기하학을 공부할 때 벡터에 대한 많은 질문이 발생합니다. 학생은 벡터 사이의 각도를 찾아야 할 때 특별한 어려움을 겪습니다.
벡터 사이의 각도를 고려하기 전에 벡터의 정의와 벡터 사이의 각도의 개념에 익숙해질 필요가 있습니다.
벡터는 방향이 있는 세그먼트, 즉 시작과 끝이 정의된 세그먼트입니다.
공통 원점을 갖는 평면에서 두 벡터 사이의 각도는 벡터 중 하나를 주위로 이동하는 데 필요한 각도 중 작은 각도입니다. 공통점, 방향이 일치할 때까지.
벡터가 무엇이고 그 각도가 어떻게 결정되는지 이해하면 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있습니다. 이에 대한 솔루션 공식은 매우 간단하며 적용 결과는 각도의 코사인 값이 됩니다. 정의에 따르면 벡터의 스칼라 곱과 길이의 곱의 몫과 같습니다.
벡터의 스칼라 곱은 서로 곱한 승수 벡터의 해당 좌표의 합으로 간주됩니다. 벡터의 길이 또는 모듈러스는 좌표 제곱합의 제곱근으로 계산됩니다.
각도의 코사인 값을 받으면 계산기를 사용하거나 삼각법 테이블을 사용하여 각도 자체의 값을 계산할 수 있습니다.
벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 알고 나면 해당 문제에 대한 솔루션이 간단하고 간단해집니다. 예를 들어, 각도의 크기를 찾는 간단한 문제를 고려하십시오.
우선, 벡터의 길이 값과 해결에 필요한 스칼라 곱을 계산하는 것이 더 편리할 것입니다. 위의 설명을 사용하여 다음을 얻습니다.
얻은 값을 공식에 대입하면 원하는 각도의 코사인 값을 계산합니다.
이 숫자는 5가지 일반적인 코사인 값 중 하나가 아니므로 각도 값을 얻으려면 계산기나 Bradis 삼각법 테이블을 사용해야 합니다. 그러나 벡터 사이의 각도를 얻기 전에 공식을 단순화하여 추가 음수 기호를 제거할 수 있습니다.
정확도를 유지하기 위해 최종 답을 이 형식으로 남겨두거나 각도 값을 도 단위로 계산할 수 있습니다. Bradis 테이블에 따르면 그 값은 약 116도 70분이 될 것이며 계산기는 116.57도의 값을 표시할 것입니다.
3차원 공간에서 두 벡터를 고려할 때 같은 평면에 있지 않은 경우 우리가 말하는 각도를 이해하는 것이 훨씬 더 어렵습니다. 인식을 단순화하기 위해 그 사이에 가장 작은 각도를 형성하는 두 개의 교차 세그먼트를 그릴 수 있으며 원하는 것이 될 것입니다. 벡터에 세 번째 좌표가 있음에도 불구하고 벡터 간의 각도를 계산하는 프로세스는 변경되지 않습니다. 스칼라 곱과 벡터의 모듈, 몫의 아크코사인을 계산하면 이 문제에 대한 답이 됩니다.
기하학에서 우리는 종종 세 개 이상측정. 그러나 그들에게 답을 찾는 알고리즘은 비슷해 보입니다.
벡터 사이의 각도를 계산하도록 설계된 문제에 대한 답을 작성할 때 일반적인 실수 중 하나는 벡터가 평행하다고, 즉 원하는 각도가 0도 또는 180도로 판명되었다고 작성하는 결정입니다. 이 답변은 올바르지 않습니다.
솔루션의 결과로 각도 값이 0도인 경우 정답은 벡터를 동방향으로 지정하는 것입니다. 즉, 벡터는 동일한 방향을 갖습니다. 180도를 구하는 경우 벡터는 반대 방향의 성질을 갖게 됩니다.
벡터 사이의 각도를 찾으면 위에서 설명한 공동 방향 및 반대 방향 외에도 특수 유형 중 하나를 찾을 수 있습니다.
벡터의 스칼라 곱(이하 합작 투자 텍스트). 친애하는 친구! 수학 시험에는 벡터를 풀기 위한 문제 그룹이 포함됩니다. 우리는 이미 몇 가지 문제를 고려했습니다. "벡터" 카테고리에서 볼 수 있습니다. 일반적으로 벡터 이론은 간단하며 일관되게 연구하는 것이 가장 중요합니다. 벡터를 사용한 계산 및 연산 학교 과정수학은 간단하고 공식은 복잡하지 않습니다. 들여다보다 . 이 기사에서는 벡터의 합작 투자(시험에 포함됨)에 대한 작업을 분석합니다. 이제 이론에 "몰입":
시간 벡터의 좌표를 찾으려면 끝 좌표에서 빼야 합니다.시작의 해당 좌표
그리고 더:
*벡터 길이(모듈러스)는 다음과 같이 정의됩니다.
이 공식을 기억해야 합니다!!!
벡터 사이의 각도를 표시해 보겠습니다.
0에서 180까지 다양할 수 있음이 분명합니다. 0(또는 0에서 Pi까지의 라디안 단위).
스칼라 곱의 부호에 대해 몇 가지 결론을 도출할 수 있습니다. 벡터의 길이는 분명히 양수입니다. 따라서 스칼라 곱의 부호는 벡터 사이의 각도 코사인 값에 따라 달라집니다.
가능한 경우:
1. 벡터 사이의 각도가 예리한 경우(0 0 ~ 90 0) 각도의 코사인 값은 양수입니다.
2. 벡터 사이의 각도가 둔한 경우(90 0 ~ 180 0) 각도의 코사인 값은 음수입니다.
*0도에서, 즉 벡터의 방향이 같을 때 코사인은 1과 같으므로 결과는 양수입니다.
180o에서, 즉 벡터가 반대 방향을 가질 때 코사인은 -1과 같습니다.결과는 부정적일 것입니다.
이제 중요한 포인트!
90o에서, 즉 벡터가 서로 수직일 때 코사인은 0이므로 합작 투자는 0입니다. 이 사실(결과, 결론)은 우리가 이야기하는 많은 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 상대 위치수학에서 열린 작업 은행에 포함된 작업을 포함하여 벡터.
우리는 다음 문장을 공식화합니다. 주어진 벡터가 수직선 위에 있는 경우에만 스칼라 곱이 0입니다.
