2차 방정식은 8학년에서 공부하므로 여기서는 복잡한 것이 없습니다. 이를 해결하는 능력이 필수적입니다.
이차 방정식은 ax 2 + bx + c = 0 형식의 방정식으로, 여기서 계수 a , b 및 c는 임의의 숫자이고 a ≠ 0입니다.
특정 솔루션 방법을 연구하기 전에 모든 이차 방정식은 세 가지 클래스로 나눌 수 있습니다.
이것은 근이 항상 존재하고 고유한 2차 방정식과 1차 방정식의 중요한 차이점입니다. 방정식에 몇 개의 근이 있는지 확인하는 방법은 무엇입니까? 이것에 대한 멋진 일이 있습니다 - 판별자.
주어라 이차 방정식 ax 2 + bx + c = 0. 그러면 판별식은 단순히 숫자 D = b 2 − 4ac 입니다.
이 공식은 마음으로 알아야 합니다. 그것이 어디에서 왔는지는 이제 중요하지 않습니다. 또 다른 것이 중요합니다. 판별식의 부호를 통해 이차 방정식의 근 수를 결정할 수 있습니다. 즉:
참고: 판별자는 어떤 이유로 많은 사람들이 생각하는 것처럼 뿌리의 수를 나타내며 전혀 표시되지 않습니다. 예제를 살펴보면 모든 것을 스스로 이해할 수 있습니다.
작업. 이차 방정식의 근은 몇 개입니까?
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
첫 번째 방정식에 대한 계수를 작성하고 판별식을 찾습니다.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
따라서 판별식은 양수이므로 방정식에는 두 개의 다른 근이 있습니다. 우리는 같은 방식으로 두 번째 방정식을 분석합니다.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2-4 5 7 \u003d 9-140 \u003d -131.
판별식이 음수이고 근이 없습니다. 마지막 방정식은 다음과 같습니다.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0
판별식은 0과 같습니다. 루트는 1입니다.
계수는 각 방정식에 대해 작성되었습니다. 예, 길고 지루합니다. 하지만 확률을 혼동하지 않고 어리석은 실수를 하지 않습니다. 속도 또는 품질 중에서 선택하십시오.
그건 그렇고, "손을 채우면" 잠시 후 더 이상 모든 계수를 작성할 필요가 없습니다. 당신은 머리 속에서 그러한 작업을 수행할 것입니다. 대부분의 사람들은 50-70개의 방정식을 풀고 난 후에 이 작업을 시작합니다. 일반적으로 그렇게 많지는 않습니다.
이제 솔루션으로 넘어 갑시다. 판별식 D > 0이면 다음 공식을 사용하여 근을 찾을 수 있습니다.
이차 방정식의 근에 대한 기본 공식
D = 0일 때 다음 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 동일한 숫자가 답이 됩니다. 마지막으로 만약 D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
첫 번째 방정식:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 그들을 찾자:
두 번째 방정식:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ 방정식은 다시 두 개의 근을 갖습니다. 그들을 찾자
\[\begin(정렬) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot\left(-1\right))=3. \\ \끝(정렬)\]
마지막으로 세 번째 방정식:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ 방정식은 하나의 근을 가집니다. 모든 공식을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 첫 번째:
예제에서 볼 수 있듯이 모든 것이 매우 간단합니다. 공식을 알고 셀 수 있다면 문제가 없을 것입니다. 대부분의 경우 음수 계수가 공식에 대입될 때 오류가 발생합니다. 여기서 다시 위에서 설명한 기술이 도움이 될 것입니다. 공식을 문자 그대로 보고, 각 단계를 페인트하고, 곧 실수를 제거하십시오.
이차 방정식이 정의에 제공된 것과 다소 다른 경우가 있습니다. 예를 들어:
이 방정식에서 용어 중 하나가 누락되었음을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 2차 방정식은 표준 방정식보다 풀기 훨씬 쉽습니다. 판별식을 계산할 필요도 없습니다. 새로운 개념을 소개하겠습니다.
방정식 ax 2 + bx + c = 0은 b = 0 또는 c = 0인 경우 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 변수 x 또는 자유 요소의 계수는 0과 같습니다.
물론, 이 두 계수가 모두 0일 때 매우 어려운 경우가 가능합니다: b \u003d c \u003d 0. 이 경우 방정식은 ax 2 \u003d 0의 형식을 취합니다. 분명히 그러한 방정식은 단일 루트: x \u003d 0.
다른 경우를 생각해 보자. b \u003d 0이라고 하면 ax 2 + c \u003d 0 형식의 불완전한 이차 방정식을 얻습니다. 약간 변형해 보겠습니다.
산술 제곱근은 음수가 아닌 숫자에서만 존재하기 때문에 마지막 같음은 (−c / a ) ≥ 0일 때만 의미가 있습니다. 결론:
보시다시피 판별식이 필요하지 않았습니다. 불완전한 이차 방정식에서는 복잡한 계산이 전혀 필요하지 않습니다. 사실, 부등식 (−c / a ) ≥ 0을 기억할 필요조차 없습니다. x 2의 값을 표현하고 등호의 반대편에 무엇이 있는지 보는 것으로 충분합니다. 양수가 있으면 근이 2개 있습니다. 음수이면 뿌리가 전혀 없습니다.
