허락하다 지= 에프(중) 포인트의 일부 이웃에서 정의된 함수입니다. M(y; x);엘={ 코스; 코스} – 단위 벡터(그림 33에서 1= , 2= ); 엘한 점을 지나는 직선이다. 중; M1(x1; y1), 여기서 x1=x+x 및 y1=y+y- 라인 위의 포인트 엘; 엘- 세그먼트의 크기 MM1; 지= 에프(x+x, y+y)-에프(엑스, 와이) – 기능 증분 에프(중) 그 시점에 미디엄(엑스; 와이).
정의. 존재하는 경우 관계의 극한을 호출합니다. 미분함수 지 = 에프 ( 중 ) 그 시점에 중 ( 엑스 ; 와이 ) 벡터 방향으로 엘 .
지정.
|
|
기능 에프(중) 한 점에서 미분 가능 미디엄(엑스; 와이), 그런 다음 지점에서 미디엄(엑스; 와이)어떤 방향으로든 도함수가 있습니다. 엘에서 오는 중; 다음 공식에 따라 계산됩니다.
(8)
어디에 코스 그리고 코스- 벡터의 방향 코사인 엘.
예 46. 함수의 도함수 계산 지= 엑스2 + 와이2 엑스그 시점에 남(1; 2)벡터 방향으로 MM1, 어디 M1- 좌표가 있는 점 (3; 0).
. 단위 벡터를 찾아봅시다 엘, 이 방향을 가지고:
어디에 코스= ; 코스=- .
지점에서 함수의 편도함수를 계산합니다. 남(1; 2):
공식 (8)에 의해 우리는 
예 47. 함수의 도함수 찾기 유 = XY2 지3 그 시점에 M(3;2;1)벡터 방향으로 미네소타, 어디 N(5; 4; 2) .
. 벡터와 그 방향 코사인을 찾아봅시다:
점에서 편도함수의 값을 계산 중:
따라서, 
정의. 구배 기능지= 에프(중) 점 M(x; y)에서 좌표가 해당 편도함수 u와 같은 벡터입니다. 점 M(x; y)에서 취해진 것입니다.
지정. 
예 48. 함수의 기울기 찾기 지= 엑스2 +2 와이2 -5 그 시점에 M(2; -1).
해결책. 편도함수를 찾습니다. 
그리고 그 시점에서의 가치 M(2; -1):
예 49.
한 점에서 함수 기울기의 크기와 방향 찾기 
해결책.부분 도함수를 찾고 점 M에서 값을 계산해 봅시다.
따라서,
세 변수의 함수에 대한 방향 도함수는 유사하게 정의됩니다. 유= 에프(엑스, 와이, 지) , 수식이 파생됩니다.
그라디언트의 개념이 도입되었습니다. 
우리는 그래디언트 함수의 기본 속성 경제 최적화 분석에 더 중요합니다. 기울기 방향으로 함수가 증가합니다. 경제 문제에서는 기울기의 다음 속성이 사용됩니다.
1) 함수를 부여하자 지= 에프(엑스, 와이) , 정의 영역에 부분 파생물이 있습니다. 몇 가지 점을 고려 M0(x0, y0)정의의 영역에서. 이 시점에서 함수의 값을 에프(엑스0 , 와이0 ) . 함수 그래프를 고려하십시오. 점을 통해 (엑스0 , 와이0 , 에프(엑스0 , 와이0 )) 3차원 공간함수 그래프의 표면에 접하는 평면을 그립니다. 그런 다음 점에서 계산된 함수의 그래디언트 (x0, y0), 점에 연결된 벡터로 기하학적으로 간주 (엑스0 , 와이0 , 에프(엑스0 , 와이0 )) , 접평면에 수직이 됩니다. 기하학적 그림은 그림에 나와 있습니다. 34.
2) 그라데이션 기능 에프(엑스, 와이) 그 시점에 M0(x0, y0)해당 지점에서 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 나타냅니다. М0. 또한 기울기와 예각을 이루는 방향은 그 점에서 함수의 성장 방향이다. М0. 즉, 한 점에서 작은 움직임 (x0, y0)이 시점에서 함수의 기울기 방향으로 함수가 최대로 증가합니다.
그래디언트와 반대인 벡터를 고려하십시오. 그것은이라고 반구배 . 이 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.
