이차 방정식의 근에 대한 공식. 실수, 다중 및 복잡한 근의 경우가 고려됩니다. 제곱 삼항식의 인수분해. 기하학적 해석. 근 및 인수분해 결정의 예.
이차 방정식을 고려하십시오.
(1)
.
이차 방정식의 근(1)은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
;
.
이러한 수식은 다음과 같이 결합할 수 있습니다.
.
이차 방정식의 근을 알면 2차 다항식은 인수(인수분해)의 곱으로 나타낼 수 있습니다.
.
또한 우리는 다음을 고려합니다. 실수.
고려하다 이차 방정식의 판별식:
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판별식이 양수이면 이차 방정식 (1)에는 두 개의 다른 실수근이 있습니다.
;
.
그런 다음 제곱 삼항식의 인수분해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
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판별식이 0이면 이차 방정식 (1)에는 두 개의 다중(동일한) 실수근이 있습니다.
.
채권 차압 통고:
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판별식이 음수이면 이차 방정식 (1)에는 두 개의 복소수 켤레 근이 있습니다.
;
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다음은 허수 단위입니다.
그리고 는 뿌리의 실제 부분과 허수 부분입니다.
;
.
그 다음에
.
빌드하는 경우 함수 그래프
,
포물선인 경우 그래프와 축의 교차점이 방정식의 근이 됩니다.
.
인 경우 그래프는 두 점에서 가로축(축)과 교차합니다.
인 경우 그래프가 x축의 한 점에 닿습니다.
인 경우 그래프가 x축을 교차하지 않습니다.
다음은 그러한 그래프의 예입니다.
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
변환을 수행하고 공식 (f.1) 및 (f.3)을 적용합니다.
,
어디
;
.
그래서 우리는 2차 다항식에 대한 공식을 다음과 같은 형식으로 얻었습니다.
.
이로부터 방정식이
에서 수행
그리고 .
즉, 및 는 이차 방정식의 근입니다.
.
(1.1)
.
.
방정식 (1.1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
판별식 찾기:
.
판별식이 양수이므로 방정식에는 두 개의 실수근이 있습니다.
;
;
.
여기에서 제곱 삼항식을 인수로 분해합니다.
.
함수 y = 그래프 2 x 2 + 7 x + 3두 점에서 x축과 교차합니다.
함수를 플로팅하자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 두 점에서 x축(축)과 교차합니다.
그리고 .
이 점은 원래 방정식(1.1)의 근입니다.
;
;
.
이차 방정식의 근을 찾습니다.
(2.1)
.
우리는 이차 방정식을 씁니다. 일반보기:
.
원래 방정식 (2.1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
판별식 찾기:
.
판별식이 0이므로 방정식에는 두 개의 다중(동일한) 근이 있습니다.
;
.
그러면 삼항식의 인수분해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.
함수 y = x의 그래프 2 - 4 x + 4한 점에서 x축에 닿습니다.
함수를 플로팅하자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 한 지점에서 x축(축)에 닿습니다.
.
이 점은 원래 방정식(2.1)의 근입니다. 이 루트는 두 번 인수분해되기 때문에:
,
그런 다음 그러한 근을 배수라고 합니다. 즉, 그들은 두 개의 동일한 뿌리가 있다고 생각합니다.
.
;
.
이차 방정식의 근을 찾습니다.
(3.1)
.
우리는 일반 형식으로 이차 방정식을 씁니다.
(1)
.
원래 방정식(3.1)을 다시 작성해 보겠습니다.
.
(1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
판별식 찾기:
.
판별식은 음수입니다. 따라서 진정한 뿌리가 없습니다.
복잡한 뿌리를 찾을 수 있습니다.
;
;
.
그 다음에
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함수의 그래프는 x축을 교차하지 않습니다. 진짜 뿌리는 없습니다.
함수를 플로팅하자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 가로 좌표(축)를 가로지르지 않습니다. 따라서 진정한 뿌리가 없습니다.
진짜 뿌리는 없습니다. 복잡한 뿌리:
;
;
.
함께 일하자 이차 방정식. 이것은 매우 인기 있는 방정식입니다! 가장 일반적인 형태의 이차 방정식은 다음과 같습니다.
예를 들어:
여기 ㅏ =1; 비 = 3; 씨 = -4
여기 ㅏ =2; 비 = -0,5; 씨 = 2,2
여기 ㅏ =-3; 비 = 6; 씨 = -18
글쎄, 당신은 아이디어를 얻을 ...
이차 방정식을 푸는 방법?이 형식의 이차 방정식이 있으면 모든 것이 간단합니다. 우리는 기억한다 마법의 단어 판별자 . 드문 고등학생은이 단어를 들어 본 적이 없습니다! "판별자를 통해 결정"이라는 문구는 안심하고 안심할 수 있습니다. 판별자의 트릭을 기다릴 필요가 없기 때문입니다! 간단하고 사용하는데 문제가 없습니다. 따라서 이차 방정식의 근을 찾는 공식은 다음과 같습니다.
루트 기호 아래의 표현은 동일합니다. 판별자. 보시다시피 x를 찾기 위해 다음을 사용합니다. 오직, b, c. 저것들. 이차 방정식의 계수. 값을 신중하게 대체하십시오. a, b 및 c이 공식에 넣고 고려하십시오. 대리자 당신의 표시와 함께! 예를 들어, 첫 번째 방정식의 경우 ㅏ =1; 비 = 3; 씨= -4. 여기에 다음과 같이 씁니다.
거의 해결된 예:
그게 다야.
이 공식을 사용할 때 가능한 경우는 무엇입니까? 세 가지 경우만 있습니다.
