Vissza előre
Figyelem! A dia előnézete csak tájékoztató jellegű, és nem feltétlenül képviseli a bemutató teljes terjedelmét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.
A vas rozsdásodik, nem talál magának hasznot,
az álló víz megrohad vagy megfagy a hidegben,
és az emberi elme, nem találva magának hasznot, elsorvad.
Leonardo da Vinci
Használt technológiák: probléma alapú tanulás, kritikus gondolkodás, kommunikatív kommunikáció.
Célok:
Feladatok:
1. Használja ki az y \u003d sin x függvény tulajdonságairól meglévő tudásban rejlő lehetőségeket adott helyzetekben.
2. Alkalmazza az y \u003d sin x függvény analitikai és geometriai modelljei közötti kapcsolatok tudatos létrehozását.
Fejleszteni kell a kezdeményezőkészséget, bizonyos készséget és érdeklődést a megoldás keresésében; a döntések meghozatalának képessége, hogy ne álljunk meg itt, megvédjük álláspontjukat.
Nevelni a tanulókat kognitív tevékenységre, felelősségérzetre, egymás iránti tiszteletre, kölcsönös megértésre, kölcsönös támogatásra, önbizalomra; kommunikációs kultúra.
Az órák alatt
1. szakasz. Alapismeretek aktualizálása, motiváció új tananyag elsajátítására
"Bejegyzés a leckére"
A táblára három állítás van felírva:
A tanulók párban megbeszélik: Igazak az állítások? (1 perc). A kezdeti megbeszélés eredményei (igen, nem) ezután bekerülnek a táblázatba az „Előtte” oszlopban.
A tanár határozza meg az óra céljait és célkitűzéseit.
2. Az ismeretek frissítése (frontálisan a trigonometrikus kör modellen).
Az s = sin t függvénnyel már találkoztunk.
1) Milyen értékeket vehet fel a t változó? Mi ennek a funkciónak a hatóköre?
2) Milyen intervallumban vannak a sin t kifejezés értékei? Keresse meg az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értékét.
3) Oldja meg a sin t = 0 egyenletet!
4) Mi történik a pont ordinátájával, amikor az első negyedben mozog? (az ordináta nő). Mi történik egy pont ordinátájával, amikor a második negyedben mozog? (az ordináta fokozatosan csökken). Hogyan kapcsolódik ez a függvény monotonitásához? (az s = sin t függvény a szakaszon növekszik, a szakaszon csökken).
5) Írjuk fel az s = sin t függvényt a számunkra szokásos formában y = sin x (a szokásos xOy koordinátarendszerben építjük fel), és állítsunk össze egy értéktáblázatot ehhez a függvényhez.
| x | 0 | ||||||
| nál nél | 0 | 1 | 0 |
2. szakasz. Érzékelés, megértés, elsődleges konszolidáció, akaratlan memorizálás
4. szakasz. Az ismeretek és a tevékenységi módszerek elsődleges rendszerezése, átadása és alkalmazása új helyzetekben
6. No. 10.18 (b, c)
5. szakasz Végső ellenőrzés, javítás, értékelés és önértékelés
7. Visszatérünk az állításokhoz (a lecke elejére), megbeszéljük az y \u003d sin x trigonometrikus függvény tulajdonságait, és kitöltjük a táblázat „Utána” oszlopát.
8. D / z: 10. tétel, 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
>>Matematika: y \u003d sin x, y \u003d cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik
y \u003d sin x, y \u003d cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik
Ebben a részben az y = függvények néhány tulajdonságát tárgyaljuk sin x,y= cos x és ábrázoljuk grafikonjaikat.
1. y függvény \u003d sin X.
Fent, a 20. §-ban megfogalmaztunk egy szabályt, amely lehetővé teszi, hogy minden t szám társítható legyen a cos t számmal, azaz. jellemezte az y = sin t függvényt. Megjegyezzük néhány tulajdonságát.
Az u = sint függvény tulajdonságai.
A definíciós tartomány a valós számok K halmaza.
Ez abból következik, hogy bármely 2-es szám megfelel egy M(1) pontnak a számkörön, amelynek jól meghatározott ordinátája van; ez az ordináta a cos t.
u = sin t páratlan függvény.
Ez abból következik, hogy a 19. §-ban bebizonyosodott, hogy bármely t az egyenlőség
Ez azt jelenti, hogy az u \u003d sin t függvény grafikonja, mint bármely páratlan függvény grafikonja, szimmetrikus az origóhoz képest téglalap alakú rendszer koordináták tOi.
Az u = sin t függvény a szakaszon növekszik 
Ez abból következik, hogy amikor a pont a számkör első negyede mentén mozog, az ordináta fokozatosan növekszik (0-ról 1-re – lásd 115. ábra), és amikor a pont a számkör második negyede mentén mozog, a ordináta fokozatosan csökken (1-ről 0-ra – lásd 115. ábra). 116. ábra).
