A raiz quadrada da variância é chamada de desvio padrão da média, que é calculada da seguinte forma:
Uma transformação algébrica elementar da fórmula do desvio padrão a traz para a seguinte forma:
Essa fórmula geralmente é mais conveniente na prática de cálculos.
O desvio padrão, assim como o desvio linear médio, mostra o quanto os valores específicos do atributo se desviam em média de seu valor médio. O desvio padrão é sempre maior que o desvio linear médio. Existe uma relação entre eles:
Conhecendo essa razão, é possível determinar o desconhecido a partir dos indicadores conhecidos, por exemplo, mas (EU calcular e vice-versa. O desvio padrão mede o tamanho absoluto da flutuação do atributo e é expresso nas mesmas unidades que os valores do atributo (rublos, toneladas, anos, etc.). É uma medida absoluta de variação.
Por recursos alternativos, por exemplo, presença ou ausência ensino superior, seguro, variância e fórmulas de desvio padrão são:
Vamos mostrar o cálculo do desvio padrão de acordo com os dados série discreta caracterizando a distribuição dos alunos de uma das faculdades da universidade por idade (Tabela 6.2).
Tabela 6.2.
Os resultados dos cálculos auxiliares são apresentados nas colunas 2-5 da Tabela. 6.2.
A idade média de um aluno, anos, é determinada pela fórmula da média aritmética ponderada (coluna 2):
Os quadrados do desvio da idade individual do aluno da média estão contidos nas colunas 3-4, e os produtos dos quadrados dos desvios pelas frequências correspondentes estão na coluna 5.
A dispersão da idade dos alunos, anos, encontramos pela fórmula (6.2):
Então o \u003d l / 3,43 1,85 * oda, ou seja, cada valor específico da idade do aluno se desvia do valor médio em 1,85 anos.
Em seu valor absoluto, o desvio padrão depende não apenas do grau de variação da característica, mas também dos níveis absolutos das variantes e da média. Portanto, é impossível comparar diretamente os desvios padrão das séries variacionais com diferentes níveis médios. Para podermos fazer tal comparação, precisamos encontrar Gravidade Específica o desvio médio (linear ou quadrático) na média aritmética, expresso em porcentagem, ou seja, calcular indicadores relativos de variação.
Coeficiente de variação linear calculado pela fórmula
O coeficiente de variação determinado pela seguinte fórmula:
Nos coeficientes de variação, elimina-se não só a incompatibilidade associada a diferentes unidades de medida da característica em estudo, mas também a incompatibilidade decorrente de diferenças no valor das médias aritméticas. Além disso, os indicadores de variação dão uma característica da homogeneidade da população. O conjunto é considerado homogêneo se o coeficiente de variação não exceder 33%.
De acordo com a Tabela. 6.2 e os resultados dos cálculos obtidos acima, determinamos o coeficiente de variação,%, de acordo com a fórmula (6.3):
Se o coeficiente de variação for superior a 33%, isso indica a heterogeneidade da população estudada. O valor obtido em nosso caso indica que a população de alunos por idade é homogênea em composição. Assim, uma função importante dos indicadores generalizadores de variação é a avaliação da confiabilidade das médias. Quanto menos c1, a2 e V, quanto mais homogêneo o conjunto de fenômenos resultante e mais confiável a média obtida. De acordo com estatística matemática"regra de três sigma" em desvios normalmente distribuídos ou próximos a eles da média aritmética, não superiores a ± 3º, ocorrem em 997 casos em 1000. Assim, sabendo X e a, você pode ter uma ideia inicial geral da série de variação. Se, por exemplo, a média remuneração de um funcionário da empresa foi de 25.000 rublos, e a é igual a 100 rublos, então, com uma probabilidade próxima à confiabilidade, pode-se argumentar que os salários dos funcionários da empresa flutuam dentro de (25.000 ± 3 x 100), ou seja, de 24.700 a 25.300 rublos.
Variação de recurso determinados por vários fatores, alguns desses fatores podem ser identificados se a população estatística for dividida em grupos de acordo com um determinado atributo. Então, junto com o estudo da variação do traço na população como um todo, é possível estudar a variação para cada um de seus grupos constituintes e entre esses grupos. Em um caso simples, quando a população é dividida em grupos de acordo com um fator, o estudo da variação é feito calculando e analisando três tipos de variâncias: geral, intergrupo e intragrupo.
