3 암시적으로 주어진 함수의 1차 도함수를 찾습니다. §6 여러 변수의 복잡한 함수의 부분 도함수

정의.함수 $y = f(x) $가 내부에 점 $x_0 $를 포함하는 일부 간격으로 정의되도록 하십시오. 이 간격을 벗어나지 않도록 인수에 $\Delta x $를 증가시키자. 함수 $\Delta y $의 해당 증분을 찾고(점 $x_0 $에서 점 $x_0 + \Delta x $으로 전달할 때) 관계식 $\frac(\Delta y )(\델타 x) $. $\Delta x \rightarrow 0 $에 이 관계의 한계가 있으면 지정된 한계가 호출됩니다. 미분 함수점 $x_0 $에서 $y=f(x) $이고 $f"(x_0) $를 나타냅니다.

$$ \lim_(\델타 x \to 0) \frac(\델타 y)(\델타 x) = f"(x_0) $$

기호 y는 종종 도함수를 나타내는 데 사용됩니다. y" = f(x)는 새로운 함수이지만 자연적으로 위의 한계가 존재하는 모든 점 x에서 정의되는 함수 y = f(x)와 연관됩니다. 이 함수는 다음과 같이 호출됩니다. 함수 y \u003d f (x)의 미분.

도함수의 기하학적 의미다음으로 구성됩니다. y 축에 평행하지 않은 접선을 가로 좌표 x \u003d a가 있는 점에서 함수 y \u003d f(x)의 그래프에 그릴 수 있으면 f(a)는 접선의 기울기를 나타냅니다.
$k = f"(a)$

$k = tg(a) $이므로 등식 $f"(a) = tg(a) $는 참입니다.

그리고 이제 우리는 도함수의 정의를 근사 평등의 관점에서 해석합니다. 함수 $y = f(x) $가 특정 점 $x $에서 도함수를 갖도록 하십시오.
$$ \lim_(\델타 x \to 0) \frac(\델타 y)(\델타 x) = f"(x) $$
이것은 점 x 근처에서 근사 평등 $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, 즉 $\Delta y \approx f"(x) \cdot \델택스$. 얻은 근사 동등성의 의미는 다음과 같습니다. 함수의 증분은 인수의 증분에 "거의 비례"하고 비례 계수는 주어진 점 x에서의 도함수 값입니다. 예를 들어, $y = x^2 $ 함수의 경우 근사 동등 $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $가 유효합니다. 도함수의 정의를 주의 깊게 분석하면 도함수를 찾는 알고리즘이 포함되어 있음을 알 수 있습니다.

공식화합시다.

함수 y \u003d f (x)의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

1. 고정 값 $x $, 찾기 $f(x) $
2. $x $ 인수 $\Delta x $ 증가, 새 점 $x+ \Delta x $으로 이동, 찾기 $f(x+ \Delta x) $
3. 함수 증분 찾기: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. 관계식 구성 $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$를 계산합니다.
이 극한은 x에서의 함수의 도함수입니다.

함수 y = f(x)가 점 x에서 도함수를 가지면 점 x에서 미분 가능이라고 합니다. 함수 y \u003d f (x)의 도함수를 찾는 절차가 호출됩니다. 분화함수 y = f(x).

다음 질문에 대해 논의해 보겠습니다. 한 지점에서 함수의 연속성과 미분성은 어떻게 관련되어 있습니까?

함수 y = f(x)가 점 x에서 미분 가능하다고 하자. 그런 다음 점 M(x; f(x))에서 함수 그래프에 접선을 그릴 수 있으며 접선의 기울기는 f "(x)와 같습니다. 이러한 그래프는 점 M, 즉 함수는 x에서 연속적이어야 합니다.

그것은 "손가락에" 추론이었다. 좀 더 엄격한 논거를 제시해 보자. 함수 y = f(x)가 점 x에서 미분 가능하면 근사 동등성 $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $이 유지됩니다. 0이면 \(\Delta y \ ) 또한 0이 되는 경향이 있으며 이것이 한 지점에서 함수의 연속성을 위한 조건입니다.

그래서, 함수가 점 x에서 미분 가능하면 해당 점에서도 연속적입니다..

