가장 간단한 삼각 방정식은 일반적으로 공식으로 해결됩니다. 다음 삼각 방정식이 가장 단순하다는 것을 상기시켜 드리겠습니다.
sinx = 에이
cosx = a
tgx = 에이
ctgx = 에이
x는 찾을 각도이고,
a는 임의의 숫자입니다.
그리고 다음은 이러한 가장 간단한 방정식의 해를 즉시 기록할 수 있는 공식입니다.
부비동:
코사인의 경우:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
접선의 경우:
x = arctg a + π n, n ∈ Z
코탄젠트:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
실제로 이것은 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 이론적 부분입니다. 그리고 전체!) 전혀. 그러나이 주제에 대한 오류 수는 롤오버됩니다. 특히 템플릿과 예제가 약간 다릅니다. 왜요?
네, 많은 사람들이 이 편지들을 적어두기 때문에, 그들의 의미를 전혀 이해하지 못한 채!무슨 일이 있어도 그는 염려하면서 적어 둡니다 ...) 이것은 정리해야합니다. 결국 사람을 위한 삼각법, 또는 사람을 위한 삼각법!?)
알아 볼까요?
한 각도는 아르코스, 초: -아르코스 에이.
그리고 그것이 항상 작동하는 방식입니다.어떠한 것도 ㅏ.
못 믿겠으면 사진 위로 마우스를 가져가거나 태블릿에서 사진을 터치하세요.) 번호를 변경했습니다. ㅏ 어떤 부정적인. 어쨌든, 우리는 한 코너를 얻었다 아르코스, 초: -아르코스 에이.
따라서 답은 항상 두 개의 근열로 쓸 수 있습니다.
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
이 두 시리즈를 하나로 결합합니다.
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
그리고 모든 것. 코사인으로 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 일반 공식을 얻었습니다.
이것이 일종의 초과학적 지혜가 아니라 두 가지 일련의 답변에 대한 축약된 기록입니다.당신과 작업 "C"는 어깨에 있습니다. 불평등이있는 경우 주어진 간격에서 근을 선택하면 ... 플러스 / 마이너스가있는 대답은 굴리지 않습니다. 그리고 답변을 비즈니스처럼 취급하고 두 개의 개별 답변으로 나누면 모든 것이 결정됩니다.) 사실, 우리는 이것을 이해합니다. 무엇을, 어떻게, 어디서.
가장 간단한 삼각 방정식에서
sinx = 에이
또한 두 개의 일련의 뿌리를 얻습니다. 항상. 그리고 이 두 시리즈도 녹화할 수 있습니다. 한 줄. 이 줄만 더 똑똑해집니다.
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
그러나 본질은 동일하게 유지됩니다. 수학자들은 일련의 근에 대한 두 개의 기록 대신에 하나를 만들기 위해 단순히 공식을 구성했습니다. 그리고 그게 다야!
수학자를 확인해 볼까요? 그것도 부족해...)
이전 단원에서는 사인이 있는 삼각 방정식의 해(공식 없음)를 자세히 분석했습니다.
대답은 두 가지 일련의 뿌리로 밝혀졌습니다.
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
공식을 사용하여 동일한 방정식을 풀면 답을 얻습니다.
x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z
사실 이것은 반쯤 완성된 답변입니다.) 학생은 반드시 알고 있어야 합니다. 아크사인 0.5 = π /6.전체 답변은 다음과 같습니다.
엑스 = (-1) 엔 π/6+ πn, n ∈ Z
여기서 흥미로운 질문이 생깁니다. 회신 × 1; × 2 (이것이 정답이다!) 그리고 외로운 엑스 (그리고 이것이 정답입니다!) - 같은 것입니까? 지금 알아봅시다.)
로 응답하여 대체 × 1 값 N =0; 하나; 2; 등, 우리는 일련의 뿌리를 얻습니다.
엑스 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 등등.
에 대한 응답으로 동일한 대체 × 2 , 우리는 얻는다:
엑스 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 등등.
이제 값을 대체합니다. N (0; 1; 2; 3; 4...) 외로운 것에 대한 일반 공식으로 엑스 . 즉, 마이너스 1을 0승으로 올린 다음 첫 번째, 두 번째 등으로 올립니다. 그리고 물론 우리는 두 번째 용어에 0을 대입합니다. 하나; 2 3; 4 등 그리고 우리는 생각합니다. 우리는 시리즈를 얻습니다.
