Il rango di una matrice è importante caratteristica numerica. Il problema più caratteristico che richiede di trovare il rango di una matrice è verificare la compatibilità di un sistema lineare equazioni algebriche. In questo articolo, daremo il concetto di rango di una matrice e considereremo i metodi per trovarlo. Per una migliore assimilazione del materiale, analizzeremo in dettaglio le soluzioni di diversi esempi.
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Prima di esprimere la definizione del rango di una matrice, si dovrebbe avere una buona comprensione del concetto di minore, e trovare i minori di una matrice implica la capacità di calcolare il determinante. Quindi raccomandiamo, se necessario, di richiamare la teoria dell'articolo, i metodi per trovare il determinante della matrice, le proprietà del determinante.
Prendiamo una matrice A di ordine . Sia k alcuni numero naturale, non superiore al più piccolo dei numeri m e n , cioè, .
Definizione.
Ordine minore k-esimo la matrice A è il determinante della matrice quadrata di ordine , composta dagli elementi della matrice A, che si trovano in k righe e k colonne preselezionate, e la posizione degli elementi della matrice A è preservata.
In altre parole, se cancelliamo (p–k) righe e (n–k) colonne nella matrice A, e formiamo una matrice dagli elementi rimanenti, preservando la disposizione degli elementi della matrice A, allora il determinante della matrice risultante è un minore di ordine k della matrice A.
Diamo un'occhiata alla definizione di una matrice minore usando un esempio.
Considera la matrice 
.
Scriviamo diversi minori di primo ordine di questa matrice. Ad esempio, se scegliamo la terza riga e la seconda colonna della matrice A, allora la nostra scelta corrisponde a un minore di primo ordine 
. In altre parole, per ottenere questo minore, abbiamo cancellato la prima e la seconda riga, nonché la prima, la terza e la quarta colonna della matrice A, e abbiamo ricavato il determinante dall'elemento rimanente. Se scegliamo la prima riga e la terza colonna della matrice A, otteniamo un minore 
.
Illustriamo la procedura per l'ottenimento dei minori di primo ordine considerati 
e 
.
Pertanto, i minori di primo ordine di una matrice sono gli stessi elementi della matrice.
Mostriamo alcuni minori di secondo ordine. Seleziona due righe e due colonne. Ad esempio, prendi la prima e la seconda riga e la terza e la quarta colonna. Con questa scelta abbiamo un minore di secondo ordine 
. Questo minore potrebbe anche essere formato eliminando la terza riga, la prima e la seconda colonna dalla matrice A.
Un altro minore di secondo ordine della matrice A è .
Illustriamo la costruzione di questi minori di secondo ordine 
e 
.
Analogamente si trovano i minori di terzo ordine della matrice A. Poiché ci sono solo tre righe nella matrice A, le selezioniamo tutte. Se selezioniamo le prime tre colonne per queste righe, otteniamo un minore del terzo ordine 
Può anche essere costruito cancellando l'ultima colonna della matrice A.
Un altro minore di terzo ordine è 
ottenuto eliminando la terza colonna della matrice A.
Ecco un disegno che mostra la costruzione di questi minori di terzo ordine 
e 
.
Per una data matrice A, non ci sono minori di ordine superiore alla terza, poiché .
Quanti minori di ordine k-esimo esistono nella matrice A di ordine?
Il numero di minori di ordine k può essere calcolato come , dove 
e 
- il numero di combinazioni da p a k e da n a k, rispettivamente.
Come costruire tutti i minori di ordine k della matrice A di ordine p su n?
Abbiamo bisogno di un insieme di numeri di riga della matrice e di un insieme di numeri di colonna. Registrare tutto combinazioni di p elementi per k(corrisponderanno alle righe selezionate della matrice A durante la costruzione di un minore di ordine k). Ad ogni combinazione di numeri di riga, aggiungiamo in sequenza tutte le combinazioni di n elementi per k numeri di colonna. Questi insiemi di combinazioni di numeri di riga e numeri di colonna della matrice A aiuteranno a comporre tutti i minori di ordine k.
Facciamo un esempio.
Esempio.
Trova tutti i minori di secondo ordine della matrice.
Soluzione.
Poiché l'ordine della matrice originale è 3 per 3, i minori totali di secondo ordine saranno 
.
Annotiamo tutte le combinazioni da 3 a 2 numeri di riga della matrice A: 1, 2; 1, 3 e 2, 3. Tutte le combinazioni di numeri di colonna 3 per 2 sono 1, 2 ; 1, 3 e 2, 3.
Prendi la prima e la seconda riga della matrice A. Selezionando la prima e la seconda colonna per queste righe, la prima e la terza colonna, la seconda e la terza colonna, otteniamo rispettivamente le minori 
Per la prima e la terza riga, con una scelta di colonne simile, abbiamo 
Resta da aggiungere la prima e la seconda, la prima e la terza, la seconda e la terza colonna alla seconda e terza riga: 
Quindi, si trovano tutti e nove i minori del secondo ordine della matrice A.
Ora possiamo passare alla determinazione del rango della matrice.
Definizione.
Rango della matriceè l'ordine più alto della matrice minore diversa da zero.
Il rango della matrice A è indicato come Rank(A) . Puoi anche vedere le denominazioni Rg(A) o Rang(A) .
Dalle definizioni del rango di una matrice e del minore di una matrice, possiamo concludere che il rango di una matrice zero è uguale a zero e il rango di una matrice diversa da zero è almeno uno.
Quindi, il primo metodo per trovare il rango di una matrice è metodo di enumerazione minore. Questo metodo si basa sulla determinazione del rango della matrice.
Cerchiamo di trovare il rango di una matrice A di ordine .
Descrivere brevemente algoritmo soluzione di questo problema con il metodo dell'enumerazione dei minori.
Se esiste almeno un elemento di matrice diverso da zero, allora il rango della matrice è almeno uguale a uno (poiché esiste un minore di primo ordine diverso da zero).
Successivamente, iteriamo sui minori del secondo ordine. Se tutti i minori di secondo ordine sono uguali a zero, allora il rango della matrice è uguale a uno. Se esiste almeno un minore di secondo ordine diverso da zero, allora si passa all'enumerazione dei minori di terzo ordine, e il rango della matrice è almeno uguale a due.
Allo stesso modo, se tutti i minori di terzo ordine sono zero, allora il rango della matrice è due. Se esiste almeno un minore di terzo ordine diverso da zero, allora il rango della matrice è almeno tre, e si procede all'enumerazione dei minori di quarto ordine.
