Láttuk, hogy a deriváltnak számos alkalmazása van: a derivált a mozgás sebessége (vagy általánosabban bármely folyamat sebessége); származéka az lejtő a függvény grafikonjának érintője; a derivált segítségével megvizsgálhatja a függvényt monotonitásra és szélsőségekre; A derivált segít az optimalizálási problémák megoldásában.
De való élet inverz problémákat is meg kell oldani: például az ismert mozgástörvényből a sebesség megtalálásának problémája mellett ott van a mozgástörvény ismert sebességből való visszaállításának problémája is. Tekintsünk egyet ezek közül a problémák közül.
1. példa Egy anyagi pont egyenes vonal mentén mozog, mozgásának sebességét t időpontban az u = tg képlet adja meg. Találd meg a mozgás törvényét.
Megoldás. Legyen s = s(t) a kívánt mozgástörvény. Ismeretes, hogy s"(t) = u"(t). Tehát a probléma megoldásához választanunk kell funkció s = s(t), melynek deriváltja egyenlő tg-vel. Ezt könnyű kitalálni
Azonnal megjegyezzük, hogy a példa helyesen van megoldva, de hiányosan. Azt kaptuk, hogy Valójában a problémának végtelen sok megoldása van: az alak bármely függvénye tetszőleges állandó, mozgástörvényként szolgálhat, mert
A feladat pontosítása érdekében rögzítenünk kellett a kiindulási helyzetet: jelezzük a mozgó pont koordinátáját egy adott időpontban, például t=0-nál. Ha mondjuk s (0) \u003d s 0, akkor az egyenlőségből azt kapjuk, hogy s (0) \u003d 0 + C, azaz S 0 \u003d C. Most a mozgás törvénye egyértelműen meghatározott:
A matematikában reciprok műveleteket rendelnek hozzá különböző nevek, jöjjön létre egy speciális jelölés: például négyzetre emelés (x 2) és kivonás négyzetgyök sine (sinx) és arcszinusz(arcsin x) stb. A származék megtalálásának folyamata tekintetében adott funkciót differenciálásnak nevezzük, az inverz műveletet pedig, azaz. függvény keresésének folyamata adott deriválttal - integrációval.
Maga a „származék” kifejezés „világi módon” igazolható: az y - f (x) függvény „termel a világba” egy új y „= f” függvényt (x) Az y \u003d f (x) függvény úgy viselkedik, mintha "szülő" lenne, de a matematikusok természetesen nem "szülőnek" vagy "termelőnek" nevezik, hanem azt mondják, hogy az y "=f" (x) függvényhez képest ez az elsődleges kép. , vagy röviden az antiderivatív.
1. definíció. Az y \u003d F (x) függvényt az y \u003d f (x) függvény antideriváltjának nevezzük egy adott X intervallumon, ha minden x-re X-ből az F "(x) \u003d f (x) egyenlőség igaz. .
A gyakorlatban az X intervallumot általában nem adják meg, hanem implikálják (mint a függvény természetes tartományát).
Íme néhány példa:
1) Az y \u003d x 2 függvény az y \u003d 2x függvény antideriváltja, mivel minden x esetén az (x 2) "\u003d 2x egyenlőség igaz.
2) az y - x 3 függvény az y-3x 2 függvény antideriváltja, mivel minden x esetén az (x 3)" \u003d 3x 2 egyenlőség igaz.
3) Az y-sinx függvény az y=cosx függvény antideriváltja, mivel minden x-re érvényes a (sinx) "=cosx" egyenlőség.
4) A függvény antiderivált az intervallumon lévő függvényre, mivel minden x > 0 esetén az egyenlőség igaz
Általánosságban elmondható, hogy a származékok keresésére szolgáló képletek ismeretében nem nehéz összeállítani egy táblázatot az antiderivatívek megtalálásához.
Reméljük, megérti a táblázat összeállítását: a második oszlopba írt függvény deriváltja megegyezik az első oszlop megfelelő sorába írt függvényével (nézd meg, ne légy lusta, ez Nagyon hasznos). Például az y \u003d x 5 függvény esetében az antiderivált a függvény (lásd a táblázat negyedik sorát).
Megjegyzések: 1. Az alábbiakban bizonyítjuk azt a tételt, hogy ha y = F(x) egy antideriválta egy y = f(x) függvényre, akkor az y = f(x) függvénynek végtelen sok antideriváltája van, és mindegyik y = F alakú. (x ) + C. Ezért helyesebb lenne, ha a táblázat második oszlopában mindenhová hozzáadnánk a C tagot, ahol C egy tetszőleges valós szám.