그 반대는 사실이 아닙니다. 예: 함수 y = |x| 특히 점 x = 0에서 모든 곳에서 연속적이지만 "접합점"(0; 0)에서 함수 그래프에 대한 접선은 존재하지 않습니다. 어떤 지점에서 함수 그래프에 접선을 그리는 것이 불가능하면 이 지점에서 도함수가 없습니다.

예를 하나 더. 함수 $y=\sqrt(x) $는 점 x = 0을 포함하여 전체 숫자 선에서 연속적입니다. 그리고 함수의 그래프에 대한 접선은 점 x = 0을 포함하여 임의의 점에 존재합니다. 그러나이 시점에서 접선은 y 축과 일치합니다. 즉, 가로 축에 수직이며 방정식은 x \u003d 0 형식을 갖습니다. 경사그런 줄이 없습니다. 즉, $f"(0) $ 도 존재하지 않습니다.

그래서 우리는 함수의 새로운 속성인 미분성에 대해 알게 되었습니다. 함수가 함수의 그래프와 구별할 수 있는지 어떻게 알 수 있습니까?

답변은 실제로 위에 나와 있습니다. 어떤 지점에서 x축에 수직이 아닌 함수의 그래프에 접선을 그릴 수 있다면 이 지점에서 함수는 미분 가능합니다. 어떤 지점에서 함수의 그래프에 대한 접선이 존재하지 않거나 x축에 수직이면 이 지점에서 함수는 미분할 수 없습니다.

차별화 규칙

도함수를 찾는 작업을 분화. 이 연산을 수행할 때 몫, 합, 함수의 곱뿐만 아니라 "함수의 함수", 즉 복잡한 함수로 작업해야 하는 경우가 많습니다. 도함수의 정의에 따라 이 작업을 용이하게 하는 미분 규칙을 도출할 수 있습니다. C가 상수이고 f=f(x), g=g(x)가 일부 미분 가능한 함수인 경우 다음이 참입니다. 차별화 규칙:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ 복합 함수 도함수:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

일부 함수의 도함수 표

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

함수가 방정식으로 암시적으로 주어집니다.
. 이 방정식을 다음과 관련하여 미분 엑스도함수에 대한 결과 방정식 풀기 , 우리는 1차 도함수(1차 도함수)를 찾습니다. 에 대해 차별화 엑스 1차 도함수 우리는 암시적 함수의 2차 도함수를 얻습니다. 이미 찾은 값 대체 이차 도함수의 표현으로, 우리는 ~을 통해 엑스그리고 와이. 3차 도함수(및 그 이상)를 찾기 위해 유사하게 진행합니다.

예.찾기 , 만약에
.

솔루션: 다음과 관련하여 방정식을 미분합니다. 엑스:
. 여기에서 우리는
. 더 나아가 .

매개변수로 주어진 함수에서 더 높은 차수의 도함수.

기능을 보자
매개변수 방정식으로 주어진
.

아시다시피 1차 도함수는 공식에 따라 발견된다
. 2차 도함수를 구하자
, 즉.
. 비슷하게
.

예시. 2차 도함수 찾기
.

솔루션: 1차 도함수 찾기
. 이차 도함수 찾기
.

기능 미분.

기능을 보자
미분할 수 있는
. 어떤 점에서 이 함수의 도함수
평등에 의해 정의됩니다
. 태도
~에
, 따라서 파생 상품과 다릅니다.
b.m.의 값, 즉 쓸 수 있다
(
). 모든 것을 곱해보자
, 우리는 얻는다
. 기능 증분
두 가지 용어로 구성됩니다. 첫 학기
- 증분의 주요 부분은 함수의 미분입니다.

방어 기능 미분
도함수와 인수 증분의 곱이라고 합니다. 표시
.

독립 변수의 미분은 증분과 동일합니다.
.

(). 따라서 미분 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
. 함수의 미분은 미분과 독립 변수의 미분의 곱과 같습니다. 이 관계에서 파생물은 미분의 비율로 간주될 수 있습니다.
.

미분은 대략적인 계산에 사용됩니다. 식부터
두 번째 항
극소량은 근사 평등을 사용합니다.
또는 확장

예: 대략적인 값 계산
.

기능
파생 상품이 있습니다
.

공식에 따르면 (*) : .

