In questo articolo imparerai come trovare l'area di una figura delimitata da linee utilizzando calcoli integrali. Per la prima volta incontriamo la formulazione di un tale problema al liceo, quando lo studio di alcuni integrali è appena stato completato ed è ora di iniziare l'interpretazione geometrica delle conoscenze acquisite nella pratica.
Quindi, cosa è necessario per risolvere con successo il problema di trovare l'area di una figura usando gli integrali:
Algoritmo per risolvere il problema del calcolo dell'area di una figura delimitata da linee:
1. Costruiamo un disegno. Si consiglia di farlo su un pezzo di carta in una gabbia, su larga scala. Segniamo con una matita sopra ogni grafico il nome di questa funzione. La firma dei grafici viene eseguita esclusivamente per comodità di ulteriori calcoli. Ricevuto il grafico della cifra desiderata, nella maggior parte dei casi sarà subito chiaro quali limiti di integrazione verranno utilizzati. Quindi, risolviamo graficamente il problema. Tuttavia, accade che i valori dei limiti siano frazionari o irrazionali. Pertanto, puoi effettuare calcoli aggiuntivi, vai al passaggio due.
2. Se i limiti di integrazione non sono impostati esplicitamente, troviamo i punti di intersezione dei grafici tra loro e vediamo se la nostra soluzione grafica corrisponde a quella analitica.
3. Successivamente, è necessario analizzare il disegno. A seconda di come si trovano i grafici delle funzioni, ci sono approcci diversi per trovare l'area di una figura. Considera vari esempi di come trovare l'area di una figura usando gli integrali.
3.1. La versione più classica e più semplice del problema è quando devi trovare l'area di un trapezio curvilineo. Cos'è un trapezio curvilineo? Questa è una figura piatta delimitata dall'asse x (y=0), dritto x = a, x = b e qualsiasi curva continua sull'intervallo da un prima b. Allo stesso tempo, questa cifra non è negativa e si trova non al di sotto dell'asse x. In questo caso, l'area del trapezio curvilineo è numericamente uguale all'integrale definito calcolato utilizzando la formula di Newton-Leibniz:
Esempio 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Quali linee definiscono la figura? Abbiamo una parabola y = x2 - 3x + 3, che si trova sopra l'asse OH, è non negativo, perché tutti i punti di questa parabola sono positivi. Successivamente, date le linee rette x = 1 e x = 3 che corrono parallele all'asse UO, sono le linee di delimitazione della figura a sinistra ea destra. Bene y = 0, lei è l'asse x, che delimita la figura dal basso. La figura risultante è ombreggiata, come mostrato nella figura a sinistra. A questo caso, puoi iniziare immediatamente a risolvere il problema. Davanti a noi c'è un semplice esempio di trapezio curvilineo, che poi risolviamo usando la formula di Newton-Leibniz.
3.2. Nel precedente paragrafo 3.1 è stato analizzato il caso in cui il trapezio curvilineo si trova al di sopra dell'asse x. Consideriamo ora il caso in cui le condizioni del problema sono le stesse, tranne per il fatto che la funzione giace sotto l'asse x. Un meno viene aggiunto alla formula standard di Newton-Leibniz. Come risolvere un problema del genere, considereremo ulteriormente.
Esempio 2 . Calcola l'area di una figura delimitata da linee y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
In questo esempio, abbiamo una parabola y=x2+6x+2, che ha origine da sotto l'asse OH, dritto x=-4, x=-1, y=0. Qui y = 0 limita la cifra desiderata dall'alto. Diretto x = -4 e x = -1 questi sono i confini entro i quali verrà calcolato l'integrale definito. Il principio per risolvere il problema di trovare l'area di una figura coincide quasi completamente con l'esempio numero 1. L'unica differenza è che data funzione non è positivo, e tutto è continuo anche sull'intervallo [-4; -1] . Cosa significa non positivo? Come si può vedere dalla figura, la figura che si trova all'interno della data x ha esclusivamente coordinate "negative", che è ciò che dobbiamo vedere e ricordare quando risolviamo il problema. Stiamo cercando l'area della figura usando la formula Newton-Leibniz, solo con un segno meno all'inizio.
