어디 엑스* - 비균질 시스템(2)의 솔루션 중 하나(예: (4)), (E−A + A)행렬의 커널(제로 공간)을 형성합니다. ㅏ.
행렬의 골격 분해를 해보자 (E−A + A):
E−A + A=Q S
어디 큐 n×n-r- 순위 행렬 (Q)=n-r, 에스 n−r×n-순위 매트릭스 (S)=n-r.
그러면 (13)은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.
x=x*+Qk, ∀ 케이 ∈ R n-r .
어디 k=Sz.
그래서, 일반적인 해결 절차시스템 선형 방정식의사 역행렬을 사용하면 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다.
x=x*+Qk, ∀ 케이 ∈ R n-r .
온라인 계산기를 사용하면 자세한 설명과 함께 선형 방정식 시스템의 일반적인 솔루션을 찾을 수 있습니다.
방정식 시스템은 다양한 프로세스의 수학적 모델링에서 경제 산업에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 생산 관리 및 계획, 물류 경로(운송 문제) 또는 장비 배치 문제를 해결할 때.
방정식 시스템은 수학 분야뿐만 아니라 물리학, 화학 및 생물학에서도 인구 규모를 찾는 문제를 해결할 때 사용됩니다.
선형 방정식 시스템은 공통 솔루션을 찾는 데 필요한 여러 변수가 있는 둘 이상의 방정식에 대한 용어입니다. 모든 방정식이 참 평등이 되거나 수열이 존재하지 않음을 증명하는 수열.
ax+by=c 형식의 방정식을 선형이라고 합니다. 지정 x, y는 미지수이며, 그 값을 찾아야 하며, b는 변수의 계수이고, c는 방정식의 자유항입니다.
그래프를 그려서 방정식을 풀면 모든 점이 다항식의 해인 직선처럼 보일 것입니다.
가장 간단한 것은 두 개의 변수 X와 Y가 있는 선형 방정식 시스템의 예입니다.
F1(x, y) = 0 및 F2(x, y) = 0, 여기서 F1,2는 함수이고 (x, y)는 함수 변수입니다.
연립방정식 풀기 - 그것은 시스템이 진정한 평등이되는 그러한 값 (x, y)을 찾거나 x와 y의 적절한 값이 없다는 것을 확립하는 것을 의미합니다.
점 좌표로 작성된 한 쌍의 값(x, y)을 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션이라고 합니다.
시스템에 하나의 공통 솔루션이 있거나 솔루션이 없는 경우 해당 시스템을 등가라고 합니다.
선형 방정식의 동차 시스템은 우변이 0인 시스템입니다. "등호" 기호 뒤의 오른쪽 부분에 값이 있거나 함수로 표현되는 경우 이러한 시스템은 동질적이지 않습니다.
변수의 수는 2보다 훨씬 많을 수 있습니다. 그런 다음 3개 이상의 변수가 있는 선형 방정식 시스템의 예에 대해 이야기해야 합니다.
시스템에 직면하여 학생들은 방정식의 수와 미지수의 수가 반드시 일치해야 한다고 가정하지만, 그렇지 않습니다. 시스템의 방정식 수는 변수에 의존하지 않으며 임의로 많은 수가 있을 수 있습니다.
이러한 시스템을 풀기 위한 일반적인 분석 방법은 없으며 모든 방법은 수치 솔루션을 기반으로 합니다. 에 학교 과정순열, 대수 덧셈, 대입, 그래픽 및 매트릭스 방법, 가우스 방법에 의한 솔루션.
해결 방법을 가르치는 주요 임무는 시스템을 올바르게 분석하고 각 예제에 대한 최적의 솔루션 알고리즘을 찾는 방법을 가르치는 것입니다. 가장 중요한 것은 각 방법에 대한 규칙과 행동 체계를 암기하는 것이 아니라 특정 방법을 적용하는 원리를 이해하는 것입니다.
프로그램의 7 번째 클래스의 선형 방정식 시스템의 예제 해결 중고등 학교아주 간단하고 아주 자세하게 설명되어 있습니다. 수학에 관한 모든 교과서에서 이 부분은 충분히 주의를 기울입니다. Gauss 및 Cramer 방법에 의한 선형 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션은 고등 교육 기관의 첫 번째 과정에서 더 자세히 연구됩니다.
대체 방법의 동작은 한 변수의 값을 두 번째 변수를 통해 표현하는 것을 목표로 합니다. 식은 나머지 방정식에 대입된 다음 단일 변수 형태로 축소됩니다. 시스템의 미지수 개수에 따라 동작이 반복됩니다.
대체 방법에 의한 7급 선형 방정식 시스템의 예를 들어 보겠습니다.
예제에서 알 수 있듯이 변수 x는 F(X) = 7 + Y로 표현되었습니다. 결과 표현식은 X 대신 시스템의 두 번째 방정식에 대입하여 두 번째 방정식에서 하나의 변수 Y를 얻는 데 도움이 되었습니다. . 해결책 이 예문제를 일으키지 않고 Y값을 얻을 수 있습니다.마지막 단계는 수신된 값을 확인하는 것입니다.
선형 방정식 시스템의 예를 대입으로 푸는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 방정식은 복잡할 수 있으며 두 번째 미지수에 대한 변수의 표현은 추가 계산을 위해 너무 복잡할 것입니다. 시스템에 3개 이상의 미지수가 있는 경우 대체 솔루션도 비실용적입니다.
선형 비균일 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션:
덧셈법으로 연립방정식의 해를 구하는 경우, 항별 덧셈과 다양한 수의 방정식의 곱셈이 수행됩니다. 수학 연산의 궁극적인 목표는 변수가 하나인 방정식입니다.
애플리케이션용 이 방법연습과 관찰이 필요합니다. 변수의 개수가 3개 이상인 덧셈법을 사용하여 선형 연립방정식을 푸는 것은 쉽지 않습니다. 대수 덧셈은 방정식에 분수와 소수가 포함될 때 유용합니다.
솔루션 작업 알고리즘:
시스템이 2개 이하의 방정식에 대한 솔루션을 찾아야 하는 경우 새 변수를 도입할 수 있으며 미지수도 2개 이하이어야 합니다.
이 방법은 새로운 변수를 도입하여 방정식 중 하나를 단순화하는 데 사용됩니다. 입력된 미지수에 대해 새 방정식을 풀고 결과 값을 사용하여 원래 변수를 결정합니다.
새로운 변수 t를 도입함으로써 시스템의 1차 방정식을 표준 제곱 삼항식으로 축소할 수 있음을 예에서 알 수 있습니다. 판별식을 찾아 다항식을 풀 수 있습니다.
잘 알려진 공식을 사용하여 판별식의 값을 찾아야 합니다. D = b2 - 4*a*c, 여기서 D는 원하는 판별식, b, a, c는 다항식의 승수입니다. 주어진 예에서, a=1, b=16, c=39, 따라서 D=100입니다. 판별식이 0보다 크면 2개의 해가 있습니다. t = -b±√D / 2*a, 판별식이 0보다 작으면 x= -b / 2*a의 해 하나만 있습니다.
결과 시스템에 대한 솔루션은 추가 방법으로 찾을 수 있습니다.
3개의 방정식이 있는 시스템에 적합합니다. 이 방법은 좌표축에 시스템에 포함된 각 방정식의 그래프를 그리는 것으로 구성됩니다. 곡선의 교차점의 좌표는 다음과 같습니다. 공통 솔루션시스템.
그래픽 방식에는 여러 가지 뉘앙스가 있습니다. 시각적인 방법으로 선형 방정식 시스템을 푸는 몇 가지 예를 고려하십시오.
예에서 볼 수 있듯이 각 라인에 대해 두 개의 점이 구성되었으며 변수 x의 값은 0과 3으로 임의로 선택되었습니다. x 값을 기반으로 y 값을 찾았습니다. 3 및 0. 좌표가 (0, 3) 및 (3, 0)인 점을 그래프에 표시하고 선으로 연결했습니다.
두 번째 방정식에 대해 단계를 반복해야 합니다. 선의 교차점이 시스템의 솔루션입니다.
다음 예에서는 선형 방정식 시스템에 대한 그래픽 솔루션을 찾아야 합니다: 0.5x-y+2=0 및 0.5x-y-1=0.
예에서 볼 수 있듯이 그래프가 평행하고 전체 길이를 따라 교차하지 않기 때문에 시스템에는 솔루션이 없습니다.
예제 2와 3의 시스템은 유사하지만 구성할 때 솔루션이 다르다는 것이 분명해집니다. 시스템에 솔루션이 있는지 여부를 항상 말할 수 있는 것은 아니며 항상 그래프를 작성해야 한다는 점을 기억해야 합니다.
행렬은 선형 방정식 시스템을 간략하게 작성하는 데 사용됩니다. 행렬은 숫자로 채워진 특별한 유형의 테이블입니다. n*m에는 n - 행과 m - 열이 있습니다.
행렬은 열과 행의 수가 같을 때 정사각형입니다. 행렬 벡터는 무한히 가능한 행 수가 있는 단일 열 행렬입니다. 대각선 중 하나와 다른 0 요소를 따라 단위가 있는 행렬을 항등이라고 합니다.
역행렬은 이러한 행렬이며, 곱하면 원래 행렬이 단위 1로 바뀌며, 이러한 행렬은 원래 정사각형에 대해서만 존재합니다.
방정식 시스템과 관련하여 방정식의 계수 및 자유 구성원은 행렬의 숫자로 작성되며 하나의 방정식은 행렬의 한 행입니다.
행의 요소 중 하나 이상이 0이 아닌 경우 행렬 행을 0이 아닌 행이라고 합니다. 따라서 방정식에서 변수의 수가 다른 경우 누락된 미지수 대신 0을 입력해야 합니다.
행렬의 열은 변수와 엄격하게 일치해야 합니다. 이것은 변수 x의 계수가 한 열에만 쓸 수 있음을 의미합니다.
행렬을 곱할 때 모든 행렬 요소에 숫자를 연속적으로 곱합니다.
역행렬을 찾는 공식은 매우 간단합니다. K -1 = 1 / |K|, 여기서 K -1은 역행렬이고 |K| - 행렬 행렬식. |케이| 0이 아니어야 시스템에 솔루션이 있습니다.
