtido do anterior somando três):

Nessa progressão, a diferença \(d\) é positiva (igual a \(3\)) e, portanto, cada próximo termo é maior que o anterior. Essas progressões são chamadas aumentando.

No entanto, \(d\) também pode ser um número negativo. Por exemplo, em progressão aritmética \(16\); \(dez\); \(quatro\); \(-2\); \(-8\)… a diferença de progressão \(d\) é igual a menos seis.

E neste caso, cada próximo elemento será menor que o anterior. Essas progressões são chamadas diminuindo.

Notação de progressão aritmética

A progressão é indicada por uma pequena letra latina.

Os números que formam uma progressão são chamados de membros(ou elementos).

Eles são indicados pela mesma letra que progressão aritmética, mas com um índice numérico igual ao número ordinal do elemento.

Por exemplo, a progressão aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consiste nos elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e assim por diante.

Em outras palavras, para a progressão \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Resolvendo problemas em uma progressão aritmética

Em princípio, as informações acima já são suficientes para resolver quase todos os problemas em uma progressão aritmética (incluindo os oferecidos no OGE).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições \(b_1=7; d=4\). Encontre \(b_5\).
Solução:

Responda: \(b_5=23\)

Exemplo (OGE). Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são dados: \(62; 49; 36…\) Encontre o valor do primeiro termo negativo dessa progressão.
Solução:

	Recebemos os primeiros elementos da sequência e sabemos que é uma progressão aritmética. Ou seja, cada elemento difere do vizinho pelo mesmo número. Descubra qual subtraindo o anterior do próximo elemento: \(d=49-62=-13\).
	Agora podemos restaurar nossa progressão para o elemento desejado (primeiro negativo).
	Preparar. Você pode escrever uma resposta.

Responda: \(-3\)

Exemplo (OGE). Vários elementos sucessivos de uma progressão aritmética são dados: \(...5; x; 10; 12,5...\) Encontre o valor do elemento denotado pela letra \(x\).
Solução:

	Para encontrar \(x\), precisamos saber o quanto o próximo elemento difere do anterior, ou seja, a diferença de progressão. Vamos encontrá-lo a partir de dois elementos vizinhos conhecidos: \(d=12.5-10=2.5\).
	E agora encontramos o que procuramos sem problemas: \(x=5+2.5=7.5\).
	Preparar. Você pode escrever uma resposta.

Responda: \(7,5\).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas seguintes condições: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encontre a soma dos seis primeiros termos dessa progressão.
Solução:

Precisamos encontrar a soma dos seis primeiros termos da progressão. Mas não sabemos seus significados, recebemos apenas o primeiro elemento. Portanto, primeiro calculamos os valores por sua vez, usando o que nos foi dado:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
E tendo calculado os seis elementos de que precisamos, encontramos sua soma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

O valor solicitado foi encontrado.

Responda: \(S_6=9\).

Exemplo (OGE). Em progressão aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encontre a diferença dessa progressão.
Solução:

Responda: \(d=7\).

Fórmulas importantes de progressão aritmética

Como você pode ver, muitos problemas de progressão aritmética podem ser resolvidos simplesmente compreendendo o principal - que uma progressão aritmética é uma cadeia de números, e cada próximo elemento dessa cadeia é obtido adicionando o mesmo número ao anterior (a diferença da progressão).

No entanto, às vezes há situações em que é muito inconveniente resolver "na testa". Por exemplo, imagine que logo no primeiro exemplo, precisamos encontrar não o quinto elemento \(b_5\), mas o tricentésimo octogésimo sexto \(b_(386)\). O que é, nós \ (385 \) vezes para adicionar quatro? Ou imagine que no penúltimo exemplo você precisa encontrar a soma dos primeiros setenta e três elementos. Contar é confuso...

Portanto, nesses casos, eles não resolvem “na testa”, mas usam fórmulas especiais derivadas da progressão aritmética. E as principais são a fórmula do enésimo termo da progressão e a fórmula da soma \(n\) dos primeiros termos.

