Deixe a linha passar pelos pontos M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2). A equação de uma linha reta que passa pelo ponto M 1 tem a forma y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Onde k - coeficiente ainda desconhecido.
Como a reta passa pelo ponto M 2 (x 2 y 2), as coordenadas deste ponto devem satisfazer a equação (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
A partir daqui encontramos Substituindo o valor encontrado k
na equação (10.6), obtemos a equação de uma reta que passa pelos pontos M 1 e M 2:
Supõe-se que nesta equação x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Se x 1 = x 2, então a linha reta que passa pelos pontos M 1 (x 1,y I) e M 2 (x 2,y 2) é paralela ao eixo das ordenadas. Sua equação é x = x 1 .
Se y 2 = y I, então a equação da reta pode ser escrita como y = y 1, a reta M 1 M 2 é paralela ao eixo das abcissas.
Deixe a linha reta cruzar o eixo Ox no ponto M 1 (a;0), e o eixo Oy no ponto M 2 (0;b). A equação assumirá a forma: 
aqueles. 
. Esta equação é chamada equação de uma linha reta em segmentos, porque os números a e b indicam quais segmentos a linha corta nos eixos coordenados.
Vamos encontrar a equação de uma reta que passa por um determinado ponto Mo (x O; y o) perpendicular a um determinado vetor diferente de zero n = (A; B).
Vamos pegar um ponto arbitrário M(x; y) na reta e considerar o vetor M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como os vetores n e M o M são perpendiculares, seu produto escalar é igual a zero: isto é
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
A equação (10.8) é chamada equação de uma reta que passa por um determinado ponto perpendicular a um determinado vetor .
Vetor n= (A; B), perpendicular à reta, é chamado normal vetor normal desta linha .
A equação (10.8) pode ser reescrita como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
onde A e B são as coordenadas do vetor normal, C = -Ax o - Vu o é o termo livre. Equação (10.9) é a equação geral da reta(ver Fig. 2).
Fig.1 Fig.2
,
Onde 
- coordenadas do ponto através do qual a linha passa, e 
- vetor de direção.
Um círculo é o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes de um determinado ponto, que é chamado de centro.
Equação canônica de um círculo de raio
R centrado em um ponto 
:
Em particular, se o centro da estaca coincidir com a origem das coordenadas, a equação será semelhante a: 
Elipse
Uma elipse é um conjunto de pontos em um plano, cuja soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados
E 
, que são chamados de focos, é uma quantidade constante 
, maior que a distância entre os focos 
.
A equação canônica de uma elipse cujos focos estão no eixo do Boi, e a origem das coordenadas no meio entre os focos tem a forma 
G 
de a comprimento do semieixo maior; b – comprimento do semieixo menor (Fig. 2).
Este artigo revela como obter a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados em sistema retangular coordenadas localizadas no plano. Vamos derivar a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados em um sistema de coordenadas retangulares. Mostraremos e resolveremos com clareza vários exemplos relacionados ao material abordado.
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Antes de obter a equação de uma reta que passa por dois pontos dados, é necessário atentar para alguns fatos. Existe um axioma que diz que através de dois pontos divergentes de um plano é possível traçar uma reta e apenas uma. Em outras palavras, dois pontos dados em um plano são definidos por uma linha reta que passa por esses pontos.
Se o plano for definido pelo sistema de coordenadas retangulares Oxy, então qualquer linha reta representada nele corresponderá à equação de uma linha reta no plano. Há também uma conexão com o vetor diretor da reta.Esses dados são suficientes para compilar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados.
Vejamos um exemplo de solução de um problema semelhante. É necessário criar uma equação para uma reta a passando por dois pontos divergentes M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2), localizados no sistema de coordenadas cartesianas.
Na equação canônica de uma reta em um plano, tendo a forma x - x 1 a x = y - y 1 a y, um sistema de coordenadas retangulares O x y é especificado com uma reta que cruza com ele em um ponto com coordenadas M 1 (x 1, y 1) com um vetor guia a → = (a x , a y) .
É necessário elaborar equação canônica linha reta a, que passará por dois pontos com coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2).
