Espero que depois de estudar este artigo, você aprenda como encontrar as raízes de uma equação quadrática completa.
Com a ajuda do discriminante, apenas equações quadráticas completas são resolvidas; para resolver equações quadráticas incompletas, outros métodos são usados, que você encontrará no artigo "Resolvendo equações quadráticas incompletas".
Quais equações de segundo grau são chamadas de completas? isto equações da forma ax 2 + b x + c = 0, onde os coeficientes a, b e c não são iguais a zero. Então, para resolver a equação quadrática completa, você precisa calcular o discriminante D.
D \u003d b 2 - 4ac.
Dependendo do valor do discriminante, escreveremos a resposta.
Se o discriminante for um número negativo (D< 0),то корней нет.
Se o discriminante for zero, então x \u003d (-b) / 2a. Quando o discriminante é um número positivo (D > 0),
então x 1 = (-b - √D)/2a, ex 2 = (-b + √D)/2a.
Por exemplo. resolva a equação x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Resposta: 2.
Resolva a Equação 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Resposta: sem raízes.
Resolva a Equação 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Resposta: - 3,5; 1.
Então, vamos imaginar a solução de equações quadráticas completas pelo esquema da Figura 1.
Essas fórmulas podem ser usadas para resolver qualquer equação quadrática completa. Você só precisa ter cuidado para a equação foi escrita como um polinômio de forma padrão
uma x 2 + bx + c, caso contrário, você pode cometer um erro. Por exemplo, ao escrever a equação x + 3 + 2x 2 = 0, você pode erroneamente decidir que
a = 1, b = 3 e c = 2. Então
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 e então a equação tem duas raízes. E isso não é verdade. (Veja a solução do exemplo 2 acima).
Portanto, se a equação não for escrita como um polinômio da forma padrão, primeiro a equação quadrática completa deve ser escrita como um polinômio da forma padrão (em primeiro lugar deve haver um monômio com o maior expoente, ou seja uma x 2 , então com menos – bx, e então o termo livre Com.
Ao resolver a equação quadrática acima e a equação quadrática com um coeficiente par para o segundo termo, outras fórmulas também podem ser usadas. Vamos nos familiarizar com essas fórmulas. Se na equação quadrática completa com o segundo termo o coeficiente for par (b = 2k), então a equação pode ser resolvida usando as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 2.
Uma equação quadrática completa é dita reduzida se o coeficiente em x 2 é igual à unidade e a equação assume a forma x 2 + px + q = 0. Tal equação pode ser dada para resolver, ou é obtida dividindo todos os coeficientes da equação pelo coeficiente uma parado em x 2 .
A Figura 3 mostra um diagrama da solução do quadrado reduzido equações. Considere o exemplo da aplicação das fórmulas discutidas neste artigo.
Exemplo. resolva a equação
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Vamos resolver essa equação usando as fórmulas mostradas na Figura 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Resposta: -1 - √3; –1 + √3
Você pode ver que o coeficiente em x nesta equação é um número par, ou seja, b \u003d 6 ou b \u003d 2k, de onde k \u003d 3. Então vamos tentar resolver a equação usando as fórmulas mostradas no diagrama da figura D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Resposta: -1 - √3; –1 + √3. Notando que todos os coeficientes nesta equação quadrática são divisíveis por 3 e dividindo, obtemos a equação quadrática reduzida x 2 + 2x - 2 = 0 Resolvemos esta equação usando as fórmulas para a equação quadrática reduzida 
equações figura 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Resposta: -1 - √3; –1 + √3.
Como você pode ver, ao resolver esta equação usando diferentes fórmulas, obtivemos a mesma resposta. Portanto, tendo dominado bem as fórmulas mostradas no diagrama da Figura 1, você sempre pode resolver qualquer equação quadrática completa.
blog.site, com cópia total ou parcial do material, é necessário o link da fonte.
Com este programa de matemática você pode resolver equação quadrática.