Az u = sin t függvény alulról és felülről is korlátos. Ez abból következik, hogy mint a 19. §-ban láttuk, minden t az egyenlőtlenség
(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket 
(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket
A kapott tulajdonságok felhasználásával megszerkesztjük a számunkra érdekes függvény grafikonját. De (figyelem!) u - sin t helyett y \u003d sin x-et fogunk írni (végül is megszoktuk, hogy y \u003d f (x), és nem u \u003d f (t)-t írunk). Ez azt jelenti, hogy egy gráfot a szokásos хОу (és nem tOy) koordinátarendszerben fogunk készíteni.
Készítsünk egy táblázatot a függvényértékekről - sin x:
Megjegyzés.
Íme a "sine" kifejezés eredetének egyik változata. Latinul a sinus azt jelenti, hajlítás (íjhúr).
A felépített gráf bizonyos mértékig igazolja ezt a terminológiát. 
Az y \u003d sin x függvény grafikonjaként szolgáló egyenest szinuszosnak nevezzük. A szinusz azon része, amely az ábrán látható. 118 vagy 119 szinuszhullámnak nevezzük, és a szinusznak azt a részét, amely az 1. ábrán látható. A 117-et félhullámnak vagy szinuszhullám ívének nevezik.
2. Függvény y = cos x.
Az y \u003d cos x függvény vizsgálata megközelítőleg ugyanazon séma szerint hajtható végre, amelyet fentebb az y \u003d sin x függvényhez használtunk. De azt az utat választjuk, amely gyorsabban vezet a célhoz. Először is két olyan képletet fogunk bebizonyítani, amelyek önmagukban is fontosak (ezt látni fogjátok a gimnáziumban), de egyelőre csak segédértékkel bírnak a céljaink szempontjából.
t bármely értékére az egyenlőségek
Bizonyíték. A t szám feleljen meg a numerikus n kör M pontjának, a * + - szám pedig a P pontnak (124. ábra; az egyszerűség kedvéért az első negyedben vettük az M pontot). Az AM és BP ívek egyenlőek, és az OKM és OBP derékszögű háromszögek is egyenlőek. Ezért O K = Ob, MK = Pb. Ezekből az egyenlőségekből, valamint az OKM és OLR háromszögek koordinátarendszerbeli elhelyezkedéséből két következtetést vonunk le:
1) a P pont ordinátája abszolút értékben és előjelben is egybeesik az M pont abszcisszájával; ez azt jelenti
2) a P pont abszcisszája abszolút értékben egyenlő az M pont ordinátájával, de előjelben különbözik tőle; ez azt jelenti
Körülbelül ugyanezt az érvelést hajtjuk végre azokban az esetekben, amikor az M pont nem tartozik az első negyedévhez.
Használjuk a képletet 
(ez a fent bizonyított képlet, csak a t változó helyett az x változót használjuk). Mit ad nekünk ez a képlet? Lehetővé teszi számunkra annak állítását, hogy a funkciók
azonosak, így a grafikonjaik is megegyeznek.
Ábrázoljuk a függvényt 
Ehhez menjünk a segédrendszer pontban lévő origóval koordinálja (a 125. ábrán húzott szaggatott egyenes). Társítsa az y \u003d sin x függvényt ehhez új rendszer koordináták - ez lesz a függvény grafikonja 
(125. ábra), i.e. az y - cos x függvény grafikonja. Ezt, akárcsak az y \u003d sin x függvény grafikonját, szinuszosnak nevezik (ami teljesen természetes).
Az y = cos x függvény tulajdonságai.
y = cos x páros függvény.
Az építési szakaszok az ábrán láthatók. 126:
1) elkészítjük az y \u003d cos x függvény grafikonját (pontosabban egy félhullám);
2) a megszerkesztett gráfot az x tengelytől 0,5-ös együtthatóval nyújtva megkapjuk a szükséges gráf egy félhullámát;
3) a kapott félhullám felhasználásával megszerkesztjük az y \u003d 0,5 cos x függvény teljes grafikonját.
Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y \u003d sin x függvényt, főbb tulajdonságait és grafikonját. A lecke elején megadjuk az y \u003d sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg a függvény és tulajdonságainak grafikonjával.
Téma: Trigonometrikus függvények
Lecke: y=sinx függvény, főbb tulajdonságai és grafikonja
Egy függvény figyelembevételekor fontos, hogy a függvény egyetlen értékét társítsuk az argumentum minden értékéhez. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.
Határozzuk meg a megfelelési törvényt.
Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg, amelynek egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).
Minden argumentumértékhez egyetlen függvényérték van hozzárendelve.
A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.
