이차 방정식의 근을 찾습니다. 이차 방정식

판별식과 이차 방정식은 8학년 대수학 과정에서 공부하기 시작합니다. 판별식과 Vieta 정리를 사용하여 이차 방정식을 풀 수 있습니다. 연구 방법론 이차 방정식, 판별 공식뿐만 아니라 실제 교육의 많은 것들처럼 학생들에게 다소 성공적으로 주입되지 않았습니다. 그러므로 합격 학창시절, 9-11 학년 교육은 " 고등 교육"그리고 모두가 다시 찾고 있습니다. "이차 방정식을 푸는 방법?", "방정식의 근을 찾는 방법?", "식별자를 찾는 방법?" 그리고...

판별식

이차 방정식 a*x^2+bx+c=0의 판별식 D는 D=b^2–4*a*c입니다.
이차 방정식의 근(해)은 판별식(D)의 부호에 따라 달라집니다.
D>0 - 방정식에는 2개의 다른 실수근이 있습니다.
D=0 - 방정식에 1개의 근(2개의 일치하는 근)이 있습니다.
디<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
판별식을 계산하는 공식은 매우 간단하므로 많은 사이트에서 온라인 판별식 계산기를 제공합니다. 우리는 아직 이런 종류의 스크립트를 알아내지 못했기 때문에 이것을 구현하는 방법을 아는 사람은 메일을 보내주세요. 이 이메일 주소는 스팸봇으로부터 보호됩니다. 보려면 JavaScript가 활성화되어 있어야 합니다. .

이차 방정식의 근을 찾는 일반 공식:

방정식의 근은 공식에 의해 발견됩니다.
사각형의 변수 계수가 쌍을 이루는 경우 판별식이 아니라 네 번째 부분을 계산하는 것이 좋습니다.
이러한 경우 방정식의 근은 다음 공식으로 구합니다.

근을 찾는 두 번째 방법은 Vieta의 정리입니다.

정리는 이차 방정식뿐만 아니라 다항식에도 공식화됩니다. Wikipedia 또는 기타 전자 자료에서 이를 읽을 수 있습니다. 그러나 단순화하기 위해 기약 이차 방정식과 관련된 부분, 즉 (a=1) 형식의 방정식을 고려하십시오.
Vieta 공식의 본질은 방정식의 근의 합이 다음에서 가져온 변수의 계수와 같다는 것입니다. 반대 기호. 방정식의 근의 곱은 자유 항과 같습니다. Vieta 정리의 공식에는 표기법이 있습니다.
Vieta 공식의 유도는 매우 간단합니다. 소인수에 대한 이차 방정식을 작성합시다
보시다시피 독창적 인 모든 것은 동시에 간단합니다. 근의 모듈러스의 차이 또는 근의 모듈러스의 차이가 1, 2일 때 Vieta 공식을 사용하는 것이 효과적입니다. 예를 들어, Vieta 정리에 따르면 다음 방정식에는 근이 있습니다.

최대 4개의 방정식 분석은 다음과 같아야 합니다. 방정식의 근의 곱은 6이므로 근은 값 (1, 6) 및 (2, 3)이거나 반대 부호와 쌍이 될 수 있습니다. 근의 합은 7(반대 부호가 있는 변수의 계수)입니다. 여기에서 우리는 이차 방정식의 해가 x=2와 같다는 결론을 내립니다. x=3.
Vieta 공식을 충족하기 위해 부호를 수정하여 자유 항의 제수 중에서 방정식의 근을 선택하는 것이 더 쉽습니다. 처음에는 이것이 어려운 것처럼 보이지만 많은 이차 방정식을 연습하면 이 기법이 판별식을 계산하고 고전적인 방법으로 이차 방정식의 근을 찾는 것보다 더 효율적입니다.
보시다시피, 판별식과 방정식의 해를 찾는 방법을 연구하는 학교 이론은 실용적인 의미가 없습니다. "왜 학생들에게 이차 방정식이 필요한가요?", "판별자의 물리적 의미는 무엇입니까?".

그것을 알아 내려고 노력합시다. 판별자는 무엇을 설명합니까?

대수학 과정에서 그들은 기능, 기능 연구 계획 및 기능을 연구합니다. 모든 기능 중에서 중요한 위치는 포물선이 차지하며 그 방정식은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.
따라서 이차 방정식의 물리적 의미는 포물선의 0, 즉 함수 그래프와 가로축 Ox의 교차점입니다.
아래에서 설명하는 포물선의 속성을 기억해 주시길 부탁드립니다. 시험, 시험 또는 입학 시험을 볼 시간이 올 것이며 참고 자료에 감사하게 될 것입니다. 정사각형에 있는 변수의 부호는 그래프의 포물선 가지가 위로 올라갈지(a>0),

또는 가지가 아래로 향하는 포물선(a<0) .

포물선의 꼭짓점은 뿌리 사이의 중간에 있습니다.

판별자의 물리적 의미:

판별식이 0보다 크면(D>0), 포물선은 Ox 축과 두 개의 교차점이 있습니다.
판별식이 0(D=0)이면 상단의 포물선이 x축에 닿습니다.
그리고 마지막 경우, 판별식이 0보다 작은 경우(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

불완전한 이차 방정식

이차 방정식 - 쉽게 풀 수 있습니다! *텍스트 "KU"에서 추가로.친구 여러분, 수학에서는 그러한 방정식을 푸는 것보다 쉬울 수 있습니다. 그러나 많은 사람들이 그에게 문제가 있다는 사실을 알게 되었습니다. Yandex가 매월 요청당 얼마나 많은 노출을 제공하는지 확인하기로 결정했습니다. 무슨 일이 있었는지 살펴보세요.

