Nel video tutorial presentato, considereremo in dettaglio la questione della moltiplicazione di un polinomio per qualsiasi espressione che soddisfi la definizione di "mono", o monomio. Un monomio può essere qualsiasi valore numerico libero rappresentato da numero naturale(in qualsiasi misura, con qualsiasi segno) o qualche variabile (con attributi simili). Vale la pena ricordare che un polinomio è un insieme di elementi algebrici detti membri di un polinomio. A volte alcuni termini possono essere dati con somiglianza e abbreviati. Si consiglia vivamente di eseguire la procedura di riduzione dei termini simili dopo l'operazione di moltiplicazione. La risposta finale, in questo caso, sarà la forma standardizzata del polinomio.
Come segue dal nostro video, il processo di moltiplicazione di un monomio per un polinomio può essere considerato da due posizioni: algebra lineare e geometria. Considera l'operazione di moltiplicazione di un polinomio su ciascun lato: ciò contribuisce all'universalità dell'applicazione delle regole, specialmente nel caso di problemi complessi.
Dal punto di vista algebrico, la moltiplicazione di un polinomio per un monomio segue la regola standard per la moltiplicazione per una somma: ogni elemento della somma deve essere moltiplicato per un dato valore e il valore risultante deve essere sommato algebricamente. Dovrebbe essere chiaro che qualsiasi polinomio è una somma algebrica espansa. Dopo aver moltiplicato ogni membro del polinomio per un certo valore, otteniamo una nuova somma algebrica, che di solito viene ridotta a una forma standard, se possibile, ovviamente.
Consideriamo la moltiplicazione di un polinomio in questo caso:
3a * (2a 2 + 3c - 3)
È facile capire che qui l'espressione (2a 2 + 3c - 3) è un polinomio e 3a è un fattore libero. Per risolvere questa espressione basta moltiplicare ciascuno dei tre termini del polinomio per 3a:
Vale la pena ricordare che il segno è un attributo importante della variabile a destra e non può essere perso. Il segno "+", di regola, non è scritto se l'espressione inizia con esso. Quando si moltiplicano espressioni di lettere numeriche, tutti i coefficienti per le variabili vengono moltiplicati in modo elementare. Le stesse variabili aumentano il grado. Variabili diverse rimangono invariate e sono scritte in un unico elemento: a*c = ac. La conoscenza di queste semplici regole di addizione contribuisce alla corretta e rapida soluzione di tali esercizi.
Abbiamo tre valori, che sono, infatti, membri del polinomio finale, che è la risposta all'esempio. È solo necessario sommare algebricamente questi valori:
6a 3 + 9ac + (- 9a) \u003d 6a 3 + 9ac - 9a
Apriamo le parentesi, preservando i segni, poiché si tratta di un'addizione algebrica, e per definizione c'è un segno più tra i monomi. La forma standard risultante del polinomio è la risposta corretta all'esempio presentato.
La vista geometrica della moltiplicazione di un polinomio per un monomio è il processo per trovare l'area di un rettangolo. Supponiamo di avere un rettangolo di lati a e c. La figura è divisa da due segmenti in tre rettangoli di aree diverse, in modo che il lato c sia comune a tutti, o uguale. E i lati a1, a2 e a3 si sommano alla a iniziale. Come è noto dalla definizione assiomatica dell'area di un rettangolo, per trovare questo parametro è necessario moltiplicare i lati: S = a*c. Oppure, S = (a1 + a2 + a3) * s. Moltiplichiamo il polinomio (formato dai lati di rettangoli più piccoli) per il monomio - il lato principale della figura, e otteniamo un'espressione per S: a1 * c + a2 * c + a3 * c. Ma se guardi bene, puoi vedere che questo polinomio è la somma delle aree di tre rettangoli più piccoli, che compongono la figura iniziale. Infatti, per il primo rettangolo S = a1c (secondo l'assioma), e così via. Algebricamente, la correttezza del ragionamento quando si aggiunge un polinomio è confermata da calcoli di algebra lineare. E geometricamente: le regole per aggiungere aree in un'unica figura semplice.