엑스 = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 등등.
그것이 당신이 볼 수 있는 전부입니다.) 일반 공식은 우리에게 정확히 같은 결과두 가지 답변이 별도로 있습니다. 한 번에 순서대로. 수학자들은 속이지 않았다.)
탄젠트 및 코탄젠트를 사용하여 삼각 방정식을 푸는 공식도 확인할 수 있습니다. 하지만 그러지 말자.) 그들은 너무 소박하다.
이 모든 대체 및 검증을 의도적으로 그렸습니다. 여기서 하나를 이해하는 것이 중요합니다. 단순한 것: 기초 삼각방정식을 풀 수 있는 공식이 있으며, 답변의 요약입니다.이 간결함을 위해 코사인 솔루션에 플러스/마이너스를 삽입하고 사인 솔루션에 (-1) n을 삽입해야 했습니다.
이러한 삽입은 기본 방정식에 대한 답을 적어야 하는 작업에서 어떤 식으로든 간섭하지 않습니다. 그러나 불평등을 해결해야 하거나 답을 가지고 무언가를 해야 하는 경우: 일정한 간격으로 뿌리를 선택하고 ODZ를 확인하는 등 이러한 삽입은 사람을 쉽게 불안하게 만들 수 있습니다.
그리고 무엇을 해야 할까요? 예, 답을 두 시리즈로 그리거나 삼각법 원에서 방정식/부등식을 풉니다. 그런 다음 이러한 삽입물이 사라지고 삶이 더 쉬워집니다.)
요약할 수 있습니다.
가장 간단한 삼각 방정식을 풀기 위해 기성 답변 공식이 있습니다. 네 조각. 그들은 방정식에 대한 솔루션을 즉시 작성하는 데 좋습니다. 예를 들어 다음 방정식을 풀어야 합니다.
sinx = 0.3
용이하게: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0.2
괜찮아요: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
용이하게: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z
ctgx = 3.7
하나 남은: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z
코사인 x = 1.8
지식으로 빛나는 당신이 있다면 즉시 답을 쓰십시오.
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
그러면 당신은 이미 웅덩이에서 빛나고 있습니다.) 정답은 다음과 같습니다. 해결책이 없습니다. 이유를 이해하지 못합니까? 아크코사인이 무엇인지 읽어보세요. 또한 원래 방정식의 오른쪽에 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 표 값이 있으면- 1; 0; √3; 1/2; √3/2 등. - 아치를 통한 답은 미완성입니다. 아치는 라디안으로 변환해야 합니다.
그리고 이미 불평등에 직면했다면,
대답은 다음과 같습니다.
xπn, n∈Z
드문 말도 안되는 소리가 있습니다. 예 ...) 여기서 삼각법 원을 결정해야합니다. 해당 주제에서 우리가 할 일.
이 줄까지 영웅적으로 읽는 사람들을 위해. 당신의 엄청난 노력에 감사하지 않을 수 없습니다. 당신은 보너스.)
보너스:
불안한 전투 상황에서 공식을 작성할 때, 강경한 얼간이조차도 종종 혼란스러워합니다. 피엔, 그리고 어디 2πn. 여기에 간단한 요령이 있습니다. ~ 안에 모두방식 pn. 아크 코사인이 있는 유일한 공식을 제외하고. 거기에 서있다 2πn. 둘피엔. 예어 - 둘.동일한 단일 공식에서 둘처음에 서명하십시오. 플러스와 마이너스. 여기 저기에 - 둘.
그래서 당신이 썼다면 둘아크 코사인 앞에 부호가 있으면 마지막에 일어날 일을 기억하기가 더 쉽습니다. 둘피엔. 그리고 그 반대도 마찬가지입니다. 맨 사인 건너뛰기 ± , 끝까지 가다, 바르게 쓰다 둘피엔, 그래, 잡아. 무언가를 앞두고 둘징후! 그 사람은 처음으로 돌아가지만 실수를 바로잡을 것이다! 이와 같이.)
그나저나 흥미로운 사이트가 몇 개 더 있습니다.)
예제 해결을 연습하고 레벨을 확인할 수 있습니다. 즉각적인 확인을 통한 테스트. 학습 - 관심을 가지고!)
