Variáveis ​​aleatórias discretas. lei de distribuição de uma variável aleatória discreta. Variável aleatória discreta e suas características numéricas

Instituição educacional "Estado da Bielorrússia

Academia Agrícola"

Departamento de Matemática Superior

Diretrizes

sobre o estudo do tema "Variáveis ​​Aleatórias" por alunos da Faculdade de Ciências Contábeis de Educação por Correspondência (NISPO)

Gorki, 2013

variáveis ​​aleatórias

Variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas

Um dos conceitos básicos da teoria das probabilidades é o conceito variável aleatória . Variável aleatória Chama-se uma quantidade que, como resultado de testes, de um conjunto de valores possíveis, leva apenas um, e não se sabe de antemão qual.

As variáveis ​​aleatórias são discreto e contínuo . Variável aleatória discreta (DSV) é chamada de variável aleatória que pode assumir um número finito de valores isolados uns dos outros, ou seja, se os valores possíveis dessa quantidade puderem ser recalculados. Variável aleatória contínua (CRV) uma variável aleatória é chamada, todos os valores possíveis preenchem completamente um determinado intervalo da linha real.

Variáveis ​​aleatórias são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino X, Y, Z, etc. Os valores possíveis de variáveis ​​aleatórias são indicados pelas letras minúsculas correspondentes.

Gravação
significa "a probabilidade de que uma variável aleatória X terá um valor igual a 5, igual a 0,28".

Exemplo 1 . Um dado é lançado uma vez. Nesse caso, podem aparecer números de 1 a 6, indicando o número de pontos. Denote a variável aleatória X=(número de pontos perdidos). Esta variável aleatória como resultado do teste pode assumir apenas um dos seis valores: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Portanto, a variável aleatória X existe DSV.

Exemplo 2 . Quando uma pedra é atirada, ela voa uma certa distância. Denote a variável aleatória X=(distância de voo da pedra). Essa variável aleatória pode receber qualquer valor, mas apenas um, de um determinado intervalo. Portanto, a variável aleatória X existe NSV.

Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta

Uma variável aleatória discreta é caracterizada pelos valores que ela pode assumir e pelas probabilidades com que esses valores são obtidos. Correspondência entre os possíveis valores do discreto variável aleatória e suas probabilidades correspondentes são chamadas lei de distribuição de uma variável aleatória discreta .

Se todos os valores possíveis são conhecidos
variável aleatória X e probabilidades
aparecimento desses valores, acredita-se que a lei de distribuição da DSV Xé conhecido e pode ser escrito como uma tabela:

A lei de distribuição DSV pode ser representada graficamente se os pontos forem desenhados em um sistema de coordenadas retangulares
,
, …,
e conectá-los com linhas retas. A figura resultante é chamada de polígono de distribuição.

Exemplo 3 . O grão destinado à limpeza contém 10% de ervas daninhas. 4 grãos são selecionados aleatoriamente. Denote a variável aleatória X=(número de plantas daninhas entre as quatro selecionadas). Construir a lei de distribuição DSV X e polígono de distribuição.

Solução . De acordo com o exemplo. Então:

Escrevemos a lei de distribuição de DSV X na forma de uma tabela e construímos um polígono de distribuição:

Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta

As propriedades mais importantes de uma variável aleatória discreta são descritas por suas características. Uma dessas características é valor esperado variável aleatória.

Seja conhecida a lei de distribuição DSV X:

expectativa matemática DSV X a soma dos produtos de cada valor dessa quantidade pela probabilidade correspondente é chamada:
.

A expectativa matemática de uma variável aleatória é aproximadamente igual à média aritmética de todos os seus valores. Portanto, em problemas práticos, muitas vezes é valor esperado pegue o valor médio dessa variável aleatória.

Exemplo 8 . O arremessador nocauteia 4, 8, 9 e 10 pontos com probabilidades de 0,1, 0,45, 0,3 e 0,15. Encontre a expectativa matemática do número de pontos em um tiro.

Solução . Denote a variável aleatória X=(número de pontos marcados). Então . Assim, o número médio esperado de pontos marcados com um tiro é 8,2 e com 10 tiros é 82.

Propriedades principais esperança matemática são:

.

.

, Onde
,
.

.

, Onde X e S são variáveis ​​aleatórias independentes.

Diferença
chamado desvio variável aleatória X de sua expectativa matemática. Essa diferença é uma variável aleatória e sua expectativa matemática é igual a zero, ou seja,
.