Si noti che il rango di una matrice non può superare il più piccolo di p e n.
Esempio.
Trova il rango di una matrice 
.
Soluzione.
Poiché la matrice è diversa da zero, il suo rango non è inferiore a uno.
Minori di secondo ordine 
è diverso da zero, quindi il rango della matrice A è almeno due. Passiamo all'enumerazione dei minori del terz'ordine. Tutti loro 
le cose. 
Tutti i minori di terzo ordine sono uguali a zero. Pertanto, il rango della matrice è due.
Risposta:
Rango(A) = 2 .
Esistono altri metodi per trovare il rango di una matrice che consentono di ottenere il risultato con meno lavoro computazionale.
Uno di questi metodi è metodo minore di frange.
Affrontiamo la nozione di minore confinante.
Si dice che il minore M ok del (k+1)esimo ordine della matrice A circonda il minore M di ordine k della matrice A se la matrice corrispondente al minore M ok "contiene" la matrice corrispondente al minore M .
In altre parole, la matrice corrispondente al minore marginale M si ottiene dalla matrice corrispondente al minore marginale M ok eliminando gli elementi di una riga e di una colonna.
Consideriamo ad esempio la matrice 
e prendi un minore di secondo ordine. Annotiamo tutti i minori confinanti: 
Il metodo dei minori confinanti è giustificato dal seguente teorema (presentiamo la sua formulazione senza dimostrazione).
Teorema.
Se tutti i minori che confinano con il minore k-esimo di una matrice A di ordine p per n sono uguali a zero, allora tutti i minori di ordine (k + 1) della matrice A sono uguali a zero.
Quindi, per trovare il rango di una matrice, non è necessario enumerare tutti i minori che sono abbastanza confinanti. Il numero di minori che confinano con il minore di ordine k-esimo della matrice A di ordine si trova con la formula 
. Si noti che non ci sono più minori confinanti con il k-esimo ordine minore della matrice A di quanti ce ne siano (k + 1)-esimo ordine minori della matrice A . Pertanto, nella maggior parte dei casi, l'utilizzo del metodo del confine dei minori è più redditizio della semplice enumerazione di tutti i minori.
Procediamo a trovare il rango di una matrice con il metodo delle frange minori. Descrivere brevemente algoritmo questo metodo.
Se la matrice A è diversa da zero, prendiamo come minore di primo ordine qualsiasi elemento della matrice A diverso da zero. Consideriamo i suoi minori confinanti. Se sono tutti uguali a zero, allora il rango della matrice è uguale a uno. Se esiste almeno un minore confinante diverso da zero (il suo ordine è uguale a due), allora passiamo alla considerazione dei suoi minori confinanti. Se sono tutti zero, allora Rank(A) = 2 . Se almeno un minore confinante è diverso da zero (il suo ordine è uguale a tre), allora consideriamo i suoi minori confinanti. E così via. Di conseguenza, Rank(A) = k se tutti i minori confinanti del (k + 1)esimo ordine della matrice A sono uguali a zero, oppure Rank(A) = min(p, n) se esiste un valore diverso da zero minore confinante con un minore di ordine (min( p, n) – 1) .
Analizziamo il metodo di confinamento dei minori per trovare il rango di una matrice usando un esempio.
Esempio.
Trova il rango di una matrice 
con il metodo dei minori confinanti.
Soluzione.
Poiché l'elemento a 1 1 della matrice A è diverso da zero, lo consideriamo un minore di primo ordine. Iniziamo a cercare un minore confinante diverso da zero: 
Viene trovato un minore di secondo ordine diverso da zero. Enumeriamo i suoi minori confinanti (loro 
le cose): 
Tutti i minori che confinano con il minore di secondo ordine sono uguali a zero, quindi il rango della matrice A è uguale a due.
Risposta:
Rango(A) = 2 .
Esempio.
Trova il rango di una matrice 
con l'aiuto di minori confinanti.
Soluzione.
Come minore diverso da zero del primo ordine, prendiamo l'elemento a 1 1 = 1 della matrice A . Frangia minore di secondo ordine 
non è uguale a zero. Questo minore è delimitato da un minore di terzo ordine 
. Poiché non è uguale a zero e non esiste un minore confinante per esso, il rango della matrice A è uguale a tre.
Risposta:
Rango(A) = 3 .
Considera un altro modo per trovare il rango di una matrice.
Le seguenti trasformazioni matriciali sono dette elementari:
La matrice B è detta equivalente alla matrice A, se B è ottenuto da A con l'ausilio di un numero finito di trasformazioni elementari. L'equivalenza delle matrici è indicata dal simbolo "~", ovvero è scritta A ~ B.
Trovare il rango di una matrice utilizzando trasformazioni elementari di matrice si basa sull'affermazione: se la matrice B è ottenuta dalla matrice A utilizzando un numero finito di trasformazioni elementari, allora Rank(A) = Rank(B) .
La validità di questa affermazione deriva dalle proprietà del determinante della matrice:
L'essenza del metodo delle trasformazioni elementari consiste nel portare la matrice, di cui dobbiamo trovare il rango, ad un trapezio (in un caso particolare, ad un triangolare superiore) mediante trasformazioni elementari.
Cosa serve? Il rango di matrici di questo tipo è molto facile da trovare. È uguale al numero di righe contenenti almeno un elemento non nullo. E poiché il rango della matrice non cambia durante le trasformazioni elementari, il valore risultante sarà il rango della matrice originale.
Diamo illustrazioni di matrici, una delle quali dovrebbe essere ottenuta dopo le trasformazioni. La loro forma dipende dall'ordine della matrice.
Queste illustrazioni sono modelli in cui trasformeremo la matrice A.
Descriviamo algoritmo del metodo.
Supponiamo di dover trovare il rango di una matrice A diversa da zero di ordine (p può essere uguale a n).
Così, . Moltiplichiamo tutti gli elementi della prima riga della matrice A per . In questo caso, otteniamo una matrice equivalente, denotiamola A (1) : 
Agli elementi della seconda riga della matrice risultante A (1), aggiungiamo i corrispondenti elementi della prima riga, moltiplicati per . Agli elementi della terza riga, aggiungi gli elementi corrispondenti della prima riga, moltiplicati per . E così via fino alla p-esima riga. Otteniamo una matrice equivalente, la indichiamo con A (2) : 
Se tutti gli elementi della matrice risultante nelle righe dal secondo al p-esimo sono uguali a zero, allora il rango di questa matrice è uguale a uno e, di conseguenza, il rango della matrice originale è uguale a uno .
