Esta página descreve um exemplo padrão de localização da variação, você também pode consultar outras tarefas para encontrá-la
Exemplo 1. Determinação do grupo, média do grupo, entre grupos e variância total
Exemplo 2. Encontrando a variância e o coeficiente de variação em uma tabela de agrupamento
Exemplo 3. Encontrando a variância em série discreta
Exemplo 4. Temos os seguintes dados para um grupo de 20 alunos por correspondência. Precisa construir série intervalar distribuição da feição, calcular o valor médio da feição e estudar sua variância
Vamos construir agrupamento de intervalo. Vamos determinar o intervalo do intervalo pela fórmula:
onde X max é o valor máximo do recurso de agrupamento;
X min é o valor mínimo do recurso de agrupamento;
n é o número de intervalos:
Aceitamos n=5. A etapa é: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6,6
Vamos fazer um agrupamento de intervalo
Para cálculos adicionais, vamos construir uma tabela auxiliar:
X "i - o meio do intervalo. (por exemplo, o meio do intervalo 159 - 165,6 \u003d 162,3)
O crescimento médio dos alunos é determinado pela fórmula da média aritmética ponderada:
Determinamos a dispersão pela fórmula:
A fórmula pode ser convertida assim:
Dessa fórmula segue que a variância é a diferença entre a média dos quadrados das opções e o quadrado e a média.
dispersão em série de variação em intervalos iguais pelo método dos momentos pode ser calculado Da seguinte maneira ao usar a segunda propriedade da variância (dividindo todas as opções pelo valor do intervalo). Definição de variância, calculado pelo método dos momentos, de acordo com a seguinte fórmula é menos demorado:
onde i é o valor do intervalo;
A - zero condicional, conveniente para usar o meio do intervalo com maior frequência;
m1 é o quadrado do momento de primeira ordem;
m2 - momento de segunda ordem
variação de recurso (se na população estatística o atributo mudar de forma que existam apenas duas opções mutuamente exclusivas, essa variabilidade é chamada de alternativa) pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo nesta fórmula de dispersão q = 1- p, obtemos:
Tipos de dispersão
variância total mede a variação de uma característica em toda a população como um todo sob a influência de todos os fatores que causam essa variação. É igual ao quadrado médio dos desvios dos valores individuais do atributo x do valor médio total x e pode ser definido como variância simples ou variância ponderada.
variância intragrupo caracteriza a variação aleatória, ou seja, parte da variação, que se deve à influência de fatores não contabilizados e não depende do fator-sinal subjacente ao agrupamento. Essa variância é igual ao quadrado médio dos desvios dos valores individuais do atributo dentro do grupo X da média aritmética do grupo e pode ser calculada como uma variância simples ou como uma variância ponderada.
Nesse caminho, medidas de variância dentro do grupo variação de uma característica dentro de um grupo e é determinada pela fórmula:
onde xi - média do grupo;
ni é o número de unidades no grupo.
Por exemplo, as variações intragrupo, que devem ser determinadas na tarefa de estudar a influência das qualificações dos trabalhadores no nível de produtividade do trabalho na loja, mostram variações na produção em cada grupo causadas por todos os fatores possíveis ( condição técnica equipamentos, disponibilidade de ferramentas e materiais, idade dos trabalhadores, intensidade de trabalho, etc.), salvo diferenças na categoria de qualificação (dentro do grupo, todos os trabalhadores têm as mesmas qualificações).
.
Por outro lado, se é um não negativo a.e. uma função tal que 
, então existe uma medida de probabilidade absolutamente contínua em tal que é sua densidade.
Mudança de medida na integral de Lebesgue:
,
onde é qualquer função de Borel integrável em relação à medida de probabilidade .