Az ábra azt mutatja 
mert az egységkör egy pontjának ordinátája.
Tekintsük a függvénygrafikont. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a radiánban mért központi szög. A tengelyen le fogunk szállni valós számok vagy radiánban kifejezett szögek a megfelelő függvényértékek tengelye mentén.
Például az egységkörön lévő szög a grafikon egy pontjának felel meg (2. ábra).
Megkaptuk a függvény grafikonját az oldalon, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományon ábrázolhatjuk (3. ábra).
A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikont egy szegmensen lehet megkapni, majd folytatni a teljes definíciós tartományra.
Tekintsük a függvény tulajdonságait:
1) A meghatározás tartománya:
2) Értéktartomány: 
3) Páratlan függvény:
4) A legkisebb pozitív időszak:
5) A grafikon és az x tengellyel való metszéspontjainak koordinátái: 
6) A gráf y tengellyel való metszéspontjának koordinátái:
7) Intervallumok, amelyeken a függvény pozitív értékeket vesz fel:
8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:
9) Növekvő időközök:
10) Csökkenő intervallumok:
11) Mélypontok: 
12) Minimális jellemzők:
13) Legmagasabb pontok: 
14) Maximális jellemzők:
Megvizsgáltuk egy függvény és grafikonjának tulajdonságait. A tulajdonságok ismételten felhasználásra kerülnek a problémák megoldásában.
Bibliográfia
1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Feladatfüzet oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés a 10. évfolyamhoz ( oktatóanyag iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával).-M .: Nevelés, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M .: Oktatás, 1997.
5. Matematikai feladatgyűjtemény műszaki egyetemekre jelentkezők számára (M.I.Skanavi szerkesztésében).-M.: Higher school, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai tréner.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Az algebrai feladatok és az elemzés kezdetei (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára).-M .: Nevelés, 2003.
8. Karp A.P. Az algebrai feladatgyűjtemény és az elemzés kezdetei: tankönyv. pótlék 10-11 cellára. egy mély tanulmány matematika.-M.: Oktatás, 2006.
Házi feladat
Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam (két részben). Feladatfüzet oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
További webes források
3. Oktatási portál vizsgákra készülni ().
Megállapítottuk, hogy a trigonometrikus függvények viselkedése, és a függvények y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére x) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < x < π / 2 .
Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.
Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;
A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk
A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékek táblázatát összeállítanák y = sin x .
1. Az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre osztjuk A kör osztási pontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.
2. A kör első negyede 0-tól ig terjedő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen x Vegyünk egy szakaszt, és osszuk 8 egyenlő részre.
3.Húzzunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket x, és az osztási pontokból visszaállítjuk a merőlegeseket a vízszintes vonalakkal való metszéspontra.
4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.
Most nézzük az intervallumot π /
2
<
x <
π
.
Minden argumentum értéke x ebből az intervallumból úgy ábrázolható
x = π / 2 + φ
ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint
bűn( π / 2 + φ ) = cos φ = bűn ( π / 2 - φ ).
Tengelypontok x abszcisszával π / 2 + φ és π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül x abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi a függvény grafikonjának elkészítését y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban x = π / 2 .
Most használja az ingatlant páratlan függvény y \u003d sin x,
bűn(- x) = -sin x,
ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].
Az y \u003d sin x függvény periodikus, 2π periódussal ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának felépítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .
Az így kapott görbét ún szinuszos . Ez a függvény grafikonja y = sin x.
Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amelyeket korábban mi is bebizonyítottunk. Emlékezzen ezekre a tulajdonságokra.
1) Funkció y = sin x minden értékre definiálva x , így a tartománya az összes valós szám halmaza.
2) Funkció y = sin x korlátozott. Az összes szükséges érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Ezért ennek a függvénynek a tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < nál nél < 1. Mikor x = π / 2 + 2k π a függvény a legnagyobb értékeket 1-gyel veszi fel, és x = - esetén π / 2 + 2k π - a legkisebb értékek egyenlőek -1-gyel.
3) Funkció y = sin x páratlan (a szinusz szimmetrikus az origóhoz képest).
4) Funkció y = sin x periodikus a 2. periódussal π .
5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < x < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. x = k esetén π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) a függvény nulláinak nevezzük y = sin x
6) Időközönként - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.
Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sin x a pont közelében x = 0 .
Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;
sin2° = bűn π 2 / 180=bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Meg kell azonban jegyezni, hogy az x bármely értéke esetén
| bűn x| < | x | . (1)
Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a /
AOB = x.
Aztán bűn x= AC. De AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő x, mivel a kör sugara 1. Tehát 0 esetén< x < π / 2
bűn x< х.
Ezért a függvény páratlansága miatt y = sin x könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < x < 0
| bűn x| < | x | .
Végül at x = 0
| sin x | = | x |.
