Fondamenti della risoluzione di equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine (LNDU-2) con coefficienti costanti(PC)
Un LDDE di 2° ordine con coefficienti costanti $p$ e $q$ ha la forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, dove $f\left(x \right)$ è una funzione continua.
Per quanto riguarda LNDU 2 con PC valgono le due affermazioni seguenti.
Supponiamo che una funzione $U$ sia una soluzione parziale arbitraria di un'equazione differenziale disomogenea. Supponiamo anche che una funzione $Y$ sia la soluzione generale (GS) della corrispondente equazione differenziale omogenea lineare (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Quindi la GR di LHDE-2 è uguale alla somma delle soluzioni privata e generale indicate, ovvero $y=U+Y$.
Se il membro destro di un LMDE del 2° ordine è una somma di funzioni, cioè $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, allora prima possiamo trovare i PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ che corrispondono a ciascuna delle funzioni $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, e successivamente scrivere il CR LNDU-2 nella forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
È ovvio che il tipo dell'uno o dell'altro PD $U$ di un dato LNDU-2 dipende dalla forma specifica del suo lato destro $f\left(x\right)$. I casi più semplici di ricerca di PD LNDU-2 sono formulati sotto forma delle seguenti quattro regole.
Regola numero 1.
Il lato destro di LNDU-2 ha la forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dove $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, cioè si chiama a polinomio di grado $n$. Quindi si cerca il suo PD $U$ nella forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, dove $Q_(n) \left(x\right)$ è un altro polinomio dello stesso grado di $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ è il numero di radici uguali a zero dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2. I coefficienti del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ si trovano con il metodo dei coefficienti indefiniti (UK).
Regola n.2.
Il lato destro di LNDU-2 ha la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, dove $P_(n) \left( x\right)$ è un polinomio di grado $n$. Quindi si cerca il suo PD $U$ nella forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, dove $Q_(n ) \ left(x\right)$ è un altro polinomio dello stesso grado di $P_(n) \left(x\right)$, e $r$ è il numero di radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2 uguale a $\alfa $. I coefficienti del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ si trovano con il metodo NC.
Regola n.3.
Il lato destro di LNDU-2 ha la forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, dove $a$, $b$ e $\beta$ sono numeri noti. Quindi si cerca il suo PD $U$ nella forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, dove $A$ e $B$ sono coefficienti sconosciuti, e $r$ è il numero di radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2, pari a $i\cdot \beta$. I coefficienti $A$ e $B$ vengono rilevati utilizzando il metodo non distruttivo.
Regola n.4.
Il lato destro di LNDU-2 ha la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dove $P_(n) \left(x\right)$ è un polinomio di grado $ n$, e $P_(m) \left(x\right)$ è un polinomio di grado $m$. Quindi si cerca il suo PD $U$ nella forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, dove $Q_(s) \left(x\right)$ e $ R_(s) \left(x\right)$ sono polinomi di grado $s$, il numero $s$ è il massimo di due numeri $n$ e $m$ e $r$ è il numero delle radici dell'equazione caratteristica del corrispondente LODE-2, pari a $\alpha +i\cdot \beta $. I coefficienti dei polinomi $Q_(s) \left(x\right)$ e $R_(s) \left(x\right)$ si trovano con il metodo NC.
Il metodo NK consiste nell'applicare la seguente regola. Per trovare i coefficienti incogniti del polinomio che fanno parte della soluzione parziale dell'equazione differenziale disomogenea LNDU-2, è necessario:
Esempio 1
Attività: trova OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Trova anche PD , soddisfacendo le condizioni iniziali $y=6$ per $x=0$ e $y"=1$ per $x=0$.
Scriviamo il corrispondente LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Equazione caratteristica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Le radici dell'equazione caratteristica sono: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Queste radici sono valide e distinte. Pertanto, l'OR del corrispondente LODE-2 ha la forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Il lato destro di questo LNDU-2 ha la forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Occorre considerare il coefficiente dell'esponente $\alpha =3$. Questo coefficiente non coincide con nessuna delle radici dell'equazione caratteristica. Pertanto, il PD di questo LNDU-2 ha la forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Cercheremo i coefficienti $A$, $B$ utilizzando il metodo NC.