기능 안티 그라데이션 에프(엑스, 와이) 그 시점에 M0(x0, y0)해당 지점에서 함수의 가장 빠른 감소 방향을 나타냅니다. М0. 반기울기와 예각을 형성하는 모든 방향은 해당 지점에서 함수가 감소하는 방향입니다.
3) 함수를 연구할 때 종종 그러한 쌍을 찾아야 합니다. (엑스, 와이)함수가 동일한 값을 취하는 함수의 범위에서. 포인트 세트를 고려하십시오. (엑스, 와이) 기능 범위를 벗어남 에프(엑스, 와이) , 그런 에프(엑스, 와이)= 상수, 항목은 어디에 있습니까 “ 상수” 함수의 값이 고정되고 함수 범위의 일부 숫자와 같음을 의미합니다.
정의. 기능 레벨 라인 유 = 에프 ( 엑스 , 와이 ) 라인이라고 불렀다에프(엑스, 와이)=С 비행기에서XOy, 함수가 일정하게 유지되는 지점에서유= 씨.
수평선은 독립변수의 변화면에 곡선 형태로 기하학적으로 표현된다. 레벨 라인을 얻는 것은 다음과 같이 상상할 수 있습니다. 세트를 고려하십시오 에서, 좌표가 있는 3차원 공간의 점으로 구성 (엑스, 와이, 에프(엑스, 와이)= 상수), 한편으로는 함수의 그래프에 속합니다. 지= 에프(엑스, 와이), 반면에 평행 평면에 눕는다. 좌표평면 어떻게, 주어진 상수와 같은 값으로 분리됩니다. 그런 다음 수준선을 구성하려면 함수 그래프의 표면과 평면을 교차하면 충분합니다. 지= 상수교차선을 평면에 투영합니다. 어떻게. 위의 추론은 평면에 레벨 라인을 직접 구성할 수 있는 가능성에 대한 정당성입니다. 어떻게.
정의. 레벨 라인 세트를 호출합니다. 레벨 라인 맵.
레벨 라인의 잘 알려진 예는 높이가 같은 레벨입니다. 지형도기상도에서 동일한 기압의 선.
정의.
함수의 증가율이 최대가 되는 방향을 "선호하는" 방향, 또는 가장 빠른 성장 방향.
"선호하는" 방향은 함수의 그래디언트 벡터에 의해 지정됩니다. 무화과. 35는 제한이 없는 상태에서 두 변수의 함수를 최적화하는 문제에서 최대, 최소 및 안장점을 보여줍니다. 그림의 아래 부분은 가장 빠른 성장의 레벨 라인과 방향을 보여줍니다.
예 50. 피쳐 레벨 선 찾기 유= 엑스2 + 와이2 .
해결책.레벨 라인 패밀리의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 엑스2 + 와이2 = 씨 (씨>0) . 기부 에서실제 값이 다르면 원점을 중심으로 하는 동심원을 얻습니다.
레벨 라인의 건설. 그들의 분석은 미시 및 거시 수준의 경제 문제, 평형 이론 및 효과적인 솔루션. 등비용, 등량, 무차별곡선 - 이것들은 모두 서로 다른 경제적 기능을 위해 만들어진 수준선입니다.
예 51. 다음 경제 상황을 고려하십시오. 제품의 생산을 설명하자 콥-더글라스 함수 에프(엑스, 와이)=10x1/3y2/3, 어디 엑스- 노동량 ~에- 자본금. 자원 획득을 위해 30 USD가 할당되었습니다. 단위, 노동 가격은 5 c.u입니다. 단위, 자본 - 10 c.u. 단위 이러한 조건에서 얻을 수 있는 가장 큰 출력은 무엇입니까? 여기서 '주어진 조건'이란 주어진 기술, 자원가격, 생산함수의 종류를 말한다. 이미 언급했듯이 기능 콥-더글라스각 변수에서 단조롭게 증가합니다. 즉, 각 유형의 자원이 증가하면 출력이 증가합니다. 이러한 상황에서 자금이 충분하다면 자원 획득을 늘릴 수 있음은 분명합니다. 비용이 30c.u인 리소스 팩 단위는 다음 조건을 충족합니다.
5x + 10년 = 30,
즉, 함수 수준 라인을 정의합니다.
G(엑스, 와이) = 5x + 10년.