O programa não apenas dá a resposta para o problema, mas também exibe o processo de solução de duas maneiras:
- usando o discriminante
- usando o teorema de Vieta (se possível).
Além disso, a resposta é exibida exata, não aproximada.
Por exemplo, para a equação \(81x^2-16x-1=0\), a resposta é exibida desta forma:
Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio escolas de educação geral em preparação para trabalho de controle e exames, ao testar o conhecimento antes do exame, os pais controlam a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa matemática ou álgebra? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.
Desta forma, você pode conduzir seu próprio treinamento e/ou o treinamento de seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto o nível de educação no campo das tarefas a serem resolvidas é aumentado.
Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir um polinômio quadrado, recomendamos que você se familiarize com elas.
Regras para inserir um polinômio quadrado
Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Os números podem ser inseridos como inteiros ou frações.
Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma de um decimal, mas também na forma de uma fração comum.
Regras para inserir frações decimais.
Em frações decimais, a parte fracionária do inteiro pode ser separada por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais então: 2,5x - 3,5x^2
Regras para inserir frações ordinárias.
Somente um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Ao inserir uma expressão você pode usar colchetes. Nesse caso, ao resolver uma equação quadrática, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Verificou-se que alguns scripts necessários para resolver esta tarefa não foram carregados e o programa pode não funcionar.
Você pode ter o AdBlock ativado.
Nesse caso, desative-o e atualize a página.
Porque Tem muita gente querendo resolver o problema, seu pedido está na fila.
Após alguns segundos, a solução aparecerá abaixo.
Espere, por favor seg...
Se você notei um erro na solução, então você pode escrever sobre isso no Formulário de Feedback.
Não esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.
Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:
Cada uma das equações
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
tem a forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
onde x é uma variável, a, b e c são números.
Na primeira equação a = -1, b = 6 e c = 1,4, na segunda a = 8, b = -7 e c = 0, na terceira a = 1, b = 0 e c = 4/9. Tais equações são chamadas equações quadráticas.
Definição.
Equação quadrática chama-se uma equação da forma ax 2 +bx+c=0, onde x é uma variável, a, b e c são alguns números, e \(a \neq 0 \).
Os números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. O número a é chamado de primeiro coeficiente, o número b é o segundo coeficiente e o número c é a interceptação.
Em cada uma das equações da forma ax 2 +bx+c=0, onde \(a \neq 0 \), a maior potência da variável x é um quadrado. Daí o nome: equação quadrática.
Observe que uma equação de segundo grau também é chamada de equação de segundo grau, pois seu lado esquerdo é um polinômio de segundo grau.
Uma equação quadrática na qual o coeficiente em x 2 é 1 é chamada equação quadrática reduzida. Por exemplo, as equações quadráticas dadas são as equações
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Se na equação quadrática ax 2 +bx+c=0 pelo menos um dos coeficientes b ou c é igual a zero, então tal equação é chamada equação quadrática incompleta. Assim, as equações -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 são equações quadráticas incompletas. Na primeira delas b=0, na segunda c=0, na terceira b=0 e c=0.
As equações de segundo grau incompletas são de três tipos:
1) ax 2 +c=0, onde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, onde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Considere a solução de equações de cada um desses tipos.
Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), seu termo livre é transferido para lado direito e divida ambos os lados da equação por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Como \(c \neq 0 \), então \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Se \(-\frac(c)(a)>0 \), então a equação tem duas raízes.
Se \(-\frac(c)(a) Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) fatorize seu lado esquerdo e obtenha a equação
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
Portanto, uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) sempre tem duas raízes.
Uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 \u003d 0 é equivalente à equação x 2 \u003d 0 e, portanto, tem uma única raiz 0.
Vamos agora considerar como as equações quadráticas são resolvidas nas quais ambos os coeficientes das incógnitas e o termo livre são diferentes de zero.
Resolvemos a equação do segundo grau em visão geral e como resultado obtemos a fórmula das raízes. Então esta fórmula pode ser aplicada para resolver qualquer equação quadrática.
