Ez a cikk az Kiindulópont a differenciálegyenletek elméletének tanulmányozásában. Itt vannak összegyűjtve a főbb meghatározások és fogalmak, amelyek folyamatosan megjelennek a szövegben. A jobb asszimiláció és megértés érdekében a definíciókat példákkal látjuk el.

Differenciálegyenlet (DE)- ez egy egyenlet, amely egy ismeretlen függvényt tartalmaz a derivált vagy differenciál előjele alatt.

Ha az ismeretlen függvény egy változó függvénye, akkor a differenciálegyenletet hívjuk rendes(rövidítve ODE - közönséges differenciálegyenlet). Ha az ismeretlen függvény sok változó függvénye, akkor a differenciálegyenletet hívjuk parciális differenciálegyenlet.

Egy differenciálegyenletben szereplő ismeretlen függvény deriváltjának maximális sorrendjét nevezzük sorrendben differenciálegyenlet .

Itt vannak példák az első, második és ötödik sorrendű ODE-kre

Példákként a másodrendű parciális differenciálegyenletekre mutatjuk be

Továbbá csak az alak n-edrendű közönséges differenciálegyenleteit fogjuk figyelembe venni vagy , ahol Ф(x, y) = 0 egy implicit módon definiált ismeretlen függvény (ha lehetséges, y = f(x) explicit reprezentációban írjuk le).

A differenciálegyenlet megoldásának folyamatát ún a differenciálegyenlet integrálása.

Differenciálegyenlet megoldása- ez implicit adott funkciótФ(x, y) = 0 (bizonyos esetekben az y függvény explicit módon kifejezhető az x argumentumban), ami a differenciálegyenletet azonossággá alakítja.

JEGYZET.

A differenciálegyenlet megoldását mindig egy előre meghatározott X intervallumon keressük.

Miért beszélünk erről külön? Igen, mert sok probléma esetén az X intervallumot nem említik. Vagyis a feladatok feltételét általában a következőképpen fogalmazzák meg: „keress megoldást a közönséges differenciálegyenletre ". Ebben az esetben érthető, hogy a megoldást minden olyan x-re kell keresni, amelyre a kívánt y függvénynek és az eredeti egyenletnek is van értelme.

A differenciálegyenlet megoldását gyakran úgy emlegetik differenciálegyenlet integrál.

Függvények vagy nevezhető egy differenciálegyenlet megoldásának.

A differenciálegyenlet egyik megoldása a függvény. Valójában, ha ezt a függvényt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, megkapjuk az azonosságot . Könnyen belátható, hogy ennek az ODE-nek egy másik megoldása például a . Így a differenciálegyenleteknek számos megoldása lehet.

Differenciálegyenlet általános megoldása a megoldások halmaza, amely kivétel nélkül tartalmazza ennek a differenciálegyenletnek az összes megoldását.

A differenciálegyenlet általános megoldását is ún a differenciálegyenlet általános integrálja.

Térjünk vissza a példához. A differenciálegyenlet általános megoldása vagy alakú, ahol C tetszőleges állandó. Fentebb ennek az ODE-nek két megoldását mutattuk be, amelyeket a differenciálegyenlet általános integráljából kapunk C = 0 és C = 1 helyettesítésével.

Ha egy differenciálegyenlet megoldása kielégíti a kezdetben adott további feltételeket, akkor ún a differenciálegyenlet egy sajátos megoldása.

A differenciálegyenletnek az y(1)=1 feltételt kielégítő sajátos megoldása . Igazán, és .

A differenciálegyenletek elméletének fő problémái a Cauchy-feladatok, a határérték-problémák és a differenciálegyenlet általános megoldásának problémái bármely adott X intervallumon.

Cauchy probléma egy differenciálegyenlet egy adott megoldásának megtalálásának problémája, amely kielégíti az adott dolgot kezdeti feltételek, hol vannak a számok.

Határ probléma a másodrendű differenciálegyenlet olyan megoldásának problémája, amely további feltételeket is kielégít az x 0 és x 1 határpontokban:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, ahol f 0 és f 1 adott számok.

A határérték problémát gyakran ún határérték probléma.

Egy n-edrendű közönséges differenciálegyenletet nevezünk lineáris, ha alakja , és az együtthatók az x argumentum folytonos függvényei az integrációs intervallumon.

Gyakran csak egy említés differenciál egyenletek kényelmetlenséget okoz a tanulóknak. Miért történik ez? Leggyakrabban azért, mert az anyag alapjainak tanulmányozásakor ismerethiány keletkezik, amely miatt a difúrok további tanulmányozása egyszerűen kínzássá válik. Semmi sem világos, mit tegyünk, hogyan döntsük el, hol kezdjem?

Megpróbáljuk azonban megmutatni, hogy a difur nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik.

Differenciálegyenletek elméletének alapfogalmai

Az iskolából ismerjük a legegyszerűbb egyenleteket, amelyekben meg kell találnunk az ismeretlen x-et. Valójában differenciál egyenletek csak kissé különbözik tőlük – változó helyett x funkciót kell találniuk y(x) , ami az egyenletet azonossággá alakítja.