Se c'è almeno un elemento diverso da zero nelle righe dal secondo al p-esimo, allora continuiamo a eseguire trasformazioni. Inoltre, si agisce esattamente allo stesso modo, ma solo con la parte di matrice A segnata nella figura (2) 
Se , allora riorganizziamo le righe e (o) le colonne della matrice A (2) in modo che il "nuovo" elemento diventi diverso da zero.
Sia A una matrice di dimensioni m\times n , e k un numero naturale non superiore a m e n : k\leqslant\min\(m;n\). Ordine minore k-esimo la matrice A è il determinante della matrice di ordine k-esimo formata dagli elementi all'intersezione di k righe e k colonne scelte arbitrariamente della matrice A . Denotando minori, i numeri delle righe selezionate saranno indicati da indici superiori e i numeri delle colonne selezionate da indici inferiori, disponendoli in ordine crescente.
Esempio 3.4. Scrivi minori di diversi ordini di matrici
A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.
Soluzione. La matrice A ha dimensioni 3\times4 . Ha: 12 minori del 1° ordine, ad esempio minore M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 minori di 2° ordine, ad esempio, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 minori del 3° ordine, ad esempio,
M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.
In una matrice A m\volte n si chiama il minore di ordine r di base, se è diverso da zero, e tutti i minori (r + 1)-ro sono uguali a zero o non esistono affatto.
Rango della matrice si chiama ordine di base minore. Non c'è base minore nella matrice zero. Pertanto, il rango di una matrice nulla, per definizione, si assume pari a zero. Il rango di una matrice A è denotato \operatorname(rg)A.
Esempio 3.5. Trova tutte le basi minori e il rango di una matrice
A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.
Soluzione. Tutti i minori di terzo ordine di questa matrice sono uguali a zero, poiché la terza riga di questi determinanti è zero. Pertanto, solo un minore di secondo ordine situato nelle prime due righe della matrice può essere basico. Esaminando 6 possibili minori, selezioniamo diverso da zero
M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.
Ciascuno di questi cinque minori è fondamentale. Pertanto, il rango della matrice è 2.
Osservazioni 3.2
1. Se nella matrice tutti i minori del k-esimo ordine sono uguali a zero, allora anche i minori di ordine superiore sono uguali a zero. Infatti, espandendo il (k + 1)-ro minore d'ordine su qualsiasi riga, otteniamo la somma dei prodotti degli elementi di questa riga per k-esimo minore d'ordine, e sono uguali a zero.
2. Il rango di una matrice è uguale all'ordine più grande del minore diverso da zero di questa matrice.
3. Se matrice quadrataè non degenere, allora il suo rango è uguale al suo ordine. Se una matrice quadrata è degenere, il suo rango è inferiore al suo ordine.
4. Le designazioni sono utilizzate anche per il rango \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(grado)A,~ \operatorname(rango)A.
5. Grado matrice a blocchiè definito come il rango di una matrice (numerica) ordinaria, cioè indipendentemente dalla sua struttura a blocchi. In questo caso, il rango della matrice a blocchi non è inferiore ai ranghi dei suoi blocchi: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A e \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, poiché tutti i minori della matrice A (o B ) sono anche minori della matrice a blocchi (A\mid B) .
Consideriamo i principali teoremi che esprimono le proprietà di dipendenza lineare e indipendenza lineare di colonne (righe) di una matrice.
Teorema 3.1 sul minore di base. In una matrice arbitraria A, ogni colonna (riga) è una combinazione lineare di colonne (righe) in cui si trova la base minore.
Infatti, senza perdita di generalità, assumiamo che nella m\times n matrice A, la base minore si trovi nelle prime r righe e nelle prime r colonne. Considera il determinante
D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),
che si ottiene assegnando gli elementi corrispondenti alla base minore della matrice A s-esima linea e colonna k-esima. Si noti che per qualsiasi 1\leqslant s\leqslant m e questo determinante è zero. Se s\leqslant r o k\leqslant r , allora il determinante D contiene due righe identiche o due colonne identiche. Se s>r e k>r , allora il determinante D è uguale a zero, poiché è un minore dell'ordine (r+l)-ro. Espandendo il determinante sull'ultima riga, otteniamo
a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,
dove D_(r+1\,j) sono i complementi algebrici degli elementi dell'ultima riga. Nota che D_(r+1\,r+1)\ne0 , poiché questo è un minore di base. Ecco perchè
a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), dove \lambda_j=-\frac(RE_(r+1\,j))(RE_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.
\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.
quelli. k -esima colonna (per qualsiasi 1\leqslant k\leqslant n) è una combinazione lineare delle colonne della minore di base, che doveva essere dimostrata.
Il teorema minore di base serve a dimostrare i seguenti importanti teoremi.
Teorema 3.2 (condizione necessaria e sufficiente perché il determinante sia uguale a zero). Affinché un determinante sia uguale a zero, è necessario e sufficiente che una delle sue colonne (una delle sue righe) sia una combinazione lineare delle restanti colonne (righe).
In effetti, la necessità segue dal teorema minore fondamentale. Se il determinante di una matrice quadrata dell'ennesimo ordine è uguale a zero, allora il suo rango è minore di n, cioè almeno una colonna non è inclusa nella base minor. Allora questa colonna scelta, per il Teorema 3.1, è una combinazione lineare delle colonne contenenti la base minore. Aggiungendo, se necessario, a questa combinazione altre colonne a coefficienti nulli, otteniamo che la colonna selezionata è una combinazione lineare delle rimanenti colonne della matrice. La sufficienza segue dalle proprietà del determinante. Se, ad esempio, l'ultima colonna A_n del determinante \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) espresso linearmente in termini del resto
A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),
quindi aggiungendo ad A_n la colonna A_1 moltiplicata per (-\lambda_1) , poi la colonna A_2 moltiplicata per (-\lambda_2) , e così via. colonna A_(n-1) moltiplicata per (-\lambda_(n-1)) , otteniamo il determinante \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) con una colonna zero uguale a zero (proprietà 2 del determinante).
Teorema 3.3 (sull'invarianza di rango per trasformazioni elementari). Sotto trasformazioni elementari di colonne (righe) di una matrice, il suo rango non cambia.