한편, 레벨 라인의 도움으로 Cobb-Douglas 함수 (그림 36) 함수의 증가를 표시할 수 있습니다. 레벨 라인의 어느 지점에서든 기울기의 방향은 가장 큰 증가 방향이며 한 지점에서 기울기를 만들려면 다음과 같이 충분합니다. 이 지점에서 레벨 선에 접선을 그리고 접선에 수직을 그리고 그라데이션 방향을 나타냅니다. 무화과에서. 36 기울기를 따른 Cobb-Douglas 함수의 수평선의 이동은 수평선에 접할 때까지 진행되어야 함을 알 수 있다. 5배 + 10년 = 30. 따라서 레벨 라인, 기울기, 기울기 속성의 개념을 사용하여 출력량을 늘리는 측면에서 리소스를 가장 잘 사용하는 접근 방식을 개발할 수 있습니다.
정의. 기능 레벨 표면 유 = 에프 ( 엑스 , 와이 , 지 ) 표면이라고 불리는에프(엑스, 와이, 지)=С, 함수가 일정하게 유지되는 지점유= 씨.
예 52. 피쳐 레벨 표면 찾기 유= 엑스2 + 지2 - 와이2 .
해결책.평평한 표면 계열의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 엑스2 + 지2 - 와이2 =C. 만약 C=0, 우리는 얻을 엑스2 + 지2 - 와이2 =0 - 콘; 만약에 씨<0 , 그 다음에 엑스2 + 지2 - 와이2 =씨 -두 장 쌍곡면의 가족.
1 0 기울기는 수평면(또는 필드가 평평한 경우 수평선)에 대한 법선을 따라 향합니다.
2 0 그래디언트는 필드 기능이 증가하는 방향으로 향합니다.
3 0 그래디언트 모듈은 필드의 주어진 지점에서 방향으로 가장 큰 도함수와 같습니다.
이러한 속성은 그래디언트의 불변 특성을 제공합니다. 그들은 gradU 벡터가 주어진 지점에서 스칼라 필드의 가장 큰 변화의 방향과 크기를 나타낸다고 말합니다.
비고 2.1.함수 U(x,y)가 두 변수의 함수이면 벡터
(2.3)
산소 평면에 있습니다.
U=U(x,y,z) 및 V=V(x,y,z) 함수가 점 М 0 (x,y,z)에서 미분 가능하다고 합니다. 그러면 다음과 같은 평등이 유지됩니다.
a) 졸업()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(U V) = gradU gradV; d) d) 졸업 = 
, V ;
e) gradU( = gradU, 여기서 , U=U()는 에 대한 도함수를 가집니다.
예 2.1.함수 U=x 2 +y 2 +z 2가 주어진다. 점 M(-2;3;4)에서 함수의 기울기를 결정합니다.
해결책.공식 (2.2)에 따르면
.
이 스칼라 필드의 평평한 표면은 구 계열 x 2 +y 2 +z 2 이고 벡터 gradU=(-4;6;8)은 평면의 법선 벡터입니다.
예 2.2.스칼라 필드 U=x-2y+3z의 기울기를 구합니다.
해결책.공식 (2.2)에 따르면
주어진 스칼라 필드의 평평한 표면은 평면입니다.
x-2y+3z=C; 벡터 gradU=(1;-2;3)은 이 패밀리 평면의 법선 벡터입니다.
예 2.3.점 M(2;2;4)에서 표면 U=x y의 가장 가파른 경사를 찾으십시오.
해결책.우리는: 
예 2.4.스칼라 필드 U=x 2 +y 2 +z 2 의 수평면에 대한 단위 법선 벡터를 찾습니다.
해결책.주어진 스칼라 필드-스피어 x 2 +y 2 +z 2 =C(C>0)의 평평한 표면.
그래디언트는 평평한 표면에 대한 법선을 따라 향하므로
점 M(x,y,z)에서 수평면에 대한 법선 벡터를 정의합니다. 단위 법선 벡터의 경우 다음 식을 얻습니다.
, 어디 
.
예 2.5.필드 그래디언트 찾기 U= 
, 여기서 및 는 상수 벡터이고 r은 점의 반지름 벡터입니다.