따라서 SP 벡터의 공식은 다음과 같습니다.
벡터의 좌표 또는 시작점과 끝점의 좌표를 알면 항상 벡터 사이의 각도를 찾을 수 있습니다.
다음 작업을 고려하십시오.
27724 벡터 a 와 b 의 내적을 구합니다.
다음 두 공식 중 하나를 사용하여 벡터의 스칼라 곱을 찾을 수 있습니다.
벡터 사이의 각도는 알 수 없지만 벡터의 좌표를 쉽게 찾은 다음 첫 번째 공식을 사용할 수 있습니다. 두 벡터의 시작이 원점과 일치하기 때문에 이러한 벡터의 좌표는 끝의 좌표와 같습니다.
벡터의 좌표를 찾는 방법은 에 설명되어 있습니다.
우리는 다음을 계산합니다.
답: 40
벡터의 좌표를 찾고 다음 공식을 사용합니다.
벡터의 좌표를 찾으려면 벡터 끝의 좌표에서 시작의 해당 좌표를 빼야합니다.
스칼라 곱을 계산합니다.
답: 40
벡터 a 와 b 사이의 각도를 찾습니다. 당신의 대답을 도 단위로 주십시오.
벡터의 좌표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
벡터 사이의 각도를 찾기 위해 벡터의 스칼라 곱 공식을 사용합니다.
벡터 사이 각도의 코사인:
따라서:
이러한 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.
공식에 대입해 보겠습니다.
벡터 사이의 각도는 45도입니다.
답: 45
우리는 벡터를 계속 다루고 있습니다. 첫 수업에서 인형용 벡터우리는 벡터의 개념, 벡터를 사용한 동작, 벡터 좌표 및 벡터에 대한 가장 간단한 문제를 고려했습니다. 검색 엔진에서 이 페이지를 처음 방문했다면 위의 소개 기사를 읽는 것이 좋습니다. 자료를 동화하려면 내가 사용하는 용어와 표기법을 안내해야 하고 벡터에 대한 기본 지식이 있어야 하기 때문입니다. 그리고 기초적인 문제를 해결할 수 있습니다. 이번 강의는 논리적 연속주제에 대해 설명하고 벡터의 스칼라 곱을 사용하는 일반적인 작업을 자세히 분석합니다. 이것은 매우 중요한 작업입니다.. 예제를 건너 뛰지 마십시오. 유용한 보너스가 있습니다. 연습은 다루는 자료를 통합하고 해석 기하학의 일반적인 문제를 해결하는 데 "손을 잡는 데 도움이 됩니다.
벡터 더하기, 벡터에 숫자 곱하기… 수학자들이 다른 것을 생각해내지 못했다고 생각하는 것은 순진한 일일 것입니다. 이미 고려한 작업 외에도 벡터를 사용하는 다른 작업이 많이 있습니다. 벡터의 내적, 벡터의 외적그리고 벡터의 혼합 곱. 벡터의 스칼라 곱은 학교에서 우리에게 친숙하고 다른 두 제품은 전통적으로 코스와 관련이 있습니다. 고등 수학. 주제는 간단하고 많은 문제를 해결하는 알고리즘은 고정 관념적이고 이해할 수 있습니다. 유일한 것. 상당한 양의 정보가 있으므로 한 번에 모든 것을 마스터하고 해결하려고 하는 것은 바람직하지 않습니다. 이것은 특히 인형에게 해당됩니다. 저를 믿으십시오. 저자는 수학에서 Chikatilo처럼 느끼고 싶지 않습니다. 글쎄요, 물론 수학에서 나온 것도 아닙니다 =) 더 준비된 학생들은 재료를 선택적으로 사용할 수 있습니다. 어떤 의미에서, 누락 된 지식을 "얻으십시오", 당신을 위해 나는 무해한 드라큘라 백작이 될 것입니다 =)
마지막으로 문을 조금 열고 두 벡터가 만나면 어떤 일이 일어나는지 살펴보겠습니다....
처음으로 벡터 사이의 각도. 벡터 사이의 각도가 무엇인지 직관적으로 모든 사람들이 이해하고 있다고 생각하지만 만일을 위해 조금 더. 0이 아닌 자유 벡터와 . 임의의 지점에서 이러한 벡터를 연기하면 많은 사람들이 이미 정신적으로 제시한 그림을 얻을 수 있습니다. 
고백합니다. 여기서는 이해 수준에서만 상황을 설명했습니다. 벡터 사이의 각도에 대한 엄밀한 정의가 필요한 경우 교과서를 참조하지만, 실제 작업의 경우 원칙적으로 필요하지 않습니다. 또한 여기에서 더 나아가, 나는 때때로 0 벡터의 실제 중요성이 낮기 때문에 무시할 것입니다. 나는 다음 진술 중 일부의 이론적 불완전성에 대해 나를 비난할 수 있는 사이트의 고급 방문자를 위해 특별히 예약했습니다.
0에서 180도(0에서 라디안까지)의 값을 가질 수 있습니다. 분석적으로 주어진 사실이중 부등식으로 작성됩니다.
또는 
(라디안 단위). 문헌에서는 각도 아이콘을 생략하고 간단하게 쓰는 경우가 많다.
정의:두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도 코사인을 곱한 값과 같은 NUMBER입니다. 
이것은 꽤 엄격한 정의입니다.
우리는 필수 정보에 중점을 둡니다.
지정:스칼라 곱은 또는 간단히 로 표시됩니다.
작업 결과는 NUMBER입니다.: 벡터에 벡터를 곱하여 숫자를 얻습니다. 실제로 벡터의 길이가 숫자이고 각도의 코사인이 숫자이면 그 곱은 
숫자도 됩니다.
몇 가지 워밍업 예:
실시예 1
해결책:우리는 공식을 사용합니다 
. 에 이 경우:
대답:
코사인 값은 다음에서 찾을 수 있습니다. 삼각 테이블. 인쇄하는 것이 좋습니다. 타워의 거의 모든 섹션에서 필요하며 여러 번 필요합니다.
순전히 수학적 관점에서 스칼라 곱은 무차원입니다. 즉, 이 경우 결과는 숫자일 뿐입니다. 물리학 문제의 관점에서 스칼라 곱은 항상 특정 물리적 의미, 즉 결과 뒤에 하나 또는 다른 물리적 단위가 표시되어야 합니다. 힘의 일을 계산하는 표준 예는 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다(공식은 정확히 내적입니다). 힘의 일은 줄 단위로 측정되므로 예를 들어 대답은 매우 구체적으로 작성됩니다.