Infatti, lascia . Supponiamo che come risultato di una trasformazione elementare delle colonne della matrice A, abbiamo ottenuto la matrice A ". Se è stata eseguita una trasformazione di tipo I (permutazione di due colonne), allora qualsiasi minore (r + l)-ro del ordine della matrice A" o uguale al corrispondente minore (r + l )-ro dell'ordine della matrice A , o differisce da esso nel segno (proprietà 3 del determinante). Se è stata eseguita una trasformazione di tipo II (moltiplicazione di colonna per il numero \lambda\ne0 ), allora qualsiasi minore (r+l)-ro dell'ordine della matrice A" è uguale al corrispondente minore (r+l)- ro dell'ordine della matrice A , o differisce da esso fattore \lambda\ne0 (proprietà 6 del determinante). III tipo(aggiungendo a una colonna di un'altra colonna moltiplicato per il numero \Lambda ), allora qualsiasi minore del (r + 1)esimo ordine della matrice A" è uguale al corrispondente minore del (r + 1)esimo ordine di la matrice A (proprietà 9 del determinante), o è uguale alla somma due minori (r+l)-ro dell'ordine della matrice A (proprietà 8 del determinante). Pertanto, sotto una trasformazione elementare di qualsiasi tipo, tutti i minori (r + l) - ro dell'ordine della matrice A" sono uguali a zero, poiché tutti i minori (r + l) - ro dell'ordine della matrice A sono uguale a 0. Pertanto, si dimostra che sotto trasformazioni elementari di colonne, le matrici di rango non possono aumentare.Poiché le trasformazioni inverse a elementari sono elementari, il rango di una matrice non può diminuire sotto trasformazioni elementari di colonne, cioè non cambia. si dimostra analogamente che il rango di una matrice non cambia per trasformazioni elementari di righe.
Conseguenza 1. Se una riga (colonna) di una matrice è una combinazione lineare delle sue altre righe (colonne), questa riga (colonna) può essere eliminata dalla matrice senza modificarne il rango.
In effetti, tale stringa può essere resa nulla utilizzando trasformazioni elementari e la stringa nulla non può essere inclusa nel minore di base.
Conseguenza 2. Se la matrice è ridotta alla sua forma più semplice (1.7), allora
\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.
Infatti, la matrice della forma più semplice (1.7) ha una base minore dell'r-esimo ordine.
Conseguenza 3. Qualsiasi matrice quadrata non singolare è elementare, in altre parole, qualsiasi matrice quadrata non singolare è equivalente alla matrice identità dello stesso ordine.
Infatti, se A è una matrice quadrata non singolare di ordine n, allora \operatorname(rg)A=n(vedi punto 3 delle note 3.2). Pertanto, riducendo la matrice A alla forma più semplice (1.7) mediante trasformazioni elementari, si ottiene la matrice identità \Lambda=E_n , poiché \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vedi Corollario 2). Pertanto, la matrice A è equivalente alla matrice identità E_n e può essere ottenuta da essa come risultato di un numero finito di trasformazioni elementari. Ciò significa che la matrice A è elementare.
Teorema 3.4 (sul rango di una matrice). Il rango di una matrice è uguale al numero massimo di righe linearmente indipendenti di questa matrice.
In effetti, lascia \operatorname(rg)A=r. Allora la matrice A ha r righe linearmente indipendenti. Queste sono le linee in cui si trova il minore di base. Se fossero linearmente dipendenti, allora questo minore sarebbe uguale a zero per il Teorema 3.2, e il rango della matrice A non sarebbe uguale a r . Mostriamo che r è il numero massimo di righe linearmente indipendenti, cioè qualsiasi riga p è linearmente dipendente per p>r . In effetti, formiamo una matrice B da queste p righe. Poiché la matrice B fa parte della matrice A, allora \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r Ciò significa che almeno una riga della matrice B non è inclusa nella base minore di questa matrice. Quindi, per il teorema della base minore, è uguale a una combinazione lineare di righe in cui si trova la base minore. Pertanto, le righe della matrice B sono linearmente dipendenti. Pertanto, la matrice A ha al massimo r righe linearmente indipendenti. Conseguenza 1. Il numero massimo di righe linearmente indipendenti in una matrice è uguale al numero massimo di colonne linearmente indipendenti: \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T. Questa asserzione segue dal Teorema 3.4 se applicata alle righe della matrice trasposta e si tiene conto che i minori non cambiano alla trasposizione (proprietà 1 del determinante). Conseguenza 2. Sotto trasformazioni elementari delle righe di una matrice, viene preservata la dipendenza lineare (o indipendenza lineare) di qualsiasi sistema di colonne di questa matrice. Infatti, scegliamo k colonne qualsiasi della data matrice A e da esse formiamo la matrice B. Poniamo che, a seguito di trasformazioni elementari delle righe della matrice A, si sia ottenuta la matrice A" e, a seguito delle stesse trasformazioni delle righe della matrice B, si sia ottenuta la matrice B". Per il Teorema 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Pertanto, se le colonne della matrice B fossero linearmente indipendenti, cioè k=\nomeoperatore(rg)B(vedi Corollario 1), allora anche le colonne della matrice B" sono linearmente indipendenti, poiché k=\nomeoperatore(rg)B". Se le colonne della matrice B fossero linearmente dipendenti (k>\nomeoperatore(rg)B), allora anche le colonne della matrice B" sono linearmente dipendenti (k>\nomeoperatore(rg)B"). Pertanto, per qualsiasi colonna della matrice A, la dipendenza lineare o l'indipendenza lineare viene preservata sotto trasformazioni elementari di riga. Osservazioni 3.3 1. In virtù del Corollario 1 del Teorema 3.4, la proprietà di colonna indicata nel Corollario 2 è valida anche per qualsiasi sistema di righe di matrici se le trasformazioni elementari vengono eseguite solo sulle sue colonne. 2. Il Corollario 3 del Teorema 3.3 può essere affinato come segue: qualsiasi matrice quadrata non singolare, utilizzando trasformazioni elementari delle sole sue righe (o solo delle sue colonne), può essere ridotta a una matrice identità dello stesso ordine. Infatti, utilizzando solo trasformazioni di riga elementari, qualsiasi matrice A può essere ridotta alla forma semplificata \Lambda (Fig. 1.5) (vedi Teorema 1.1). Poiché la matrice A è non singolare (\det(A)\ne0) , le sue colonne sono linearmente indipendenti. Quindi anche le colonne della matrice \Lambda sono linearmente indipendenti (Corollario 2 del Teorema 3.4). Pertanto, la forma semplificata \Lambda della matrice non singolare A coincide con la sua forma più semplice (Fig. 1.6) ed è la matrice identità \Lambda=E (vedi Corollario 3 del Teorema 3.3). Quindi, trasformando solo le righe di una matrice non singolare, essa può essere ridotta a quella identità. Analogo ragionamento vale anche per trasformazioni elementari delle colonne di una matrice non singolare. Teorema 3.5 (sul rango del prodotto di matrici).Rango del prodotto e somma delle matrici
\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).