2. A rövidség kedvéért néha az "y = F(x) függvény az y = f(x) függvény antideriváltja" kifejezés helyett azt mondják, hogy F(x) az f(x) antideriváltája. ".
2. Az antiderivátumok megtalálásának szabályai
Az antiderivatívák keresésekor, valamint a származékok keresésekor nemcsak képleteket használnak (ezeket a 196. oldalon lévő táblázat tartalmazza), hanem néhány szabályt is. Közvetlenül kapcsolódnak a származékok számításának megfelelő szabályaihoz.
Tudjuk, hogy egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével. Ez a szabály létrehoz egy megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.
1. szabály Egy összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével.
Felhívjuk a figyelmet ennek a megfogalmazásnak némi "könnyedségére". Valójában egy tételt kellene megfogalmazni: ha az y = f(x) és y=g(x) függvényeknek van antideriváltja az X, y-F(x) és y-G(x) intervallumon, akkor az összeg az y = f(x) + g(x) függvények közül az X intervallumon van egy antiderivált, és ez az antiderivált az y = F(x) + G(x) függvény. De általában szabályok (és nem tételek) megfogalmazásakor csak hagyjuk kulcsszavakat- így kényelmesebb a szabály gyakorlati alkalmazása
2. példa Keresse meg az y = 2x + cos x függvény antideriváltját.
Megoldás. A 2x antideriváltja x "; a cosx antideriváltja a sin x. Ezért az y \u003d 2x + cos x függvény antideriváltja az y \u003d x 2 + sin x függvény lesz (és általában a Y forma \u003d x 1 + sinx + C) .
Tudjuk, hogy a konstans tényező kivehető a derivált előjeléből. Ez a szabály létrehoz egy megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.
2. szabály Az antiderivatív előjelből kivehető az állandó tényező.
3. példa
Megoldás. a) A sin x antideriváltja -cos x; így az y \u003d 5 sin x függvénynél az antiderivált az y \u003d -5 cos x függvény lesz.
b) A cos x antideriváltja sin x; így az antiderivatív függvény számára lesz egy függvény
c) Az x 3 antideriváltja az x antideriváltája az y függvény antideriváltja \u003d 1 az y \u003d x függvény. Az antideriválták megtalálásának első és második szabályát használva azt kapjuk, hogy az y \u003d 12x 3 + 8x-1 függvény antideriváltja a függvény
Megjegyzés. Tudniillik egy szorzat deriváltja nem egyenlő a származékok szorzatával (a szorzat megkülönböztetésének szabálya bonyolultabb), a hányados deriváltja pedig nem egyenlő a származékok hányadosával. Ezért nincsenek szabályok a termék antideriváltjának vagy két függvény hányadosának antideriváltjának megtalálására. Légy óvatos!
Még egy szabályt kapunk az antiderivatívek megtalálásához. Tudjuk, hogy az y \u003d f (kx + m) függvény deriváltját a képlet számítja ki
Ez a szabály létrehoz egy megfelelő szabályt az antiderivatívek megtalálásához.
3. szabály Ha y \u003d F (x) az y \u003d f (x) függvény antideriváltja, akkor az y \u003d f (kx + m) függvény antideriváltja a függvény
Valóban,
Ez azt jelenti, hogy az y \u003d f (kx + m) függvény antideriváltja.
A harmadik szabály jelentése a következő. Ha tudja, hogy az y \u003d f (x) függvény antideriváltja az y \u003d F (x) függvény, és meg kell találnia az y \u003d f (kx + m) függvény antideriváltját, akkor a következőképpen járjon el: a következő: vegyük ugyanazt az F függvényt, de az x argumentum helyett helyettesítsük az xx+m kifejezést; ezen kívül ne felejtsük el a függvény előjele elé írni a „korrekciós tényezőt”.
4. példa Keressen antiderivatíveket adott függvényekhez:
Megoldás, a) A sin x antideriváltja -cos x; ez azt jelenti, hogy az y \u003d sin2x függvénynél az antiderivált a függvény lesz
b) A cos x antideriváltja sin x; így az antiderivatív függvény számára lesz egy függvény
c) Az x 7 antideriváltja ezért az y \u003d (4-5x) 7 függvény esetén az antiderivált a függvény lesz
3. Nem határozott integrál
Fentebb már megjegyeztük, hogy egy adott y = f(x) függvény antideriváltjának megtalálásának problémájának több megoldása is van. Beszéljük meg ezt a kérdést részletesebben.
