Variabili casuali discrete. legge di distribuzione di una variabile casuale discreta. Variabile casuale discreta e sue caratteristiche numeriche

Istituzione educativa "Stato bielorusso

Accademia agraria"

Dipartimento di Matematica Superiore

Linee guida

sullo studio dell'argomento "Variabili casuali" da parte degli studenti della Facoltà di contabilità per corrispondenza (NISPO)

Gorki, 2013

variabili casuali

Variabili casuali discrete e continue

Uno dei concetti di base nella teoria della probabilità è il concetto variabile casuale . Variabile casuale Si chiama una grandezza che, a seguito di un test, da un insieme di valori possibili ne prende uno solo, e non si sa in anticipo quale.

Le variabili casuali lo sono discreto e continuo . Variabile casuale discreta (DSV) si chiama variabile aleatoria che può assumere un numero finito di valori isolati tra loro, cioè se i possibili valori di tale quantità possono essere ricalcolati. Variabile casuale continua (CRV) viene chiamata una variabile casuale, tutti i possibili valori di cui riempiono completamente un certo intervallo della linea reale.

Le variabili casuali sono indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino X, Y, Z, ecc. I possibili valori di variabili casuali sono indicati dalle lettere minuscole corrispondenti.

Registrazione
significa "la probabilità che una variabile casuale X assumerà un valore pari a 5, uguale a 0,28".

Esempio 1 . Un dado viene lanciato una volta. In questo caso possono comparire i numeri da 1 a 6, indicanti il ​​numero di punti. Indica la variabile casuale X=(numero di punti persi). Questa variabile casuale come risultato del test può assumere solo uno dei sei valori: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Pertanto, la variabile casuale X c'è DSV.

Esempio 2 . Quando un sasso viene lanciato, vola a una certa distanza. Indica la variabile casuale X=(distanza di volo di pietra). Questa variabile casuale può assumere qualsiasi valore, ma solo uno, da un determinato intervallo. Pertanto, la variabile casuale X c'è NSV.

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta

Una variabile casuale discreta è caratterizzata dai valori che può assumere e dalle probabilità con cui vengono presi questi valori. Corrispondenza tra i possibili valori del discreto variabile casuale e viene chiamata la loro corrispondente probabilità legge di distribuzione di una variabile casuale discreta .

Se tutti i valori possibili sono noti
variabile casuale X e probabilità
Alla comparsa di questi valori, si ritiene che la legge distributiva del DSV Xè noto e può essere scritto come una tabella:

La legge di distribuzione DSV può essere rappresentata graficamente se i punti sono disegnati in un sistema di coordinate rettangolare
,
, …,
e collegali con linee rette. La figura risultante è chiamata poligono di distribuzione.

Esempio 3 . Il grano destinato alla pulizia contiene il 10% di erbacce. 4 grani vengono selezionati casualmente. Indica la variabile casuale X=(numero di erbacce tra le quattro selezionate). Costruire la legge di distribuzione DSV X e poligono di distribuzione.

Soluzione . Secondo l'esempio. Quindi:

Scriviamo la legge di distribuzione di DSV X sotto forma di tabella e costruiamo un poligono di distribuzione:

Aspettativa matematica di una variabile casuale discreta

Le proprietà più importanti di una variabile casuale discreta sono descritte dalle sue caratteristiche. Una di queste caratteristiche è valore atteso variabile casuale.

Sia nota la legge di distribuzione DSV X:

aspettativa matematica DSV X la somma dei prodotti di ciascun valore di questa quantità per la probabilità corrispondente si chiama:
.

L'aspettativa matematica di una variabile casuale è approssimativamente uguale alla media aritmetica di tutti i suoi valori. Pertanto, nei problemi pratici lo è spesso valore atteso prendi il valore medio di questa variabile casuale.

Esempio 8 . Il tiratore elimina 4, 8, 9 e 10 punti con probabilità di 0,1, 0,45, 0,3 e 0,15. Trova l'aspettativa matematica del numero di punti in un colpo.

Soluzione . Indica la variabile casuale X=(numero di punti segnati). Quindi . Pertanto, il numero medio atteso di punti segnati con un tiro è 8,2 e con 10 tiri è 82.

Proprietà principali aspettativa matematica sono:

.

.

, dove
,
.

.

, dove X e Y sono variabili casuali indipendenti.

Differenza
chiamato deviazione variabile casuale X dalla sua aspettativa matematica. Questa differenza è una variabile casuale e la sua aspettativa matematica è uguale a zero, cioè
.