실시예 2
다음 경우 찾기 
이고 벡터 사이의 각도는 입니다.
이것은 자기 결정의 한 예이며, 답은 공과 끝에 있습니다.
실시예 1에서는 스칼라 곱이 양수로 나타났고, 실시예 2에서는 음수로 판명되었다. 스칼라 곱의 부호가 무엇에 의존하는지 알아보자. 공식을 살펴보겠습니다. 
. 0이 아닌 벡터의 길이는 항상 양수이므로 부호는 코사인 값에만 의존할 수 있습니다.
메모: 아래 정보를 더 잘 이해하려면 설명서의 코사인 그래프를 공부하는 것이 좋습니다. 그래프 및 함수 속성. 세그먼트에서 코사인이 어떻게 작동하는지 확인하십시오.
이미 언급했듯이 벡터 사이의 각도는 
, 다음과 같은 경우가 가능합니다.
1) 만약 모서리벡터 사이 매운: 
(0도에서 90도까지) 그런 다음 
, 그리고 내적은 긍정적일 것이다 공동 감독, 그 사이의 각도는 0으로 간주되고 스칼라 곱도 양수입니다. , 이후 공식은 단순화됩니다. .
2) 만약 모서리벡터 사이 멍청한: 
(90도에서 180도까지) 그런 다음 
, 그리고 그에 따라, 내적은 음수: . 특별한 경우: 벡터인 경우 반대 방향으로, 그런 다음 그들 사이의 각도가 고려됩니다. 배치: (180도). 스칼라 곱도 음수입니다.
반대의 진술도 사실입니다:
1) 이면 이 벡터 사이의 각도는 예각입니다. 또는 벡터는 동방향입니다.
2) 이면 이 벡터 사이의 각도는 둔각입니다. 또는 벡터가 반대 방향으로 향합니다.
그러나 세 번째 경우가 특히 중요합니다.
3) 만약 모서리벡터 사이 똑바로: (90도) 그리고 내적은 0이다: . 그 반대도 마찬가지입니다. if , then . 컴팩트 문은 다음과 같이 공식화됩니다. 두 벡터의 스칼라 곱은 주어진 벡터가 직교하는 경우에만 0입니다.. 짧은 수학 표기법: 
! 메모
: 반복하다 수학적 논리의 기초: 양면 논리적 결과 아이콘은 일반적으로 "만일 ~이면", "만일 ~이면"으로 읽습니다. 보시다시피 화살표는 양방향으로 지시됩니다. "이것에서 다음이 따르고 그 반대도 마찬가지입니다." 그건 그렇고, 단방향 팔로우 아이콘과의 차이점은 무엇입니까? 아이콘 주장 만"이것에서 이것을 따른다"는 것이지 그 반대가 사실이라는 사실이 아닙니다. 예: , 그러나 모든 동물이 팬더는 아니므로 이 경우 아이콘을 사용할 수 없습니다. 동시에 아이콘 대신 ~할 수 있다단면 아이콘을 사용합니다. 예를 들어, 문제를 해결하는 동안 벡터가 직교한다는 결론을 내렸습니다. 
- 그러한 기록은 정확할 것이며, 그 기록보다 훨씬 더 적절할 것입니다. 
.
세 번째 경우는 큰 실용적인 의미 , 벡터가 직교인지 여부를 확인할 수 있기 때문입니다. 수업의 두 번째 섹션에서 이 문제를 해결할 것입니다.
벡터가 두 개일 때의 상황으로 돌아가자. 공동 감독. 이 경우, 그들 사이의 각도는 0이고 스칼라 곱 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
벡터에 자신을 곱하면 어떻게 될까요? 벡터가 그 자체로 공동 지향된다는 것이 분명하므로 위의 단순화된 공식을 사용합니다.
번호가 호출됩니다 스칼라 제곱벡터 및 로 표시됩니다.
이런 식으로, 벡터 스칼라 제곱 제곱과 같다주어진 벡터의 길이:
이 평등에서 벡터의 길이를 계산하는 공식을 얻을 수 있습니다.
모호해 보이지만 수업의 과제는 모든 것을 제자리에 둘 것입니다. 문제를 해결하려면 또한 필요합니다. 내적 속성.
임의의 벡터 및 임의의 숫자에 대해 다음 속성이 true입니다.
1) - 변위 가능 또는 가환성스칼라 곱 법칙.
2) 
- 배포 또는 분배스칼라 곱 법칙. 간단히 말해서 괄호를 열 수 있습니다.
3) 
- 조합 또는 연관스칼라 곱 법칙. 상수는 스칼라 곱에서 꺼낼 수 있습니다.
종종 모든 종류의 속성(그것도 증명해야 함!)은 학생들에게 불필요한 쓰레기로 인식되며, 시험 직후 암기하고 안전하게 잊어버리면 됩니다. 여기서 중요한 것은 제품이 요소의 순열에서 변경되지 않는다는 것을 1 학년부터 모든 사람이 이미 알고있는 것 같습니다. 나는 당신에게 경고해야합니다. 그러한 접근 방식을 사용하는 고등 수학에서는 일을 엉망으로 만들기 쉽습니다. 따라서 예를 들어 가환 속성은 유효하지 않습니다. 대수 행렬. 그것은 사실이 아닙니다 벡터의 외적. 그러므로 무엇을 할 수 있고 무엇을 할 수 없는지 이해하기 위해서는 고등 수학 과정에서 만나게 될 속성을 탐구하는 것이 좋습니다.
실시예 3
.
해결책:먼저 벡터로 상황을 명확히 합시다. 그게 다 뭐야? 벡터의 합은 로 표시되는 잘 정의된 벡터입니다. 벡터를 사용한 동작의 기하학적 해석은 기사에서 찾을 수 있습니다. 인형용 벡터. 벡터가 있는 동일한 파슬리는 벡터와 의 합입니다.
따라서 조건에 따라 스칼라 곱을 찾아야 합니다. 이론적으로 작업 공식을 적용해야 합니다. 