행렬식은 2x2 행렬에 대해 쉽게 계산되며 요소를 서로 대각선으로 곱하기만 하면 됩니다. "3 x 3" 옵션의 경우 공식이 있습니다 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . 공식을 사용할 수도 있고, 제품에서 요소의 열과 행 번호가 반복되지 않도록 각 행과 각 열에서 하나의 요소를 가져와야 한다는 것을 기억할 수 있습니다.
솔루션을 찾는 행렬 방법을 사용하면 다음을 사용하여 시스템을 풀 때 번거로운 표기법을 줄일 수 있습니다. 많은 양변수와 방정식.
예에서, nm는 방정식의 계수이고, 행렬은 벡터입니다. x n은 변수이고, b n은 자유항입니다.
에 고등 수학가우스법은 크라머법과 함께 연구되며, 시스템에 대한 해를 찾는 과정을 가우스-크라머 해법이라고 한다. 이러한 방법은 찾는 데 사용됩니다. 시스템 변수많은 선형 방정식과 함께.
가우스 방법은 대체를 사용하는 솔루션과 매우 유사합니다. 대수적 덧셈하지만 더 체계적이다. 학교 과정에서 가우스 솔루션은 3 및 4 방정식 시스템에 사용됩니다. 이 방법의 목적은 시스템을 역 사다리꼴 형태로 만드는 것입니다. 대수 변환 및 대체에 의해 한 변수의 값은 시스템의 방정식 중 하나에서 발견됩니다. 두 번째 방정식은 2개의 미지수와 3 및 4 - 각각 3 및 4개의 변수가 있는 표현식입니다.
시스템을 설명된 형식으로 가져온 후 추가 솔루션은 알려진 변수를 시스템 방정식으로 순차적으로 대체하는 것으로 축소됩니다.
7학년을 위한 학교 교과서에서 가우스 솔루션의 예는 다음과 같이 설명됩니다.
예에서 볼 수 있듯이 (3) 단계에서 3x 3 -2x 4 =11 및 3x 3 +2x 4 =7의 두 방정식이 얻어졌습니다. 방정식 중 하나의 솔루션을 사용하면 변수 x n 중 하나를 찾을 수 있습니다.
텍스트에 언급된 정리 5는 시스템의 방정식 중 하나가 등가 방정식으로 대체되면 결과 시스템도 원래 시스템과 동일하다고 말합니다.
가우시안 방법은 중학생이 이해하기 어렵지만, 흥미로운 방법수학 및 물리학 수업의 고급 학습 프로그램에 등록한 어린이의 독창성을 개발합니다.
계산을 쉽게 기록하기 위해 다음을 수행하는 것이 일반적입니다.
방정식 계수와 자유 항은 행렬의 형태로 작성되며, 여기서 행렬의 각 행은 시스템의 방정식 중 하나에 해당합니다. 방정식의 좌변을 우변과 분리합니다. 로마 숫자는 시스템의 방정식 수를 나타냅니다.
먼저 작업할 매트릭스를 작성한 다음 행 중 하나에서 수행되는 모든 작업을 기록합니다. 결과 행렬은 "화살표"기호 뒤에 작성되고 결과가 달성될 때까지 필요한 대수 연산을 계속 수행합니다.
결과적으로 대각선 중 하나가 1이고 다른 모든 계수가 0인 행렬을 얻어야 합니다. 즉, 행렬이 단일 형식으로 축소됩니다. 우리는 방정식의 양변의 숫자로 계산하는 것을 잊어서는 안됩니다.
이 표기법은 덜 번거로우며 수많은 미지수를 나열하여 주의가 산만해지지 않도록 합니다.
모든 솔루션 방법을 무료로 적용하려면 주의와 어느 정도의 경험이 필요합니다. 모든 방법이 적용되는 것은 아닙니다. 솔루션을 찾는 일부 방법은 인간 활동의 특정 영역에서 더 선호되는 반면 다른 방법은 학습 목적으로 존재합니다.
선형 시스템의 솔루션 대수 방정식(SLAE)는 의심할 여지 없이 선형 대수학 과정에서 가장 중요한 주제입니다. 모든 수학 분야의 엄청난 수의 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소됩니다. 이러한 요소는 이 기사를 작성하는 이유를 설명합니다. 기사의 자료는 도움을 받아 다음을 수행할 수 있도록 선택되고 구성됩니다.
기사의 자료에 대한 간략한 설명.
먼저 필요한 모든 정의, 개념을 제공하고 일부 표기법을 소개합니다.
다음으로, 방정식의 수가 미지의 변수의 수와 같고 다음을 갖는 선형 대수 방정식의 시스템을 푸는 방법을 고려합니다 유일한 결정. 첫째, 우리는 Cramer 방법에 초점을 맞출 것입니다. 둘째, 이러한 방정식 시스템을 풀기 위한 행렬 방법을 보여줄 것입니다. 셋째, Gauss 방법을 분석할 것입니다. 순차 제외알 수 없는 변수). 이론을 통합하기 위해 몇 가지 SLAE를 확실히 해결할 것입니다. 다른 방법들.
그 후, 우리는 선형 대수 방정식 풀이 시스템으로 전환합니다. 일반보기, 방정식의 수가 미지의 변수의 수와 일치하지 않거나 시스템의 주행렬이 축퇴됩니다. 우리는 SLAE의 호환성을 설정할 수 있는 Kronecker-Capelli 정리를 공식화합니다. 매트릭스의 기본 마이너 개념을 사용하여 시스템의 솔루션(호환성의 경우)을 분석해 보겠습니다. 우리는 또한 가우스 방법을 고려하고 예제의 솔루션을 자세히 설명합니다.
선형 대수 방정식의 균질 및 비균질 시스템의 일반 솔루션 구조에 대해 숙고하십시오. 기본 솔루션 시스템의 개념을 제공하고 기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 SLAE의 일반 솔루션을 작성하는 방법을 보여 드리겠습니다. 더 나은 이해를 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
결론적으로 우리는 SLAE가 발생하는 솔루션에서 선형 시스템으로 축소되는 방정식 시스템과 다양한 문제를 고려합니다.
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다음 형식의 n개의 알려지지 않은 변수(p는 n과 같을 수 있음)를 갖는 p 선형 대수 방정식의 시스템을 고려할 것입니다.
알 수 없는 변수, - 계수(일부 실수 또는 복소수), - 자유 구성원(실수 또는 복소수도 포함).
이 형태의 SLAE를 동등 어구.
에 매트릭스 형태이 연립방정식의 형식은 ,
어디 
- 시스템의 주 행렬 - 미지 변수의 행렬 열 - 자유 멤버의 행렬 열.
행렬 A에 (n + 1)번째 열을 자유 항의 행렬 열로 추가하면 소위 확장 매트릭스선형 방정식 시스템. 일반적으로 증가 행렬은 문자 T로 표시되며 자유 구성원의 열은 나머지 열과 수직선으로 구분됩니다. 즉, 
선형 대수 방정식 시스템을 풀면시스템의 모든 방정식을 항등식으로 바꾸는 알 수 없는 변수의 값 집합이라고 합니다. 미지 변수의 주어진 값에 대한 행렬 방정식도 항등식으로 바뀝니다.
연립방정식의 해가 하나 이상 있으면 이를 관절.
연립방정식에 해가 없으면 다음과 같이 불립니다. 호환되지 않는.
SLAE에 고유한 솔루션이 있는 경우 이를 확실한; 솔루션이 둘 이상인 경우 - 불확실한.
시스템의 모든 방정식의 자유 항이 0인 경우 
, 다음 시스템이 호출됩니다 동종의, 그렇지 않으면 - 이질적인.
시스템 방정식의 수가 알려지지 않은 변수의 수와 같고 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 SLAE를 호출합니다 초등학교. 이러한 연립방정식은 고유한 해를 가지며, 동질계의 경우 모든 미지의 변수는 0과 같습니다.
우리는 그러한 SLAE를 연구하기 시작했습니다. 고등학교. 풀 때 하나의 방정식을 취하고 하나의 미지의 변수를 다른 방정식으로 표현하고 나머지 방정식에 대입하고 다음 방정식을 취하고 다음 미지의 변수를 표현하고 다른 방정식에 대입하는 식입니다. 또는 그들은 덧셈 방법을 사용했습니다. 즉, 두 개 이상의 방정식을 추가하여 일부 알려지지 않은 변수를 제거했습니다. 이러한 방법은 본질적으로 가우스 방법의 수정이기 때문에 자세히 설명하지 않습니다.
선형 방정식의 기본 시스템을 푸는 주요 방법은 Cramer 방법, 행렬 방법 및 Gauss 방법입니다. 그것들을 정리합시다.
선형 대수 방정식 시스템을 풀어야 합니다. 
방정식의 수는 미지의 변수의 수와 같고 시스템의 주행렬의 행렬식이 0과 다른 경우, 즉 .
시스템의 주 행렬의 행렬식이라고 하고, 
다음을 대체하여 A에서 얻은 행렬의 행렬식입니다. 1번째, 2번째, …, n번째열을 자유 회원 열에 각각: 
이러한 표기법으로 미지수 변수는 Cramer 방법의 공식에 의해 다음과 같이 계산됩니다. 
. 이것이 Cramer 방법으로 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션을 찾는 방법입니다.
예시.
크래머 방식 
.
해결책.
시스템의 주요 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 
. 행렬식을 계산합니다(필요한 경우 기사 참조). 
시스템의 주행렬의 행렬식이 0이 아니므로 시스템에는 Cramer의 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션이 있습니다.
필요한 결정 요인을 구성하고 계산합니다. 
(행렬 A의 첫 번째 열을 자유 구성원 열로 대체하여 행렬식을 얻습니다. 행렬식 - 두 번째 열을 자유 구성원 열로 대체 - 행렬 A의 세 번째 열을 자유 구성원 열로 대체 ): 
공식을 사용하여 미지의 변수 찾기 
:
대답:
Cramer의 방법의 주요 단점(단점이라고 할 수 있다면)은 시스템 방정식의 수가 3개 이상일 때 행렬식을 계산하는 복잡성입니다.
선형 대수 방정식 시스템이 행렬 형식으로 주어졌다고 하자. 여기서 행렬 A는 차원이 n x n이고 행렬식의 행렬식이 0이 아닙니다.