Coeficiente de determinação empírico amplamente utilizado em análise estatística e é um indicador que representa a parcela de dispersão intergrupos na característica resultante e caracteriza a força da influência da característica de agrupamento na formação da variação global. Pode ser calculado pela fórmula:
Mostra a parcela de variação do traço resultante y sob a influência do traço fatorial x, está associado ao coeficiente de correlação por uma dependência quadrática. Na ausência de uma conexão, o coeficiente de determinação empírico é zero e, no caso de uma conexão funcional, é um.
Por exemplo, quando se estuda a dependência da produtividade do trabalho dos trabalhadores em suas qualificações, o coeficiente de determinação é 0,7, então 70% da variação na produtividade do trabalho dos trabalhadores se deve a diferenças em suas qualificações e 30% é devido à influência de outros fatores.
A correlação empírica é Raiz quadrada do coeficiente de determinação. A relação mostra a rigidez da conexão entre o agrupamento e os recursos efetivos. A razão de correlação empírica assume valores de -1 a 1. Se não houver conexão, a razão de correlação é zero, ou seja Todas as médias dos grupos são iguais e não há variação intergrupos. Isso significa que o traço de agrupamento não afeta a formação da variação geral.
Se a conexão for funcional, a razão de correlação será igual a um. Neste caso, a variância das médias do grupo é igual à variância total, ou seja, sem variação intragrupo. Isso significa que o recurso de agrupamento determina completamente a variação do recurso resultante.
Quanto mais próximo o valor da razão de correlação estiver de um, mais forte e mais próxima da dependência funcional é a relação entre as características. Para uma avaliação qualitativa da força do relacionamento com base no indicador do coeficiente de correlação empírica, você pode usar o índice de Chaddock.
O coeficiente de variação, VAR ou CV, é um indicador chave na avaliação do risco e rentabilidade do projeto papéis valiosos. Permite analisar antecipadamente dois indicadores de uma só vez, que possuem valores que mudam ao longo do tempo. Se o indicador for inferior a 0,1, a direção do investimento é caracterizada por um baixo nível de risco. Com um indicador acima de 0,3, o nível de risco é excessivamente alto. Para o cálculo, é mais conveniente usar as funções STDEV e MÉDIA do editor de planilhas Excel.
Para formar uma carteira de investimentos de alta qualidade, os investidores às vezes precisam recorrer à avaliação dos ativos nela incluídos, que Niveis diferentes risco e retorno. Para isso, é utilizado um indicador amplamente conhecido em análise de investimentos e econometria.
O coeficiente de variação(Coeficiente de variação - CV, VAR) - relativo indicador financeiro, o que demonstra uma comparação da dispersão dos valores de dois indicadores aleatórios, que possuem unidades diferentes do valor esperado.
Referência! Uma vez que o coeficiente de variação permite obter resultados comparáveis, a sua utilização é óptima no âmbito da análise de carteiras. Nele, permite combinar efetivamente os valores de risco e retorno e exibir o valor resultante.
Coeficiente de variação - um indicador entre os métodos relativos de estatísticas, que, como VPL e TIR, é usado no âmbito da análise de investimentos. É medido como uma porcentagem e pode ser usado para comparar variações de dois critérios não relacionados. É mais comumente usado por analistas financeiros e de investimentos.
Referência! Com base no coeficiente de variação, estima-se o chamado “risco unitizado”, pois estima o spread relativo dos dois indicadores em relação ao valor previsto.
Para que serve o VAR?
Referência! A análise XYZ é uma ferramenta analítica na qual os produtos da empresa são avaliados de acordo com dois parâmetros: a estabilidade do consumo e das vendas.
A essência do cálculo do coeficiente de variação é que, para um conjunto de valores, a média é calculada primeiro desvio padrão, e então - a média aritmética e depois - encontre sua razão.
NO visão geral A fórmula para calcular o VAR é a seguinte:
CV = σ / t cf, onde:
CV - coeficiente de variação;
σ - desvio padrão;
t - média aritmética para variável aleatória.
A fórmula de cálculo do indicador VAR pode assumir diversas interpretações dependendo do objeto de avaliação.