그러나 문제는 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도를 모른다는 것입니다. 그러나 조건에서 벡터에 대해 유사한 매개변수가 제공되므로 다른 방향으로 이동합니다.
(1) 벡터의 표현을 대체합니다.
(2) 다항식의 곱셈 규칙에 따라 괄호를 열면 기사에서 저속한 혀 트위스터를 찾을 수 있습니다. 복소수또는 분수-합리적 함수의 적분. 반복하지 않겠습니다 =) 그런데 스칼라 곱의 분배 속성으로 인해 브래킷을 열 수 있습니다. 우리는 권리가 있습니다.
(3) 첫 번째 항과 마지막 항에서 벡터의 스칼라 제곱을 간결하게 씁니다. 
. 두 번째 항에서는 스칼라 곱의 가환성을 사용합니다.
(4) 다음은 유사한 용어입니다.
(5) 첫 번째 항에서는 얼마 전에 언급한 스칼라 제곱 공식을 사용합니다. 마지막 기간에는 각각 동일한 작업이 수행됩니다. . 두 번째 항은 표준 공식에 따라 확장됩니다. 
.
(6) 이 조건을 대체 
, 그리고 신중하게 최종 계산을 수행하십시오.
대답:
내적의 음수 값은 벡터 사이의 각도가 둔각이라는 사실을 나타냅니다.
작업은 일반적이며 다음은 독립 솔루션의 예입니다.
실시예 4
벡터의 스칼라 곱을 구하고 , 다음이 알려진 경우 
.
이제 새로운 벡터 길이 공식에 대한 또 다른 일반적인 작업입니다. 여기의 지정은 약간 겹치므로 명확성을 위해 다른 문자로 다시 작성하겠습니다.
실시예 5
다음과 같은 경우 벡터의 길이를 구하십시오. 
.
해결책다음과 같을 것입니다:
(1) 벡터 표현을 제공합니다.
(2) 길이 공식을 사용합니다. , 정수 표현식을 벡터 "ve"로 사용합니다.
(3) 합계의 제곱에 학교 공식을 사용합니다. 여기에서 흥미롭게 작동하는 방식에 주목하십시오. - 사실, 이것은 차이의 제곱이며, 실제로 그렇습니다. 원하는 사람은 벡터를 다음 위치에서 재배열할 수 있습니다. - 항을 재배열할 때도 마찬가지였습니다.
(4) 다음은 앞의 두 가지 문제에서 이미 잘 알고 있습니다.
대답: 
우리는 길이에 대해 이야기하고 있기 때문에 "단위"라는 치수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.
실시예 6
다음과 같은 경우 벡터의 길이를 구하십시오. 
.
이것은 직접 만든 예입니다. 수업이 끝날 때 완전한 솔루션과 답변.
우리는 스칼라 곱에서 유용한 것들을 계속 짜냅니다. 공식을 다시 보자 
. 비례 법칙에 따라 벡터의 길이를 왼쪽의 분모로 재설정합니다. 
부품을 교환해 보겠습니다. 
이 공식의 의미는 무엇입니까? 두 벡터의 길이와 그 스칼라 곱을 알고 있으면 이러한 벡터 사이의 각도 코사인을 계산할 수 있고 결과적으로 각도 자체도 계산할 수 있습니다.
스칼라 곱은 숫자입니까? 숫자. 벡터 길이는 숫자입니까? 번호. 따라서 분수도 숫자입니다. 각도의 코사인을 알고 있는 경우: 
, 다음 사용 역함수모서리 자체를 쉽게 찾을 수 있습니다. 
.
실시예 7
벡터와 사이의 각도를 찾으십시오.
해결책:우리는 공식을 사용합니다:
계산의 마지막 단계에서 분모의 비합리성을 제거하는 기술이 사용되었습니다. 불합리함을 없애기 위해 분자와 분모에 를 곱했습니다.
그래서 만약 
, 그 다음에: 
역 값 삼각 함수에 의해 찾을 수 있습니다 삼각 테이블. 이것은 드물게 발생하지만. 해석기하학의 문제에서는 어떤 서투른 곰과 같은 것이 훨씬 더 자주 나타나며, 각도의 값은 대략 계산기를 사용하여 구해야 합니다. 사실, 우리는 이 그림을 계속해서 보게 될 것입니다.
대답: 
다시 말하지만, 치수(라디안 및 도)를 지정하는 것을 잊지 마십시오. 개인적으로, 의도적으로 "모든 질문을 제거"하기 위해 둘 다 표시하는 것을 선호합니다(물론 조건에 따라 답을 라디안 또는 도로만 표시해야 하는 경우는 제외).
이제 더 어려운 작업에 스스로 대처할 수 있습니다.
실시예 7*
주어진 벡터의 길이와 그들 사이의 각도입니다. 벡터 사이의 각도 , .
작업은 다중 방법만큼 어렵지 않습니다.
솔루션 알고리즘을 분석해 보겠습니다.
1) 조건에 따라 벡터와 , 사이의 각도를 구해야 하므로 다음 공식을 사용해야 합니다. 
.
2) 스칼라 곱을 찾습니다(예제 3, 4 참조).
3) 벡터의 길이와 벡터의 길이를 구한다(예제 5, 6 참조).
4) 솔루션의 끝은 예제 번호 7과 일치합니다. 숫자를 알고 있습니다. 즉, 각도 자체를 쉽게 찾을 수 있습니다. 
수업이 끝날 때 짧은 솔루션과 답변.
강의의 두 번째 섹션에서는 동일한 내적에 대해 설명합니다. 좌표. 첫 번째 부분보다 훨씬 쉬울 것입니다.
대답:
말할 필요도 없이, 좌표를 다루는 것이 훨씬 더 즐겁습니다.
실시예 14
벡터의 스칼라 곱을 찾고
이것은 직접 만든 예입니다. 여기에서 연산의 연관성을 사용할 수 있습니다. 즉, 계산하지 않고 즉시 스칼라 곱에서 트리플을 꺼내서 마지막으로 곱합니다. 수업이 끝날 때 솔루션과 답변.
단락 끝에서 벡터의 길이를 계산하는 도발적인 예:
실시예 15
벡터의 길이 찾기 
, 만약에
해결책:다시 이전 섹션의 방법이 제안됩니다. 그러나 다른 방법이 있습니다.
벡터를 찾자:
그리고 사소한 공식에 따른 길이 
:
스칼라 곱은 여기서 전혀 관련이 없습니다!