Troviamo la derivata prima della Repubblica Ceca:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\sinistra(A\cdot x+B\destra)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\sinistra(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\destra)\cdot e^(3\cdot x) .$
Troviamo la derivata seconda della Repubblica Ceca:
$U""=\sinistra(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\destra)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\sinistra(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\destra)\cdot \sinistra(e^(3\cdot x) \destra)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\sinistra(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\destra)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\sinistra(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\destra)\cdot e^(3\cdot x) .$
Sostituiamo le funzioni $U""$, $U"$ e $U$ invece di $y""$, $y"$ e $y$ nel dato NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Inoltre, poiché l'esponente $e^(3\cdot x)$ è incluso come fattore in tutti i componenti, allora può essere omesso. Otteniamo:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\destra)=36\cdot x+12.$
Eseguiamo le azioni sul lato sinistro dell'uguaglianza risultante:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Utilizziamo il metodo NDT. Otteniamo un sistema di equazioni lineari con due incognite:
$-18\cpunto A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
La soluzione di questo sistema è: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ per il nostro problema è simile a questo: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
L'OR $y=Y+U$ per il nostro problema è simile al seguente: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ sinistra(-2\cdot x-1\destra)\cdot e^(3\cdot x) $.
Per cercare una PD che soddisfi le condizioni iniziali date, troviamo la derivata $y"$ dell'OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\sinistra(-2\cdot x-1\destra)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Sostituiamo in $y$ e $y"$ le condizioni iniziali $y=6$ per $x=0$ e $y"=1$ per $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Abbiamo ricevuto un sistema di equazioni:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Risolviamolo. Troviamo $C_(1) $ utilizzando la formula di Cramer e $C_(2) $ determiniamo dalla prima equazione:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ Begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\sinistra(-3\destra)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Pertanto, il PD di questa equazione differenziale ha la forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
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Eterogeneo equazioni differenziali secondo ordine a coefficienti costanti |
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Struttura della soluzione generale Un’equazione lineare disomogenea di questo tipo ha la forma: Dove P, Q− numeri costanti (che possono essere reali o complessi). Per ciascuna di queste equazioni possiamo scrivere la corrispondente equazione omogenea:
Teorema: La soluzione generale non lo è equazione omogeneaè la somma della soluzione generale sì 0 (X) della corrispondente equazione omogenea e soluzione particolare sì 1 (X) equazione disomogenea:
Di seguito considereremo due modi per risolvere equazioni differenziali disomogenee. Metodo di variazione delle costanti Se decisione comune sì 0 dell'equazione omogenea associata, allora è nota la soluzione generale equazione disomogenea può essere trovato utilizzando metodo della variazione costante. Sia la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine la forma: Invece che permanente C 1 e C 2 considereremo le funzioni ausiliarie C 1 (X) E C 2 (X). Cercheremo queste funzioni in modo tale che la soluzione soddisfatto l'equazione disomogenea con il secondo membro F(X). Funzioni sconosciute C 1 (X) E C 2 (X) sono determinati da un sistema di due equazioni:
Metodo dei coefficienti incerti Parte destra F(X) di un'equazione differenziale disomogenea è spesso una funzione polinomiale, esponenziale o trigonometrica, o una combinazione di queste funzioni. In questo caso, è più conveniente cercare una soluzione utilizzando metodo dei coefficienti incerti. Sottolineiamolo questo metodo funziona solo per una classe limitata di funzioni sul lato destro, come ad esempio  In entrambi i casi, la scelta di una particolare soluzione deve corrispondere alla struttura del membro destro dell'equazione differenziale disomogenea. Nel caso 1, se il numero α nella funzione esponenziale coincide con la radice dell'equazione caratteristica, allora la soluzione particolare conterrà un fattore aggiuntivo X S, Dove S− molteplicità delle radici α nell'equazione caratteristica. Nel caso 2, se il numero α+βi coincide con la radice dell'equazione caratteristica, l'espressione per la soluzione particolare conterrà un fattore aggiuntivo X. I coefficienti sconosciuti possono essere determinati sostituendo l'espressione trovata con una soluzione particolare nell'equazione differenziale disomogenea originale. Principio di sovrapposizione Se il lato destro dell'equazione disomogenea è quantità diverse funzioni del modulo allora una soluzione particolare dell'equazione differenziale sarà anche la somma delle soluzioni parziali costruite separatamente per ciascun termine del secondo membro. |