Quando si eseguono manipolazioni con la moltiplicazione di un polinomio per un monomio, va ricordato che in questo caso vengono aggiunti i gradi del monomio e del polinomio (generale) e il valore risultante è il grado del nuovo polinomio (risposta) .
Tutte le regole di cui sopra insieme alle basi addizione algebrica sono usati negli esempi della più semplice semplificazione delle espressioni, dove i termini simili vengono ridotti e gli elementi vengono moltiplicati per semplificare l'intero polinomio.
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Moltiplicazione di un polinomio per un monomio
Avrete notato che finora il Capitolo 4 è stato strutturato secondo lo stesso schema del Capitolo 3. In entrambi i capitoli sono stati introdotti per primi i concetti di base: nel Capitolo 3, questi erano il monomio, la forma standard del monomio, il coefficiente del monomio; nel capitolo 4 - polinomio, la forma standard di un polinomio. Quindi nel Capitolo 3 abbiamo esaminato l'addizione e la sottrazione di monomi; analogamente, nel capitolo 4 - addizione e sottrazione di polinomi.
Cosa è successo dopo nel capitolo 3? Poi abbiamo parlato della moltiplicazione dei monomi. Quindi, per analogia, di cosa dovremmo parlare ora? Sulla moltiplicazione dei polinomi. Ma qui dobbiamo procedere lentamente: prima (in questo paragrafo) consideriamo la moltiplicazione di un polinomio per monomio(o un monomio per un polinomio, non importa), e poi (nel prossimo paragrafo) - la moltiplicazione di qualsiasi polinomio. Quando hai imparato a moltiplicare i numeri alle elementari, hai anche agito gradualmente: prima hai imparato a moltiplicare un numero a più cifre per un numero a una cifra e solo dopo hai moltiplicato un numero a più cifre per uno a più cifre.
(a + b)c \u003d ac + bc.
Esempio 1 Esegui la moltiplicazione 2a 2 - Zab) (-5a).
Soluzione. Introduciamo nuove variabili:
x \u003d 2a 2, y \u003d Zab, z \u003d - 5a.
Quindi questo prodotto verrà riscritto nella forma (x + y)z, che, secondo la legge di distribuzione, è uguale a xr + yz. Ora torniamo alle vecchie variabili:
xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a).
Ci resta solo da trovare prodotti di monomi. Noi abbiamo:
- 10a 3 + 15a 2 b
Diamo una breve notazione della soluzione (è così che la scriveremo in futuro senza introdurre nuove variabili):
(2a 2 - Zab) (- 5a) \u003d 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a) \u003d -10a 3 + 15a 2 b.
Ora possiamo formulare la regola corrispondente per moltiplicare un polinomio per un monomio.
La stessa regola si applica quando si moltiplica un monomio per un polinomio:
- 5a (2a 2 - Zab) \u003d (- 5a) 2a 2 + (- 5a) (- Zab) \u003d 10a 3 + 15a 2 b
(abbiamo preso l'esempio 1, ma abbiamo scambiato i fattori).
Esempio 2 Esprimi un polinomio come prodotto di un polinomio e di un monomio se:
a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;
b) p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zu 2.
Soluzione.
a) Nota che 2x 2 y \u003d 2x xy e 4a: \u003d 2x 2. Quindi,
2x 2 y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x
b) Nell'esempio a), siamo riusciti nella composizione di ciascun membro del polinomio p 1 (x, y) \u003d 2x 2 y + 4a: seleziona la stessa parte (lo stesso fattore) 2x. Qui non c'è una parte così comune. Ciò significa che il polinomio p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zy 2 non può essere rappresentato come prodotto di un polinomio e di un monomio.
Infatti il polinomio p 2 (x, y) può essere rappresentato anche come prodotto, ad esempio in questo modo:
x2 + 3y2 = (2x2 + 6y2) 0,5
o così:
x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- il prodotto di un numero per un polinomio, ma questa è una trasformazione artificiale e non viene utilizzata senza grande necessità.