L'articolo non è completo.
Passiamo ora alla considerazione delle applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo un compito tipico e più comune. Come utilizzare un integrale definito per calcolare l'area di una figura piana. Finalmente alla ricerca di un significato in matematica superiore- lascia che lo trovino. Non si sa mai. Dovremo avvicinarci nella vita zona casolare di campagna funzioni elementari e trovare la sua area usando un integrale definito.
Per padroneggiare con successo il materiale, devi:
1) Comprendere l'integrale indefinito almeno a livello intermedio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima leggere la lezione Non.
2) Saper applicare la formula di Newton-Leibniz e calcolare l'integrale definito. Puoi stabilire relazioni cordiali e amichevoli con alcuni integrali sulla pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni.
Infatti, per trovare l'area di una figura, non è necessaria tanta conoscenza dell'integrale indefinito e definito. Il compito "calcolare l'area usando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi le tue conoscenze e abilità di disegno saranno una questione molto più rilevante. A questo proposito è utile rinfrescare la memoria dei grafici delle principali funzioni elementari, e, come minimo, riuscire a costruire una retta, una parabola e un'iperbole. Questo può essere fatto (molti ne hanno bisogno) con l'aiuto di materiale metodologico e articoli sulle trasformazioni geometriche dei grafici.
In realtà, tutti hanno familiarità con il problema di trovare l'area usando un integrale definito fin dai tempi della scuola, e andremo un po' avanti curriculum scolastico. Questo articolo potrebbe non esistere affatto, ma il fatto è che il problema si verifica in 99 casi su 100, quando uno studente è tormentato da un'odiata torre con entusiasmo che padroneggia un corso di matematica superiore.
I materiali di questo workshop sono presentati in modo semplice, dettagliato e con un minimo di teoria.
Iniziamo con un trapezio curvilineo.
Trapezio curvilineo chiamato una figura piatta delimitata dall'asse , linee rette e il grafico di una funzione continua su un segmento che non cambia segno su questo intervallo. Lascia che questa figura sia localizzata non meno ascissa:
Quindi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale. Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. Sulla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni Ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di dichiararne un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA.
Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Ad esempio, consideriamo l'integrale definito . L'integrando definisce una curva sul piano che si trova sopra l'asse (chi lo desidera può completare il disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.
Esempio 1
Questa è una tipica dichiarazione di attività. Il primo e più importante momento della decisione è la costruzione di un disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.
Quando crei un progetto, raccomando il seguente ordine: primoè meglio costruire tutte le linee (se ce ne sono) e solo dopo- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. I grafici delle funzioni sono più redditizi da costruire punto per punto, con la tecnica della costruzione puntuale si possono trovare nel materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.
In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Facciamo un disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):
Non schiuderò un trapezio curvilineo, qui è ovvio quale area in questione. La soluzione continua così:
Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perchè:
Risposta:
Chi ha difficoltà a calcolare l'integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz 
, fare riferimento alla conferenza Integrale definito. Esempi di soluzioni.
Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, "a occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitate circa 9, sembra essere vero. È abbastanza chiaro che se avessimo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta si è rivelata negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.
Esempio 2
Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , e l'asse
Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto asse?
Esempio 3
Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.
Soluzione: Facciamo un disegno: 
Se si trova il trapezio curvilineo sotto asse(o quantomeno non superiore dato l'asse), allora la sua area può essere trovata dalla formula:
In questo caso: 
Attenzione! Non confondere i due tipi di attività:
1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.
2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché il meno appare nella formula appena considerata.
In pratica, il più delle volte la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa ad esempi più significativi.
Esempio 4
Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee , .
Soluzione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:
Quindi, il limite inferiore dell'integrazione, il limite superiore dell'integrazione.
È meglio non utilizzare questo metodo se possibile..
È molto più redditizio e veloce costruire le linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come “da soli”. La tecnica di costruzione punto per punto per vari grafici è discussa in dettaglio nella guida Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.
Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo un disegno: 
Ripeto che con la costruzione puntuale, i limiti dell'integrazione vengono spesso scoperti “automaticamente”.