무슨 뜻인가요? 이것은 한 달에 약 70,000명의 사람들이 이 정보를 찾고 있다는 것을 의미합니다. 그리고 이것은 여름이며, 학기 중에 일어날 일입니다. 요청이 두 배 더 많을 것입니다. 학교를 졸업하고 시험을 준비하는 남자와 여자가이 정보를 찾고 있고 학생도 기억을 새로 고치려고하기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

이 방정식을 푸는 방법을 알려주는 사이트가 많다는 사실에도 불구하고, 나는 또한 그 자료를 기여하고 출판하기로 결정했습니다. 첫째, 방문자가 이 요청에 따라 내 사이트를 방문하기를 원합니다. 둘째, 다른 기사에서 "KU"라는 연설이 나오면이 기사에 대한 링크를 줄 것입니다. 셋째, 다른 사이트에서 일반적으로 언급되는 것보다 그의 솔루션에 대해 조금 더 알려 드리겠습니다. 시작하자!기사 내용:

이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기서 계수 a,비a≠0을 사용하여 임의의 숫자를 사용합니다.

학교 과정에서 자료는 다음과 같은 형식으로 제공됩니다. 방정식을 세 수업으로 나누는 것은 조건부로 수행됩니다.

1. 두 개의 뿌리가 있습니다.

2. * 루트가 하나만 있습니다.

3. 뿌리가 없다. 그들은 진정한 뿌리가 없다는 점에 주목할 가치가 있습니다.

뿌리는 어떻게 계산됩니까? 단지!

판별식을 계산합니다. 이 "끔찍한" 단어 아래에는 매우 간단한 공식이 있습니다.

루트 공식은 다음과 같습니다.

*이 공식은 마음으로 알고 있어야 합니다.

즉시 기록하고 결정할 수 있습니다.

예시:

1. D > 0이면 방정식의 근이 두 개입니다.

2. D = 0이면 방정식은 하나의 근을 갖습니다.

3. 만약 D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

방정식을 살펴보겠습니다.

이 경우 판별식이 0일 때 학교 과정은 하나의 근을 얻는다고 말합니다. 여기서는 9와 같습니다. 그렇긴 한데...

이 표현은 다소 잘못되었습니다. 사실 뿌리는 두 가지입니다. 예, 예, 놀라지 마십시오. 두 개의 동일한 근이 밝혀지고 수학적으로 정확하려면 답에 두 개의 근을 작성해야 합니다.

x 1 = 3 x 2 = 3

하지만 그렇죠- 작은 탈선. 학교에서는 뿌리가 하나뿐이라고 적어서 말할 수 있습니다.

이제 다음 예:

우리가 알다시피, 음수의 근은 추출되지 않으므로 솔루션 이 경우아니요.

이것이 전체 결정 과정입니다.

이차 함수.

솔루션이 기하학적으로 보이는 방법은 다음과 같습니다. 이것은 이해하는 것이 매우 중요합니다(앞으로 기사 중 하나에서 2차 부등식의 솔루션을 자세히 분석할 것입니다).

이것은 다음과 같은 형식의 기능입니다.

여기서 x와 y는 변수입니다.

a, b, c는 숫자가 주어지며, 여기서 a ≠ 0

그래프는 포물선입니다.

즉, "y"가 0인 이차 방정식을 풀면 포물선과 x축의 교차점을 찾습니다. 이 점 중 두 개(판별자가 양수임), 하나(판별자가 0임) 또는 없음(판별자가 음수임)이 있을 수 있습니다. 에 대한 세부 정보 이차 함수 당신은 볼 수 있습니다 Inna Feldman의 기사.

예를 고려하십시오.

예 1: 결정 2배 2 +8 엑스–192=0

a=2 b=8 c= -192

디 = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

답: x 1 = 8 x 2 = -12

* 당신은 즉시 떠날 수 있습니다 오른쪽방정식을 2로 나눕니다. 즉, 단순화하십시오. 계산이 더 쉬울 것입니다.

예 2: 결정하다 x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

우리는 x 1 \u003d 11 및 x 2 \u003d 11을 얻었습니다.

대답에서 x = 11을 쓸 수 있습니다.

답: x = 11

예 3: 결정하다 x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

판별식은 음수이며 실수에는 해가 없습니다.

답변: 해결책이 없습니다

판별자는 음수입니다. 해결책이 있습니다!

여기서는 음의 판별식을 얻은 경우 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 에 대해 아는 것이 있습니까? 복소수? 나는 그들이 왜 그리고 어디서 발생했는지 그리고 수학에서 그들의 특정한 역할과 필요성이 무엇인지에 대해 여기서 자세히 설명하지 않을 것입니다. 이것은 별도의 큰 기사에 대한 주제입니다.

복소수의 개념입니다.

약간의 이론.

복소수 z는 다음 형식의 숫자입니다.

z = a + 바이

여기서 및 b는 실수, i는 소위 허수 단위입니다.

에이+비 는 추가가 아닌 단일 숫자입니다.

허수 단위는 마이너스 1의 루트와 같습니다.

이제 방정식을 고려하십시오.

두 개의 켤레 근을 얻으십시오.

불완전한 이차 방정식.

특별한 경우를 고려하십시오. 이것은 계수 "b" 또는 "c"가 0과 같을 때입니다(또는 둘 다 0과 같을 때). 그들은 판별식 없이 쉽게 풀립니다.

사례 1. 계수 b = 0.

방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

변환해 보겠습니다.

예시:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

사례 2. 계수 c = 0.

방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

변환, 인수분해:

*적어도 하나의 요인이 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다.