벡터의 길이를 계산할 때 얼마나 무의미한 일입니까?
중지. 벡터의 명백한 길이 속성을 활용하지 않는 이유는 무엇입니까? 벡터의 길이에 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 이 벡터는 벡터보다 5배 더 깁니다. 방향은 반대이지만 길이에 대해 이야기하고 있기 때문에 중요하지 않습니다. 분명히 벡터의 길이는 곱과 같습니다. 기준 치수벡터 길이당 숫자:
- 모듈의 부호는 숫자의 가능한 빼기를 "먹습니다".
이런 식으로:
대답:
이제 우리는 전체 정보, 그래서 벡터 사이 각도의 코사인에 대한 이전에 파생된 공식 
벡터 좌표로 표현:
평면 벡터 사이 각도의 코사인, 그리고 , 공식으로 표현된다:
.
공간 벡터 사이 각도의 코사인, , 공식으로 표현된다: 
실시예 16
삼각형의 꼭짓점 3개가 주어집니다. (정점 각도)를 찾습니다.
해결책:조건에 따라 도면은 필요하지 않지만 여전히: 
필요한 각도는 녹색 호로 표시됩니다. 각도의 학교 지정을 즉시 기억하십시오. - 특별한 주의에 가운데문자 - 이것은 우리가 필요한 각도의 정점입니다. 간결함을 위해 간단하게 작성할 수도 있습니다.
그림에서 삼각형의 각도가 벡터와 , 즉 다음과 같은 각도와 일치한다는 것이 분명합니다. 
.
정신적으로 수행되는 분석을 수행하는 방법을 배우는 것이 바람직합니다.
벡터를 찾자: 
스칼라 곱을 계산해 보겠습니다.
그리고 벡터의 길이: 
각도의 코사인:
제가 인형들에게 추천하는 것은 이 작업 순서입니다. 고급 독자는 "한 줄에" 계산을 작성할 수 있습니다. 
다음은 "나쁜" 코사인 값의 예입니다. 결과 값은 최종 값이 아니므로 분모의 불합리성을 제거하는 데 큰 의미가 없습니다.
각도를 구해봅시다.
도면을 보면 결과가 상당히 그럴듯합니다. 각도를 확인하려면 각도기로도 측정할 수 있습니다. 모니터 코팅을 손상시키지 마십시오 =)
대답: 
대답에서, 그것을 잊지 마세요 삼각형의 각도에 대해 물었다(벡터 사이의 각도가 아니라) 정확한 답과 각도의 대략적인 값을 표시하는 것을 잊지 마십시오. 
계산기로 찾았습니다.
이 과정을 즐겼던 사람들은 각도를 계산하고 표준 평등이 참인지 확인할 수 있습니다.
실시예 17
삼각형은 꼭짓점의 좌표에 의해 공간에서 주어집니다. 측면과 측면 사이의 각도를 찾으십시오.
이것은 직접 만든 예입니다. 수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변
작은 마지막 섹션은 스칼라 곱도 "관련"되는 투영에 할애됩니다.
벡터 및 다음을 고려하십시오. 
벡터를 벡터에 투영합니다. 이를 위해 벡터의 시작과 끝에서 생략합니다. 수직선벡터당(녹색 점선). 광선이 벡터에 수직으로 떨어지는 것을 상상해보십시오. 그런 다음 세그먼트(빨간색 선)는 벡터의 "그림자"가 됩니다. 이 경우 벡터에 대한 벡터의 투영은 세그먼트의 LENGTH입니다. 즉, 예측은 숫자입니다.
이 NUMBER는 다음과 같이 표시됩니다. , "큰 벡터"는 벡터를 나타냅니다. 어느프로젝트, "작은 첨자 벡터"는 벡터를 나타냅니다. 온 더예상되는 것입니다.
항목 자체는 "벡터 "be"에 대한 벡터 "a"의 투영"과 같이 읽습니다.
벡터 "be"가 "너무 짧으면" 어떻게 됩니까? 벡터 "be"를 포함하는 직선을 그립니다. 그리고 벡터 "a"는 이미 투영됩니다. 벡터 "be"의 방향으로, 간단히 - 벡터 "be"를 포함하는 직선에. 벡터 "a"가 30번째 왕국에서 따로 설정되어 있는 경우에도 동일한 일이 발생합니다. 여전히 벡터 "be"를 포함하는 선에 쉽게 투영됩니다.
만약 각도벡터 사이 매운(그림과 같이) 그런 다음
벡터의 경우 직교, 그런 다음(투영은 치수가 0으로 가정되는 점입니다).
만약 각도벡터 사이 멍청한(그림에서 벡터의 화살표를 정신적으로 재정렬) 그런 다음 (길이는 같지만 빼기 기호로 사용).
한 지점에서 다음 벡터를 따로 설정합니다. 
분명히 벡터를 이동할 때 투영은 변경되지 않습니다.
두 벡터 사이의 각도 , :
두 벡터 사이의 각도가 예각이면 내적은 양수입니다. 벡터 사이의 각도가 둔각이면 이러한 벡터의 스칼라 곱은 음수입니다. 0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터가 직교하는 경우에만 0입니다.
운동.벡터 사이의 각도를 구하고
해결책.원하는 각도의 코사인
16. 직선, 직선 및 평면 사이의 각도 계산
선과 평면 사이의 각도이 선과 수직이 아닌 교차하는 선과 이 평면에 대한 투영 사이의 각도입니다.
선과 평면 사이의 각도를 결정하면 선과 평면 사이의 각도가 교차하는 두 선, 즉 선 자체와 평면에 투영되는 각도라는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 선과 평면이 이루는 각은 예각입니다.
수직선과 평면 사이의 각도는 동일한 것으로 간주되며 평행선과 평면 사이의 각도는 전혀 결정되지 않거나 와 같은 것으로 간주됩니다.
§ 69. 직선 사이의 각도 계산.
공간에서 두 직선 사이의 각도를 계산하는 문제는 평면에서와 같은 방식으로 해결됩니다(§ 32). 선 사이의 각도를 φ로 표시 엘 1 및 엘 2 및 ψ - 방향 벡터 사이의 각도 ㅏ 그리고 비 이 직선들.