Ponto importante! Obviamente, aplicar manualmente as fórmulas apresentadas acima, especialmente na presença de uma ampla faixa de valores, é muito difícil. É por isso que as ferramentas do editor de planilhas Excel são usadas para o cálculo.
Não há valor padrão para este indicador. No entanto, existem alguns benchmarks que auxiliam na sua análise e interpretação.
Ponto importante! O coeficiente CV tem várias desvantagens - não leva em consideração o investimento inicial, assume a simetria dos valores dispersos em relação à média e não pode ser usado para opções cujo rendimento pode ser inferior a 0. Portanto, se em dúvida, vale a pena utilizar adicionalmente os indicadores de TIR e VPL.
O cálculo manual do coeficiente de variação é um procedimento complexo e demorado. Se a amostra for grande, o cálculo manual do desvio padrão é extremamente repleto de erros e imprecisões.
Uma maneira conveniente de determinar o VAR é oferecida pelo editor de planilhas Excel. Com base nisso, você pode calcular:
Para entender os meandros do uso do CV, faz sentido dar um exemplo de seu cálculo.
Há dois negócios que vêm apresentando resultados diferentes ao longo de 5 anos. Resultados financeiros. Para fazer uma escolha entre eles, o investidor deve calcular o coeficiente de variação.
Inicialmente, calculamos o desvio padrão usando a estatística Função do Excel STDEV.B
Da mesma forma, com base na função estatística AVERAGE, a média aritmética para ambos os projetos é calculada
Depois disso, resta dividir o desvio padrão pela média aritmética e obter o resultado - o valor do coeficiente de variação.
Conclusão! Para o projeto A, o nível de risco acabou sendo de 40%. Nesse cenário, parece arriscado e instável. Para o projeto B, o nível de risco é aceitável - apenas 11,64%. É apropriado que um investidor invista em um projeto B mais confiável, embora em alguns períodos o projeto A traga mais lucro.
Um algoritmo detalhado para o cálculo do indicador é apresentado em uma amostra compilada com base no editor de planilhas Excel.
O processo detalhado de cálculo do indicador de variação é apresentado no vídeo.
Diretrizes para a implementação de práticas e trabalho de laboratório sobre estatísticas contêm requisitos para sua implementação, o procedimento para calcular manualmente e usando o MS Excel, Statistica PPP.
A parte II das diretrizes caracteriza o cálculo dos indicadores de variação: faixa de variação, quartis e desvios quartis, desvio linear médio, dispersão e desvio padrão, coeficientes de oscilação, variação, assimetria, curtose e outros.
O cálculo dos indicadores de variação, juntamente com a construção de séries intervalares e de variação discreta e o cálculo dos valores médios, apresentados na parte I das diretrizes, grande importância para a análise de séries de distribuição.
O objetivo do trabalho: obter habilidades práticas no cálculo de vários indicadores (medidas) de variação dependendo das tarefas definidas pelo estudo.
Ordem de trabalho:
Determinar o tipo e a forma (simples ou ponderada) dos indicadores de variação.
Formule conclusões.
Um exemplo de cálculo dos indicadores de variação
Determinação do tipo e forma dos indicadores de variação.
Os indicadores de variação são divididos em dois grupos: absolutos e relativos. Os absolutos incluem: faixa de variação, desvio quartil, desvio linear médio, variância e desvio padrão. Os indicadores relativos são coeficientes de oscilação, variações, desvio linear relativo, etc.
A faixa de variação (R) é a medida mais simples da variação de uma característica e é determinada pela seguinte fórmula:
Onde - valor mais alto sinal variável;
O menor valor do atributo variável.
Desvio quartil (Q) - é usado para caracterizar a variação de uma característica no agregado. Pode ser usado em vez da faixa de variação para evitar as desvantagens de usar extremos.
Quartis são os valores de uma característica em uma série de distribuição ordenada, escolhidos de tal forma que 25% das unidades populacionais sejam menores em tamanho; 25% unidades serão incluídas entre e; 25% das unidades ficarão entre e e os 25% restantes são superiores.
onde é o limite inferior do intervalo em que se encontra o primeiro quartil;
A soma das frequências acumuladas dos intervalos anteriores ao intervalo em que se encontra o primeiro quartil;
A frequência do intervalo que contém o primeiro quartil.
onde Me é a mediana da série;
as convenções são as mesmas para a quantidade.