Bizonyíték. 1. Legyen y \u003d F (x) az y \u003d f (x) függvény antideriváltja az X intervallumon. Ez azt jelenti, hogy az X-ből származó összes x esetén az x "(x) \u003d f (x) egyenlőség igaz. Keresse meg bármely y \u003d F (x) + C alakú függvény deriváltját:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).
Tehát (F(x)+C) = f(x). Ez azt jelenti, hogy y \u003d F (x) + C az y \u003d f (x) függvény antideriváltja.
Így bebizonyítottuk, hogy ha az y \u003d f (x) függvénynek van y \u003d F (x) antideriváltja, akkor az (f \u003d f (x) függvénynek végtelen sok antideriváltája van, például a függvény bármely függvénye. y forma \u003d F (x) +C antiderivatív.
2. Most bizonyítsuk be, hogy az antiderivatívák teljes halmaza kimerült a jelzett típusú függvényekben.
Legyen y=F 1 (x) és y=F(x) az Y = f(x) függvény két antideriváltja az X intervallumon. Ez azt jelenti, hogy az X intervallumból származó összes x-re a következő összefüggések érvényesek: F^( x) = f(X); F "(x) \u003d f (x).
Tekintsük az y \u003d F 1 (x) -.F (x) függvényt, és keresse meg a származékát: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Ismeretes, hogy ha egy függvény deriváltja egy X intervallumon azonos nullával, akkor a függvény az X intervallumon állandó (lásd a 35. § 3. tételét). Ezért F 1 (x) -F (x) \u003d C, azaz. Fx) \u003d F (x) + C.
A tétel bizonyítást nyert.
5. példa A sebesség változásának törvénye v = -5sin2t időtől számítva. Határozzuk meg az s = s(t) mozgástörvényt, ha tudjuk, hogy t=0 időpontban a pont koordinátája egyenlő volt az 1,5 számmal (azaz s(t) = 1,5).
Megoldás. Mivel a sebesség a koordináta deriváltja az idő függvényében, először meg kell találnunk a sebesség antideriváltját, azaz. antiderivált a v = -5sin2t függvényre. Az egyik ilyen antiderivatív a függvény, és az összes antiderivatív halmazának a következő alakja van:
A C konstans konkrét értékének megtalálásához a kezdeti feltételeket használjuk, amelyek szerint s(0) = 1,5. Az (1) képletben a t=0, S = 1,5 értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk:
A talált C értéket behelyettesítve az (1) képletbe, megkapjuk a számunkra érdekes mozgástörvényt:
2. definíció. Ha egy y = f(x) függvénynek van egy y = F(x) antideriváltája az X intervallumon, akkor az összes antiderivált halmaz, azaz. az y \u003d F (x) + C alakú függvénykészletet az y \u003d f (x) függvény határozatlan integráljának nevezzük, és jelöljük:
(ezek így olvashatók: „x de x ef határozatlan integrálja”).
A következő részben megtudjuk, mi az rejtett jelentése a feltüntetett megnevezést.
Az ebben a bekezdésben található antiderivált táblázat alapján összeállítjuk az alapvető határozatlan integrálok táblázatát:
Az antideriválták megtalálásának fenti három szabálya alapján meg tudjuk fogalmazni a megfelelő integrációs szabályokat.
1. szabály A függvények összegének integrálja egyenlő az összeggel ezen függvények integráljai:
2. szabály A konstans tényező kivehető az integrál előjelből:
3. szabály Ha egy
6. példa Határozatlan integrálok keresése:
Megoldás, a) Az első és a második integrációs szabály felhasználásával kapjuk:
Most a 3. és 4. integrációs képletet használjuk:
Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
b) A harmadik integrációs szabály és a 8-as képlet felhasználásával kapjuk:
c) Az adott integrál közvetlen meghatározásához nem áll rendelkezésünkre sem a megfelelő képlet, sem a megfelelő szabály. Ilyen esetekben néha az integráljel alatt lévő kifejezés előzetes azonos transzformációi segítenek.
Használjuk trigonometrikus képlet leminősítés:
Aztán egymás után megtaláljuk:
A.G. Mordkovich algebra 10. évfolyam
Naptári tematikus tervezés matematikában, videó- matematikából online, matematikából az iskolában
Az antiderivatívek táblázata
Meghatározás. Az adott intervallumon lévő F(x) függvényt az f(x) függvény antiderivatívájának nevezzük, az ebből az intervallumból származó összes x-re, ha F"(x)=f(x) .