예시:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 또는 x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

사례 3. 계수 b = 0 및 c = 0.

여기서 방정식의 해는 항상 x = 0이 될 것이 분명합니다.

유용한 속성 및 계수 패턴.

계수가 큰 방정식을 풀 수 있는 속성이 있습니다.

ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등

ㅏ + 비+ c = 0,그 다음에

— 방정식의 계수의 경우 ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등

ㅏ+ =비, 그 다음에

이러한 속성은 특정 종류의 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다.

예 1: 5001 엑스 2 –4995 엑스 – 6=0

계수의 합은 5001+( – 4995)+(– 6) = 0이므로

예 2: 2501 엑스 2 +2507 엑스+6=0

평등 ㅏ+ =비, 수단

계수의 규칙성.

1. 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

예시. 방정식 6x 2 +37x+6 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. 방정식 ax 2 - bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

예시. 방정식 15x 2 –226x +15 = 0을 고려하십시오.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. 방정식에서 ax 2 + bx - c = 0 계수 "b" 같음(a 2 – 1) 및 계수 "c" 계수 "a"와 수치적으로 동일, 그 뿌리는 같다

도끼 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

예시. 방정식 17x 2 + 288x - 17 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. 방정식 ax 2 - bx - c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 - 1)이고 계수 c가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

예시. 방정식 10x2 - 99x -10 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

비에타의 정리.

Vieta의 정리는 유명한 프랑스 수학자 Francois Vieta의 이름을 따서 명명되었습니다. Vieta의 정리를 사용하여 임의의 KU의 근의 합과 곱을 계수로 표현할 수 있습니다.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

요약하면, 숫자 14는 5와 9만 제공합니다. 이것이 근입니다. 제시된 정리를 사용하여 특정 기술을 사용하면 많은 이차 방정식을 즉시 구두로 풀 수 있습니다.

게다가 Vieta의 정리. 2차 방정식을 풀고 난 후에 편리하기 때문에 일반적인 방법으로(식별자를 통해) 구한 근을 확인할 수 있습니다. 항상 이 작업을 수행하는 것이 좋습니다.

전송 방법

이 방법을 사용하면 계수 "a"에 마치 "전송된" 것처럼 자유 항이 곱해집니다. 전송 방법.이 방법은 비에타의 정리를 이용하여 방정식의 근을 찾기 쉬울 때, 그리고 무엇보다 판별식이 정확한 제곱일 때 사용됩니다.

만약 ㅏ± b+c≠ 0이면 전송 기술이 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

2엑스 2 – 11엑스+ 5 = 0 (1) => 엑스 2 – 11엑스+ 10 = 0 (2)

방정식 (2)의 Vieta 정리에 따르면 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

구한 방정식의 근은 2로 나누어야 합니다(두 개는 x 2에서 "던졌기 때문에"), 우리는 다음을 얻습니다.

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

근거는 무엇입니까? 무슨 일이 일어나고 있는지보십시오.

식 (1)과 (2)의 판별식은 다음과 같습니다.

방정식의 근을 보면 다른 분모만 얻어지며 결과는 x 2의 계수에 정확하게 의존합니다.

두 번째(수정된) 루트는 2배 더 큽니다.

따라서 결과를 2로 나눕니다.

*3 종류를 굴리면 결과를 3으로 나누는 식입니다.

답: x 1 = 5 x 2 = 0.5

평방 ur-ie와 시험.

나는 그것의 중요성에 대해 간략하게 말할 것입니다 - 당신은 생각 없이 신속하게 결정할 수 있어야 하며, 당신은 근의 공식과 판별자의 마음을 알아야 할 필요가 있습니다. USE 작업의 일부인 많은 작업은 이차 방정식(기하학 포함)을 푸는 것입니다.

주목할 가치가있는 것은 무엇입니까!

1. 방정식의 형식은 "암시적"일 수 있습니다. 예를 들어 다음 항목이 가능합니다.

15+ 9x 2 - 45x = 0 또는 15x+42+9x 2 - 45x=0 또는 15 -5x+10x 2 = 0

(해결할 때 혼동되지 않도록) 표준 형식으로 가져와야 합니다.

2. x는 알 수 없는 값이며 t, q, p, h 등의 다른 문자로 표시될 수 있음을 기억하십시오.

이 주제는 많은 사람들로 인해 처음에는 어려워 보일 수 있습니다. 간단한 공식. 이차 방정식 자체에 긴 항목이 있을 뿐만 아니라 근도 판별식을 통해 찾습니다. 총 3개의 새로운 공식이 있습니다. 기억하기가 쉽지 않습니다. 이것은 그러한 방정식의 빈번한 솔루션 후에만 가능합니다. 그러면 모든 공식이 저절로 기억될 것입니다.

이차 방정식의 일반 보기

여기에서 가장 큰 학위가 먼저 쓰여진 다음 내림차순으로 쓰여질 때 명시적인 표기법이 제안됩니다. 용어가 서로 다른 경우가 종종 있습니다. 그런 다음 방정식을 변수의 차수 내림차순으로 다시 작성하는 것이 좋습니다.

표기법을 소개합니다. 아래 표에 나와 있습니다.

이러한 표기법을 수용하면 모든 이차 방정식은 다음 표기법으로 축소됩니다.

또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 숫자 1로 표시합니다.

방정식이 주어졌을 때 답에 근이 몇 개인지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문입니다.

솔루션에는 두 개의 뿌리가 있습니다.
대답은 하나의 숫자가 될 것입니다.
방정식에는 뿌리가 전혀 없습니다.

그리고 결정이 끝나지는 않았지만 특정 경우에 어떤 옵션이 빠질지 이해하기 어렵습니다.