Fórmula do \(n\)ésimo membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), onde \(a_1\) é o primeiro membro da progressão;
\(n\) – número do elemento requerido;
\(a_n\) é um membro da progressão com o número \(n\).

Esta fórmula nos permite encontrar rapidamente pelo menos o tricentésimo, até mesmo o milionésimo elemento, conhecendo apenas o primeiro e a diferença de progressão.

Exemplo. A progressão aritmética é dada pelas condições: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encontre \(b_(246)\).
Solução:

Responda: \(b_(246)=1850\).

A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), onde

\(a_n\) é o último termo somado;

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições \(a_n=3.4n-0.6\). Encontre a soma dos primeiros \(25\) termos dessa progressão.
Solução:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Para calcular a soma dos primeiros vinte e cinco elementos, precisamos saber o valor do primeiro e do vigésimo quinto termo. Nossa progressão é dada pela fórmula do enésimo termo dependendo do seu número (ver detalhes). Vamos calcular o primeiro elemento substituindo \(n\) por um.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Agora vamos encontrar o vigésimo quinto termo substituindo vinte e cinco em vez de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Bem, agora calculamos a quantidade necessária sem problemas.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A resposta está pronta.

Responda: \(S_(25)=1090\).

Para a soma \(n\) dos primeiros termos, você pode obter outra fórmula: basta \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) em vez de \(a_n\) substitua-o pela fórmula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nós temos:

A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), onde

\(S_n\) – a soma necessária \(n\) dos primeiros elementos;
\(a_1\) é o primeiro termo a ser somado;
\(d\) – diferença de progressão;
\(n\) - o número de elementos na soma.

Exemplo. Encontre a soma dos primeiros termos \(33\)-ex da progressão aritmética: \(17\); \(15,5\); \(quatorze\)…
Solução:

Responda: \(S_(33)=-231\).

Problemas de progressão aritmética mais complexos

Agora você tem tudo informação necessária para resolver quase todos os problemas em uma progressão aritmética. Vamos encerrar o assunto considerando problemas nos quais você precisa não apenas aplicar fórmulas, mas também pensar um pouco (em matemática, isso pode ser útil ☺)

Exemplo (OGE). Encontre a soma de todos os termos negativos da progressão: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Solução:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A tarefa é muito semelhante à anterior. Começamos resolvendo da mesma forma: primeiro encontramos \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Agora, substituiríamos \(d\) na fórmula pela soma ... e aqui uma pequena nuance aparece - não sabemos \(n\). Em outras palavras, não sabemos quantos termos precisarão ser adicionados. Como descobrir? Vamos pensar. Pararemos de adicionar elementos quando chegarmos ao primeiro elemento positivo. Ou seja, você precisa descobrir o número desse elemento. Como? Vamos escrever a fórmula para calcular qualquer elemento de uma progressão aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para o nosso caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Precisamos que \(a_n\) seja maior que zero. Vamos descobrir para que \(n\) isso vai acontecer.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(\|:0,3\)		Dividimos ambos os lados da desigualdade por \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Transferimos menos um, não esquecendo de trocar os sinais
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Informática...
\(n>65.333…\)		…e verifica-se que o primeiro elemento positivo terá o número \(66\). Assim, o último negativo tem \(n=65\). Por via das dúvidas, vamos verificar.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Assim, precisamos adicionar os primeiros elementos \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		A resposta está pronta.

Responda: \(S_(65)=-630.5\).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encontre a soma de \(26\)th a \(42\) elemento inclusive.
Solução:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Neste problema, você também precisa encontrar a soma dos elementos, mas começando não do primeiro, mas do \(26\)º. Não temos uma fórmula para isso. Como decidir? Fácil - para obter a soma de \(26\)th para \(42\)th, você deve primeiro encontrar a soma de \(1\)th para \(42\)th e, em seguida, subtrair dela a soma de o primeiro a \ (25 \) th (veja a foto).
	Para nossa progressão \(a_1=-33\), e a diferença \(d=4\) (afinal, adicionamos quatro ao elemento anterior para encontrar o próximo). Sabendo disso, encontramos a soma dos primeiros elementos \(42\)-uh.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Agora a soma dos primeiros \(25\)-ésimos elementos.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	E, finalmente, calculamos a resposta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Responda: \(S=1683\).