그렇다면
ψ 90°(그림 206.6), φ = 180° - ψ. 두 경우 모두 cos φ = |cos ψ|가 참이라는 것은 분명합니다. 공식 (1) § 20에 의해 우리는
따라서, 
선이 정규 방정식으로 주어집니다.
그런 다음 선 사이의 각도 φ는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.
선 중 하나(또는 둘 다)가 비정규 방정식으로 제공되는 경우 각도를 계산하려면 이러한 선의 방향 벡터 좌표를 찾은 다음 공식 (1)을 사용해야 합니다.
17. 평행선, 평행선에 대한 정리
정의.평면에 있는 두 개의 선을 이라고 합니다. 평행한공통점이 없다면.
두 개의 직선 3차원 공간~라고 불리는 평행한그들이 같은 평면에 있고 공통점이 없는 경우.
내적의 정의에서:
.
두 벡터의 직교성 조건:
두 벡터에 대한 공선성 조건:
.
정의 5 - 에 따릅니다. 실제로 벡터의 곱을 숫자로 정의하면 다음과 같습니다. 따라서 벡터 평등 규칙에 따라 , , 를 작성합니다. 이는 다음을 의미합니다. 
. 그러나 벡터에 숫자를 곱한 결과 벡터는 벡터와 동일선상에 있습니다.
벡터 대 벡터 투영:
.
실시예 4. 주어진 포인트 , , .
스칼라 곱을 찾으십시오.
해결책. 우리는 좌표에 의해 주어진 벡터의 스칼라 곱의 공식으로 찾습니다. 왜냐하면
, 
,
실시예 5주어진 포인트 , , .
투영을 찾으십시오.
해결책. 왜냐하면
, ,
투영 공식을 기반으로 우리는
.
실시예 6주어진 포인트 , , .
벡터와 . 사이의 각도를 찾습니다.
해결책. 벡터
, ,
좌표가 비례하지 않기 때문에 동일선상에 있지 않습니다.
.
이 벡터들은 내적이 이므로 수직이 아닙니다.
찾자,
모서리 
공식에서 찾기:
.
실시예 7어떤 벡터에 대해 결정하고 
동일선상에 있는
해결책. 공선성의 경우 벡터의 해당 좌표는 
비례해야 합니다. 즉,
.
여기에서 및 .
실시예 8. 벡터의 값을 결정 
그리고 
수직입니다.
해결책. 벡터 
내적이 0이면 수직입니다. 이 조건에서 우리는 다음을 얻습니다. 그건, .
실시예 9. 찾다 
, 만약에 , , .
해결책. 스칼라 곱의 속성으로 인해 다음이 있습니다.
실시예 10. 벡터와 사이의 각도를 찾으십시오. - 단위 벡터와 벡터 사이의 각도는 120o와 같습니다.
해결책. 우리는 다음을 가지고 있습니다: 
, ,
마지막으로 다음이 있습니다. 
.
5 나. 벡터 제품.
정의 21.벡터 아트벡터에서 벡터로의 벡터는 다음 세 가지 조건으로 정의되는 벡터 또는 라고 합니다.
1) 벡터의 모듈은 입니다. 여기서 는 벡터와 , 즉 
.
외적의 계수는 벡터 및 측면에 구축된 평행 사변형의 면적과 수치적으로 동일합니다.
2) 벡터는 각 벡터와 ( ; )에 수직입니다. 벡터 및 .
3) 벡터는 그 끝에서 보았을 때 벡터에서 벡터로의 최단 회전이 시계 반대 방향(벡터 , , 오른쪽 3중을 형성함)이 되는 방식으로 지향됩니다.
기하학을 공부할 때 벡터에 대한 많은 질문이 발생합니다. 학생은 벡터 사이의 각도를 찾아야 할 때 특별한 어려움을 겪습니다.
벡터 사이의 각도를 고려하기 전에 벡터의 정의와 벡터 사이의 각도의 개념에 익숙해질 필요가 있습니다.
벡터는 방향이 있는 세그먼트, 즉 시작과 끝이 정의된 세그먼트입니다.
공통 원점을 갖는 평면에서 두 벡터 사이의 각도는 벡터 중 하나를 공통 점 주위로 방향이 일치하는 위치로 이동하는 데 필요한 각도 중 작은 것입니다.
벡터가 무엇이고 그 각도가 어떻게 결정되는지 이해하면 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있습니다. 이에 대한 솔루션 공식은 매우 간단하며 적용 결과는 각도의 코사인 값이 됩니다. 정의에 따르면 벡터의 스칼라 곱과 길이의 곱의 몫과 같습니다.
벡터의 스칼라 곱은 서로 곱한 승수 벡터의 해당 좌표의 합으로 간주됩니다. 벡터의 길이 또는 계수는 다음과 같이 계산됩니다. 제곱근좌표의 제곱의 합에서.
각도의 코사인 값을 받으면 계산기를 사용하거나 삼각법 테이블을 사용하여 각도 자체의 값을 계산할 수 있습니다.
벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 알고 나면 해당 문제에 대한 솔루션이 간단하고 간단해집니다. 예를 들어, 각도의 크기를 찾는 간단한 문제를 고려하십시오.
우선, 벡터의 길이 값과 해결에 필요한 스칼라 곱을 계산하는 것이 더 편리할 것입니다. 위의 설명을 사용하여 다음을 얻습니다.
얻은 값을 공식에 대입하면 원하는 각도의 코사인 값을 계산합니다.
이 숫자는 5가지 일반적인 코사인 값 중 하나가 아니므로 각도 값을 얻으려면 계산기나 Bradis 삼각법 테이블을 사용해야 합니다. 그러나 벡터 사이의 각도를 얻기 전에 공식을 단순화하여 추가 음수 기호를 제거할 수 있습니다.
정확도를 유지하기 위해 최종 답을 이 형식으로 남겨두거나 각도 값을 도 단위로 계산할 수 있습니다. Bradis 테이블에 따르면 그 값은 약 116도 70분이 될 것이며 계산기는 116.57도의 값을 표시할 것입니다.
3차원 공간에서 두 벡터를 고려할 때 같은 평면에 있지 않은 경우 우리가 말하는 각도를 이해하는 것이 훨씬 더 어렵습니다. 인식을 단순화하기 위해 그 사이에 가장 작은 각도를 형성하는 두 개의 교차 세그먼트를 그릴 수 있으며 원하는 것이 될 것입니다. 벡터에 세 번째 좌표가 있음에도 불구하고 벡터 간의 각도를 계산하는 프로세스는 변경되지 않습니다. 스칼라 곱과 벡터의 모듈, 몫의 아크코사인을 계산하면 이 문제에 대한 답이 됩니다.