D differenciál egyenletek nagy gyakorlati jelentőséggel bírnak. Ez nem elvont matematika, aminek semmi köze a minket körülvevő világhoz. A differenciálegyenletek segítségével számos valós természeti folyamatot írnak le. Például a húrrezgések, a harmonikus oszcillátor mozgása, differenciálegyenletek segítségével a mechanika problémáiban, meghatározza a test sebességét és gyorsulását. Is DU széles körben használják a biológiában, kémiában, közgazdaságtanban és sok más tudományban.

Differenciálegyenlet (DU) egy egyenlet, amely az y(x) függvény deriváltjait, magát a függvényt, független változókat és egyéb paramétereket tartalmazza különféle kombinációkban.

Sokféle differenciálegyenlet létezik: közönséges differenciálegyenletek, lineáris és nemlineáris, homogén és nem homogén, első és magasabb rendű differenciálegyenletek, parciális differenciálegyenletek stb.

A differenciálegyenlet megoldása egy függvény, amely azt azonossággá alakítja. A távirányítónak vannak általános és speciális megoldásai.

A differenciálegyenlet általános megoldása azoknak az általános megoldásoknak a halmaza, amelyek az egyenletet azonossággá alakítják. A differenciálegyenlet speciális megoldása olyan megoldás, amely kielégíti a kezdetben meghatározott további feltételeket.

Egy differenciálegyenlet sorrendjét a benne foglalt deriváltok legmagasabb rendje határozza meg.

Közönséges differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek egy független változót tartalmazó egyenletek.

Tekintsük a legegyszerűbb, elsőrendű közönséges differenciálegyenletet. Úgy néz ki:

Ez az egyenlet egyszerűen integrálásával megoldható jobb oldal.

Példák az ilyen egyenletekre:

Elválasztható változó egyenletek

Általában az ilyen típusú egyenlet így néz ki:

Íme egy példa:

Egy ilyen egyenlet megoldásához el kell választani a változókat, és formába kell hozni:

Ezt követően marad mindkét alkatrész integrálása és a megoldás megszerzése.

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az ilyen egyenletek a következő formában jelennek meg:

Itt p(x) és q(x) a független változó néhány függvénye, és y=y(x) a szükséges függvény. Íme egy példa egy ilyen egyenletre:

Egy ilyen egyenlet megoldása során leggyakrabban egy tetszőleges állandó variációs módszerét alkalmazzák, vagy a kívánt függvényt két másik függvény szorzataként ábrázolják: y(x)=u(x)v(x).

Az ilyen egyenletek megoldásához bizonyos előkészületekre van szükség, és meglehetősen nehéz lesz őket „szeszélyből” venni.

Példa egy DE megoldására elválasztható változókkal

Tehát megvizsgáltuk a távirányítók legegyszerűbb típusait. Most vessünk egy pillantást ezek közül. Legyen ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet.

Először átírjuk a származékot egy ismertebb formában:

Ezután szétválasztjuk a változókat, azaz az egyenlet egyik részében összegyűjtjük az összes „játékot”, a másikban pedig az „xeket”:

Most a két rész integrálása van hátra:

Integrálunk és kapunk közös döntés adott egyenlet:

Természetesen a differenciálegyenletek megoldása egyfajta művészet. Képesnek kell lennie megérteni, hogy egy egyenlet milyen típushoz tartozik, és azt is meg kell tanulnia, hogy milyen átalakításokat kell végrehajtania vele annak érdekében, hogy ilyen vagy olyan formába hozza, nem beszélve a megkülönböztetés és az integráló képességről. És gyakorlat kell (mint mindenhez), hogy sikerüljön megoldani a DE-t. És ha van Ebben a pillanatban nincs idő foglalkozni azzal, hogyan oldják meg a differenciálegyenleteket, vagy a Cauchy-probléma úgy emelkedett, mint egy csont a torokban, vagy nem tudja, forduljon szerzőinkhez. NÁL NÉL rövid idő készen állunk részletes megoldás, hogy megértse a részleteket, amelyek bármikor kényelmesek az Ön számára. Addig is javasoljuk, hogy nézzen meg egy videót "A differenciálegyenletek megoldása" témában:

Közönséges differenciálegyenlet egyenletnek nevezzük, amely egy független változót, ennek a változónak egy ismeretlen függvényét és különböző rendű deriváltjait (vagy differenciáljait) kapcsolja össze.

A differenciálegyenlet sorrendje a benne foglalt legmagasabb származék sorrendje.

A közönségesek mellett a parciális differenciálegyenleteket is tanulmányozzák. Ezek független változókra vonatkozó egyenletek, ezeknek a változóknak egy ismeretlen függvénye és részleges deriváltjai ugyanazon változókra vonatkoztatva. De csak mérlegelni fogjuk közönséges differenciálegyenletek és ezért a rövidség kedvéért elhagyjuk a "közönséges" szót.