Dispersão de uma variável aleatória discreta

Para caracterizar uma variável aleatória, além da expectativa matemática, utiliza-se também dispersão , o que possibilita estimar a dispersão (scatter) dos valores de uma variável aleatória em torno de sua expectativa matemática. Ao comparar duas variáveis ​​aleatórias homogêneas com expectativas matemáticas iguais, considera-se a "melhor" aquela que possui um spread menor, ou seja, menor dispersão.

dispersão variável aleatória Xé chamada de expectativa matemática do desvio quadrado de uma variável aleatória de sua expectativa matemática: .

Em problemas práticos, uma fórmula equivalente é usada para calcular a variância.

As principais propriedades da dispersão são:

.

Nesta página, reunimos exemplos de resolução de problemas educacionais problemas em variáveis ​​aleatórias discretas. Esta é uma seção bastante extensa: diferentes leis de distribuição (binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson e outras), propriedades e características numéricas são estudadas, representações gráficas podem ser construídas para cada série de distribuição: um polígono (polígono) de probabilidades, uma função de distribuição .

Abaixo, você encontrará exemplos de decisões sobre variáveis ​​aleatórias discretas, nas quais você precisa aplicar o conhecimento das seções anteriores da teoria da probabilidade para elaborar uma lei de distribuição e, em seguida, calcular a expectativa matemática, variância, média desvio padrão, construir uma função de distribuição, dar respostas a perguntas sobre o DSV, etc.

Exemplos de leis populares de distribuição de probabilidade:

Calculadoras para as características do DSV

• Cálculo da expectativa matemática, variância e desvio padrão do DSV.

Problemas resolvidos sobre DSV

Distribuições próximas a geométricas

Tarefa 1. Existem 4 semáforos no caminho do carro, cada um dos quais proíbe o movimento do carro com uma probabilidade de 0,5. Encontre o número de distribuição do número de semáforos que o carro passou antes da primeira parada. Qual é a expectativa matemática e a variância dessa variável aleatória?

Tarefa 2. O caçador atira na caça antes do primeiro golpe, mas não consegue dar mais do que quatro tiros. Escreva a lei de distribuição para o número de erros se a probabilidade de acertar o alvo com um tiro for 0,7. Encontre a variância dessa variável aleatória.

Tarefa 3. O atirador, com 3 cartuchos, atira no alvo até o primeiro acerto. As probabilidades de acertar o primeiro, segundo e terceiro tiros são 0,6, 0,5, 0,4, respectivamente. S.V. $\xi$ - número de cartuchos restantes. Faça uma série de distribuição de uma variável aleatória, encontre a expectativa matemática, variância, média desvio padrão r.v., construa a função de distribuição de r.v., encontre $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tarefa 4. A caixa contém 7 peças padrão e 3 peças defeituosas. As peças são retiradas sequencialmente até aparecer a padrão, sem devolvê-las. $\xi$ - número de peças defeituosas recuperadas.
Componha uma lei de distribuição para uma variável aleatória discreta $\xi$, calcule sua expectativa matemática, variância, desvio padrão, desenhe um polígono de distribuição e um gráfico da função de distribuição.

Tarefas com eventos independentes

Tarefa 5. 3 alunos vieram para o reexame em teoria da probabilidade. A probabilidade de o primeiro passar no exame é de 0,8, o segundo - 0,7, o terceiro - 0,9. Encontre a série de distribuição da variável aleatória $\xi$ do número de alunos que passaram no exame, construa um gráfico da função de distribuição, encontre $M(\xi), D(\xi)$.

Tarefa 6. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é 0,8 e diminui a cada tiro em 0,1. Elabore a lei de distribuição para o número de acertos no alvo se forem disparados três tiros. Encontre a esperança matemática, variância e S.K.O. essa variável aleatória. Plote a função de distribuição.

Tarefa 7. 4 tiros são disparados no alvo. Nesse caso, a probabilidade de acertar aumenta da seguinte forma: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Encontre a lei de distribuição da variável aleatória $X$ - o número de acertos. Encontre a probabilidade de que $X \ge 1$.

Tarefa 8. Duas moedas simétricas são lançadas, o número de brasões em ambos os lados superiores das moedas é contado. Consideramos uma variável aleatória discreta $X$ - o número de brasões em ambas as moedas. Escreva a lei de distribuição da variável aleatória $X$, encontre sua expectativa matemática.