A függvény antideriváltjának megtalálásának műveletét nevezzük integráció. Ez a differenciálódás inverze.
Tétel. Minden intervallumon folytonos (x) függvénynek van egy antideriváltája ugyanazon az intervallumon.
Tétel (az antiderivált fő tulajdonsága). Ha valamelyik intervallumon az F(x) függvény az f(x ) függvény antideriváltja, akkor ezen az intervallumon az f(x) antideriváltja is az F(x)+C függvény lesz, ahol C tetszőleges állandó.
Ebből a tételből az következik, hogy ha f(x)-nek van egy F(x) primitív függvénye egy adott intervallumon, akkor ezek a primitívek halmazok. C-nek tetszőleges numerikus értékeket adva minden alkalommal antiderivatív függvényt kapunk.
A primitívek megtalálásához használja antiderivatívek táblázata. Ezt a származékok táblázatából kapjuk.
A határozatlan integrál fogalma
Meghatározás. Az f(x) függvény összes antiderivált halmazát meghívjuk határozatlan integrálés azt jelöljük.
Itt f(x)-t hívjuk integrand, és f(x) dx - integrand.
Ezért, ha F(x) az f(x) antideriváltja, akkor 
.
A határozatlan integrál tulajdonságai
A határozott integrál fogalma
Tekintsünk egy lapos ábrát, amelyet egy gráf határol, amely folytonos és nem negatív az [a; b] f(x) függvény, szegmens [a; b] , valamint x=a és x=b egyenesek.
A kapott ábrát ún görbe vonalú trapéz. Számítsuk ki a területét.
Ehhez felosztjuk az [a; b] n egyenlő szegmensre. Az egyes szakaszok hossza egyenlő Δx.
Ez egy GeoGebra dinamikus rajz.
A piros elemek cserélhetők
Rizs. 1. A határozott integrál fogalma
Minden szakaszon f(x k-1) magasságú téglalapokat készítünk (1. ábra).
Minden ilyen téglalap területe egyenlő S k = f(x k-1)Δx k .
Az összes ilyen téglalap területe 
.
Ezt az összeget ún integrál összeg f(x) függvényre.
Ha n →∞, akkor az így megszerkesztett ábra területe egyre kevésbé fog eltérni a görbe vonalú trapéz területétől.
Meghatározás. Az integrálösszeg határa n→∞ meghívásakor határozott integrál, és így van írva: 
.
így szól: "integrál a-tól b-ig f-ig xdx-ből"
Az a számot az integráció alsó határának, b az integráció felső határának nevezzük, az [a; b] az integrálási intervallum.
A Határozott Integrál tulajdonságai
Newton-Leibniz képlet
A határozott integrál szorosan összefügg az antiderivált és a határozatlan integrállal Newton-Leibniz képlet
.
Az Integral használata
Az integrálszámítást széles körben használják különféle gyakorlati problémák megoldására. Nézzünk meg néhányat közülük.
Testek térfogatának kiszámítása
|
Legyen adott egy függvény, amely megadja a test keresztmetszeti területét valamely változótól függően S = s(x), x[а; b] . Ekkor ennek a függvénynek a megfelelő határokon belüli integrálásával meg lehet találni egy adott test térfogatát. |
|
| Ha adunk egy testet, amelyet valamilyen f(x) függvény által határolt görbevonalú trapéz Ox tengelye körüli elforgatásával kapunk, x [a; b] . (3. ábra). Ezután a keresztmetszeti területek a jól ismert S \u003d π f 2 (x) képlettel számíthatók ki. Ezért egy ilyen forradalomtest térfogatának képlete |
|
Minden matematikai művelethez van egy fordított művelet. A differenciálás műveletéhez (függvények származékainak megtalálásához) van egy fordított művelet is - az integráció. Az integráció segítségével egy függvényt az adott deriváltja vagy differenciálja alapján találunk (visszaállítunk). A talált függvényt hívjuk primitív.
Meghatározás. Differenciálható funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x) adott intervallumon, ha mindenre x ebből az intervallumból igaz az egyenlőség: F′(x)=f(x).
Példák. Keressen antiderivált függvényeket: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.
1) Mivel (x²)′=2x, akkor definíció szerint az F (x)=x² függvény lesz az f (x)=2x függvény antideriváltja.