이차 방정식의 레코드 유형

작업에는 다른 항목이 있을 수 있습니다. 그것들은 항상 이차 방정식의 일반 공식처럼 보이지는 않습니다. 때로는 일부 용어가 부족합니다. 위에 쓰여진 것은 완전한 방정식입니다. 두 번째 또는 세 번째 용어를 제거하면 다른 결과가 나타납니다. 이러한 레코드는 이차 방정식이라고도 하며 불완전합니다.

또한 계수 "b"와 "c"가 사라질 수 있는 항만 표시됩니다. 숫자 "a"는 어떤 경우에도 0이 될 수 없습니다. 이 경우 공식이 선형 방정식으로 바뀌기 때문입니다. 방정식의 불완전한 형태에 대한 공식은 다음과 같습니다.

따라서 완전한 것 외에도 두 가지 유형만 있으며 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 공식을 숫자 2로, 두 번째 공식을 숫자 3으로 설정합니다.

판별식과 그 값에 대한 근 수의 의존성

방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 상관없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 쓰여진 등식을 사용해야 하며 숫자는 4입니다.

계수 값을 이 공식에 대입하면 다음을 사용하여 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 징후. 대답이 예인 경우 방정식에 대한 대답은 두 개의 다른 근이 됩니다. 음수를 사용하면 이차 방정식의 근이 없습니다. 0이면 답은 1이 됩니다.

완전한 이차 방정식은 어떻게 해결됩니까?

사실 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있다는 것이 명확해지고 그 수를 알고 나면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 두 개의 뿌리가 있으면 그러한 공식을 적용해야합니다.

"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 제곱근 기호 아래의 식은 판별식입니다. 따라서 수식은 다른 방식으로 다시 작성할 수 있습니다.

포뮬러 5. 동일한 레코드에서 판별식이 0이면 두 근이 동일한 값을 취한다는 것을 알 수 있습니다.

이차 방정식의 해가 아직 해결되지 않은 경우 판별식 및 변수식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에이 순간은 어려움을 일으키지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.

불완전한 이차 방정식은 어떻게 풀 수 있습니까?

모든 것이 여기에서 훨씬 간단합니다. 심지어 추가 공식이 필요하지 않습니다. 그리고 판별식과 미지의 것을 위해 이미 작성된 것들은 필요하지 않을 것입니다.

먼저 고려 불완전 방정식 2번에서. 이 평등에서는 대괄호에서 알 수 없는 값을 가져오고 대괄호에 남아 있는 선형 방정식을 풀어야 합니다. 답은 두 개의 뿌리를 가질 것입니다. 변수 자체로 구성된 요인이 있기 때문에 첫 번째 값은 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻습니다.

3번의 불완전한 방정식은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 옮겨서 풉니다. 그런 다음 미지수 앞의 계수로 나누어야 합니다. 제곱근을 추출하는 것만 남아 있으며 반대 기호로 두 번 쓰는 것을 잊지 마십시오.

다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 방정식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 작업입니다. 그들은 부주의로 인한 실수를 피하도록 학생을 도울 것입니다. 이러한 단점은 광범위한 주제인 "2차 방정식(8학년)"을 공부할 때 낮은 성적의 원인입니다. 결과적으로 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요가 없습니다. 안정적인 습관이 생길 것이기 때문입니다.

먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 변수의 차수가 가장 큰 항을 먼저 사용하고 차수와 마지막 항목 없이 숫자만 사용합니다.

계수 "a" 앞에 마이너스가 나타나면 초보자가 이차 방정식을 연구하는 작업을 복잡하게 만들 수 있습니다. 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해 모든 평등에 "-1"을 곱해야 합니다. 이것은 모든 항이 부호를 반대 방향으로 변경한다는 것을 의미합니다.

같은 방식으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하기만 하면 됩니다.

예

다음 이차 방정식을 푸는 데 필요합니다.

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

첫 번째 방정식: x 2 - 7x \u003d 0. 불완전하므로 공식 2번에서 설명한 대로 풀립니다.

브라케팅 후 x (x - 7) \u003d 0으로 밝혀졌습니다.

첫 번째 루트는 x 1 = 0 값을 취합니다. 두 번째 루트는 다음에서 찾을 수 있습니다. 일차 방정식: x - 7 = 0. x 2 = 7임을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 방정식: 5x2 + 30 = 0. 다시 불완전합니다. 세 번째 공식에 대해 설명한 대로만 해결됩니다.

30을 방정식의 오른쪽으로 옮긴 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 x 2 = 6입니다. 답은 숫자가 됩니다. x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

세 번째 방정식: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. 여기와 아래에서 이차 방정식의 해는 표준 형식으로 다시 작성하여 시작됩니다. - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. 이제 두 번째 방정식을 사용할 시간입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. x 2 + 2x - 15 \u003d 0이 나옵니다. 네 번째 공식에 따르면 판별식을 계산해야 합니다. D \u003d 2 2 - 4 * (-15) \u003d 4 + 60 \u003d 64 정수. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 근이 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식에 따라 계산해야 합니다. 그것에 따르면 x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2입니다. 그런 다음 x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5입니다.

네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x \u003d 0은 x 2 + 3x + 8 \u003d 0으로 변환됩니다. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 대답은 "뿌리가 없습니다."라는 항목이 됩니다.

다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성해야 합니다. x 2 + 12x + 36 = 0. 판별식에 대한 공식을 적용한 후 숫자 0을 얻습니다. 이것은 하나의 루트, 즉 x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6을 가짐을 의미합니다.