기하학에서 문제는 종종 3차원 이상의 공간에서 발생합니다. 그러나 그들에게 답을 찾는 알고리즘은 비슷해 보입니다.
벡터 사이의 각도를 계산하도록 설계된 문제에 대한 답을 작성할 때 일반적인 실수 중 하나는 벡터가 평행하다고, 즉 원하는 각도가 0도 또는 180도로 판명되었다고 작성하는 결정입니다. 이 답변은 올바르지 않습니다.
솔루션의 결과로 각도 값이 0도인 경우 정답은 벡터를 동방향으로 지정하는 것입니다. 즉, 벡터는 동일한 방향을 갖습니다. 180도를 구하는 경우 벡터는 반대 방향의 성질을 갖게 됩니다.
벡터 사이의 각도를 찾으면 위에서 설명한 공동 방향 및 반대 방향 외에도 특수 유형 중 하나를 찾을 수 있습니다.
도와주세요, 제발! 공식은 알지만 알 수가 없다
벡터 a(8, 10, 4) 벡터 b(5, -20, -10)
알렉산더 티토프
좌표에 의해 주어진 벡터 사이의 각도는 표준 알고리즘에 따라 찾습니다. 먼저 벡터 a와 b의 스칼라 곱을 찾아야 합니다. (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. 여기에서 이러한 벡터의 좌표를 대입하고 다음을 고려합니다.
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
다음으로 각 벡터의 길이를 결정합니다. 벡터의 길이 또는 계수는 좌표의 제곱합의 제곱근입니다.
|아| = (x1^2 + y1^2 + z1^2)의 루트 = (8^2 + 10^2 + 4^2)의 루트 = (64 + 100 + 16)의 루트 = 180의 루트 = 6개의 루트 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2)의 제곱근 = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2)의 제곱근 = (25 + 400 + 100의 제곱근 ) = 525의 제곱근 = 21의 5근.
이 길이를 곱합니다. 우리는 105에서 30의 뿌리를 얻습니다.
그리고 마지막으로 벡터의 스칼라 곱을 이 벡터의 길이의 곱으로 나눕니다. 우리는 -200 / (105 중 30 뿌리) 또는
- (105의 4근) / 63. 이것은 벡터 사이의 각도의 코사인입니다. 그리고 각도 자체는 이 숫자의 아크 코사인과 같습니다.
f \u003d arccos (105의 -4 근) / 63.
내가 올바르게 계산했다면.
미하일 트카초프
이러한 벡터를 곱합니다. 그들의 내적은 이러한 벡터의 길이와 그 사이의 각도의 코사인의 곱과 같습니다.
각도는 우리에게 알려지지 않았지만 좌표는 알려져 있습니다.
수학적으로 이렇게 써봅시다.
주어진 벡터 a(x1;y1) 및 b(x2;y2)
그 다음에
A*b=|a|*|b|*cosA
CosA=a*b/|a|*|b|
우리는 논쟁한다.
벡터의 a*b-스칼라 곱은 이러한 벡터 좌표의 해당 좌표 곱의 합과 같습니다. 즉, x1*x2+y1*y2와 같습니다.
|a|*|b|-벡터 길이의 곱은 √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)와 같습니다.
따라서 벡터 사이의 각도의 코사인은 다음과 같습니다.
CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)
각도의 코사인을 알면 사인을 계산할 수 있습니다. 방법에 대해 논의해 보겠습니다.
각도의 코사인이 양수이면 이 각도는 1 또는 4/4에 있으므로 사인은 양수 또는 음수입니다. 그러나 벡터 사이의 각도가 180도 이하이므로 사인은 양수입니다. 코사인이 음수인 경우에도 유사하게 주장합니다.
SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)
그게 다야)))) 행운을 빕니다.)))
드미트리 레비시초프
직접 사인하는 것이 불가능하다는 사실은 사실이 아닙니다.
공식 외에도:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
이것도 있습니다:
||=|a|*|b|*죄 A
즉, 스칼라 곱 대신 벡터 곱의 모듈을 사용할 수 있습니다.
지침
두 개의 0이 아닌 벡터가 평면에 주어지고 한 점에서 플롯됩니다. 좌표(x1, y1)가 있는 벡터 A 좌표(x2, y2)가 있는 B. 모서리그들 사이는 θ로 표시됩니다. 각도 θ의 정도 측정값을 찾으려면 스칼라 곱의 정의를 사용해야 합니다.
0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도 코사인의 곱과 같은 수입니다. 즉, (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). 이제 각도의 코사인을 다음과 같이 표현해야 합니다. cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).
스칼라 곱은 공식 (A,B)=x1*x2+y1*y2를 사용하여 찾을 수도 있습니다. 0이 아닌 두 벡터의 곱은 해당 벡터의 곱의 합과 같기 때문입니다. 0이 아닌 벡터의 스칼라 곱이 0이면 벡터는 수직이며(둘 사이의 각도는 90도) 추가 계산은 생략할 수 있습니다. 두 벡터의 스칼라 곱이 양수이면 두 벡터 사이의 각도 벡터예각이고 음수이면 각도가 둔각입니다.
이제 공식을 사용하여 벡터 A와 B의 길이를 계산하십시오. |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). 벡터의 길이는 좌표의 제곱합의 제곱근으로 계산됩니다.
구한 스칼라 곱 값과 벡터의 길이를 2단계에서 구한 각도 공식에 대입합니다. 즉, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). 이제 의 값을 알면 사이 각도의 정도 측정값을 찾습니다. 벡터 Bradis 테이블을 사용하거나 다음에서 가져와야 합니다. θ=arccos(cos(θ)).
벡터 A와 B가 3차원 공간에서 주어지고 좌표가 각각 (x1, y1, z1) 및 (x2, y2, z2)인 경우 각도의 코사인을 찾을 때 좌표가 하나 더 추가됩니다. 이 경우 코사인: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).
두 벡터가 한 점에서 플로팅되지 않은 경우 평행 평행 이동으로 두 벡터 사이의 각도를 찾으려면 이러한 벡터의 시작 부분을 결합해야 합니다.