Példák differenciálegyenletekre:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Az (1) egyenlet negyedrendű, a (2) egyenlet harmadrendű, a (3) és (4) egyenlet másodrendű, az (5) egyenlet elsőrendű.

Differenciálegyenlet n A sorrendnek nem kell kifejezetten tartalmaznia egy függvényt, annak összes származékát az elejétől az elejéig n rendű és független változó. Előfordulhat, hogy nem tartalmaz kifejezetten egyes rendek származékait, függvényt, független változót.

Például az (1) egyenletben egyértelműen nincsenek harmad- és másodrendű származékok, valamint függvények; a (2) egyenletben - másodrendű derivált és függvény; a (4) egyenletben - független változó; az (5) egyenletben - függvények. Csak a (3) egyenlet tartalmazza kifejezetten az összes deriváltot, a függvényt és a független változót.

A differenciálegyenlet megoldásával bármelyik függvényt meghívjuk y = f(x), amelyet az egyenletbe behelyettesítve identitássá válik.

A differenciálegyenlet megoldásának folyamatát nevezzük annak integráció.

1. példa Keress megoldást a differenciálegyenletre!

Megoldás. Ezt az egyenletet a formába írjuk. A megoldás az, hogy a függvényt deriváltja alapján keressük meg. Az eredeti függvény, amint az integrálszámításból ismeretes, az antiderivált, azaz.

Az az ami az adott differenciálegyenlet megoldása . változik benne C, különböző megoldásokat fogunk kapni. Megállapítottuk, hogy egy elsőrendű differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van.

A differenciálegyenlet általános megoldása n A sorrend az ismeretlen függvényre explicit módon kifejezett és tartalmazó megoldás n független tetszőleges állandók, pl.

Az 1. példában szereplő differenciálegyenlet megoldása általános.

A differenciálegyenlet részleges megoldása megoldását hívják, amelyben meghatározott számértékeket rendelnek tetszőleges állandókhoz.

2. példa Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását és egy konkrét megoldását .

Megoldás. Az egyenlet mindkét részét annyiszor integráljuk, hogy a differenciálegyenlet sorrendje egyenlő legyen.

,

.

Ennek eredményeként az általános megoldást kaptuk -

adott harmadrendű differenciálegyenlet.

Most keressünk egy adott megoldást a megadott feltételek mellett. Ehhez tetszőleges együtthatók helyett helyettesítjük értékeiket, és megkapjuk

.

Ha a differenciálegyenlet mellett a kezdeti feltételt alakban adjuk meg, akkor egy ilyen feladatot ún. Cauchy probléma . Az és értékeket behelyettesítjük az egyenlet általános megoldásába és egy tetszőleges állandó értékét találjuk C, majd a talált érték egyenletének adott megoldása C. Ez a megoldás a Cauchy-problémára.

3. példa Oldja meg a Cauchy-feladatot az 1. példában szereplő differenciálegyenlethez a feltétel mellett.

Megoldás. Az általános megoldásba behelyettesítjük a kezdeti feltétel értékeit y = 3, x= 1. Azt kapjuk

Felírjuk a Cauchy-feladat megoldását az adott elsőrendű differenciálegyenletre:

A differenciálegyenletek megoldása, még a legegyszerűbbek is, jó készségeket igényel az integrálásban és a deriváltak felvételében, beleértve az összetett függvényeket is. Ez látható a következő példában.

4. példa Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!

Megoldás. Az egyenlet olyan formában van felírva, hogy mindkét oldal azonnal integrálható legyen.

.

Az integráció módszerét alkalmazzuk a változó megváltoztatásával (helyettesítés). Akkor hagyd.

Elvétele kötelező dxés most - figyelem - egy komplex függvény differenciálási szabályai szerint tesszük, hiszen xés van egy összetett függvény ("alma" - kivonat négyzetgyök vagy ami ugyanaz, az "egy másodperc" erejéig emelve, és a "darált hús" a gyökér alatti kifejezés:

Megtaláljuk az integrált:

Visszatérve a változóhoz x, kapunk:

.

Ez az elsőfokú differenciálegyenlet általános megoldása.

Nem csak az előző részekből származó készségek felsőbb matematika szükséges lesz a differenciálegyenletek megoldásában, de az elemi, vagyis az iskolai matematikából származó készségekre is szükség lesz. Mint már említettük, bármilyen sorrendű differenciálegyenletben nem lehet független változó, azaz változó x. Az iskolapadból el nem felejtett (bár akinek van ilyen) arányismerete segít megoldani ezt a problémát. Ez a következő példa.

Elsőrendű differenciálegyenletek. Megoldási példák.
Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Differenciálegyenletek (DE). Ez a két szó általában megrémíti az átlagos laikusokat. A differenciálegyenletek felháborítónak és nehezen elsajátíthatónak tűnnek sok diák számára. Úúúú… differenciálegyenletek, hogyan élném túl ezt az egészet?!