이므로 행렬 A는 역행렬입니다. 즉, 역행렬이 있습니다. 등식의 두 부분을 왼쪽에 곱하면 알 수 없는 변수의 열 행렬을 찾는 공식을 얻습니다. 그래서 우리는 행렬 방법에 의해 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션을 얻었습니다.
예시.
선형 연립방정식 풀기 매트릭스 방식.
해결책.
연립방정식을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 
왜냐하면
그러면 SLAE는 행렬 방법으로 풀 수 있습니다. 역행렬을 사용하여 이 시스템에 대한 솔루션은 다음과 같이 찾을 수 있습니다. 
.
행렬 A의 요소에 대한 대수 보수 행렬을 사용하여 역행렬을 만들어 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조). 
계산해야 합니다 - 역행렬을 곱하여 알 수 없는 변수의 행렬 
무료 회원의 행렬 열에서(필요한 경우 기사 참조): 
대답:
또는 다른 표기법으로 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1입니다.
행렬 방법으로 선형 대수 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾는 주요 문제는 특히 다음과 같은 경우에 대해 역행렬을 찾는 복잡성입니다. 정사각형 행렬세 번째보다 높은 순서.
n개의 미지의 변수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템에 대한 해를 찾아야 한다고 가정합니다. 
0과 다른 주 행렬의 행렬식.
가우스 방법의 본질알 수 없는 변수의 연속적인 제외로 구성됩니다. 첫째, x 1은 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 제외되고 x 2는 세 번째부터 모든 방정식에서 제외됩니다. x n은 마지막 방정식에 남아 있습니다. 미지의 변수를 연속적으로 제거하기 위해 시스템의 방정식을 변환하는 이러한 과정을 직접 가우스 방법. 가우스법의 정방향 실행 완료 후 마지막 방정식에서 x n 을 구하고 이 값을 사용하여 끝에서 두 번째 방정식에서 x n-1 을 계산하는 식으로 첫 번째 방정식에서 x 1 을 구합니다. 시스템의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지의 변수를 계산하는 과정을 역 가우스 방법.
알려지지 않은 변수를 제거하는 알고리즘을 간략하게 설명하겠습니다.
우리는 시스템의 방정식을 재정렬함으로써 항상 이것을 달성할 수 있기 때문에 , 라고 가정할 것입니다. 두 번째 것부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 미지의 변수 x 1을 제외합니다. 이렇게 하려면 시스템의 두 번째 방정식에 곱한 첫 번째 방정식을 더하고 세 번째 방정식에 첫 번째 곱한 방정식을 더하는 식으로 n번째 방정식에 곱한 첫 번째 방정식을 더합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다. 
어디 , 
.
시스템의 첫 번째 방정식에서 x 1을 다른 미지의 변수로 표현하고 결과 표현을 다른 모든 방정식에 대입하면 동일한 결과가 됩니다. 따라서 변수 x 1은 두 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.
다음으로 우리는 유사하게 행동하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부만 사용합니다. 
이렇게 하려면 시스템의 세 번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 더하고 네 번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 더하는 식으로 n번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 더합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다. 
어디 , 
. 따라서 변수 x 2는 세 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.
다음으로 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 동작하면서 미지수 x 3의 제거를 진행합니다. 
따라서 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접적인 과정을 계속합니다. 
이 순간부터 가우스 방법의 역 과정을 시작합니다. 마지막 방정식에서 x n을 다음과 같이 계산합니다. 얻은 값 x n을 사용하여 두 번째 방정식에서 x n-1을 찾는 식으로 첫 번째 방정식에서 x 1을 찾습니다. 방정식.
예시.
선형 연립방정식 풀기 가우스 방법.
해결책.
시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 미지의 변수 x 1을 제외합시다. 이를 위해 두 번째 및 세 번째 방정식의 두 부분 모두에 첫 번째 방정식의 해당 부분을 추가하고 각각을 곱합니다. 
이제 두 번째 방정식의 왼쪽과 오른쪽 부분을 왼쪽과 오른쪽 부분에 더하고 다음을 곱하여 세 번째 방정식에서 x 2를 제외합니다. 
이것으로 Gauss 방법의 정방향 과정이 완료되고 역방향 과정을 시작합니다.
결과 방정식 시스템의 마지막 방정식에서 x 3을 찾습니다. 
두 번째 방정식에서 우리는 .
첫 번째 방정식에서 나머지 알려지지 않은 변수를 찾고 이것은 가우스 방법의 역 과정을 완료합니다.
대답:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
에 일반적인 경우시스템 방정식의 수 p가 미지의 변수 n의 수와 일치하지 않습니다.
이러한 SLAE에는 솔루션이 없거나, 단일 솔루션이 있거나, 무한히 많은 솔루션이 있을 수 있습니다. 이 진술은 주 행렬이 정사각형이고 축퇴된 방정식 시스템에도 적용됩니다.
선형 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾기 전에 호환성을 설정해야 합니다. SLAE가 호환될 때와 호환되지 않을 때 질문에 대한 대답은 다음을 제공합니다. 크로네커-카펠리 정리:
n개의 미지수(p는 n과 같을 수 있음)가 있는 p 방정식의 시스템이 일관성을 유지하려면 시스템의 주 행렬의 순위가 다음과 같아야 하는 것이 필요하고 충분합니다. 순위와 동일증강 행렬, 즉 Rank(A)=Rank(T) 입니다.
예를 들어 선형 방정식 시스템의 호환성을 결정하기 위한 Kronecker-Cappelli 정리의 적용을 고려해 보겠습니다.
예시.
선형 방정식 시스템이 다음을 가지고 있는지 알아보십시오. 
솔루션.
해결책.
. 미성년자를 경계하는 방법을 사용합시다. 2차 주문의 마이너 
제로와 다릅니다. 그것을 둘러싼 3 차 미성년자를 살펴 보겠습니다. 
경계에 있는 모든 3차 미성년자는 0과 같으므로 주 행렬의 순위는 2입니다.
차례로, 증강 행렬의 순위 
세 번째 주문의 마이너 이후로 3과 같습니다. 
제로와 다릅니다.
이런 식으로, 따라서 Rang(A) , Kronecker-Capelli 정리에 따르면 원래 선형 방정식 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.
대답:
솔루션 시스템이 없습니다.
그래서 우리는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 시스템의 불일치를 설정하는 방법을 배웠습니다.
그러나 호환성이 확립된 경우 SLAE의 솔루션을 찾는 방법은 무엇입니까?
이를 위해서는 행렬의 기초 마이너 개념과 행렬의 순위에 대한 정리가 필요합니다.
0이 아닌 행렬 A의 가장 높은 차수 마이너를 호출합니다. 기초적인.
그 차수가 행렬의 순위와 같다는 것은 기초 마이너의 정의에서 따릅니다. 0이 아닌 행렬 A의 경우 기본 마이너가 여러 개 있을 수 있으며 항상 하나의 기본 마이너가 있습니다.
예를 들어 행렬을 고려하십시오. 
.
이 행렬의 세 번째 행의 요소가 첫 번째 행과 두 번째 행의 해당 요소의 합이기 때문에 이 행렬의 모든 3차 소수는 0입니다.
다음 2차 단조는 0이 아니므로 기본입니다. 
미성년자 
0과 같기 때문에 기본이 아닙니다.
행렬 순위 정리.
p x n 차의 행렬의 순위가 r인 경우 선택한 보조 기저를 형성하지 않는 행렬의 모든 행(및 열) 요소는 행(및 열)의 해당 요소에 대해 선형으로 표현됩니다. ) 기본 마이너를 형성합니다.
행렬 순위 정리는 우리에게 무엇을 제공합니까?
Kronecker-Capelli 정리에 의해 시스템의 호환성을 설정한 경우 시스템의 주 행렬의 기본 소수를 선택하고(순서는 r과 같음) 시스템에서 다음과 같은 모든 방정식을 제외합니다. 선택한 기본 부전공을 형성합니다. 이 방법으로 얻은 SLAE는 폐기된 방정식이 여전히 중복되기 때문에 원래의 SLAE와 동일합니다(행렬 순위 정리에 따르면 나머지 방정식의 선형 조합임).
결과적으로 시스템의 과도한 방정식을 버리고 두 가지 경우가 가능합니다.
결과 시스템에서 방정식 r의 수가 미지수 변수의 수와 같으면 그것은 명확할 것이고 유일한 해는 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 가우스 방법으로 찾을 수 있습니다.
예시.
.
해결책.
시스템의 메인 매트릭스 순위 
두 번째 순서의 마이너 때문에 2와 같습니다. 
제로와 다릅니다. 확장 행렬 순위 
세 번째 차수의 유일한 소수가 0과 같기 때문에 2와도 같습니다. 
그리고 위에서 고려한 2차 단조는 0과 다릅니다. Kronecker-Capelli 정리에 따라 Rank(A)=Rank(T)=2이므로 원래 선형 방정식 시스템의 호환성을 주장할 수 있습니다.
기초 미성년자로서 우리는 . 첫 번째 및 두 번째 방정식의 계수로 구성됩니다. 
시스템의 세 번째 방정식은 기본 마이너의 형성에 참여하지 않으므로 행렬 순위 정리에 따라 시스템에서 제외합니다. 
따라서 우리는 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 얻었습니다. Cramer의 방법으로 해결해 보겠습니다. 
대답:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
결과 SLAE에서 방정식 r의 수가 미지수 변수 n의 수보다 작으면 방정식의 왼쪽 부분에 기본 마이너를 형성하는 항을 남겨두고 나머지 항을 방정식의 오른쪽 부분으로 옮깁니다. 반대 기호가있는 시스템의.
방정식의 좌변에 남아 있는 알려지지 않은 변수(그 중 r개 있음)를 기본.
오른쪽에 있는 알 수 없는 변수(그 중 n - r개 있음)를 호출합니다. 무료.
이제 우리는 자유 미지 변수가 임의의 값을 가질 수 있다고 가정하는 반면 r개의 주요 미지수 변수는 고유한 방식으로 자유 미지수 변수로 표현될 것입니다. Cramer 방법, Matrix 방법 또는 Gauss 방법으로 결과 SLAE를 풀어서 해당 표현을 찾을 수 있습니다.
예를 들어 보겠습니다.
예시.
선형 대수 방정식 풀기 
.
해결책.