함수와 도함수에 대해 알 수 있습니다.
지식의 복잡한 적용에 대한 교훈.
수업 목표.
장비: 스크린, 프로젝터, 참고 자료.
수업 중
소개 대화.
삼각 방정식을 푸는 주요 방법은 가장 간단한 감소입니다. 그렇게 함으로써 신청 기존 방식, 예를 들어 인수 분해 및 삼각 방정식을 푸는 데만 사용되는 기술. 예를 들어 다양한 삼각법 대체, 각도 변환, 삼각 함수 변환과 같은 많은 트릭이 있습니다. 삼각법 변환을 무분별하게 적용하면 일반적으로 방정식이 단순화되지는 않지만 끔찍하게 복잡해집니다. 운동하려면 일반적으로방정식을 풀기 위한 계획, 방정식을 가장 간단한 것으로 줄이는 방법의 개요, 먼저 방정식에 포함된 삼각 함수의 인수인 각도를 분석해야 합니다.
오늘 우리는 삼각 방정식을 푸는 방법에 대해 이야기할 것입니다. 올바르게 선택한 방법은 종종 솔루션을 크게 단순화할 수 있으므로 가장 적절한 방법으로 삼각 방정식을 풀기 위해 우리가 연구한 모든 방법을 항상 우리의 관심 영역에 유지해야 합니다.
II. (프로젝터를 사용하여 방정식을 푸는 방법을 반복합니다.)
1. 삼각 방정식을 대수 방정식으로 줄이는 방법.
모든 삼각함수를 하나의 인수로 같은 인수로 표현할 필요가 있습니다. 이것은 기본 삼각법 항등식과 그 결과를 사용하여 수행할 수 있습니다. 하나의 삼각 함수로 방정식을 얻습니다. 새로운 미지수로 간주하여 대수 방정식을 얻습니다. 우리는 그 뿌리를 찾고 가장 간단한 삼각 방정식을 풀면서 오래된 미지의 것으로 돌아갑니다.
2. 인수분해 방법.
각도를 변경하려면 인수의 감소, 합 및 차이에 대한 공식과 삼각 함수의 합(차이)을 곱으로 또는 그 반대로 변환하는 공식이 종종 유용합니다.
sinx + sin3x = sin2x + sin4x
3. 추가 각도를 도입하는 방법.
4. 보편적 대체를 사용하는 방법.
F(sinx, cosx, tgx) = 0 형식의 방정식은 범용 삼각법 대체를 사용하여 대수 방정식으로 축소됩니다.
사인, 코사인 및 탄젠트를 반각의 탄젠트로 표현합니다. 이 트릭은 고차 방정식으로 이어질 수 있습니다. 결정이 어렵습니다.
삼각 방정식을 푸는 개념.
기본 삼각 방정식의 솔루션입니다.
삼각 방정식을 푸는 데 사용되는 변환입니다.
함수의 알려진 값에서 각도 찾기.
단위 원에 솔루션을 따로 둡니다.
삼각 방정식을 푸는 방법.
많은 것을 풀 때 수학 문제, 특히 10학년 이전에 발생하는 경우에는 목표에 도달하기 위해 수행되는 작업의 순서가 명확하게 정의됩니다. 이러한 작업에는 예를 들어 선형 및 이차방정식, 선형 및 제곱 부등식, 분수 방정식 및 이차 방정식으로 축소되는 방정식. 언급 된 각 작업의 성공적인 솔루션 원칙은 다음과 같습니다. 해결중인 문제가 어떤 유형에 속하는지 확인하고 원하는 결과로 이어질 필요한 일련의 작업을 기억해야합니다. 대답하고 다음 단계를 따르십시오.
분명히 특정 문제 해결의 성공 또는 실패는 주로 해결되는 방정식의 유형이 얼마나 정확하게 결정되는지, 솔루션의 모든 단계 순서가 얼마나 정확하게 재현되는지에 달려 있습니다. 물론 이 경우 동일한 변환과 계산을 수행할 수 있는 기술이 필요합니다.
와 다른 상황이 발생합니다. 삼각 방정식.방정식이 삼각법이라는 사실을 확립하는 것은 어렵지 않습니다. 정답으로 이어지는 일련의 작업을 결정할 때 어려움이 발생합니다.