Az ilyen vélemény és hozzáállás alapvetően téves, mert valójában A DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK EGYSZERŰEK ÉS MÉG SZÓRAKOZÁSOK. Mit kell tudni és meg kell tudni tanulni a differenciálegyenletek megoldásához? A diffúrok sikeres tanulmányozásához jól kell tudnod integrálni és megkülönböztetni. Minél jobban tanulmányozzák a témákat Egy változó függvényének deriváltjaés Határozatlan integrál, annál könnyebb lesz megérteni a differenciálegyenleteket. Többet mondok, ha többé-kevésbé tisztességes beilleszkedési készséged van, akkor gyakorlatilag elsajátított a téma! Minél több integrál különféle típusok tudod, hogyan dönts – annál jobb. Miért? Sokat kell integrálni. És megkülönböztetni. Is erősen ajánlott tanulni találni.

Az esetek 95%-ában be ellenőrzési munka 3 típusú elsőrendű differenciálegyenlet létezik: szétválasztható egyenletek, amellyel ebben a leckében foglalkozunk; homogén egyenletekés lineáris inhomogén egyenletek. A diffúzorok tanulmányozásában kezdőknek azt tanácsolom, hogy olvassa el a leckéket ebben a sorrendben, és az első két cikk tanulmányozása után nem árt, ha megszilárdítja készségeit egy további műhelyben - homogénre redukáló egyenletek.

Vannak még ritkább típusú differenciálegyenletek: teljes differenciálegyenletek, Bernoulli-egyenletek és néhány más. Az utolsó két típus közül a legfontosabbak a teljes differenciálegyenletek, mivel ezen a DE-n kívül úgy gondolom, új anyag – részleges integráció.

Ha már csak egy-két napod van hátra, akkor az ultragyors elkészítéshez van villámpálya pdf formátumban.

Szóval, a tereptárgyak készen vannak – gyerünk:

Először idézzük fel a szokásos algebrai egyenleteket. Változókat és számokat tartalmaznak. A legegyszerűbb példa: . Mit jelent egy közönséges egyenlet megoldása? Ez azt jelenti, hogy megtaláljuk számkészlet amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Könnyen belátható, hogy a gyerekek egyenletének egyetlen gyöke van: . A szórakozás kedvéért végezzünk egy ellenőrzést, cseréljük be a talált gyökeret az egyenletünkbe:

- a helyes egyenlőséget kapjuk, ami azt jelenti, hogy a megoldás helyesen található.

A diffúzok nagyjából ugyanúgy vannak elrendezve!

Differenciálegyenlet első rendelés ban ben általános eset tartalmaz:
1) független változó ;
2) függő változó (függvény);
3) a függvény első deriváltja: .

Egyes elsőrendű egyenletekben előfordulhat, hogy nincs "x" vagy (és) "y", de ez nem lényeges - fontosígy a DU-ban volt első származéka, és nem volt magasabb rendű származékai - stb.

Mit jelent ? Differenciálegyenletet megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk összes funkció készlete amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Az ilyen függvényhalmaznak gyakran van alakja ( egy tetszőleges állandó), amelyet ún a differenciálegyenlet általános megoldása.

1. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Teljes lőszer. Hol kezdjem megoldás?

Először is át kell írni a származékot egy kicsit más formában. Emlékeztetünk arra a nehézkes jelölésre, amelyet valószínűleg sokan nevetségesnek és szükségtelennek tartottatok. Ez az, ami a diffúzorokban uralkodik!

A második lépésben nézzük meg, lehetséges-e osztott változók? Mit jelent a változók szétválasztása? Durván mondva, a bal oldalon el kell mennünk csak "játékok", a a jobb oldalon szervez csak x-ek. A változók szétválasztása „iskolai” manipulációk segítségével történik: zárójelek, kifejezések átvitele részről részre előjelváltással, tényezők átvitele részről részre az arányosság szabálya szerint stb.

Differenciálok és teljes szorzók és aktív résztvevők az ellenségeskedésben. Ebben a példában a változók könnyen elválaszthatók átfordítási tényezőkkel az arányosság szabálya szerint:

A változók el vannak választva. A bal oldalon - csak "Játék", a jobb oldalon - csak "X".

Következő szint - differenciálegyenlet-integráció. Egyszerű, mindkét részre integrált akasztunk:

Természetesen integrálókat kell venni. NÁL NÉL ez az eset táblázatosak:

Mint emlékszünk, minden antiderivatívhoz konstans van hozzárendelve. Itt két integrál van, de elég egyszer felírni a konstanst (mert egy állandó + egy konstans még mindig egyenlő egy másik állandóval). A legtöbb esetben a jobb oldalon van elhelyezve.

Szigorúan véve az integrálok felvétele után a differenciálegyenletet megoldottnak tekintjük. Csak az a helyzet, hogy az „y”-ünket nem „x”-en keresztül fejezzük ki, vagyis a megoldást bemutatjuk az implicitben forma. A differenciálegyenlet implicit megoldását ún a differenciálegyenlet általános integrálja. Vagyis az általános integrál.

A válasz ebben a formában teljesen elfogadható, de van-e jobb lehetőség? Próbáljuk megszerezni közös döntés.