Infatti, siano le matrici A e B di dimensioni m\times p e p\times n . Assegniamo alla matrice A la matrice C=AB\due punti\,(LA\do centrale). Inutile dirlo \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), perché C è una parte della matrice (A\mid C) (vedi punto 5 dell'Osservazione 3.2). Si noti che ogni colonna di C_j , secondo l'operazione di moltiplicazione di matrici, è una combinazione lineare delle colonne A_1,A_2,\ldots,A_p matrici A=(A_1~\cdots~A_p):
C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.
Tale colonna può essere cancellata dalla matrice (A\mid C) senza cambiarne il rango (Corollario 1 del Teorema 3.3). Cancellando tutte le colonne della matrice C, otteniamo: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Da qui, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Allo stesso modo, si può dimostrare che la condizione \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, e trarre una conclusione sulla validità del teorema.
Conseguenza. Se una A è una matrice quadrata non degenere, quindi \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B e \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, cioè. il rango di una matrice non cambia quando viene moltiplicato a sinistra oa destra per una matrice quadrata non singolare.
Teorema 3.6 sul rango della somma di matrici. Il rango della somma delle matrici non supera la somma dei ranghi dei termini:
\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.
In effetti, creiamo una matrice (LA+SI\la medio\si medio). Si noti che ogni colonna della matrice A+B è una combinazione lineare delle colonne delle matrici A e B . Ecco perchè \operatorname(rg)(A+B\metà A\metà B)= \operatorname(rg)(A\metà B). Considerando che il numero di colonne linearmente indipendenti nella matrice (A\mid B) non supera \nomeoperatore(rg)A+\nomeoperatore(rg)B, un \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vedi punto 5 delle Osservazioni 3.2), otteniamo la disuguaglianza richiesta.
E considera anche un'importante applicazione pratica dell'argomento: ricerca di sistema equazioni lineari per compatibilità.
L'epigrafe umoristica dell'articolo contiene una grande quantità di verità. La stessa parola "grado" è solitamente associata a una sorta di gerarchia, molto spesso con la scala della carriera. Maggiore è la conoscenza, l'esperienza, le capacità, le connessioni, ecc. Una persona ha. - maggiore è la sua posizione e la gamma di opportunità. In termini giovanili, il rango si riferisce al grado complessivo di "durezza".
E i nostri fratelli matematici vivono secondo gli stessi principi. Facciamo una passeggiata qualche arbitrario matrici nulle:
Pensiamo se nella matrice solo zeri, allora di quale grado possiamo parlare? Tutti conoscono l'espressione informale "totale zero". Nella società della matrice, tutto è esattamente uguale:
Rango di matrice zeroqualsiasi dimensione è zero.
Nota : la matrice zero è indicata dalla lettera greca "theta"
Per comprendere meglio il rango della matrice, di seguito attingerò ai materiali geometria analitica. Considera zero vettore i nostri spazio tridimensionale, che non stabilisce una direzione specifica ed è inutile per la costruzione base affine. Da un punto di vista algebrico, vengono scritte le coordinate di un dato vettore matrice"uno per tre" e logico (nel senso geometrico specificato) supponiamo che il rango di questa matrice sia zero.
Ora diamo un'occhiata ad alcuni diverso da zero vettori colonna e vettori riga:
Ogni istanza ha almeno un elemento non nullo, e questo è qualcosa!
Il rango di qualsiasi vettore riga diverso da zero (vettore colonna) è uguale a uno
E in generale - se in matrice dimensioni arbitrarie ha almeno un elemento diverso da zero, quindi il suo rango non meno unità.
I vettori riga e colonna algebrici sono in una certa misura astratti, quindi torniamo all'associazione geometrica. diverso da zero vettore stabilisce una direzione ben definita nello spazio ed è adatto alla costruzione base, quindi si assumerà che il rango della matrice sia uguale a uno.
Background teorico : in algebra lineare, un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale (definito attraverso 8 assiomi), che, in particolare, può essere una riga (o colonna) ordinata di numeri reali con le operazioni di addizione e moltiplicazione definite per essi da numero reale. Con più informazioni dettagliate sui vettori possono essere trovati nell'articolo Trasformazioni lineari.
linearmente dipendente(espressi l'uno attraverso l'altro). Da un punto di vista geometrico, la seconda riga contiene le coordinate del vettore collineare 
, che non ha portato avanti la questione nella costruzione base tridimensionale, essendo ridondante in questo senso. Pertanto, anche il rango di questa matrice è uguale a uno.
Riscriviamo le coordinate dei vettori in colonne ( trasporre la matrice):
Cosa è cambiato in termini di rango? Niente. Le colonne sono proporzionali, il che significa che il rango è uguale a uno. A proposito, nota che anche tutte e tre le linee sono proporzionali. Possono essere identificati con le coordinate tre vettori collineari del piano, di cui solo uno utile per costruire una base "piatta". E questo è in pieno accordo con il nostro senso geometrico del rango.
Dall'esempio precedente segue un'affermazione importante:
Classificazione della matrice per righe equivale a rango matrice per colonne. Ne ho già parlato un po 'nella lezione sull'efficacia metodi per il calcolo del determinante.
Nota : la dipendenza lineare delle righe porta alla dipendenza lineare delle colonne (e viceversa). Ma per risparmiare tempo, e per abitudine, parlerò quasi sempre della dipendenza lineare delle stringhe.
Continuiamo ad addestrare il nostro amato animale domestico. Aggiungi le coordinate di un altro vettore collineare alla matrice nella terza riga 
:
Ci ha aiutato a costruire una base tridimensionale? Ovviamente no. Tutti e tre i vettori camminano avanti e indietro lungo lo stesso percorso e il rango della matrice è uno. Puoi prendere tutti i vettori collineari che vuoi, diciamo 100, inserire le loro coordinate in una matrice 100 per 3 e il rango di un tale grattacielo rimarrà comunque uno.