예: 함수의 미분 찾기

미분의 기하학적 의미.

함수의 그래프에
점 M( 엑스;와이) 접선을 그리고 이 접선의 세로 좌표를 점에 대해 고려합니다. 엑스+∆ 엑스. 그림에서 AM=∆ 엑스오전 1 = ∆ ~에∆MAV에서
, 그 후
, 그러나 접선의 기하학적 의미에 따르면
. 그렇기 때문에
. 이 공식을 미분 공식과 비교하면 다음을 얻습니다.
, 즉. 기능 미분
그 시점에 엑스는 해당 지점에서 함수의 그래프에 대한 접선 세로 좌표의 증가와 같습니다. 엑스증분을 얻습니다 ∆х.

미분 계산 규칙.

기능 미분 때문에
요인에 의해 파생 상품과 다릅니다.
, 도함수를 계산하는 모든 규칙은 미분을 계산하는 데에도 사용됩니다(따라서 "미분"이라는 용어).

두 개의 미분 가능한 함수가 주어질 때
그리고
, 다음 규칙에 따라 미분을 찾습니다.

2)
와 함께 -상수

4)
(
)

5) 복잡한 기능의 경우
, 어디

(왜냐하면
).

복소수 함수의 미분은 중간 인수에 대한 이 함수의 미분과 이 중간 인수의 미분을 곱한 것과 같습니다.

파생 응용 프로그램.

평균값에 대한 정리.

롤의 정리. 기능의 경우
세그먼트에서 연속
개방 구간에서 미분 가능
세그먼트의 끝에서 동일한 값을 취하는 경우
, 그런 다음 간격에서
적어도 하나의 그러한 지점이 있습니다 와 함께, 도함수가 사라지는 것, 즉
, ㅏ< 씨< 비.

기하학적으로 롤의 정리는 함수의 그래프에서
그래프의 접선이 축과 평행한 점이 있습니다. 오.

라그랑주의 정리. 기능의 경우
세그먼트에서 연속
간격에서 미분 가능
, 그러면 적어도 하나의 점이 있습니다.
평등이 유지되도록.

이 공식을 라그랑주 공식 또는 유한 증분 공식이라고 합니다. 세그먼트에서 미분 가능 함수의 증분
이 세그먼트의 일부 내부 지점에서 도함수 값을 곱한 인수의 증분과 같습니다.

Lagrange 정리의 기하학적 의미: 함수의 그래프
점이 있다 C(들;에프(씨)) , 여기서 함수의 그래프에 대한 접선은 시컨트에 평행합니다. AB.

코시의 정리. 함수라면
그리고
세그먼트에서 연속
, 구간에서 미분 가능
, 그리고
~을 위한
, 그러면 적어도 하나의 점이 있습니다.
평등이 되도록
.

Cauchy의 정리는 한계 계산을 위한 새로운 규칙의 기초 역할을 합니다.

로피탈의 법칙.

정리:(L'Hopital의 형식의 불확실성에 대한 규칙 공개 ). 기능을 보자
그리고
점의 이웃에서 연속적이고 미분 가능 엑스 0 그리고 이 시점에서 사라진다.
. 놔줘
포인트 부근에 엑스 0 . 한계가 있다면
, 그 다음에
.

증거: 기능에 적용 가능
그리고
세그먼트에 대한 Cauchy의 정리

포인트 근처에 누워 엑스 0 . 그 다음에
, 어디 엑스 0 < 씨< 엑스. 왜냐하면
우리는 얻는다
. 에서 극한으로 넘어가자

. 왜냐하면
, 그 다음에
, 그래서
.

따라서 두 b.m.의 비율의 한계. 후자가 존재하는 경우 파생 상품의 비율의 한계와 같습니다.
.

정리.(형식의 불확실성 공개에 대한 로피탈의 법칙
) 기능을 보자
그리고
점의 이웃에서 연속적이고 미분 가능 엑스 0 (아마도 점을 제외하고 엑스 0 ), 이 동네에서
,
. 한계가 있는 경우

, 그 다음에
.