시스템의 주요 행렬의 순위 찾기 
접경 미성년자 방법으로. 1 1 = 1을 0이 아닌 1차 미성년자로 간주합시다. 이 마이너를 둘러싸고 있는 0이 아닌 2차 마이너 검색을 시작하겠습니다. 
그래서 우리는 2차의 0이 아닌 단조를 찾았습니다. 세 번째 순서의 0이 아닌 접경 마이너 검색을 시작하겠습니다. 
따라서 주 행렬의 순위는 3입니다. 증강 행렬의 순위도 3과 같습니다. 즉, 시스템이 일관적입니다.
세 번째 순서의 0이 아닌 미성년자가 발견되면 기본 것으로 간주됩니다.
명확성을 위해 기초 마이너를 구성하는 요소를 보여줍니다. 
우리는 시스템의 방정식의 왼쪽에 기본 마이너에 참여하는 항을 남겨두고 나머지를 옮깁니다. 반대 표지판오른쪽으로: 
우리는 무료 미지 변수 x 2 및 x 5 임의의 값을 제공합니다. 
, 여기서 임의의 숫자입니다. 이 경우 SLAE는 다음 형식을 취합니다. 
우리는 Cramer 방법으로 얻은 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 풉니다. 
결과적으로 .
대답에서 무료 미지수 변수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.
대답:
임의의 숫자는 어디에 있습니까?
요약하다.
일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위해 먼저 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 호환성을 찾습니다. 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같지 않으면 시스템이 일관성이 없다고 결론을 내립니다.
주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같으면 기본 소수를 선택하고 선택한 기본 소수의 형성에 참여하지 않는 시스템의 방정식을 버립니다.
기초 미성년자의 순서인 경우 숫자와 같습니다알 수 없는 변수가 있는 경우 SLAE는 우리에게 알려진 모든 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.
기초 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수보다 작으면 시스템 방정식의 왼쪽에 주요 알려지지 않은 변수가 있는 항을 남겨두고 나머지 항을 오른쪽으로 옮기고 임의의 값을 할당합니다 자유 미지의 변수에. 선형 방정식의 결과 시스템에서 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 주요 미지 변수를 찾습니다.
가우스 방법을 사용하면 호환성에 대한 사전 조사 없이 모든 종류의 선형 대수 방정식 시스템을 풀 수 있습니다. 미지의 변수를 연속적으로 제거하는 과정을 통해 SLAE의 호환성과 불일치에 대한 결론을 도출할 수 있으며, 솔루션이 있으면 찾을 수 있습니다.
계산 작업의 관점에서 가우스 방법이 바람직합니다.
조심해 상세 설명일반 형태의 선형 대수 방정식의 시스템을 풀기 위한 가우스 방법 기사에서 분석된 예.
이 섹션에서는 무한한 수의 솔루션을 갖는 선형 대수 방정식의 공동 동차 및 비균일 시스템에 초점을 맞출 것입니다.
먼저 동종 시스템을 다루겠습니다.
기본 의사결정 시스템 n개의 알려지지 않은 변수가 있는 p 선형 대수 방정식의 동종 시스템은 이 시스템의 선형 독립 솔루션 세트(n – r)이며, 여기서 r은 시스템의 주 행렬의 기본 소수 차수입니다.
동종 SLAE의 선형 독립 솔루션을 X (1) , X (2) , … , X (n-r) (X (1) , X (2) , … 1 )에 의해, 이 균질 시스템의 일반 솔루션은 임의의 솔루션의 기본 시스템 벡터의 선형 조합으로 표현됩니다. 상수 계수С 1 , С 2 , … , С (n-r) , 즉 .
선형 대수 방정식의 균질 시스템의 일반 솔루션(oroslau)이라는 용어는 무엇을 의미합니까?
의미는 간단합니다. 공식은 원래 SLAE에 대한 가능한 모든 솔루션을 지정합니다. 즉, 공식에 따라 임의의 상수 C 1 , C 2 , ..., C (n-r) 값 세트를 취합니다. 원래 균질한 SLAE의 솔루션 중 하나를 얻게 됩니다.
따라서 우리가 찾으면 기본 시스템솔루션을 사용하면 이 동종 SLAE의 모든 솔루션을 로 설정할 수 있습니다.
균질한 SLAE에 대한 솔루션의 기본 시스템을 구성하는 과정을 보여 드리겠습니다.
우리는 원래 선형 방정식 시스템의 기본 마이너를 선택하고 시스템에서 다른 모든 방정식을 제외하고 반대 부호를 가진 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 자유 미지수 변수에 값 1,0,0,…,0을 부여하고 Cramer 방법과 같이 어떤 식으로든 결과 기본 선형 방정식 시스템을 풀어서 주요 미지수를 계산해 보겠습니다. 따라서 기본 시스템의 첫 번째 솔루션인 X(1)을 얻을 수 있습니다. 자유 미지수에 0,1,0,0,…,0 값을 주고 주요 미지수를 계산하면 X (2) 를 얻습니다. 등등. 자유 미지수 변수에 값 0,0,…,0,1을 부여하고 주요 미지수를 계산하면 X (n-r) 을 얻습니다. 이것이 동종 SLAE의 솔루션의 기본 시스템이 구성되는 방식이며 일반 솔루션은 형식으로 작성될 수 있습니다.
선형 대수 방정식의 비균일 시스템의 경우 일반 솔루션은 다음과 같이 표현됩니다.
예를 살펴보겠습니다.
예시.
선형 대수 방정식의 균질 시스템의 기본 솔루션 및 일반 솔루션 찾기 
.
해결책.
선형 방정식의 동종 시스템의 주 행렬의 순위는 항상 확장된 행렬의 순위와 같습니다. 프린지 마이너 방식으로 메인 매트릭스의 순위를 구해보자. 1차의 0이 아닌 소수로서, 시스템의 주 행렬의 요소 a 1 1 = 9를 취합니다. 두 번째 차수의 0이 아닌 접경을 찾으십시오. 
0이 아닌 2차 단조가 발견되었습니다. 0이 아닌 것을 찾기 위해 경계를 이루는 3차 미성년자를 살펴보겠습니다. 
세 번째 순서의 모든 경계 미성년자는 0과 같으므로 기본 및 확장 행렬의 순위는 2입니다. 기본 부전공을 살펴보겠습니다. 명확성을 위해 시스템을 구성하는 요소에 주목합니다. 
원래 SLAE의 세 번째 방정식은 기본 미성년자의 형성에 참여하지 않으므로 제외될 수 있습니다. 
주요 미지수를 포함하는 항을 방정식의 우변에 남겨두고 자유 미지수가 있는 항을 우변으로 옮깁니다.
선형 방정식의 원래 동차 시스템에 대한 기본 솔루션 시스템을 구성해 보겠습니다. 이 SLAE의 해의 기본 시스템은 두 개의 해로 구성되는데, 원래의 SLAE는 4개의 미지수 변수를 포함하고 기본 단조의 차수는 2이기 때문입니다. X (1)을 찾으려면 무료 미지수 변수에 x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 값을 부여한 다음 연립방정식에서 주요 미지수를 찾습니다. 
.
시스템이라고 합니다 관절,또는 풀 수 있는적어도 하나의 솔루션이 있는 경우. 시스템이라고 합니다 호환되지 않는,또는 불용성해결책이 없는 경우.
확정, 무기한 SLAE.
SLAE에 솔루션이 있고 고유한 경우 확실한솔루션이 고유하지 않은 경우 불확실한.
행렬 방정식
행렬을 사용하면 선형 방정식 시스템을 간략하게 작성할 수 있습니다. 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템이 주어집니다.
시스템의 행렬을 고려하십시오. 
알 수 없는 멤버와 비어 있는 멤버의 행렬 열 
제품을 찾아보자 
저것들. 곱의 결과로 이 시스템의 방정식의 좌변을 얻습니다. 그런 다음 행렬 평등의 정의를 사용하여 이 시스템은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
또는 더 짧은 ㅏ∙X=B.
여기 행렬 ㅏ그리고 비알려져 있으며 매트릭스 엑스알려지지 않은. 그녀를 찾아야 합니다. 왜냐하면 그 요소가 이 시스템의 솔루션입니다. 이 방정식은 행렬 방정식.
행렬 행렬식을 0과 다르게 합시다 | ㅏ| ≠ 0. 그러면 행렬 방정식은 다음과 같이 풀립니다. 왼쪽 방정식의 양변에 행렬을 곱합니다. A-1, 행렬의 역행렬 ㅏ: . 왜냐하면 A -1 A = E그리고 이자형∙X=X, 우리는 해결책을 얻습니다 행렬 방정식~처럼 X = A -1 B .
역행렬은 정방행렬에서만 찾을 수 있으므로 행렬 방법은 다음과 같은 시스템만 풀 수 있습니다. 방정식의 수는 미지수의 수와 같습니다..
크래머의 공식
Cramer의 방법은 우리가 연속적으로 찾는 것입니다. 마스터 시스템 식별자, 즉. 행렬 A의 행렬식: D = det(ai j) 및 n 보조 결정 인자 D i (i= ), 이는 i번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 행렬식 D에서 얻습니다.
Cramer의 공식은 다음과 같습니다. D × x i = D i (i = ).
이로부터 시스템의 호환성 문제에 대한 철저한 대답을 제공하는 Cramer의 규칙이 따릅니다. 시스템의 주요 결정 요소가 0이 아닌 경우 시스템은 공식 x i = D i / D에 의해 결정되는 고유한 솔루션을 갖습니다.
시스템 D의 주 행렬식과 모든 보조 행렬식 D i = 0(i= )인 경우 시스템의 해는 무한합니다. 시스템 D의 주 행렬식이 0이고 적어도 하나의 보조 행렬식이 0과 다르면 시스템이 일치하지 않습니다.
정리(Cramer의 법칙): 시스템의 행렬식이 Δ ≠ 0이면 고려 중인 시스템에는 하나의 솔루션이 있으며, 
증명: 그래서, 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템을 고려하십시오. 시스템의 첫 번째 방정식을 곱합니다. 대수적 덧셈 11요소 11, 두 번째 방정식 - 켜기 A21그리고 3번째에 31:
다음 방정식을 추가해 보겠습니다.
각 괄호를 고려하고 오른쪽이 방정식. 첫 번째 열의 요소 측면에서 행렬식의 확장에 대한 정리에 따르면.
유사하게, 와 가 표시될 수 있습니다.