Facciamo conoscenza con la matrice le cui righe linearmente indipendente. Una coppia di vettori non allineati è adatta per costruire una base tridimensionale. Il rango di questa matrice è due.
Qual è il rango della matrice? Le linee non sembrano proporzionali...quindi, in teoria, tre. Tuttavia, anche il rango di questa matrice è uguale a due. Ho aggiunto le prime due righe e ho annotato il risultato in fondo, ad es. espresso linearmente terza riga attraverso le prime due. Geometricamente, le righe della matrice corrispondono alle coordinate di tre vettori complanari, e tra questa tripla c'è una coppia di compagni non collineari.
Come potete vedere dipendenza lineare nella matrice considerata non è ovvio, e oggi impareremo solo come portarlo "all'acqua pulita".
Penso che molte persone indovinino qual è il rango di una matrice!
Considera una matrice le cui righe linearmente indipendente. Forma dei vettori base affine, e il rango di questa matrice è tre.
Come sai, qualsiasi quarto, quinto, decimo vettore dello spazio tridimensionale sarà espresso linearmente in termini di vettori di base. Pertanto, se alla matrice viene aggiunto un numero qualsiasi di righe, allora il suo rango saranno ancora tre.
Analogo ragionamento può essere svolto per le matrici dimensioni maggiori(ovviamente, già senza senso geometrico).
Definizione : il rango della matrice è il numero massimo di righe linearmente indipendenti. O: il rango di una matrice è il numero massimo di colonne linearmente indipendenti. Sì, coincidono sempre.
Da quanto sopra segue un'importante linea guida pratica: il rango di una matrice non supera la sua dimensione minima. Ad esempio, nella matrice 
quattro righe e cinque colonne. La dimensione minima è quattro, quindi il rango di questa matrice non supererà sicuramente 4.
Notazione: nella teoria e nella pratica mondiale non esiste uno standard generalmente accettato per designare il rango della matrice, si trova quello più comune: - come si suol dire, un inglese scrive una cosa, un tedesco un'altra. Pertanto, sulla base del noto aneddoto sull'inferno americano e russo, indichiamo il grado della matrice con una parola nativa. Per esempio: . E se la matrice è "senza nome", di cui ce ne sono molte, allora puoi semplicemente scrivere .
Se nostra nonna avesse una quinta colonna nella matrice, allora avrebbe dovuto essere calcolato un altro minore di 4° ordine ("blu", "lampone" + 5a colonna).
Conclusione: l'ordine massimo di un minore diverso da zero è tre, quindi .
Forse non tutti hanno compreso appieno questa frase: il minore di 4° ordine è uguale a zero, ma tra i minori di 3° ordine ce n'era uno diverso da zero - quindi ordine massimo diverso da zero minore e uguale a tre.
La domanda sorge spontanea, perché non calcolare immediatamente il determinante? Ebbene, in primo luogo, nella maggior parte delle attività la matrice non è quadrata e, in secondo luogo, anche se ottieni un valore diverso da zero, l'attività verrà rifiutata con un'alta probabilità, poiché di solito implica un "dal basso verso l'alto" standard soluzione. E nell'esempio considerato, il determinante zero del 4 ° ordine ci consente persino di affermare che il rango della matrice è solo inferiore a quattro.
Devo ammettere che mi sono inventato io stesso il problema analizzato per spiegare meglio il metodo di confinamento dei minori. Nella pratica reale, tutto è più semplice:
Esempio 2
Trova il rango di una matrice con il metodo dei minori marginali 
Soluzione e risposta alla fine della lezione.
Quando l'algoritmo funziona più velocemente? Torniamo alla stessa matrice quattro per quattro 
. Ovviamente la soluzione sarà la più breve nel caso di "buono" minori d'angolo:
E, se, allora, altrimenti -.
Il pensiero non è affatto ipotetico: ci sono molti esempi in cui il tutto è limitato solo ai minori angolari.
Tuttavia, in alcuni casi, un altro metodo è più efficace e preferibile:
Questa sezione è destinata ai lettori che hanno già familiarità con Metodo di Gauss e piano piano ci hanno messo le mani sopra.
Dal punto di vista tecnico il metodo non è nuovo:
1) utilizzando trasformazioni elementari, portiamo la matrice in una forma a gradino;
2) il rango della matrice è uguale al numero di righe.
È abbastanza chiaro che l'utilizzo del metodo di Gauss non modifica il rango della matrice, e l'essenza qui è estremamente semplice: secondo l'algoritmo, nel corso delle trasformazioni elementari, vengono identificate e rimosse tutte le linee proporzionali (linearmente dipendenti) non necessarie, a seguito delle quali rimane un "residuo secco" - il numero massimo di rette linearmente indipendenti.
Trasformiamo la vecchia matrice familiare con le coordinate di tre vettori collineari: 
(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga.
(2) Le linee zero vengono rimosse.
Quindi è rimasta una riga, quindi . Inutile dire che questo è molto più veloce che calcolare nove zero minori del 2° ordine e solo allora trarre una conclusione.
Te lo ricordo di per sé matrice algebrica nulla può essere modificato e le trasformazioni vengono eseguite solo allo scopo di scoprire il rango! A proposito, soffermiamoci di nuovo sulla domanda, perché no? Matrice Sorgente 
trasporta informazioni fondamentalmente diverse dalle informazioni di matrice e riga. In qualche modelli matematici(senza esagerare) la differenza in un numero può essere una questione di vita o di morte. ... Ho ricordato gli insegnanti di matematica della scuola primaria e secondaria, che tagliavano spietatamente il voto di 1-2 punti per la minima imprecisione o deviazione dall'algoritmo. Ed è stato terribilmente deludente quando, invece dei "cinque" apparentemente garantiti, si è rivelato "buono" o anche peggio. La comprensione è arrivata molto più tardi: in quale altro modo affidare a una persona satelliti, testate nucleari e centrali elettriche? Ma non preoccuparti, non lavoro in queste zone =)
Passiamo a compiti più significativi, dove, tra le altre cose, faremo conoscenza con importanti tecniche computazionali Metodo di Gauss:
Esempio 3
Trova il rango di una matrice usando le trasformazioni elementari 
Soluzione: data una matrice quattro per cinque, il che significa che il suo rango non è certamente superiore a 4.