형태의 불확실성(
)는 두 가지 주요( ),
동일한 변형을 통해

예시:

암시적으로 정의된 함수의 도함수

또는 간단히 말해서 암시적 함수의 도함수입니다. 암시적 함수란 무엇입니까? 내 수업은 실용적이기 때문에 정의, 정리의 공식화를 피하려고 노력하지만 여기에서는 그렇게하는 것이 적절할 것입니다. 그나저나 함수란 무엇인가?

한 변수의 기능독립 변수의 각 값은 함수의 단 하나의 값에 대응한다는 규칙입니다.

변수가 호출됩니다 독립 변수또는 논쟁.
변수가 호출됩니다 종속변수또는 기능.

대략적으로, 문자 "y"는 이 경우- 그리고 기능이 있습니다.

지금까지 다음과 같이 정의된 함수를 살펴보았습니다. 명백한형태. 무슨 뜻인가요? 구체적인 예에 대한 브리핑을 준비합시다.

기능을 고려하십시오

왼쪽에는 고독한 "y"(기능)가 있고 오른쪽에는 - x만. 즉, 기능 명시적으로독립변수로 표현된다.

다른 기능을 고려해 보겠습니다.

여기서 변수 및 는 "혼합"에 있습니다. 그리고 어떤 식으로든 불가능"X"를 통해서만 "Y"를 표현합니다. 이러한 방법은 무엇입니까? 부호의 변경, 괄호, 비율 규칙에 따른 요인 던지기 등으로 부분에서 부분으로 용어를 옮기십시오. 평등을 다시 쓰고 "y"를 명시적으로 표현하십시오. 몇 시간 동안 방정식을 비틀고 돌릴 수 있지만 성공하지 못할 것입니다.

다음을 소개하겠습니다. - 예 암시적 함수.

수학적 분석 과정에서 암시적 함수가 존재(항상 그런 것은 아니지만) 그래프가 있습니다("정상" 함수처럼). 암시적 함수도 마찬가지입니다. 존재 1차 도함수, 2차 도함수 등 그들이 말했듯이, 성소수자의 모든 권리는 존중됩니다.

그리고 이번 과에서는 암시적으로 주어진 함수의 도함수를 찾는 방법을 배울 것입니다. 그렇게 어렵지 않습니다! 모든 미분 규칙, 기본 기능의 도함수 표가 유효합니다. 차이점은 한 가지 특이한 점에 있습니다. 바로 지금 고려할 것입니다.

네, 알려드리겠습니다 좋은 소식- 아래에서 설명하는 작업은 세 개의 트랙 앞에 돌이 없는 다소 엄격하고 명확한 알고리즘에 따라 수행됩니다.

실시예 1

1) 첫 번째 단계에서 두 부분에 획을 걸어 놓습니다.

2) 도함수의 선형성 규칙을 사용합니다(수업의 처음 두 규칙 파생 상품을 찾는 방법? 솔루션 예시):

3) 직접 차별화.
구별하고 완전히 이해할 수있는 방법. 스트로크 아래에 "게임"이 있는 곳에서는 어떻게 해야 합니까?

- 단지 불명예스럽게, 함수의 미분은 미분과 같습니다.: .

차별화 방법
여기 우리는 복잡한 기능. 왜요? 사인 아래에는 문자 "Y"가 하나만 있는 것 같습니다. 그러나 사실은 하나의 문자 "y"만 - 그 자체로 기능이다(공과 시작 부분에 있는 정의 참조). 따라서 사인은 외부 함수이고 내부 함수입니다. 우리는 복잡한 함수의 미분 규칙을 사용합니다 :

제품은 일반적인 규칙에 따라 미분 가능합니다. :

복잡한 기능이기도 합니다. 모든 "트위스트 토이"는 복잡한 기능입니다.:

솔루션 자체의 디자인은 다음과 같아야 합니다.

대괄호가 있으면 엽니다.

4) 왼쪽에는 획과 함께 "y"가 있는 용어를 수집합니다. 에 오른쪽- 우리는 다른 모든 것을 이전합니다:

5) 왼쪽에서 대괄호에서 파생 상품을 가져옵니다.

6) 그리고 비례 법칙에 따라 이 괄호를 오른쪽 분모에 넣습니다.

파생상품이 발견되었습니다. 준비가 된.