E ora la formula di lavoro: Se c'è qualche funzione continua sull'intervallo Maggiore o uguale qualche funzione continua, quindi l'area della figura delimitata dai grafici di queste funzioni e linee rette, può essere trovata dalla formula: 
Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura - sopra l'asse o sotto l'asse e, grosso modo, importa quale grafico è SOPRA(rispetto ad un altro grafico), e quale è SOTTO.
Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da
Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:
La figura desiderata è limitata da una parabola dall'alto e da una linea retta dal basso.
Sul segmento , secondo la formula corrispondente:
Risposta:
Infatti la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è caso speciale formule 
. Poiché l'asse è dato dall'equazione e si trova il grafico della funzione non superiore assi, quindi 
E ora un paio di esempi per una decisione indipendente
Esempio 5
Esempio 6
Trova l'area della figura racchiusa dalle linee , .
Nel corso della risoluzione dei problemi per il calcolo dell'area utilizzando un certo integrale, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato eseguito correttamente, i calcoli erano corretti, ma per disattenzione ... trovato l'area della figura sbagliata, è così che il tuo servo obbediente ha sbagliato più volte. Qui caso reale dalla vita:
Esempio 7
Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .
Soluzione: Facciamo prima un disegno: 
…Eh, il disegno è venuto fuori una cazzata, ma sembra tutto leggibile.
La cifra di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu.(guarda attentamente la condizione: come la cifra è limitata!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, spesso si verifica un "problema tecnico", che è necessario trovare l'area della figura che è ombreggiata in verde!
Questo esempio è utile anche in quanto in esso l'area della figura viene calcolata utilizzando due integrali definiti. Veramente:
1) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico a linee rette;
2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico iperbole.
È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:
Risposta:
Passiamo a un compito più significativo.
Esempio 8
Calcola l'area di una figura delimitata da linee,
Presentiamo le equazioni in una forma "scolastica" ed eseguiamo un disegno punto per punto: 
Si può vedere dal disegno che il nostro limite superiore è “buono”: .
Ma qual è il limite inferiore? È chiaro che questo non è un numero intero, ma cosa? Forse ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia realizzato con perfetta accuratezza, potrebbe benissimo risultare così. O radice. E se non riuscissimo a ottenere il grafico giusto?
In questi casi, devi spendere tempo aggiuntivo e affinare analiticamente i limiti dell'integrazione.
Troviamo i punti di intersezione della retta e della parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione: 
,
Veramente, .
L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più facili.
Sul segmento 
, secondo la formula corrispondente: 
Risposta: 
Ebbene, in conclusione della lezione, considereremo due compiti più difficili.
Esempio 9
Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , ,
Soluzione: Disegno questa figura sul disegno. 
Accidenti, ho dimenticato di firmare il programma e rifare la foto, scusa, non hotz. Non un disegno, insomma, oggi è il giorno =)
Per la costruzione puntuale, devi sapere aspetto esteriore sinusoidi (e in generale è utile sapere grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori del seno, possono essere trovati in tavola trigonometrica. In alcuni casi (come in questo caso), è consentito costruire un disegno schematico, sul quale grafici e limiti di integrazione devono essere visualizzati in linea di principio correttamente.
Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui, seguono direttamente dalla condizione: - "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:
Sul segmento, il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi:
Come inserire formule matematiche nel sito?
Se hai bisogno di aggiungere una o due formule matematiche a una pagina web, il modo più semplice per farlo è come descritto nell'articolo: le formule matematiche si inseriscono facilmente nel sito sotto forma di immagini che Wolfram Alpha genera automaticamente. Oltre alla semplicità, questo metodo universale aiuterà a migliorare la visibilità del sito in motori di ricerca. Funziona da molto tempo (e penso che funzionerà per sempre), ma è moralmente obsoleto.
Se utilizzi costantemente formule matematiche sul tuo sito, ti consiglio di utilizzare MathJax, una speciale libreria JavaScript che visualizza la notazione matematica nei browser Web utilizzando il markup MathML, LaTeX o ASCIIMathML.