A reta a possui um vetor de direção M 1 M 2 → com coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pois intercepta os pontos M 1 e M 2. Obtivemos os dados necessários para transformar a equação canônica com as coordenadas do vetor de direção M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) e as coordenadas dos pontos M 1 situados sobre eles (x 1, y 1) e M 2 (x 2 , y 2) . Obtemos uma equação da forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Considere a figura abaixo.
Após os cálculos, anotamos as equações paramétricas de uma reta em um plano que passa por dois pontos com coordenadas M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2). Obtemos uma equação da forma x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Vamos dar uma olhada mais de perto na resolução de vários exemplos.
Exemplo 1
Escreva a equação de uma linha reta que passa por 2 pontos dados com coordenadas M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Solução
A equação canônica para uma linha que se cruza em dois pontos com coordenadas x 1, y 1 e x 2, y 2 assume a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De acordo com as condições do problema, temos que x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. É necessário substituir os valores numéricos na equação x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. A partir daqui, obtemos que a equação canônica assume a forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Resposta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Se você precisar resolver um problema com um tipo diferente de equação, primeiro você pode ir para a canônica, pois é mais fácil passar dela para qualquer outra.
Exemplo 2
Componha a equação geral de uma reta que passa por pontos com coordenadas M 1 (1, 1) e M 2 (4, 2) no sistema de coordenadas O x y.
Solução
Primeiro, você precisa escrever a equação canônica de uma determinada reta que passa por determinados dois pontos. Obtemos uma equação da forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Vamos trazer a equação canônica para a forma desejada, então obtemos:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Responder: x - 3 y + 2 = 0 .
Exemplos de tais tarefas foram discutidos em livros escolares durante as aulas de álgebra. Os problemas escolares diferiam porque a equação de uma linha reta com declive, tendo a forma y = k x + b. Se você precisar encontrar o valor da inclinação k e o número b para o qual a equação y = k x + b define uma linha no sistema O x y que passa pelos pontos M 1 (x 1, y 1) e M 2 ( x 2, y 2), onde x 1 ≠ x 2. Quando x 1 = x 2 , então o coeficiente angular assume o valor do infinito, e a linha reta M 1 M 2 é definida pelo geral equação incompleta da forma x - x 1 = 0 .
Porque os pontos M1 E M2 estão em linha reta, então suas coordenadas satisfazem a equação y 1 = k x 1 + b e y 2 = k x 2 + b. É necessário resolver o sistema de equações y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b para k e b.
Para fazer isso, encontramos k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Com esses valores de k e b, a equação de uma reta que passa pelos dois pontos dados torna-se y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
É impossível lembrar um número tão grande de fórmulas ao mesmo tempo. Para isso, é necessário aumentar o número de repetições na resolução de problemas.
Exemplo 3
Escreva a equação de uma linha reta com coeficiente angular passando por pontos com coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.
Solução
Para resolver o problema, usamos uma fórmula com coeficiente angular da forma y = k x + b. Os coeficientes k e b devem assumir um valor tal que esta equação corresponda a uma reta que passa por dois pontos com coordenadas M 1 (- 7, - 5) e M 2 (2, 1).
Pontos M1 E M2 estão localizados em uma linha reta, então suas coordenadas devem tornar a equação y = k x + b uma verdadeira igualdade. Disto obtemos que - 5 = k · (- 7) + b e 1 = k · 2 + b. Vamos combinar a equação no sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b e resolver.
Após a substituição obtemos que
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Agora os valores k = 2 3 e b = - 1 3 são substituídos na equação y = k x + b. Descobrimos que a equação necessária que passa pelos pontos dados será uma equação da forma y = 2 3 x - 1 3 .
Este método de solução predetermina os gastos grande quantidade tempo. Existe uma maneira pela qual a tarefa é resolvida literalmente em duas etapas.
Vamos escrever a equação canônica da reta que passa por M 2 (2, 1) e M 1 (- 7, - 5), tendo a forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Agora vamos passar para a equação da inclinação. Obtemos isso: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Resposta: y = 2 3 x - 1 3 .
Se no espaço tridimensional existe um sistema de coordenadas retangulares O x y z com dois pontos dados não coincidentes com coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), o reta M passando por eles 1 M 2 , é necessário obter a equação desta reta.