Kérem, emlékezzen az első technikára, nagyon elterjedt és gyakran használják gyakorlati feladatokban: ha integrálás után logaritmus jelenik meg a jobb oldalon, akkor sok esetben (de semmiképpen sem mindig!) célszerű a konstanst is a logaritmus alá írni..

vagyis AHELYETT feljegyzéseket általában írnak .

Miért van erre szükség? És azért, hogy könnyebb legyen az „y” kifejezés. A logaritmusok tulajdonságát használjuk . Ebben az esetben:

Most a logaritmusok és a modulok eltávolíthatók:

A funkció kifejezetten megjelenik. Ez az általános megoldás.

Válasz: közös döntés: .

A sok differenciálegyenletre adott válaszok meglehetősen könnyen ellenőrizhetők. A mi esetünkben ez egészen egyszerűen megtörténik, vesszük a megtalált megoldást, és megkülönböztetjük:

Ezután behelyettesítjük a származékot az eredeti egyenletbe:

- megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az általános megoldás kielégíti az egyenletet, amelyet ellenőrizni kellett.

Állandót adni különféle jelentések, végtelenül sokat lehet kapni privát döntések differenciálegyenlet. Nyilvánvaló, hogy a , stb. függvények bármelyike. kielégíti a differenciálegyenletet.

Néha az általános megoldást ún funkciócsalád. NÁL NÉL ezt a példát közös döntés lineáris függvények családja, vagy inkább egyenes arányosságok családja.

Az első példa részletes tárgyalása után helyénvaló válaszolni néhány naiv kérdésre a differenciálegyenletekkel kapcsolatban:

1)Ebben a példában sikerült elkülönítenünk a változókat. Mindig lehetséges ez? Nem mindig. És még gyakrabban a változókat nem lehet szétválasztani. Például be homogén elsőrendű egyenletek először ki kell cserélni. Más típusú egyenletekben, például egy lineáris, nem homogén elsőrendű egyenletben, különféle trükköket és módszereket kell alkalmaznia az általános megoldás megtalálásához. Az elválasztható változó egyenletek, amelyeket az első leckében tárgyalunk, a differenciálegyenletek legegyszerűbb típusai.

2) Mindig lehetséges a differenciálegyenlet integrálása? Nem mindig. Nagyon könnyen lehet olyan "divatos" egyenletet kitalálni, amit nem lehet integrálni, ráadásul vannak integrálok, amiket nem lehet felvenni. De az ilyen DE-k speciális módszerekkel megközelítőleg megoldhatók. D'Alembert és Cauchy garantálja... ...ugh, lurkmore. Sokat olvastam mostanában, majdnem hozzátettem, hogy "a másik világból".

3) Ebben a példában egy megoldást kaptunk általános integrál formájában . Mindig lehet általános megoldást találni az általános integrálból, vagyis az "y"-t kifejezett formában kifejezni? Nem mindig. Például: . Nos, hogyan fejezhetném ki itt az "y"-t?! Ilyen esetekben a választ általános integrálként kell írni. Ráadásul néha lehet általános megoldást találni, de olyan nehézkesen és ügyetlenül van megírva, hogy jobb, ha a választ általános integrál formájában hagyjuk.

4) ...egyelőre talán elég. Az első példában találkoztunk egy másik fontos pont , de azért, hogy ne takarja el a "bábukat" lavina új információ A következő leckére hagyom.

Ne siessünk. Egy másik egyszerű távirányító és egy másik tipikus megoldás:

2. példa

Keresse meg a differenciálegyenletnek azt a megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt

Megoldás: a feltétel szerint meg kell találni privát megoldás DE, amely megfelel egy adott kezdeti feltételnek. Ezt a fajta kérdezősködést is hívják Cauchy probléma.

Először is találunk egy általános megoldást. Az egyenletben nincs „x” változó, de ez nem lehet kínos, a lényeg, hogy az első deriváltja legyen.

A deriváltot átírjuk kívánt formát:

Nyilvánvalóan a változók feloszthatók, a fiúk balra, a lányok jobbra:

Integráljuk az egyenletet:

Az általános integrált megkapjuk. Itt rajzoltam egy konstanst ékezetes csillaggal, az tény, hogy hamarosan egy másik állandóvá változik.

Most megpróbáljuk az általános integrált általános megoldássá alakítani (kifejezetten "y" kifejezést). Emlékszünk a régi, jó iskolára: . Ebben az esetben:

Az indikátor állandója valahogy nem kósernek tűnik, ezért általában az égből a földre süllyesztik. Részletesen, ez így történik. A fokok tulajdonságát felhasználva a függvényt a következőképpen írjuk át:

Ha konstans, akkor valamilyen állandó is, nevezze át a következő betűvel:

Ne feledje, az állandó "lebontása". második technika, amelyet gyakran használnak differenciálegyenletek megoldása során.

Tehát az általános megoldás: Az exponenciális függvények szép családja.

A végső szakaszban meg kell találnia egy adott megoldást, amely megfelel az adott kezdeti feltételnek. Ez is egyszerű.

Mi a feladat? Fel kell venni ilyen a feltételt kielégítő állandó értéke .