Ci sono due modi per iniziare a usare MathJax: (1) usando un semplice codice, puoi collegare velocemente uno script MathJax al tuo sito, che verrà caricato automaticamente da un server remoto al momento giusto (elenco dei server); (2) carica lo script MathJax da un server remoto sul tuo server e collegalo a tutte le pagine del tuo sito. Il secondo metodo è più complesso e richiede tempo e ti consentirà di velocizzare il caricamento delle pagine del tuo sito, e se il server principale MathJax diventa temporaneamente non disponibile per qualche motivo, ciò non influirà in alcun modo sul tuo sito. Nonostante questi vantaggi, ho scelto il primo metodo, in quanto è più semplice, veloce e non richiede competenze tecniche. Segui il mio esempio e in 5 minuti sarai in grado di utilizzare tutte le funzionalità di MathJax sul tuo sito web.
Puoi connettere lo script della libreria MathJax da un server remoto utilizzando due opzioni di codice prese dal sito Web principale di MathJax o dalla pagina della documentazione:
Una di queste opzioni di codice deve essere copiata e incollata nel codice della tua pagina web, preferibilmente tra i tag
e o subito dopo il tag . Secondo la prima opzione, MathJax si carica più velocemente e rallenta meno la pagina. Ma la seconda opzione traccia e carica automaticamente le ultime versioni di MathJax. Se inserisci il primo codice, sarà necessario aggiornarlo periodicamente. Se incolli il secondo codice, le pagine verranno caricate più lentamente, ma non dovrai monitorare costantemente gli aggiornamenti di MathJax.Il modo più semplice per connettere MathJax è in Blogger o WordPress: nel pannello di controllo del sito, aggiungi un widget progettato per inserire codice JavaScript di terze parti, copia la prima o la seconda versione del codice di caricamento sopra e posiziona il widget più vicino a l'inizio del modello (a proposito, questo non è affatto necessario, poiché lo script MathJax viene caricato in modo asincrono). È tutto. Ora impara la sintassi del markup MathML, LaTeX e ASCIIMathML e sei pronto per incorporare formule matematiche nelle tue pagine web.
Qualsiasi frattale è costruito secondo una certa regola, che viene applicata costantemente un numero illimitato di volte. Ciascuno di questi tempi è chiamato iterazione.
L'algoritmo iterativo per costruire una spugna di Menger è abbastanza semplice: il cubo originale di lato 1 è diviso da piani paralleli alle sue facce in 27 cubi uguali. Da esso vengono rimossi un cubo centrale e 6 cubi adiacenti ad esso lungo le facce. Si scopre un set composto da 20 cubi più piccoli rimanenti. Facendo lo stesso con ciascuno di questi cubi, otteniamo un set composto da 400 cubi più piccoli. Continuando questo processo all'infinito, otteniamo la spugna Menger.
Iniziamo a considerare l'effettivo processo di calcolo del doppio integrale e conosciamo il suo significato geometrico.
Il doppio integrale è numericamente uguale all'area di una figura piatta (regione di integrazione). esso la forma più semplice doppio integrale quando la funzione di due variabili è uguale a uno: .
Consideriamo prima il problema in vista generale. Ora sarai sorpreso di quanto sia davvero semplice! Calcoliamo l'area di una figura piatta delimitata da linee. Per chiarezza assumiamo che nell'intervallo . L'area di questa figura è numericamente uguale a:
Rappresentiamo l'area nel disegno: 
Scegliamo il primo modo per bypassare l'area: 
In questo modo: 
E subito un trucco tecnico importante: gli integrali iterati possono essere considerati separatamente. Prima l'integrale interno, poi l'integrale esterno. Questo metodo Consiglio vivamente per i principianti nell'argomento teiere.
1) Calcolare l'integrale interno, mentre l'integrazione viene effettuata sulla variabile "y": 
L'integrale indefinito qui è il più semplice, e quindi viene utilizzata la banale formula di Newton-Leibniz, con l'unica differenza che i limiti dell'integrazione non sono i numeri, ma le funzioni. Prima sostituito in "y" ( funzione primitiva) limite superiore, quindi limite inferiore
2) Il risultato ottenuto nel primo paragrafo deve essere sostituito nell'integrale esterno: 
Una notazione più compatta per l'intera soluzione è simile a questa:
La formula risultante 
- questa è esattamente la formula di lavoro per calcolare l'area di una figura piatta usando l'integrale definito "ordinario"! Vedi lezione Calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, eccola ad ogni angolo!