여섯 번째 방정식 (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)는 괄호를 열기 전에 같은 항을 가져와야 한다는 사실로 구성된 변환이 필요합니다. 첫 번째 항목 대신 다음과 같은 표현식이 있습니다. x 2 + 2x + 1. 평등 후에 다음 항목이 나타납니다. x 2 + 3x + 2. 유사한 용어를 계산한 후 방정식은 다음 형식을 취합니다. x 2 - x \u003d 0. 불완전해졌습니다. 그것과 유사하게 이미 조금 더 높은 것으로 간주되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.

이차 방정식에 대한 문제도 다음에서 연구됩니다. 학교 커리큘럼그리고 대학에서. 그들은 a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 형식의 방정식으로 이해됩니다. 여기서 엑스-변수, a,b,c – 상수; ㅏ<>0 . 문제는 방정식의 근을 찾는 것입니다.

이차 방정식의 기하학적 의미

이차 방정식으로 표현되는 함수의 그래프는 포물선입니다. 이차 방정식의 해(근)는 포물선과 x축의 교차점입니다. 세 가지 가능한 경우가 있습니다.
1) 포물선은 x축과 교차점이 없습니다. 이것은 분기가 있는 위쪽 평면 또는 아래쪽 분기가 있는 아래쪽 평면에 있음을 의미합니다. 이러한 경우, 이차 방정식에는 실수근이 없습니다(두 개의 복소수 근이 있음).

2) 포물선은 축 Ox와 교차점이 하나 있습니다. 이러한 점을 포물선의 꼭짓점이라고하며 그 안의 이차 방정식은 최소값 또는 최대값을 얻습니다. 이 경우 이차 방정식은 하나의 실수근(또는 두 개의 동일한 근)을 갖습니다.

3) 마지막 경우는 실제로 더 흥미롭습니다. 포물선과 가로축의 교차점이 두 개 있습니다. 이것은 방정식의 실제 근이 두 개 있음을 의미합니다.

변수의 거듭제곱에서 계수의 분석을 기반으로 포물선의 배치에 대해 흥미로운 결론을 도출할 수 있습니다.

1) 계수 a가 0보다 크면 포물선이 위쪽으로 향하고 음수이면 포물선의 가지가 아래쪽으로 향합니다.

2) 계수 b가 0보다 크면 포물선의 꼭짓점이 왼쪽 반평면에 있고 음수 값을 취하면 오른쪽에 있습니다.

이차 방정식 풀기 공식 유도

이차 방정식에서 상수를 전송하자

등호에 대해 식을 얻습니다.

양변에 4a를 곱합니다.

왼쪽에 완전한 정사각형을 얻으려면 두 부분에 b ^ 2를 추가하고 변환을 수행하십시오.

여기에서 우리는

판별식과 이차 방정식의 근

판별식은 급진적 표현의 값입니다.양수이면 방정식에는 공식에 의해 계산된 두 개의 실수근이 있습니다. 판별식이 0일 때 이차 방정식은 하나의 해(두 개의 일치 근)를 가지므로 위의 D=0 공식에서 쉽게 얻을 수 있습니다. 판별식이 음수이면 방정식의 실수근이 없습니다. 그러나 복소 평면에서 이차 방정식의 해를 연구하고 그 값은 다음 공식으로 계산됩니다.

비에타의 정리

이차 방정식의 두 근을 고려하고 이를 기반으로 이차 방정식을 구성합니다. 표기법에서 Vieta 정리 자체는 쉽게 다음과 같습니다. 그 근의 합은 반대 부호로 취한 계수 p와 같고 방정식의 근의 곱은 자유 항 q와 같습니다. 위의 공식은 다음과 같습니다. 고전 방정식의 상수가 0이 아닌 경우 전체 방정식을 이 값으로 나눈 다음 Vieta 정리를 적용해야 합니다.

요인에 대한 이차 방정식의 일정

작업을 설정합니다. 이차 방정식을 인수로 분해합니다. 이를 수행하기 위해 먼저 방정식을 풉니다(근 찾기). 다음으로 구한 근을 이차방정식의 전개식에 대입하면 이 문제가 해결됩니다.

이차 방정식에 대한 작업

작업 1. 이차 방정식의 근 찾기

x^2-26x+120=0 .

솔루션: 계수를 기록하고 판별 공식에 대입

의 뿌리 주어진 가치 14와 같으면 계산기로 쉽게 찾거나 자주 사용하여 기억할 수 있지만 편의를 위해 기사 끝에서 이러한 작업에서 자주 찾을 수있는 숫자 제곱 목록을 제공합니다 .
찾은 값은 루트 공식으로 대체됩니다.

그리고 우리는 얻는다

작업 2. 방정식을 풀다

2x2+x-3=0.

솔루션: 우리는 완전한 이차 방정식을 가지고 있으며, 계수를 작성하고 판별식을 찾습니다.

잘 알려진 공식을 사용하여 이차 방정식의 근을 찾습니다.

작업 3. 방정식을 풀다

9x2 -12x+4=0.

솔루션: 완전한 이차 방정식이 있습니다. 판별식 결정

우리는 뿌리가 일치하는 경우를 얻었습니다. 우리는 공식에 의해 뿌리의 값을 찾습니다

작업 4. 방정식을 풀다

x^2+x-6=0 .

솔루션: x에 대한 계수가 작은 경우 Vieta 정리를 적용하는 것이 좋습니다. 조건에 따라 두 개의 방정식을 얻습니다.

두 번째 조건에서 우리는 곱이 -6과 같아야 함을 얻습니다. 이것은 뿌리 중 하나가 음수임을 의미합니다. 다음과 같은 가능한 솔루션 쌍이 있습니다(-3;2), (3;-2) . 첫 번째 조건을 고려하여 두 번째 솔루션 쌍을 거부합니다.
방정식의 근은

작업 5. 둘레가 18cm이고 면적이 77cm2인 경우 직사각형의 변의 길이를 구하십시오.