마지막으로 쉽게 볼 수 있는 
따라서 우리는 평등을 얻습니다. . 결과적으로 .
등식 및 유사하게 도출되며, 여기서 정리의 주장이 뒤따릅니다.
크로네커-카펠리 정리.
선형 방정식 시스템은 시스템 행렬의 순위가 증대된 행렬의 순위와 같은 경우에만 일관성이 있습니다.
증거:두 단계로 나뉩니다.
1. 시스템에 솔루션을 제공합니다. 그것을 보여줍시다.
숫자의 집합을 보자 
시스템의 솔루션입니다. 행렬의 -번째 열로 표시, 
. 그런 다음, 즉, 자유 항의 열은 행렬 열의 선형 조합입니다. 허락하다 . 그런 척 하자 
. 다음으로 
. 우리는 기본 단조에서 선택합니다. 그는 명령이 있습니다. 자유 멤버의 열은 이 보조를 통과해야 합니다. 그렇지 않으면 행렬의 기본 보조가 됩니다. 마이너에서 자유 항의 열은 행렬 열의 선형 조합입니다. 행렬식의 속성 덕분에, 여기서 는 자유 항의 열을 열로 대체하여 미성년자에서 얻은 행렬식입니다. 열이 보조 M을 통과하면 에는 두 개의 동일한 열이 있으므로 . 열이 마이너를 통과하지 않은 경우 열의 순서에 의해서만 행렬의 r + 1 차의 마이너와 다릅니다. 그때부터 . 따라서 기초 마이너의 정의와 모순됩니다. 따라서 , 라는 가정은 거짓입니다.
2. 하자 . 시스템에 솔루션이 있음을 보여줍시다. 이후 , 행렬 의 기본 마이너 는 행렬 의 기본 마이너 입니다 . 기둥이 미성년자를 통과하게하십시오. 
. 그런 다음 행렬의 기본 소수 정리에 의해 자유 항의 열은 표시된 열의 선형 조합입니다.
| (1) |
우리는 , , , 를 설정하고 나머지 미지수를 0과 동일하게 취합니다. 그런 다음 이러한 값에 대해 우리는
평등의 덕택으로 (1) . 마지막 평등은 숫자 집합을 의미합니다. 
시스템의 솔루션입니다. 솔루션의 존재가 증명됩니다.
위에서 논의한 시스템에서 
, 시스템이 일관성이 있습니다. 시스템에서 , 및 시스템이 일치하지 않습니다.
참고: Kronecker-Capelli 정리를 통해 시스템이 일관성이 있는지 여부를 확인할 수 있지만 주로 이론적 연구에서 거의 사용되지 않습니다. 그 이유는 행렬의 랭크를 구할 때 수행되는 계산은 기본적으로 시스템에 대한 솔루션을 찾을 때 수행하는 계산과 동일하기 때문입니다. 따라서 일반적으로 및 를 찾는 대신 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다. 그것이 발견될 수 있다면, 우리는 시스템이 일관성이 있다는 것을 배우고 동시에 솔루션을 얻습니다. 솔루션을 찾을 수 없으면 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내립니다.
임의의 선형 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾는 알고리즘(가우스 방법)
미지수가 있는 선형 연립방정식이 주어집니다. 일관성이 있으면 일반적인 솔루션을 찾거나 불일치를 설정해야 합니다. 이 절에서 제시할 방법은 행렬식을 계산하는 방법과 행렬의 순위를 구하는 방법에 가깝다. 제안된 알고리즘은 가우스 방법또는 미지수를 연속적으로 제거하는 방법.
시스템의 증강 행렬을 작성해 보겠습니다.
행렬 기본 연산을 사용하여 다음 연산을 호출합니다.
1. 행의 순열
2. 문자열에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.
3. 다른 문자열에 숫자를 곱한 문자열의 추가.
연립방정식을 풀 때 행렬식을 계산하고 순위를 찾는 것과 달리 열로 작업할 수 없습니다. 기본 연산에서 얻은 행렬에서 연립방정식을 복원하면 새로운 시스템원본과 동일할 것입니다.
알고리즘의 목적은 행렬에 일련의 기본 연산을 적용하여 아마도 첫 번째 행을 제외한 각 행이 0으로 시작하고 각 행에서 0이 아닌 첫 번째 요소까지 0의 수를 보장하는 것입니다. 행이 이전 행보다 큽니다.
알고리즘의 단계는 다음과 같습니다. 행렬에서 0이 아닌 첫 번째 열을 찾습니다. number 가 있는 열로 설정합니다. 0이 아닌 요소를 찾고 이 요소가 있는 행을 첫 번째 행과 교환합니다. 추가 표기법을 쌓지 않기 위해 행렬에서 행의 이러한 변경이 이미 이루어졌다고 가정합니다. 즉, . 그런 다음 두 번째 줄에 첫 번째 줄에 숫자를 곱한 값을 추가하고 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 숫자를 곱한 값 등을 추가합니다. 결과적으로 우리는 매트릭스를 얻습니다.
(첫 번째 null 열은 일반적으로 누락됩니다.)
행렬에 모든 요소가 0인 숫자 k가 있는 행이 있으면 알고리즘 실행을 중지하고 시스템이 일관성이 없다고 결론을 내립니다. 실제로, 확장 행렬에서 방정식 시스템을 복원하면 -th 방정식이 다음 형식을 갖게 됩니다. 
이 방정식은 어떤 숫자 집합도 만족하지 않습니다. 
.
행렬은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 
행렬과 관련하여 알고리즘의 설명된 단계를 수행합니다. 행렬 가져오기
어디 , . 이 행렬은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
알고리즘의 위의 단계는 행렬에 다시 적용됩니다.
다음 단계를 실행한 후 새로운 축소 행렬이 0으로만 구성되거나 모든 행이 소진되면 프로세스가 중지됩니다. 시스템의 비호환성에 대한 결론은 프로세스를 훨씬 더 일찍 중지할 수 있습니다.
행렬을 줄이지 않으면 결국 다음 형식의 행렬이 됩니다.
다음으로, 가우스 방법의 소위 역 패스가 수행됩니다. 행렬을 기반으로 방정식 시스템을 구성합니다. 왼쪽에는 미지수를 각 줄의 0이 아닌 첫 번째 요소에 해당하는 숫자로 남겨둡니다. 즉, . 그것을주의해라 . 나머지 미지수는 오른쪽으로 전송됩니다. 우변의 미지수를 어떤 고정된 양이라고 생각하면 좌변의 미지수를 그것들로 표현하기 쉽습니다.
이제 오른쪽의 미지수에 임의의 값을 주고 왼쪽의 변수 값을 계산하면 다음을 찾을 수 있습니다. 다양한 솔루션원래 시스템 Ax=b. 일반적인 솔루션을 작성하려면 오른쪽에 있는 미지수를 문자로 순서에 관계없이 표시해야 합니다. 
, 0 계수로 인해 오른쪽에 명시적으로 기록되지 않은 미지수를 포함하여 미지수 열을 열로 쓸 수 있습니다. 여기서 각 요소는 임의 값의 선형 조합입니다. 
(특히 임의의 값). 이 항목은 시스템의 일반적인 솔루션이 됩니다.
시스템이 동질이면 동종 시스템의 일반 솔루션을 얻습니다. 일반 솔루션 열의 각 요소에서 취한 의 계수는 기본 솔루션 시스템에서 첫 번째 솔루션, 의 계수, 두 번째 솔루션 등을 구성합니다.
방법 2: 균질 시스템의 솔루션의 기본 시스템은 다른 방법으로 얻을 수 있습니다. 이렇게 하려면 오른쪽으로 전송된 하나의 변수에 값 1을 할당하고 나머지는 0으로 할당해야 합니다. 왼쪽의 변수 값을 계산하면 기본 시스템에서 하나의 솔루션을 얻습니다. 오른쪽에 있는 다른 변수에 값 1을 할당하고 다른 변수에 0을 할당하여 기본 시스템에서 두 번째 솔루션을 얻는 식입니다.
정의: 시스템은 공동으로 호출됩니다. th, 적어도 하나의 솔루션이 있고 일관성이 없는 경우 - 그렇지 않은 경우, 즉 시스템에 솔루션이 없는 경우입니다. 시스템에 해가 있느냐 없느냐의 문제는 방정식의 개수와 미지수의 개수의 비와 관련이 있습니다. 예를 들어, 2개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템
 |
에는 해가 있고 해가 무한히 많지만 미지수가 3개인 두 방정식의 시스템입니다.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + mn x n = 0
이 시스템은 사소한 해 x 1 =…=x n =0을 가지므로 항상 일관성이 있습니다.
사소하지 않은 솔루션이 존재하려면 다음이 필요하고 충분합니다.
조건 r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
일 SLAE 솔루션 세트는 선형 차원 공간(n-r)을 형성합니다. 이것은 해의 유한 수의 합과 선형 조합뿐만 아니라 숫자에 의한 해의 곱이 이 시스템의 해임을 의미합니다. 모든 SLAE의 선형 솔루션 공간은 공간 R n 의 부분 공간입니다.
SLAE의 (n-r) 선형 독립 솔루션 세트(해 공간의 기초가 됨)를 기본 솔루션 세트(FSR).
х 1 ,…,х r 을 기본 미지수라고 하고, х r +1 ,… 자유 변수에 다음 값을 차례로 제공합니다.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + mn x n = 0
R n(n은 미지수)의 부분 공간인 선형 공간 S(해의 공간)와 dims=k=n-r을 형성합니다. 여기서 r은 시스템의 순위입니다. 해 공간의 기저(x (1) ,… , x (k) )는 해의 기본 시스템이라고 하며, 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다.:
X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c(1) ,… , c(k) ? 아르 자형
고등 수학 » 선형 대수 방정식 시스템 » 기본 용어. 행렬 표기법.
아래에 선형 대수 방정식 시스템(SLAE) 시스템을 의미
\begin(방정식) \left \( \begin(정렬) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(정렬) \right.\end(방정식)
$a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) 매개변수가 호출됩니다. 계수및 $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - 무료 회원 SLAU. 때때로 방정식과 미지수의 수를 강조하기 위해 "$m\times n$ 선형 방정식 시스템"이라고 말합니다. 따라서 SLAE에는 $m$ 방정식과 $n$ 미지수가 포함되어 있음을 나타냅니다.