Questo è, il problema del calcolo dell'area mediante un integrale doppio poco diverso dal problema di trovare l'area usando un integrale definito! In effetti, sono la stessa cosa!
Di conseguenza, non dovrebbero sorgere difficoltà! Non prenderò in considerazione molti esempi, poiché in effetti hai riscontrato ripetutamente questo problema.
Esempio 9
Soluzione: Rappresentiamo l'area nel disegno: 
Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione: 
Qui e sotto, non entrerò nel dettaglio di come attraversare un'area perché il primo paragrafo era molto dettagliato.
In questo modo: 
Come ho già notato, è meglio per i principianti calcolare gli integrali iterati separatamente, aderirò allo stesso metodo:
1) Innanzitutto, utilizzando la formula di Newton-Leibniz, trattiamo l'integrale interno: 
2) Il risultato ottenuto al primo passaggio viene sostituito nell'integrale esterno: 
Il punto 2 sta effettivamente trovando l'area di una figura piatta usando un integrale definito.
Risposta:
Ecco un compito così stupido e ingenuo.
Un esempio curioso per una soluzione indipendente:
Esempio 10
Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piana delimitata dalle linee , ,
Un esempio di soluzione finale alla fine della lezione.
Negli esempi 9-10, è molto più redditizio utilizzare il primo modo per bypassare l'area, i lettori curiosi, tra l'altro, possono modificare l'ordine di bypass e calcolare le aree nel secondo modo. Se non si commette un errore, si ottengono naturalmente gli stessi valori dell'area.
Ma in alcuni casi, il secondo modo per aggirare l'area è più efficace e, in conclusione del corso per giovani nerd, diamo un'occhiata a un altro paio di esempi su questo argomento:
Esempio 11
Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee.
Soluzione: non vediamo l'ora di due parabole con una brezza che si trova dalla loro parte. Non c'è bisogno di sorridere, spesso si incontrano cose simili in più integrali.
Qual è il modo più semplice per fare un disegno?
Rappresentiamo la parabola come due funzioni:
- ramo superiore e - ramo inferiore.
Allo stesso modo, immagina una parabola come superiore e inferiore 
rami.
Successivamente, unità di tracciamento punto per punto, risultando in una figura così bizzarra: 
L'area della figura viene calcolata utilizzando il doppio integrale secondo la formula:
Cosa succede se scegliamo il primo modo per aggirare l'area? Innanzitutto, quest'area dovrà essere divisa in due parti. E in secondo luogo, osserveremo questa triste immagine: 
. Gli integrali, ovviamente, non sono di livello supercomplesso, ma ... c'è un vecchio detto matematico: chi è amico delle radici non ha bisogno di una compensazione.
Pertanto, dall'equivoco dato nella condizione, esprimiamo le funzioni inverse: 
Funzioni inverse in questo esempio hanno il vantaggio di impostare immediatamente l'intera parabola senza foglie, ghiande, rami e radici.
Secondo il secondo metodo, l'attraversamento dell'area sarà il seguente: 
In questo modo: 
Come si suol dire, senti la differenza.
1) Ci occupiamo dell'integrale interno:
Sostituiamo il risultato nell'integrale esterno:
L'integrazione sulla variabile "y" non dovrebbe essere imbarazzante, se ci fosse una lettera "zyu" - sarebbe fantastico integrarla. Anche se chi ha letto il secondo paragrafo della lezione Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione, non prova più il minimo imbarazzo con l'integrazione su "y".
Presta attenzione anche al primo passaggio: l'integranda è pari e il segmento di integrazione è simmetrico rispetto allo zero. Pertanto, il segmento può essere dimezzato e il risultato può essere raddoppiato. Questa tecnica è commentata in dettaglio nella lezione. Metodi efficaci calcolo di un integrale definito.
Cosa aggiungere…. Tutto quanto!
Risposta:
Per testare la tua tecnica di integrazione, puoi provare a calcolare . La risposta dovrebbe essere esattamente la stessa.