Temos equações canônicas da forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z e equações paramétricas da forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ são capazes de definir uma linha no sistema de coordenadas O x y z, passando por pontos com coordenadas (x 1, y 1, z 1) com um vetor de direção a → = (a x, a y, a z).
Reto M 1 M 2 tem um vetor de direção da forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), onde a linha reta passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2 , y 2 , z 2), portanto, a equação canônica pode ter a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, por sua vez paramétrico x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Considere um desenho que mostra 2 pontos dados no espaço e a equação de uma linha reta.
Exemplo 4
Escreva a equação de uma reta definida em um sistema de coordenadas retangulares O x y z do espaço tridimensional, passando por determinados dois pontos com coordenadas M 1 (2, - 3, 0) e M 2 (1, - 3, - 5).
Solução
É necessário encontrar a equação canônica. Porque estamos falando sobre sobre o espaço tridimensional, o que significa que quando uma linha reta passa por determinados pontos, a equação canônica desejada assumirá a forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Por condição temos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Segue-se que as equações necessárias serão escritas da seguinte forma:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Resposta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
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Lição da série “Algoritmos geométricos”
Olá querido leitor!
Hoje começaremos a aprender algoritmos relacionados à geometria. O fato é que problemas da olimpíada na ciência da computação, existem muitos tópicos relacionados à geometria computacional, e a solução de tais problemas muitas vezes causa dificuldades.
Ao longo de várias lições, consideraremos uma série de subtarefas elementares nas quais se baseia a solução da maioria dos problemas de geometria computacional.
Nesta lição criaremos um programa para encontrar a equação de uma reta, passando por dado dois pontos. Para resolver problemas geométricos, precisamos de algum conhecimento de geometria computacional. Dedicaremos parte da lição a conhecê-los.
A geometria computacional é um ramo da ciência da computação que estuda algoritmos para resolver problemas geométricos.
Os dados iniciais para tais problemas podem ser um conjunto de pontos em um plano, um conjunto de segmentos, um polígono (especificado, por exemplo, por uma lista de seus vértices no sentido horário), etc.
O resultado pode ser uma resposta a alguma pergunta (como um ponto pertence a um segmento, dois segmentos se cruzam, ...) ou algum objeto geométrico (por exemplo, o menor polígono convexo conectando determinados pontos, a área de um polígono, etc.).
Consideraremos problemas de geometria computacional apenas no plano e apenas no sistema de coordenadas cartesianas.
Vetores e coordenadas
Para aplicar os métodos da geometria computacional, é necessário traduzir as imagens geométricas para a linguagem dos números. Assumiremos que o plano possui um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o sentido de rotação no sentido anti-horário é denominado positivo.
Agora os objetos geométricos recebem uma expressão analítica. Assim, para especificar um ponto, basta indicar suas coordenadas: um par de números (x; y). Um segmento pode ser especificado especificando as coordenadas de suas extremidades; uma linha reta pode ser especificada especificando as coordenadas de um par de seus pontos.
Mas nossa principal ferramenta para resolver problemas serão os vetores. Deixe-me, portanto, relembrar algumas informações sobre eles.
Segmento de linha AB, que tem um ponto Aé considerado o início (ponto de aplicação), e o ponto EM– fim, chamado de vetor AB e denotar ou negrito letra minúscula, Por exemplo A .
Para denotar o comprimento de um vetor (ou seja, o comprimento do segmento correspondente), usaremos o símbolo do módulo (por exemplo,).
Um vetor arbitrário terá coordenadas iguais à diferença entre as coordenadas correspondentes de seu final e início:
,
aqui estão os pontos A E B
tem coordenadas 
respectivamente.
Para cálculos usaremos o conceito ângulo orientado, ou seja, um ângulo que leva em consideração a posição relativa dos vetores.
Ângulo orientado entre vetores a E b positivo se a rotação for do vetor a para vetorizar b é realizado no sentido positivo (anti-horário) e negativo no outro caso. Veja Fig.1a, Fig.1b. Diz-se também que um par de vetores a E b orientado positivamente (negativamente).