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Esempio 1 |
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Risolvere l'equazione differenziale y"" + y= peccato(2 X). Soluzione. Per prima cosa risolviamo la corrispondente equazione omogenea y"" + y= 0,V in questo caso le radici dell'equazione caratteristica sono puramente immaginarie: Di conseguenza, la soluzione generale dell'equazione omogenea è data dall'espressione Torniamo di nuovo all'equazione disomogenea. Cercheremo la sua soluzione nel modulo utilizzando il metodo della variazione delle costanti. Funzioni C 1 (X) E C 2 (X) può essere ricavato dal seguente sistema di equazioni:
Esprimiamo la derivata C 1 " (X) dalla prima equazione:
Sostituendo nella seconda equazione, troviamo la derivata C 2 " (X):
Ne consegue che Espressioni integrative per le derivate C 1 " (X) E C 2 " (X), noi abbiamo: Dove UN 1 , UN 2 – costanti di integrazione. Ora sostituiamo le funzioni trovate C 1 (X) E C 2 (X) nella formula per sì 1 (X) e scrivere la soluzione generale dell'equazione disomogenea:
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Esempio 2 |
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Trova la soluzione generale dell'equazione y"" + y" −6sì = 36X. Soluzione. Usiamo il metodo dei coefficienti indefiniti. Parte destra data equazioneè una funzione lineare F(X)= ascia + b. Pertanto, cercheremo una soluzione particolare nel modulo Le derivate sono uguali:
Sostituendo questo nell'equazione differenziale, otteniamo:
L'ultima equazione è un'identità, vale cioè per tutti X, quindi equiparamo i coefficienti dei termini agli stessi gradi X sul lato sinistro e destro: Dal sistema risultante troviamo: UN = −6, B= −1. Di conseguenza, la soluzione particolare viene scritta nella forma Troviamo ora la soluzione generale dell'equazione differenziale omogenea. Calcoliamo le radici dell'equazione caratteristica ausiliaria: Pertanto, la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea ha la forma: Quindi, la soluzione generale dell'equazione disomogenea originale è espressa dalla formula |
Integrale generale del DE.
Risolvere l'equazione differenziale
Ma la cosa più divertente è che la risposta è già nota: , più precisamente, dobbiamo aggiungere anche una costante: L'integrale generale è una soluzione dell'equazione differenziale.
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Esempi di soluzioni
Il metodo della variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato per risolvere equazioni differenziali disomogenee. Questa lezione è destinata a quegli studenti che sono già più o meno esperti nell'argomento. Se hai appena iniziato a prendere confidenza con il telecomando, ad es. Se sei un teiera, ti consiglio di iniziare con la prima lezione: Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni. E se hai già finito, scarta il possibile preconcetto che il metodo sia difficile. Perché è semplice.
In quali casi viene utilizzato il metodo di variazione delle costanti arbitrarie?
1) Per risolvere è possibile utilizzare il metodo della variazione di una costante arbitraria DE lineare disomogeneo del 1° ordine. Poiché l'equazione è del primo ordine, anche la costante è una.
2) Per risolverne alcuni si utilizza il metodo della variazione delle costanti arbitrarie equazioni lineari disomogenee del secondo ordine. Qui variano due costanti.
È logico supporre che la lezione sarà composta da due paragrafi... Così ho scritto questa frase e per circa 10 minuti ho pensato dolorosamente a quali altre sciocchezze intelligenti avrei potuto aggiungere per passare senza intoppi agli esempi pratici. Ma per qualche motivo non ho pensieri dopo le vacanze, anche se non mi sembra di aver abusato di nulla. Andiamo quindi direttamente al primo paragrafo.
Metodo di variazione di una costante arbitraria per un'equazione lineare disomogenea del primo ordine
Prima di considerare il metodo di variazione di una costante arbitraria, è consigliabile conoscere l'articolo Equazioni differenziali lineari del primo ordine. In quella lezione ci siamo esercitati prima soluzione DE disomogeneo del 1° ordine. Questa prima soluzione, ti ricordo, si chiama metodo di sostituzione O Metodo Bernoulli(da non confondere con Equazione di Bernoulli!!!)
Ora guarderemo seconda soluzione– metodo di variazione di una costante arbitraria. Farò solo tre esempi, e li prenderò dalla lezione sopra menzionata. Perché così pochi? Perché in effetti la soluzione del secondo modo sarà molto simile alla soluzione del primo. Inoltre, secondo le mie osservazioni, il metodo di variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato meno frequentemente rispetto al metodo di sostituzione.
