Il metodo di Cramer viene utilizzato per risolvere sistemi lineari equazioni algebriche (SLAU).
Formule che utilizzano l'esempio di un sistema di due equazioni con due variabili.
Dato: Risolvi il sistema utilizzando il metodo di Cramer
Per quanto riguarda le variabili X E A.
Soluzione:
Troviamo il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema Calcolo dei determinanti. : 
Applichiamo le formule di Cramer e troviamo i valori delle variabili: 
E 
.
Esempio 1:
Risolvi il sistema di equazioni:
riguardo alle variabili X E A.
Soluzione:
Sostituiamo la prima colonna di questo determinante con una colonna di coefficienti del lato destro del sistema e troviamo il suo valore: 
Facciamo una cosa simile, sostituendo la seconda colonna nel primo determinante: 
Applicabile Le formule di Cramer e trovi i valori delle variabili:
E .
Risposta: 
Commento: Questo metodo può risolvere sistemi di dimensioni superiori.
Commento: Se risulta che , ma non può essere diviso per zero, allora dicono che il sistema non ha una soluzione unica. In questo caso il sistema o ha infinite soluzioni oppure non ne ha affatto.
Esempio 2(numero infinito di soluzioni):
Risolvi il sistema di equazioni:
riguardo alle variabili X E A.
Soluzione:
Troviamo il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema: 
Risoluzione di sistemi mediante il metodo di sostituzione. 
La prima delle equazioni del sistema è un'uguaglianza che vale per qualsiasi valore delle variabili (perché 4 è sempre uguale a 4). Ciò significa che è rimasta solo un'equazione. Questa è un'equazione per la relazione tra variabili.
Abbiamo scoperto che la soluzione del sistema è una qualsiasi coppia di valori di variabili legate tra loro dall'uguaglianza .
Decisione comune verrà scritto così: 
Soluzioni particolari possono essere determinate scegliendo un valore arbitrario di y e calcolando x da questa uguaglianza di connessione. 
eccetera.
Esistono infinite soluzioni simili.
Risposta: decisione comune
Soluzioni private:
Esempio 3(nessuna soluzione, il sistema è incompatibile):
Risolvi il sistema di equazioni:
Soluzione:
Troviamo il determinante della matrice, composta dai coefficienti del sistema: 
Le formule di Cramer non possono essere utilizzate. Risolviamo questo sistema utilizzando il metodo di sostituzione 
La seconda equazione del sistema è un'uguaglianza che non è vera per nessun valore delle variabili (ovviamente, poiché -15 non è uguale a 2). Se una delle equazioni del sistema non è vera per alcun valore delle variabili, allora l’intero sistema non ha soluzioni.
Risposta: nessuna soluzione
Con lo stesso numero di equazioni del numero di incognite con il determinante principale della matrice, che non è uguale a zero, i coefficienti del sistema (per tali equazioni esiste una soluzione e ce n'è solo una).
Il teorema di Cramer.
Quando il determinante di una matrice sistema quadrato diverso da zero, il che significa che il sistema è coerente e ha una soluzione e può essere trovata tramite Le formule di Cramer:
dove Δ - determinante della matrice del sistema,
Δ ioè il determinante della matrice del sistema, in cui invece di io La esima colonna contiene la colonna dei lati destri.
Quando il determinante di un sistema è zero, significa che il sistema può diventare cooperativo o incompatibile.
Questo metodo viene solitamente utilizzato per piccoli sistemi con calcoli estesi e se è necessario determinare una delle incognite. La complessità del metodo è che è necessario calcolare molti determinanti.
Esiste un sistema di equazioni:
Un sistema di 3 equazioni può essere risolto utilizzando il metodo Cramer, discusso sopra per un sistema di 2 equazioni.
Componiamo un determinante dai coefficienti delle incognite:
Sarà determinante del sistema. Quando D≠0, il che significa che il sistema è coerente. Ora creiamo 3 determinanti aggiuntivi:
,
,
Risolviamo il sistema tramite Le formule di Cramer:
Esempio 1.
Sistema dato:
Risolviamolo utilizzando il metodo di Cramer.
