„Összehasonlító végzettség” – Ugyanabban a lyukban élt egy görény. N.f. Okos + TÖBB - okosabb N.f. Okos + KEVESEBB - kevésbé okos. Szerep egy mondatban. Kevésbé fürge kutyáink elmennek szurkolni az egereknek a versenyeken. Önkormányzati oktatási intézmény "Elgai Alapfokú Középiskola". A hörcsög fürgébb, mint egy kiskutya. Valahogy elrángatta a cipőnket egy kevésbé fürge szomszéd kiskutyája.
„Fokozat természetes mutatóval” - Fok természetes és egész indikátorral. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai. Fokozat meghatározása természetes mutatóval. 1 bármely hatványhoz egyenlő 1-gyel 1n=1. Mi az a diploma? Hogyan írjunk röviden. Hatványok szorzása azonos alapokkal. N kifejezés. 10n=100000…0.
„Fok egész kitevővel” - Számítsa ki. Fejezd ki a kifejezést hatalomként. Fejezzük ki az x-12 kifejezést két hatvány szorzataként x bázissal, ha egy tényező ismert. Rendezd csökkenő sorrendbe. Egyszerűsítsd. X mely értékeire igaz az egyenlőség.
„Harmadik fokú egyenletek” - (A harmadik esetben - a minimum, a negyedik - a maximum). Az első és a második esetben azt mondjuk, hogy a függvény az x = pontban monoton. Képletünk eredménye: „Nagy művészet”. Tehát Tartaglia hagyta magát meggyőzni. Lemma. A harmadik és negyedik esetben azt mondjuk, hogy a függvénynek az x = pontban van egy szélsője. A zárójelek megnyitása.
„A diploma tulajdonságai” - Az ismeretek és készségek általánosítása a diploma tulajdonságainak természetes indikátorral történő alkalmazásában. Természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai. Ötletelés. Milyen számból álló kocka a 64? Számítási szünet. Természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai. A kitartás, a szellemi aktivitás és az alkotó tevékenység fejlesztése.
„N-edik fok gyökere” – 2. definíció: A). Kockázzuk fel az egyenlet mindkét oldalát: - Radikális kifejezés. Tekintsük az x egyenletet? = 1. Emeljük fel az egyenlet mindkét oldalát a negyedik hatványra: Ábrázoljuk az y = x függvényeket? és y = 1. Valós szám n-edik gyökének fogalma. Ha n páratlan, akkor egy gyök: Készítsünk grafikonokat az y = x függvényekből? és y = 1.
Ebben a cikkben megtudjuk, mi ez foka. Itt megadjuk egy szám hatványának definícióit, miközben részletesen megvizsgáljuk az összes lehetséges kitevőt, kezdve a természetes kitevővel és az irracionális kitevővel bezárólag. Az anyagban sok példát talál a fokozatokra, amelyek lefedik az összes felmerülő finomságot.
Oldalnavigáció.
Kezdjük azzal. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy egy n természetes kitevővel rendelkező a szám hatványának definíciója adott a-ra, amit nevezünk fokozat alapján, és n, amelyeket hívni fogunk kitevő. Azt is megjegyezzük, hogy a természetes kitevővel rendelkező fokot egy szorzat határozza meg, így az alábbi anyag megértéséhez ismernie kell a számok szorzását.
Meghatározás.
n természetes kitevővel rendelkező szám hatványa az a n alakú kifejezés, amelynek értéke egyenlő n tényező szorzatával, amelyek mindegyike egyenlő a-val, azaz .
Konkrétan egy 1 kitevővel rendelkező a szám hatványa maga az a szám, azaz a 1 =a.
Rögtön említést érdemel a diplomaolvasás szabályairól. Az a n jelölés egyetemes olvasásának módja a következő: „a n hatványára”. Egyes esetekben a következő opciók is elfogadhatók: „a az n-edik hatványra” és „a n-edik hatványa”. Például vegyük a 8 12 hatványt, ez „nyolc a tizenkettő hatványához”, vagy „nyolc a tizenkettedik hatványhoz”, vagy „nyolc tizenkettedik hatványa”.
A szám második hatványának, valamint a szám harmadik hatványának saját neve van. Egy szám második hatványát nevezzük négyzetre a számot Például a 7 2 „hét négyzet” vagy „a hetes szám négyzete”. Egy szám harmadik hatványát nevezzük kockás számok Például az 5 3 úgy is olvasható, hogy „öt kocka”, vagy azt is mondhatja, hogy „az 5-ös szám kocka”.
Ideje hozni példák természetes kitevős fokokra. Kezdjük az 5 7 fokkal, itt az 5 a fok alapja, a 7 pedig a kitevő. Adjunk egy másik példát: 4,32 az alap, a természetes szám pedig 9 a kitevő (4,32) 9 .
Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó példában a 4,32 hatvány alapja zárójelben van: az eltérések elkerülése érdekében a hatvány minden olyan alapját zárójelbe tesszük, amely eltér a természetes számoktól. Példaként a következő fokokat adjuk meg természetes kitevőkkel , alapjaik nem természetes számok, ezért zárójelben vannak írva. Nos, a teljes érthetőség kedvéért ezen a ponton megmutatjuk a (−2) 3 és −2 3 alakú rekordok közötti különbséget. A (−2) 3 kifejezés a −2 hatványa, melynek természetes kitevője 3, a −2 3 kifejezés pedig (ahogy írható fel −(2 3) ) megfelel a számnak, a 2 3 hatvány értékének. .
Vegyük észre, hogy van egy jelölés az a szám hatványára, amelynek n kitevője a^n. Sőt, ha n egy többértékű természetes szám, akkor a kitevő zárójelben van. Például a 4^9 a 4 9 hatványának másik jelölése. És itt van még néhány példa a fokozatok írására a „^” szimbólum használatával: 14^(21) , (−2,1)^(155) . A következőkben elsősorban az a n alakú fokjelölést fogjuk használni.
Az egyik probléma a természetes kitevővel való hatványra emeléssel szemben az, hogy a hatvány ismert értékéből és ismert kitevőjéből meg kell találni egy hatvány alapját. Ez a feladat oda vezet.
Ismeretes, hogy a racionális számok halmaza egész számokból és törtekből áll, és minden tört pozitív vagy negatív közönséges törtként ábrázolható. Az előző bekezdésben egész kitevővel határoztuk meg a fokszámot, ezért ahhoz, hogy a fok definícióját racionális kitevővel kiegészítsük, az a szám fokszámát m/n tört kitevővel kell értelmeznünk, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Csináljuk.
Tekintsünk egy fokot a forma tört kitevőjével. Ahhoz, hogy a hatalom-hatalom tulajdonság érvényben maradjon, az egyenlőségnek fennállnia kell 
. Ha figyelembe vesszük a kapott egyenlőséget és azt, hogy hogyan határoztuk meg, akkor logikus az elfogadása, ha adott m, n és a esetén van értelme a kifejezésnek.
Könnyen ellenőrizhető, hogy az egész kitevővel rendelkező fok összes tulajdonsága érvényes-e (ezt a részben racionális kitevőjű hatványok tulajdonságai).
A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy a következőket tegyük következtetés: ha adott m, n és a kifejezésnek van értelme, akkor az m/n törtkitevővel rendelkező a hatványt a m hatványának n-edik gyökének nevezzük.
Ez az állítás közel visz minket a törtkitevővel rendelkező fok definíciójához. Már csak le kell írni, hogy m, n és a miben van értelme a kifejezésnek. Az m, n és a korlátozásoktól függően két fő megközelítés létezik.
A legegyszerűbb mód az a megszorítása, ha pozitív m esetén a≥0, negatív m esetén a>0 (mivel m≤0 esetén m 0 foka nincs meghatározva). Ekkor a következő definíciót kapjuk egy törtkitevővel rendelkező fokra.
Meghatározás.
Pozitív a szám hatványa m/n tört kitevővel, ahol m egész szám és n természetes szám, az a szám n-edik gyökének nevezzük m hatványához, azaz .
A nulla törthatványát is meghatározzuk azzal az egyetlen kitétellel, hogy az indikátornak pozitívnak kell lennie.
Meghatározás.
Nulla hatványa tört pozitív kitevővel m/n, ahol m pozitív egész szám és n természetes szám, a következőképpen definiálható 
.
Ha a fokszám nincs meghatározva, vagyis a nulla szám fokszámának tört negatív kitevőjével nincs értelme.
Megjegyzendő, hogy a törtkitevővel rendelkező fok ilyen definíciójával van egy figyelmeztetés: egyes negatív a, valamint néhány m és n esetén a kifejezésnek van értelme, és ezeket az eseteket elvetettük az a≥0 feltétel bevezetésével. Például a bejegyzéseknek van értelme 
vagy , és a fent megadott definíció arra kényszerít bennünket, hogy azt mondjuk, hogy a hatványok az alak törtkitevőjével 
nincs értelme, mivel az alap nem lehet negatív.
Egy másik megközelítés a fok meghatározására m/n tört kitevővel az, hogy a gyök páros és páratlan kitevőit külön kell figyelembe venni. Ez a megközelítés további feltételt igényel: az a szám hatványát, amelynek kitevője , az a szám hatványának tekintjük, amelynek kitevője a megfelelő irreducibilis tört (ennek a feltételnek a fontosságát alább kifejtjük ). Azaz, ha m/n egy irreducibilis tört, akkor bármely k természetes szám esetén a fokszámot először helyettesíti a -val.
Páros n és pozitív m esetén a kifejezésnek értelme van bármilyen nem negatív a esetén (negatív szám páros gyökének nincs értelme); negatív m esetén az a számnak továbbra is különböznie kell nullától (különben osztás lesz). nullával). Páratlan n és pozitív m esetén pedig az a szám tetszőleges lehet (a páratlan fok gyöke bármely valós számra definiálva van), negatív m esetén pedig az a számnak nullától eltérőnek kell lennie (hogy ne legyen osztás nulla).
A fenti okfejtés elvezet bennünket a törtkitevővel rendelkező fok ezen definíciójához.