Para uma progressão aritmética, existem várias outras fórmulas que não consideramos neste artigo devido à sua baixa utilidade prática. No entanto, você pode encontrá-los facilmente.

Antes de começarmos a decidir problemas de progressão aritmética, considere o que é uma sequência numérica, já que uma progressão aritmética é caso especial sequência numérica.

A sequência numérica é conjunto de números, cada elemento tem seu próprio número de série. Os elementos desse conjunto são chamados de membros da sequência. O número ordinal de um elemento de sequência é indicado por um índice:

O primeiro elemento da sequência;

O quinto elemento da sequência;

- "enésimo" elemento da sequência, ou seja, o elemento "parado na fila" no número n.

Existe uma dependência entre o valor de um elemento de sequência e seu número ordinal. Portanto, podemos considerar uma sequência como uma função cujo argumento é o número ordinal de um elemento da sequência. Em outras palavras, pode-se dizer que a sequência é uma função do argumento natural:

A sequência pode ser especificada de três maneiras:

1 . A sequência pode ser especificada usando uma tabela. Nesse caso, simplesmente definimos o valor de cada membro da sequência.

Por exemplo, Alguém decidiu fazer gerenciamento de tempo pessoal e, para começar, calcular quanto tempo gasta no VKontakte durante a semana. Ao escrever o tempo em uma tabela, ele obterá uma sequência composta por sete elementos:

A primeira linha da tabela contém o número do dia da semana, a segunda - o tempo em minutos. Vemos que, ou seja, na segunda-feira Alguém gastou 125 minutos no VKontakte, ou seja, na quinta-feira - 248 minutos e, ou seja, na sexta-feira, apenas 15.

2 . A sequência pode ser especificada usando a fórmula do n-ésimo membro.

Nesse caso, a dependência do valor de um elemento de sequência em seu número é expressa diretamente como uma fórmula.

Por exemplo, se , então

Para encontrar o valor de um elemento de sequência com um determinado número, substituímos o número do elemento na fórmula pelo enésimo membro.

Fazemos o mesmo se precisarmos encontrar o valor de uma função se o valor do argumento for conhecido. Em vez disso, substituímos o valor do argumento na equação da função:

Se, por exemplo, , então

Mais uma vez, observo que em uma sequência, em contraste com uma função numérica arbitrária, apenas um número natural pode ser um argumento.

3 . A sequência pode ser especificada por meio de uma fórmula que expressa a dependência do valor do membro da sequência com o número n em relação ao valor dos membros anteriores. Nesse caso, não basta saber apenas o número de um membro da sequência para encontrar seu valor. Precisamos especificar o primeiro membro ou os primeiros membros da sequência.

Por exemplo, considere a sequência ,

Podemos encontrar os valores dos membros de uma sequência em sequência, a partir do terceiro:

Ou seja, cada vez que encontrarmos o valor do enésimo membro da sequência, voltamos aos dois anteriores. Essa forma de sequenciamento é chamada recorrente, da palavra latina recorrente- volte.

Agora podemos definir uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é um caso especial simples de uma sequência numérica.

Progressão aritmética é chamada de sequência numérica, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, adicionado com o mesmo número.

O número é chamado a diferença de uma progressão aritmética. A diferença de uma progressão aritmética pode ser positiva, negativa ou zero.

Se título="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} aumentando.

Por exemplo, 2; 5; oito; onze;...

Se , então cada termo da progressão aritmética é menor que o anterior, e a progressão é minguante.

Por exemplo, 2; -1; -quatro; -7;...

Se , então todos os membros da progressão são iguais ao mesmo número, e a progressão é estacionário.

Por exemplo, 2;2;2;2;...

A principal propriedade de uma progressão aritmética:

Vejamos a foto.