1. 판별식이 양수입니다. 이것은 당신이 그것에서 루트를 추출 할 수 있음을 의미합니다. 뿌리가 잘 뽑혔는지 나쁘게 뽑혔는지는 또 다른 문제입니다. 원칙적으로 무엇을 추출하느냐가 중요합니다. 그런 다음 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 두 가지 다른 솔루션.
2. 판별식은 0입니다. 그러면 한 가지 해결책이 있습니다. 엄밀히 말하면 이것은 하나의 뿌리가 아니지만, 두 개의 동일한. 그러나 이것은 불평등에서 중요한 역할을 합니다. 여기서 우리는 이 문제를 더 자세히 연구할 것입니다.
3. 판별식이 음수입니다. 음수에서 제곱근추출되지 않습니다. 글쎄, 알았어. 이것은 해결책이 없다는 것을 의미합니다.
모든 것이 매우 간단합니다. 그리고 당신은 어떻게 생각합니까, 당신은 잘못 될 수 없습니다? 그래, 어떻게...
가장 흔한 실수는 값의 부호와의 혼동입니다. a, b 및 c. 또는 오히려, 그들의 기호가 아니라 (혼돈할 곳이 어디 있습니까?), 그러나 음수 값을 뿌리 계산 공식으로 대체합니다. 여기에 특정 숫자가 포함된 공식의 자세한 기록이 저장됩니다. 계산에 문제가 있는 경우, 그래서 해!
다음 예를 해결해야 한다고 가정합니다.
여기 a = -6; b = -5; c=-1
처음에는 거의 답을 얻지 못한다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다.
글쎄, 게으르지 마십시오. 한 줄을 더 작성하는 데 30초가 소요되며 오류 수 급격히 떨어질 것이다. 그래서 우리는 모든 대괄호와 기호를 사용하여 자세히 씁니다.
이렇게 세심하게 칠하는 것은 정말 어려운 일인 것 같습니다. 그러나 그것은 단지 보인다. 시도 해봐. 글쎄, 아니면 선택하십시오. 어느 것이 더 낫고 빠르며 맞습니까? 게다가 내가 너를 행복하게 해줄게. 잠시 후 모든 것을 그렇게 조심스럽게 칠할 필요가 없습니다. 그것은 바로 나타날 것입니다. 특히 아래에 설명된 실용적인 기술을 적용하는 경우. 마이너스가 많은 이 사악한 예는 오류 없이 쉽게 해결될 것입니다!
그래서, 이차 방정식을 푸는 방법우리가 기억한 판별식을 통해. 또는 배운 것도 좋습니다. 당신은 정확하게 식별 할 수 있습니까 a, b 및 c. 당신은 방법을 알고 있습니까 주의하여그것들을 루트 공식으로 대체하고 주의하여결과를 계산합니다. 이해하셨나요? 예어여기 - 주의하여?
그러나 이차 방정식은 종종 약간 다르게 보입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
그것 불완전한 이차 방정식 . 판별식을 통해서도 풀 수 있습니다. 여기에서 평등한 것이 무엇인지 정확하게 파악하면 됩니다. a, b 및 c.
깨달았습니까? 첫 번째 예에서 a = 1; b = -4;ㅏ 씨? 그것은 전혀 존재하지 않습니다! 네, 맞습니다. 수학에서 이것은 다음을 의미합니다. c = 0 ! 그게 다야. 대신 공식에 0을 대입하십시오. 씨,모든 것이 우리를 위해 잘 될 것입니다. 두 번째 예와 유사합니다. 여기에 없는 제로만 와 함께, ㅏ 비 !
그러나 불완전한 이차 방정식은 훨씬 쉽게 풀 수 있습니다. 차별 없이. 첫 번째 불완전 방정식을 고려하십시오. 왼쪽에서 무엇을 할 수 있습니까? 대괄호에서 X를 빼낼 수 있습니다! 꺼내자.
그리고 그것의 무엇? 그리고 곱이 0과 같다는 사실은 요인 중 하나라도 0과 같을 때만 가능합니다! 안믿어? 그럼, 곱하면 0이 되는 2개의 0이 아닌 숫자를 생각해내세요!
작동하지 않습니까? 무엇...
따라서 다음과 같이 자신 있게 작성할 수 있습니다. x = 0, 또는 x = 4
모든 것. 이것들은 우리 방정식의 근원이 될 것입니다. 둘 다 맞습니다. 그들 중 하나를 원래 방정식에 대입하면 올바른 항등식 0 = 0을 얻습니다. 보시다시피 솔루션은 판별식을 사용하는 것보다 훨씬 간단합니다.
두 번째 방정식도 쉽게 풀 수 있습니다. 9로 이동 오른쪽. 우리는 다음을 얻습니다.
9에서 루트를 추출하는 것만 남아 있습니다. 그게 전부입니다. 얻다:
또한 두 개의 뿌리 . x = +3 및 x = -3.
이것이 모든 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법입니다. 대괄호에서 X를 빼거나 단순히 숫자를 오른쪽으로 옮기고 근을 추출합니다.
이러한 방법을 혼동하는 것은 매우 어렵습니다. 첫 번째 경우에는 X에서 루트를 추출해야 하는데, 이는 어떻게 든 이해할 수 없고 두 번째 경우에는 대괄호에서 빼낼 것이 없기 때문에 ...
이제 오류 수를 극적으로 줄이는 실용적인 기술에 주목하십시오. 부주의로 인한 바로 그 것들 ... 고통스럽고 모욕적 인 것 ...
첫 접수. 표준 형식으로 가져오기 위해 이차 방정식을 풀기 전에 게으르지 마십시오. 이것은 무엇을 의미 하는가?
변환 후에 다음 방정식을 얻는다고 가정합니다.