Per prima cosa devi calcolare il determinante della matrice del sistema:
Perché Δ≠0, il che significa che per il teorema di Cramer il sistema è consistente e ha una soluzione. Calcoliamo determinanti aggiuntivi. Il determinante Δ 1 si ottiene dal determinante Δ sostituendo la sua prima colonna con una colonna di coefficienti liberi. Noi abbiamo:
Allo stesso modo, otteniamo il determinante di Δ 2 dal determinante della matrice del sistema sostituendo la seconda colonna con una colonna di coefficienti liberi:
Il metodo di Cramer o la cosiddetta regola di Cramer è un metodo per cercare quantità sconosciute da sistemi di equazioni. Può essere utilizzato solo se il numero di valori cercati è equivalente al numero di equazioni algebriche nel sistema, cioè la matrice principale formata dal sistema deve essere quadrata e non contenere zero righe, e anche se il suo determinante deve non essere zero.
Teorema 1
Il teorema di Cramer Se il determinante principale $D$ della matrice principale, compilata sulla base dei coefficienti delle equazioni, non è uguale a zero, allora il sistema di equazioni è coerente e ha un'unica soluzione. La soluzione di un tale sistema viene calcolata attraverso le cosiddette formule di Cramer per la risoluzione dei sistemi equazioni lineari: $x_i = \frac(D_i)(D)$
L'essenza del metodo di Cramer è la seguente:
Per calcolare il determinante di una matrice con dimensione maggiore di 2 per 2 si possono utilizzare diversi metodi:
Figura 1. Regola del triangolo per il calcolo del determinante per il metodo di Cramer
Applichiamo il metodo di Cramer per un sistema di 2 equazioni e due quantità richieste:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$
Mostriamolo in forma estesa per comodità:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
Troviamo il determinante della matrice principale, chiamato anche determinante principale del sistema:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
Se il determinante principale non è uguale a zero, per risolvere lo slough utilizzando il metodo di Cramer è necessario calcolare un paio di determinanti in più da due matrici con le colonne della matrice principale sostituite da una riga di termini liberi:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
Ora troviamo le incognite $x_1$ e $x_2$:
$x_1 = \frac(D_1)(D)$
$x_2 = \frac(D_2)(D)$
Esempio 1
Metodo di Cramer per la risoluzione degli SLAE con una matrice principale del 3° ordine (3 x 3) e tre richieste.
Risolvi il sistema di equazioni:
$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$
Calcoliamo il determinante principale della matrice utilizzando la regola sopra indicata al punto numero 1:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
E ora altre tre determinanti:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60
Troviamo le quantità richieste:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
Consideriamo un sistema di 3 equazioni in tre incognite
Utilizzando determinanti del terzo ordine, la soluzione di un tale sistema può essere scritta nella stessa forma di un sistema di due equazioni, cioè
(2.4)
se 0. Qui
È lì Regola di Cramer Risoluzione di un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite.
Esempio 2.3. Risolvi un sistema di equazioni lineari utilizzando la regola di Cramer:
Soluzione . Trovare il determinante della matrice principale del sistema
Dato che 0, per trovare una soluzione al sistema possiamo applicare la regola di Cramer, ma prima calcoliamo altri tre determinanti:
Visita medica:
Pertanto la soluzione è stata trovata correttamente.
Le regole di Cramer ottenute per i sistemi lineari del 2° e 3° ordine suggeriscono che le stesse regole possono essere formulate per sistemi lineari di qualsiasi ordine. Succede davvero
Il teorema di Cramer. Sistema quadratico di equazioni lineari con determinante diverso da zero della matrice principale del sistema (0) ha una ed una sola soluzione e questa soluzione viene calcolata utilizzando le formule
(2.5)
Dove – determinante della matrice principale, io – determinante della matrice, ottenuto da quello principale, sostituendoiocolonna dei membri gratuiti.
Si noti che se =0, allora la regola di Cramer non si applica. Ciò significa che il sistema o non ha soluzioni o ne ha infinite.
Dopo aver formulato il teorema di Cramer, sorge naturalmente la questione del calcolo delle determinanti di ordine superiore.
Minore aggiuntivo M ij elemento UN ijè un determinante ottenuto da un dato cancellando io th linea e J esima colonna. Complemento algebrico UN ij elemento UN ij si chiama il minore di questo elemento preso col segno (–1). io + J, cioè. UN ij = (–1) io + J M ij .
Ad esempio, troviamo i minori e i complementi algebrici degli elementi UN 23 e UN 31 qualificazioni
Noi abbiamo
Usando il concetto di complemento algebrico possiamo formulare teorema dell'espansione determinanteN-esimo ordine per riga o colonna.
Teorema 2.1. Determinante della matriceUNè uguale alla somma dei prodotti di tutti gli elementi di una determinata riga (o colonna) per i loro complementi algebrici:
(2.6)
Questo teorema è alla base di uno dei principali metodi per il calcolo dei determinanti, il cosiddetto. metodo di riduzione dell'ordine. Come risultato dell'espansione del determinante N ordine su qualsiasi riga o colonna, otteniamo n determinanti ( N–1)esimo ordine. Per avere meno determinanti di questo tipo, è consigliabile selezionare la riga o la colonna che ha il maggior numero di zeri. In pratica, la formula di espansione del determinante è solitamente scritta come:
quelli. le addizioni algebriche sono scritte esplicitamente in termini di minori.
Esempi 2.4. Calcola i determinanti ordinandoli prima in una riga o colonna. In genere, in questi casi, selezionare la colonna o la riga con il maggior numero di zeri. La riga o colonna selezionata sarà indicata da una freccia.
Espandendo il determinante su qualsiasi riga o colonna, otteniamo n determinanti ( N–1)esimo ordine. Quindi ciascuno di questi determinanti ( N–1)esimo ordine può anche essere scomposto in una somma di determinanti ( N–2)esimo ordine. Proseguendo questo processo si possono raggiungere i determinanti del 1° ordine, cioè agli elementi della matrice di cui si calcola il determinante. Quindi, per calcolare i determinanti del 2° ordine, dovrai calcolare la somma di due termini, per i determinanti del 3° ordine - la somma di 6 termini, per i determinanti del 4° ordine - 24 termini. Il numero di termini aumenterà notevolmente all’aumentare dell’ordine del determinante. Ciò significa che il calcolo dei determinanti di ordine molto elevato diventa un compito piuttosto laborioso, che va oltre le capacità anche di un computer. Tuttavia, i determinanti possono essere calcolati in un altro modo, utilizzando le proprietà dei determinanti.
Proprietà 1 . Il determinante non cambierà se le righe e le colonne in esso contenute vengono scambiate, ad es. quando si traspone una matrice:
.
Questa proprietà indica l'uguaglianza delle righe e delle colonne del determinante. In altre parole, qualsiasi affermazione relativa alle colonne di un determinante è vera anche per le sue righe e viceversa.
Proprietà 2 . Il determinante cambia segno quando due righe (colonne) vengono scambiate.
Conseguenza . Se il determinante ha due righe (colonne) identiche, allora è uguale a zero.
Proprietà 3 . Il fattore comune di tutti gli elementi di qualsiasi riga (colonna) può essere portato oltre il segno del determinante.
Per esempio,
Conseguenza . Se tutti gli elementi di una certa riga (colonna) di un determinante sono uguali a zero, allora il determinante stesso è uguale a zero.
Proprietà 4 . Il determinante non cambierà se gli elementi di una riga (colonna) vengono aggiunti agli elementi di un'altra riga (colonna), moltiplicati per un numero qualsiasi.
Per esempio,
Proprietà 5 . Il determinante del prodotto delle matrici è uguale al prodotto dei determinanti delle matrici:
Nella prima parte abbiamo esaminato materiale teorico, il metodo di sostituzione e il metodo di addizione termine per termine delle equazioni del sistema. Consiglio a tutti coloro che accedono al sito tramite questa pagina di leggere la prima parte. Forse alcuni visitatori troveranno il materiale troppo semplice, ma nel processo di risoluzione dei sistemi di equazioni lineari ho fatto una serie di commenti e conclusioni molto importanti riguardanti la soluzione dei problemi matematici in generale.
Ora analizzeremo la regola di Cramer e risolveremo un sistema di equazioni lineari utilizzando matrice inversa(metodo della matrice). Tutti i materiali sono presentati in modo semplice, dettagliato e chiaro. Quasi tutti i lettori saranno in grado di imparare a risolvere i sistemi utilizzando i metodi sopra indicati;
Per prima cosa esamineremo più da vicino la regola di Cramer per un sistema di due equazioni lineari in due incognite. Per quello? - Dopotutto il sistema più semplice può essere risolto utilizzando il metodo scolastico, il metodo dell’addizione termine per termine!
Il fatto è che, anche se a volte, si verifica un compito del genere: risolvere un sistema di due equazioni lineari con due incognite utilizzando le formule di Cramer. In secondo luogo, un esempio più semplice ti aiuterà a capire come utilizzare maggiormente la regola di Cramer caso complesso– sistemi di tre equazioni in tre incognite.
Inoltre, esistono sistemi di equazioni lineari a due variabili, che è consigliabile risolvere utilizzando la regola di Cramer!
Consideriamo il sistema di equazioni
Nel primo passaggio calcoliamo il determinante, si chiama determinante principale del sistema.
Metodo di Gauss.
Se , allora il sistema ha unica decisione, e per trovare le radici dobbiamo calcolare altri due determinanti:
E
In pratica, le qualificazioni di cui sopra possono anche essere denotate da una lettera latina.
Troviamo le radici dell'equazione usando le formule:
,
Esempio 7
Risolvere un sistema di equazioni lineari 
Soluzione: Vediamo che i coefficienti dell'equazione sono piuttosto grandi, sul lato destro ci sono decimali con una virgola. La virgola è un ospite piuttosto raro nei compiti pratici di matematica; ho preso questo sistema da un problema econometrico.
Come risolvere un sistema del genere? Puoi provare a esprimere una variabile in termini di un'altra, ma in questo caso probabilmente ti ritroverai con frazioni terribili e fantasiose con cui è estremamente scomodo lavorare, e il design della soluzione sembrerà semplicemente terribile. Puoi moltiplicare la seconda equazione per 6 e sottrarre termine per termine, ma anche qui si presenteranno le stesse frazioni.
Cosa fare? In questi casi, le formule di Cramer vengono in soccorso.
;
;
Risposta: ,
Entrambe le radici hanno code infinite e si trovano approssimativamente, il che è abbastanza accettabile (e perfino banale) per i problemi di econometria.
I commenti non sono necessari qui, poiché il compito viene risolto utilizzando formule già pronte, tuttavia, c'è un avvertimento. Quando usare questo metodo, obbligatorio Un frammento della progettazione dell'attività è il seguente frammento: “Ciò significa che il sistema ha una soluzione unica”. Altrimenti, il revisore potrebbe punirti per aver mancato di rispetto al teorema di Cramer.
Non sarebbe superfluo il controllo, che può essere comodamente effettuato su una calcolatrice: sostituiamo valori approssimati nella parte sinistra di ciascuna equazione del sistema. Di conseguenza, con un piccolo errore, dovresti ottenere i numeri che si trovano sul lato destro.
Esempio 8
Presenta la risposta in frazioni improprie ordinarie. Fai un controllo.
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (un esempio del progetto finale e la risposta alla fine della lezione).
Passiamo a considerare la regola di Cramer per un sistema di tre equazioni in tre incognite: 
Troviamo il principale determinante del sistema: 
Se , allora il sistema ha infinite soluzioni oppure è incoerente (non ha soluzioni). In questo caso la regola di Cramer non aiuta; è necessario utilizzare il metodo di Gauss.
Se , allora il sistema ha un'unica soluzione e per trovare le radici dobbiamo calcolare altri tre determinanti: 
, 
, 
E infine, la risposta viene calcolata utilizzando le formule: 
Come puoi vedere, il caso "tre per tre" non è sostanzialmente diverso dal caso "due per due"; la colonna dei termini liberi "cammina" in sequenza da sinistra a destra lungo le colonne del determinante principale;
Esempio 9
Risolvi il sistema utilizzando le formule di Cramer. 
Soluzione: Risolviamo il sistema utilizzando le formule di Cramer. 
, il che significa che il sistema ha una soluzione unica.
Risposta: 
.
In realtà anche qui non c'è niente di speciale da commentare, dato che la soluzione segue formule già pronte. Ma ci sono un paio di commenti.
Succede che come risultato dei calcoli si ottengono frazioni irriducibili “cattive”, ad esempio: .
Raccomando il seguente algoritmo di “trattamento”. Se non hai un computer a portata di mano, fai questo:
1) Potrebbe esserci un errore nei calcoli. Non appena incontri una frazione “cattiva”, devi immediatamente controllare La condizione è stata riscritta correttamente?. Se la condizione viene riscritta senza errori, è necessario ricalcolare i determinanti utilizzando l'espansione in un'altra riga (colonna).
2) Se a seguito del controllo non vengono identificati errori, molto probabilmente si è verificato un errore di battitura nelle condizioni dell'attività. In questo caso, affronta il compito con calma e ATTENZIONE fino alla fine, e poi assicurati di controllare e lo riportiamo sulla carta inviolata dopo la decisione. Naturalmente, controllare una risposta frazionaria è un compito spiacevole, ma sarà un argomento disarmante per l'insegnante, a cui piace davvero dare un segno negativo per qualsiasi stronzata come . Come gestire le frazioni è descritto in dettaglio nella risposta all'Esempio 8.
Se hai un computer a portata di mano, utilizza un programma automatizzato per il controllo, che può essere scaricato gratuitamente all'inizio della lezione. A proposito, è più vantaggioso utilizzare subito il programma (anche prima di iniziare la soluzione), vedrai immediatamente il passaggio intermedio in cui hai commesso un errore! Lo stesso calcolatore calcola automaticamente la soluzione al sistema metodo della matrice.
Seconda osservazione. Di tanto in tanto ci sono sistemi in cui alcune variabili mancano nelle equazioni, ad esempio: 
Qui nella prima equazione non c'è alcuna variabile, nella seconda non c'è alcuna variabile. In questi casi, è molto importante annotare correttamente e ATTENTAMENTE il determinante principale: 
– Gli zeri vengono posti al posto delle variabili mancanti.
A proposito, è razionale aprire i determinanti con zeri in base alla riga (colonna) in cui si trova lo zero, poiché vengono eseguiti notevolmente meno calcoli.
Esempio 10
Risolvi il sistema utilizzando le formule di Cramer. 
Questo è un esempio di soluzione indipendente (un esempio del progetto finale e la risposta alla fine della lezione).
Nel caso di un sistema di 4 equazioni in 4 incognite, le formule di Cramer sono scritte secondo principi simili. Puoi vedere un esempio dal vivo nella lezione Proprietà dei determinanti. Riducendo l'ordine del determinante: cinque determinanti del 4° ordine sono abbastanza risolvibili. Anche se il compito ricorda già molto la scarpa di un professore sul petto di uno studente fortunato.
Il metodo della matrice inversa è essenzialmente caso speciale equazione di matrice(Vedi Esempio n. 3 della lezione specificata).
Per studiare questa sezione, devi essere in grado di espandere i determinanti, trovare l'inverso di una matrice ed eseguire la moltiplicazione di matrici. I collegamenti pertinenti verranno forniti man mano che le spiegazioni procedono.
Esempio 11
Risolvi il sistema utilizzando il metodo delle matrici 
Soluzione: Scriviamo il sistema in forma matriciale:
, Dove 
Si prega di guardare il sistema di equazioni e matrici. Penso che tutti comprendano il principio con cui scriviamo gli elementi nelle matrici. L'unico commento: se nelle equazioni mancassero alcune variabili, allora gli zeri dovrebbero essere posizionati nei punti corrispondenti della matrice.
Troviamo la matrice inversa utilizzando la formula:
, dove è la matrice trasposta addizioni algebriche corrispondenti elementi della matrice.
Per prima cosa, diamo un'occhiata al determinante:
Qui il determinante viene espanso sulla prima riga.
Attenzione! Se , allora la matrice inversa non esiste ed è impossibile risolvere il sistema utilizzando il metodo delle matrici. In questo caso, il sistema viene risolto con il metodo dell'eliminazione delle incognite (metodo di Gauss).
Ora dobbiamo calcolare 9 minori e scriverli nella matrice dei minori 
Riferimento:È utile conoscere il significato dei doppi pedici in algebra lineare. La prima cifra è il numero della riga in cui si trova l'elemento. La seconda cifra è il numero della colonna in cui si trova l'elemento: 
Cioè, un doppio pedice indica che l'elemento è nella prima riga, terza colonna e, ad esempio, l'elemento è nella 3a riga, 2a colonna