Nós vemos que

, e ao mesmo tempo

Somando essas duas igualdades, obtemos:

Divida ambos os lados da equação por 2:

Assim, cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética de dois vizinhos:

Além disso, desde

, e ao mesmo tempo

, então

, e, portanto

Cada membro da progressão aritmética começando com title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

fórmula do membro.

Vemos que, para os membros da progressão aritmética, valem as seguintes relações:

e finalmente

Obtemos fórmula do enésimo termo.

IMPORTANTE! Qualquer membro de uma progressão aritmética pode ser expresso em termos de e . Conhecendo o primeiro termo e a diferença de uma progressão aritmética, você pode encontrar qualquer um de seus membros.

A soma de n membros de uma progressão aritmética.

Em uma progressão aritmética arbitrária, as somas dos termos igualmente espaçados dos extremos são iguais entre si:

Considere uma progressão aritmética com n membros. Deixe a soma de n membros desta progressão ser igual a .

Organize os termos da progressão primeiro em ordem crescente de números e depois em ordem decrescente:

Vamos emparelhar:

A soma em cada parêntese é , o número de pares é n.

Nós temos:

Então, a soma de n membros de uma progressão aritmética pode ser encontrada usando as fórmulas:

Considerar resolver problemas de progressão aritmética.

1 . A sequência é dada pela fórmula do n-ésimo membro: . Prove que essa sequência é uma progressão aritmética.

Vamos provar que a diferença entre dois membros adjacentes da sequência é igual ao mesmo número.

Obtivemos que a diferença de dois membros adjacentes da sequência não depende de seu número e é uma constante. Portanto, por definição, essa sequência é uma progressão aritmética.

2 . Dada uma progressão aritmética -31; -27;...

a) Encontre os 31 termos da progressão.

b) Determine se o número 41 está incluído nesta progressão.

a) Nós vemos que ;

Vamos escrever a fórmula para o enésimo termo da nossa progressão.

No geral

No nosso caso , é por isso

Progressão aritmética nomear uma sequência de números (membros de uma progressão)

Em que cada termo subseqüente difere do anterior por um termo de aço, também chamado de diferença de passo ou progressão.

Assim, definindo o passo da progressão e seu primeiro termo, você pode encontrar qualquer um de seus elementos usando a fórmula

Propriedades de uma progressão aritmética

1) Cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo número, é a média aritmética do anterior e do próximo membro da progressão

A recíproca também é verdadeira. Se a média aritmética dos membros ímpares (pares) vizinhos da progressão for igual ao membro que está entre eles, então essa sequência de números é uma progressão aritmética. Por esta afirmação é muito fácil verificar qualquer sequência.

Também pela propriedade da progressão aritmética, a fórmula acima pode ser generalizada para o seguinte

Isso é fácil de verificar se escrevermos os termos à direita do sinal de igual

É freqüentemente usado na prática para simplificar cálculos em problemas.

2) A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula

Lembre-se bem da fórmula da soma de uma progressão aritmética, ela é indispensável nos cálculos e bastante comum em situações simples da vida.

3) Se você precisar encontrar não a soma inteira, mas uma parte da sequência a partir de seu k -ésimo membro, a seguinte fórmula de soma será útil para você

4) É de interesse prático encontrar a soma de n membros de uma progressão aritmética a partir do k-ésimo número. Para fazer isso, use a fórmula

É aqui que termina o material teórico e passamos a resolver problemas comuns na prática.

Exemplo 1. Encontre o quadragésimo termo da progressão aritmética 4;7;...

Solução:

De acordo com a condição, temos

Definir a etapa de progressão

De acordo com a conhecida fórmula, encontramos o quadragésimo termo da progressão

Exemplo2. A progressão aritmética é dada por seu terceiro e sétimo membros. Encontre o primeiro termo da progressão e a soma de dez.

Solução:

Escrevemos os elementos dados da progressão de acordo com as fórmulas

Subtraímos a primeira equação da segunda equação, como resultado, encontramos o passo de progressão

O valor encontrado é substituído em qualquer uma das equações para encontrar o primeiro termo da progressão aritmética

Calcule a soma dos dez primeiros termos da progressão

Sem aplicar cálculos complexos, encontramos todos os valores necessários.