Dispersão nas estatísticasé encontrado como uma média desvio padrão valores individuais do traço ao quadrado da média aritmética. Dependendo dos dados iniciais, é determinado pelas fórmulas de variância simples e ponderada:
1. variância simples(para dados não agrupados) é calculado pela fórmula:
2. Variância ponderada (para uma série de variação):
onde n - frequência (fator de repetibilidade X)
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Exemplo 1. Determinação do grupo, média do grupo, entre grupos e variância total
Exemplo 2. Encontrando a variância e o coeficiente de variação em uma tabela de agrupamento
Exemplo 3. Encontrando a variância em uma série discreta
Exemplo 4. Temos os seguintes dados para um grupo de 20 alunos por correspondência. É necessário construir uma série intervalar da distribuição de características, calcular o valor médio da característica e estudar sua variância
Vamos construir um agrupamento de intervalo. Vamos determinar o intervalo do intervalo pela fórmula:
onde X max é o valor máximo do recurso de agrupamento; X min é o valor mínimo do recurso de agrupamento; n é o número de intervalos:
Aceitamos n=5. A etapa é: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6,6
Vamos fazer um agrupamento de intervalo
Para cálculos adicionais, vamos construir uma tabela auxiliar:
X "i - o meio do intervalo. (por exemplo, o meio do intervalo 159 - 165,6 \u003d 162,3)
O crescimento médio dos alunos é determinado pela fórmula da média aritmética ponderada:
Determinamos a dispersão pela fórmula:
A fórmula pode ser convertida assim:
Dessa fórmula segue que a variância é a diferença entre a média dos quadrados das opções e o quadrado e a média.
Variância na série de variação com intervalos iguais de acordo com o método dos momentos pode ser calculado da seguinte maneira usando a segunda propriedade de dispersão (dividindo todas as opções pelo valor do intervalo). Definição de variância, calculado pelo método dos momentos, de acordo com a seguinte fórmula é menos demorado:
onde i é o valor do intervalo; A - zero condicional, conveniente para usar o meio do intervalo com maior frequência; m1 é o quadrado do momento de primeira ordem; m2 - momento de segunda ordem
variação de recurso (se na população estatística o atributo mudar de forma que existam apenas duas opções mutuamente exclusivas, essa variabilidade é chamada de alternativa) pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo nesta fórmula de dispersão q = 1- p, obtemos:
variância total mede a variação de uma característica em toda a população como um todo sob a influência de todos os fatores que causam essa variação. É igual ao quadrado médio dos desvios dos valores individuais do atributo x do valor médio total x e pode ser definido como variância simples ou variância ponderada.
variância intragrupo caracteriza a variação aleatória, ou seja, parte da variação, que se deve à influência de fatores não contabilizados e não depende do fator-sinal subjacente ao agrupamento. Essa variância é igual ao quadrado médio dos desvios dos valores individuais do atributo dentro do grupo X da média aritmética do grupo e pode ser calculada como uma variância simples ou como uma variância ponderada.
Nesse caminho, medidas de variância dentro do grupo variação de uma característica dentro de um grupo e é determinada pela fórmula:
onde xi - média do grupo; ni é o número de unidades no grupo.
Por exemplo, as variações intragrupo que precisam ser determinadas na tarefa de estudar o efeito das qualificações dos trabalhadores no nível de produtividade do trabalho em uma loja mostram variações na produção em cada grupo causadas por todos os fatores possíveis (estado técnico do equipamento, disponibilidade de ferramentas e materiais, idade dos trabalhadores, intensidade de trabalho, etc.), salvo diferenças na categoria de qualificação (dentro do grupo, todos os trabalhadores têm a mesma qualificação).
A média das variâncias intragrupo reflete a variação aleatória, ou seja, aquela parte da variação que ocorreu sob a influência de todos os outros fatores, com exceção do fator de agrupamento. É calculado pela fórmula:
variância intergrupo caracteriza a variação sistemática da característica resultante, que se deve à influência do fator-característica subjacente ao agrupamento. É igual ao quadrado médio dos desvios das médias do grupo em relação à média geral. A variância intergrupo é calculada pela fórmula:
Expectativa matemática (valor médio) variável aleatória X , dado em um espaço de probabilidade discreto, é chamado de número m =M[X]=∑x i p i , se a série converge absolutamente.
Atribuição de serviço. Com um serviço online calculado valor esperado, variância e desvio padrão(consultar exemplo). Além disso, um gráfico da função de distribuição F(X) é traçado.
Exemplo. As expectativas matemáticas e variâncias de duas variáveis aleatórias independentes X e Y são conhecidas: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Encontre a expectativa matemática e a variância da variável aleatória Z=9X-8Y+7 .
Solução. Com base nas propriedades da expectativa matemática: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Com base nas propriedades de dispersão: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Exemplo 1.
| XI | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Exemplo #2. Uma variável aleatória discreta tem a seguinte série de distribuição:
| x | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | uma | 0,32 | 2uma | 0,41 | 0,03 |
Solução. O valor a é encontrado a partir da relação: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ou 0,24=3 a , onde a = 0,08
Exemplo #3. Determine a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta se sua variância for conhecida e x 1
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Solução.