Assim, o valor do ângulo orientado depende da ordem em que os vetores são listados e pode assumir valores no intervalo.
Muitos problemas em geometria computacional usam o conceito de produtos vetoriais (inclinados ou pseudoescalares) de vetores.
O produto vetorial dos vetores aeb é o produto dos comprimentos desses vetores e o seno do ângulo entre eles:
.
Produto vetorial de vetores em coordenadas:
A expressão à direita é um determinante de segunda ordem:
Ao contrário da definição dada na geometria analítica, é um escalar.
O sinal do produto vetorial determina a posição dos vetores entre si:
a E b orientado positivamente.
Se o valor for , então um par de vetores a E b orientado negativamente.
O produto vetorial de vetores diferentes de zero é zero se e somente se eles forem colineares ( 
). Isso significa que eles estão na mesma linha ou em linhas paralelas.
Vejamos alguns problemas simples que são necessários para resolver problemas mais complexos.
Vamos determinar a equação de uma linha reta a partir das coordenadas de dois pontos.
Equação de uma reta que passa por dois pontos diferentes especificados por suas coordenadas.
Sejam dados dois pontos não coincidentes em uma linha reta: com coordenadas (x1; y1) e com coordenadas (x2; y2). Conseqüentemente, um vetor com início em um ponto e fim em um ponto tem coordenadas (x2-x1, y2-y1). Se P(x, y) for um ponto arbitrário em nossa reta, então as coordenadas do vetor são iguais a (x-x1, y – y1).
Usando o produto vetorial, a condição de colinearidade dos vetores pode ser escrita da seguinte forma:
Aqueles. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
Reescrevemos a última equação da seguinte forma:
machado + por + c = 0, (1)
c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
Portanto, a linha reta pode ser especificada por uma equação da forma (1).
Problema 1. As coordenadas de dois pontos são fornecidas. Encontre sua representação na forma ax + by + c = 0.
Nesta lição aprendemos algumas informações sobre geometria computacional. Resolvemos o problema de encontrar a equação de uma reta a partir das coordenadas de dois pontos.
Na próxima lição, criaremos um programa para encontrar o ponto de intersecção de duas retas fornecidas pelas nossas equações.
Neste artigo consideraremos a equação geral de uma reta em um plano. Vamos dar exemplos de construção de uma equação geral de uma reta se dois pontos desta reta forem conhecidos ou se um ponto e o vetor normal desta reta forem conhecidos. Vamos apresentar métodos para transformar a equação em visão geral em visualizações canônicas e paramétricas.
Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias Oxi. Considere a equação do primeiro grau ou equação linear:
| Machado+Por+C=0, | (1) |
Onde A, B, C− algumas constantes e pelo menos um dos elementos A E B diferente de zero.
Mostraremos que uma equação linear num plano define uma reta. Vamos provar o seguinte teorema.
Teorema 1. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias em um plano, cada linha reta pode ser especificada por uma equação linear. Por outro lado, cada equação linear (1) em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas arbitrárias em um plano define uma linha reta.
Prova. Basta provar que a reta eué determinado por uma equação linear para qualquer sistema de coordenadas retangulares cartesianas, desde então será determinado por uma equação linear para qualquer escolha de sistema de coordenadas retangulares cartesianas.
Deixe uma linha reta ser dada no avião eu. Vamos escolher um sistema de coordenadas tal que o eixo Boi coincidiu com uma linha reta eu, e o eixo Oi era perpendicular a ele. Então a equação da reta eu assumirá o seguinte formato:
| y=0. | (2) |
Todos os pontos de uma linha eu satisfará a equação linear (2) e todos os pontos fora desta linha não satisfarão a equação (2). A primeira parte do teorema foi provada.
Seja dado um sistema de coordenadas retangulares cartesianas e seja dada uma equação linear (1), onde pelo menos um dos elementos A E B diferente de zero. Vamos encontrar o lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (1). Como pelo menos um dos coeficientes A E Bé diferente de zero, então a equação (1) tem pelo menos uma solução M(x 0 ,sim 0). (Por exemplo, quando A≠0, ponto M 0 (−C/A, 0) pertence ao local geométrico dos pontos fornecido). Substituindo essas coordenadas em (1) obtemos a identidade
| Machado 0 +Por 0 +C=0. | (3) |
Vamos subtrair a identidade (3) de (1):
| A(x−x 0)+B(sim−sim 0)=0. | (4) |
Obviamente, a equação (4) é equivalente à equação (1). Portanto, basta provar que (4) define uma certa reta.