A proposito, il requisito di rappresentare un dato polinomio come prodotto di un monomio e un polinomio è abbastanza comune in matematica, quindi a questa procedura è stato dato un nome speciale: togliere il fattore comune dalle parentesi.
Il compito di estrarre il fattore comune dalle parentesi può essere corretto (come nell'esempio 2a), oppure potrebbe non essere del tutto corretto (come nell'esempio 26). Nel prossimo capitolo ci occuperemo specificamente di questo problema.
Alla fine della sezione, risolveremo problemi che mostreranno come, in pratica, lavorare con modelli matematici situazioni reali, bisogna fare una somma algebrica di polinomi e moltiplicare un polinomio per un monomio. Quindi studiamo queste operazioni non invano.
Esempio 3 I punti A, B e C si trovano sull'autostrada come mostrato nella Figura 3. La distanza tra A e B è di 16 km. Un pedone ha lasciato B verso C. 2 ore dopo, un ciclista è partito da A in direzione di C, la cui velocità è di 6 km/h più velocità pedone. 4 ore dopo la sua partenza, il ciclista ha raggiunto il pedone nel punto C. Qual è la distanza da B a C?
Soluzione.
Primo stadio. Redazione modello matematico. Sia x km/h la velocità di un pedone, quindi (x + 6) km/h la velocità di un ciclista.
Il ciclista ha percorso la distanza da A a C in 4 ore, il che significa che tale distanza è espressa dalla formula 4 (x + 6) km; in altre parole, AC = 4 (x + 6).
La distanza da B a C è stata percorsa dal pedone in 6 ore (del resto, prima che il ciclista partisse, era già in strada da 2 ore), quindi tale distanza è espressa dalla formula 6x km; in altre parole, BC = 6x
E ora presta attenzione alla Figura 3: AC - BC = AB, cioè AC - BC = 16. Questa è la base per compilare un modello matematico del problema. Ricordiamo che AC = 4 (x + 6), BC = 6x:; Di conseguenza,
4(x + 6) -6x = 16.
A. V. Pogorelov, Geometria per i gradi 7-11, Libro di testo per istituzioni educative
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1.2. Per risolvere tale problematica, la Società ha introdotto, opera e si sottopone a periodica revisione (controllo) del sistema di protezione dei dati personali.
1.3. Il trattamento dei dati personali nella Società si basa sui seguenti principi:
La liceità delle finalità e modalità del trattamento dei dati personali e la buona fede;
Conformità delle finalità del trattamento dei dati personali alle finalità prefissate e dichiarate in fase di raccolta dei dati personali, nonché ai poteri della Società;
Conformità del volume e della natura dei dati personali trattati, modalità di trattamento dei dati personali con le finalità del trattamento dei dati personali;
Affidabilità dei dati personali, loro pertinenza e sufficienza rispetto alle finalità del trattamento, inammissibilità di trattamenti eccedenti rispetto alle finalità di raccolta dei dati personali;
Legittimità delle misure organizzative e tecniche per garantire la sicurezza dei dati personali;
Miglioramento continuo del livello di conoscenza dei dipendenti della Società nel campo della garanzia della sicurezza dei dati personali durante il loro trattamento;
Impegnarsi per il miglioramento continuo del sistema di protezione dei dati personali.
2. Finalità del trattamento dei dati personali
2.1. In conformità ai principi del trattamento dei dati personali, la Società definisce la composizione e le finalità del trattamento.
Finalità del trattamento dei dati personali:
Conclusione, manutenzione, modifica, cessazione contratti di lavoro, che costituiscono il presupposto per l'instaurazione o la cessazione di rapporti di lavoro tra la Società ed i suoi dipendenti;
Fornitura di un portale, servizi account personale per studenti, genitori e insegnanti;
Archiviazione dei risultati dell'apprendimento;
Adempimento degli obblighi previsti dalla legislazione federale e da altri atti normativi;
3. Regole per il trattamento dei dati personali
3.1. La Società tratta solo i dati personali che sono presentati nell'Elenco approvato dei dati personali trattati nella FSAI GNII ITT "Informika"
3.2. La Società non consente il trattamento delle seguenti categorie di dati personali:
Gara;
Credenze filosofiche;
sullo stato di salute;
Stato vita intima;
Nazionalità;
Credenze religiose.