Resolva a equação quadrática ax 2 +bx+c=0
Dividindo ambas as suas partes por a, obtemos a equação quadrática reduzida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Transformamos essa equação destacando o quadrado do binômio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Seta para a direita \)
A expressão raiz é chamada discriminante de uma equação quadrática ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” em latim - diferenciador). É indicado pela letra D, ou seja,
\(D = b^2-4ac\)
Agora, usando a notação do discriminante, reescrevemos a fórmula para as raízes da equação quadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), onde \(D= b^2-4ac \)
É óbvio que:
1) Se D>0, então a equação quadrática tem duas raízes.
2) Se D=0, então a equação quadrática tem uma raiz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Assim, dependendo do valor do discriminante, a equação quadrática pode ter duas raízes (para D > 0), uma raiz (para D = 0) ou nenhuma raiz (para D Ao resolver uma equação quadrática usando esta fórmula , é aconselhável fazer o seguinte:
1) calcular o discriminante e compará-lo com zero;
2) se o discriminante for positivo ou igual a zero, use a fórmula da raiz, se o discriminante for negativo, anote que não há raízes.
A equação quadrática dada ax 2 -7x+10=0 tem raízes 2 e 5. A soma das raízes é 7 e o produto é 10. Vemos que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente obtido de sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Qualquer equação quadrática reduzida que tenha raízes tem essa propriedade.
A soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre.
Aqueles. O teorema de Vieta afirma que as raízes x 1 e x 2 da equação quadrática reduzida x 2 +px+q=0 têm a propriedade:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
NÚMEROS COMPLEXOS XI
§ 253. Extração de raízes quadradas de números negativos.
Resolvendo equações quadráticas com discriminantes negativos
Como sabemos,
eu 2 = - 1.
No entanto,
(- eu ) 2 = (- 1 eu ) 2 = (- 1) 2 eu 2 = -1.
Assim, existem pelo menos dois valores para a raiz quadrada de -1, a saber eu e - eu . Mas talvez haja mais alguns números complexos, cujos quadrados são - 1?
Para esclarecer esta questão, suponha que o quadrado de um número complexo a + bi é igual a - 1. Então
(a + bi ) 2 = - 1,
uma 2 + 2abi - b 2 = - 1
Dois números complexos são iguais se e somente se suas partes reais e os coeficientes das partes imaginárias são iguais. É por isso
| { |
uma
2 - b
2 = - 1 |
De acordo com a segunda equação do sistema (1), pelo menos um dos números uma e b deve ser igual a zero. Se um b = 0, então a primeira equação produz uma 2 = - 1. Número uma real e, portanto, uma 2 > 0. Número não negativo uma 2 não pode ser igual a um número negativo - 1. Portanto, a igualdade b = 0 é impossível neste caso. Resta reconhecer que uma = 0, mas da primeira equação do sistema obtemos: - b 2 = - 1, b = ± 1.
Portanto, os únicos números complexos cujos quadrados são -1 são os números eu e - eu , Isso é escrito condicionalmente como:
√-1 = ± eu .
Por raciocínio semelhante, os alunos podem verificar que existem exatamente dois números cujos quadrados são iguais a um número negativo - uma . Esses números são √ uma eu e -√ uma eu . Convencionalmente, é escrito assim:
√- uma = ± √ uma eu .
Abaixo de √ uma aqui se entende a raiz aritmética, isto é, positiva. Por exemplo, √4 = 2, √9 =.3; é por isso
√-4 = + 2eu , √-9 = ± 3 eu
Se antes, ao considerar equações do segundo grau com discriminantes negativos, dizíamos que tais equações não têm raízes, agora não é mais possível dizer isso. equações quadráticas com discriminantes negativos têm raízes complexas. Essas raízes são obtidas por fórmulas conhecidas por nós. Vamos, por exemplo, dada a equação x 2 + 2x + 5 = 0; então
x 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 eu .