모든 자유 항이 $b_i=0$($i=\overline(1,m)$)이면 SLAE가 호출됩니다. 동종의. 무료 구성원 중 0이 아닌 다른 구성원이 하나 이상 있으면 SLAE가 호출됩니다. 이질적인.
SLAU 결정(1) 이 컬렉션의 요소가 미지수 $x_1,x_2,\ldots,x_n$에 대해 주어진 순서로 대체되면 정렬된 숫자 컬렉션($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$)이 호출됩니다. , 각 SLAE 방정식을 항등식으로 반전합니다.
모든 동종 SLAE에는 다음과 같은 솔루션이 하나 이상 있습니다. 영(다른 용어로 - 사소한), 즉 $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.
SLAE(1)에 하나 이상의 솔루션이 있는 경우 관절해결책이 없다면, 호환되지 않는. 조인트 SLAE에 정확히 하나의 솔루션이 있는 경우 확실한, 솔루션이 무한한 경우 - 불확실한.
예 #1
SLAE 고려
\begin(방정식) \left \( \begin(정렬) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(정렬)\right.\end(방정식)
$3$ 방정식과 $5$ 미지수를 포함하는 선형 대수 방정식 시스템이 있습니다: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. $3\x 5$ 선형 방정식의 시스템이 주어졌다고 말할 수 있습니다.
시스템 (2)의 계수는 미지수 앞의 숫자입니다. 예를 들어, 첫 번째 방정식에서 이러한 숫자는 $3,-4,1,7,-1$입니다. 시스템의 무료 구성원은 $11,-65.0$로 표시됩니다. 자유 항 중에서 0과 같지 않은 적어도 하나가 있으므로 SLAE(2)는 비균질입니다.
정렬된 컬렉션 $(4;-11;5;-7;1)$은 이 SLAE에 대한 솔루션입니다. $x_1=4로 대체하면 쉽게 확인할 수 있습니다. x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; 주어진 시스템의 방정식에 x_5=1$:
\begin(정렬) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(정렬)
당연히 검증된 솔루션이 유일한 솔루션인지에 대한 의문이 제기됩니다. SLAE 솔루션의 수 문제는 관련 주제에서 논의될 것입니다.
예 #2
SLAE 고려
\begin(방정식) \left \( \begin(정렬) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(정렬) \right.\end(방정식)
시스템(3)은 $5$ 방정식과 $3$ 미지수($x_1,x_2,x_3$)를 포함하는 SLAE입니다. 이 시스템의 모든 자유항은 0이므로 SLAE(3)은 동종입니다. $(0;0;0)$ 컬렉션이 주어진 SLAE에 대한 솔루션인지 확인하는 것은 쉽습니다. 예를 들어 $x_1=0, x_2=0,x_3=0$을 시스템 (3)의 첫 번째 방정식에 대입하면 올바른 평등을 얻습니다. $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . 다른 방정식으로의 대입도 비슷한 방식으로 수행됩니다.
여러 행렬이 각 SLAE와 연관될 수 있습니다. 또한 SLAE 자체는 행렬 방정식으로 작성할 수 있습니다. SLAE(1)의 경우 다음 행렬을 고려하십시오.
행렬 $A$가 호출됩니다. 시스템 매트릭스. 이 행렬의 요소는 주어진 SLAE의 계수입니다.
$\widetilde(A)$ 행렬이 호출됩니다. 확장 매트릭스 시스템. 시스템 매트릭스에 $b_1,b_2,…,b_m$의 자유 멤버를 포함하는 열을 추가하여 얻습니다. 일반적으로 이 열은 명확성을 위해 수직선으로 구분됩니다.
열 행렬 $B$가 호출됩니다. 자유 항의 행렬, 열 행렬 $X$ - 미지의 행렬.
위에서 소개한 표기법을 사용하여 SLAE(1)는 $A\cdot X=B$와 같은 행렬 방정식의 형태로 작성할 수 있습니다.
메모
시스템과 관련된 행렬은 다양한 방식으로 작성할 수 있습니다. 모든 것은 고려되는 SLAE의 방정식과 변수의 순서에 따라 다릅니다. 그러나 어떤 경우에도 주어진 SLAE의 각 방정식에서 미지수의 순서는 동일해야 합니다(예제 4번 참조).
예 #3
쓰기 SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(정렬) \right.$를 행렬 형식으로 지정하고 시스템의 증강 행렬을 지정합니다.
4개의 미지수가 있으며 각 방정식에서 $x_1,x_2,x_3,x_4$의 순서로 따릅니다. 미지수 행렬은 $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$입니다.
이 시스템의 자유 구성원은 $-5,0,-11$ 숫자로 표시되므로 자유 구성원의 행렬은 $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 형식을 갖습니다. \\ -11 \end(배열)\오른쪽)$.
시스템의 행렬을 컴파일하는 단계로 넘어갑시다. 이 행렬의 첫 번째 행은 첫 번째 방정식의 계수를 포함합니다: $2.3,-5.1$.
두 번째 줄에 두 번째 방정식의 계수를 씁니다: $4.0,-1.0$. 이 경우 두 번째 방정식에서 $x_2$ 및 $x_4$ 변수가 있는 시스템의 계수가 0과 같다는 점을 고려해야 합니다(이러한 변수는 두 번째 방정식에 없기 때문에).
시스템 행렬의 세 번째 행에 세 번째 방정식의 계수를 씁니다: $0.14.8.1$. 변수 $x_1$에서 계수의 0과 동등함을 고려합니다(이 변수는 세 번째 방정식에 없습니다). 시스템 매트릭스는 다음과 같습니다.
$$ A=\left(\begin(배열) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(배열) \right) $$
시스템 매트릭스와 시스템 자체 간의 관계를 보다 명확하게 하기 위해 주어진 SLAE와 시스템 매트릭스를 나란히 적어 보겠습니다.
행렬 형식에서 주어진 SLAE는 $A\cdot X=B$와 같습니다. 확장 항목에서:
$$ \left(\begin(배열) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(배열) \right) \cdot \left(\begin(배열) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(배열) \right) = \left(\begin(배열) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(배열) \right) $$
시스템의 증강 행렬을 작성해 보겠습니다. 이렇게 하려면 시스템 행렬 $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array) \right) $ 자유 용어 열을 추가합니다(예: $-5,0,-11$). $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.
예 #4
쓰기 SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4 .\end(aligned)\right.$ 행렬 형식으로 시스템의 증대 행렬을 지정합니다.
보시다시피, 이 SLAE의 방정식에서 미지수의 순서는 다릅니다. 예를 들어, 두 번째 방정식에서 순서는 $a,y,c$이지만 세 번째 방정식에서는 $c,y,a$입니다. SLAE를 행렬 형태로 작성하기 전에 모든 방정식에서 변수의 순서를 동일하게 만들어야 합니다.
주어진 SLAE의 방정식에서 변수를 주문할 수 있습니다. 다른 방법들(세 변수를 배열하는 방법의 수는 $3!=6$입니다). 나는 미지수를 주문하는 두 가지 방법을 고려할 것이다.
방법 번호 1
$c,y,a$ 순서를 소개하겠습니다. 미지수를 필요한 순서로 배치하여 시스템을 다시 작성해 보겠습니다. $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25; \\ & -c+5a=-4.\end(정렬)\right.$
명확성을 위해 SLAE를 다음과 같이 작성합니다. $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ 끝(정렬)\오른쪽.$
시스템 행렬은 다음과 같습니다. $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( 배열) \오른쪽) $. 자유 멤버 행렬: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. 미지수 행렬을 작성할 때 미지수의 순서를 기억하십시오: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. 따라서 주어진 SLAE의 행렬 형태는 $A\cdot X=B$와 같습니다. 퍼지는:
$$ \left(\begin(배열) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(배열) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(배열) \right) $$
확장 시스템 행렬: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.
방법 번호 2
$a,c,y$ 순서를 소개하겠습니다. $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y와 같이 미지수를 필요한 순서대로 시스템을 다시 작성해 보겠습니다. =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(정렬)\right.$
명확성을 위해 SLAE를 다음과 같이 작성합니다. $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ 끝(정렬)\오른쪽.$
시스템 행렬은 다음과 같습니다. $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( 배열)\오른쪽)$. 자유 멤버 행렬: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. 미지수 행렬을 작성할 때 미지수의 순서를 기억하십시오: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. 따라서 주어진 SLAE의 행렬 형태는 $A\cdot X=B$와 같습니다. 퍼지는:
$$ \left(\begin(배열) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(배열) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(배열) \right) $$
확장 시스템 행렬: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.
보시다시피, 미지수의 순서를 변경하는 것은 시스템 행렬의 열을 재배열하는 것과 같습니다. 그러나 이러한 미지수의 배열이 무엇이든 주어진 SLAE의 모든 방정식에서 일치해야 합니다.
선형 방정식- 비교적 간단한 수학적 주제로, 대수학 과제에서 자주 볼 수 있습니다.
그것이 무엇이며 선형 방정식을 푸는 방법을 알아 봅시다.
대개, 일차 방정식 a와 c는 임의의 숫자 또는 계수이고 x는 알 수 없는 숫자인 ax + c = 0 형식의 방정식입니다.
예를 들어 선형 방정식은 다음과 같습니다.
선형 방정식을 푸는 것은 매우 쉽습니다. 이를 위해 다음과 같은 수학적 기법이 사용됩니다. 정체성 변환. 그것이 무엇인지 알아 봅시다.
a = 4, c = 2일 때 ax + c = 10이라고 합시다.
따라서 우리는 방정식 4x + 2 = 10을 얻습니다.
더 쉽고 빠르게 풀기 위해 동일한 변환의 첫 번째 방법을 사용할 것입니다. 즉, 모든 숫자를 방정식의 오른쪽으로 옮기고 미지의 4x는 왼쪽으로 둡니다.
얻다:
따라서 방정식은 초보자를 위한 매우 간단한 문제로 축소됩니다. 동일한 변환의 두 번째 방법을 사용하는 것만 남아 있습니다. x를 방정식의 왼쪽에 남겨두고 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 우리는 다음을 얻습니다.
시험:
4x + 2 = 10, 여기서 x = 2.
정답입니다.