Dispersione di una variabile casuale discreta

Per caratterizzare una variabile casuale, oltre all'aspettativa matematica, si usa anche dispersione , che consente di stimare la dispersione (scatter) dei valori di una variabile casuale attorno alla sua aspettativa matematica. Quando si confrontano due variabili casuali omogenee con uguali aspettative matematiche, si considera "migliore" quella che ha uno spread minore, cioè minore dispersione.

dispersione variabile casuale Xè chiamata aspettativa matematica della deviazione al quadrato di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica: .

Nei problemi pratici si usa una formula equivalente per calcolare la varianza.

Le principali proprietà di dispersione sono:

.

In questa pagina abbiamo raccolto esempi di soluzioni educative problemi su variabili casuali discrete. Questa è una sezione piuttosto ampia: si studiano diverse leggi di distribuzione (binomiale, geometrica, ipergeometrica, Poisson e altre), si studiano proprietà e caratteristiche numeriche, si possono costruire rappresentazioni grafiche per ogni serie di distribuzione: un poligono (poligono) di probabilità, una funzione di distribuzione .

Di seguito troverai esempi di decisioni su variabili casuali discrete, in cui è necessario applicare le conoscenze delle sezioni precedenti della teoria della probabilità per elaborare una legge di distribuzione, quindi calcolare l'aspettativa matematica, la varianza, la media deviazione standard, costruire una funzione di distribuzione, dare risposte a domande sul DSV, ecc.

Esempi di leggi di distribuzione di probabilità popolari:

Calcolatrici per le caratteristiche di DSV

• Calcolo dell'aspettativa matematica, varianza e deviazione standard del DSV.

Risolti problemi su DSV

Distribuzioni vicine al geometrico

Compito 1. Ci sono 4 semafori sul percorso dell'auto, ognuno dei quali vieta l'ulteriore movimento dell'auto con una probabilità di 0,5. Trova il numero di distribuzione del numero di semafori superati dall'auto prima della prima fermata. Qual è l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale?

Compito 2. Il cacciatore spara alla selvaggina prima del primo colpo, ma riesce a fare non più di quattro colpi. Annotare la legge di distribuzione per il numero di errori mancati se la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,7. Trova la varianza di questa variabile casuale.

Compito 3. Il tiratore, avendo 3 cartucce, spara al bersaglio fino al primo colpo. Le probabilità di centrare il primo, il secondo e il terzo colpo sono rispettivamente 0,6, 0,5, 0,4. SV $\xi$ - numero di cartucce rimanenti. Crea una serie di distribuzione di una variabile casuale, trova l'aspettativa matematica, la varianza, la media deviazione standard r.v., costruisci la funzione di distribuzione di r.v., trova $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Compito 4. La confezione contiene 7 pezzi standard e 3 pezzi difettosi. Le parti vengono estratte in sequenza fino alla comparsa di quella standard, senza restituirle. $\xi$ - numero di parti difettose recuperate.
Componi una legge di distribuzione per una variabile casuale discreta $\xi$, calcola la sua aspettativa matematica, varianza, deviazione standard, disegna un poligono di distribuzione e un grafico della funzione di distribuzione.

Compiti con eventi indipendenti

Compito 5. 3 studenti sono giunti al riesame di teoria della probabilità. La probabilità che il primo superi l'esame è 0,8, il secondo - 0,7, il terzo - 0,9. Trova la serie di distribuzione della variabile casuale $\xi$ del numero di studenti che hanno superato l'esame, costruisci un grafico della funzione di distribuzione, trova $M(\xi), D(\xi)$.

Compito 6. La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,8 e diminuisce ad ogni colpo di 0,1. Redigere la legge di distribuzione per il numero di colpi sul bersaglio se vengono sparati tre colpi. Trova l'aspettativa matematica, varianza e S.K.O. questa variabile casuale. Traccia la funzione di distribuzione.

Compito 7. Vengono sparati 4 colpi al bersaglio. In questo caso, la probabilità di colpire aumenta come segue: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Trova la legge di distribuzione della variabile casuale $X$ - il numero di risultati. Trova la probabilità che $X \ge 1$.

Compito 8. Vengono lanciate due monete simmetriche, viene contato il numero di stemmi su entrambi i lati superiori delle monete. Consideriamo una variabile casuale discreta $X$ - il numero di stemmi su entrambe le monete. Scrivi la legge di distribuzione della variabile casuale $X$, trova la sua aspettativa matematica.

Altri compiti e leggi di distribuzione di DSV

Compito 9. Due giocatori di basket fanno tre tiri a canestro. La probabilità di colpire per il primo giocatore di basket è 0,6, per il secondo - 0,7. Sia $X$ la differenza tra il numero di lanci riusciti del primo e del secondo giocatore di basket. Trova la serie di distribuzione, il modo e la funzione di distribuzione della variabile casuale $X$. Costruisci un poligono di distribuzione e traccia la funzione di distribuzione. Calcola l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard. Trova la probabilità dell'evento $(-2 \lt X \le 1)$.