Portanto, esta equação tem duas raízes: x 1 = - 1 +2eu , x 2 = - 1 - 2eu . Essas raízes são mutuamente conjugadas. É interessante notar que a soma deles é igual a -2, e o produto é 5, então o teorema de Vieta é cumprido.
exercícios
2022. (Us tn o.) Resolva as equações:
a) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; às 3 x 2 = - 5.
2023. Encontre todos os números complexos cujos quadrados são iguais:
a) eu ; b) 1/2 - √ 3/2 eu ;
2024. Resolva equações de segundo grau:
a) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; dentro) x 2 - 14x + 74 = 0.
Resolver sistemas de equações (No. 2025, 2026):
| { |
x+y
= 6 |
| { |
2x-
3y
= 1 |
2027. Prove que as raízes de uma equação quadrática com coeficientes reais e discriminante negativo são mutuamente conjugadas.
2028. Prove que o teorema de Vieta é verdadeiro para quaisquer equações de segundo grau, e não apenas para equações com discriminante não negativo.
2029. Escreva uma equação quadrática com coeficientes reais, cujas raízes são:
a) x 1 = 5 - eu , x 2 = 5 + eu ; b) x 1 = 3eu , x 2 = - 3eu .
2030. Componha uma equação quadrática com coeficientes reais, uma das raízes da qual é igual a (3 - eu ) (2eu - 4).
2031. Escreva uma equação quadrática com coeficientes reais, uma das raízes da qual é 32 -
eu
1- 3eu
.
Discriminante é um termo ambíguo. Este artigo se concentrará no discriminante de um polinômio, que permite determinar se um determinado polinômio tem soluções reais. A fórmula para um polinômio quadrado é encontrada em curso escolarálgebra e análise. Como encontrar o discriminante? O que é necessário para resolver a equação?
Um polinômio quadrático ou uma equação do segundo grau é chamado i * w ^ 2 + j * w + k igual a 0, onde "i" e "j" são o primeiro e o segundo coeficientes, respectivamente, "k" é uma constante, às vezes chamada de "interceptação" e "w" é uma variável. Suas raízes serão todos os valores da variável na qual ela se transforma em uma identidade. Essa igualdade pode ser reescrita como o produto de i, (w - w1) e (w - w2) igual a 0. Nesse caso, é óbvio que, se o coeficiente "i" não desaparecer, a função no lado esquerdo se tornará zero somente se x assumir o valor w1 ou w2. Esses valores são o resultado de definir o polinômio como zero.
Para encontrar o valor de uma variável na qual o polinômio quadrático desaparece, uma construção auxiliar é usada, construída sobre seus coeficientes e chamada de discriminante. Esta construção é calculada de acordo com a fórmula D é igual a j * j - 4 * i * k. Por que está sendo usado?
Como esse valor mostra a presença de raízes reais:
Para soma (7 * w^2; 3 * w; 1) igual a 0 calculamos D pela fórmula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, obtemos -19. Um valor discriminante abaixo de zero indica que não há resultados na linha real.
Se considerarmos 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 equivalente a 0, então D é calculado como (-3) ao quadrado menos o produto dos números (4; 2; 1) e é igual a 9 - 8, ou seja, 1. Um valor positivo indica dois resultados na linha real.
Se pegarmos a soma (w^2; 2 * w; 1) e igualarmos a 0, D é calculado como dois ao quadrado menos o produto dos números (4; 1; 1). Esta expressão simplificará para 4 - 4 e retornará a zero. Acontece que os resultados são os mesmos. Se você olhar atentamente para esta fórmula, ficará claro que este é um “quadrado completo”. Isso significa que a igualdade pode ser reescrita na forma (w + 1) ^ 2 = 0. Tornou-se óbvio que o resultado desse problema é “-1”. Em uma situação em que D é igual a 0, o lado esquerdo da igualdade sempre pode ser reduzido de acordo com a fórmula “quadrado da soma”.