Így a | x | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodik. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | | bűn x | < 1, a π / 2 > 1
Feladatok
1.A funkció ütemezése szerint y = sin x határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).
2. Ütemezés funkció y = sin x
határozza meg, melyik szám az intervallumból
[ - π /
2 ,
π /
2
] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.
3. Ütemezett funkció y = sin x
határozza meg, hogy mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2 .
4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").
Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.
Kézikönyvek és szimulátorok az "Integral" online áruházban az 1C 10. osztályhoz
Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív építési feladatok 7-10
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Mit fogunk tanulni:
Srácok, már találkoztunk trigonometrikus függvények numerikus argumentum. Emlékszel rájuk?
Nézzük meg közelebbről az Y=sin(X) függvényt
Írjuk fel ennek a függvénynek néhány tulajdonságát:
1) A definíciós tartomány a valós számok halmaza.
2) A függvény páratlan. Emlékezzünk vissza a páratlan függvény definíciójára. Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha az egyenlőség igaz: y(-x)=-y(x). Ahogyan a szellemképletekből emlékszünk: sin(-x)=-sin(x). A definíció teljesül, így Y=sin(X) páratlan függvény.
3) Az Y=sin(X) függvény növekszik az intervallumon, és csökken a [π/2; π]. Amikor az első negyed mentén haladunk (az óramutató járásával ellentétes irányban), az ordináta nő, ha pedig a második negyed mentén haladunk, akkor csökken.
4) Az Y=sin(X) függvény alulról és felülről korlátos. Ez az ingatlan abból következik, hogy
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) A függvény legkisebb értéke -1 (x = - π/2+ πk esetén). A függvény legnagyobb értéke 1 (x = π/2+ πk esetén).
Használjuk az 1-5 tulajdonságokat az Y=sin(X) függvény ábrázolására. A gráfunkat szekvenciálisan készítjük el, tulajdonságainkat alkalmazva. Kezdjük a grafikon felépítését a szegmensen.
Speciális figyelemérdemes odafigyelni a méretarányra. Az ordináta tengelyen kényelmesebb egyetlen szegmenst venni, amely egyenlő 2 cellával, és az abszcissza tengelyen - egyetlen szegmenst (két cellát), amely egyenlő π / 3-mal (lásd az ábrát).
_2.png)
Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmensünkön:
_3.png)
Készítsünk grafikont pontjainkra, figyelembe véve a harmadik tulajdonságot.
_4.png)
Használjuk a második tulajdonságot, amely azt mondja, hogy a függvényünk páratlan, ami azt jelenti, hogy szimmetrikusan tükrözhető az origóra:
_5.png)
Tudjuk, hogy sin(x+ 2π) = sin(x). Ez azt jelenti, hogy a [- π; π] gráf ugyanúgy néz ki, mint a [π; 3π] vagy vagy [-3π; - pi] és így tovább. Marad hátra, hogy gondosan átrajzoljuk az előző ábrán látható grafikont a teljes x tengelyen.
_6.png)
Az Y=sin(X) függvény grafikonját szinuszosnak nevezzük.
Írjunk még néhány tulajdonságot a felépített gráf szerint:
6) Az Y=sin(X) függvény bármely alakú szegmensén növekszik: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k egész szám, és a következő alak bármely szegmensén csökken: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k egy egész szám.
7) Az Y=sin(X) függvény folytonos függvény. Nézzük meg a függvény grafikonját, és győződjünk meg arról, hogy a függvényünkben nincs törés, ez folytonosságot jelent.
8) Értéktartomány: szegmens [- 1; egy]. Ez jól látható a függvény grafikonján is.
9) Az Y=sin(X) függvény periodikus függvény. Nézzük meg újra a grafikont, és nézzük meg, hogy a függvény bizonyos időközönként ugyanazokat az értékeket veszi fel.
1. Oldja meg a sin(x)= x-π egyenletet!
Megoldás: Készítsünk 2 grafikont a függvényből: y=sin(x) és y=x-π (lásd az ábrát).
Grafikonjaink egy A(π; 0) pontban metszik egymást, ez a válasz: x = π
_7.png)
2. Ábrázolja az y=sin(π/6+x)-1 függvényt
Megoldás: A kívánt gráfot úgy kapjuk meg, hogy az y=sin(x) függvény grafikonját π/6 egységgel balra és 1 egységgel lefelé mozgatjuk.
_8.png)
Megoldás: Készítsük el a függvény grafikonját, és vegyük figyelembe a [π/2; 5π/4].
A függvény grafikonja azt mutatja, hogy a legnagyobb és a legkisebb értéket a szakasz végén, a π/2 és 5π/4 pontokon érjük el.
Válasz: sin (π / 2) \u003d 1 - legmagasabb érték, sin(5π/4) = legkisebb érték.
_9.png)