Esempio 1
Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale (Diffour dall'Esempio n. 2 della lezione Equazioni differenziali lineari disomogenee del 1° ordine)
Soluzione: Questa equazione è lineare disomogenea e ha una forma familiare:
Nella prima fase, è necessario risolvere un'equazione più semplice: ovvero, azzeriamo stupidamente il lato destro e scriviamo invece zero. Chiamerò l'equazione equazione ausiliaria.
In questo esempio, è necessario risolvere la seguente equazione ausiliaria:
Prima di noi equazione separabile, la cui soluzione (spero) non ti sarà più difficile:
Quindi: – soluzione generale dell'equazione ausiliaria.
Al secondo passo sostituiremo qualche costante per adesso funzione sconosciuta che dipende da "x":
Da qui il nome del metodo: variamo la costante. In alternativa, la costante potrebbe essere una funzione che ora dobbiamo trovare.
IN originale nell'equazione disomogenea effettuiamo la sostituzione:
Sostituiamo nell'equazione:
Punto di controllo - i due termini a sinistra si annullano. Se ciò non accade, dovresti cercare l'errore sopra.
Come risultato della sostituzione, è stata ottenuta un'equazione con variabili separabili. Separiamo le variabili e integriamo.
Che benedizione, gli esponenti cancellano anche:
Aggiungiamo una costante “normale” alla funzione trovata:
Nella fase finale, ricordiamo la nostra sostituzione:
La funzione è stata appena trovata!
Quindi la soluzione generale è:
Risposta: decisione comune: 
Se stampate le due soluzioni noterete facilmente che in entrambi i casi abbiamo trovato gli stessi integrali. L'unica differenza sta nell'algoritmo di soluzione.
Ora, per qualcosa di più complicato, commenterò anche il secondo esempio:
Esempio 2
Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale (Diffour dall'Esempio n. 8 della lezione Equazioni differenziali lineari disomogenee del 1° ordine)
Soluzione: Portiamo l'equazione nella forma:
Ripristiniamo il membro di destra e risolviamo l'equazione ausiliaria:
Separiamo le variabili e integriamo: La soluzione generale dell'equazione ausiliaria:
Nell'equazione disomogenea effettuiamo la sostituzione:
Secondo la regola della differenziazione del prodotto:
Sostituiamo nell’equazione originale disomogenea:
I due termini a sinistra si annullano, il che significa che siamo sulla strada giusta: 
Integriamo per parti. La gustosa lettera della formula di integrazione per parti è già coinvolta nella soluzione, quindi utilizziamo, ad esempio, le lettere “a” e “be”:
Infine:
Ora ricordiamo la sostituzione:
Risposta: decisione comune:
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie per un'equazione lineare del secondo ordine disomogenea a coefficienti costanti
Ho spesso sentito l'opinione che il metodo per variare le costanti arbitrarie per un'equazione del secondo ordine non è una cosa facile. Ma presumo quanto segue: molto probabilmente, il metodo sembra difficile a molti perché non si verifica così spesso. Ma in realtà non ci sono particolari difficoltà: il corso della decisione è chiaro, trasparente e comprensibile. E bellissimo.
Per padroneggiare il metodo, è auspicabile essere in grado di risolvere equazioni disomogenee del secondo ordine selezionando una particolare soluzione basata sulla forma del secondo membro. Questo metodo discusso in dettaglio nell'articolo DE di 2° ordine disomogenei. Ricordiamo che un'equazione lineare disomogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma:
Il metodo di selezione, discusso nella lezione precedente, funziona solo in un numero limitato di casi quando il lato destro contiene polinomi, esponenziali, seni e coseni. Ma cosa fare quando a destra, ad esempio, c'è una frazione, un logaritmo, una tangente? In una situazione del genere, il metodo di variazione delle costanti viene in soccorso.
Esempio 4
Trovare la soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine 
Soluzione: C'è una frazione sul lato destro di questa equazione, quindi possiamo immediatamente dire che il metodo per selezionare una particolare soluzione non funziona. Utilizziamo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Non ci sono segni di temporale, l'inizio della soluzione è del tutto normale:
Lo troveremo decisione comune adeguata omogeneo equazioni:
Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica: 
– si ottengono radici complesse coniugate, quindi la soluzione generale è:
Presta attenzione alla registrazione della soluzione generale: se ci sono parentesi, aprile.