Em distribuições Q2/3 simétricas ou moderadamente assimétricas. Como o desvio quartil não é afetado pelos desvios de todos os valores do atributo, seu uso deve ser limitado aos casos em que a determinação do desvio padrão é difícil ou impossível.
O desvio linear médio () é a média dos desvios absolutos das opções de característica de sua média. Pode ser calculada pela fórmula da média aritmética, tanto não ponderada quanto ponderada, dependendo da ausência ou presença de frequências na série de distribuição.
(6) - desvio linear médio não ponderado,
(7) - desvio linear médio ponderado.
Variação () - quadrado médio dos desvios valores individuais sinal de seu valor médio. A variância é calculada usando as fórmulas simples não ponderadas e ponderadas.
(8) - não ponderado,
(9) - ponderado.
O desvio padrão () - o indicador de variação mais comum, é a raiz quadrada do valor da variação.
A faixa de variação, o desvio quartil, os desvios médios lineares e quadráticos são denominados quantidades, eles têm a dimensão de uma característica média.
Para fins de comparação da volatilidade vários sinais na mesma população ou ao comparar a flutuação da mesma característica em várias populações, são calculados indicadores relativos de variação. A base de comparação é a média aritmética. Na maioria das vezes, os indicadores relativos são expressos em porcentagem e caracterizam não apenas uma avaliação comparativa da variação, mas também caracterizam a homogeneidade da população.
O coeficiente de oscilação é calculado pela fórmula:
Desvio linear relativo (coeficiente linear de variação):
(13) ou (14)
O coeficiente de variação:
O indicador de volatilidade relativa mais comumente usado nas estatísticas é o coeficiente de variação. Ele é usado não apenas para uma avaliação comparativa da variação, mas também como uma característica da homogeneidade da população. O conjunto é considerado homogêneo se o coeficiente de variação não exceder 33% (Efimova M.R., Ryabtsev V.M. Teoria geral estatísticas: Textbook M.: Finance and statistics, 1991, p. 105).
Para ter uma ideia aproximada da forma da distribuição, são construídos gráficos de distribuição (um polígono e um histograma).
Na prática da pesquisa estatística, é preciso encontrar uma variedade de distribuições. Ao estudarmos populações homogêneas, lidamos, via de regra, com distribuições unimodais. O multivértice indica a heterogeneidade da população estudada, o aparecimento de dois ou mais vértices indica a necessidade de reagrupar os dados para identificar grupos mais homogêneos. Descobrir a natureza geral da distribuição envolve avaliar o grau de sua homogeneidade, bem como calcular os indicadores de assimetria e curtose. simétricoé uma distribuição na qual as frequências de quaisquer duas variantes igualmente espaçadas em ambos os lados do centro de distribuição são iguais. Para distribuições simétricas, a média aritmética, moda e mediana são iguais. Por isso, a medida mais simples assimetrias com base na proporção de indicadores do centro de distribuição: do que mais diferença entre as médias, maior a assimetria da série.
Por análise comparativa o grau de assimetria de várias distribuições calcula o indicador relativo como:
O valor As pode ser positivo ou negativo. Um valor positivo do indicador indica a presença de assimetria do lado direito (o ramo direito é mais estendido em relação à ordenada máxima do que o esquerdo). Com assimetria do lado direito, há uma relação entre os indicadores do centro de distribuição: . O sinal negativo do índice de assimetria indica a presença de assimetria do lado esquerdo (Figura 1). Neste caso, existe a seguinte relação entre os indicadores do centro de distribuição: .
Figura 1. Distribuição: 1 - com assimetria à direita; 2 - com assimetria do lado esquerdo.
Outro indicador, proposto pelo matemático sueco Lindberg, é calculado pela fórmula:
onde P é a porcentagem desses valores de atributo que excedem a média aritmética em valor.
O mais preciso e comum é o indicador baseado na determinação do momento central de terceira ordem (em uma distribuição simétrica, seu valor é zero):
onde é o momento central de terceira ordem:
(19) - para dados desagrupados;
(20) - para dados agrupados.
y é o desvio padrão.