어떤 함수라도 암시적으로 다시 작성할 수 있다는 점은 흥미롭습니다. 예를 들어, 함수 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. . 그리고 방금 고려한 알고리즘에 따라 구별하십시오. 사실, "암시적 기능"과 "암시적 기능"이라는 문구는 하나의 의미적 뉘앙스가 다릅니다. "암시적으로 정의된 함수"라는 문구가 더 일반적이고 정확합니다. - 이 함수는 묵시적으로 주어지지만 여기서는 "y"를 표현하고 함수를 명시적으로 나타낼 수 있습니다. "암시 함수"라는 구문은 "y"를 표현할 수 없는 경우 "고전적인" 암시적 기능을 의미합니다.

두 번째 해결 방법

주목!자신있게 찾는 방법을 알고 있어야 두 번째 방법에 익숙해 질 수 있습니다. 부분 파생 상품. 미적분학 초보자 및 입문자 제발 이 단락을 읽고 건너 뛰지 마십시오, 그렇지 않으면 머리가 완전히 엉망이 될 것입니다.

두 번째 방법으로 암시적 함수의 도함수를 찾습니다.

모든 항을 왼쪽으로 이동합니다.

그리고 두 변수의 함수를 고려하십시오.

그런 다음 우리의 도함수는 공식에 의해 찾을 수 있습니다
편도함수를 찾아보자:

이런 식으로:

두 번째 솔루션을 사용하면 검사를 수행할 수 있습니다. 그러나 편미분은 나중에 마스터하고 "한 변수의 함수 미분"주제를 공부하는 학생은 편미분을 몰라야하기 때문에 그를 위해 작업의 최종 버전을 작성하는 것은 바람직하지 않습니다.

몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 2

암시적으로 주어진 함수의 도함수 찾기

우리는 두 부분에 획을 걸었습니다.

선형성 규칙을 사용합니다.

파생 상품 찾기:

모든 괄호 확장:

우리는 모든 용어를 왼쪽으로, 나머지는 오른쪽으로 옮깁니다.

왼쪽에서 대괄호 안에 넣습니다.

최종 답변:

실시예 3

암시적으로 주어진 함수의 도함수 찾기

강의 마지막 부분에 전체 솔루션 및 설계 샘플이 있습니다.

미분 후에 분수가 나타나는 것은 드문 일이 아닙니다. 이러한 경우 분수를 폐기해야 합니다. 두 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 4

암시적으로 주어진 함수의 도함수 찾기

스트로크 아래 두 부분을 모두 끝내고 선형성 규칙을 사용합니다.

의심의 여지없이, 우리의 마음에서 함수의 이미지는 평등 및 이에 해당하는 선, 즉 함수의 그래프와 관련이 있습니다. 예를 들어, - 기능적 의존성, 그 그래프는 이차 포물선원점에 정점이 있고 위쪽을 향하는 가지가 있습니다. 파동으로 알려진 사인 함수입니다.

이 예에서 등식의 좌변은 y 이고 우변은 인수 x 에 의존하는 표현식입니다. 즉, y에 대해 방정식을 풀었습니다. 그러한 표현의 형태로 기능적 의존성의 표현은 기능을 명시적으로 설정하여(또는 명시적으로 기능). 그리고 이러한 유형의 기능 할당은 우리에게 가장 친숙합니다. 대부분의 예제와 문제에서 명시적 기능이 제공됩니다. 우리는 이미 명시적으로 주어진 한 변수의 기능 미분에 대해 자세히 논의했습니다.

그러나 함수는 x 값 집합과 y 값 집합 사이의 대응 관계를 의미하며 이 대응 관계는 반드시 공식이나 분석 표현식에 의해 설정되는 것은 아닙니다. 즉, 일반적인 방법 외에 기능을 지정하는 방법이 많이 있습니다.

이 기사에서는 다음을 살펴볼 것입니다. 암시적 함수 및 파생물을 찾는 방법. 암시적 함수의 예는 또는 입니다.

눈치채셨겠지만, 암시적 기능은 관계에 의해 정의됩니다. 그러나 x와 y 사이의 이러한 모든 관계가 함수를 정의하는 것은 아닙니다. 예를 들어 쌍이 없습니다. 실수 x와 y는 같음을 만족하지 않으므로 이 관계는 암시적 함수를 정의하지 않습니다.