Ora facciamo quasi lo stesso trucco dell'equazione del primo ordine: variamo le costanti, sostituendole con funzioni sconosciute. Questo è, soluzione generale di disomogeneo cercheremo le equazioni nella forma:
Dove - per adesso funzioni sconosciute.
Sembra una discarica rifiuti domestici, ma ora sistemeremo tutto.
Le incognite sono le derivate delle funzioni. Il nostro obiettivo è trovare le derivate e le derivate trovate devono soddisfare sia la prima che la seconda equazione del sistema.
Da dove vengono i “Greci”? Li porta la cicogna. Consideriamo la soluzione generale ottenuta in precedenza e scriviamo:
Troviamo le derivate:
Le parti di sinistra sono state trattate. Cosa c'è a destra?
è il lato destro dell'equazione originale, in questo caso:
Questo articolo affronta il problema della risoluzione di equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. La teoria sarà discussa insieme ad esempi di problemi forniti. Per decifrare i termini poco chiari è necessario fare riferimento all'argomento relativo alle definizioni e ai concetti di base della teoria delle equazioni differenziali.
Consideriamo un'equazione differenziale lineare (LDE) del secondo ordine a coefficienti costanti della forma y "" + p · y " + q · y = f (x), dove p e q sono numeri arbitrari, e la funzione esistente f (x) è continua sull'intervallo di integrazione x.
Passiamo alla formulazione del teorema per la soluzione generale della LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Soluzione generale, situata sull'intervallo x, di un'equazione differenziale disomogenea della forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) con coefficienti di integrazione continua sull'intervallo x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) e una funzione continua f (x) è uguale alla somma della soluzione generale y 0, che corrisponde al LOD e ad una soluzione particolare y ~, dove l'equazione disomogenea originale è y = y 0 + sì~.
Ciò mostra che la soluzione di tale equazione del secondo ordine ha la forma y = y 0 + y ~ . L'algoritmo per trovare y 0 è discusso nell'articolo sulle equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Dopodiché dovremmo procedere alla definizione di y ~.
La scelta di una particolare soluzione dell'LPDE dipende dal tipo di funzione disponibile f (x) situata a destra dell'equazione. Per fare ciò è necessario considerare separatamente le soluzioni di equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.
Quando f (x) è considerato un polinomio di grado ennesimo f (x) = P n (x), ne consegue che una particolare soluzione dell'LPDE si trova utilizzando una formula della forma y ~ = Q n (x ) x γ, dove Q n ( x) è un polinomio di grado n, r è il numero di radici zero dell'equazione caratteristica. Il valore y ~ è una soluzione particolare y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , quindi i coefficienti disponibili definiti dal polinomio
Q n (x), lo troviamo utilizzando il metodo dei coefficienti indefiniti dall'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Esempio 1
Calcola usando il teorema di Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Soluzione
In altre parole, è necessario passare ad una soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare disomogenea del secondo ordine a coefficienti costanti y "" - 2 y " = x 2 + 1, che soddisferà le condizioni date y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
La soluzione generale di un'equazione lineare disomogenea è la somma della soluzione generale, che corrisponde all'equazione y 0 o una soluzione particolare all'equazione disomogenea y ~, cioè y = y 0 + y ~.
Troveremo innanzitutto una soluzione generale per la LNDU, poi quella particolare.
Procediamo a trovare y 0. Scrivere l'equazione caratteristica ti aiuterà a trovare le radici. Lo capiamo
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Abbiamo scoperto che le radici sono diverse e reali. Pertanto, scriviamo
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Troviamo y ~ . Si può vedere che il lato destro dell'equazione data è un polinomio di secondo grado, quindi una delle radici è uguale a zero. Da ciò si ottiene che sarà una soluzione particolare per y ~
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, dove i valori di A, B, C assumono coefficienti indeterminati.
Troviamoli da un'uguaglianza della forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Quindi otteniamo che:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Uguagliando i coefficienti agli stessi esponenti di x, otteniamo un sistema di espressioni lineari - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Quando risolviamo con uno qualsiasi dei metodi, troveremo i coefficienti e scriveremo: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 e y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Questa voce è chiamata la soluzione generale dell'originale equazione differenziale lineare disomogenea del secondo ordine a coefficienti costanti.