두 개의 변수가 있는 선형 방정식을 풀 때 플로팅 방법도 자주 사용됩니다. 사실 ax + wy + c \u003d 0 형식의 방정식에는 일반적으로 많은 숫자가 변수 대신 적합하고 모든 경우에 방정식이 참이기 때문에 많은 솔루션이 있습니다.
따라서 작업을 용이하게하기 위해 선형 방정식의 그래프가 작성됩니다.
그것을 구축하려면 한 쌍의 변수 값을 취하는 것으로 충분합니다. 그리고 좌표 평면의 점으로 표시하고 그들을 통해 직선을 그립니다. 이 선의 모든 점은 방정식에서 변수의 변형이 됩니다.
표현식, 표현식 변환
레코드에 변수가 있는 숫자, 리터럴 및 표현식에는 다양한 산술 연산의 기호가 포함될 수 있습니다. 표현식을 변환하고 표현식의 값을 계산할 때 특정 순서로 작업이 수행됩니다. 즉, 다음을 준수해야 합니다. 행동의 순서.
이 기사에서는 어떤 작업을 먼저 수행해야 하고 어떤 작업을 수행한 후에 수행해야 하는지 알아낼 것입니다. 표현식에 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기로 연결된 숫자 또는 변수만 포함되는 가장 간단한 경우부터 시작하겠습니다. 다음으로 괄호로 묶인 표현식에서 어떤 동작의 실행 순서를 따라야 하는지 설명하겠습니다. 마지막으로 거듭제곱, 근 및 기타 기능을 포함하는 표현식에서 작업이 수행되는 순서를 고려하십시오.
학교는 다음을 제공합니다 괄호가 없는 표현식에서 작업이 수행되는 순서를 결정하는 규칙:
명시된 규칙은 매우 자연스럽게 인식됩니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 작업을 수행하는 것은 왼쪽에서 오른쪽으로 기록을 유지하는 것이 관례라는 사실로 설명됩니다. 그리고 곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 먼저 수행된다는 사실은 이러한 동작이 자체적으로 수행하는 의미로 설명됩니다.
이 규칙을 적용한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 예를 들어 계산에 방해가 되지 않고 작업이 수행되는 순서에 초점을 맞추기 위해 가장 간단한 숫자 표현을 사용합니다.
7-3+6단계를 따릅니다.
원래 표현식은 괄호를 포함하지 않으며 곱셈과 나눗셈을 포함하지 않습니다. 따라서 모든 작업을 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 수행해야 합니다. 즉, 먼저 7에서 3을 빼고 4를 얻은 다음 결과 차이 4에 6을 더하고 10을 얻습니다.
간단히 말해서, 해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다: 7−3+6=4+6=10.
6:2·8:3 식에서 행동이 수행되는 순서를 나타냅니다.
문제의 질문에 답하기 위해 대괄호가 없는 표현식에서 작업이 수행되는 순서를 나타내는 규칙으로 돌아가 보겠습니다. 원래 표현식은 곱셈과 나눗셈의 연산만 포함하고 있으며 규칙에 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 수행해야 합니다.
먼저 6을 2로 나누고 이 몫에 8을 곱한 다음 마지막으로 결과를 3으로 나눕니다.
표현식 17−5 6:3−2+4:2의 값을 계산합니다.
먼저 원래 표현식의 작업을 어떤 순서로 수행해야 하는지 결정해 보겠습니다. 곱셈과 나눗셈, 덧셈과 뺄셈을 모두 포함합니다.
먼저 왼쪽에서 오른쪽으로 곱셈과 나눗셈을 수행해야 합니다. 그래서 우리는 5를 6으로 곱하고 30을 얻고 이 숫자를 3으로 나누고 10을 얻습니다. 이제 4를 2로 나누면 2가 됩니다. 5 대신 6:3에서 찾은 값 10, 4:2 대신 값 2는 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2입니다.
결과 표현식에는 더 이상 곱셈과 나눗셈이 없으므로 왼쪽에서 오른쪽으로 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7의 순서로 나머지 작업을 수행해야 합니다.
17−5 6:3−2+4:2=7.
처음에는 표현식의 값을 계산할 때 동작을 수행하는 순서를 혼동하지 않기 위해 수행되는 순서에 해당하는 동작 기호 위에 숫자를 배치하는 것이 편리합니다. 이전 예의 경우 다음과 같습니다. 
.
리터럴 표현식으로 작업할 때 동일한 연산 순서(첫 번째 곱셈과 나눗셈, 그 다음 덧셈 및 뺄셈)를 따라야 합니다.
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일부 수학 교과서에는 산술 연산이 첫 번째 단계와 두 번째 단계의 연산으로 구분되어 있습니다. 이 문제를 처리합시다.
이 용어에서 작업이 수행되는 순서를 결정하는 이전 단락의 규칙은 다음과 같이 작성됩니다. 표현식에 대괄호가 포함되어 있지 않으면 왼쪽에서 오른쪽으로 두 번째 단계의 작업( 곱셈과 나눗셈)이 먼저 수행된 다음 첫 번째 단계의 동작(덧셈과 뺄셈)이 수행됩니다.
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표현식에는 작업이 수행되는 순서를 나타내는 괄호가 포함되는 경우가 많습니다. 이 경우 대괄호가 있는 표현식에서 작업이 수행되는 순서를 지정하는 규칙, 는 다음과 같이 공식화됩니다. 먼저 괄호 안의 동작을 수행하고, 곱셈과 나눗셈도 왼쪽에서 오른쪽으로 차례로 수행한 다음 덧셈과 뺄셈을 수행합니다.
따라서 괄호 안의 표현식은 원래 표현식의 구성 요소로 간주되며 이미 알려진 작업 순서가 유지됩니다. 더 명확성을 위해 예제의 솔루션을 고려하십시오.
표시된 단계 5+(7-2 3) (6-4):2를 수행합니다.
표현식에는 대괄호가 포함되어 있으므로 먼저 이 대괄호로 묶인 표현식에서 연산을 수행해 보겠습니다. 표현식 7-2 3부터 시작하겠습니다. 거기에서 먼저 곱셈을 수행해야 하고 뺄셈만 수행하면 7−2 3=7−6=1이 됩니다. 대괄호 6-4의 두 번째 표현식으로 전달합니다. 여기에는 단 하나의 작업이 있습니다. 빼기, 6−4=2를 수행합니다.
얻은 값을 원래 표현식으로 대체합니다. 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. 결과 표현식에서 먼저 왼쪽에서 오른쪽으로 곱셈과 나눗셈을 수행한 다음 빼기를 수행하면 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6이 됩니다. 이에 대해 모든 작업이 완료되었으며 다음과 같은 실행 순서를 따릅니다. 5+(7-2 3) (6-4):2.
짧은 해를 작성해 봅시다: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
5+(7-2 3)(6-4):2=6.
표현식이 대괄호 안에 대괄호를 포함하는 경우가 발생합니다. 이것을 두려워해서는 안됩니다. 괄호가있는 표현에서 작업을 수행하기 위해 유성 규칙을 일관되게 적용하면됩니다. 예시 솔루션을 보여드리겠습니다.
4+(3+1+4 (2+3)) 식의 작업을 수행합니다.
이것은 대괄호가 있는 표현식입니다. 즉, 조치 실행은 대괄호 안의 표현식, 즉 3 + 1 + 4(2 + 3)로 시작해야 합니다.
이 표현식에는 괄호도 포함되어 있으므로 먼저 괄호 안에서 작업을 수행해야 합니다. 이렇게 합시다: 2+3=5. 찾은 값을 대입하면 3+1+4 5가 됩니다. 이 식에서 먼저 곱셈을 수행한 다음 덧셈을 수행하면 3+1+4 5=3+1+20=24가 됩니다. 이 값을 대체한 후 초기 값은 4+24 형식을 취하고 4+24=28 작업을 완료하는 데만 남습니다.
4+(3+1+4 (2+3))=28.
일반적으로 괄호 안의 괄호가 표현식에 있는 경우 내부 괄호로 시작하여 바깥쪽 괄호로 가는 것이 편리한 경우가 많습니다.
예를 들어 (4+(4+(4−6:2))−1)−1 표현식에서 연산을 수행해야 한다고 가정해 보겠습니다. 먼저 4−6:2=4−3=1이므로 내부 대괄호로 작업을 수행한 다음 원래 표현식은 (4+(4+1)−1)−1 형식을 취합니다. 다시 말하지만, 4+1=5이므로 내부 괄호에서 작업을 수행하므로 다음 식 (4+5-1)-1에 도달합니다. 다시, 대괄호 안에 있는 작업을 수행합니다: 4+5−1=8, 7과 같은 차이 8−1에 도달합니다.
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표현식에 거듭제곱, 근, 로그, 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 및 기타 기능이 포함된 경우 해당 값은 다른 작업을 수행하기 전에 계산되는 동시에 다음을 지정하는 이전 단락의 규칙도 고려합니다 작업이 수행되는 순서. 즉, 나열한 내용을 대략적으로 말하면 대괄호로 묶인 것으로 간주할 수 있으며 대괄호 안에 있는 작업이 먼저 수행된다는 것을 알고 있습니다.
예를 들어 보겠습니다.
(3+1) 2+6 2:3−7 식의 연산을 수행합니다.
이 표현식에는 6 2 의 거듭제곱이 포함되어 있으며 나머지 단계를 수행하기 전에 해당 값을 계산해야 합니다. 따라서 우리는 6 2 \u003d 36의 지수를 수행합니다. 이 값을 원래 표현식으로 대체하면 (3+1) 2+36:3−7 형식이 됩니다.
그런 다음 모든 것이 명확합니다. 대괄호로 작업을 수행한 후 대괄호가 없는 표현식이 남습니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 먼저 곱셈과 나눗셈을 수행한 다음 덧셈과 뺄셈을 수행합니다. (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13입니다.
(3+1) 2+6 2:3-7=13.
루트, 도 등을 사용하여 표현식에서 작업을 수행하는 더 복잡한 예를 포함하여 표현식의 값을 계산하는 기사에서 볼 수 있습니다.
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첫 번째 단계 작업덧셈과 뺄셈을, 곱셈과 나눗셈을 두 번째 단계 작업.
일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 작성하십시오.
SLAE 솔루션이란 무엇입니까?
연립방정식의 해는 n개의 숫자 집합입니다.
시스템에 대입하면 각 방정식은 항등식이 됩니다.
관절(비관절)이라고 하는 시스템은 무엇입니까?