Különféleképpen rendezheti, de a legérthetőbb talán így lesz. Az általános megoldásban „x” helyett nullát, „y” helyett kettőt helyettesítünk:



vagyis

Szabványos kiviteli változat:

Most behelyettesítjük a konstans talált értékét az általános megoldásba:
– erre a konkrét megoldásra van szükségünk.

Válasz: privát megoldás:

Csináljunk egy ellenőrzést. Egy adott megoldás ellenőrzése két szakaszból áll:

Először is ellenőrizni kell, hogy a talált konkrét megoldás valóban megfelel-e a kezdeti feltételnek? Az "x" helyett nullát cserélünk, és meglátjuk, mi történik:
- igen, valóban kettőt kaptunk, ami azt jelenti, hogy a kezdeti feltétel teljesül.

A második szakasz már ismerős. A kapott konkrét megoldást vesszük, és megtaláljuk a származékot:

Csere az eredeti egyenletben:

- a megfelelő egyenlőség létrejön.

Következtetés: az adott megoldás helyesen található.

Térjünk át értelmesebb példákra.

3. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Megoldás:Átírjuk a származékot a szükséges formában:

Annak felmérése, hogy a változók elválaszthatók-e? Tud. A második tagot előjelváltással áthelyezzük a jobb oldalra:

És megfordítjuk a tényezőket az arányosság szabálya szerint:

A változók el vannak választva, integráljuk mindkét részt:

Figyelmeztetnem kell, közeleg az ítélet napja. Ha nem tanultál jól határozatlan integrálok, néhány példát megoldott, akkor nincs hova menni - most kell elsajátítanod őket.

A bal oldal integrálja könnyen megtalálható, a kotangens integráljával a leckében figyelembe vett standard technikával foglalkozunk. Trigonometrikus függvények integrálása Az elmúlt évben:

A jobb oldalon van egy logaritmus, és első technikai javaslatom szerint a konstanst is a logaritmus alá kell írni.

Most megpróbáljuk leegyszerűsíteni az általános integrált. Mivel csak logaritmusaink vannak, teljesen lehetséges (és szükséges) megszabadulni tőlük. Használva ismert tulajdonságait maximálisan "pakoljuk" a logaritmusokat. Nagyon részletesen leírom:

A csomagolás úgy készült, hogy barbár módon kopott legyen:

Lehetséges "y" kifejezés? Tud. Mindkét részt négyzet alakúnak kell lennie.

De nem kell.

Harmadik technikai tipp: ha egy általános megoldás eléréséhez hatványra kell emelni vagy gyökeret kell ereszteni, akkor A legtöbb esetben tartózkodnia kell ezektől a cselekvésektől, és a választ általános integrál formájában kell hagynia. Az a tény, hogy az általános megoldás szörnyen fog kinézni - nagy gyökerekkel, jelekkel és egyéb szeméttel.

Ezért a választ általános integrálként írjuk. Jó formának tekinthető, ha alakban jelenítjük meg, vagyis a jobb oldalon lehetőség szerint csak konstanst hagyjunk meg. Ezt nem kötelező megtenni, de mindig előnyös a professzor kedvében járni ;-)

Válasz:általános integrál:

! Jegyzet: bármely egyenlet általános integrálja többféleképpen is felírható. Tehát, ha az eredménye nem esik egybe egy korábban ismert válasszal, akkor ez nem jelenti azt, hogy rosszul oldotta meg az egyenletet.

Az általános integrál is elég könnyen ellenőrizhető, a lényeg, hogy megtaláljuk egy implicit módon definiált függvény deriváltja. Megkülönböztetjük a választ:

Mindkét kifejezést megszorozzuk a következővel:

És elosztjuk:

Az eredeti differenciálegyenletet pontosan megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

4. példa

Keresse meg a differenciálegyenletnek azt a megoldását, amely kielégíti a kezdeti feltételt. Futtasson ellenőrzést.

Ez egy „csináld magad” példa.

Emlékeztetlek arra, hogy az algoritmus két szakaszból áll:
1) általános megoldás megtalálása;
2) a szükséges konkrét megoldás megtalálása.

Az ellenőrzést szintén két lépésben hajtják végre (lásd a mintát a 2. példában), szüksége lesz:
1) győződjön meg arról, hogy a talált konkrét megoldás megfelel a kezdeti feltételnek;
2) ellenőrizze, hogy egy adott megoldás általában kielégíti-e a differenciálegyenletet.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

5. példa

Keresse meg egy differenciálegyenlet konkrét megoldását , amely kielégíti a kezdeti feltételt. Futtasson ellenőrzést.