2) (sin3x)′=3cos3x. Ha jelöljük f (x)=3cos3x és F (x)=sin3x, akkor az antiderivatív definíciója szerint a következőt kapjuk: F′(x)=f (x), és ezért F (x)=sin3x egy antiderivált, ha f ( x)=3cos3x.
Vegye figyelembe, hogy és (sin3x +5 )′= 3cos3x, és (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... általános formában ezt írhatjuk: (sin3x +C)′= 3cos3x, ahol TÓL TŐL valami állandó érték. Ezek a példák az integráció műveletének kétértelműségéről beszélnek, ellentétben a differenciálással, amikor minden differenciálható függvénynek egyetlen deriváltja van.
Meghatározás. Ha a funkció F(x) a függvény antideriváltja f(x) bizonyos intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antideriváltjának halmaza a következő alakú:
F(x)+C ahol C bármely valós szám.
Az f (x) függvény F (x) + C antideriváltjainak halmazát a vizsgált intervallumon határozatlan integrálnak nevezzük, és a szimbólummal jelöljük. ∫ (integrált jel). Írd le: ∫f (x) dx=F (x)+C.
Kifejezés ∫f(x)dx olvassa el: "az ef integrál x-ből de x-be".
f(x)dx az integráns,
f(x) az integráns,
x az integrációs változó.
F(x) a függvény antideriváltja f(x),
TÓL TŐL valami állandó érték.
Most a figyelembe vett példák a következőképpen írhatók fel:
1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.
Mit jelent a d jel?
d- differenciáljel - kettős célja van: először is ez a jel választja el az integrandust az integrációs változótól; másodszor, minden ez után a jel után alapértelmezés szerint megkülönböztetve van, és megszorozzuk az integrandummal.
Példák. Integrálok keresése: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.
3) Differenciál ikon után d költségeket xx, a R
∫ 2хрdx=px²+С. Hasonlítsa össze a példával 1).
Csináljunk egy ellenőrzést. F′(x)=(px²+C)′=p (x²)′+C′=p 2x=2px=f (x).
4) Differenciál ikon után d költségeket R. Tehát az integrációs változó R, és a szorzó xállandó értéknek kell tekinteni.
∫ 2хрdр=р²х+С. Hasonlítsa össze példákkal 1) és 3).
Csináljunk egy ellenőrzést. F′(p)=(p²x+C)′=x (p²)′+C′=x 2p=2px=f (p).
Az antiderivatív függvények megtalálásának három alapvető szabálya van. Nagyon hasonlóak a megfelelő megkülönböztetési szabályokhoz.
Ha F valamilyen f függvény antideriváltja, G pedig valamilyen g függvény antideriváltája, akkor F + G az f + g antideriváltja.
Az antiderivatív definíciója szerint F' = f. G' = g. És mivel ezek a feltételek teljesülnek, akkor a függvények összegének deriváltjának kiszámítására vonatkozó szabály szerint a következőket kapjuk:
(F + G)' = F' + G' = f + g.
Ha F valamilyen f függvény antideriváltája, és k valamilyen állandó. Ekkor k*F a k*f függvény antideriváltja. Ez a szabály az összetett függvény deriváltjának számítására vonatkozó szabályból következik.
Van: (k*F)’ = k*F’ = k*f.
Ha F(x) az f(x) valamilyen antideriváltja, k és b pedig néhány konstans, és k értéke nem nulla, akkor (1/k)*F*(k*x+b) az antideriváltja lesz f (k*x+b).
Ez a szabály az összetett függvény deriváltjának kiszámítására vonatkozó szabályból következik:
((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).
Nézzünk néhány példát ezeknek a szabályoknak az alkalmazására:
1. példa. megtalálja általános forma az f(x) = x^3 +1/x^2 függvény antideriváltjai. Az x^3 függvénynél az egyik antiderivált az (x^4)/4, az 1/x^2 függvénynél pedig az egyik antiderivált a -1/x függvény lesz. Az első szabályt használva a következőket kapjuk:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
2. példa. Keressük meg az antideriválták általános alakját az f(x) = 5*cos(x) függvényre. A cos(x) függvény esetében az egyik antiderivált a sin(x) függvény lesz. Ha most a második szabályt használjuk, akkor a következőket kapjuk:
F(x) = 5*sin(x).
3. példa Keresse meg az y = sin(3*x-2) függvény egyik antideriváltját. A sin(x) függvény esetében az egyik antiderivált a -cos(x) függvény lesz. Ha most a harmadik szabályt használjuk, akkor az antiderivált kifejezést kapjuk:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
4. példa. Keresse meg az f(x) = 1/(7-3*x)^5 függvény antideriváltját
Az 1/x^5 függvény antideriváltja a (-1/(4*x^4)) függvény lesz. Most a harmadik szabályt használva megkapjuk.