두 벡터 사이의 각도는 180도보다 클 수 없습니다.
출처:
물리학 및 선형 대수학에서 응용 및 이론의 많은 문제를 해결하려면 벡터 사이의 각도를 계산해야 합니다. 이 단순해 보이는 작업이 스칼라 곱의 본질과 이 곱의 결과로 나타나는 가치를 명확하게 이해하지 못하면 많은 어려움을 초래할 수 있습니다.
지침
선형 벡터 공간에서 벡터 사이의 각도는 벡터의 공동 방향이 달성되는 최소 각도입니다. 벡터 중 하나가 시작점을 중심으로 이동됩니다. 정의에서 각도 값이 180도를 초과할 수 없음이 분명해집니다(단계 참조).
이 경우 선형 공간에서 벡터가 병렬로 전송될 때 벡터 사이의 각도가 변경되지 않는다고 가정하는 것이 매우 옳습니다. 따라서 각도의 해석적 계산에서 벡터의 공간적 방향은 중요하지 않습니다.
내적의 결과는 숫자이고 그렇지 않으면 스칼라입니다. 추가 계산에서 오류를 방지하기 위해 기억하십시오(이 사실을 아는 것이 중요합니다). 평면 또는 벡터 공간에 있는 스칼라 곱에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다(단계에 대한 그림 참조).
벡터가 공간에 있는 경우 비슷한 방식으로 계산을 수행합니다. 유일한 것은 배당금에 용어가 나타나는 것입니다. 이것은 신청자에 대한 용어입니다. 벡터의 세 번째 구성 요소입니다. 따라서 벡터의 계수를 계산할 때 z 구성 요소도 고려해야 하며 공간에 위치한 벡터의 경우 마지막 표현식은 다음과 같이 변환됩니다(단계에 대한 그림 6 참조).
벡터는 주어진 방향을 가진 선분입니다. 벡터 사이의 각도는 예를 들어 벡터가 축에 투영되는 길이를 찾을 때 물리적 의미를 갖습니다.
지침
내적 계산을 사용하여 0이 아닌 두 벡터 사이의 각도입니다. 정의에 따르면 곱은 길이와 그 사이의 각도의 곱과 같습니다. 반면에 좌표(x1, y1)가 있는 두 벡터 a와 좌표(x2, y2)가 있는 b의 내적은 ab = x1x2 + y1y2로 계산됩니다. 이 두 가지 방법 중 내적은 벡터 사이의 각도를 만들기 쉽습니다.
벡터의 길이 또는 모듈을 찾습니다. 벡터와 b의 경우: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.
ab = x1x2 + y1y2의 쌍으로 좌표를 곱하여 벡터의 내적을 찾습니다. 내적의 정의에서 ab = |a|*|b|*cos α, 여기서 α는 벡터 사이의 각도입니다. 그런 다음 x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α를 얻습니다. 그러면 cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2입니다.
Bradys 테이블을 사용하여 각도 α를 구합니다.
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노트
스칼라 곱은 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도에 대한 스칼라 특성입니다.
평면은 기하학의 기본 개념 중 하나입니다. 평면은 진술이 참인 표면입니다. 두 점을 연결하는 모든 직선은 완전히 이 표면에 속합니다. 평면은 일반적으로 그리스 문자 α, β, γ 등으로 표시됩니다. 두 평면은 항상 두 평면에 속하는 직선에서 교차합니다.
지침
의 교차점에서 형성된 반평면 α와 β를 고려하십시오. 직선 a와 두 개의 반면 α와 β가 2면각으로 이루는 각도. 이 경우 면에 의해 2면각을 이루는 반면, 면이 교차하는 선을 2면각의 모서리라고 합니다.
평면 각도와 같은 2면각(도)입니다. 2면각을 만들려면 면에서 임의의 점 O를 선택해야 하며 두 점 모두에서 점 O를 통해 두 개의 광선이 그려집니다. 결과 각도 AOB를 2면체 각도 a의 선형 각도라고 합니다.
따라서 벡터 V = (a, b, c)와 평면 A x + B y + C z = 0이 주어집니다. 여기서 A, B 및 C는 법선 N의 좌표입니다. 그런 다음 각도의 코사인 벡터 V와 N 사이의 α는 cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))입니다.
각도 값을 도 또는 라디안 단위로 계산하려면 결과 표현식에서 코사인의 역함수를 계산해야 합니다. 아크코사인: α \u003d 아르스코스 ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
예: 찾기 모서리~ 사이 벡터(5, -3, 8) 및 비행기, 주어진 일반 방정식 2 x - 5 y + 3 z = 0. 솔루션: 평면 N = (2, -5, 3)의 법선 벡터 좌표를 기록합니다. 알려진 모든 값을 위의 공식에 대입하십시오. cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.
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방정식을 작성하고 코사인을 분리하십시오. 한 공식에 따르면 벡터의 스칼라 곱은 길이에 서로 및 코사인을 곱한 것과 같습니다. 모서리, 그리고 다른 한편 - 각 축을 따라 좌표 곱의 합. 두 공식을 동일시하면 코사인 모서리벡터의 길이의 곱에 대한 좌표 곱의 합계의 비율과 같아야 합니다.
결과 방정식을 기록하십시오. 이렇게 하려면 두 벡터를 모두 지정해야 합니다. 3D 데카르트 시스템에서 제공되고 시작점이 그리드에 있다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 벡터의 방향과 크기는 점(X₁,Y₁,Z₁)으로, 두 번째 벡터는 -(X₂,Y₂,Z₂)로, 각도는 γ로 표시합니다. 그러면 각 벡터의 길이는 예를 들어 각 좌표축에 대한 투영에 의해 형성된 피타고라스 정리에 따를 수 있습니다. √(X₁² + Y₁² + Z₁²) 및 √(X₂² + Y₂² + Z₂²). 이전 단계에서 공식화된 공식에서 다음 표현식을 대입하면 등식을 얻을 수 있습니다. cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).
제곱의 합이 공동그리고 공동 공동~에서 모서리하나의 값은 항상 하나를 제공합니다. 따라서 co에 대한 이전 단계에서 얻은 것을 올리면 공동제곱하고 1에서 빼서 제곱근을 하면 문제가 해결됩니다. 에 원하는 공식을 쓰세요. 일반보기: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²))).