Exemplo 3. Uma progressão aritmética é dada pelo denominador e um de seus membros. Encontre o primeiro termo da progressão, a soma de seus 50 termos começando em 50 e a soma dos primeiros 100.

Solução:

Vamos escrever a fórmula para o centésimo elemento da progressão

e encontre o primeiro

Com base no primeiro, encontramos o 50º termo da progressão

Encontrando a soma da parte da progressão

e a soma dos primeiros 100

A soma da progressão é 250.

Exemplo 4

Encontre o número de membros de uma progressão aritmética se:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Solução:

Escrevemos as equações em termos do primeiro termo e do passo da progressão e as definimos

Substituímos os valores obtidos na fórmula de soma para determinar o número de termos na soma

Fazendo simplificações

e resolva a equação do segundo grau

Dos dois valores encontrados, apenas o número 8 é adequado para a condição do problema. Assim, a soma dos oito primeiros termos da progressão é 111.

Exemplo 5

resolva a equação

1+3+5+...+x=307.

Solução: Esta equação é a soma de uma progressão aritmética. Escrevemos seu primeiro termo e encontramos a diferença da progressão

Primeiro nível

Progressão aritmética. Teoria detalhada com exemplos (2019)

sequência numérica

Então vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser (no nosso caso, eles). Não importa quantos números escrevamos, sempre podemos dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo e assim por diante até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica:

sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número de sequência. Em outras palavras, não há três segundos números na sequência. O segundo número (como o número -th) é sempre o mesmo.
O número com o número é chamado de -ésimo membro da sequência.

Normalmente chamamos toda a sequência de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

No nosso caso:

Digamos que temos uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo:

etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio já no século VI e foi entendido em um sentido mais amplo como uma sequência numérica sem fim. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, na qual os antigos gregos estavam engajados.

Esta é uma sequência numérica, cada membro da qual é igual ao anterior, adicionado com o mesmo número. Esse número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é denotado.

Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:

a)
b)
c)
d)

Entendi? Compare nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
não é progressão aritmética - a, d.

Voltemos à progressão dada () e tentemos encontrar o valor de seu eésimo membro. Existe dois maneira de encontrá-lo.

1. Método

Podemos somar ao valor anterior do número da progressão até chegarmos ao décimo termo da progressão. É bom que não tenhamos muito para resumir - apenas três valores:

Portanto, o -ésimo membro da progressão aritmética descrita é igual a.

2. Método

E se precisássemos encontrar o valor do termo da progressão? A soma levaria mais de uma hora, e não é fato que não teríamos cometido erros ao somar os números.
Claro, os matemáticos criaram uma maneira pela qual você não precisa adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Observe atentamente a imagem desenhada ... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:

Por exemplo, vamos ver o que compõe o valor do -ésimo membro desta progressão aritmética:

Em outras palavras:

Tente encontrar independentemente desta forma o valor de um membro desta progressão aritmética.

Calculado? Compare suas entradas com a resposta:

Observe que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando adicionamos sucessivamente os membros de uma progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar "despersonalizar" esta fórmula - vamos trazê-la para dentro Forma geral e pegue:

Equação de progressão aritmética.

As progressões aritméticas são crescentes ou decrescentes.

Aumentando- progressões em que cada valor subseqüente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:

descendente- progressões em que cada valor subseqüente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:

A fórmula derivada é usada no cálculo de termos em termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos conferir na prática.
Temos uma progressão aritmética composta pelos seguintes números:

Desde então:

Assim, ficamos convencidos de que a fórmula funciona tanto na progressão aritmética decrescente quanto na crescente.
Tente encontrar o -ésimo e -ésimo membro dessa progressão aritmética por conta própria.

Vamos comparar os resultados:

Propriedade de progressão aritmética

Vamos complicar a tarefa - derivamos a propriedade de uma progressão aritmética.
Suponha que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
É fácil, você diz, e começa a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:

Seja, a, então:

Absolutamente certo. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que estamos procurando. Se a progressão for representada por valores pequenos, não há nada de complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense, é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro, sim, e vamos tentar trazê-lo agora.