Essa construção auxiliar não apenas mostra o número de soluções reais, mas também ajuda a encontrá-las. A fórmula geral para calcular a equação do segundo grau é a seguinte:
w = (-j +/- d) / (2 * i), onde d é o discriminante elevado a 1/2.
Suponha que o discriminante esteja abaixo de zero, então d é imaginário e os resultados são imaginários.
D é zero, então d igual a D elevado a 1/2 também é zero. Solução: -j / (2 * i). Considerando 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 novamente, encontramos resultados equivalentes a -2 / (2 * 1) = -1.
Suponha que D > 0, então d é um número real, e a resposta aqui se divide em duas partes: w1 = (-j + d) / (2 * i) e w2 = (-j - d) / (2 * i) . Ambos os resultados serão válidos. Vejamos 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Aqui, o discriminante e d são unidades. Então w1 é (3 + 1) dividido por (2 * 2) ou 1, e w2 é (3 - 1) dividido por 2 * 2 ou 1/2.
O resultado de igualar uma expressão quadrada a zero é calculado de acordo com o algoritmo:
Dependendo dos coeficientes, a solução pode ser um pouco simplificada. Obviamente, se o coeficiente na frente da variável à segunda potência for zero, então uma igualdade linear é obtida. Quando o coeficiente na frente da variável é zero elevado à primeira potência, duas opções são possíveis:
Se o termo livre for zero, então as raízes serão (0; -j)
Mas existem outros casos especiais que simplificam a busca de uma solução.
O dado é chamado tal trinômio quadrado, onde o coeficiente na frente do termo mais alto é um. Para essa situação, aplica-se o teorema de Vieta, que diz que a soma das raízes é igual ao coeficiente da variável à primeira potência, multiplicado por -1, e o produto corresponde à constante "k".
Portanto, w1 + w2 é igual a -j e w1 * w2 é igual a k se o primeiro coeficiente for um. Para verificar a exatidão de tal representação, podemos expressar w2 = -j - w1 da primeira fórmula e substituí-la na segunda igualdade w1 * (-j - w1) = k. O resultado é a igualdade original w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
É importante notar que i * w ^ 2 + j * w + k = 0 pode ser reduzido dividindo-se por "i". O resultado será: w^2 + j1 * w + k1 = 0 onde j1 é igual a j/i e k1 é igual a k/i.
Vejamos o já resolvido 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 com os resultados w1 = 1 e w2 = 1/2. É necessário dividi-lo ao meio, como resultado, w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Vamos verificar se as condições do teorema são verdadeiras para os resultados encontrados: 1 + 1/2 = 3/2 e 1 * 1/2 = 1/2.
Se o fator da variável à primeira potência (j) for divisível por 2, então será possível simplificar a fórmula e buscar uma solução através de um quarto do discriminante D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. Acontece que w = (-j +/- d/2) / i, onde d/2 = D/4 elevado a 1/2.
Se i = 1, e o coeficiente j é par, então a solução é o produto de -1 e metade do coeficiente na variável w, mais/menos a raiz do quadrado dessa metade, menos a constante "k". Fórmula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.
O discriminante de um trinômio de segundo grau considerado acima é o mais utilizado caso especial. No caso geral, o discriminante de um polinômio é os quadrados multiplicados das diferenças das raízes deste polinômio. Portanto, um discriminante igual a zero indica a presença de pelo menos duas soluções múltiplas.
Considere i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.
D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.
Digamos que o discriminante seja maior que zero. Isso significa que existem três raízes na região dos números reais. Em zero, existem múltiplas soluções. Se D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.
Nosso vídeo contará em detalhes sobre o cálculo do discriminante.
Não obteve resposta para sua pergunta? Sugira um tema aos autores.
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")
O que é uma equação quadrática? Com o que se parece? No termo Equação quadrática palavra-chave é "quadrado". Isso significa que na equação necessariamente deve haver um x ao quadrado. Além disso, na equação pode haver (ou não!) Apenas x (no primeiro grau) e apenas um número (Membro grátis). E não deve haver x's em grau maior que dois.