Como estamos considerando um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, segue da igualdade (4) que o vetor com componentes ( x-x 0 , a-a 0) ortogonal ao vetor n com coordenadas ( A, B}.
Vamos considerar alguma linha reta eu, passando pelo ponto M 0 (x 0 , sim 0) e perpendicular ao vetor n(Figura 1). Deixe o ponto M(x,y) pertence à linha eu. Então o vetor com coordenadas x-x 0 , a-a 0perpendicular n e a equação (4) é satisfeita (produto escalar de vetores n e igual a zero). Por outro lado, se o ponto M(x,y) não está em uma linha eu, então o vetor com coordenadas x-x 0 , a-a 0 não é ortogonal ao vetor n e a equação (4) não é satisfeita. O teorema foi provado.
Prova. Como as linhas (5) e (6) definem a mesma linha, então os vetores normais n 1 ={A 1 ,B 1) e n 2 ={A 2 ,B 2) colinear. Como os vetores n 1 ≠0, n 2 ≠0, então existe esse número λ , O que n 2 =n 1 λ . A partir daqui temos: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Vamos provar isso C 2 =C 1 λ . Obviamente, linhas coincidentes têm ponto comum M 0 (x 0 , sim 0). Multiplicando a equação (5) por λ e subtraindo a equação (6) dela obtemos:
Como as duas primeiras igualdades das expressões (7) são satisfeitas, então C 1 λ −C 2 =0. Aqueles. C 2 =C 1 λ . A observação foi comprovada.
Observe que a equação (4) define a equação da reta que passa pelo ponto M 0 (x 0 , sim 0) e tendo um vetor normal n={A, B). Portanto, se o vetor normal de uma reta e o ponto pertencente a essa reta forem conhecidos, então a equação geral da reta pode ser construída usando a equação (4).
Exemplo 1. Uma linha reta passa por um ponto M=(4,−1) e tem um vetor normal n=(3, 5). Construa a equação geral de uma reta.
Solução. Nós temos: x 0 =4, sim 0 =−1, A=3, B=5. Para construir a equação geral de uma reta, substituímos esses valores na equação (4):
Responder:
O vetor é paralelo à reta eu e, portanto, perpendicular ao vetor normal da reta eu. Vamos construir um vetor de linha normal eu, dado que produto escalar vetores n e igual a zero. Podemos escrever, por exemplo, n={1,−3}.
Para construir a equação geral de uma linha reta, usamos a fórmula (4). Vamos substituir as coordenadas do ponto em (4) M 1 (também podemos tomar as coordenadas do ponto M 2) e vetor normal n:
Substituindo as coordenadas dos pontos M 1 e M 2 em (9) podemos ter certeza de que a reta dada pela equação (9) passa por esses pontos.
Responder:
Subtraia (10) de (1):
Obtivemos a equação canônica da reta. Vetor q={−B, A) é o vetor de direção da linha (12).
Veja conversão reversa.
Exemplo 3. Uma linha reta em um plano é representada pela seguinte equação geral:
Vamos mover o segundo termo para a direita e dividir ambos os lados da equação por 2·5.
Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.
Um número infinito de linhas retas pode ser traçado através de qualquer ponto.
Através de quaisquer dois pontos não coincidentes, uma única linha reta pode ser traçada.
Duas linhas divergentes em um plano ou se cruzam em um único ponto ou são
paralelo (segue do anterior).
EM espaço tridimensional existem três opções posição relativa duas linhas retas:
Direto linha— curva algébrica de primeira ordem: uma linha reta no sistema de coordenadas cartesianas
é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).
Equação geral de uma reta.