Nella prima colonna non c'è 1 o -1, quindi sono necessari passaggi aggiuntivi per ottenere almeno un'unità. Durante l'intera esistenza del sito, mi è stata ripetutamente posta la domanda: "È possibile riorganizzare le colonne durante le trasformazioni elementari?". Qui - riorganizzato la prima o la seconda colonna, e va tutto bene! Nella maggior parte delle attività dove Metodo di Gauss, le colonne possono davvero essere riorganizzate. MA NON FARLO. E il punto non è nemmeno una possibile confusione con le variabili, il punto è che nel classico corso di studi matematica superiore questa azione tradizionalmente non è considerata, quindi un tale inchino sarà guardato MOLTO storto (o addirittura costretto a rifare tutto).
Il secondo punto riguarda i numeri. Nel corso della decisione, è utile essere guidati dalla seguente regola empirica: le trasformazioni elementari dovrebbero, se possibile, ridurre i numeri della matrice. In effetti, è molto più facile lavorare con uno-due-tre che, ad esempio, con 23, 45 e 97. E la prima azione mira non solo a ottenere un'unità nella prima colonna, ma anche a eliminare i numeri 7 e 11.
Prima la soluzione completa, poi i commenti: 
(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -3. E all'heap: la 1a riga, moltiplicata per -1, è stata aggiunta alla 4a riga.
(2) Le ultime tre righe sono proporzionali. Eliminate la 3a e 4a riga, la seconda riga è stata spostata al primo posto.
(3) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -3.
La matrice ridotta a una forma a gradini ha due righe.
Risposta:
Ora tocca a te torturare la matrice quattro per quattro:
Esempio 4
Trova il rango di una matrice usando il metodo gaussiano 
Te lo ricordo Metodo di Gauss non implica una rigidità inequivocabile e molto probabilmente la tua soluzione sarà diversa dalla mia soluzione. Un breve esempio del compito alla fine della lezione.
In pratica, spesso non viene detto affatto quale metodo dovrebbe essere utilizzato per trovare il rango. In una situazione del genere, si dovrebbe analizzare la condizione: per alcune matrici è più razionale eseguire la soluzione attraverso minori, mentre per altre è molto più vantaggioso applicare trasformazioni elementari:
Esempio 5
Trova il rango di una matrice 
Soluzione: il primo modo in qualche modo scompare immediatamente =)
Un po 'più in alto, ho consigliato di non toccare le colonne della matrice, ma quando c'è una colonna zero, o colonne proporzionali / corrispondenti, vale comunque la pena amputare: 
(1) La quinta colonna è zero, la togliamo dalla matrice. Pertanto, il rango della matrice è al massimo quattro. La prima riga viene moltiplicata per -1. Questa è un'altra caratteristica distintiva del metodo gaussiano, che rende la seguente azione una piacevole passeggiata:
(2) A tutte le righe, a partire dalla seconda, è stata aggiunta la prima riga.
(3) La prima riga è stata moltiplicata per -1, la terza riga è stata divisa per 2, la quarta riga è stata divisa per 3. La seconda riga moltiplicata per -1 è stata aggiunta alla quinta riga.
(4) La terza riga è stata aggiunta alla quinta riga, moltiplicata per -2.
(5) Le ultime due righe sono proporzionali, cancelliamo la quinta.
Il risultato sono 4 righe.
Risposta:
Edificio standard di cinque piani per l'autoesplorazione:
Esempio 6
Trova il rango di una matrice
Soluzione breve e risposta alla fine della lezione.
Va notato che la frase "matrix rank" non è così comune nella pratica e nella maggior parte dei problemi puoi farne a meno. Ma c'è un compito in cui il concetto in esame è il principale. attore, e alla fine dell'articolo vedremo questa applicazione pratica:
Spesso, oltre a risolvere sistemi di equazioni lineari secondo la condizione, è prima necessario esaminarne la compatibilità, cioè provare che esiste una soluzione. Un ruolo chiave in questa verifica è svolto da Teorema di Kronecker-Capelli, che formulerò nella forma richiesta:
Se rango matrici di sistema uguale al rango sistema a matrice aumentata, allora il sistema è compatibile, e se questo numero coincide con il numero di incognite, allora soluzione è unica.
Pertanto, per studiare il sistema per la compatibilità, è necessario verificare l'uguaglianza 
, dove - matrice di sistema(ricorda la terminologia della lezione Metodo di Gauss), un - sistema a matrice aumentata(es. matrice con coefficienti alle variabili + colonna di termini liberi).
Per calcolare il rango di una matrice si può applicare il metodo dei minori confinanti o il metodo di Gauss. Considera il metodo di Gauss o il metodo delle trasformazioni elementari.
Il rango di una matrice è l'ordine massimo dei suoi minori, tra i quali ce n'è almeno uno diverso da zero.
Il rango di un sistema di righe (colonne) è il numero massimo di righe linearmente indipendenti (colonne) di questo sistema.
L'algoritmo per trovare il rango di una matrice con il metodo dei minori marginali:
Analizziamo l'algoritmo in modo più dettagliato. Innanzitutto, consideriamo i minori del primo ordine (elementi di matrice) della matrice UN. Se sono tutti zero, allora rangoA = 0. Se ci sono minori di primo ordine (elementi di matrice) che non sono uguali a zero M1 ≠ 0, quindi il rango rangA ≥ 1.
M1. Se ci sono tali minori, allora saranno minori di secondo ordine. Se tutti i minori confinano con il minore M1 sono uguali a zero, allora rangoA = 1. Se esiste almeno un minore di secondo ordine diverso da zero M2 ≠ 0, quindi il rango rangoA ≥ 2.
Controlla se ci sono minori confinanti per il minore M2. Se ci sono tali minori, allora saranno minori del terzo ordine. Se tutti i minori confinano con il minore M2 sono uguali a zero, allora rangoA = 2. Se c'è almeno un minore di terzo ordine che non è uguale a zero M3 ≠ 0, quindi il rango rangoA ≥ 3.
Controlla se ci sono minori confinanti per il minore M3. Se ci sono tali minori, allora saranno minori del quarto ordine. Se tutti i minori confinano con il minore M3 sono uguali a zero, allora rangoA = 3. Se c'è almeno un minore di quarto ordine che non è uguale a zero M4 ≠ 0, quindi il rango rangoA ≥ 4.