이제 자유 요소가 0인 ax 2 + bx = 0 형식의 방정식을 처리해 보겠습니다. 여기에는 모든 것이 간단합니다. 항상 두 개의 뿌리가 있습니다. 다항식을 인수분해하면 충분합니다.
대괄호에서 공통 요소 빼기요인 중 하나 이상이 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다. 여기에서 뿌리가 나옵니다. 결론적으로 우리는 다음과 같은 몇 가지 방정식을 분석할 것입니다.
작업. 이차 방정식 풀기:
- x2 - 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. 뿌리가 없기 때문에 제곱은 음수와 같을 수 없습니다.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.
1. 대체 방법에 의한 시스템의 솔루션.
2. 시스템 방정식의 항별 덧셈(뺄셈)에 의한 시스템의 솔루션.
연립방정식을 풀기 위해 대체 방법간단한 알고리즘을 따라야 합니다.
1. 표현합니다. 모든 방정식에서 하나의 변수를 표현합니다.
2. 대체. 표현된 변수 대신 다른 방정식으로 결과 값을 대입합니다.
3. 결과 방정식을 하나의 변수로 풉니다. 우리는 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.
해결하다 항별 덧셈(뺄셈)에 의한 시스템필요:
1. 동일한 계수를 만들 변수를 선택합니다.
2. 방정식을 더하거나 빼서 결과적으로 하나의 변수가 있는 방정식을 얻습니다.
3. 결과 선형 방정식을 풉니다. 우리는 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.
시스템의 솔루션은 함수 그래프의 교차점입니다.
예제를 사용하여 시스템의 솔루션을 자세히 고려해 보겠습니다.
예 #1:
2x+5y=1(1 방정식)
x-10y=3(2차 방정식)
1. 익스프레스
두 번째 방정식에는 계수가 1인 변수 x가 있으므로 두 번째 방정식에서 변수 x를 표현하는 것이 가장 쉬운 것으로 나타났습니다.
x=3+10y
2. 표현 후 첫 번째 방정식에서 변수 x 대신 3 + 10y를 대입합니다.
2(3+10년)+5년=1
3. 결과 방정식을 하나의 변수로 풉니다.
2(3+10y)+5y=1(열린 대괄호)
6+20년+5년=1
25년=1-6
25년=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
방정식 시스템의 솔루션은 그래프의 교차점이므로 교차점이 x와 y로 구성되어 있기 때문에 x와 y를 찾아야 합니다. x를 찾아보자, 우리가 표현한 첫 번째 단락에서 y를 거기에 대입합니다.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
처음에 점을 쓰는 것이 일반적이고 변수 x를 쓰고 두 번째 위치에 변수 y를 쓰는 것이 일반적입니다.
답: (1; -0.2)
예 #2:
3x-2y=1(1 방정식)
2x-3y=-10(2차 방정식)
1. 변수를 선택합니다. x를 선택한다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 변수 x는 두 번째 - 2에서 3의 계수를 갖습니다. 계수를 동일하게 만들어야 합니다. 이를 위해 방정식을 곱하거나 임의의 숫자로 나눌 수 있는 권리가 있습니다. 첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식에 3을 곱하여 총 계수 6을 얻습니다.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼서 변수 x를 제거하고 선형 방정식을 풉니다.
__6x-4y=2
5년=32 | :5
y=6.4
3. x를 찾습니다. 첫 번째 방정식을 가정해 봅시다. 모든 방정식에서 발견된 y를 대체합니다.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
교차점은 x=4.6이 됩니다. y=6.4
답: (4.6, 6.4)
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그래프를 그리기 위해 서비스는 특수 버튼(회색 그래프가 그려짐) 또는 이 기능의 리터럴 표현(Plot)을 사용합니다. 온라인 계산기에서 그래프를 작성하려면 다음 함수를 작성하십시오. 플롯(탄(x)),x=-360..360.
탄젠트에 대한 가장 간단한 플롯을 취하고 소수점 뒤에 X 변수의 범위를 -360에서 360까지 표시했습니다.
예를 들어 다음과 같이 여러 변수를 사용하여 절대적으로 모든 함수를 빌드할 수 있습니다. 플롯(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)또는 당신이 생각할 수 있는 것보다 훨씬 더 복잡합니다. 우리는 변수 X의 동작에 주의를 기울입니다. 시작과 끝의 간격은 두 점을 사용하여 표시됩니다.
이 온라인 계산기의 유일한 단점(단점이라고 하기는 어렵지만)은 구체와 기타 3차원 도형을 만들 수 없고 평면만 만들 수 있다는 것입니다.