솔루션: 직사각형의 둘레의 절반은 인접한 변의 합과 같습니다. x - 큰 쪽을 표시하고 18-x는 작은 쪽입니다. 직사각형의 면적은 다음 길이의 곱과 같습니다.
x(18x)=77;
또는
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
방정식의 판별식 찾기

우리는 방정식의 근을 계산합니다.

만약 x=11,그 다음에 18x=7 ,그 반대의 경우도 마찬가지입니다(x=7이면 21-x=9).

문제 6. 이차 10x2 -11x+3=0 방정식을 인수분해합니다.

솔루션: 방정식의 근을 계산합니다. 이를 위해 판별식을 찾습니다.

우리는 찾은 값을 근의 공식에 대입하고 계산합니다.

근의 관점에서 이차 방정식을 확장하는 공식을 적용합니다.

대괄호를 확장하면 정체성을 얻습니다.

매개변수가 있는 이차 방정식

예 1. 매개 변수의 값 ㅏ ,방정식 (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0에 하나의 루트가 있습니까?

솔루션: 값=3을 직접 대입하면 솔루션이 없음을 알 수 있습니다. 또한 판별식이 0이면 방정식에 다중도 2의 근이 하나 있다는 사실을 사용할 것입니다. 판별식을 쓰자

그것을 단순화하고 0과 동일시하십시오.

우리는 매개변수 a에 대한 이차 방정식을 얻었고, 그 해는 Vieta 정리를 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다. 근의 합은 7이고 곱은 12입니다. 간단한 열거로 우리는 숫자 3.4가 방정식의 근이 될 것임을 확립합니다. 계산 초기에 솔루션 = 3을 이미 거부했기 때문에 올바른 것은 - ㄱ=4.따라서 = 4의 경우 방정식에는 하나의 근이 있습니다.

예 2. 매개 변수의 값 ㅏ ,방정식 a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0하나 이상의 루트가 있습니까?

솔루션: 먼저 특이점을 고려하면 a=0 및 a=-3 값이 됩니다. a=0일 때 방정식은 6x-9=0 형식으로 단순화됩니다. x=3/2이고 하나의 루트가 있습니다. a= -3 의 경우 0=0 이라는 ID를 얻습니다.
판별식 계산

양수인 값을 찾습니다.

첫 번째 조건에서 >3을 얻습니다. 두 번째로, 우리는 판별식과 방정식의 근을 찾습니다.

함수가 양수 값을 취하는 간격을 정의해 보겠습니다. 점 = 0을 대입하면 다음을 얻습니다. 3>0 . 따라서 간격(-3; 1/3) 외부에서 함수는 음수입니다. 점을 잊지 마세요 a=0원래 방정식에 하나의 근이 있기 때문에 제외되어야 합니다.
결과적으로 문제의 조건을 만족하는 두 개의 구간을 얻습니다.

실제로 유사한 작업이 많이 있을 것이므로 작업을 직접 처리하고 상호 배타적인 조건을 고려하는 것을 잊지 마십시오. 이차 방정식을 푸는 공식을 잘 연구하면 다양한 문제와 과학의 계산에 종종 필요합니다.

이차 방정식. 판별자. 솔루션, 예.

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이차 방정식의 종류

이차 방정식이란 무엇입니까? 어떻게 생겼나요? 기간에 이차 방정식키워드는 "정사각형".방정식에서 필연적으로 x 제곱이 있어야 합니다. 그 외에도 방정식에는 x가 있을 수도 있고 없을 수도 있습니다! (무료 회원).그리고 2보다 큰 차수에 x가 있어서는 안 됩니다.

수학 용어로 이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기 a, b 및 c- 몇 가지 숫자. b와 c- 절대적으로, 그러나 ㅏ- 0이 아닌 모든 것. 예를 들어:

여기 ㅏ =1; 비 = 3; 씨 = -4

여기 ㅏ =2; 비 = -0,5; 씨 = 2,2

여기 ㅏ =-3; 비 = 6; 씨 = -18

글쎄, 당신은 아이디어를 얻을 ...

이 이차 방정식에서 왼쪽에는 풀세트회원. 계수로 제곱한 x ㅏ, x의 계수가 있는 첫 번째 거듭제곱 비그리고 무료 회원

이러한 이차 방정식은 완벽한.

만약 비= 0, 우리는 무엇을 얻을 것인가? 우리는 X는 1단계에서 사라질 것입니다.이것은 0을 곱하여 발생합니다.) 예를 들면 다음과 같습니다.

5x 2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

등. 그리고 두 계수가 모두 비그리고 씨 0과 같으면 더 간단합니다.

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

무언가가 빠진 그러한 방정식은 불완전한 이차 방정식.이것은 매우 논리적입니다.) x 제곱은 모든 방정식에 존재한다는 점에 유의하십시오.

그건 그렇고 왜 ㅏ제로가 될 수 없다? 그리고 당신은 대신 ㅏ 0.) 사각형의 X가 사라집니다! 방정식은 선형이 됩니다. 그리고 그것은 다르게 이루어졌습니다 ...

이것이 이차 방정식의 모든 주요 유형입니다. 완전하고 불완전합니다.

이차 방정식의 해.

완전한 이차 방정식의 해.