Definição. Qualquer linha reta no plano pode ser especificada por uma equação de primeira ordem
Machado + Wu + C = 0,
e constante A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo. Esta equação de primeira ordem é chamada em geral
equação de uma reta. Dependendo dos valores das constantes A, B E COM Os seguintes casos especiais são possíveis:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- uma reta passa pela origem
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO
. B = C = 0, A ≠0- a linha reta coincide com o eixo UO
. A = C = 0, B ≠0- a linha reta coincide com o eixo Oh
A equação de uma linha reta pode ser representada em em várias formas dependendo de qualquer dado
condições iniciais.
Equação de uma linha reta de um ponto e um vetor normal.
Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)
perpendicular à linha reta, dado pela equação
Machado + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto UMA(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).
Solução. Com A = 3 e B = -1, vamos compor a equação da reta: 3x - y + C = 0. Para encontrar o coeficiente C
Vamos substituir as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto
C = -1. Total: a equação necessária: 3x - y - 1 = 0.
Equação de uma reta que passa por dois pontos.
Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) E M2 (x 2, y 2, z 2), Então equação de uma reta,
passando por estes pontos:
Se algum dos denominadores for zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. Sobre
plano, a equação da linha reta escrita acima é simplificada:
Se x 1 ≠ x 2 E x = x 1, Se x 1 = x 2 .
Fração = k chamado declive direto.
Exemplo. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).
Solução. Aplicando a fórmula escrita acima, obtemos:
Equação de uma linha reta usando um ponto e uma inclinação.
Se a equação geral da reta Machado + Wu + C = 0 leva a:
e designar 
, então a equação resultante é chamada
equação de uma reta com inclinação k.
Equação de uma linha reta de um ponto e um vetor de direção.
Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através de um vetor normal, você pode entrar na tarefa
uma linha reta que passa por um ponto e um vetor diretor de uma linha reta.
Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição
Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor diretor de uma linha reta.
Machado + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com um vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).
Solução. Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Machado + Por + C = 0. De acordo com a definição,
os coeficientes devem satisfazer as seguintes condições:
1 * A + (-1) * B = 0, ou seja, A = B.
Então a equação da reta tem a forma: Machado + Ay + C = 0, ou x + y + C/A = 0.
no x = 1, y = 2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação necessária:
x + y - 3 = 0
Equação de uma reta em segmentos.
Se na equação geral da reta Ах + Ву + С = 0 С≠0, então, dividindo por -С, obtemos:
ou onde
O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de intersecção
reto com eixo Oh, A b- coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo OU.
Exemplo. A equação geral de uma linha reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta em segmentos.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Equação normal de uma reta.
Se ambos os lados da equação Machado + Wu + C = 0 dividir por número 
que é chamado
fator de normalização, então obtemos
xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.
O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ*C< 0.
R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha reta,
A φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.
Exemplo. A equação geral da reta é dada 12x - 5y - 65 = 0. Necessário para escrever Vários tipos equações
esta linha reta.
A equação desta reta em segmentos:
A equação desta reta com a inclinação: (dividir por 5)
Equação de uma reta:
cos φ = 12/13; pecado φ= -5/13; p = 5.
Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas,
paralelo aos eixos ou passando pela origem.
O ângulo entre linhas retas em um plano.
Definição. Se duas linhas forem fornecidas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas
será definido como
Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas linhas são perpendiculares
Se k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Direto Machado + Wu + C = 0 E A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo quando os coeficientes são proporcionais
A 1 = λA, B 1 = λB. Se também C 1 = λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas
são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas retas.
A equação de uma reta que passa por um determinado ponto perpendicular a uma determinada reta.
Definição. Reta que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b
representado pela equação:
Distância de um ponto a uma reta.
Teorema. Se um ponto for dado M(x 0, y 0), então a distância até a linha reta Machado + Wu + C = 0 definido como:
Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base de uma perpendicular largada de um ponto M para um dado
direto. Então a distância entre os pontos M E M1:
(1)
Coordenadas x 1 E em 1 pode ser encontrado como uma solução para o sistema de equações:
A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto M 0 perpendicularmente
dada linha reta. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:
UMA(x - x 0) + B(y - y 0) + Machado 0 + Por 0 + C = 0,
então, resolvendo, obtemos:
Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:
O teorema foi provado.