해결책.허락하다
그 다음에: 
. 행렬식의 미분 규칙에 의해, 우리는
따라서,
예 2.6.거리 구배를 찾으십시오. 여기서 P(x,y,z)는 연구 중인 필드의 지점이고 P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0)은 고정된 지점입니다.
해결책.우리는 단위 방향 벡터를 가지고 있습니다.
예 2.7.점 M 0 (1,1)에서 함수 기울기 사이의 각도를 찾습니다.
해결책.점 M 0 (1,1)에서 이러한 함수의 그래디언트를 찾습니다.
; 점 M 0에서 gradU와 gradV 사이의 각도는 평등으로부터 결정됩니다.
따라서 =0입니다.
예 2.8.방향에 대한 도함수를 찾으십시오. 반경 벡터는 다음과 같습니다.
(2.4)
해결책.이 함수의 그래디언트 찾기:
(2.5)를 (2.4)로 대입하면 다음을 얻습니다.
예 2.9.점 M 0 (1;1;1)에서 스칼라 필드 U=xy+yz+xz에서 가장 큰 변화의 방향과 이 점에서 이 가장 큰 변화의 크기를 찾으십시오.
해결책.필드에서 가장 큰 변화의 방향은 벡터 기울기 U(M)로 표시됩니다. 우리는 그것을 찾습니다:
따라서, . 이 벡터는 점 M 0 (1;1;1)에서 이 필드의 가장 큰 증가 방향을 결정합니다. 이 시점에서 필드에서 가장 큰 변화의 값은 다음과 같습니다.
.
예 3.1.벡터 필드의 벡터 라인 찾기 
여기서 상수 벡터입니다.
해결책.우리는 그렇게
(3.3)
첫 번째 분수의 분자와 분모에 x를, 두 번째 분수에 y를, 세 번째 분수에 z를 곱하고 항별로 더합니다. 비율 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.
따라서 xdx+ydy+zdz=0, 즉
x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. 이제 첫 번째 분수(3.3)의 분자와 분모에 c 1, 두 번째 분수에 c 2, 세 번째 분수에 c 3을 곱하고 항별로 합하면 다음과 같이 됩니다.
여기서 c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
따라서 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 입니다. 2 상수.
벡터 라인의 필수 방정식
이 방정식은 원점에서 공통 중심을 갖는 구와 벡터에 수직인 평면의 교차 결과로 벡터 선이 얻어진다는 것을 보여줍니다. 
. 따라서 벡터 선은 벡터 c의 방향으로 원점을 통과하는 직선에 중심이 있는 원입니다. 원의 평면은 지정된 선에 수직입니다.
예 3.2.벡터 필드 라인 찾기 
점 (1,0,0)을 통과합니다.
해결책. 미분 방정식벡터 라인
따라서 우리는 
. 첫 번째 방정식 풀기. 또는 매개변수 t를 도입하면 다음과 같은 방정식을 갖게 됩니다. 
형태를 취하다 
또는 dz=bdt, 여기서 z=bt+c 2 .
공간의 각 지점 또는 공간의 일부에서 특정 양의 값이 정의되면 이 양의 필드가 주어진다고 합니다. 고려된 값이 스칼라인 경우 필드를 스칼라라고 합니다. 숫자 값으로 잘 특징지어집니다. 예를 들어, 온도 필드. 스칼라 필드는 포인트 u = /(M)의 스칼라 함수에 의해 제공됩니다. 데카르트 좌표계가 공간에 도입되면 점 M의 좌표인 세 변수 x, yt z의 함수가 있습니다: 정의. 스칼라 필드의 평평한 표면은 함수 f(M)이 동일한 값을 취하는 지점의 집합입니다. 레벨 표면 방정식 예 1. 스칼라 필드의 레벨 표면 찾기 벡터 분석 스칼라 필드 레벨 표면 및 레벨 라인 방향 미분 미분 스칼라 필드의 기울기 기본 기울기 속성 불변 기울기 정의 기울기 계산 규칙 -4 정의에 따르면 레벨 표면 방정식이 됩니다. 이것은 원점을 중심으로 하는 구(Ф 0 포함)의 방정식입니다. 어떤 평면에 평행한 모든 평면에서 필드가 동일한 경우 스칼라 필드를 플랫이라고 합니다. 지정된 평면이 xOy 평면으로 간주되면 필드 함수는 z 좌표에 의존하지 않습니다. 