Esempio 12
Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee 
Questo è un esempio fai da te. È interessante notare che se provi a utilizzare il primo modo per aggirare l'area, la figura non sarà più divisa in due, ma in tre parti! E, di conseguenza, otteniamo tre coppie di integrali iterati. A volte succede.
La master class è giunta al termine ed è ora di passare al livello di gran maestro - Come calcolare il doppio integrale? Esempi di soluzioni. Cercherò di non essere così maniacale nel secondo articolo =)
Ti auguro successo!
Soluzioni e risposte:
Esempio 2:Soluzione:
Disegna un'area sul disegno:
Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:
In questo modo: 
Passiamo alle funzioni inverse:
In questo modo: 
Risposta:
Esempio 4:Soluzione:
Passiamo alle funzioni dirette:
Eseguiamo il disegno:
Cambiamo l'ordine di attraversamento dell'area:
Risposta:
Passiamo ora alla considerazione delle applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo un compito tipico e più comune. calcolo dell'area di una figura piatta usando un integrale definito. Infine, tutti coloro che cercano un significato nella matematica superiore, possano trovarlo. Non si sa mai. Nella vita reale, dovrai approssimare un cottage estivo con funzioni elementari e trovare la sua area usando un certo integrale.
Per padroneggiare con successo il materiale, devi:
1) Comprendere l'integrale indefinito almeno a livello intermedio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima leggere la lezione Non.
2) Saper applicare la formula di Newton-Leibniz e calcolare l'integrale definito. Puoi stabilire relazioni cordiali e amichevoli con alcuni integrali sulla pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni. Il compito "calcolare l'area usando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi, anche le tue conoscenze e capacità di disegno saranno una questione urgente. Come minimo bisogna essere in grado di costruire una retta, una parabola e un'iperbole.
Iniziamo con un trapezio curvilineo. Un trapezio curvilineo è una figura piatta delimitata dal grafico di una funzione y = f(X), asse BUE e linee X = un; X = b.
L'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale
Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. Sulla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni abbiamo detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di affermare un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA. Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Consideriamo l'integrale definito
Integrando
definisce una curva sul piano (può essere disegnata se lo si desidera) e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.
Esempio 1
, , , .
Questa è una tipica dichiarazione di attività. Il momento più importante soluzioni - disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.
Quando crei un progetto, raccomando il seguente ordine: primoè meglio costruire tutte le linee (se ce ne sono) e solo dopo- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. La tecnica di costruzione punto per punto può essere trovata nel materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.
In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Facciamo un disegno (si noti che l'equazione y= 0 specifica l'asse BUE):
Non schiuderemo il trapezio curvilineo, è ovvio di quale area stiamo parlando qui. La soluzione continua così:
Sull'intervallo [-2; 1] grafico della funzione y = X 2 + 2 situato sopra l'asseBUE, Ecco perchè:
Risposta: .
Chi ha difficoltà a calcolare l'integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz
,
fare riferimento alla conferenza Integrale definito. Esempi di soluzioni. Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, "a occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitate circa 9, sembra essere vero. È abbastanza chiaro che se avessimo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta si è rivelata negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.
Esempio 2
Calcola l'area di una figura delimitata da linee xy = 4, X = 2, X= 4 e asse BUE.
Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto asseBUE?
Esempio 3
Calcola l'area di una figura delimitata da linee y = ex, X= 1 e assi coordinati.
Soluzione: Facciamo un disegno:
Se un trapezio curvilineo completamente sotto l'asse BUE , allora la sua area può essere trovata dalla formula:
In questo caso:
.
Attenzione! I due tipi di attività non devono essere confusi:
1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.
2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché il meno appare nella formula appena considerata.
In pratica, il più delle volte la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa ad esempi più significativi.
Esempio 4
Trova l'area di una figura piana delimitata da linee y = 2X – X 2 , y = -X.
Soluzione: per prima cosa devi fare un disegno. Quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Trova i punti di intersezione della parabola y = 2X – X 2 e dritto y = -X. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:
Quindi il limite inferiore di integrazione un= 0, limite superiore di integrazione b= 3. Spesso è più vantaggioso e veloce costruire linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come “da soli”. Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo un disegno:
Ripetiamo che nella costruzione puntuale i limiti dell'integrazione si scoprono il più delle volte “automaticamente”.