Em termos matemáticos, uma equação quadrática é uma equação da forma:
Aqui a, b e c- alguns números. b e c- absolutamente qualquer, mas uma- tudo menos zero. Por exemplo:
Aqui uma =1; b = 3; c = -4
Aqui uma =2; b = -0,5; c = 2,2
Aqui uma =-3; b = 6; c = -18
Bem, você entendeu...
Nestas equações quadráticas, à esquerda, há conjunto completo membros. x ao quadrado com coeficiente uma, x à primeira potência com coeficiente b e membro livre de
Essas equações quadráticas são chamadas completo.
E se b= 0, o que obteremos? Nós temos X desaparecerá em primeiro grau. Isso acontece multiplicando por zero.) Acontece, por exemplo:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
etc. E se ambos os coeficientes b e c são iguais a zero, então é ainda mais simples:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Tais equações, onde algo está faltando, são chamadas equações quadráticas incompletas. O que é bastante lógico.) Observe que x ao quadrado está presente em todas as equações.
A propósito porque uma não pode ser zero? E você substitui em seu lugar uma zero.) O X no quadrado desaparecerá! A equação se tornará linear. E é feito de forma diferente...
Esses são todos os principais tipos de equações quadráticas. Completo e incompleto.
As equações quadráticas são fáceis de resolver. De acordo com fórmulas e regras simples e claras. Na primeira fase, você precisa dada equação trazer para o formulário padrão, ou seja, à vista:
Se a equação já foi fornecida a você neste formulário, você não precisa fazer o primeiro estágio.) O principal é determinar corretamente todos os coeficientes, uma, b e c.
A fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática é assim:
A expressão sob o sinal de raiz é chamada discriminante. Mas mais sobre ele abaixo. Como você pode ver, para encontrar x, usamos apenas a, b e c. Aqueles. coeficientes da equação quadrática. Apenas substitua cuidadosamente os valores a, b e c nesta fórmula e conte. Substituto com seus signos! Por exemplo, na equação:
uma =1; b = 3; c= -4. Aqui escrevemos:
Exemplo quase resolvido:
Esta é a resposta.
Tudo é muito simples. E você, o que acha, não tem como errar? Bem, sim, como...
Os erros mais comuns são confusão com os sinais de valores a, b e c. Ou melhor, não com seus sinais (onde se confunde?), Mas com a substituição de valores negativos na fórmula de cálculo das raízes. Aqui, um registro detalhado da fórmula com números específicos é salvo. Se houver problemas com os cálculos, então faça!
Suponha que precisamos resolver o seguinte exemplo:
Aqui uma = -6; b = -5; c = -1
Digamos que você saiba que raramente obtém respostas na primeira vez.
Bem, não seja preguiçoso. Levará 30 segundos para escrever uma linha extra. E o número de erros vai cair drasticamente. Então escrevemos em detalhes, com todos os colchetes e sinais:
Parece incrivelmente difícil pintar com tanto cuidado. Mas só parece. Tente. Bem, ou escolha. O que é melhor, rápido ou certo? Além disso, vou fazer você feliz. Depois de um tempo, não haverá necessidade de pintar tudo com tanto cuidado. Vai dar certo. Especialmente se você aplicar técnicas práticas, descritas abaixo. Este exemplo maligno com um monte de desvantagens será resolvido facilmente e sem erros!
Mas, muitas vezes, as equações quadráticas parecem ligeiramente diferentes. Por exemplo, assim:
Você sabia?) Sim! isto equações quadráticas incompletas.
Eles também podem ser resolvidos pela fórmula geral. Você só precisa descobrir corretamente o que é igual aqui a, b e c.