에 의해 모습방정식은 때때로 유형을 결정하기 어렵습니다. 그리고 방정식의 유형을 모르면 수십 개의 삼각법 공식 중에서 올바른 것을 선택하는 것이 거의 불가능합니다.
삼각법 방정식을 풀려면 다음을 시도해야 합니다.
1. 방정식에 포함된 모든 함수를 "동일한 각도"로 가져옵니다.
2. 방정식을 "동일한 기능"으로 가져옵니다.
3. 등식의 좌변을 인수분해합니다.
고려하다 삼각 방정식을 푸는 기본 방법.
I. 가장 간단한 삼각법 방정식으로 축소
솔루션 체계
1 단계.알려진 구성 요소로 삼각 함수를 표현합니다.
2 단계수식을 사용하여 함수 인수 찾기:
cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.
죄 x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
3단계알 수 없는 변수를 찾습니다.
예시.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
해결책.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
정답: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. 변수 대체
솔루션 체계
1 단계.삼각 함수 중 하나와 관련하여 방정식을 대수 형식으로 가져옵니다.
2 단계결과 함수를 변수 t로 표시합니다(필요한 경우 t에 대한 제한 사항 도입).
3단계결과 대수 방정식을 쓰고 풉니다.
4단계역대체를 합니다.
5단계가장 간단한 삼각 방정식을 풉니다.
예시.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
해결책.
1) 2(1 - sin 2(x/2)) - 5sin(x/2) - 5 = 0;
2사인 2(x/2) + 5사인(x/2) + 3 = 0.
2) sin (x/2) = t라고 하자. 여기서 |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 또는 e = -3/2는 |t| 조건을 만족하지 않습니다. ≤ 1.
4) 죄 (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
답: x = π + 4πn, n Є Z.
III. 방정식 차수 축소 방법
솔루션 체계
1 단계.전력 감소 공식을 사용하여 이 방정식을 선형 방정식으로 바꿉니다.
죄 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2x = 1/2(1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2 단계방법 I 및 II를 사용하여 결과 방정식을 풉니다.
예시.
cos2x + cos2x = 5/4.
해결책.
1) 코사인 2x + 1/2(1 + 코사인 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
답: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. 균질 방정식
솔루션 체계
1 단계.이 방정식을 형식으로 가져옵니다.
a) 죄 x + b cos x = 0 ( 균질 방정식 1도)
또는 보기에
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (2도 동차 방정식).
2 단계방정식의 양변을 다음으로 나눕니다.
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
tg x에 대한 방정식을 얻습니다.
a) tg x + b = 0;
b) tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3단계알려진 방법을 사용하여 방정식을 풉니다.
예시.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
해결책.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
죄 2 x + 3죄 x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) tg x = t라고 하면
티 2 + 3티 - 4 = 0;
t = 1 또는 t = -4이므로
tg x = 1 또는 tg x = -4.
첫 번째 방정식에서 x = π/4 + πn, n Є Z; 두 번째 방정식에서 x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
답: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. 삼각법 공식을 사용하여 방정식을 변환하는 방법
솔루션 체계
1 단계.모든 종류의 삼각법 공식을 사용하여 이 방정식을 방법 I, II, III, IV로 풀 수 있는 방정식으로 만듭니다.
2 단계알려진 방법을 사용하여 결과 방정식을 풉니다.
예시.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
해결책.
1) (죄 x + 죄 3x) + 죄 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) 죄 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 또는 2cos x + 1 = 0;
첫 번째 방정식에서 2x = π/2 + πn, n Є Z; 두 번째 방정식 cos x = -1/2에서.
x = π/4 + πn/2, n Є Z가 있습니다. 두 번째 방정식에서 x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
결과적으로 x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
답변 : x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
삼각 방정식을 푸는 능력과 기술은 매우 
중요한 점은 그들의 발전에는 학생과 교사 모두 상당한 노력이 필요하다는 것입니다.
입체법, 물리학 등의 많은 문제들이 삼각방정식의 풀이와 연관되어 있으며, 그러한 문제들을 푸는 과정은 말하자면 삼각법의 요소들을 공부하면서 습득하는 많은 지식과 기술들을 담고 있습니다.
삼각 방정식은 일반적으로 수학과 성격 개발을 가르치는 과정에서 중요한 위치를 차지합니다.
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