3.3. La Società non tratta dati personali biometrici (informazioni che caratterizzano fisiologici e caratteristiche biologiche persona, sulla base della quale è possibile stabilire la sua identità).
3.4. La Società non effettua trasferimento transfrontaliero di dati personali (trasferimento di dati personali nel territorio Paese straniero autorità di uno stato straniero, straniero a un individuo o persona giuridica straniera).
3.5. La Società vieta di prendere decisioni riguardanti gli interessati basati esclusivamente sul trattamento automatizzato dei loro dati personali.
3.6. La Società non tratta dati su precedenti penali dei soggetti.
3.7. La Società non colloca i dati personali dell'interessato in fonti pubbliche senza il suo previo consenso.
4. Requisiti implementati per garantire la sicurezza dei dati personali
4.1. Al fine di garantire la sicurezza dei dati personali durante il loro trattamento, la Società implementa i requisiti dei seguenti documenti normativi della Federazione Russa nel campo del trattamento e della sicurezza dei dati personali:
la legge federale del 27 luglio 2006 n. 152-FZ “Sui dati personali”;
Decreto governativo Federazione Russa del 1 novembre 2012 N 1119 "Approvazione delle prescrizioni per la protezione dei dati personali durante il loro trattamento in sistemi di informazione dati personali";
Decreto del governo della Federazione Russa del 15 settembre 2008 n. 687 "Sull'approvazione del regolamento sulle specifiche del trattamento dei dati personali effettuato senza l'uso di strumenti di automazione";
Ordine della FSTEC della Russia del 18 febbraio 2013 N 21 "Sull'approvazione della composizione e del contenuto delle misure organizzative e tecniche per garantire la sicurezza dei dati personali durante il loro trattamento nei sistemi di informazione dei dati personali";
Modello di base delle minacce alla sicurezza dei dati personali durante il loro trattamento nei sistemi informativi dei dati personali (approvato dal vicedirettore della FSTEC della Russia il 15 febbraio 2008);
Metodologia per determinare le minacce effettive alla sicurezza dei dati personali durante il loro trattamento nei sistemi informativi dei dati personali (approvato dal vicedirettore della FSTEC della Russia il 14 febbraio 2008).
4.2. La Società valuta il danno che può essere causato agli interessati e determina le minacce alla sicurezza dei dati personali. In conformità con le minacce effettive identificate, la Società applica le misure organizzative e tecniche necessarie e sufficienti, compreso l'uso di strumenti di sicurezza delle informazioni, il rilevamento di accessi non autorizzati, il recupero dei dati personali, l'istituzione di regole per l'accesso ai dati personali, nonché il monitoraggio e la valutazione dell'efficacia delle misure adottate.
4.3. La Società ha nominato le persone incaricate di organizzare il trattamento e garantire la sicurezza dei dati personali.
4.4. La direzione della Società è consapevole della necessità ed è interessata a garantire che sia in termini di requisiti dei documenti normativi della Federazione Russa, sia giustificato in termini di valutazione del rischio per le imprese, il livello di sicurezza dei dati personali trattati nell'ambito del Il core business dell'azienda.
Se i numeri sono indicati da lettere diverse, è possibile designare solo dal prodotto; lascia, ad esempio, che il numero a sia moltiplicato per il numero b, - possiamo denotarlo sia a ∙ bo ab, ma non si può parlare di eseguire in qualche modo questa moltiplicazione. Tuttavia, quando si tratta di monomi, allora, a causa 1) della presenza di coefficienti e 2) del fatto che questi monomi possono includere fattori denotati dalle stesse lettere, è possibile parlare di moltiplicazione di monomi; tale possibilità è ancora più ampia per i polinomi. Analizziamo alcuni casi in cui è possibile eseguire la moltiplicazione partendo dal più semplice.