뿌리의 공식을 쓰기 위해 서두르지 마십시오! 당신은 거의 확실히 확률을 섞을 것입니다 a, b 및 c.예제를 올바르게 작성하십시오. 먼저 x 제곱한 다음 제곱이 없는 경우 자유 구성원입니다. 이와 같이:
그리고 다시, 서두르지 마십시오! x제곱 앞의 빼기는 당신을 많이 화나게 할 수 있습니다. 잊어버리기 쉽습니다... 마이너스는 버리세요. 어떻게? 예, 이전 주제에서 배운 대로! 전체 방정식에 -1을 곱해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
이제 근에 대한 공식을 안전하게 기록하고 판별식을 계산하고 예제를 완성할 수 있습니다. 스스로 결정하십시오. 루트 2와 -1로 끝나야 합니다.
두 번째 리셉션.당신의 뿌리를 확인하십시오! Vieta의 정리에 따르면. 내가 다 설명해줄테니 걱정마! 확인 중 마지막 것방정식. 저것들. 우리가 뿌리의 공식을 기록한 것. (이 예에서와 같이) 계수가 에이 = 1, 뿌리를 쉽게 확인하십시오. 그것들을 곱하는 것으로 충분합니다. 당신은 무료 기간, 즉. 우리의 경우 -2. 2가 아니라 -2에 주의하세요! 무료 회원 당신의 기호로
. 작동하지 않으면 이미 어딘가에서 엉망이되었음을 의미합니다. 오류를 찾습니다. 그것이 효과가 있다면 뿌리를 접을 필요가 있습니다. 마지막이자 마지막 점검입니다. 비율이어야 한다 비와 함께 반대
징후. 우리의 경우 -1+2 = +1입니다. 계수 비, x 앞에 있는 는 -1과 같습니다. 모든 것이 맞습니다!
x 제곱이 순수하고 계수가 있는 예에 대해서만 너무 단순하다는 것은 유감입니다. 에이 = 1.그러나 적어도 그러한 방정식을 확인하십시오! 실수가 줄어들 것입니다.
접수 제3. 방정식에 분수 계수가 있는 경우 분수를 제거하십시오! 이전 섹션에서 설명한 대로 방정식에 공통 분모를 곱합니다. 어떤 이유로 분수, 오류로 작업 할 때 등반 ...
그건 그렇고, 나는 단순화하기 위해 많은 마이너스가있는 나쁜 예를 약속했습니다. 제발! 여기 있습니다.
마이너스에서 혼동하지 않기 위해 방정식에 -1을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
그게 다야! 결정하는 것은 즐겁다!
이제 주제를 요약해 보겠습니다.
1. 풀기 전에 이차 방정식을 표준 형식으로 가져와서 작성합니다. 오른쪽.
2. 정사각형의 x 앞에 음의 계수가 있으면 전체 방정식에 -1을 곱하여 제거합니다.
3. 계수가 분수이면 전체 방정식에 해당 계수를 곱하여 분수를 제거합니다.
4. x 제곱이 순수하고 이에 대한 계수가 1과 같으면 Vieta의 정리로 솔루션을 쉽게 확인할 수 있습니다. 해!
분수 방정식. 오즈.
우리는 방정식을 계속 마스터합니다. 우리는 이미 선형 및 이차 방정식으로 작업하는 방법을 알고 있습니다. 마지막 모습이 남아있다 분수 방정식. 또는 그들은 또한 훨씬 더 견고하다고 불립니다. 분수 유리 방정식. 이것은 동일합니다.
분수 방정식.
이름에서 알 수 있듯이 이러한 방정식에는 반드시 분수가 포함됩니다. 하지만 분수뿐만 아니라 분모로 알려지지 않은. 적어도 하나에서. 예를 들어:
분모에만 해당된다면 번호, 이들은 선형 방정식입니다.
결정 방법 분수 방정식? 우선, 분수를 제거하십시오! 그 후, 방정식은 대부분 선형 또는 이차 방정식으로 바뀝니다. 그리고 나서 우리는 무엇을 해야 하는지 압니다... 어떤 경우에는 5=5와 같은 항등식이나 7=2와 같은 잘못된 표현으로 바뀔 수 있습니다. 그러나 이것은 거의 발생하지 않습니다. 아래에서 언급하겠습니다.
그러나 분수를 제거하는 방법!? 매우 간단합니다. 동일한 동일한 변환을 모두 적용합니다.
전체 방정식에 동일한 표현식을 곱해야 합니다. 모든 분모가 줄어들도록! 모든 것이 즉시 쉬워집니다. 나는 예를 들어 설명한다. 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
그들은 초등학교에서 어떻게 가르쳤습니까? 우리는 모든 것을 한 방향으로 옮기고 공통 분모 등으로 줄입니다. 방법을 잊어 악몽! 이것은 분수 표현식을 더하거나 뺄 때 수행해야 하는 작업입니다. 또는 불평등과 함께 일하십시오. 그리고 방정식에서 모든 분모(즉, 본질적으로 공통 분모)를 줄일 수 있는 기회를 제공하는 표현식으로 두 부분을 즉시 곱합니다. 그리고 이 표현은 무엇입니까?
왼쪽에서 분모를 줄이려면 다음을 곱해야 합니다. x+2. 그리고 오른쪽에는 2를 곱해야 하므로 방정식에 다음을 곱해야 합니다. 2(x+2). 우리는 다음을 곱합니다.
이것은 분수의 일반적인 곱셈이지만 자세히 쓸 것입니다.
아직 괄호를 열지 않았음을 알려드립니다. (x + 2)! 그래서 전체적으로 다음과 같이 씁니다.
왼쪽은 전체적으로 축소 (x+2), 그리고 오른쪽 2. 필요에 따라! 감소 후 우리는 선의방정식:
누구나 이 방정식을 풀 수 있습니다! x = 2.
조금 더 복잡한 또 다른 예를 해결해 보겠습니다.
3 = 3/1임을 기억한다면, 2x = 2x/ 1은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
그리고 다시 우리는 분수에서 우리가 정말로 좋아하지 않는 것을 제거합니다.