Outras tarefas e leis de distribuição de DSV

Tarefa 9. Dois jogadores de basquete fazem três arremessos para a cesta. A probabilidade de acertar para o primeiro jogador de basquete é de 0,6, para o segundo - 0,7. Seja $X$ a diferença entre o número de arremessos bem-sucedidos do primeiro e do segundo jogador de basquete. Encontre a série de distribuição, modo e função de distribuição da variável aleatória $X$. Construa um polígono de distribuição e trace a função de distribuição. Calcule a expectativa matemática, variância e desvio padrão. Encontre a probabilidade do evento $(-2 \lt X \le 1)$.

Tarefa 10. O número de navios não residentes que chegam diariamente para carregamento em um determinado porto é um valor aleatório $X$, dado a seguir:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) certifique-se de que a série de distribuição está definida,
B) encontre a função de distribuição da variável aleatória $X$,
C) se mais de três navios chegarem em um determinado dia, o porto se responsabiliza pelos custos devido à necessidade de contratar motoristas e carregadores adicionais. Qual é a probabilidade de o porto incorrer em custos adicionais?
D) encontre a esperança matemática, variância e desvio padrão da variável aleatória $X$.

Tarefa 11. Jogue 4 dados. Encontre a esperança matemática da soma do número de pontos que cairão em todas as faces.

Tarefa 12. Dois jogadores se revezam jogando uma moeda até a primeira aparição do brasão de armas. O jogador cujo brasão caiu recebe 1 rublo de outro jogador. Encontre a expectativa matemática do pagamento de cada jogador.

Discreto chamada de variável aleatória que pode assumir valores separados e isolados com certas probabilidades.

EXEMPLO 1. O número de ocorrências do brasão em três lançamentos de moeda. Valores possíveis: 0, 1, 2, 3, suas probabilidades são iguais respectivamente:

P(0) = ; P(1) = ; P(2) = ; P(3) = .

EXEMPLO 2. O número de elementos com falha em um dispositivo que consiste em cinco elementos. Valores possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5; suas probabilidades dependem da confiabilidade de cada um dos elementos.

Variável aleatória discreta X pode ser dada por uma série de distribuição ou uma função de distribuição (uma lei de distribuição integral).

Distribuição próxima é o conjunto de todos os valores possíveis Xeu e suas probabilidades correspondentes Re = P(X = xeu), pode ser dado como uma tabela:

Ao mesmo tempo, as probabilidades Reu satisfazer a condição

Reu= 1 porque

onde é o número de valores possíveis n pode ser finito ou infinito.

Representação gráfica de uma série de distribuição chamado de polígono de distribuição . Para construí-lo, os possíveis valores da variável aleatória ( Xeu) são plotados ao longo do eixo x, e as probabilidades Reu- ao longo do eixo y; pontos MASeu com coordenadas ( Xeu, peu) são conectados por linhas quebradas.

função de distribuição variável aleatória X chamado de função F(X), cujo valor está no ponto Xé igual à probabilidade de que a variável aleatória X será menor que este valor X, isso é

F(x) = P(X< х).

Função F(X) por variável aleatória discreta calculado pela fórmula

F(X) = Reu , (1.10.1)

onde a soma é sobre todos os valores eu, para qual Xeu< х.

EXEMPLO 3. De um lote contendo 100 itens, entre os quais 10 itens defeituosos, cinco itens são selecionados aleatoriamente para verificar sua qualidade. Construir uma série de distribuições de um número aleatório X produtos defeituosos contidos na amostra.

Solução. Como o número de produtos defeituosos na amostra pode ser qualquer número inteiro no intervalo de 0 a 5 inclusive, os valores possíveis Xeu variável aleatória X são iguais:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probabilidade R(X = k) que na amostra será exatamente k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produtos defeituosos, igual a

P (X \u003d k) \u003d.

Como resultado dos cálculos usando esta fórmula com uma precisão de 0,001, obtemos:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Usando a igualdade para verificar Rk=1, garantimos que os cálculos e arredondamentos sejam feitos corretamente (consulte a tabela).

EXEMPLO 4. Dada uma série de distribuição de uma variável aleatória X :

Encontre a função de distribuição de probabilidade F(X) desta variável aleatória e construí-la.

Solução. Se um X 10€ então F(X)= P(X<X) = 0;

se 10<X 20€ então F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

se 20<X 30€ então F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

se 30<X 40€ então F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

se 40<X 50€ então F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

E se X> 50, então F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Uma série de distribuição de uma variável aleatória discreta é dada. Encontre a probabilidade ausente e trace a função de distribuição. Calcule a expectativa matemática e a variância desse valor.