1. Moltiplicare le potenze con la stessa base. Sia richiesto, ad esempio, a 3 ∙ a 5. Scriviamo, conoscendo il significato di elevare a potenza, la stessa cosa in modo più dettagliato:
un ∙ un ∙ un ∙ un ∙ un ∙ un ∙ un ∙ un
Guardando questa voce dettagliata, vediamo che abbiamo scritto un moltiplicatore di 8 volte, o, in breve, un 8 . Quindi a 3 ∙ a 5 = a 8 .
Sia b 42 ∙ b 28 richiesto. Dovremmo scrivere prima il fattore b 42 volte, e poi di nuovo il fattore b 28 volte - in generale, otterremmo che b è preso dal fattore 70 volte. cioè b 70 . Quindi, b 42 ∙ b 28 \u003d b 70. Da ciò è già chiaro che moltiplicando le potenze con le stesse basi, la base del grado rimane invariata e si sommano gli esponenti. Se abbiamo a 8 ∙ a, allora dobbiamo tenere presente che il fattore a implica un esponente di 1 (“a elevato alla prima potenza”), quindi a 8 ∙ a = a 9 .
Esempi: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; un 11 ∙ un 22 ∙ un 33 = un 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 ecc.
A volte hai a che fare con gradi i cui esponenti sono indicati da lettere, ad esempio xn (x alla potenza di n). Devi abituarti a usare queste espressioni. Ecco alcuni esempi:
Spieghiamo alcuni di questi esempi: b n - 3 ∙ b 5 devi lasciare invariata la base b e aggiungere gli indicatori, ad es. (n - 3) + (+5) \u003d n - 3 + 5 \u003d n + 2 Naturalmente, tali aggiunte devono essere apprese per eseguire rapidamente nella mente.
Un altro esempio: x n + 2 ∙ x n - 2, - la base di x deve essere lasciata invariata e l'indicatore deve essere aggiunto, ad es. (n + 2) + (n - 2) = n + 2 + n - 2 = 2n .
È possibile esprimere l'ordine trovato sopra, come eseguire la moltiplicazione dei poteri con le stesse basi, ora per l'uguaglianza:
un m ∙ un n = un m + n
2. Moltiplicazione di un monomio per un monomio. Sia richiesto, ad esempio, 3a²b³c ∙ 4ab²d². Vediamo che qui una moltiplicazione è indicata da un punto, ma sappiamo che lo stesso segno di moltiplicazione è implicito tra 3 e a², tra a² e b³, tra b³ e c, tra 4 e a, tra a e b², tra b² e d². Pertanto, qui possiamo vedere il prodotto di 8 fattori e possiamo moltiplicarli per qualsiasi gruppo in qualsiasi ordine. Riorganizziamoli in modo che i coefficienti e le potenze con le stesse basi siano vicini, ad es.
3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².
Quindi possiamo moltiplicare 1) coefficienti e 2) potenze con la stessa base e ottenere 12a³b5cd².
Quindi, quando moltiplichiamo un monomio per un monomio, possiamo moltiplicare i coefficienti e le potenze con le stesse basi e i restanti fattori devono essere riscritti senza modifiche.
Altri esempi:
3. Moltiplicazione di un polinomio per un monomio. Supponiamo di dover prima moltiplicare un polinomio, ad esempio a - b - c + d, per un numero intero positivo, ad esempio +3. Poiché i numeri positivi sono considerati la stessa cosa dell'aritmetica, è uguale a (a - b - c + d) ∙ 3, cioè prendi a - b - c + d come addizione 3 volte, o
(a - b - c + d) ∙ (+3) = a - b - c + d + a - b - c + d + a - b - c + d = 3a - 3b - 3c + 3d,
cioè, di conseguenza, ogni termine del polinomio doveva essere moltiplicato per 3 (o per +3).
Ne consegue:
(a - b - c + d) ÷ (+3) = a - b - c + d,
cioè, ogni termine del polinomio doveva essere diviso per (+3). Inoltre, riassumendo, otteniamo:
eccetera.
Lascia che ora sia necessario moltiplicare (a - b - c + d) per una frazione positiva, ad esempio per +. È come moltiplicare per una frazione aritmetica, il che significa prendere parti da (a - b - c + d). È facile prendere un quinto di questo polinomio: devi dividere (a - b - c + d) per 5 e sappiamo già come farlo - otteniamo 
. Resta da ripetere il risultato ottenuto 3 volte o moltiplicare per 3, ad es.