1. 디스플레이(계산기 화면)는 입력한 표현식과 계산 결과를 종이에 쓰는 일반 문자로 표시합니다. 이 필드는 단순히 현재 작업을 보기 위한 것입니다. 입력 라인에 수학 표현식을 입력하면 해당 항목이 디스플레이에 표시됩니다.
2. 표현식 입력 필드는 계산할 표현식을 작성하기 위한 것입니다. 여기서 사용된 수학 기호는 컴퓨터 프로그램, 우리가 일반적으로 종이에 사용하는 것과 항상 일치하지는 않습니다. 계산기의 각 기능에 대한 개요에서 특정 작업에 대한 올바른 명칭과 계산기의 계산 예를 찾을 수 있습니다. 아래 이 페이지에는 계산기에서 가능한 모든 작업 목록과 올바른 철자가 나와 있습니다.
3. 도구 모음 - 해당 작업을 나타내는 수학 기호의 수동 입력을 대체하는 계산기 버튼입니다. 일부 계산기 버튼(추가 기능, 단위 변환기, 행렬 및 방정식의 해, 그래프)은 특정 계산을 위한 데이터가 입력되는 새 필드로 작업 표시줄을 보완합니다. "기록" 필드에는 수학 표현식 작성의 예와 마지막 6개 항목이 포함됩니다.
추가 기능, 값 변환기, 행렬 및 방정식 풀기, 그래프 그리기를 위한 버튼을 누르면 전체 계산기 패널이 위로 이동하여 디스플레이의 일부를 덮는다는 점에 유의하십시오. 필수 필드를 채우고 "I" 키(그림에서 빨간색으로 강조 표시됨)를 누르면 디스플레이가 전체 크기로 표시됩니다.
4. 숫자 키패드에는 숫자와 산술 기호가 있습니다. "C" 버튼은 표현식 입력 필드의 전체 항목을 삭제합니다. 문자를 하나씩 삭제하려면 입력 라인의 오른쪽에 있는 화살표를 사용해야 합니다.
표현식의 끝에서 항상 대괄호를 닫으십시오. 대부분의 작업에서 이것은 중요하지 않으며 온라인 계산기는 모든 것을 올바르게 계산합니다. 그러나 경우에 따라 오류가 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 분수 거듭제곱으로 올릴 때 닫히지 않은 대괄호는 지수에 있는 분수의 분모가 밑의 분모로 가게 합니다. 디스플레이에서 닫는 브래킷은 옅은 회색으로 표시되며 녹음이 완료되면 닫혀야 합니다.
열쇠 | 상징 | 작업 |
---|---|---|
파이 | 파이 | 상수 파이 |
이자형 | 이자형 | 오일러 수 |
% | % | 퍼센트 |
() | () | 열기/닫기 브래킷 |
, | , | 반점 |
죄 | 죄(?) | 각도의 사인 |
코사인 | 코사인(?) | 코사인 |
탠 껍질 | 황갈색(y) | 접선 |
신 | 신() | 쌍곡선 사인 |
현금 | 곤봉() | 쌍곡코사인 |
탄 | 탄() | 쌍곡선 탄젠트 |
죄-1 | 아신() | 역 사인 |
코스-1 | 아코스() | 역 코사인 |
탄-1 | 아탄() | 역 탄젠트 |
신-1 | asinh() | 역 쌍곡선 사인 |
코시-1 | 아코쉬() | 역 쌍곡선 코사인 |
탄-1 | 아탄() | 역 쌍곡선 탄젠트 |
x2 | ^2 | 제곱 |
x 3 | ^3 | 입방체 |
x y | ^ | 지수화 |
10개 | 10^() | 기수 10의 지수 |
전- | 특급() | 오일러 수의 지수화 |
vx | 제곱미터(x) | 제곱근 |
3vx | 제곱미터(x) | 3도 루트 |
yvx | 정사각형(x,y) | 뿌리 추출 |
로그 2 x | 로그2(x) | 이진 로그 |
통나무 | 로그(x) | 십진 로그 |
인 | 로그(x) | 자연 로그 |
로그 y x | 로그(x,y) | 로그 |
나 / 나 | 추가 기능 최소화/호출 | |
단위 | 단위 변환기 | |
행렬 | 행렬 | |
해결하다 | 방정식 및 연립방정식 | |
플로팅 | ||
추가 기능(II 키로 호출) | ||
모드 | 모드 | 나머지 나눗셈 |
! | ! | 계승 |
아이/제이 | 아이/제이 | 허수 단위 |
답장 | 답장() | 전체 실제 부분의 선택 |
나는 | 나는() | 실제 부분 제외 |
|x| | 복근() | 숫자의 절대값 |
인수 | 인수() | 함수 인수 |
nCr | ncr() | 이항 계수 |
gcd | gcd() | GCD |
1cm | 1cm() | NOC |
합집합 | 합집합() | 모든 솔루션의 합계 값 |
팩 | 인수분해() | 소인수 분해 |
차이 | 차이() | 분화 |
데그 | 학위 | |
라드 | 라디안 |