Compito 10. Il numero di navi non residenti che arrivano giornalmente per essere caricate in un determinato porto è un valore casuale $X$, dato come segue:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) assicurarsi che la serie di distribuzione sia impostata,
B) trova la funzione di distribuzione della variabile casuale $X$,
C) se in un dato giorno arrivano più di tre navi, il porto si fa carico dei costi dovuti alla necessità di assumere autisti e caricatori aggiuntivi. Qual è la probabilità che il porto debba sostenere costi aggiuntivi?
D) trovare l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard della variabile casuale $X$.

Compito 11. Lancia 4 dadi. Trova l'aspettativa matematica della somma del numero di punti che cadranno su tutte le facce.

Compito 12. Due giocatori a turno lanciano una moneta fino alla prima apparizione dello stemma. Il giocatore il cui stemma è caduto riceve 1 rublo da un altro giocatore. Trova l'aspettativa matematica della vincita di ogni giocatore.

Discreto chiamata variabile casuale che può assumere valori separati e isolati con determinate probabilità.

ESEMPIO 1. Il numero di occorrenze dello stemma in tre lanci di monete. Valori possibili: 0, 1, 2, 3, le loro probabilità sono rispettivamente uguali:

P(0) = ; P(1) = ; P(2) = ; P(3) = .

ESEMPIO 2. Il numero di elementi guasti in un dispositivo composto da cinque elementi. Valori possibili: 0, 1, 2, 3, 4, 5; le loro probabilità dipendono dall'affidabilità di ciascuno degli elementi.

Variabile casuale discreta X può essere data da una serie di distribuzione o da una funzione di distribuzione (legge di distribuzione integrale).

Vicino alla distribuzione è l'insieme di tutti i valori possibili Xio e le loro corrispondenti probabilità Rio = p(X = xio), può essere data come tabella:

Allo stesso tempo, le probabilità Rio soddisfare la condizione

Rio= 1 perché

dove è il numero di valori possibili n può essere finito o infinito.

Rappresentazione grafica di una serie di distribuzione chiamato poligono di distribuzione . Per costruirlo, i possibili valori della variabile casuale ( Xio) sono tracciati lungo l'asse x e le probabilità Rio- lungo l'asse y; punti MAio con coordinate ( Xio, pagio) sono collegati da linee spezzate.

funzione di distribuzione variabile casuale X chiamata funzione F(X), il cui valore è al punto Xè uguale alla probabilità che la variabile casuale X sarà inferiore a questo valore X, questo è

F(x) = P(X< х).

Funzione F(X) per variabile casuale discreta calcolato dalla formula

F(X) = Rio , (1.10.1)

dove la somma è su tutti i valori io, per cui Xio< х.

ESEMPIO 3. Da un lotto contenente 100 articoli, tra i quali ci sono 10 articoli difettosi, cinque articoli vengono selezionati casualmente per verificarne la qualità. Costruisci una serie di distribuzioni di un numero casuale X prodotti difettosi contenuti nel campione.

Soluzione. Poiché il numero di prodotti difettosi nel campione può essere un numero intero compreso tra 0 e 5 inclusi, i valori possibili Xio variabile casuale X sono uguali:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probabilità R(X = k) che nel campione sarà esattamente K(K = 0, 1, 2, 3, 4, 5) prodotti difettosi, pari a

P (X \u003d k) \u003d.

Come risultato dei calcoli che utilizzano questa formula con una precisione di 0,001, otteniamo:

R 1 = p(X = 0) @ 0,583;R 2 = p(X = 1) @ 0,340;R 3 = p(X = 2) @ 0,070;

R 4 = p(X = 3) @ 0,007;R 5 = p(X= 4) @ 0;R 6 = p(X = 5) @ 0.

Usare l'uguaglianza per controllare RK=1, ci assicuriamo che i calcoli e gli arrotondamenti siano eseguiti correttamente (vedi tabella).

ESEMPIO 4. Data una serie di distribuzioni di una variabile casuale X :

Trova la funzione di distribuzione di probabilità F(X) di questa variabile casuale e costruirla.

Soluzione. Se una X£ 10 allora F(X)= p(X<X) = 0;

se 10<X£ 20 allora F(X)= p(X<X) = 0,2 ;

se 20<X£ 30 allora F(X)= p(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

se 30<X£40 allora F(X)= p(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

se 40<X£50 allora F(X)= p(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Se X> 50, quindi F(X)= p(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Viene fornita una serie di distribuzione di una variabile casuale discreta. Trova la probabilità mancante e traccia la funzione di distribuzione. Calcolare l'aspettativa matematica e la varianza di questo valore.