Di conseguenza, vediamo che abbiamo dovuto moltiplicare ogni termine del polinomio per o per +.
Sia ora necessario moltiplicare (a - b - c + d) per un numero negativo, intero o frazionario,
cioè, in questo caso, ogni termine del polinomio doveva essere moltiplicato per -.
Quindi, qualunque sia il numero m, sempre (a - b - c + d) ∙ m = am - bm - cm + dm.
Poiché ogni monomio è un numero, qui vediamo un'indicazione su come moltiplicare un polinomio per un monomio: ogni membro del polinomio deve essere moltiplicato per questo monomio.
4. Moltiplicazione di un polinomio per un polinomio. Sia (a + b + c) ∙ (d + e). Poiché d ed e significano numeri, allora (d + e) esprime un numero qualsiasi.
(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)
(possiamo spiegarlo in questo modo: abbiamo il diritto di prendere temporaneamente d + e per un monomio).
Ad + ae + bd + be + cd + ce
Di conseguenza, è possibile modificare l'ordine dei membri.
(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,
cioè, per moltiplicare un polinomio per un polinomio, si deve moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro. È conveniente (per questo, l'ordine dei termini ottenuti è stato cambiato sopra) moltiplicare ogni termine del primo polinomio prima per il primo termine del secondo (per + d), poi per il secondo termine del secondo (per + e), poi, se lo fosse, dal terzo, ecc. d.; dopodiché, dovresti fare una riduzione di termini simili.
In questi esempi, il binomio è moltiplicato per il binomio; in ogni binomio i termini sono disposti in potenze discendenti della lettera comune ad entrambi i binomi. Tali moltiplicazioni sono facili da eseguire nella tua testa e scrivi immediatamente il risultato finale.
Moltiplicando il termine senior del primo binomio per il termine senior del secondo, cioè 4x² per 3x, otteniamo 12x³ il termine senior del prodotto - ovviamente non ce ne saranno di simili. Successivamente, cerchiamo i termini dalla moltiplicazione dei quali termini si otterranno con la potenza della lettera x meno per 1, cioè con x². È facile vedere che tali termini si ottengono moltiplicando il 2° termine del primo fattore per il 1° termine del secondo e moltiplicando il 1° termine del primo fattore per il 2° termine del secondo (le parentesi in basso dell'esempio indicare questo). Fare queste moltiplicazioni nella tua testa e fare anche la riduzione di questi due termini simili (dopo di che otteniamo il termine -19x²) non è difficile. Poi notiamo che il termine successivo, contenente la lettera x alla potenza 1 in meno, cioè x alla 1a potenza, si otterrà solo moltiplicando il secondo termine per il secondo, e non ce ne saranno di simili.
Un altro esempio: (x² + 3x)(2x - 7) = 2x³ - x² - 21x.
È anche facile eseguire mentalmente esempi come il seguente:
Il termine senior si ottiene moltiplicando il termine senior per quello senior, non ci saranno termini simili per esso, ed è = 2a³. Quindi cerchiamo da quali moltiplicazioni si otterranno i termini con a² - dalla moltiplicazione del 1° termine (a²) per il 2° (-5) e dalla moltiplicazione del secondo termine (-3a) per il 1° (2a) - è di seguito indicato tra parentesi; dopo aver eseguito queste moltiplicazioni e combinato i termini risultanti in uno, otteniamo -11a². Quindi cerchiamo quali moltiplicazioni risulteranno in termini con a di primo grado - queste moltiplicazioni sono contrassegnate da parentesi dall'alto. Dopo averli completati e aver combinato i membri risultanti in uno, otteniamo + 11a. Notiamo infine che il termine basso del prodotto (+10), che non contiene affatto a, si ottiene moltiplicando il termine basso (–2) di un polinomio per il termine basso (–5) di un altro.