방정식 시스템에 하나 이상의 해가 있는 경우 일관성이라고 합니다.
솔루션이 없는 시스템을 일관성 없는 시스템이라고 합니다.
어떤 체계를 한정(무한)이라고 합니까?
고유한 솔루션이 있는 경우 공동 시스템을 확정 시스템이라고 합니다.
합동 시스템에 둘 이상의 솔루션이 있는 경우 미정이라고 합니다.
연립방정식 작성의 행렬 형식
벡터 시스템의 순위
벡터 시스템의 순위는 선형 독립 벡터의 최대 개수입니다.
매트릭스 순위와 그것을 찾는 방법
매트릭스 순위-이 행렬의 소수의 차수 중 가장 높은 차수, 결정자는 0과 다릅니다.
첫 번째 방법인 에징 방법은 다음과 같습니다.
모든 미성년자가 1순위인 경우, 즉, 행렬 요소가 0이면 r=0입니다.
1차 마이너 중 적어도 하나가 0이 아니고 2차 마이너가 모두 0이면 r=1입니다.
2차 미성년자가 0이 아니면 3차 미성년자를 조사합니다. 이와 같이 k번째 마이너를 찾아 k+1번째 마이너가 0이 아닌지 확인한다.
모든 k+1 차수 소수가 0과 같으면 행렬의 순위는 숫자 k와 같습니다. 이러한 k+1차 마이너는 일반적으로 k차 마이너를 "가장자리"하여 찾습니다.
행렬의 순위를 결정하는 두 번째 방법은 행렬을 대각선 형태로 올릴 때 행렬의 기본 변환을 적용하는 것입니다. 이러한 행렬의 순위는 0이 아닌 대각선 요소의 수와 같습니다.
선형 방정식의 불균일 시스템의 일반 솔루션, 속성.
속성 1.선형 방정식 시스템에 대한 솔루션과 해당 동차 시스템에 대한 솔루션의 합은 선형 방정식 시스템의 솔루션입니다.
속성 2.
비균일 선형 방정식 시스템의 두 해의 차이는 해당하는 동차 시스템의 솔루션입니다.
SLAE를 풀기 위한 가우스 방법
하위 시퀀스:
1) 방정식 시스템의 확장 행렬이 컴파일됩니다.
2) 기본 변환의 도움으로 행렬은 단계 형식으로 축소됩니다.
3) 시스템의 확장 행렬의 순위와 시스템의 행렬의 순위가 결정되고 시스템의 호환성 또는 비호환성에 대한 협정이 설정됩니다.
4) 호환성의 경우 등가 연립방정식을 쓴다.
5) 시스템의 솔루션을 찾았습니다. 주요 변수는 자유로 표현됩니다.
크로네커-카펠리 정리
크로네커 - 카펠리 정리- 선형 대수 방정식 시스템의 호환성 기준:
선형 대수 방정식 시스템은 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같을 때만 일관성이 있고 순위가 미지수의 수와 같을 때 시스템에 고유한 솔루션이 있고 순위가 미지수의 수보다 작은 경우 솔루션의 무한 수.
선형 시스템이 일관성을 유지하려면 이 시스템의 확장 행렬의 순위가 주 행렬의 순위와 같아야 하고 충분합니다.
시스템에 솔루션이 없을 때, 단일 솔루션이 있을 때 솔루션이 많을 때?
시스템 방정식의 수가 알려지지 않은 변수의 수와 같고 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 방정식 시스템은 고유한 솔루션을 가지며 균질 시스템의 경우 모든 미지수 변수는 0과 같습니다.
하나 이상의 해를 갖는 선형 방정식 시스템을 호환 가능이라고 합니다. 그렇지 않으면, 즉 시스템에 솔루션이 없으면 불일치라고 합니다.
선형 방정식은 해가 하나 이상 있으면 일관성이 있고 해가 없으면 일관성이 없습니다. 예 14에서 시스템은 호환 가능하고 컬럼은 솔루션입니다.
이 솔루션은 행렬 없이도 작성할 수 있습니다: x = 2, y = 1.
방정식 시스템은 솔루션이 두 개 이상인 경우 무기한이라고 하고 솔루션이 고유한 경우 한정된 시스템이라고 합니다.
예 15. 시스템이 불확실합니다. 예를 들어 ...는 솔루션입니다. 독자는 이 시스템에 대한 다른 많은 솔루션을 찾을 수 있습니다.
특정 경우에 먼저 선형 연립방정식을 푸는 방법을 알아보겠습니다. 방정식 AX = B의 시스템은 주 행렬 А가 정사각형이고 비축퇴적이면 Cramer's라고 합니다. 즉, Cramerian 시스템에서 미지수의 수는 방정식의 수와 일치하고 |A| = 0.
정리 6(Cramer의 법칙). Cramer 선형 방정식 시스템은 다음 공식으로 제공되는 고유한 솔루션을 가지고 있습니다.
여기서 Δ = |A| 는 주행렬의 행렬식이고, Δi는 i번째 열을 자유항 열로 대체하여 A에서 얻은 행렬식입니다.
일반적인 경우 인수가 유사하기 때문에 n = 3에 대한 증명을 수행합니다.
따라서 Cramer 시스템이 있습니다.
먼저 시스템에 대한 솔루션이 존재한다고 가정합시다. 즉,
첫 번째 것을 곱해 봅시다. 요소 aii에 대한 대수적 보수의 평등, 두 번째 평등 - A2i의 경우, 세 번째 - A3i의 결과 등식 추가:
선형 방정식 시스템 ~ 시스템 솔루션 ~ 일관되고 일관성이 없는 시스템 ~ 동종 시스템 ~ 동종 시스템의 일관성 ~ 시스템 행렬의 순위 ~ 중요한 호환성 조건 ~ 기본 솔루션 시스템. 일반 솔루션 ~ 균질 시스템 연구
시스템 고려 중에 대한 선형 대수 방정식 N알려지지 않은
x 1 , x 2 , … , x n :
결정체계를 총체라고 한다 N알 수 없는 값
x 1 \u003d x' 1, x 2 \u003d x' 2, ..., x n \u003d x' n,
대입 시 시스템의 모든 방정식이 항등식으로 바뀝니다.
선형 방정식 시스템은 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다.
어디 ㅏ- 시스템 매트릭스, 비- 오른쪽 부분, 엑스- 원하는 솔루션 앱 - 확장 매트릭스시스템:
.
적어도 하나의 솔루션이 있는 시스템을 관절; 해결책이 없는 시스템 호환되지 않습니다.
동차 선형 방정식 시스템은 우변이 0인 시스템입니다.
동종 시스템의 매트릭스 보기: 도끼=0.
모든 균질 선형 시스템에는 적어도 하나의 솔루션이 있으므로 균질 시스템은 항상 일관성이 있습니다.
x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.
동질 시스템에 고유 솔루션이 있는 경우 이 고유 솔루션은 0이며 시스템을 사소한 공동.동질 시스템에 둘 이상의 솔루션이 있는 경우 그 중 0이 아닌 솔루션이 있으며 이 경우 시스템을 호출합니다. 사소하지 않은 공동.
에서 입증되었습니다. m=n사소한 시스템 호환성을 위해 필요하고 충분하다시스템 행렬의 행렬식이 0이 되도록 합니다.
예 1. 정방 행렬과 선형 방정식의 동종 시스템의 사소한 호환성.
시스템 행렬에 가우스 제거 알고리즘을 적용하여 시스템 행렬을 계단 형태로 축소합니다.
.
숫자 아르 자형행렬의 단계 형식에서 0이 아닌 행을 호출합니다. 매트릭스 순위,나타내다
r=rg(A)또는 r=Rg(A).
다음 주장은 사실입니다.
균질한 시스템이 본질적으로 일관성이 있으려면 순위가 다음과 같은 것이 필요하고 충분합니다. 아르 자형시스템 행렬이 미지수의 수보다 작음 N.
예 2. 4개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식으로 구성된 균질 시스템의 사소한 호환성.
균질 시스템이 사소한 일관성이 없다면 무한한 수의 솔루션을 가지며 시스템 솔루션의 선형 조합도 솔루션입니다.
균질 시스템의 무한한 솔루션 세트 중에서 정확히 n-r선형 독립 솔루션.
골재 n-r균질 시스템의 선형 독립 솔루션은 근본적인 의사결정 시스템.시스템의 모든 솔루션은 기본 시스템의 관점에서 선형으로 표현됩니다. 따라서 순위의 경우 아르 자형행렬 ㅏ균질 선형 시스템 도끼=0더 적은 미지수 N및 벡터
e 1 , e 2 , … , e n-r솔루션의 기본 시스템을 형성합니다( Ae i =0, i=1,2, ..., n-r), 모든 솔루션 엑스시스템 도끼=0형태로 쓸 수 있다
x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,
어디 c 1 , c 2 , … , c n-r임의의 상수입니다. 쓰여진 표현이라고 합니다 공통 솔루션균질 시스템 .
연구
동질 시스템이란 그것이 사소하게 일관성이 없는지 여부를 설정하고, 그렇다면 기본 솔루션 시스템을 찾고 시스템의 일반 솔루션에 대한 식을 작성하는 것을 의미합니다.
우리는 가우스 방법에 의해 균질 시스템을 연구합니다.
연구 중인 동질 시스템의 행렬, 순위는 다음과 같습니다. 아르 자형< n .
이러한 행렬은 가우스 소거법에 의해 계단식 형태로 축소됩니다.
.
해당 등가 시스템은 다음 형식을 갖습니다.
여기에서 변수에 대한 표현식을 쉽게 얻을 수 있습니다. x 1 , x 2 , … , x r~을 통해 x r+1 , x r+2 , ..., x n. 변수
x 1 , x 2 , … , x r~라고 불리는 기본 변수및 변수 x r+1 , x r+2 , ..., x n - 자유 변수.
자유 변수를 오른쪽으로 옮기면 공식을 얻습니다.
시스템의 전체 솔루션을 결정합니다.
자유 변수의 값을 다음과 같이 연속적으로 설정합시다.
기본 변수의 해당 값을 계산합니다. 받았다 n-r솔루션은 선형 독립적이므로 연구 중인 동종 시스템의 솔루션에 대한 기본 시스템을 형성합니다.
가우스 방법에 의한 호환성에 대한 균질 시스템의 조사.