Megoldás: Először keressünk egy általános megoldást, ez az egyenlet már tartalmaz kész differenciálokat és , ami azt jelenti, hogy a megoldás egyszerűsített. Változók elválasztása:

Integráljuk az egyenletet:

A bal oldali integrál táblázatos, a jobb oldali integrált vettük a függvény összegzésének módja a differenciál jele alatt:

Az általános integrált megkaptuk, sikeresen kifejezhető az általános megoldás? Tud. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk. Mivel pozitívak, a modulo jelek redundánsak:

(remélem mindenki érti az átalakulást, ilyeneket már tudni kell)

Tehát az általános megoldás:

Keressünk egy adott megoldást, amely megfelel az adott kezdeti feltételnek.
Az általános megoldásban „x” helyett nullát, „y” helyett pedig kettő logaritmusát helyettesítjük:

Ismertebb dizájn:

A konstans talált értékét behelyettesítjük az általános megoldásba.

Válasz: privát megoldás:

Ellenőrzés: Először ellenőrizze, hogy teljesül-e a kezdeti feltétel:
- minden jó.

Most nézzük meg, hogy a talált konkrét megoldás egyáltalán kielégíti-e a differenciálegyenletet. Megtaláljuk a származékot:

Nézzük az eredeti egyenletet: – differenciálokban jelenik meg. Az ellenőrzésnek két módja van. Lehetőség van a különbség kifejezésére a talált deriválttól:

A talált konkrét megoldást és a kapott differenciált behelyettesítjük az eredeti egyenletbe :

Az alapvető logaritmikus azonosságot használjuk:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az adott megoldást helyesen találjuk meg.

Az ellenőrzés második módja tükrözött és ismerősebb: az egyenletből fejezzük ki a származékot, ehhez elosztjuk az összes darabot:

A transzformált DE-ben pedig a kapott partikuláris megoldást és a talált deriváltot helyettesítjük. Az egyszerűsítések eredményeként a helyes egyenlőséget is el kell érni.

6. példa

Oldja meg a differenciálegyenletet! Fejezd ki a választ általános integrálként!

Ez egy példa az önálló megoldásra, teljes megoldásra és válaszadásra a lecke végén.

Milyen nehézségek várnak elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletek megoldása során?

1) Nem mindig nyilvánvaló (főleg egy teáskannánál), hogy a változók elválaszthatók. Vegyünk egy feltételes példát: . Itt ki kell venni a tényezőket a zárójelből: és el kell választani a gyökereket:. Hogy hogyan tovább, az világos.

2) Magában az integrációban jelentkező nehézségek. Az integrálok gyakran nem a legegyszerűbbek, és ha vannak hibák a keresési készségekben határozatlan integrál, akkor sok diffúzorral nehéz lesz. Ráadásul a gyűjtemények és kézikönyvek fordítói népszerűek a „mivel a differenciálegyenlet egyszerű, akkor legalább az integrálok bonyolultabbak” logikával.

3) Átalakítások állandóval. Amint azt mindenki észrevette, a differenciálegyenletek állandója meglehetősen szabadon kezelhető, és néhány transzformáció nem mindig egyértelmű a kezdő számára. Nézzünk egy másik hipotetikus példát: . Ebben tanácsos az összes kifejezést megszorozni 2-vel: . Az eredményül kapott állandó is valamiféle állandó, amelyet a következővel jelölhetünk: . Igen, és mivel a jobb oldalon van egy logaritmus, célszerű az állandót másik állandóként átírni: .

Az a baj, hogy gyakran nem foglalkoznak az indexekkel, és ugyanazt a betűt használják. Ennek eredményeként a döntési jegyzőkönyv a következő formában jelenik meg:

Milyen eretnekség? Itt vannak a hibák! Szigorúan véve igen. Azonban tartalmi szempontból nincs hiba, mert egy változó állandó transzformációja eredményeként mégis változó állandót kapunk.

Vagy egy másik példa, tegyük fel, hogy az egyenlet megoldása során általános integrált kapunk. Ez a válasz csúnyán néz ki, ezért tanácsos az egyes kifejezések előjelét megváltoztatni: . Formálisan ismét hiba van - a jobb oldalon azt kell írni. De informálisan arra utalnak, hogy a „mínusz ce” továbbra is állandó ( ami éppúgy felvesz bármilyen értéket!), így a "mínusz" beírásának nincs értelme, és ugyanazt a betűt használhatja.

Megpróbálom elkerülni a figyelmetlen megközelítést, és a konstansokhoz továbbra is különböző indexeket írok le a konvertálás során.

7. példa

Oldja meg a differenciálegyenletet! Futtasson ellenőrzést.

Megoldás: Ez az egyenlet megengedi a változók szétválasztását. Változók elválasztása:

Integráljuk:

A konstanst itt nem kell logaritmus alatt definiálni, mert abból semmi jó nem sül ki.