Un altro esempio: (4a 3 + 3a 2 - 2a) ∙ (3a 2 - 5a) \u003d 12a 5 - 11a 4 - 21a 3 + 10a 2.
Da tutti gli esempi precedenti, otteniamo anche risultato complessivo: il termine più alto del prodotto si ottiene sempre dalla moltiplicazione dei termini più alti dei fattori, e non possono esserci membri simili ad esso; inoltre, il termine più basso del prodotto si ottiene moltiplicando i termini più bassi dei fattori, e non possono esserci nemmeno termini simili.
Il resto dei termini ottenuti moltiplicando un polinomio per un polinomio può essere simile, e può anche accadere che tutti questi termini si annullino a vicenda, e rimangano solo il più vecchio e il più giovane.
Ecco alcuni esempi:
(a² + ab + b²) (a - b) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³
(a² - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (scriviamo solo il risultato)
(x 4 - x³ + x² - x + 1) (x + 1) = x 5 + 1, ecc.
Questi risultati sono degni di nota e utili da ricordare.
Il seguente caso di moltiplicazione è particolarmente importante:
(a + b) (a - b) = a² + ab - ab - b² = a² - b²
oppure (x + y) (x - y) = x² + xy - xy - y² = x² - y²
oppure (x + 3) (x - 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9 ecc.
In tutti questi esempi, applicati all'aritmetica, abbiamo il prodotto della somma di due numeri e la loro differenza, e il risultato è la differenza dei quadrati di questi numeri.
Se vediamo un caso del genere, non è necessario eseguire la moltiplicazione in dettaglio, come è stato fatto sopra, ma possiamo scrivere immediatamente il risultato.
Ad esempio, (3a + 1) ∙ (3a – 1). Qui il primo fattore, dal punto di vista dell'aritmetica, è la somma di due numeri: il primo numero è 3a e il secondo 1, e il secondo fattore è la differenza degli stessi numeri; quindi, il risultato dovrebbe essere: il quadrato del primo numero (cioè 3a ∙ 3a = 9a²) meno il quadrato del secondo numero (1 ∙ 1 = 1), cioè
(3a + 1) ∙ (3a - 1) = 9a² - 1.
Anche 
(ab - 5) ∙ (ab + 5) = a²b² - 25, ecc.
Quindi ricordiamo
(a + b) (a - b) = a² - b²
cioè, il prodotto della somma di due numeri e la loro differenza è uguale alla differenza dei quadrati di questi numeri.
Un caso particolare di moltiplicazione di un polinomio per un polinomio è la moltiplicazione di un polinomio per un monomio. In questo articolo, formuliamo la regola per eseguire questa azione e analizziamo la teoria con esempi pratici.
Scopriamo qual è la base della moltiplicazione di un polinomio per un monomio. Questa azione si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Letteralmente, questa proprietà è scritta come segue: (a + b) c \u003d a c + b c (a, b e c sono alcuni numeri). In questa voce, l'espressione (a + b) cè solo il prodotto del polinomio (a + b) e del monomio c. Il lato destro dell'uguaglianza a c + b cè la somma dei prodotti dei monomi un e b in un monomio c.
Il ragionamento di cui sopra ci permette di formulare la regola per moltiplicare un polinomio per un monomio:
Definizione 1
Per eseguire l'azione di moltiplicazione di un polinomio per un monomio, devi:
Cerchiamo di spiegare ulteriormente l'algoritmo di cui sopra.
Per comporre il prodotto di un polinomio per un monomio, il polinomio originale viene racchiuso tra parentesi; inoltre, un segno di moltiplicazione è posto tra esso e il dato monomio. Nel caso in cui la voce di un monomio inizi con un segno meno, anche questo deve essere racchiuso tra parentesi. Ad esempio, il prodotto di un polinomio − 4 x 2 + x − 2 e monomio 7 anni scrivi come (− 4 x 2 + x − 2) 7 a, e il prodotto del polinomio un 5 b - 6 un b e monomio - 3 un 2 comporre nella forma: (a 5 b - 6 a b) (- 3 a 2).