Aqui você precisa fazer uma fórmula para encontrar a variância d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
onde expectativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Para nossos dados
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ou -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Assim, é necessário encontrar as raízes da equação, e haverá duas delas.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Escolhemos aquele que satisfaz a condição x 1
Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
Muitas vezes, na estatística, ao analisar um fenômeno ou processo, é necessário levar em consideração não apenas informações sobre os níveis médios dos indicadores estudados, mas também dispersão ou variação nos valores de unidades individuais , o que é uma característica importante da população estudada.
Os preços das ações, os volumes de oferta e demanda, as taxas de juros em diferentes períodos de tempo e em diferentes lugares estão sujeitos à maior variação.
Os principais indicadores que caracterizam a variação , são o intervalo, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
variação de extensão é a diferença entre os valores máximo e mínimo do atributo: R = Xmax – Xmin. A desvantagem desse indicador é que ele avalia apenas os limites da variação do traço e não reflete sua flutuação dentro desses limites.
Dispersão desprovido desta deficiência. É calculado como o quadrado médio dos desvios dos valores dos atributos de seu valor médio:
Maneira simplificada de calcular a variância é realizada usando as seguintes fórmulas (simples e ponderadas):
Exemplos de aplicação dessas fórmulas são apresentados nas tarefas 1 e 2.
Um indicador amplamente utilizado na prática é desvio padrão :
O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância e tem a mesma dimensão da característica em estudo.
Os indicadores considerados permitem obter o valor absoluto da variação, ou seja, avaliá-lo em unidades de medida da característica em estudo. Ao contrário deles, o coeficiente de variação mede a flutuação em termos relativos - em relação ao nível médio, que em muitos casos é preferível.
Fórmula para calcular o coeficiente de variação.
Tarefa 1 . Ao estudar a influência da publicidade no tamanho do depósito médio mensal nos bancos do distrito, foram examinados 2 bancos. Os seguintes resultados são obtidos:
Definir:
1) para cada banco: a) depósito médio mensal; b) dispersão da contribuição;
2) o depósito médio mensal de dois bancos juntos;
3) Distribuição da caução por 2 bancos, consoante publicidade;
4) Dispersão do depósito por 2 bancos, dependendo de todos os fatores exceto publicidade;
5) Variância total pela regra da adição;
6) Coeficiente de determinação;
7) Relação de correlação.
Solução
1) Vamos fazer uma tabela de cálculo para um banco com publicidade . Para determinar o depósito médio mensal, encontramos os pontos médios dos intervalos. Nesse caso, o valor do intervalo aberto (o primeiro) é condicionalmente igualado ao valor do intervalo adjacente a ele (o segundo).
Encontramos o tamanho médio da contribuição usando a fórmula de média aritmética ponderada:
29.000/50 = 580 rublos
A dispersão da contribuição é encontrada pela fórmula:
23 400/50 = 468
Faremos ações semelhantes para um banco sem anúncios :
2) Encontre o depósito médio de dois bancos juntos. Xav \u003d (580 × 50 + 542,8 × 50) / 100 \u003d 561,4 rublos.
3) A variância do depósito, para dois bancos, dependendo da publicidade, encontraremos pela fórmula: σ 2 =pq (fórmula da variância de um atributo alternativo). Aqui p=0,5 é a proporção de fatores que dependem da propaganda; q=1-0,5, então σ 2 =0,5*0,5=0,25.
4) Como a participação de outros fatores é de 0,5, a variação do depósito para dois bancos, que depende de todos os fatores, exceto da publicidade, também é de 0,25.
5) Determine a variância total usando a regra da adição.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
σ 2 \u003d σ 2 fato + σ 2 resto \u003d 552,08 + 345,96 \u003d 898,04
6) Coeficiente de determinação η 2 = σ 2 fato / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - o tamanho da contribuição depende da publicidade em 39%.
7) Razão de correlação empírica η = √η 2 = √0,39 = 0,62 - a relação é bastante próxima.
Tarefa 2 . Existe um agrupamento de empresas de acordo com o valor dos produtos comercializáveis:
Determinar: 1) a dispersão do valor dos produtos comercializáveis; 2) desvio padrão; 3) coeficiente de variação.
Solução
1) Por condição, uma série de distribuição intervalar é apresentada. Deve ser expresso discretamente, ou seja, encontre o meio do intervalo (x "). Em grupos de intervalos fechados, encontramos o meio por uma média aritmética simples. Em grupos com limite superior, como a diferença entre esse limite superior e metade do tamanho do intervalo seguinte (200-(400 -200):2=100).