분모를 x로 줄이려면 분수에 다음을 곱해야 합니다. (x - 2). 그리고 단위는 우리에게 장애물이 아닙니다. 자, 곱해 봅시다. 모두왼쪽과 모두오른쪽:
다시 대괄호 (x - 2)나는 밝히지 않는다. 마치 하나의 숫자처럼 브래킷 전체로 작업합니다! 이것은 항상 수행되어야 합니다. 그렇지 않으면 아무것도 줄어들지 않습니다.
깊은 만족감으로 컷 (x - 2)그리고 우리는 눈금자에서 분수 없이 방정식을 얻습니다!
이제 대괄호를 엽니다.
우리는 비슷한 것을주고 모든 것을 왼쪽으로 옮기고 다음을 얻습니다.
고전적인 이차 방정식. 그러나 앞으로의 마이너스는 좋지 않습니다. -1을 곱하거나 나누어 항상 제거할 수 있습니다. 그러나 예를 자세히 살펴보면 이 방정식을 -2로 나누는 것이 가장 좋다는 것을 알 수 있습니다! 한 번에 마이너스가 사라지고 계수가 더 예뻐집니다! -2로 나눕니다. 왼쪽에서 - 항을 항으로, 오른쪽에서 - 0을 -2로 나누고 0을 얻고 다음을 얻습니다.
판별식을 통해 풀고 Vieta 정리에 따라 확인합니다. 우리는 얻는다 x=1 및 x=3. 두 개의 뿌리.
보시다시피 첫 번째 경우 변환 후 방정식은 선형이 되었으며 여기서는 2차입니다. 분수를 제거한 후 모든 x가 감소합니다. 5=5와 같이 남은 것이 있습니다. 그 의미 x는 무엇이든 될 수 있습니다. 그것이 무엇이든, 그것은 여전히 감소될 것입니다. 그리고 순수한 진실, 5=5를 얻으세요. 그러나 분수를 제거한 후에는 2=7과 같이 완전히 사실이 아닌 것으로 판명될 수 있습니다. 그리고 이것은 의미합니다 해결책이 없다! x가 있으면 거짓으로 판명됩니다.
실현 주요 방법솔루션 분수 방정식? 간단하고 논리적입니다. 우리가 좋아하지 않는 모든 것이 사라지도록 원래 표현을 변경합니다. 또는 방해합니다. 에 이 경우이것들은 분수입니다. 로그, 사인 및 기타 공포를 사용하여 모든 종류의 복잡한 예제에 대해 동일한 작업을 수행합니다. 우리 언제나우리는 이 모든 것을 제거할 것입니다.
그러나 우리는 우리가 필요로하는 방향으로 원래 표현을 변경해야합니다 규칙에 따라, 예 ... 그 발전은 수학 시험을 준비하는 것입니다. 여기에서 우리는 배우고 있습니다.
이제 우리는 다음 중 하나를 우회하는 방법을 배울 것입니다. 시험의 주요 매복! 하지만 먼저, 당신이 그것에 빠지는지 여부를 보자?
간단한 예를 들어보겠습니다.
문제는 이미 익숙합니다. 우리는 두 부분에 다음을 곱합니다. (x - 2), 우리는 다음을 얻습니다.
대괄호와 함께 기억하십시오. (x - 2)우리는 하나의 통합 표현으로 작동합니다!
여기에서 나는 더 이상 분모에 불명예를 쓰지 않았습니다 ... 그리고 분모에 대괄호를 그리지 않았습니다. x - 2아무것도 없습니다, 당신은 그릴 수 없습니다. 우리는 다음을 줄입니다.
우리는 대괄호를 열고 모든 것을 왼쪽으로 옮기고 비슷한 것을 제공합니다.
우리는 풀고, 확인하고, 두 개의 뿌리를 얻습니다. x = 2그리고 x = 3. 훌륭한.
작업이 루트 또는 루트가 두 개 이상인 경우 그 합계를 기록하도록 지시한다고 가정합니다. 우리는 무엇을 쓸 것인가?
답이 5라고 결정하면 매복을 당했다. 그리고 작업은 귀하를 위해 계산되지 않습니다. 그들은 헛되이 일했습니다 ... 정답은 3입니다.
무슨 일이야?! 그리고 확인하려고 합니다. 미지의 값을 다음으로 대체하십시오. 원래의예시. 그리고 만약에 x = 3모든 것이 함께 훌륭하게 성장합니다. 우리는 9 = 9를 얻습니다. x = 2 0으로 나눕니다! 절대 할 수 없는 일. 수단 x = 2는 해결책이 아니며 답변에서 고려되지 않습니다. 이것은 소위 외부 또는 추가 루트입니다. 우리는 그냥 버립니다. 마지막 루트는 하나뿐입니다. x = 3.
어때요?! 격노한 감탄사가 들립니다. 우리는 방정식에 표현식을 곱할 수 있다고 배웠습니다! 이것은 같은 변형입니다!
예, 동일합니다. ~에 작은 상태- 곱하기(나누기)하는 표현 - 제로와 다른. 하지만 x - 2~에 x = 2 0과 같습니다! 그래서 모든 것이 공정합니다.
그리고 이제 내가 할 수 있는 일은?! 식으로 곱하지 않습니까? 매번 확인하시나요? 또 불분명!
고요히! 당황하지 말 것!
이 어려운 상황에서 세 개의 마법 편지가 우리를 구할 것입니다. 무슨 생각을 하고 있었는지 알아. 바르게! 그것 오즈 . 유효한 값의 영역.