Percebi? No primeiro exemplo a = 1; b = -4; uma c? Não existe de jeito nenhum! Bem, sim, isso mesmo. Em matemática, isso significa que c = 0 ! Isso é tudo. Substitua zero na fórmula em vez de c, e tudo vai dar certo para nós. Da mesma forma com o segundo exemplo. Apenas zero não temos aqui Com, uma b !
Mas as equações quadráticas incompletas podem ser resolvidas muito mais facilmente. Sem fórmulas. Considere o primeiro equação incompleta. O que pode ser feito no lado esquerdo? Você pode tirar o X dos colchetes! Vamos tirar.
E daí? E o fato de que o produto é igual a zero se, e somente se, algum dos fatores for igual a zero! Não acredita? Bem, então invente dois números diferentes de zero que, quando multiplicados, darão zero!
Não funciona? Algo...
Portanto, podemos escrever com segurança: x 1 = 0, x 2 = 4.
Tudo. Estas serão as raízes da nossa equação. Ambos se encaixam. Ao substituir qualquer um deles na equação original, obtemos a identidade correta 0 = 0. Como você pode ver, a solução é muito mais simples do que a fórmula geral. A propósito, observo qual X será o primeiro e qual será o segundo - é absolutamente indiferente. Fácil de escrever em ordem x 1- o que for menor x 2- aquilo que é mais.
A segunda equação também pode ser facilmente resolvida. Movemos 9 para o lado direito. Nós temos:
Resta extrair a raiz de 9, e pronto. Pegue:
também duas raízes . x 1 = -3, x 2 = 3.
É assim que todas as equações quadráticas incompletas são resolvidas. Tirando o X dos colchetes ou simplesmente transferindo o número para a direita, seguido da extração da raiz.
É extremamente difícil confundir esses métodos. Simplesmente porque no primeiro caso você terá que extrair a raiz de X, o que é meio incompreensível, e no segundo caso não há nada para tirar dos parênteses ...
mundo magico discriminante ! Um raro estudante do ensino médio não ouviu esta palavra! A frase “decidir através do discriminante” é reconfortante e reconfortante. Porque não há necessidade de esperar por truques do discriminante! É simples e fácil de usar.) Lembro-lhe da fórmula mais geral para resolver algum equações quadráticas:
A expressão sob o sinal de raiz é chamada de discriminante. O discriminante é geralmente denotado pela letra D. Fórmula discriminante:
D = b 2 - 4ac
E o que há de tão especial nessa expressão? Por que merece um nome especial? o que significado do discriminante? Afinal -b, ou 2a nesta fórmula eles não nomeiam especificamente... Letras e letras.
O ponto é este. Ao resolver uma equação quadrática usando esta fórmula, é possível apenas três casos.
1. O discriminante é positivo. Isso significa que você pode extrair a raiz dele. Se a raiz é extraída bem ou mal é outra questão. É importante o que é extraído em princípio. Então sua equação quadrática tem duas raízes. Duas soluções diferentes.
2. O discriminante é zero. Então você tem uma solução. Já que somar ou subtrair zero no numerador não muda nada. Estritamente falando, esta não é uma única raiz, mas dois idênticos. Mas, numa versão simplificada, costuma-se falar em uma solução.
3. O discriminante é negativo. Um número negativo não tira a raiz quadrada. Bem, tudo bem. Isso significa que não há soluções.
Para ser honesto, em solução simples equações quadráticas, o conceito de discriminante não é particularmente necessário. Substituímos os valores dos coeficientes na fórmula e consideramos. Lá tudo acaba por si só, e duas raízes, e uma, e não uma única. No entanto, ao resolver tarefas mais complexas, sem conhecimento significado e fórmula discriminante insuficiente. Especialmente - em equações com parâmetros. Essas equações são acrobacias para o GIA e o Exame Estadual Unificado!)
Então, como resolver equações de segundo grau através do discriminante que você lembrou. Ou aprendido, o que também não é ruim.) Você sabe identificar corretamente a, b e c. Você sabe como com cuidado substitua-os na fórmula raiz e com cuidado conte o resultado. você entendeu isso palavra-chave aqui - com cuidado?