A utilização deste indicador permite não só determinar a quantidade de assimetria, mas também responder à questão da presença ou ausência de assimetria na distribuição de uma característica em população. Uma avaliação do grau de significância deste indicador é dada usando o erro quadrático médio, que depende do volume de observações n e é calculado pela fórmula:
Se a razão for significativa, a assimetria é significativa e a distribuição da característica na população não é simétrica. Se a relação, assimetria é insignificante, sua presença pode ser explicada pela influência de várias circunstâncias aleatórias.
Para distribuições simétricas, o indicador é calculado curtose(pontiagudo). Lindberg propôs o seguinte indicador para avaliar a curtose:
onde P é a proporção (%) do número de opções que se encontram no intervalo igual a metade do desvio padrão em uma direção ou outra da média aritmética.
O mais preciso é o indicador que utiliza o momento central de quarta ordem:
onde é o momento central do quarto momento;
(24) - para dados desagrupados;
(25) - para dados agrupados.
A Figura 2 mostra duas distribuições: uma é de pico (o valor de curtose é positivo), a segunda é de topo plano (o valor de curtose é negativo). Curtose é uma queda do topo da distribuição empírica para cima ou para baixo a partir do topo da curva de distribuição normal. Em uma distribuição normal, a razão
Figura 2. Distribuição: 1,4 - normal; 2 - pontiagudo; 3 - topo plano
O erro quadrático médio da curtose é calculado pela fórmula:
onde n é o número de observações.
Se, então a curtose é significativa; se, então é insignificante.
Uma avaliação da significância dos indicadores de assimetria e curtose permite concluir se este estudo empírico pode ser atribuído ao tipo de curvas de distribuição normal.
Considere o método de cálculo dos indicadores de variação.
Tabela 1. Dados sobre o volume de vendas de moeda estrangeira por diversas agências do Banco Central.
Determine o volume médio de vendas de moeda para a totalidade das agências, calcule os indicadores absolutos e relativos de variação.
Vamos calcular o intervalo de variação:
R = = 24,3 - 10,2 = 14,1 milhões de rublos
variação variação oscilação variação assimetria curtose
Para determinar os desvios dos valores dos atributos da média e seus quadrados, construímos uma tabela auxiliar:
Tabela 2. Tabela de cálculo
Encontramos o valor médio usando a fórmula da média aritmética simples:
Desvio linear médio:
Dispersão:
Fator de oscilação:
O coeficiente de variação:
Para calcular os indicadores do formulário de distribuição, construímos uma tabela auxiliar:
Tabela 3. Tabela de cálculo
Tabela 4. Dados sobre o faturamento das empresas de um dos setores.
Determinar o volume médio de comércio, médias estruturais, indicadores absolutos e relativos de variação e como a distribuição real é consistente com a normal (de acordo com os indicadores da forma de distribuição).
Para calcular os indicadores, construiremos uma tabela auxiliar.
Tabela 5. Tabela de cálculo
Faixa de variação:
O valor médio é encontrado pela fórmula da média aritmética ponderada:
Na série de distribuição intervalar, a moda é determinada pela fórmula:
No nosso caso, a moda será igual a:
No intervalo série de variação a mediana é determinada pela fórmula:
No nosso caso, a mediana será:
Desvio quartil:
onde e são o primeiro e o terceiro quartis da distribuição, respectivamente.
Os quartis são determinados pelas fórmulas:
Desvio linear médio:
Dispersão:
Desvio padrão:
Vamos calcular indicadores relativos de variação.
Fator de oscilação:
Desvio linear relativo:
Indicador relativo de variação quartil:
O coeficiente de variação:
Vamos definir os indicadores do formulário de distribuição:
Formulação de conclusões.
Vamos formular conclusões sobre os indicadores calculados da variação do exemplo 2, que apresenta série de intervalo distribuição de empresas em termos de volume de negócios, milhões de rublos
A faixa de variação indica que a diferença entre os valores máximo e mínimo é de 40 milhões de rublos. O volume médio de comércio é de 30 milhões de rublos. O valor mais comum do volume de comércio no conjunto de empresas considerado é de 31,4 milhões de rublos, e 50% (40 empresas) têm um volume de comércio inferior a 30,5 milhões de rublos e 50% a mais.
Um desvio quartil de 5 indica uma assimetria de distribuição moderada, como em distribuições simétricas ou moderadamente assimétricas (neste exemplo).