Válasz:általános integrál:

Ellenőrzés: A válasz megkülönböztetése (implicit függvény):

Megszabadulunk a törtektől, ehhez mindkét tagot megszorozzuk:

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

8. példa

Keresse meg a DE egy adott megoldását.
,

Ez egy „csináld magad” példa. Az egyetlen tipp az, hogy itt egy általános integrált kapunk, és helyesebben kell kitalálniuk, hogy ne egy konkrét megoldást találjunk, hanem privát integrál. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Differenciálegyenletek megoldása. Köszönet a miénknek online szolgáltatás bármilyen típusú és bonyolultságú differenciálegyenletet megoldhat: inhomogén, homogén, nemlineáris, lineáris, első, másodrendű, elválasztható változókkal vagy anélkül stb. A differenciálegyenletek megoldását analitikus formában kapja meg -val Részletes leírás. Sokakat érdekel: miért szükséges a differenciálegyenleteket online megoldani? Ez a típus Az egyenletek nagyon gyakoriak a matematikában és a fizikában, ahol lehetetlen lesz sok problémát megoldani differenciálegyenlet kiszámítása nélkül. Ezenkívül a differenciálegyenletek gyakoriak a közgazdaságtanban, az orvostudományban, a biológiában, a kémiában és más tudományokban. Egy ilyen egyenlet online megoldása nagyban megkönnyíti a feladatait, lehetővé teszi az anyag jobb megértését és önmaga tesztelését. A differenciálegyenletek online megoldásának előnyei. A modern matematikai szolgáltatás lehetővé teszi differenciálegyenletek megoldását online bármelyik nehézségek. Mint tudod, van nagyszámú különböző típusú differenciálegyenleteket, és mindegyiknek megvan a maga megoldási módja. Szolgáltatásunkon online megtalálhatja bármilyen sorrendű és típusú differenciálegyenletek megoldását. A megoldás megszerzéséhez javasoljuk, hogy töltse ki a kezdeti adatokat, és kattintson a "Megoldás" gombra. A szolgáltatás működésében fellépő hibák kizártak, így Ön 100%-ig biztos lehet benne, hogy a helyes választ kapta. Oldja meg a differenciálegyenleteket szolgáltatásunkkal. Oldja meg a differenciálegyenleteket online. Alapértelmezés szerint egy ilyen egyenletben az y függvény az x változó függvénye. De beállíthatja saját változó megnevezését is. Például, ha megadja az y(t)-t egy differenciálegyenletben, akkor szolgáltatásunk automatikusan megállapítja, hogy y a t változó függvénye. A teljes differenciálegyenlet sorrendje az egyenletben szereplő függvény deriváltjának maximális sorrendjétől függ. Egy ilyen egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk a kívánt függvényt. Szolgáltatásunk segít differenciálegyenletek online megoldásában. Nem sok erőfeszítést igényel az egyenlet megoldása. Csak be kell írnia az egyenlet bal és jobb részét a szükséges mezőkbe, és kattintson a "Megoldás" gombra. Egy függvény deriváltjának megadásakor aposztrófpal kell jelölni. Pillanatok alatt kész, részletes megoldása lesz a differenciálegyenletre. Szolgáltatásunk teljesen ingyenes. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal. Ha egy differenciálegyenletben a bal oldalon van egy y-tól függő kifejezés, a jobb oldalon pedig egy x-től függő kifejezés, akkor egy ilyen differenciálegyenletet elválasztható változókkal hívunk meg. A bal oldalon lehet y deriváltja, az ilyen típusú differenciálegyenletek megoldása y függvénye lesz, az egyenlet jobb oldalának integráljával kifejezve. Ha a bal oldalon van y függvényének differenciálja, akkor az egyenlet mindkét része integrálva van. Ha a differenciálegyenletben a változók nincsenek elválasztva, akkor szét kell osztani őket, hogy elkülönített differenciálegyenletet kapjunk. Lineáris differenciálegyenlet. Egy differenciálegyenletet lineárisnak nevezünk, ha a függvény és annak összes deriváltja elsőfokú. Általános forma egyenletek: y'+a1(x)y=f(x). f(x) és a1(x) x folytonos függvényei. Az ilyen típusú differenciálegyenletek megoldása két, egymástól elválasztott változókkal rendelkező differenciálegyenlet integrálására redukálódik. A differenciálegyenlet sorrendje. A differenciálegyenlet lehet első, második, n-edrendű. A differenciálegyenlet sorrendje határozza meg a benne található legmagasabb derivált sorrendjét. Szolgáltatásunkban online differenciálegyenleteket oldhat meg az első, második, harmadik stb. rendelés. Az egyenlet megoldása bármely y=f(x) függvény lesz, amelyet az egyenletbe behelyettesítve azonosságot kapunk. A differenciálegyenlet megoldásának folyamatát integrációnak nevezzük. Cauchy probléma. Ha magán a differenciálegyenleten kívül az y(x0)=y0 kezdeti feltétel is megadásra kerül, akkor ezt Cauchy-problémának nevezzük. Az y0 és x0 mutatókat hozzáadjuk az egyenlet megoldásához, és meghatározzuk egy tetszőleges C állandó értékét, majd az egyenlet egy adott megoldását erre a C értékre. Ez a Cauchy-probléma megoldása. A Cauchy-problémát peremfeltételekkel kapcsolatos problémának is nevezik, ami nagyon gyakori a fizikában és a mechanikában. Lehetősége van a Cauchy-probléma beállítására is, vagyis az egyenlet összes lehetséges megoldása közül válassza ki azt, amelyik megfelel az adott kezdeti feltételeknek.