이차 방정식 - 쉽게 풀 수 있습니다! *텍스트 "KU"에서 추가로.친구 여러분, 수학에서는 그러한 방정식을 푸는 것보다 쉬울 수 있습니다. 그러나 많은 사람들이 그에게 문제가 있다는 사실을 알게 되었습니다. Yandex가 매월 요청당 얼마나 많은 노출을 제공하는지 확인하기로 결정했습니다. 무슨 일이 있었는지 살펴보세요.
무슨 뜻인가요? 이것은 한 달에 약 70,000명의 사람들이 이 정보를 찾고 있음을 의미합니다. 이번 여름은 이 정보와 어떤 관련이 있으며 학년- 요청이 두 배 증가합니다. 학교를 오래 졸업하고 시험을 준비하는 남자와 여자가이 정보를 찾고 있고 학생도 기억을 새로 고치려고하기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.
이 방정식을 푸는 방법을 알려주는 사이트가 많다는 사실에도 불구하고, 나는 또한 그 자료를 기여하고 출판하기로 결정했습니다. 첫째, 방문자가 이 요청에 따라 내 사이트를 방문하기를 원합니다. 둘째, 다른 기사에서 "KU"라는 연설이 나오면이 기사에 대한 링크를 줄 것입니다. 셋째, 다른 사이트에서 일반적으로 언급되는 것보다 그의 솔루션에 대해 조금 더 알려 드리겠습니다. 시작하자!기사 내용:
이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.
여기서 계수 a,비a≠0을 사용하여 임의의 숫자를 사용합니다.
에 학교 과정재료는 다음과 같은 형식으로 제공됩니다. 방정식을 세 가지 클래스로 조건부로 나눕니다.
1. 두 개의 뿌리가 있습니다.
2. * 루트가 하나만 있습니다.
3. 뿌리가 없다. 그들은 진정한 뿌리가 없다는 점에 주목할 가치가 있습니다.
뿌리는 어떻게 계산됩니까? 단지!
판별식을 계산합니다. 이 "끔찍한" 단어 아래에는 매우 간단한 공식이 있습니다.
루트 공식은 다음과 같습니다.
*이 공식은 마음으로 알고 있어야 합니다.
즉시 기록하고 결정할 수 있습니다.
예시:
1. D > 0이면 방정식의 근이 두 개입니다.
2. D = 0이면 방정식은 하나의 근을 갖습니다.
3. 만약 D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
방정식을 살펴보겠습니다.
이 경우 판별식이 0일 때 학교 과정은 하나의 근을 얻는다고 말합니다. 여기서는 9와 같습니다. 그렇긴 한데...
이 표현은 다소 잘못되었습니다. 사실 뿌리는 두 가지입니다. 예, 예, 놀라지 마십시오. 두 개의 동일한 근이 밝혀지고 수학적으로 정확하려면 답에 두 개의 근을 작성해야 합니다.
x 1 = 3 x 2 = 3
하지만 그렇죠- 작은 탈선. 학교에서는 뿌리가 하나뿐이라고 적어서 말할 수 있습니다.
이제 다음 예:
아시다시피 음수의 근은 추출되지 않으므로 이 경우에는 솔루션이 없습니다.
이것이 전체 결정 과정입니다.
이차 함수.
솔루션이 기하학적으로 보이는 방법은 다음과 같습니다. 이것은 이해하는 것이 매우 중요합니다(앞으로 기사 중 하나에서 2차 부등식의 솔루션을 자세히 분석할 것입니다).
이것은 다음과 같은 형식의 기능입니다.
여기서 x와 y는 변수입니다.
a, b, c는 숫자가 주어지며 여기서 a ≠ 0
그래프는 포물선입니다.
즉, "y"가 0인 이차 방정식을 풀면 포물선과 x축의 교차점을 찾습니다. 이 점 중 두 개(판별자가 양수임), 하나(판별자가 0임) 또는 없음(판별자가 음수임)이 있을 수 있습니다. 에 대한 세부 정보 이차 함수 당신은 볼 수 있습니다 Inna Feldman의 기사.
예를 고려하십시오.
예 1: 결정 2배 2 +8 엑스–192=0
a=2 b=8 c= -192
디 = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
답: x 1 = 8 x 2 = -12
* 방정식의 좌변과 우변을 즉시 2로 나눌 수 있습니다. 즉, 단순화할 수 있습니다. 계산이 더 쉬울 것입니다.
예 2: 결정하다 x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
우리는 x 1 \u003d 11 및 x 2 \u003d 11을 얻었습니다.
대답에서 x = 11을 쓸 수 있습니다.
답: x = 11
예 3: 결정하다 x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
판별식은 음수이며 실수에는 해가 없습니다.
답변: 해결책이 없습니다
판별자는 음수입니다. 해결책이 있습니다!
여기서는 음의 판별식을 얻은 경우 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 에 대해 아는 것이 있습니까? 복소수? 나는 그들이 왜 그리고 어디에서 발생했는지, 수학에서 그들의 특정한 역할과 필요성이 무엇인지에 대해 여기서 자세히 설명하지 않을 것입니다. 이것은 큰 별도의 기사에 대한 주제입니다.
복소수의 개념입니다.
약간의 이론.
복소수 z는 다음 형식의 숫자입니다.
z = a + 바이
여기서 및 b는 실수이고 i는 소위 허수 단위입니다.
에이+비 는 추가가 아닌 단일 숫자입니다.
허수 단위는 마이너스 1의 루트와 같습니다.
이제 방정식을 고려하십시오.
두 개의 켤레 근을 얻으십시오.
불완전한 이차 방정식.
특별한 경우를 고려하십시오. 이것은 계수 "b" 또는 "c"가 0과 같을 때입니다(또는 둘 다 0과 같을 때). 그들은 판별식 없이 쉽게 풀립니다.
사례 1. 계수 b = 0.
방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
변환해 보겠습니다.
예시:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
사례 2. 계수 c = 0.
방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
변환, 인수분해:
*적어도 하나의 요인이 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다.