A variável aleatória X recebe apenas quatro valores: -4, -3, 1 e 2. Ela recebe cada um desses valores com uma certa probabilidade. Como a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1, a probabilidade ausente é igual a:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Componha a função de distribuição da variável aleatória X. Sabe-se que a função de distribuição , então:

Consequentemente,

Vamos plotar a função F(x) .

A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é igual à soma dos produtos do valor da variável aleatória e a probabilidade correspondente, ou seja,

A variância de uma variável aleatória discreta é encontrada pela fórmula:

APÊNDICE

Elementos de combinatória Aqui: - fatorial de um número

Ações em eventos Um evento é qualquer fato que pode ou não ocorrer como resultado de uma experiência. Mesclando eventos MAS e NO- este evento A PARTIR DE, que consiste na aparição ou evento MAS, ou eventos NO, ou ambos os eventos ao mesmo tempo. Designação: ; Intersecção de eventos MAS e NO- este evento A PARTIR DE, que consiste na ocorrência simultânea de ambos os eventos. Designação: ;

A definição clássica de probabilidade Probabilidade do evento MASé a razão entre o número de experimentos , favorável à ocorrência do evento MAS, para o número total de experimentos :

Fórmula de multiplicação de probabilidade Probabilidade do evento pode ser encontrado pela fórmula: - probabilidade do evento MAS, - probabilidade do evento NO, - probabilidade do evento NO desde que o evento MAS já aconteceu. Se os eventos A e B são independentes (a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro), então a probabilidade do evento é:

Fórmula de adição de probabilidade Probabilidade do evento pode ser encontrado pela fórmula: Probabilidade do evento MAS, Probabilidade do evento NO, - probabilidade de ocorrência conjunta de eventos MAS e NO. Se os eventos A e B são incompatíveis (eles não podem ocorrer ao mesmo tempo), então a probabilidade do evento é:

Fórmula de Probabilidade Total Deixe o evento MAS pode acontecer simultaneamente com um dos eventos , , …, Vamos chamá-los de hipóteses. Também conhecido - probabilidade de cumprimento eu-ésima hipótese e - a probabilidade de ocorrência do evento A durante a execução euª hipótese. Então a probabilidade do evento MAS pode ser encontrado pela fórmula:

esquema de Bernoulli Faça n testes independentes. Probabilidade de ocorrência (sucesso) de um evento MAS em cada um deles é constante e igual p, a probabilidade de falha (ou seja, não a ocorrência de um evento MAS) q = 1 - p. Então a probabilidade de ocorrência k sucesso em n testes podem ser encontrados pela fórmula de Bernoulli: Número mais provável de sucessos no esquema de Bernoulli, este é o número de ocorrências de algum evento, que corresponde à maior probabilidade. Pode ser encontrado pela fórmula:

variáveis ​​aleatórias contínuo discreto (por exemplo, número de meninas em uma família com 5 filhos) (por exemplo, tempo de uso da chaleira) Características numéricas de variáveis ​​aleatórias discretas Seja o valor discreto dado por uma série de distribuição: X R , , …, - valores de uma variável aleatória X; , , ..., são as probabilidades correspondentes. função de distribuição A função de distribuição de uma variável aleatória Xé chamada de função dada em toda a reta numérica e igual à probabilidade de que X será menos X:

Perguntas para o exame

Evento. Operações em eventos aleatórios.

O conceito de probabilidade de um evento.

Regras de adição e multiplicação de probabilidades. Probabilidades condicionais.

Fórmula de Probabilidade Total. Fórmula de Bayes.

esquema de Bernoulli.

Variável aleatória, sua função de distribuição e série de distribuição.

Propriedades básicas da função de distribuição.

Valor esperado. Propriedades da esperança matemática.

Dispersão. Propriedades de dispersão.

Densidade de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória unidimensional.

Tipos de distribuições: distribuição uniforme, exponencial, normal, binomial e de Poisson.

Teoremas locais e integrais de Moivre-Laplace.

Lei e função de distribuição de um sistema de duas variáveis ​​aleatórias.

Densidade de distribuição de um sistema de duas variáveis ​​aleatórias.

Leis condicionais de distribuição, expectativa matemática condicional.

Variáveis ​​aleatórias dependentes e independentes. Coeficiente de correlação.

Amostra. Processamento de amostras. Polígono e histograma de frequência. Função de distribuição empírica.

O conceito de estimar parâmetros de distribuição. Requisitos de avaliação. Intervalo de confiança. Construindo intervalos para estimar a expectativa matemática e o desvio padrão.

hipóteses estatísticas. Critérios de Consentimento.