Agora observe as técnicas práticas que reduzem drasticamente o número de erros. Os mesmos que são devidos à desatenção ... Para os quais é doloroso e insultuoso ...
Primeira recepção
. Não seja preguiçoso antes de resolver uma equação quadrática para trazê-la para uma forma padrão. O que isto significa?
Suponha que, após quaisquer transformações, você obtenha a seguinte equação:
Não se apresse em escrever a fórmula das raízes! Você quase certamente irá misturar as probabilidades a, b e c. Construa o exemplo corretamente. Primeiro, x ao quadrado, depois sem um quadrado, depois um membro livre. Assim:
E novamente, não se apresse! O sinal de menos antes do x ao quadrado pode incomodá-lo muito. Esquecer é fácil... Livre-se do menos. Como? Sim, conforme ensinado no tópico anterior! Precisamos multiplicar toda a equação por -1. Nós temos:
E agora você pode anotar com segurança a fórmula das raízes, calcular o discriminante e completar o exemplo. Decida por conta própria. Você deve terminar com raízes 2 e -1.
Segunda recepção. Verifique suas raízes! De acordo com o teorema de Vieta. Não se preocupe, vou explicar tudo! verificando última coisa a equação. Aqueles. aquele pelo qual escrevemos a fórmula das raízes. Se (como neste exemplo) o coeficiente a = 1, verifique as raízes facilmente. Basta multiplicá-los. Você deve obter um termo gratuito, ou seja, no nosso caso -2. Preste atenção, não 2, mas -2! Membro grátis com seu signo . Se não deu certo, significa que eles já erraram em algum lugar. Procure um erro.
Se deu certo, você precisa dobrar as raízes. Última e última verificação. Deve ser uma proporção b Com oposto
sinal. No nosso caso -1+2 = +1. Um coeficiente b, que está antes do x, é igual a -1. Então, está tudo certo!
É uma pena que seja tão simples apenas para exemplos onde x ao quadrado é puro, com um coeficiente a = 1. Mas pelo menos verifique essas equações! Haverá menos erros.
terceira recepção . Se sua equação tiver coeficientes fracionários, livre-se das frações! Multiplique a equação pelo denominador comum conforme descrito na lição "Como resolver equações? Transformações de identidade". Ao trabalhar com frações, os erros, por algum motivo, sobem ...
A propósito, prometi um exemplo maligno com vários pontos negativos para simplificar. Por favor! Aqui está ele.
Para não nos confundirmos com os menos, multiplicamos a equação por -1. Nós temos:
Isso é tudo! Decidir é divertido!
Então, vamos recapitular o tópico.
1. Antes de resolver, trazemos a equação quadrática para a forma padrão, construímos certo.
2. Se houver um coeficiente negativo na frente do x no quadrado, nós o eliminamos multiplicando toda a equação por -1.
3. Se os coeficientes forem fracionários, eliminamos as frações multiplicando toda a equação pelo fator correspondente.
4. Se x ao quadrado é puro, o coeficiente para ele é igual a um, a solução pode ser facilmente verificada pelo teorema de Vieta. Faça isso!
Agora você pode decidir.)
Resolver equações:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Respostas (em desordem):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5
x - qualquer número
x 1 = -3
x 2 = 3
sem soluções
x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5
Tudo se encaixa? Excelente! As equações do segundo grau não são suas dor de cabeça. Os três primeiros acabaram, mas o resto não? Então o problema não está nas equações quadráticas. O problema está em transformações idênticas de equações. Dê uma olhada no link, é útil.
Não funciona bem? Ou não funciona de jeito nenhum? Então o ajudará a Seção 555. Lá, todos esses exemplos são classificados por ossos. Mostrando a Principal erros na solução. Claro, a aplicação de transformações idênticas na resolução de várias equações também é descrita. Ajuda muito!
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