레벨 라인 방정식 - 예 2. 스칼라 필드의 레벨 라인 찾기 레벨 라인은 방정식으로 제공됩니다. c = 0에서 한 쌍의 라인을 얻고 쌍곡선 패밀리를 얻습니다(그림 1). 1.1. 방향 도함수 스칼라 함수 u = /(Af)에 의해 정의된 스칼라 필드가 있다고 가정합니다. 점 Afo를 선택하고 벡터 I에 의해 결정된 방향을 선택합니다. 벡터 M0M이 벡터 1과 평행하도록 다른 점 M을 선택합니다(그림 2). MoM 벡터의 길이를 A/로 표시하고 변위 D1에 해당하는 함수 /(Af) - /(Afo)의 증분을 Di로 표시합니다. 태도가 결정한다 평균 속도 주어진 방향에 대한 단위 길이당 스칼라 필드의 변화 벡터 М0М가 항상 벡터 I에 평행하게 유지되도록 이제 0이 되는 경향이 있습니다.정의. D/O에 대해 관계(5)의 유한 극한이 존재하면, 주어진 방향 I에 대한 주어진 점 Afo에서 함수의 도함수라고 하며 기호 zr!^로 표시됩니다. 따라서 정의상 이 정의는 좌표계 선택과 관련이 없습니다. 즉, **변형 문자가 있습니다. 데카르트 좌표계에서 방향에 대한 도함수에 대한 표현을 찾아봅시다. 함수를 보자 / 한 점에서 미분가능하다. 한 지점에서 값 /(Af)를 고려하십시오. 그런 다음 함수의 총 증분은 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있습니다. 여기서 기호는 Afo 지점에서 부분 도함수가 계산됨을 의미합니다. 따라서 여기서 양 jfi, ^는 벡터의 방향 코사인입니다. 벡터 MoM과 I는 공동 방향이기 때문에 방향 코사인은 동일합니다. 도함수는 함수의 도함수이며 외부 nno-를 사용하여 좌표축의 방향을 따릅니다. 예 3. 점을 향한 함수의 도함수를 찾습니다. 벡터에는 길이가 있습니다. 그것의 방향 코사인: 공식 (9)에 의해 우리는 주어진 연령 방향의 한 지점에서 스칼라 필드가 있다는 사실을 의미합니다. 플랫 필드의 경우 한 지점에서 방향 I의 미분은 공식에 의해 계산됩니다. 여기서 a는 벡터 I와 축 Oh가 이루는 각도입니다. Zmmchmm 2. 주어진 점 Afo에서 방향 I에 따른 도함수를 계산하기 위한 공식(9)은 벡터 I가 점 PrISchr에 접하는 곡선을 따라 점 M이 점 Mo로 향하는 경우에도 유효합니다. 4. 계산 포인트 Afo(l, 1)에서 스칼라 필드의 도함수. 이 곡선의 방향(가로좌표가 증가하는 방향)에서 포물선에 속합니다. 한 점에서 포물선의 방향 ]은 이 점에서 포물선에 접하는 방향입니다(그림 3). 점 Afo에서 포물선에 대한 접선이 Ox 축과 각도 o를 형성하도록 합니다. 그런 다음 접선의 코사인을 지시하면 값과 점을 계산해 봅시다. 우리는 이제 공식 (10)에 의해 우리가 얻습니다. 원 방향의 한 점에서 스칼라 필드의 미분을 찾으십시오. 원의 벡터 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 원에 대한 탄젠트의 단위 벡터 m을 찾았습니다. 포인트는 매개 변수 값에 해당합니다. 스칼라 필드 구배 미분 가능하다고 가정되는 스칼라 함수로 스칼라 필드를 정의합니다. 정의. 주어진 점 M에서 스칼라 필드의 그래디언트»는 기호 grad로 표시되고 평등으로 정의되는 벡터입니다. 이 벡터는 함수 /와 그 도함수가 계산되는 점 M 모두에 의존한다는 것이 분명합니다. 1을 방향의 단위 벡터라고 하면 방향 도함수의 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 따라서 함수의 미분과 방향 1은 다음과 같습니다. 내적 방향 I의 단위 벡터 1°당 함수 u(M)의 기울기. 2.1. 구배 정리의 기본 속성 1. 스칼라 필드 구배는 평평한 표면(또는 필드가 평평한 경우 레벨 선)에 수직입니다. (2) 임의의 점 M을 통과하는 평평한 표면 u = const를 그리고 점 M을 통과하는 이 표면에서 매끄러운 곡선 L을 선택합니다(그림 4). I를 점 M에서 곡선 L에 접하는 벡터라고 합니다. 