예시:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 또는 x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
사례 3. 계수 b = 0 및 c = 0.
여기서 방정식의 해는 항상 x = 0이 될 것이 분명합니다.
유용한 속성 및 계수 패턴.
계수가 큰 방정식을 풀 수 있는 속성이 있습니다.
ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등
ㅏ + 비+ c = 0,그 다음에
— 방정식의 계수의 경우 ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등
ㅏ+ =비, 그 다음에
이러한 속성은 특정 종류의 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다.
예 1: 5001 엑스 2 –4995 엑스 – 6=0
계수의 합은 5001+( – 4995)+(– 6) = 0이므로
예 2: 2501 엑스 2 +2507 엑스+6=0
평등 ㅏ+ =비, 수단
계수의 규칙성.
1. 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.
도끼 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
예시. 방정식 6x 2 +37x+6 = 0을 고려하십시오.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. 방정식 ax 2 - bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.
도끼 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
예시. 방정식 15x 2 –226x +15 = 0을 고려하십시오.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. 방정식에서 ax 2 + bx - c = 0 계수 "b" 같음(a 2 – 1) 및 계수 "c" 계수 "a"와 수치적으로 동일, 그 뿌리는 같다
도끼 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
예시. 방정식 17x 2 + 288x - 17 = 0을 고려하십시오.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. 방정식 ax 2 - bx - c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 - 1)이고 계수 c가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.
도끼 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
예시. 방정식 10x2 - 99x -10 = 0을 고려하십시오.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
비에타의 정리.
Vieta의 정리는 유명한 프랑스 수학자 Francois Vieta의 이름을 따서 명명되었습니다. Vieta의 정리를 사용하여 임의의 KU의 근의 합과 곱을 계수로 표현할 수 있습니다.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
요약하면, 숫자 14는 5와 9만 제공합니다. 이것이 근입니다. 제시된 정리를 사용하여 특정 기술을 사용하면 많은 이차 방정식을 즉시 구두로 풀 수 있습니다.
게다가 Vieta의 정리. 2차 방정식을 풀고 난 후에 편리하기 때문에 일반적인 방법으로(식별자를 통해) 구한 근을 확인할 수 있습니다. 항상 이 작업을 수행하는 것이 좋습니다.
전송 방법
이 방법을 사용하면 계수 "a"에 마치 "전송된" 것처럼 자유 항이 곱해집니다. 전송 방법.이 방법은 비에타의 정리를 이용하여 방정식의 근을 찾기 쉬울 때, 그리고 가장 중요한 것은 판별식이 정확한 제곱일 때 사용됩니다.
만약 ㅏ± b+c≠ 0이면 전송 기술이 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
2엑스 2 – 11엑스+ 5 = 0 (1) => 엑스 2 – 11엑스+ 10 = 0 (2)
방정식 (2)의 Vieta 정리에 따르면 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
구한 방정식의 근은 2로 나누어야 합니다(두 개는 x 2에서 "던졌기 때문에"), 우리는 다음을 얻습니다.
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.
근거는 무엇입니까? 무슨 일이 일어나고 있는지보십시오.
식 (1)과 (2)의 판별식은 다음과 같습니다.
방정식의 근을 보면 다른 분모만 얻어지며 결과는 x 2의 계수에 정확하게 의존합니다.
두 번째(수정된) 루트는 2배 더 큽니다.
따라서 결과를 2로 나눕니다.
*3 종류를 굴리면 결과를 3으로 나누는 식입니다.
답: x 1 = 5 x 2 = 0.5
평방 ur-ie와 시험.
나는 그것의 중요성에 대해 간략하게 말할 것입니다 - 당신은 생각 없이 신속하게 결정할 수 있어야 하며, 당신은 근의 공식과 판별자의 마음을 알아야 할 필요가 있습니다. USE 작업의 일부인 많은 작업은 이차 방정식(기하학 포함)을 푸는 것입니다.
주목할 가치가있는 것은 무엇입니까!
1. 방정식의 형식은 "암시적"일 수 있습니다. 예를 들어 다음 항목이 가능합니다.
15+ 9x 2 - 45x = 0 또는 15x+42+9x 2 - 45x=0 또는 15 -5x+10x 2 = 0
(해결할 때 혼동되지 않도록) 표준 형식으로 가져와야 합니다.
2. x는 알 수 없는 값이며 t, q, p, h 등의 다른 문자로 표시될 수 있음을 기억하십시오.
완전한 2차 방정식을 불완전한 방정식으로 변환하면 다음과 같습니다(\(b=0\)의 경우).
\(c=0\) 또는 두 계수가 모두 0인 경우 모든 것이 유사합니다.
\(a\)는 0이 아니며 0과 같을 수 없습니다. 이 경우 다음과 같이 변하기 때문입니다.
우선 불완전한 이차방정식은 여전히 존재하므로 일반적인 이차방정식(통과)과 같은 방식으로 풀 수 있음을 이해해야 합니다. 이를 위해 계수가 0인 방정식의 누락된 구성요소를 추가하기만 하면 됩니다.
예시
: 방정식 \(3x^2-27=0\)의 근을 구합니다.
해결책
:
|
계수가 \(b=0\)인 불완전한 이차 방정식이 있습니다. 즉, 다음과 같은 형식으로 방정식을 쓸 수 있습니다. |
||
|
\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
사실 여기에는 처음과 같은 방정식이 있지만 이제는 일반 제곱으로 풀 수 있습니다. 먼저 계수를 기록합니다. |
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|
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
공식 \(D=b^2-4ac\)를 사용하여 판별식을 계산합니다. |
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|
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
공식을 사용하여 방정식의 근을 구해 봅시다. |
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|
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\) |
|
답을 적어라 |
대답 : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
예시
: 방정식 \(-x^2+x=0\)의 근을 찾습니다.