Per trovare una soluzione particolare che soddisfi le condizioni y (0) = 2, y "(0) = 1 4, è necessario determinare i valori C1 E C2, basato su un'uguaglianza della forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Otteniamo questo:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Lavoriamo con il sistema di equazioni risultante della forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, dove C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Applicando il teorema di Cauchy, abbiamo questo
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Risposta: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Quando la funzione f (x) è rappresentata come il prodotto di un polinomio di grado n ed esponente f (x) = P n (x) · e a x , allora otteniamo che una particolare soluzione del secondo ordine LPDE sarà una equazione della forma y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, dove Q n (x) è un polinomio di nesimo grado e r è il numero di radici dell'equazione caratteristica uguale ad α.
I coefficienti appartenenti a Q n (x) si trovano dall'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Esempio 2
Trova la soluzione generale di un'equazione differenziale della forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Soluzione
L'equazione generale è y = y 0 + y ~ . L'equazione indicata corrisponde al LOD y "" - 2 y " = 0. Dall'esempio precedente si vede che le sue radici sono uguali k1 = 0 e k 2 = 2 e y 0 = C 1 + C 2 e 2 x dall'equazione caratteristica.
E' chiaro lato destro l'equazione è x 2 + 1 · e x . Da qui l'LPDE si trova tramite y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, dove Q n (x) è un polinomio di secondo grado, dove α = 1 e r = 0, perché l'equazione caratteristica non hanno una radice uguale a 1. Da qui lo capiamo
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C sono coefficienti sconosciuti che si trovano dall'uguaglianza y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Capito
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - LA x 2 - B x + 2 LA - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Identifichiamo gli indicatori con gli stessi coefficienti e otteniamo un sistema di equazioni lineari. Da qui troviamo A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Risposta:è chiaro che y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 è una soluzione particolare dell'LNDDE, e y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - una soluzione generale per un'equazione dif omogenea del secondo ordine.
Quando la funzione è scritta come f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, e UN 1 E IN 1 sono numeri, allora una soluzione parziale dell'LPDE è considerata un'equazione della forma y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, dove A e B sono considerati coefficienti indeterminati, e r è il numero di radici coniugate complesse relative all'equazione caratteristica, pari a ± i β . In questo caso la ricerca dei coefficienti viene effettuata utilizzando l'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Esempio 3
Trova la soluzione generale di un'equazione differenziale della forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Soluzione
Prima di scrivere l'equazione caratteristica, troviamo y 0. Poi
K 2 + 4 = 0 K 2 = - 4 K 1 = 2 io , K 2 = - 2 io
Abbiamo una coppia di radici coniugate complesse. Trasformiamo e otteniamo:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Le radici dell'equazione caratteristica sono considerate la coppia coniugata ± 2 i, quindi f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Ciò dimostra che la ricerca di y ~ sarà effettuata da y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Cercheremo i coefficienti A e B da un'uguaglianza della forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Convertiamo:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A cos (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Allora è chiaro
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
È necessario uguagliare i coefficienti di seno e coseno. Otteniamo un sistema della forma:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Ne consegue che y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Risposta: si considera la soluzione generale dell'originale LDDE del secondo ordine a coefficienti costanti
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Quando f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), allora y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Abbiamo che r è il numero di coppie complesse di radici coniugate relative all'equazione caratteristica, pari a α ± i β, dove P n (x), Q k (x), Lm(x) e Nm(x) sono polinomi di grado n, k, m, m, dove m = m a x (n, k). Trovare i coefficienti Lm(x) E Nm(x)è fatto in base all'uguaglianza y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Esempio 4
Trovare la soluzione generale y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Soluzione
Secondo la condizione è chiaro che
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Allora m = m a x (n, k) = 1. Troviamo y 0 scrivendo prima un'equazione caratteristica della forma:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Abbiamo scoperto che le radici sono reali e distinte. Quindi y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Successivamente è necessario cercare una soluzione generale basata sull'equazione disomogenea y ~ della forma