Il passo successivo dell'algoritmo è la moltiplicazione di ogni termine del polinomio per un dato monomio. I componenti del polinomio sono monomi, cioè infatti, dobbiamo eseguire la moltiplicazione di un monomio per un monomio. Supponiamo che dopo il primo passo dell'algoritmo abbiamo ottenuto l'espressione (2 x 2 + x + 3) 5 x, quindi il secondo passo è moltiplicare ogni termine del polinomio 2 x 2 + x + 3 con un monomio 5x, ottenendo così: 2 x 2 5 x = 10 x 3 , x 5 x = 5 x 2 e 3 5 x = 15 x. Il risultato saranno i monomi 10 x 3, 5 x 2 e 15x.
L'ultima azione secondo la regola è l'aggiunta dei prodotti risultanti. Dall'esempio proposto, dopo aver completato questo passaggio dell'algoritmo, otteniamo: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
Per impostazione predefinita, tutti i passaggi sono scritti come una catena di uguaglianze. Ad esempio, trovare il prodotto di un polinomio 2 x 2 + x + 3 e monomio 5x scriviamolo così: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x . Eliminando il calcolo intermedio del secondo passo, una breve soluzione può essere formulata come segue: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
Gli esempi considerati consentono di notare sfumatura importante: come risultato della moltiplicazione di un polinomio e di un monomio, si ottiene un polinomio. Questa dichiarazioneè vero per qualsiasi moltiplicazione di polinomi e monomi.
Per analogia, un monomio viene moltiplicato per un polinomio: un dato monomio viene moltiplicato per ciascun membro del polinomio ei prodotti risultanti vengono sommati.
Occorre trovare il prodotto: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .
Soluzione
Il primo passaggio della regola è già stato completato: il lavoro è stato registrato. Ora eseguiamo il passo successivo, moltiplicando ogni termine del polinomio per il dato monomio. In questo caso è conveniente tradurre prima le frazioni decimali in frazioni comuni. Quindi otteniamo:
1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = 1 , 4 x 2 - 2 7 x - 3 , 5 y - 2 7 x = = - 1 , 4 2 7 x 2 x + 3 , 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y
Risposta: 1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y .
Chiariamo che quando il polinomio e/o il monomio di partenza sono dati in forma non standard, prima di trovarne il prodotto, è opportuno ridurli alla forma standard.
Esempio 2
Dato un polinomio 3 + un - 2 un 2 + 3 un - 2 e monomio − 0 , 5 a b (− 2) a. Devi trovare il loro lavoro.
Soluzione
Vediamo che i dati iniziali sono presentati in una forma non standard, quindi, per comodità di ulteriori calcoli, li porteremo in una forma standard:
− 0 , 5 a b (− 2) a = (− 0 , 5) (− 2) (a a) b = 1 a 2 b = a 2 b 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 a) − 2 a 2 = 1 + 4 a − 2 a 2
Ora facciamo la moltiplicazione del monomio un 2 b per ogni membro del polinomio 1 + 4 a − 2 a2
un 2 b (1 + 4 un - 2 un 2) = un 2 b 1 + un 2 b 4 un + un 2 b (− 2 un 2) = = un 2 b + 4 un 3 b - 2 un 4 b
Non potremmo riportare i dati iniziali nella forma standard: la soluzione risulterebbe poi più macchinosa. In questo caso, l'ultimo passo sarebbe la necessità di ridurre termini simili. Per capire, ecco una soluzione secondo questo schema:
− 0 .5 un b (− 2) un (3 + un − 2 un 2 + 3 un − 2) = = − 0 . 5 un b (− 2) un 3 − 0 . 5 un b (− 2) un un − 0 . 5 a b (− 2) a (− 2 a 2) − 0 . 5 a b (− 2) a 3 a − 0 , 5 a b (− 2) a (− 2) = = 3 a 2 b + a 3 b − 2 un 4 b + 3 un 3 b - 2 un 2 b = un 2 b + 4 un 3 b - 2 un 4 b
Risposta: − 0 , 5 un b (− 2) un (3 + un − 2 un 2 + 3 un − 2) = un 2 b + 4 un 3 b − 2 un 4 b.
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