Vamos denotar o termo desejado da progressão aritmética como sabemos a fórmula para encontrá-lo - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, então:

o membro anterior da progressão é:
o próximo termo da progressão é:

Vamos somar os membros anteriores e seguintes da progressão:

Acontece que a soma dos membros anteriores e subsequentes da progressão é o dobro do valor do membro da progressão localizado entre eles. Ou seja, para encontrar o valor de um elemento de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário somar e dividir por.

Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos corrigir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, pois não é nada difícil.

Bem feito! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula, que, segundo a lenda, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, o "rei dos matemáticos" - Karl Gauss, deduziu facilmente por si mesmo ...

Quando Carl Gauss tinha 9 anos, o professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos em outras aulas, pediu a seguinte tarefa na aula: “Calcule a soma de todos os números naturais de para (de acordo com outras fontes até) inclusive. Qual foi a surpresa do professor quando um de seus alunos (era Karl Gauss) após um minuto deu a resposta correta para a tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário após longos cálculos recebeu o resultado errado ...

O jovem Carl Gauss notou um padrão que você pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética composta por membros -ti: Precisamos encontrar a soma dos membros dados da progressão aritmética. Claro, podemos somar todos os valores manualmente, mas e se precisarmos encontrar a soma de seus termos na tarefa, como Gauss estava procurando?

Vamos retratar a progressão que nos foi dada. Observe atentamente os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles.

Tentou? O que você notou? Corretamente! Suas somas são iguais

Agora responda, quantos desses pares haverá na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números.
Com base no fato de que a soma de dois termos de uma progressão aritmética é igual, e pares iguais semelhantes, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Em alguns problemas, não sabemos o termo, mas sabemos a diferença de progressão. Tente substituir na fórmula da soma, a fórmula do eésimo membro.
O que você conseguiu?

Bem feito! Agora vamos voltar ao problema que foi dado a Carl Gauss: calcule você mesmo qual é a soma dos números que começam no -ésimo e a soma dos números que começam no -ésimo.

Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual e a soma dos termos. Foi assim que você decidiu?

Na verdade, a fórmula para a soma dos membros de uma progressão aritmética foi comprovada pelo antigo cientista grego Diofanto no século III e, durante todo esse tempo, pessoas espirituosas usaram as propriedades de uma progressão aritmética com força e força.
Por exemplo, imagine Antigo Egito e o maior canteiro de obras da época - a construção de uma pirâmide ... A figura mostra um lado dela.

Onde está a progressão aqui, você diz? Observe com atenção e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada fileira da parede da pirâmide.

Por que não uma progressão aritmética? Conte quantos blocos são necessários para construir uma parede se blocos de tijolos forem colocados na base. Espero que você não conte movendo o dedo pelo monitor, você se lembra da última fórmula e de tudo o que dissemos sobre progressão aritmética?

NO este caso a progressão fica assim:
Diferença de progressão aritmética.
O número de membros de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (contamos o número de blocos de 2 maneiras).

Método 1.

Método 2.

E agora você também pode calcular no monitor: compare os valores obtidos com o número de blocos que estão em nossa pirâmide. Concordou? Muito bem, você dominou a soma dos termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide com os blocos da base, mas de? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com essa condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:

Treino

Tarefas:

Masha está ficando em forma para o verão. Todos os dias ela aumenta o número de agachamentos. Quantas vezes Masha agachará em semanas se ela fizer agachamentos no primeiro treino.
Qual é a soma de todos os números ímpares contidos em.
Ao armazenar toras, os lenhadores as empilham de forma que cada camada superior contenha uma tora a menos que a anterior. Quantas toras existem em uma alvenaria, se a base da alvenaria for toras.