평평한 표면에서 임의의 점 Mj ∈ L에 대해 u(M) = u(M|)이므로, 반면에 = (gradu, 1°) . 그래서. 이것은 벡터 grad 및 1°가 직교한다는 것을 의미합니다.따라서 벡터 grad 및는 점 M에서 수평면에 대한 임의의 접선에 직교합니다. 따라서 점 M에서 수평면 자체에 직교합니다. 정리 2 기울기는 필드 함수가 증가하는 방향으로 향합니다. 이전에 우리는 스칼라 필드의 기울기가 함수 u(M)의 증가 또는 감소 방향으로 향할 수 있는 평평한 표면에 대한 법선을 따라 향한다는 것을 증명했습니다. 증가하는 함수 ti(M) 방향으로 향하는 평탄면의 법선을 n으로 표시하고 이 법선 방향에서 함수 u의 도함수를 구합니다(그림 5). 그림 5의 조건에 따라 벡터 분석 스칼라 필드 표면 및 레벨 라인 방향 파생 파생 스칼라 필드 기울기 기울기의 기본 속성 기울기의 불변 정의 기울기를 계산하기 위한 규칙 기울기를 따르고 다음으로 향합니다. 우리가 법선 n을 선택한 것과 같은 방향, 즉 증가하는 함수 u(M) 방향으로. 정리 3. 그래디언트의 길이는 필드의 주어진 지점에서 방향에 대한 가장 큰 도함수와 같습니다(여기서 최대 $는 주어진 지점 M에서 지점까지 가능한 모든 방향에서 취함). 벡터 1과 grad n 사이의 각도는 어디입니까? 가장 큰 값은 예 1이므로 해당 지점에서 스칼라 필드의 가장 큰 imonion의 방향과 지정된 지점에서 이 가장 큰 변화의 크기를 찾습니다. 스칼라 필드의 가장 큰 변화 방향은 벡터로 표시됩니다. 이 벡터는 한 지점에 대한 필드의 가장 큰 증가 방향을 결정합니다. 이 시점에서 필드에서 가장 큰 변화 값은 2.2입니다. 기울기의 불변 정의 연구 중인 개체의 속성을 특성화하고 좌표계의 선택에 의존하지 않는 양을 주어진 개체의 불변량이라고 합니다. 예를 들어 곡선의 길이는 이 곡선의 불변량이지만 x축과 곡선의 접선 각도는 불변량이 아닙니다. 스칼라 필드 그래디언트의 위 세 가지 속성을 기반으로 그래디언트에 대한 다음과 같은 불변 정의를 제공할 수 있습니다. 정의. 스칼라 필드 기울기는 필드 함수가 증가하는 방향으로 레벨 표면에 대한 법선을 따라 향하고 최대 방향 도함수(주어진 지점에서)와 동일한 길이를 갖는 벡터입니다. 필드가 증가하는 방향으로 향하는 단위 법선 벡터라고 합니다. 그런 다음 예 2. 거리 구배 - 일부 고정 점 및 M(x,y,z) - 현재 구배를 찾습니다. 4 단위 방향 벡터는 어디에 있습니다. c가 상수인 기울기 계산 규칙. 위의 공식은 구배의 정의와 파생물의 속성에서 직접 얻습니다. 제품의 미분 규칙에 의해 증명은 속성 증명과 유사합니다. F(u)를 미분 가능한 스칼라 함수라고 합니다. 그런 다음 4 기울기의 정의에 따라 오른쪽의 모든 항에 적용 미분 규칙 복잡한 기능. 특히 수식(6)은 수식 평면에서 이 평면의 두 고정점까지 이어집니다. 초점 Fj 및 F]가 있는 임의의 타원을 고려하고 타원의 한 초점에서 나오는 광선이 타원에서 반사된 후 다른 초점으로 들어간다는 것을 증명하십시오. 함수의 레벨 라인(7)은 다음과 같습니다. 벡터 분석 스칼라 필드 표면 및 레벨 라인 방향 파생 파생 스칼라 필드 기울기 기울기의 기본 속성 기울기의 불변 정의 기울기 계산 규칙 방정식(8)은 점에 초점이 있는 타원 패밀리를 설명합니다. F) 및 Fj. 예제 2의 결과에 따르면 반경 벡터. 초점 F|에서 점 P(x, y)로 그려집니다. 및 Fj, 따라서 이러한 반경 벡터 사이의 각도의 이등분선에 있습니다(그림 6). Tooromo 1에 따르면 기울기 PQ는 점에서 타원(8)에 수직입니다. 따라서 Fig.6. 임의의 점에서 타원(8)에 대한 법선은 이 점에 그려진 반경 벡터 사이의 각도를 이등분합니다. 여기에서 그리고 입사각이 반사각과 같다는 사실로부터 우리는 다음을 얻습니다. 타원의 한 초점에서 나오는 광선은 반사되어 확실히 이 타원의 다른 초점으로 떨어질 것입니다.