Controllo se c'è un minore confinante per minorenne M4, e così via. L'algoritmo si interrompe se a un certo punto i minori confinanti sono uguali a zero o non è possibile ottenere il minore confinante (non ci sono righe o colonne nella matrice). L'ordine di un minore diverso da zero, che siamo riusciti a comporre, sarà il rango della matrice.
Ritenere questo metodo Per esempio. Data una matrice 4x5:
Questa matrice non può avere un rango maggiore di 4. Inoltre, questa matrice ha elementi diversi da zero (un minore di primo ordine), il che significa che il rango della matrice è ≥ 1.
Facciamo un minore 2° ordine. Partiamo dall'angolo.
Poiché il determinante è uguale a zero, componiamo un altro minore.
Trova il determinante di questo minore.
Determina il dato minore è -2 . Quindi il rango della matrice ≥ 2 .
Se questo minore fosse uguale a 0, allora verrebbero aggiunti altri minori. Fino alla fine, tutti i minorenni sarebbero stati schierati nelle file 1 e 2. Poi sulle righe 1 e 3, sulle righe 2 e 3, sulle righe 2 e 4, finché non trovano un minore diverso da 0, ad esempio:
Se tutti i minori di secondo ordine sono 0, allora il rango della matrice sarebbe 1. La soluzione potrebbe essere interrotta.
3° ordine.
Il minore si è rivelato non essere zero. indica il rango della matrice ≥ 3 .
Se questo minore fosse zero, allora dovrebbero essere composti altri minori. Per esempio:
Se tutti i minori di terzo ordine sono 0, allora il rango della matrice sarebbe 2. La soluzione potrebbe essere interrotta.
Continuiamo a cercare il rango di una matrice. Facciamo un minore 4° ordine.
Troviamo il determinante di questo minore.
Il determinante del minore si è rivelato uguale 0 . Costruiamo un altro minore.
Troviamo il determinante di questo minore.
Il minore si è rivelato uguale 0 .
Costruisci un minore 5° order non funzionerà, non ci sono righe in questa matrice per questo. L'ultimo minore diverso da zero era 3° ordine, quindi il rango della matrice è 3 .
Elementare Le seguenti trasformazioni matriciali sono chiamate:
1) permutazione di due righe (o colonne),
2) moltiplicando una riga (o colonna) per un numero diverso da zero,
3) aggiungendo a una riga (o colonna) un'altra riga (o colonna) moltiplicata per un numero.
Le due matrici sono chiamate equivalente, se uno di essi è ottenuto dall'altro con l'aiuto di un insieme finito di trasformazioni elementari.
Le matrici equivalenti non sono, in generale, uguali, ma i loro ranghi sono uguali. Se le matrici A e B sono equivalenti, allora questo è scritto come: A ~ B.
Canonico Una matrice è una matrice che ha diversi 1 di fila all'inizio della diagonale principale (il cui numero può essere zero) e tutti gli altri elementi sono uguali a zero, ad esempio,
Con l'aiuto di trasformazioni elementari di righe e colonne, qualsiasi matrice può essere ridotta a una canonica. Rango della matrice canonica è uguale al numero unità sulla sua diagonale principale.
Esempio 2 Trova il rango di una matrice
UN= 
e portarlo alla forma canonica.
Soluzione. Sottrarre la prima riga dalla seconda riga e riorganizzare queste righe:
.
Ora, dalla seconda e terza riga, sottrai la prima, moltiplicata rispettivamente per 2 e 5:
;
sottrarre la prima dalla terza riga; otteniamo la matrice
B = 
,
che è equivalente alla matrice A, poiché da essa è ottenuta mediante un insieme finito di trasformazioni elementari. Ovviamente, il rango della matrice B è 2, e quindi r(A)=2. La matrice B può essere facilmente ridotta a quella canonica. Sottraendo la prima colonna, moltiplicata per numeri opportuni, da tutte le successive, azzeramo tutti gli elementi della prima riga, tranne la prima, e gli elementi delle restanti righe non cambiano. Quindi, sottraendo la seconda colonna, moltiplicata per i numeri appropriati, da tutte le successive, azzeriamo tutti gli elementi della seconda riga, tranne la seconda, e otteniamo la matrice canonica:
.
Kronecker - Teorema di Capelli- criterio di compatibilità del sistema di equazioni algebriche lineari:
Perché un sistema lineare sia compatibile è necessario e sufficiente che il rango della matrice estesa di tale sistema sia uguale al rango della sua matrice principale.
Bisogno
Permettere sistema giunto. Poi ci sono i numeri sono, che cosa . Pertanto, la colonna è una combinazione lineare delle colonne della matrice. Dal fatto che il rango di una matrice non cambierà se il sistema delle sue righe (colonne) viene cancellato o viene assegnata una riga (colonna), che è una combinazione lineare di altre righe (colonne), ne consegue che .
Adeguatezza
Permettere . Prendiamo un minore di base nella matrice. Poiché , allora sarà anche la base minore della matrice . Quindi, secondo il teorema di base minore, l'ultima colonna della matrice sarà una combinazione lineare delle colonne base, cioè le colonne della matrice . Pertanto, la colonna dei membri liberi del sistema è una combinazione lineare delle colonne della matrice.
Conseguenze
Numero di variabili principali sistemi pari al rango del sistema.
giunto sistema sarà definito (la sua soluzione è unica) se il rango del sistema è uguale al numero di tutte le sue variabili.
Sistema omogeneo di equazioni
Frase15 . 2 Sistema omogeneo di equazioni
|
|
è sempre collaborativo.
Prova. Per questo sistema, l'insieme dei numeri , , , è una soluzione.
In questa sezione, useremo la notazione matriciale del sistema: .
Frase15 . 3 La somma delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari è una soluzione di questo sistema. Anche una soluzione moltiplicata per un numero è una soluzione.
Prova. Let e servire come soluzioni del sistema . Poi e. Permettere . Quindi
Poiché , allora è una soluzione.
Sia un numero arbitrario, . Quindi
Poiché , allora è una soluzione.
Conseguenza15 . 1 Se una sistema omogeneo un'equazione lineare ha una soluzione diversa da zero, quindi ha infinite soluzioni diverse.
Infatti, moltiplicando una soluzione diversa da zero per numeri diversi, otterremo soluzioni diverse.
Definizione15
.
5
Diremo che le soluzioni 
si formano i sistemi sistema decisionale fondamentale se le colonne 
formano un sistema linearmente indipendente e qualsiasi soluzione al sistema è una combinazione lineare di queste colonne.