La variabile casuale X assume solo quattro valori: -4, -3, 1 e 2. Prende ciascuno di questi valori con una certa probabilità. Poiché la somma di tutte le probabilità deve essere uguale a 1, la probabilità mancante è uguale a:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Componi la funzione di distribuzione della variabile casuale X. È noto che la funzione di distribuzione , quindi:

Di conseguenza,

Tracciamo la funzione F(X) .

L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è uguale alla somma dei prodotti del valore della variabile casuale e della probabilità corrispondente, cioè

La varianza di una variabile casuale discreta si trova con la formula:

APPENDICE

Elementi di combinatoria Qui: - fattoriale di un numero

Azioni sugli eventi Un evento è qualsiasi fatto che può verificarsi o meno come risultato di un'esperienza. Unione di eventi MA e A- quest'evento DA, che consiste nell'apparizione o nell'evento MA, o eventi A o entrambi gli eventi contemporaneamente. Designazione: ; Intersezione di eventi MA e A- quest'evento DA, che consiste nel verificarsi simultaneo di entrambi gli eventi. Designazione: ;

La classica definizione di probabilità Probabilità di evento MAè il rapporto tra il numero di esperimenti , favorevole al verificarsi dell'evento MA, al numero totale di esperimenti :

Formula di moltiplicazione delle probabilità Probabilità di evento può essere trovato usando la formula: - probabilità di evento MA, - probabilità di evento A, - probabilità di evento A a condizione che l'evento MA già successo. Se gli eventi A e B sono indipendenti (il verificarsi di uno non influisce sul verificarsi dell'altro), la probabilità dell'evento è:

Formula di addizione di probabilità Probabilità di evento può essere trovato usando la formula: Probabilità di evento MA, Probabilità di evento A, - probabilità di accadimento congiunto di eventi MA e A. Se gli eventi A e B sono incompatibili (non possono verificarsi contemporaneamente), la probabilità dell'evento è:

Formula di probabilità totale Lascia che l'evento MA può accadere contemporaneamente a uno degli eventi , , …, Chiamiamole ipotesi. Anche conosciuto - probabilità di adempimento io-esima ipotesi e - la probabilità di accadimento dell'evento A durante l'esecuzione io l'ipotesi. Poi la probabilità dell'evento MA può essere trovato usando la formula:

Schema Bernoulli Si svolgano n test indipendenti. Probabilità di accadimento (successo) di un evento MA in ciascuno di essi è costante e uguale p, la probabilità di fallimento (ovvero, non il verificarsi di un evento MA) q = 1 - p. Poi la probabilità di accadimento K successo in n i test possono essere trovati dalla formula di Bernoulli: Numero molto probabile di successi nello schema di Bernoulli, questo è il numero di occorrenze di un evento, che corrisponde alla probabilità più alta. Può essere trovato usando la formula:

variabili casuali continuo discreto (p. es., numero di ragazze in una famiglia con 5 figli) (p. es., tempo di attività del bollitore) Caratteristiche numeriche di variabili casuali discrete Sia dato il valore discreto da una serie di distribuzioni: X R , , …, - valori di una variabile casuale X; , , …, sono le probabilità corrispondenti. funzione di distribuzione La funzione di distribuzione di una variabile casuale Xè chiamata funzione data sull'intera retta dei numeri e uguale alla probabilità che X sarà meno X:

Domande per l'esame

Evento. Operazioni su eventi casuali.

Il concetto di probabilità di un evento.

Regole di addizione e moltiplicazione delle probabilità. Probabilità condizionali.

Formula di probabilità totale. Formula di Bayes.

Schema Bernoulli.

Variabile casuale, sua funzione di distribuzione e serie di distribuzione.

Proprietà di base della funzione di distribuzione.

Valore atteso. Proprietà dell'aspettativa matematica.

Dispersione. Proprietà di dispersione.

Densità di distribuzione di probabilità di una variabile casuale unidimensionale.

Tipi di distribuzioni: distribuzione uniforme, esponenziale, normale, binomiale e di Poisson.

Teoremi locali e integrali di Moivre-Laplace.

Legge e funzione di distribuzione di un sistema di due variabili casuali.

Densità di distribuzione di un sistema di due variabili casuali.

Leggi condizionali di distribuzione, aspettativa matematica condizionale.

Variabili casuali dipendenti e indipendenti. Coefficiente di correlazione.

Campione. Elaborazione del campione. Istogramma del poligono e della frequenza. Funzione di distribuzione empirica.

Il concetto di stima dei parametri di distribuzione. Requisiti di valutazione. Intervallo di confidenza. Costruire intervalli per stimare l'aspettativa matematica e la deviazione standard.

ipotesi statistiche. Criteri di consenso.