Respostas:

Definamos os parâmetros da progressão aritmética. Nesse caso
(semanas = dias).
Responda: Em duas semanas, Masha deve agachar uma vez por dia.
Primeiro número ímpar, último número.
Diferença de progressão aritmética.
O número de números ímpares na metade, no entanto, verifique esse fato usando a fórmula para encontrar o -ésimo membro de uma progressão aritmética:
Os números contêm números ímpares.
Substituímos os dados disponíveis na fórmula:
Responda: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual a.
Lembre-se do problema das pirâmides. Para o nosso caso, a , uma vez que cada camada superior é reduzida em um log, há apenas um monte de camadas, ou seja.
Substitua os dados na fórmula:
Responda: Existem troncos na alvenaria.

Resumindo

- uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual. Está aumentando e diminuindo.
Encontrar fórmulaº membro de uma progressão aritmética é escrito pela fórmula - , onde é o número de números na progressão.
Propriedade dos membros de uma progressão aritmética- - onde - o número de números na progressão.
A soma dos membros de uma progressão aritmética pode ser encontrado de duas maneiras:

, onde é o número de valores.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. NÍVEL MÉDIO

sequência numérica

Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser. Mas você sempre pode dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica.

sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número exclusivo.

Em outras palavras, cada número pode ser associado a um determinado número natural, e apenas um. E não atribuiremos este número a nenhum outro número deste conjunto.

O número com o número é chamado de -ésimo membro da sequência.

Normalmente chamamos toda a sequência de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

É muito conveniente se o -ésimo membro da sequência puder ser dado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula

define a sequência:

E a fórmula é a seguinte sequência:

Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença). Ou (, diferença).

fórmula do enésimo termo

Chamamos de recorrente uma fórmula na qual, para descobrir o -ésimo termo, você precisa conhecer o anterior ou vários anteriores:

Para encontrar, por exemplo, o termo da progressão usando tal fórmula, temos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, vamos. Então:

Bem, agora está claro qual é a fórmula?

Em cada linha, somamos, multiplicamos por algum número. Para que? Muito simples: este é o número do membro atual menos:

Muito mais confortável agora, certo? Nós verificamos:

Decida por si mesmo:

Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.

Solução:

O primeiro membro é igual. e qual é a diferença? E aqui está o que:

(afinal, chama-se diferença porque é igual à diferença de membros sucessivos da progressão).

Então a fórmula é:

Então o centésimo termo é:

Qual é a soma de todos os números naturais de a?

De acordo com a legenda, grande matemático Carl Gauss, sendo um menino de 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele notou que a soma do primeiro e do último número é igual, a soma do segundo e do penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do terceiro a partir do final é a mesma e assim por diante. Quantos desses pares existem? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números. Então,

A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Exemplo:
Encontre a soma de todos números de dois dígitos, múltiplos.

Solução:

O primeiro desses números é este. Cada próximo é obtido adicionando um número ao anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.

A fórmula para o décimo termo dessa progressão é:

Quantos termos estão na progressão se todos devem ter dois dígitos?

Muito fácil: .

O último termo da progressão será igual. Então a soma:

Responda: .

Agora decida por si mesmo:

A cada dia o atleta corre 1m a mais que no dia anterior. Quantos quilômetros ele correrá em semanas se tiver corrido km/m no primeiro dia?
Um ciclista anda mais quilômetros a cada dia do que o anterior. No primeiro dia ele viajou km. Quantos dias ele tem que dirigir para percorrer um quilômetro? Quantos quilômetros ele percorrerá no último dia de viagem?
O preço de uma geladeira na loja é reduzido no mesmo valor a cada ano. Determine quanto o preço de uma geladeira diminui a cada ano se, colocado à venda por rublos, seis anos depois for vendido por rublos.

Respostas:

O mais importante aqui é reconhecer a progressão aritmética e determinar seus parâmetros. Neste caso, (semanas = dias). Você precisa determinar a soma dos primeiros termos desta progressão:
.
Responda:
Aqui é dado:, é necessário encontrar.
Obviamente, você precisa usar a mesma fórmula de soma do problema anterior:
.
Substitua os valores:
A raiz obviamente não se encaixa, então a resposta.
Vamos calcular a distância percorrida no último dia usando a fórmula do -ésimo membro:
(km).
Responda:
Dado: . Achar: .
Não fica mais fácil:
(esfregar).
Responda: