O termo “limite notável” é amplamente utilizado em livros didáticos e manuais metodológicos para denotar identidades importantes que ajudam significativamente simplifique seu trabalho em encontrar limites.
Mas para ser capaz de trazer seu limite para o maravilhoso, você precisa dar uma boa olhada nele, pois eles não se encontram em formulário direto, e muitas vezes na forma de consequências, equipadas com termos e fatores adicionais. Porém, primeiro a teoria, depois os exemplos, e você terá sucesso!
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O primeiro limite notável é escrito da seguinte forma (incerteza da forma $0/0$):
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$
Exemplo 1. Calcule o limite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$
Solução. O primeiro passo é sempre o mesmo - substituímos o valor limite $x=0$ na função e obtemos:
$$\esquerda[ \frac(\sin 0)(0) \direita] = \esquerda[\frac(0)(0)\direita].$$
Obtivemos uma incerteza da forma $\left[\frac(0)(0)\right]$, que deve ser divulgada. Se você olhar de perto, o limite original é muito semelhante ao primeiro notável, mas não é o mesmo. Nossa tarefa é trazê-lo à semelhança. Vamos transformar assim - observe a expressão abaixo do seno, faça o mesmo no denominador (relativamente falando, multiplique e divida por $3x$), depois reduza e simplifique:
$$ \lim\limites_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limites_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$
Acima está exatamente o primeiro limite notável: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( fez uma substituição condicional ) y=3x. $$ Responder: $3/8$.
Exemplo 2. Calcule o limite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$
Solução. Substituímos o valor limite $x=0$ na função e obtemos:
$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\direita].$$
Obtivemos uma incerteza da forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Vamos transformar o limite usando o primeiro limite maravilhoso (três vezes!) de forma simplificada:
$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$
Responder: $9/16$.
Exemplo 3. Encontre o limite $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$
Solução. E se houver uma expressão complexa na função trigonométrica? Não importa, e aqui agimos da mesma forma. Primeiro, vamos verificar o tipo de incerteza, substituir $x=0$ na função e obter:
$$\esquerda[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\direita] = \esquerda[\frac(0)(0)\direita].$$
Obtivemos uma incerteza da forma $\left[\frac(0)(0)\right]$. Multiplique e divida por $2x^3+3x$:
$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \esquerda[\frac(0)(0)\direita] = $$
Novamente tivemos incerteza, mas neste caso é apenas uma fração. Vamos reduzir o numerador e o denominador em $x$:
$$ =\lim\limites_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$
Responder: $3/5$.
O segundo limite notável é escrito da seguinte forma (incerteza da forma $1^\infty$):
$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\para 0)\esquerda(1+x\direita)^(1/x)=e. $$
Exemplo 4. Encontre o limite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$
Solução. Vamos verificar o tipo de incerteza, substituir $x=\infty$ na função e obter:
$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$
Obtivemos uma incerteza da forma $\left$. O limite pode ser reduzido à segunda coisa notável. Vamos transformar:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\direita)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limites_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$
A expressão entre parênteses é na verdade o segundo limite notável $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, apenas $t= - 3x/2$, então
$$ = \lim\limites_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$
Responder:$e^(-2/3)$.
Exemplo 5. Encontre o limite $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $
Solução. Substituímos $x=\infty$ na função e obtemos uma incerteza da forma $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. E precisamos de $\left$. Então vamos começar transformando a expressão entre parênteses:
$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\esquerda(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\direita)^(x ) = \lim\limites_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\direita)^(x) = $$ $$ = \lim\limites_(x\to \infty)\esquerda(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \direita)^(x) = \lim\limites_(x\to \infty)\esquerda(\esquerda(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\direita) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\direita)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$
A expressão entre parênteses é na verdade o segundo limite notável $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, apenas $t= \frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, portanto
$$ = \lim\limites_(x\to \infty)\esquerda(e\direita)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limites_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$
O primeiro limite notável é frequentemente usado para calcular limites contendo seno, arco seno, tangente, arco tangente e as incertezas resultantes de zero dividido por zero.
A fórmula para o primeiro limite notável é: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Notamos que para $ \alpha\to 0 $ obtemos $ \sin\alpha \to 0 $, portanto temos zeros no numerador e no denominador. Assim, a fórmula do primeiro limite notável é necessária para revelar as incertezas $ \frac(0)(0) $.
Para aplicar a fórmula, duas condições devem ser atendidas:
Atenção! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Embora as expressões sob o seno e no denominador sejam as mesmas, no entanto $ 2x ^2+1 = 1 $, em $ x\para 0 $. A segunda condição não é atendida, então você NÃO PODE aplicar a fórmula!
Muito raramente nas tarefas você pode ver um primeiro limite puro e maravilhoso, no qual você pode anotar imediatamente a resposta. Na prática, tudo parece um pouco mais complicado, mas para tais casos será útil conhecer as consequências do primeiro limite notável. Graças a eles, você pode calcular rapidamente os limites exigidos.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Vamos considerar o primeiro limite notável, exemplos de sua solução para cálculo de limites contendo funções trigonométricas e incerteza $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Exemplo 1 |
| Calcule $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Solução |
|
Vejamos o limite e observemos que ele contém um seno. Em seguida, substituímos $ x = 0 $ no numerador e no denominador e obtemos a incerteza zero dividida por zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Já são dois sinais de que precisamos aplicar um limite maravilhoso, mas há uma pequena nuance: não podemos aplicar imediatamente a fórmula, pois a expressão sob o sinal do seno difere da expressão no denominador. E precisamos que eles sejam iguais. Portanto, utilizando transformações elementares do numerador, vamos transformá-lo em $2x$. Para fazer isso, retiraremos os dois do denominador da fração como um fator separado. Fica assim: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Por favor observe que no final $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ foi obtido de acordo com a fórmula. Se você não conseguir resolver seu problema, envie-nos. Iremos fornecer solução detalhada. Você poderá visualizar o andamento do cálculo e obter informações. Isso o ajudará a obter a nota do seu professor em tempo hábil! |
| Responder |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Exemplo 2 |
| Encontre $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Solução |
|
Como sempre, primeiro você precisa saber o tipo de incerteza. Se for zero dividido por zero, então prestamos atenção à presença de um seno: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Essa incerteza nos permite usar a fórmula do primeiro limite notável, mas a expressão do denominador não é igual ao argumento do seno? Portanto, a fórmula não pode ser aplicada “de frente”. É necessário multiplicar e dividir a fração pelo argumento do seno: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Agora escrevemos as propriedades dos limites: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ O segundo limite se ajusta exatamente à fórmula e é igual para um: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Substitua novamente $ x = 0 $ em uma fração e obteremos a incerteza $ \frac(0)(0) $. Para eliminá-lo, basta tirar $ x $ dos colchetes e reduzi-lo em: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Responder |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Exemplo 4 |
| Calcule $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Solução |
|
Vamos iniciar o cálculo com a substituição $x=0$. Como resultado, obtemos a incerteza $ \frac(0)(0) $. O limite contém um seno e uma tangente, o que sugere um possível desenvolvimento da situação utilizando a fórmula do primeiro limite notável. Vamos transformar o numerador e denominador da fração em fórmula e consequência: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Agora vemos que no numerador e no denominador existem expressões que se enquadram na fórmula e nas consequências. O argumento do seno e o argumento da tangente são iguais para os denominadores correspondentes $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Responder |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
O artigo: “O primeiro limite notável, exemplos de soluções” falava de casos em que é aconselhável utilizar esta fórmula e suas consequências.
O primeiro limite notável é a seguinte igualdade:
\begin(equação)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equação)
Como para $\alpha\to(0)$ temos $\sin\alpha\to(0)$, dizem que o primeiro limite notável revela uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. De modo geral, na fórmula (1), em vez da variável $\alpha$, qualquer expressão pode ser colocada sob o sinal de seno e no denominador, desde que duas condições sejam atendidas:
Corolários do primeiro limite notável também são frequentemente usados:
\begin(equação) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equação) \begin(equação) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \fim(equação)
Onze exemplos são resolvidos nesta página. O exemplo nº 1 é dedicado à prova das fórmulas (2)-(4). Os exemplos nº 2, nº 3, nº 4 e nº 5 contêm soluções com comentários detalhados. Os exemplos nº 6 a 10 contêm soluções praticamente sem comentários, porque explicações detalhadas foram fornecidas em exemplos anteriores. A solução usa alguns fórmulas trigonométricas que pode ser encontrado.
Deixe-me observar que a presença de funções trigonométricas juntamente com a incerteza $\frac (0) (0)$ não significa necessariamente a aplicação do primeiro limite notável. Às vezes, transformações trigonométricas simples são suficientes - por exemplo, veja.
Exemplo nº 1
Prove que $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Como $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, então:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Como $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ e $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Que:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Vamos fazer a alteração $\alpha=\sin(y)$. Como $\sin(0)=0$, então da condição $\alpha\to(0)$ temos $y\to(0)$. Além disso, existe uma vizinhança de zero em que $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, então:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
A igualdade $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ foi provada.
c) Vamos fazer a substituição $\alpha=\tg(y)$. Como $\tg(0)=0$, então as condições $\alpha\to(0)$ e $y\to(0)$ são equivalentes. Além disso, existe uma vizinhança de zero em que $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, portanto, com base nos resultados do ponto a), teremos:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
A igualdade $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ foi provada.
As igualdades a), b), c) são frequentemente usadas junto com o primeiro limite notável.
Exemplo nº 2
Calcule o limite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Como $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ e $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ou seja, e tanto o numerador quanto o denominador da fração tendem simultaneamente para zero, então aqui estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$, ou seja, feito. Além disso, é claro que as expressões sob o sinal seno e no denominador coincidem (ou seja, e são satisfeitas):
Portanto, ambas as condições listadas no início da página foram atendidas. Segue-se disso que a fórmula é aplicável, ou seja, $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
Responder: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
Exemplo nº 3
Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Como $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ e $\lim_(x\to(0))x=0$, então estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac (0)(0)$, ou seja, feito. Porém, as expressões sob o sinal do seno e no denominador não coincidem. Aqui você precisa ajustar a expressão no denominador para o formulário necessário. Precisamos que a expressão $9x$ esteja no denominador, então ela se tornará verdadeira. Essencialmente, falta um fator de $9$ no denominador, o que não é tão difícil de inserir – basta multiplicar a expressão no denominador por $9$. Naturalmente, para compensar a multiplicação por $9$, você terá que dividir imediatamente por $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Agora as expressões no denominador e sob o sinal do seno coincidem. Ambas as condições para o limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ são satisfeitas. Portanto, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. E isso significa que:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Responder: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Exemplo nº 4
Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Como $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ e $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aqui estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Contudo, a forma do primeiro limite notável é violada. Um numerador contendo $\sin(5x)$ requer um denominador de $5x$. Nesta situação, a maneira mais fácil é dividir o numerador por $5x$ e multiplicar imediatamente por $5x$. Além disso, realizaremos uma operação semelhante com o denominador, multiplicando e dividindo $\tg(8x)$ por $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Reduzindo em $x$ e levando a constante $\frac(5)(8)$ fora do sinal de limite, obtemos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Observe que $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisfaz totalmente os requisitos para o primeiro limite notável. Para encontrar $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ a seguinte fórmula é aplicável:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Responder: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Exemplo nº 5
Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Como $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (lembre-se que $\cos(0)=1$) e $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, então estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Porém, para aplicar o primeiro limite notável, deve-se livrar-se do cosseno do numerador, passando para os senos (para depois aplicar a fórmula) ou tangentes (para depois aplicar a fórmula). Isso pode ser feito com a seguinte transformação:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Voltemos ao limite:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
A fração $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ já está próxima da forma exigida para o primeiro limite notável. Vamos trabalhar um pouco com a fração $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustando-a ao primeiro limite notável (observe que as expressões no numerador e sob o seno devem coincidir):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Voltemos ao limite em questão:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Responder: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Exemplo nº 6
Encontre o limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Como $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ e $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, então estamos lidando com a incerteza $\frac(0)(0)$. Vamos revelá-lo com a ajuda do primeiro limite notável. Para fazer isso, vamos passar de cossenos para senos. Como $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, então:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Passando para senos no limite dado, teremos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Responder: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Exemplo nº 7
Calcule o limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ sujeito a $\alpha\neq \beta$.
Explicações detalhadas foram dadas anteriormente, mas aqui simplesmente notamos que novamente há incerteza $\frac(0)(0)$. Vamos passar de cossenos para senos usando a fórmula
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Usando esta fórmula, obtemos:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\direita| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\direita)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Responder: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Exemplo nº 8
Encontre o limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Como $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (lembre-se que $\sin(0)=\tg(0)=0$) e $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, então aqui estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Vamos decompô-lo da seguinte forma:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\direita)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\direita) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Responder: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Exemplo nº 9
Encontre o limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Como $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ e $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, então há incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Antes de proceder à sua expansão, é conveniente fazer uma mudança de variável de forma que a nova variável tenda a zero (observe que nas fórmulas a variável $\alpha \to 0$). A maneira mais fácil é introduzir a variável $t=x-3$. Porém, por conveniência de futuras transformações (esse benefício pode ser visto no decorrer da solução abaixo), vale a pena fazer a seguinte substituição: $t=\frac(x-3)(2)$. Observo que ambas as substituições são aplicáveis em nesse caso, apenas a segunda substituição permitirá que você trabalhe menos com frações. Como $x\to(3)$, então $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\direita| =\esquerda|\begin(alinhado)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(alinhado)\direita| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Responder: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Exemplo nº 10
Encontre o limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
Mais uma vez estamos lidando com a incerteza $\frac(0)(0)$. Antes de proceder à sua expansão, é conveniente fazer uma mudança de variável de forma que a nova variável tenda a zero (note que nas fórmulas a variável é $\alpha\to(0)$). A maneira mais fácil é introduzir a variável $t=\frac(\pi)(2)-x$. Como $x\to\frac(\pi)(2)$, então $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\esquerda|\frac(0)(0)\direita| =\esquerda|\begin(alinhado)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(alinhado)\direita| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\esquerda(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\direita)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Responder: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Exemplo nº 11
Encontre os limites $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Neste caso não precisamos usar o primeiro limite maravilhoso. Observe que tanto o primeiro quanto o segundo limites contêm apenas funções trigonométricas e números. Muitas vezes, em exemplos deste tipo, é possível simplificar a expressão localizada sob o sinal limite. Além disso, após a referida simplificação e redução de alguns fatores, a incerteza desaparece. Dei este exemplo com um único propósito: mostrar que a presença de funções trigonométricas sob o sinal de limite não significa necessariamente o uso do primeiro limite notável.
Como $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (lembre-se de que $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) e $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (deixe-me lembrá-lo que $\cos\frac(\pi)(2)=0$), então temos lidando com incerteza da forma $\frac(0)(0)$. No entanto, isso não significa que precisaremos usar o primeiro limite maravilhoso. Para revelar a incerteza, basta levar em conta que $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\esquerda|\frac(0)(0)\direita| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Existe uma solução semelhante no livro de soluções de Demidovich (nº 475). Quanto ao segundo limite, como nos exemplos anteriores desta seção, temos uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Por que isso surge? Surge porque $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ e $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usamos esses valores para transformar as expressões no numerador e no denominador. O objetivo de nossas ações é anotar a soma no numerador e no denominador como um produto. Aliás, muitas vezes dentro de um tipo semelhante é conveniente alterar uma variável, feita de forma que a nova variável tenda a zero (ver, por exemplo, os exemplos nº 9 ou nº 10 nesta página). No entanto, em neste exemplo não faz sentido substituí-lo, embora, se desejado, substituir a variável $t=x-\frac(2\pi)(3)$ não seja difícil de implementar.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ para\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\direita)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Como você pode ver, não tivemos que aplicar o primeiro limite maravilhoso. Claro, você pode fazer isso se quiser (veja nota abaixo), mas não é necessário.
Qual é a solução usando o primeiro limite notável? aparecer esconder
Usando o primeiro limite notável, obtemos:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ direita))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\direita) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Responder: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
Agora, com a alma calma, vamos considerar limites maravilhosos.
parece .
Em vez da variável x pode haver várias funções, o principal é que tendem a 0.
É necessário calcular o limite
Como você pode ver, esse limite é muito semelhante ao primeiro notável, mas isso não é inteiramente verdade. Em geral, se você notar um pecado no limite, você deve pensar imediatamente se é possível usar o primeiro limite notável.
De acordo com nossa regra nº 1, substituímos zero em vez de x:
Ficamos com incerteza.
Agora vamos tentar organizar nós mesmos o primeiro limite maravilhoso. Para fazer isso, vamos fazer uma combinação simples:
Então organizamos o numerador e o denominador para destacar 7x. Agora, o familiar limite notável já apareceu. É aconselhável destacá-lo na hora de decidir:
Vamos substituir a solução do primeiro exemplo maravilhoso e obtemos:
Simplificando a fração:
Resposta: 7/3.
Como você pode ver, tudo é muito simples.
Parece 
, onde e = 2,718281828... é um número irracional.
Várias funções podem estar presentes no lugar da variável x, o principal é que tendem a .
É necessário calcular o limite
Aqui vemos a presença de um grau sob o sinal de um limite, o que significa que é possível utilizar um segundo limite notável.
Como sempre, usaremos a regra nº 1 - substitua x em vez de:
Pode-se ver que em x a base do grau é, e o expoente é 4x >, ou seja, obtemos uma incerteza da forma:
Vamos usar o segundo limite maravilhoso para revelar a nossa incerteza, mas primeiro precisamos organizá-la. Como você pode ver, precisamos conseguir presença no indicador, para o qual elevamos a base à potência de 3x, e ao mesmo tempo à potência de 1/3x, para que a expressão não mude:
Não se esqueça de destacar nosso maravilhoso limite:
Isso é o que eles realmente são limites maravilhosos!
Se você ainda tiver alguma dúvida sobre o primeiro e o segundo limites maravilhosos e fique à vontade para perguntar nos comentários.
Responderemos a todos na medida do possível.
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Existem vários limites notáveis, mas os mais famosos são o primeiro e o segundo limites notáveis. O que é notável sobre esses limites é que eles são amplamente utilizados e com sua ajuda é possível encontrar outros limites encontrados em vários problemas. Isso é o que faremos na parte prática desta lição. Para resolver problemas reduzindo-os ao primeiro ou segundo limite notável, não há necessidade de revelar as incertezas neles contidas, uma vez que os valores desses limites já foram deduzidos há muito tempo por grandes matemáticos.
O primeiro limite maravilhosoé chamado o limite da razão entre o seno de um arco infinitesimal e o mesmo arco, expresso em radianos:
Vamos prosseguir para a resolução de problemas no primeiro limite notável. Nota: se houver uma função trigonométrica sob o sinal limite, isso é quase sinal certo que esta expressão pode ser levada ao seu primeiro limite notável.
Exemplo 1. Encontre o limite.
Solução. Substituição em vez disso x zero leva à incerteza:
.
O denominador é seno, portanto, a expressão pode ser levada ao primeiro limite notável. Vamos começar a transformação:
.
O denominador é o seno de três X, mas o numerador tem apenas um X, o que significa que você precisa obter três X no numerador. Para que? Para apresentar 3 x = a e obtenha a expressão .
E chegamos a uma variação do primeiro limite notável:
porque não importa qual letra (variável) nesta fórmula representa em vez de X.
Multiplicamos X por três e dividimos imediatamente:
.
De acordo com o primeiro limite notável observado, substituímos a expressão fracionária:
Agora podemos finalmente resolver este limite:
.
Exemplo 2. Encontre o limite.
Solução. A substituição direta novamente leva à incerteza “zero dividido por zero”:
.
Para obter o primeiro limite notável, é necessário que x sob o sinal de seno no numerador e apenas x no denominador tenham o mesmo coeficiente. Seja este coeficiente igual a 2. Para isso, imagine o coeficiente atual para x conforme abaixo, realizando operações com frações, obtemos:
.
Exemplo 3. Encontre o limite.
Solução. Ao substituir, obtemos novamente a incerteza “zero dividido por zero”:
.
Você provavelmente já entendeu que a partir da expressão original você pode obter o primeiro limite maravilhoso multiplicado pelo primeiro limite maravilhoso. Para fazer isso, decompomos os quadrados de x no numerador e o seno no denominador em fatores idênticos e, para obter os mesmos coeficientes para x e seno, dividimos x no numerador por 3 e multiplicamos imediatamente por 3. Obtemos:
.
Exemplo 4. Encontre o limite.
Solução. Mais uma vez obtemos a incerteza “zero dividido por zero”:
.
Podemos obter a razão dos dois primeiros limites notáveis. Dividimos o numerador e o denominador por x. Então, para que os coeficientes de senos e xes coincidam, multiplicamos o x superior por 2 e imediatamente dividimos por 2, e multiplicamos o x inferior por 3 e imediatamente dividimos por 3. Obtemos:
Exemplo 5. Encontre o limite.
Solução. E novamente a incerteza de “zero dividido por zero”:
Lembramos da trigonometria que tangente é a razão entre seno e cosseno, e o cosseno de zero é igual a um. Realizamos as transformações e obtemos:
.
Exemplo 6. Encontre o limite.
Solução. Função trigonométrica sob o signo de um limite sugere novamente o uso do primeiro limite notável. Nós o representamos como a razão entre seno e cosseno.