E ora la formula di lavoro:
Se nell'intervallo [ un; b] qualche funzione continua f(X) Maggiore o uguale qualche funzione continua g(X), quindi l'area della figura corrispondente può essere trovata dalla formula:
Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra l'asse o sotto l'asse, ma importa quale grafico è SOPRA(rispetto ad un altro grafico), e quale è SOTTO.
Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova sopra la retta, e quindi da 2 X – X 2 deve essere sottratto - X.
Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:
La figura desiderata è limitata da una parabola y = 2X – X 2 superiore e dritto y = -X da sotto.
Sul segmento 2 X – X 2 ≥ -X. Secondo la formula corrispondente:
Risposta: .
In effetti, la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi esempio n. 3) è un caso speciale della formula
.
Dal momento che l'asse BUEè dato dall'equazione y= 0, e il grafico della funzione g(X) si trova sotto l'asse BUE, poi
.
E ora un paio di esempi per una decisione indipendente
Esempio 5
Esempio 6
Trova l'area di una figura delimitata da linee
Nel corso della risoluzione dei problemi per il calcolo dell'area utilizzando un certo integrale, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato eseguito correttamente, i calcoli erano corretti, ma, per disattenzione, ... trovato l'area della figura sbagliata.
Esempio 7
Disegniamo prima:
La cifra di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu.(guarda attentamente la condizione: come la cifra è limitata!). Ma in pratica, per disattenzione, spesso decidono di dover trovare l'area della figura ombreggiata di verde!
Questo esempio è utile anche in quanto in esso l'area della figura viene calcolata utilizzando due integrali definiti. Veramente:
1) Sul segmento [-1; 1] sopra l'asse BUE il grafico è dritto y = X+1;
2) Sul segmento sopra l'asse BUE si trova il grafico dell'iperbole y = (2/X).
È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:
Risposta:
Esempio 8
Calcola l'area di una figura delimitata da linee
Presentiamo le equazioni nella forma "scuola".
e fai il disegno al tratto:
Si può vedere dal disegno che il nostro limite superiore è "buono": b = 1.
Ma qual è il limite inferiore? È chiaro che questo non è un numero intero, ma cosa?
Forse, un=(-1/3)? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia realizzato con perfetta accuratezza, potrebbe benissimo risultare così un=(-1/4). E se non riuscissimo a ottenere il grafico giusto?
In tali casi, è necessario dedicare più tempo e affinare analiticamente i limiti dell'integrazione.
Trova i punti di intersezione dei grafici
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:
.
Di conseguenza, un=(-1/3).
L'ulteriore soluzione è banale. L'importante è non confondersi in sostituzioni e segni. I calcoli qui non sono i più facili. Sul segmento
, 
,
secondo la formula corrispondente:
Risposta: 
In conclusione della lezione, considereremo due compiti più difficili.
Esempio 9
Calcola l'area di una figura delimitata da linee
Soluzione: Disegna questa figura nel disegno.
Per disegnare un disegno punto per punto, è necessario conoscere l'aspetto della sinusoide. In generale è utile conoscere i grafici di tutte le funzioni elementari, nonché alcuni valori del seno. Si trovano nella tabella dei valori funzioni trigonometriche . In alcuni casi (ad esempio, in questo caso), è consentito costruire un disegno schematico, sul quale grafici e limiti di integrazione devono essere visualizzati in linea di principio correttamente.
Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui, derivano direttamente dalla condizione:
- "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:
Sul segmento, il grafico della funzione y= peccato 3 X situato sopra l'asse BUE, Ecco perchè:
(1) Puoi vedere come seni e coseni sono integrati nelle potenze dispari nella lezione Integrali di funzioni trigonometriche. Pizzichiamo un seno.
(2) Usiamo l'identità trigonometrica di base nella forma
(3) Cambiamo la variabile t= cos X, quindi: situato sopra l'asse , quindi:
.
.
Nota: si noti come si prende l'integrale della tangente nel cubo, qui conseguenza della principale identità trigonometrica
.