Os desvios médios lineares e médios quadrados mostram o quanto o valor do atributo oscila em média nas unidades da população em estudo. Assim, o valor médio da flutuação no volume de negócios das empresas nas indústrias é: de acordo com o desvio linear médio - 6,5 milhões de rublos. (desvio absoluto); de acordo com o desvio padrão - 8,1 milhões de rublos. O quadrado dos desvios dos valores individuais de uma característica de seu valor médio é 65.
A diferença entre os valores extremos do atributo é 33,3% maior que o valor médio (= 133,3%).
O desvio linear relativo (= 21,7%) e o indicador relativo de variação quartil (= 16,4%) caracterizam a homogeneidade da população do estudo, o que confirma o coeficiente de variação calculado igual a 27% (V = 27% menor que 33%) .
Com base nos indicadores calculados de assimetria e curtose, podemos concluir que a distribuição é plana (Ex< 0) и наблюдается левосторонняя асимметрия (As < 0). Асимметрия и эксцесс являются несущественными.
Variação- esta é uma discrepância entre os valores do mesmo valor estatístico para diferentes objetos devido às peculiaridades de seu próprio desenvolvimento, bem como diferenças nas condições em que estão localizados. A variação tem um caráter objetivo e ajuda a compreender a essência do fenômeno em estudo. Se o valor médio suaviza as diferenças individuais, então a variação, ao contrário, as enfatiza, estabelecendo a tipicidade ou não tipicidade do valor médio encontrado para uma determinada população estatística. Assim, é possível tirar uma conclusão sobre a qualidade dos dados estatísticos selecionados.
A variação é medida usando quantidades relativas chamadas coeficientes de variação e definido como a razão entre o desvio médio e o valor médio. Como o desvio médio pode ser determinado de forma linear e quadrática, os coeficientes de variação também podem ser apropriados. Portanto, os coeficientes de variação devem ser determinados pelas fórmulas
– linear; (1.28)
– quadrático. (1.29) Os valores do coeficiente de variação variam de 0 a 1, e quanto mais próximo de zero, mais típico o valor médio encontrado para a população estatística em estudo e, portanto, melhor a seleção dos dados estatísticos. Neste caso, o valor do critério do coeficiente de variação é 1/3.
Ou seja, o valor médio é considerado típico para essa população em λ 0,333 ou em ν 0,333. Caso contrário, o valor médio não é típico e é necessário revisar a população estatística para incluir valores estatísticos mais objetivos.
Normalmente, o coeficiente de variação quadrático é um pouco (cerca de 25%) maior que o linear, calculado a partir dos mesmos dados. Isso significa que é possível que λ 0,333 e ν 0,333, então é necessário tirar a média desses coeficientes e, com base em seu valor, fazer uma conclusão final sobre a não tipicidade do valor médio encontrado.
Com a ajuda do coeficiente de variação linear, a conclusão fundamental sobre a tipicidade ou não tipicidade do valor médio pode ser obtida de forma mais fácil e rápida do que usando o quadrático. No entanto, o fator quadrático é mais comumente usado porque existem várias maneiras de calcular a variância.
Este método de estimar a variação também tem uma desvantagem significativa. Com efeito, seja, por exemplo, a população inicial de trabalhadores com tempo médio de serviço de 15 anos, com desvio padrão σ = 10 anos, "envelhecido" outros 15 anos. Agora = 30 anos, e o desvio padrão ainda é 10. A população, antes heterogênea (10/15 * 100 = 66,7%), torna-se, com o tempo, bastante homogênea (10/30 * 100 = 33,3%).
Portanto, uma análise adicional da população estatística é possível usando coeficiente de oscilação, determinado pela fórmula
Onde R- o intervalo de variação na forma da diferença entre o maior e o menor valor no agregado de valores estatísticos. Aquilo é
R \u003d Xmax -Xmin,(1.31)
onde Xmax e Xmin são os valores máximo e mínimo no agregado.
Ao ordenar valores estatísticos no agregado, são formados intervalos de agrupamento. Em seguida, sob a designação ∆X o intervalo do intervalo é entendido, e o valor médio do intervalo é denotado chi. No caso de orientação apenas para o coeficiente de variação quadrático, métodos diferentes definições de variância.