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
È noto che A, B, C sono coefficienti, r = 0, perché non esiste una coppia di radici coniugate relative all'equazione caratteristica con α ± i β = 3 ± 5 · i. Troviamo questi coefficienti dall'uguaglianza risultante:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Trovare il derivato e termini simili dà
Mi 3 x ((15 la + 23 do) x sin (5 x) + + (10 la + 15 si - 3 do + 23 re) sin (5 x) + + (23 la - 15 do) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Dopo aver uguagliato i coefficienti, otteniamo un sistema della forma
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1D = 1
Da tutto ciò ne consegue
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) peccato (5 x))
Risposta: Ora abbiamo ottenuto una soluzione generale dell'equazione lineare data:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Qualsiasi altro tipo di funzione f (x) per la soluzione richiede il rispetto dell'algoritmo di soluzione:
Esempio 5
Trova la soluzione generale per y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Soluzione
Procediamo a scrivere l'equazione caratteristica, avendo precedentemente scritto y 0, y "" + 36 y = 0. Scriviamo e risolviamo:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = peccato (6 x)
Abbiamo che la soluzione generale dell'equazione data sarà scritta come y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . È necessario passare alla definizione di funzioni derivate C1(x) E C2(x) secondo un sistema di equazioni:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
È necessario prendere una decisione in merito C 1" (x) E C2" (x) utilizzando qualsiasi metodo. Allora scriviamo:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Ciascuna delle equazioni deve essere integrata. Quindi scriviamo le equazioni risultanti:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x peccato (6 x) + C 4
Ne consegue che la soluzione generale avrà la forma:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + Do 4 peccato (6 x)
Risposta: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 volte)
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Durante la conferenza vengono studiati gli LNDE: equazioni differenziali lineari disomogenee. Viene considerata la struttura della soluzione generale, la soluzione dell'LPDE con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, la soluzione dell'LDDE con coefficienti costanti e il lato destro di una forma speciale. Le questioni in esame vengono utilizzate nello studio delle oscillazioni forzate in fisica, ingegneria elettrica ed elettronica e nella teoria del controllo automatico.
Consideriamo innanzitutto un'equazione lineare disomogenea di ordine arbitrario:
Tenendo conto della notazione, possiamo scrivere:
In questo caso, assumeremo che i coefficienti e il membro destro di questa equazione siano continui su un certo intervallo.
Teorema. La soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea in un certo dominio è la somma di una qualsiasi delle sue soluzioni e della soluzione generale della corrispondente equazione differenziale lineare omogenea.
Prova. Sia Y una soluzione di un'equazione disomogenea.
Quindi, sostituendo questa soluzione nell'equazione originale, otteniamo l'identità:
Permettere 
- sistema fondamentale di soluzioni di un'equazione lineare omogenea 
. Allora la soluzione generale dell’equazione omogenea può essere scritta come:
In particolare, per un’equazione differenziale lineare disomogenea del 2° ordine, la struttura della soluzione generale ha la forma:
Dove 
è il sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea, e 
- qualsiasi soluzione particolare di un'equazione disomogenea.
Pertanto, per risolvere un'equazione differenziale lineare disomogenea, è necessario trovare una soluzione generale all'equazione omogenea corrispondente e in qualche modo trovare una soluzione particolare all'equazione disomogenea. Di solito si trova per selezione. Nelle domande seguenti considereremo i metodi per selezionare una soluzione privata.
2. Metodo di variazione
In pratica è conveniente utilizzare il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
Per fare ciò, trova prima una soluzione generale all'equazione omogenea corrispondente nella forma:
Quindi, inserendo i coefficienti C io funzioni da X, si cerca una soluzione all'equazione disomogenea:
Si può dimostrare che per trovare funzioni C io (X) dobbiamo risolvere il sistema di equazioni:
Esempio. Risolvi l'equazione 
Risoluzione di un'equazione lineare omogenea 
La soluzione dell’equazione disomogenea avrà la forma:
Creiamo un sistema di equazioni:
Risolviamo questo sistema:
Dalla relazione troviamo la funzione OH).
Ora troviamo B(x).
Sostituiamo i valori ottenuti nella formula per la soluzione generale dell'equazione disomogenea:
Risposta finale: 
In generale, il metodo della variazione delle costanti arbitrarie è adatto per trovare soluzioni a qualsiasi equazione lineare disomogenea. Ma perché Trovare il sistema fondamentale delle soluzioni della corrispondente equazione omogenea può essere un compito piuttosto difficile; questo metodo viene utilizzato principalmente per equazioni disomogenee a coefficienti costanti.