평면 위의 벡터는 방향이 있는 부분이라는 것은 학교 수학 과정에서 알 수 있습니다. 시작과 끝은 두 개의 좌표를 가집니다. 벡터 좌표는 끝 좌표에서 시작 좌표를 빼서 계산합니다.
벡터의 개념은 n차원 공간으로 확장될 수도 있습니다(두 개의 좌표 대신 n개의 좌표가 있음).
구배 gradz 함수 z=f(x 1 , x 2 , ... x n)은 한 지점에서 함수의 편도함수의 벡터입니다. 좌표가 있는 벡터.
함수의 기울기는 한 지점에서 함수 수준의 가장 빠른 성장 방향을 특징짓는다는 것을 증명할 수 있습니다.
예를 들어, 함수 z \u003d 2x 1 + x 2(그림 5.8 참조)의 경우 임의 지점의 그래디언트 좌표는 (2; 1)입니다. 어떤 점을 벡터의 시작점으로 삼아 다양한 방법으로 평면에 구축할 수 있습니다. 예를 들어 점 (0; 0)을 점 (2; 1)에 연결하거나 점 (1; 0)을 점 (3; 1)에 연결하거나 점 (0; 3)을 점 (2; 4)에 연결할 수 있습니다. 또는 t.P. (그림 5.8 참조). 이러한 방식으로 구성된 모든 벡터는 (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1) 좌표를 갖습니다.
그림 5.8은 구성된 레벨 라인이 레벨 값 4 > 3 > 2에 해당하기 때문에 함수의 레벨이 그래디언트 방향으로 증가함을 명확하게 보여줍니다.
그림 5.8 - 함수 z \u003d 2x 1 + x 2의 기울기
또 다른 예인 함수 z= 1/(x 1 x 2)를 고려하십시오. 이 함수의 기울기는 좌표가 공식 (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2))에 의해 결정되기 때문에 더 이상 다른 지점에서 항상 동일하지 않습니다.
그림 5.9는 수준 2 및 10에 대한 함수 z= 1/(x 1 x 2)의 수준 선을 보여줍니다(선 1/(x 1 x 2) = 2는 점선으로 표시되고 선 1/( x 1 x 2) = 10은 실선입니다.
그림 5.9 - 다양한 지점에서 함수 z \u003d 1 / (x 1 x 2)의 기울기
예를 들어 점 (0.5; 1)을 사용하여 이 점에서 기울기를 계산합니다. (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2이기 때문에 점 (0.5; 1)은 레벨 선 1 / (x 1 x 2) \u003d 2에 있습니다. 그림 5.9에서 벡터 (-4; -2)를 그리고 점 (0.5; 1)을 점 (-3.5; -1)과 연결하십시오. (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).
예를 들어 점 (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2)와 같이 같은 수준의 선에 있는 다른 점을 살펴보겠습니다. 이 지점에서 기울기를 계산합니다(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). 그림 5.9에서 설명하기 위해 (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4)이기 때문에 점 (1; 0.5)를 점 (-1; -3.5)과 연결합니다.
같은 수준의 선에서 한 점을 더 살펴보겠습니다. 그러나 지금은 양의 좌표가 아닌 분기에만 있습니다. 예를 들어 점 (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2)입니다. 이 지점에서의 기울기는 (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2)가 됩니다. (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2)이기 때문에 점 (-0.5; -1)을 점 (3.5; 1)과 연결하여 그림 5.9에 묘사해 봅시다.