Az integrálok megoldása könnyű feladat, de csak az elit számára. Ez a cikk azoknak szól, akik szeretnének megtanulni megérteni az integrálokat, de keveset vagy semmit nem tudnak róluk. Integrál... Miért van szükség rá? Hogyan kell kiszámolni? Mik azok a határozott és határozatlan integrálok? Ha az integrált egyetlen haszna az, hogy nehezen hozzáférhető helyekről egy integrál ikon formájú kampóval valami hasznosat szerezzen, akkor üdvözlöm! Ismerje meg, hogyan kell megoldani az integrálokat, és miért nem megy nélküle.
Az integráció már ben ismert volt Az ókori Egyiptom. Természetesen nem benne modern forma, de még mindig. Azóta a matematikusok nagyon sok könyvet írtak a témában. Különösen előkelő Newton és Leibniz de a dolgok lényege nem változott. Hogyan lehet a semmiből megérteni az integrálokat? Semmiképpen! A téma megértéséhez továbbra is szüksége lesz a matematikai elemzés alapjainak alapismeretére. Ezeket az alapvető információkat Önről találja meg blogunkban.
Legyen valami funkciónk f(x) .
A függvény határozatlan integrálja f(x) egy ilyen függvényt nevezünk F(x) , melynek deriváltja egyenlő a függvénnyel f(x) .
Más szavakkal, az integrál egy fordított származék vagy antiderivált. By the way, arról, hogyan kell olvasni cikkünkben.
Minden folytonos funkcióhoz létezik antiderivált. Emellett gyakran konstans előjelet adnak az antideriválthoz, mivel a konstansban eltérő függvények származékai egybeesnek. Az integrál megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük.
Egyszerű példa:
Annak érdekében, hogy ne kelljen folyamatosan kiszámítani az elemi függvények antideriváltjait, célszerű ezeket táblázatban összefoglalni, és kész értékeket használni:
Amikor az integrál fogalmával foglalkozunk, végtelenül kicsi mennyiségekkel van dolgunk. Az integrál segít kiszámítani az ábra területét, az áthaladt inhomogén test tömegét egyenetlen mozgásút és így tovább. Emlékeztetni kell arra, hogy az integrál a végtelen összege egy nagy szám végtelenül kicsi kifejezések.
Példaként képzeljük el valamilyen függvény grafikonját. Hogyan találjuk meg egy függvény grafikonja által határolt ábra területét?
Integrál segítségével! Bontsuk fel a függvény koordinátatengelyei és grafikonja által határolt görbe vonalú trapézt infinitezimális szegmensekre. Így az ábra vékony oszlopokra lesz osztva. Az oszlopok területének összege a trapéz területe lesz. De ne feledje, hogy egy ilyen számítás hozzávetőleges eredményt ad. Azonban minél kisebbek és keskenyebbek a szegmensek, annál pontosabb lesz a számítás. Ha olyan mértékben csökkentjük őket, hogy a hosszúság nullára hajlik, akkor a szegmensek területének összege az ábra területéhez fog fordulni. Ez a határozott integrál, amelyet a következőképpen írunk le:
Az a és b pontokat integrációs határoknak nevezzük.
Bari Alibasov és az "Integral" csoport
Apropó! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak
Hogyan kell megoldani a határozatlan integrált? Itt megvizsgáljuk a határozatlan integrál tulajdonságait, amelyek hasznosak lesznek a példák megoldásában.
Azt már megtudtuk, hogy a határozott integrál az összeg határa. De hogyan lehet konkrét értéket kapni egy példa megoldása során? Erre van a Newton-Leibniz képlet:
Az alábbiakban néhány példát tekintünk a határozatlan integrálok megtalálására. Meghívjuk Önt, hogy önállóan értse meg a megoldás bonyolultságát, és ha valami nem világos, tegyen fel kérdéseket a megjegyzésekben.
Az anyag konszolidálásához nézzen meg egy videót az integrálok gyakorlati megoldásáról. Ne essen kétségbe, ha az integrált nem adják meg azonnal. Kérdezd meg, és mindent elmondanak, amit az integrálszámításról tudnak. Segítségünkkel bármilyen hármas vagy görbe vonalú integrál zárt felületen az Ön rendelkezésére áll.