3. Equazioni con il lato destro di una forma speciale
Sembra possibile immaginare il tipo di una soluzione particolare in funzione del tipo del membro destro dell'equazione disomogenea.
Si distinguono i seguenti casi:
I. Il lato destro dell'equazione differenziale lineare disomogenea ha la forma:
dove è un polinomio di grado M.
Quindi si cerca una soluzione particolare nella forma:
Qui Q(X) - un polinomio dello stesso grado di P(X) , ma con coefficienti indeterminati, e R– un numero che mostra quante volte il numero è la radice dell'equazione caratteristica per la corrispondente equazione differenziale omogenea lineare.
Esempio. Risolvi l'equazione 
.
Risolviamo la corrispondente equazione omogenea: 
Cerchiamo ora una soluzione particolare all'equazione disomogenea originale.
Confrontiamo il lato destro dell'equazione con la forma del lato destro discussa sopra.
Cerchiamo una soluzione particolare nella forma: 
, Dove
Quelli. 
Ora determiniamo i coefficienti sconosciuti UN E IN.
Sostituiamo la soluzione particolare in forma generale nell'equazione differenziale disomogenea originale.
Soluzione totale e privata: 
Allora la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare disomogenea è:
II. Il lato destro dell'equazione differenziale lineare disomogenea ha la forma:
Qui R 1 (X) E R 2 (X)– polinomi di grado M 1 e M 2 rispettivamente.
Allora una soluzione particolare dell’equazione disomogenea avrà la forma:
dov'è il numero R mostra quante volte un numero 
è la radice dell'equazione caratteristica per la corrispondente equazione omogenea, e Q 1
(X)
E
Q 2
(X)
– polinomi di grado non superiore a M, Dove M- il più grande dei gradi M 1
E M 2
.
Tabella riepilogativa delle tipologie di soluzioni private
per diversi tipi di lati destri
|
Lato destro dell'equazione differenziale |
equazione caratteristica |
Tipi di privato |
|
|
|
1. Il numero non è la radice dell'equazione caratteristica |
|
|
|
2. Il numero è la radice dell'equazione caratteristica della molteplicità |
|
||
|
|
1. Numero |
|
|
|
2. Numero |
|
||
|
1. Numeri |
|
||
|
2. Numeri |
|
||
|
1. Numeri | |||
|
2. Numeri |
Si noti che se il membro destro dell'equazione è una combinazione di espressioni del tipo considerato sopra, allora la soluzione si trova come combinazione di soluzioni di equazioni ausiliarie, ciascuna delle quali ha un membro destro corrispondente all'espressione inclusa nella combinazione.
Quelli. se l'equazione è: 
, allora sarà una soluzione particolare a questa equazione 
Dove A 1
E A 2
– soluzioni particolari di equazioni ausiliarie
E 
Per illustrare, risolviamo l'esempio sopra in un modo diverso.
Esempio. Risolvi l'equazione 
Rappresentiamo il lato destro dell'equazione differenziale come la somma di due funzioni F 1 (X) + F 2 (X) = X + (- peccato X).
Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica:
Otteniamo: cioè 
Totale: 
Quelli. la soluzione particolare richiesta ha la forma: 
Soluzione generale di un'equazione differenziale non omogenea:
Diamo un'occhiata agli esempi di applicazione dei metodi descritti.
Esempio 1.. Risolvi l'equazione 
Componiamo un'equazione caratteristica per la corrispondente equazione differenziale omogenea lineare:
Troviamo ora una soluzione particolare all’equazione disomogenea nella forma:
Usiamo il metodo dei coefficienti indefiniti.
Sostituendo nell'equazione originale, otteniamo:
Una soluzione particolare ha la forma: 
Soluzione generale di un'equazione lineare disomogenea: 
Esempio. Risolvi l'equazione 
Equazione caratteristica:
Soluzione generale dell'equazione omogenea: 
Soluzione particolare dell'equazione disomogenea: 
.
Troviamo le derivate e le sostituiamo nell'equazione originale disomogenea:
Otteniamo una soluzione generale all'equazione differenziale disomogenea:
non è una radice dell'equazione caratteristica
è la radice dell'equazione caratteristica della molteplicità 
sono le radici dell'equazione caratteristica della molteplicità 
non sono radici dell'equazione di molteplicità caratteristica 
sono le radici dell'equazione caratteristica della molteplicità 