세 가지 경우 모두 기울기는 함수 수준의 성장 방향을 나타냅니다(수준선 1/(x 1 x 2) = 10 > 2 방향).
기울기는 주어진 점을 통과하는 수평선(평면)에 항상 수직임을 증명할 수 있습니다.
개념을 정의하자 극단많은 변수의 기능을 위해.
많은 변수의 함수 f(X)는 점 X(0)에서 최대(최소),이 이웃의 모든 점 X에 대해 부등식 f(X)f(X (0)) ()이 유지되는 이 점의 이웃이 있는 경우.
이러한 부등식이 엄격한 것으로 충족되면 극한을 호출합니다. 강한, 그렇지 않은 경우 약한.
이 방법으로 정의된 극한값은 다음과 같습니다. 현지의이러한 불평등은 극한 지점의 일부 이웃에만 적용되기 때문입니다.
한 지점에서 미분 가능 함수 z=f(x 1, ..., x n)의 국소 극값에 대한 필수 조건은 이 지점에서 모든 1계 편도함수가 0과 같다는 것입니다. 
.
이러한 평등이 유지되는 지점을 호출합니다. 변화 없는.
다른 방식으로 극값에 대한 필수 조건은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. 극값에서 기울기는 0과 같습니다. 보다 일반적인 진술을 증명하는 것도 가능합니다. 극한 지점에서 모든 방향에서 함수의 도함수가 사라집니다.
고정점은 국부 극값의 존재에 대한 충분한 조건이 충족되는지 여부에 대한 추가 연구를 받아야 합니다. 이를 위해 2차 미분의 부호를 결정합니다. 동시에 0이 아닌 것이 있으면 항상 음수(양수)이면 함수는 최대값(최소값)을 가집니다. 그것이 0 증분으로 사라질 수 있을 뿐만 아니라 극단에 대한 질문은 여전히 열려 있습니다. 양수 값과 음수 값을 모두 취할 수 있으면 정지점에 극값이 없습니다.
일반적인 경우 미분의 부호를 결정하는 것은 다소 복잡한 문제이므로 여기서는 고려하지 않겠습니다. 변수가 두 개인 함수의 경우 다음을 증명할 수 있습니다. 
, 극값이 있습니다. 이 경우 두 번째 미분의 부호는 다음 부호와 일치합니다. 
, 즉. 만약에 
, 이것이 최대이고 만약 
, 이것이 최소값입니다. 만약 
, 이 시점에서 극한값이 없으며 만약 
, 극단에 대한 질문은 여전히 열려 있습니다.
예 1. 함수의 극한값 찾기 
.
대수 미분법으로 편도함수를 찾아봅시다.
ln z = ln 2 + ln(x + y) + ln(1 + xy) – ln(1 + x 2) – ln(1 + y 2)
비슷하게 
.
연립방정식에서 정지점을 찾아봅시다.
따라서 4개의 고정점 (1; 1), (1; -1), (-1; 1) 및 (-1; -1)이 발견됩니다.
2차 편도함수를 찾아봅시다:
ln(z x `) = ln 2 + ln(1 - x 2) -2ln(1 + x 2)
비슷하게 
;
.
왜냐하면 
, 표현 기호 
에만 의존 
. 이 두 도함수에서 분모는 항상 양수이므로 분자의 부호 또는 표현식 x(x 2 - 3) 및 y(y 2 - 3)의 부호만 고려할 수 있습니다. 각 임계점에서 그것을 결정하고 충분 극한 조건의 충족을 확인하십시오.
포인트 (1; 1)의 경우 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0 및 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
포인트 (1; -1)의 경우 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. 때문에 이 숫자의 곱 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
점 (-1; -1)에 대해 (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0을 얻습니다. 두 양수의 곱 
> 0 및 
> 0, (-1; -1) 지점에서 최소값을 찾을 수 있습니다. 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
찾다 글로벌최대값 또는 최소값(함수의 최대값 또는 최소값)은 로컬 극값보다 다소 복잡합니다. 이러한 값은 정지된 지점뿐만 아니라 정의 영역의 경계에서도 얻을 수 있기 때문입니다. 이 영역의 경계에서 함수의 동작을 연구하는 것이 항상 쉬운 것은 아닙니다.