Em grupos com limite inferior - a soma deste limite inferior e metade do tamanho do intervalo anterior (800+(800-600):2=900).
O cálculo do valor médio dos produtos comercializáveis é feito de acordo com a fórmula:
Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. Aqui a=500 é o tamanho da variante na frequência mais alta, k=600-400=200 é o tamanho do intervalo na maior frequência Vamos colocar o resultado em uma tabela:
Portanto, o valor médio da produção comercializável para o período estudado como um todo é Xav = (-5:37) × 200 + 500 = 472,97 mil rublos.
2) Encontramos a dispersão usando a seguinte fórmula:
σ 2 \u003d (33/37) * 2002-(472,97-500) 2 \u003d 35.675,67-730,62 \u003d 34.945,05
3) desvio padrão: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 mil rublos.
4) coeficiente de variação: V \u003d (σ / Xav) * 100 \u003d (186,94 / 472,97) * 100 \u003d 39,52%
Em muitos casos, torna-se necessário introduzir outra característica numérica para medir o grau dispersão, propagação de valores, tomado como uma variável aleatória ξ , em torno de sua expectativa matemática.
Definição. A variância de uma variável aleatória ξ chamou um número.
D= M(ξ-M ξ) 2 . (1)
Em outras palavras, a dispersão é a expectativa matemática do desvio quadrado dos valores de uma variável aleatória de seu valor médio.
chamado quadrado médio desvio
quantidades ξ .
Se a variância caracteriza o tamanho médio do desvio quadrado ξ a partir de Mξ, então o número pode ser considerado como alguma característica média do próprio desvio, mais precisamente, a quantidade | ξ-Mξ |.
A definição (1) implica as seguintes duas propriedades da dispersão.
1. A dispersão de um valor constante é zero. Isso é bastante consistente com o significado visual de dispersão, como uma "medida de propagação".
De fato, se
ξ \u003d C, então Mξ = C e isso significa Dξ = M(C-C) 2 = M 0 = 0.
2. Ao multiplicar uma variável aleatória ξ por um número constante C, sua variância é multiplicada por C 2
D(Cξ) = C 2 Dξ . (3)
Sério
D(Cξ) = M(C 
= M(C .
3. Existe a seguinte fórmula para calcular a variância:
. (4)
A prova desta fórmula decorre das propriedades da esperança matemática.
Nós temos:
4. Se os valores ξ 1 e ξ 2 são independentes, então a variância de sua soma é igual à soma de suas variâncias:
Prova . Para a prova, usamos as propriedades da esperança matemática. Deixar Mξ 1 = m 1 , Mξ 2 = m 2 então.
A fórmula (5) está provada.
Como a variância de uma variável aleatória é, por definição, a expectativa matemática do valor ( ξ-m) 2 , onde m = Mξ , então, para calcular a variância, você pode usar as fórmulas obtidas na Seção 7, Capítulo II.
Então se ξ existe um DSV com uma lei de distribuição
| x 1 | x 2 | ... |
| p 1 | p 2 | ... |
então teremos:
. (7)
Se um ξ variável aleatória contínua com densidade de distribuição p(x), então obtemos:
Dξ= 
. (8)
Se a fórmula (4) for usada para calcular a variância, outras fórmulas podem ser obtidas, a saber:
, (9)
se o valor ξ discreto, e
Dξ= 
, (10)
E se ξ distribuído com densidade p(x).
Exemplo 1 . deixe o valor ξ é uniformemente distribuído no intervalo [ a,b]. Usando a fórmula (10), obtemos:
Pode-se mostrar que a variância de uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei normal com densidade
p(x)= , (11)
é igual a σ 2 .
Assim, fica esclarecido o significado do parâmetro σ, que entra na expressão para densidade (11) para a lei normal; σ é o desvio padrão do valor ξ.
Exemplo 2 . Encontre a variância de uma variável aleatória ξ distribuídos de acordo com a lei binomial.
Solução . Usando a representação de ξ na forma
ξ = ξ 1 + ξ 2 + n(ver exemplo 2 §7 cap. II) e aplicando a fórmula para somar variâncias para quantidades independentes, obtemos
Dξ = Dξ 1 + Dξ 2 + Dξn .
Dispersão de qualquer uma das quantidades ξi (eu= 1,2, n) é calculado diretamente:
Dξi = M(ξi) 2 - (Mξ i) 2 = 0 2 q+ 1 2 p- p 2 = p(1-p) = pq.
Finalmente chegamos
Dξ= npq, Onde q = 1 -p.