Meghatározás.
Legyen m/n irreducibilis tört, m egész szám, n pedig természetes szám. Bármely redukálható tört esetén a fokot helyettesíti a. Az m/n irreducibilis törtkitevőjű szám hatványa az
Magyarázzuk meg, miért cseréljük le először egy redukálható tört kitevővel rendelkező fokot egy irreducibilis kitevővel rendelkező fokra. Ha egyszerűen definiálnánk a fokot, és nem tennénk fenntartást az m/n tört redukálhatatlanságával kapcsolatban, akkor a következőhöz hasonló helyzetekkel állnánk szemben: mivel 6/10 = 3/5, akkor az egyenlőségnek teljesülnie kell. 
, De 
, A .
Felhívjuk figyelmét, hogy ez a rész a koncepciót tárgyalja fokok csak természetes kitevővelés nulla.
A racionális kitevős hatványok (negatív és tört) fogalmáról és tulajdonságairól a 8. osztályos leckéken lesz szó.
Tehát nézzük meg, mi egy szám hatványa. Egy szám szorzatának önmagában történő felírásához többször használjuk a rövidített jelölést.
Hat azonos tényező 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 szorzata helyett írjon 4 6-ot, és mondja azt, hogy „négy a hatodik hatványig”.
4 4 4 4 4 4 = 4 6A 4 6 kifejezést egy szám hatványának nevezzük, ahol:
Általában egy „a” bázisú és „n” kitevővel rendelkező fokot a következő kifejezéssel írunk:
Emlékezik!
Egy 1-nél nagyobb „n” természetes kitevővel rendelkező „a” szám hatványa „n” azonos tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő az „a” számmal.
Az „a n” bejegyzés így hangzik: „a n hatványáig” vagy „a szám n-edik hatványa”.
A kivételek a következő bejegyzések:
Speciális esetek merülnek fel, ha a kitevő egyenlő eggyel vagy nullával (n = 1; n = 0).
Emlékezik!
Az n = 1 kitevővel rendelkező „a” szám hatványa maga ez a szám:
a 1 = a
A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.
a 0 = 1
Nulla bármely természetes hatványhoz egyenlő nullával.
0 n = 0
Egy bármely hatványhoz egyenlő 1-gyel.
1 n = 1
Kifejezés 0 0 ( nulláról a nullára) értelmetlennek minősülnek.
Példák megoldása során emlékezni kell arra, hogy a hatványra emelés azt jelenti, hogy szám- vagy betűértéket találunk, miután hatványra emeljük.
Példa. Emelj hatalomra.
| 256 |
Az alap (a hatványra emelt szám) tetszőleges szám lehet – pozitív, negatív vagy nulla.
Emlékezik!
Ha egy pozitív számot hatványra emelünk, akkor pozitív számot kapunk.
Ha a nullát természetes hatványra emeljük, az eredmény nulla.
Ha egy negatív számot hatványra emelünk, az eredmény lehet pozitív vagy negatív szám. Attól függ, hogy a kitevő páros vagy páratlan szám volt.
Nézzünk példákat a negatív számok hatványokká emelésére.
A vizsgált példákból világos, hogy ha egy negatív számot páratlan hatványra emelünk, akkor negatív számot kapunk. Mivel páratlan számú negatív tényező szorzata negatív.
Ha egy negatív számot páros hatványra emelünk, pozitív számmá válik. Mivel páros számú negatív tényező szorzata pozitív.
Emlékezik!
A páros hatványra emelt negatív szám pozitív szám.
A páratlan hatványra emelt negatív szám negatív szám.
Bármely szám négyzete pozitív szám vagy nulla, azaz:
a 2 ≥ 0 bármely a.
A hatványozási példák megoldása során gyakran követnek el hibákat, elfelejtve, hogy a (−5) 4 és −5 4 bejegyzések különböző kifejezések. E kifejezések hatalommá emelésének eredménye más lesz.
A (−5) 4 kiszámítása azt jelenti, hogy meg kell találni egy negatív szám negyedik hatványának értékét.
(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
Míg a „−5 4” megtalálása azt jelenti, hogy a példát 2 lépésben kell megoldani:
Példa. Számítsd ki: −6 2 − (−1) 4
−6 2 − (−1) 4 = −37Az érték kiszámítását hatványozási műveletnek nevezzük. Ez a harmadik szakasz akciója.
Emlékezik!
A zárójelet nem tartalmazó hatalmú kifejezéseknél először tegye meg hatványozás, akkor szorzás és osztás, és a végén összeadás és kivonás.
Ha a kifejezés zárójeleket tartalmaz, akkor először hajtsa végre a zárójelben lévő műveleteket a fent jelzett sorrendben, majd hajtsa végre a többi műveletet ugyanabban a sorrendben balról jobbra haladva.
Példa. Kiszámítja:
A példák könnyebb megoldása érdekében hasznos ismerni és használni a fokszámtáblázatot, amelyet ingyenesen letölthet honlapunkról.
Az eredmények ellenőrzéséhez használja a weboldalunkon található számológépet "