해결책
:
|
다시 말하지만, 불완전한 이차 방정식이지만 이제 계수 \(c\)는 0과 같습니다. 우리는 방정식을 완전한 것으로 씁니다. |
||
Kopyevskaya 시골 중등 학교
해결하는 10가지 방법 이차 방정식
머리: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
수학 선생님
s. 코피에보, 2007
1. 이차방정식의 발전사
1.1 고대 바빌론의 이차 방정식
1.2 Diophantus가 이차 방정식을 컴파일하고 해결하는 방법
1.3 인도의 이차 방정식
1.4 알-콰리즈미의 이차 방정식
1.5 유럽 XIII - XVII 세기의 이차 방정식
1.6 Vieta의 정리 정보
2. 이차 방정식을 푸는 방법
결론
문학
1. 이차 방정식 개발의 역사
1.1 고대 바빌론의 이차 방정식
고대에 1차 방정식뿐만 아니라 2차 방정식도 풀어야 하는 필요성은 천문 및 토목의 발달뿐만 아니라 군사적 성질의 토지와 토공의 영역을 찾는 것과 관련된 문제를 해결해야 하는 필요성에서 비롯되었다. 수학 그 자체. 이차 방정식은 기원전 2000년경에 풀 수 있었습니다. 이자형. 바빌로니아인.
현대를 적용하다 대수 표기법, 우리는 그들의 설형 문자 텍스트에 불완전한 것 외에도 예를 들어 완전한 이차 방정식이 있다고 말할 수 있습니다.
엑스 2 + 엑스 = ¾; 엑스 2 - 엑스 = 14,5
바빌로니아 문헌에 나와 있는 이 방정식을 푸는 규칙은 본질적으로 현대와 일치하지만 바빌론 사람들이 어떻게 이 규칙을 갖게 되었는지는 알려져 있지 않습니다. 지금까지 발견된 거의 모든 설형 문자 텍스트는 어떻게 발견되었는지에 대한 표시 없이 조리법의 형태로 언급된 솔루션에 대한 문제만 제공합니다.
에도 불구하고 높은 레벨바빌론에서 대수학의 발전, 설형 문자 텍스트에는 음수 개념이 없으며 이차 방정식을 푸는 일반적인 방법이 없습니다.
1.2 Diophantus가 이차 방정식을 컴파일하고 해결한 방법.
Diophantus의 산술은 대수학의 체계적인 설명을 포함하지 않지만 설명과 함께 다양한 정도의 방정식을 작성하여 해결하는 체계적인 일련의 문제를 포함합니다.
방정식을 컴파일할 때 Diophantus는 미지수를 능숙하게 선택하여 솔루션을 단순화합니다.
예를 들어 여기에 그의 작업 중 하나가 있습니다.
작업 11."합이 20이고 곱이 96이라는 것을 알고 두 숫자를 찾으십시오."
Diophantus는 다음과 같이 주장합니다. 문제의 조건에서 원하는 숫자가 동일하지 않으면 제품이 96이 아니라 100이 되기 때문에 동일하지 않습니다. 따라서 그 중 하나는 해당 숫자의 절반 이상이 될 것입니다. 합계, 즉 . 10+x, 다른 하나는 더 작습니다. 10대. 그들 사이의 차이점 2배 .
따라서 방정식:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
여기에서 x = 2. 원하는 숫자 중 하나는 12 , 다른 8 . 해결책 x = -2그리스 수학은 양수만 알았기 때문에 디오판투스는 존재하지 않습니다.
원하는 숫자 중 하나를 미지수로 선택하여 이 문제를 해결하면 방정식의 해가 나옵니다.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Diophantus가 원하는 숫자의 반차를 미지수로 선택하여 솔루션을 단순화한다는 것은 분명합니다. 그는 불완전한 이차 방정식 (1)을 푸는 문제를 줄이는 데 성공했습니다.
1.3 인도의 이차 방정식
이차 방정식의 문제는 인도의 수학자이자 천문학자인 Aryabhatta가 499년에 편찬한 천문학 책 "Aryabhattam"에서 이미 발견되었습니다. 또 다른 인도 학자인 브라마굽타(7세기)는 다음과 같이 설명했습니다. 일반 규칙단일 정준 형식으로 축소된 이차 방정식의 해:
아 2+ 비 x = c, a > 0. (1)
식 (1)에서 다음을 제외한 계수는 ㅏ, 음수도 될 수 있습니다. Brahmagupta의 규칙은 본질적으로 우리와 일치합니다.
에 고대 인도공개 경쟁은 문제 해결에 일반적이었습니다. 어려운 작업. 고대 인도 서적 중 하나에서 그러한 경쟁에 대해 다음과 같이 말합니다. 과학자 남자대수 문제를 제안하고 해결하는 공개 회의에서 다른 사람의 영광을 가리십시오. 작업은 종종 시적 형태로 옷을 입었습니다.
다음은 XII 세기의 유명한 인도 수학자의 문제 중 하나입니다. 바스카라.
작업 13.
“활발한 원숭이 떼와 덩굴에 12마리…
힘을 먹고 즐겼다. 그들은 매달리기 시작했습니다 ...
광장에 있는 8부 원숭이가 몇 마리 있었는지,
초원에서 재미. 이 무리에서 말합니까?
Bhaskara의 솔루션은 그가 2차 방정식의 근의 2값에 대해 알고 있음을 나타냅니다(그림 3).
문제 13에 해당하는 방정식은 다음과 같습니다.
( 엑스 /8) 2 + 12 = 엑스
Bhaskara는 다음과 같이 가장하여 씁니다.
x 2 - 64x = -768
그리고, 이 방정식의 좌변을 정사각형으로 완성하기 위해 그는 양변에 더합니다. 32 2 , 다음을 얻습니다.