값 x 와 y 사이의 대응 법칙을 암시적으로 정의할 수 있으며 인수 x의 각 값은 하나(이 경우 단일 값 함수가 있음) 또는 함수의 여러 값( 이 경우 함수를 다중값이라고 합니다). 예를 들어 값 x = 1은 암시적으로 두 개의 실수 값 y = 2 및 y = -2에 해당합니다. 주어진 기능.

암시적 기능을 명시적 형식으로 줄이는 것이 항상 가능한 것은 아니며 그렇지 않으면 암시적 기능 자체를 구별할 필요가 없습니다. 예를 들어, -는 명시적 형식으로 변환되지 않지만 -는 변환됩니다.

이제 비즈니스를 시작합니다.

묵시적으로 주어진 함수의 도함수를 찾으려면 y를 x의 함수로 간주하여 인수 x에 대해 등식의 양쪽을 구별한 다음 를 표현해야 합니다.

x 및 y(x)를 포함하는 표현식의 미분은 미분 규칙과 복소수 함수의 도함수를 찾는 규칙을 사용하여 수행됩니다. 더 이상의 질문이 없도록 즉시 몇 가지 예를 자세히 분석해 보겠습니다.

예시.

식 구별하기 x 에서 y 가 x 의 함수라고 가정합니다.

해결책.

왜냐하면 y는 x의 함수이고 복소수 함수입니다. 일반적으로 f(g(x)) 로 나타낼 수 있습니다. 여기서 f 는 입방체 함수이고 g(x) = y 입니다. 그런 다음 복소수 함수의 미분 공식에 따라 다음을 얻습니다. .

두 번째 식을 미분할 때 도함수의 부호에서 상수를 빼고 이전 경우와 같이 작동합니다(여기서 f는 사인 함수, g(x) = y).

세 번째 표현식의 경우 제품의 도함수에 대한 공식을 사용합니다.

규칙을 순차적으로 적용하여 마지막 표현식을 구별합니다.

이제 암시적으로 주어진 함수의 도함수를 찾는 단계로 넘어갈 수 있습니다. 이에 대한 모든 지식이 있기 때문입니다.

예시.

암시적 함수의 도함수를 찾습니다.

해결책.

암시적 함수의 도함수는 항상 x 및 y: 를 포함하는 표현식으로 표현됩니다. 이 결과에 도달하기 위해 평등의 양쪽을 구별합니다.

도함수와 관련하여 결과 방정식을 풀어 보겠습니다.

대답:

논평.

자료를 통합하기 위해 다른 예를 해결해 보겠습니다.

먼저 한 변수의 암시적 기능을 살펴보겠습니다. 그것은 어떤 영역 X의 각 x에 특정 y를 할당하는 식 (1)에 의해 결정됩니다. 그런 다음 함수 y=f(x)는 이 방정식에 의해 X에 정의됩니다. 그들은 그녀를 부른다 절대적인또는 묵시적으로 주어진. 방정식 (1)이 y에 대해 풀릴 수 있다면, 즉 y \u003d f (x) 형식을 얻으면 암시 적 함수의 작업은 다음과 같습니다. 명백한.그러나 방정식을 푸는 것이 항상 가능한 것은 아니며 이 경우 점( x 0, y 0).

예를 들어, 방정식
예를 들어 점 (1,0)의 일부 이웃에서 암시적 함수를 정의하는지 여부는 y에 대해 해결할 수 없습니다. 함수를 정의하지 않는 방정식이 있습니다(x 2 +y 2 +1=0).

다음 정리가 사실로 판명되었습니다.

정리"암시 함수의 존재와 미분"(증거 없음)

방정식을 보자
(1) 및 기능
, 다음 조건을 충족합니다.

그 다음에:

. (2)

기하학적으로 정리는 한 점의 이웃에서
, 정리의 조건이 충족되는 경우 식 (1)에 의해 정의된 암시적 함수는 명시적으로 y=f(x)로 지정될 수 있습니다. x의 각 값에는 고유한 y가 있습니다. 함수에 대한 명시적 표현을 찾을 수 없더라도 점 M 0 근처에서 이것은 원칙적으로 이미 가능하다고 확신합니다.