이차 방정식은 풀기 쉽습니다. 공식과 명확한 간단한 규칙에 따라. 첫 번째 단계에서 필요한 주어진 방정식표준 형식으로 가져옵니다. 보기에:

방정식이 이미이 형식으로 제공되면 첫 번째 단계를 수행 할 필요가 없습니다.) 가장 중요한 것은 모든 계수를 올바르게 결정하는 것입니다. ㅏ, 비그리고 씨.

이차 방정식의 근을 찾는 공식은 다음과 같습니다.

루트 기호 아래의 표현식은 판별자. 그러나 아래에 그에 대한 자세한 내용이 있습니다. 보시다시피 x를 찾기 위해 다음을 사용합니다. 오직, b, c. 저것들. 이차 방정식의 계수. 값을 신중하게 대체하십시오. a, b 및 c이 공식에 넣고 계산합니다. 대리자 당신의 표시와 함께! 예를 들어, 방정식에서:

ㅏ =1; 비 = 3; 씨= -4. 여기에 다음과 같이 씁니다.

거의 해결된 예:

이것이 답이다.

모든 것이 매우 간단합니다. 그리고 당신은 어떻게 생각합니까, 당신은 잘못 될 수 없습니다? 그래, 어떻게...

가장 흔한 실수는 값의 부호와의 혼동입니다. a, b 및 c. 또는 오히려, 그들의 기호가 아니라 (혼돈할 곳이 어디 있습니까?), 그러나 음수 값을 뿌리 계산 공식으로 대체합니다. 여기에 특정 숫자가 포함된 공식의 자세한 기록이 저장됩니다. 계산에 문제가 있는 경우, 그래서 해!

다음 예를 해결해야 한다고 가정합니다.

여기 ㅏ = -6; 비 = -5; 씨 = -1

처음에는 거의 답을 얻지 못한다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다.

글쎄, 게으르지 마십시오. 한 줄을 더 작성하는 데 30초가 소요되며 오류 수 급격히 떨어질 것이다. 그래서 우리는 모든 대괄호와 기호를 사용하여 자세히 씁니다.

이렇게 세심하게 칠하는 것은 정말 어려운 일인 것 같습니다. 그러나 그것은 단지 보인다. 시도 해봐. 글쎄, 아니면 선택하십시오. 어느 것이 더 낫고 빠르며 맞습니까? 게다가 내가 너를 행복하게 해줄게. 잠시 후 모든 것을 그렇게 조심스럽게 칠할 필요가 없습니다. 그것은 바로 나타날 것입니다. 특히 아래에 설명된 실용적인 기술을 적용하는 경우. 마이너스가 많은 이 사악한 예는 오류 없이 쉽게 해결될 것입니다!

그러나 종종 이차 방정식은 약간 다르게 보입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

알고 계셨나요?) 네! 그것 불완전한 이차 방정식.

불완전한 이차 방정식의 해.

일반 공식으로도 풀 수 있습니다. 여기에서 평등한 것이 무엇인지 정확하게 파악하면 됩니다. a, b 및 c.

깨달았습니까? 첫 번째 예에서 a = 1; b = -4;ㅏ 씨? 그것은 전혀 존재하지 않습니다! 네, 맞습니다. 수학에서 이것은 다음을 의미합니다. c = 0 ! 그게 다야. 대신 공식에 0을 대입하십시오. 씨,모든 것이 우리를 위해 잘 될 것입니다. 두 번째 예와 유사합니다. 여기에 없는 제로만 와 함께, ㅏ 비 !

그러나 불완전한 이차 방정식은 훨씬 쉽게 풀 수 있습니다. 어떤 공식도 없이. 첫 번째 불완전 방정식을 고려하십시오. 왼쪽에서 무엇을 할 수 있습니까? 대괄호에서 X를 빼낼 수 있습니다! 꺼내자.

그리고 그것의 무엇? 그리고 곱이 0과 같다는 사실은 요인 중 하나라도 0과 같을 때만 가능합니다! 안믿어? 그럼, 곱하면 0이 되는 2개의 0이 아닌 숫자를 생각해내세요!
작동하지 않습니까? 무엇...
따라서 다음과 같이 자신 있게 작성할 수 있습니다. x 1 = 0, x 2 = 4.

모든 것. 이것들은 우리 방정식의 근원이 될 것입니다. 둘 다 맞습니다. 그들 중 하나를 원래 방정식에 대입하면 올바른 항등식 0 = 0을 얻습니다. 보시다시피 솔루션은 일반 공식보다 훨씬 간단합니다. 그건 그렇고, 어떤 X가 첫 번째이고 어떤 것이 두 번째인지는 절대적으로 무관심합니다. 순서대로 쓰기 편하다 x 1- 둘 중 더 적은 것 x 2- 더 많은 것.

두 번째 방정식도 쉽게 풀 수 있습니다. 9를 오른쪽으로 이동합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

9에서 루트를 추출하는 것만 남아 있습니다. 그게 전부입니다. 얻다:

또한 두 개의 뿌리 . x 1 = -3, x 2 = 3.

이것이 모든 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법입니다. 대괄호에서 X를 빼거나 단순히 숫자를 오른쪽으로 옮기고 근을 추출합니다.
이러한 방법을 혼동하는 것은 매우 어렵습니다. 첫 번째 경우에는 X에서 루트를 추출해야 하는데, 이는 어떻게 든 이해할 수 없고 두 번째 경우에는 대괄호에서 빼낼 것이 없기 때문에 ...

판별자. 판별식.