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 알-코레즈미의 이차 방정식
Al-Khorezmi의 대수학 논문은 선형 및 이차 방정식의 분류를 제공합니다. 저자는 6가지 유형의 방정식을 나열하여 다음과 같이 표현합니다.
1) "제곱은 근과 같습니다", 즉 도끼 2 + c = 비 엑스.
2) "제곱은 숫자와 같습니다", 즉 도끼 2 = s.
3) "근은 숫자와 같습니다", 즉 아 = ㅅ.
4) "제곱과 숫자는 근과 같습니다", 즉. 도끼 2 + c = 비 엑스.
5) "제곱과 근은 숫자와 같습니다", 즉 아 2+ bx = s.
6) "근과 숫자는 제곱과 같습니다", 즉 bx + c \u003d 도끼 2.
음수 사용을 피한 al-Khwarizmi의 경우 이러한 각 방정식의 항은 뺄셈이 아니라 덧셈입니다. 이 경우 방정식은 분명히 고려되지 않습니다. 긍정적인 결정. 저자는 al-jabr 및 al-muqabala의 방법을 사용하여 이러한 방정식을 푸는 방법을 설명합니다. 물론 그의 결정은 우리의 결정과 완전히 일치하지 않습니다. 그것이 순전히 수사학적이라는 사실은 말할 것도 없고, 예를 들어 첫 번째 유형의 불완전한 이차 방정식을 풀 때
al-Khorezmi는 17세기 이전의 모든 수학자와 마찬가지로 0의 해를 고려하지 않았습니다. 아마도 특정 실제 문제에서는 중요하지 않기 때문일 것입니다. 완전한 2차 방정식을 풀 때 al-Khorezmi는 풀이에 대한 규칙을 설정한 다음 특정 수치 예를 사용하여 기하학적 증명을 설정합니다.
작업 14.“제곱과 숫자 21은 10근과 같습니다. 뿌리를 찾아라" (방정식 x 2 + 21 = 10x의 근이라고 가정).
저자의 솔루션은 다음과 같습니다. 근의 수를 반으로 나누면 5가 되고, 5를 곱하고, 곱에서 21을 빼고, 4가 남습니다. 4의 근을 취하면 2가 됩니다. 5에서 2를 빼면 3을 얻으면 이것이 원하는 루트가 될 것입니다. 또는 2에 5를 더하면 7이 됩니다. 이 역시 근입니다.
Treatise al - Khorezmi는 이차 방정식의 분류가 체계적으로 명시되고 해에 대한 공식이 제공되는 첫 번째 책입니다.
1.5 유럽의 이차 방정식 XIII - 17 수세기
유럽의 al - Khorezmi 모델에서 이차 방정식을 푸는 공식은 이탈리아 수학자 Leonardo Fibonacci가 1202년에 쓴 "주판의 책"에 처음으로 설명되었습니다. 이슬람과 이슬람 국가 모두에서 수학의 영향을 반영하는 이 방대한 저작 고대 그리스, 프레젠테이션의 완전성과 명확성이 모두 다릅니다. 저자는 독자적으로 몇 가지 새로운 대수적 예음수 도입에 접근한 유럽 최초의 사례입니다. 그의 책은 이탈리아뿐만 아니라 독일, 프랑스 및 기타 유럽 국가에서 대수 지식의 확산에 기여했습니다. "주판의 책"의 많은 작업이 16-17세기의 거의 모든 유럽 교과서에 적용되었습니다. 부분적으로 XVIII.
단일 정준 형식으로 축소된 이차 방정식을 푸는 일반적인 규칙:
x 2+ bx = 와,
계수 부호의 모든 가능한 조합에 대해 비 , 와 함께 M. Stiefel에 의해 1544년에 유럽에서만 공식화되었습니다.
Vieta는 이차 방정식을 푸는 공식의 일반적인 파생물을 가지고 있지만 Vieta는 양의 근만 인식했습니다. 이탈리아 수학자 Tartaglia, Cardano, Bombelli는 16세기 최초의 수학자 중 한 명입니다. 긍정적이고 부정적인 뿌리 외에도 고려하십시오. XVII 세기에만. Girard, Descartes, Newton 등의 작업 덕분에 과학자들의 길이차 방정식을 푸는 것은 현대적인 형태를 취합니다.
1.6 Vieta의 정리 정보
Vieta라는 이름을 가진 이차 방정식의 계수와 그 근 사이의 관계를 나타내는 정리는 1591년에 그가 다음과 같이 처음으로 공식화했습니다. 비 + 디곱한 ㅏ - ㅏ 2 , 같음 BD, 그 다음에 ㅏ같음 에그리고 평등하다 디 ».
Vieta를 이해하려면 다음을 기억해야 합니다. 하지만, 다른 모음과 마찬가지로 그에게 알려지지 않은(우리의 엑스), 모음 에, 디- 미지의 계수. 현대 대수학의 언어에서 위의 Vieta 공식은 다음을 의미합니다.
(+ 비 )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + 비 )x + 에이 비 = 0,
x 1 = 에이, x 2 = 비 .
비엣은 방정식의 근과 계수의 관계를 기호를 사용하여 작성된 일반 공식으로 표현하여 방정식을 푸는 방법에 균일성을 확립했습니다. 그러나 비에타의 상징성은 아직 멀었다. 현대적인 모습. 그는 음수를 인식하지 못했기 때문에 방정식을 풀 때 모든 근이 양수인 경우만 고려했습니다.
2. 이차 방정식을 푸는 방법
이차 방정식은 장엄한 대수학의 기초가 됩니다. 이차 방정식은 삼각, 지수, 로그, 비합리 및 초월 방정식과 부등식을 푸는 데 널리 사용됩니다. 우리 모두는 학교(8학년)부터 졸업할 때까지 이차 방정식을 푸는 방법을 알고 있습니다.