마법의 단어 판별자 ! 드문 고등학생은이 단어를 들어 본 적이 없습니다! "판별자를 통해 결정"이라는 문구는 안심하고 안심할 수 있습니다. 판별자의 트릭을 기다릴 필요가 없기 때문입니다! 간단하고 사용하는데 어려움이 없습니다.) 가장 일반적인 풀이 공식을 상기시켜드립니다. 어느이차 방정식:

루트 기호 아래의 표현식을 판별식이라고 합니다. 판별자는 일반적으로 문자로 표시됩니다. 디. 판별 공식:

D = b 2 - 4ac

그리고 이 표현의 특별한 점은 무엇입니까? 왜 특별한 이름을 가질 자격이 있습니까? 뭐 판별자의 의미는?결국 -비,또는 2a이 공식에서 그들은 구체적으로 이름을 지정하지 않습니다 ... 문자와 문자.

요점은 이것입니다. 이 공식을 사용하여 이차 방정식을 풀 때 다음이 가능합니다. 단 세 가지 경우.

1. 판별식이 양수입니다.이것은 당신이 그것에서 루트를 추출 할 수 있음을 의미합니다. 뿌리가 잘 뽑혔는지 나쁘게 뽑혔는지는 또 다른 문제입니다. 원칙적으로 무엇을 추출하느냐가 중요합니다. 그런 다음 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 두 가지 다른 솔루션.

2. 판별식은 0입니다.그러면 한 가지 해결책이 있습니다. 분자에서 0을 더하거나 빼도 아무 것도 변경되지 않기 때문입니다. 엄밀히 말하면 이것은 하나의 뿌리가 아니지만, 두 개의 동일한. 그러나 단순화 된 버전에서는 다음과 같이 말하는 것이 일반적입니다. 하나의 솔루션입니다.

3. 판별식이 음수입니다.음수는 제곱근을 취하지 않습니다. 글쎄, 알았어. 이것은 해결책이 없다는 것을 의미합니다.

솔직히 말해서, 간단한 솔루션이차 방정식에서 판별식의 개념은 특별히 필요하지 않습니다. 우리는 공식의 계수 값을 대체하고 고려합니다. 거기에서 모든 것이 그 자체로 밝혀지고 두 개의 뿌리와 하나가 아닌 하나의 뿌리가 나타납니다. 그러나 지식 없이 더 복잡한 작업을 해결할 때 의미와 판별식부족한. 특히 - 매개변수가 있는 방정식에서. 이러한 방정식은 GIA 및 통합 국가 시험에 대한 곡예 비행입니다!)

그래서, 이차 방정식을 푸는 방법당신이 기억하는 판별식을 통해. 또는 배운 것도 나쁘지 않습니다.) 올바르게 식별하는 방법을 알고 있습니다. a, b 및 c. 당신은 방법을 알고 있습니까 주의하여그것들을 루트 공식으로 대체하고 주의하여결과를 계산합니다. 이해하셨나요? 예어여기 - 주의하여?

이제 오류 수를 극적으로 줄이는 실용적인 기술에 주목하십시오. 부주의로 인한 바로 그 것들 ... 고통스럽고 모욕적 인 것 ...

첫 접수 . 표준 형식으로 가져오기 위해 이차 방정식을 풀기 전에 게으르지 마십시오. 이것은 무엇을 의미 하는가?
변환 후에 다음 방정식을 얻는다고 가정합니다.

뿌리의 공식을 쓰기 위해 서두르지 마십시오! 당신은 거의 확실히 확률을 섞을 것입니다 a, b 및 c.예제를 올바르게 작성하십시오. 먼저 x 제곱한 다음 제곱이 없는 경우 자유 구성원입니다. 이와 같이:

그리고 다시, 서두르지 마십시오! x제곱 앞의 빼기는 당신을 많이 화나게 할 수 있습니다. 잊어버리기 쉽습니다... 마이너스는 버리세요. 어떻게? 예, 이전 주제에서 배운 대로! 전체 방정식에 -1을 곱해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이제 근에 대한 공식을 안전하게 기록하고 판별식을 계산하고 예제를 완성할 수 있습니다. 스스로 결정하십시오. 루트 2와 -1로 끝나야 합니다.

두 번째 리셉션. 당신의 뿌리를 확인하십시오! Vieta의 정리에 따르면. 내가 다 설명해줄테니 걱정마! 확인 중 마지막 것방정식. 저것들. 우리가 뿌리의 공식을 기록한 것. (이 예에서와 같이) 계수가 에이 = 1, 뿌리를 쉽게 확인하십시오. 그것들을 곱하는 것으로 충분합니다. 당신은 무료 기간, 즉. 우리의 경우 -2. 2가 아니라 -2에 주의하세요! 무료 회원 당신의 기호로 . 작동하지 않으면 이미 어딘가에서 엉망이되었음을 의미합니다. 오류를 찾습니다.

그것이 효과가 있다면 뿌리를 접을 필요가 있습니다. 마지막이자 마지막 점검입니다. 비율이어야 한다 비와 함께 반대 징후. 우리의 경우 -1+2 = +1입니다. 계수 비, x 앞에 있는 는 -1과 같습니다. 따라서 모든 것이 정확합니다!
x 제곱이 순수하고 계수가 있는 예에 대해서만 너무 단순하다는 것은 유감입니다. 에이 = 1.그러나 적어도 그러한 방정식을 확인하십시오! 실수가 줄어들 것입니다.

접수 제3 . 방정식에 분수 계수가 있는 경우 분수를 제거하십시오! "방정식을 푸는 방법? 항등 변환" 단원에서 설명한 대로 방정식에 공통 분모를 곱합니다. 어떤 이유로 분수, 오류로 작업 할 때 등반 ...

그건 그렇고, 나는 단순화하기 위해 많은 마이너스가있는 나쁜 예를 약속했습니다. 제발! 여기 있습니다.

마이너스에서 혼동하지 않기 위해 방정식에 -1을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.