Töredék a matematikában egy egység egy vagy több részéből (törtéből) álló szám. A törtek a racionális számok területének részei. Az írásmódjuk alapján a törteket két formátumra osztják: rendes típus és decimális .
Tört számlálója- egy szám, amely a kivett részvények számát mutatja (a tört tetején található - a vonal felett). Tört nevező- egy szám, amely azt mutatja, hogy hány részvényre van felosztva az egység (a vonal alatt található - alul). viszont a következőkre oszlik: helyesÉs helytelen, vegyesÉs összetett szorosan összefüggenek a mértékegységekkel. 1 méter 100 cm-t tartalmaz, ami azt jelenti, hogy 1 m 100 egyenlő részre oszlik. Így 1 cm = 1/100 m (egy centiméter egy század méternek felel meg).
vagy 3/5 (három ötöd), itt a 3 a számláló, az 5 a nevező. Ha a számláló kisebb, mint a nevező, akkor a tört kisebb egynél, és meghívásra kerül helyes:
Ha a számláló egyenlő a nevezővel, a tört egyenlő eggyel. Ha a számláló nagyobb, mint a nevező, a tört nagyobb egynél. Mindkét utolsó esetben a tört meghívásra kerül rossz:
A nem megfelelő törtben található legnagyobb egész szám elkülönítéséhez el kell osztani a számlálót a nevezővel. Ha az osztást maradék nélkül hajtjuk végre, akkor a vett nem megfelelő tört egyenlő a hányadossal:
Ha az osztást maradékkal hajtjuk végre, akkor a (nem teljes) hányados adja a kívánt egész számot, és a maradék lesz a tört rész számlálója; a törtrész nevezője változatlan marad.
Egy egész számot és egy tört részt tartalmazó számot nevezzük vegyes. Töredék vegyes szám talán helytelen tört. Ezután kiválaszthatja a tört részből a legnagyobb egész számot, és a kevert számot úgy ábrázolhatja, hogy a tört rész megfelelő törtté váljon (vagy teljesen eltűnjön).
Mint már észrevette, a törtek különböznek egymástól. Például \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(7)(7), \frac(13)(5), ... \)
A frakciókat két típusra osztják megfelelő törtek és helytelen törtek.
A megfelelő törtben a számláló kisebb, mint a nevező. például \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), …\)
Helytelen törtben a számláló nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező, például \(\frac(7)(7), \frac(9)(4), \frac(13)(5), …\)
A megfelelő tört mindig kisebb egynél. Nézzünk egy példát:
\(\frac(1)(5)< 1\)
Az egységet törtként is ábrázolhatjuk \(1 = \frac(5)(5)\)
\(\frac(1)(5)< \frac{5}{5}\)
A nem megfelelő tört nagyobb vagy egyenlő, mint egy. Vegyünk egy példát: \(\frac(8)(3) > 1\)
Az egységet törtként is ábrázolhatjuk \(1 = \frac(3)(3)\)
\(\frac(8)(3) > \frac(3)(3)\)
Kérdések a „Helyes vagy helytelen törtek” témában:
Lehet-e egy megfelelő tört nagyobb 1-nél?
Válasz: nem.
Egy megfelelő tört egyenlő lehet 1-gyel?
Válasz: nem.
Lehet egy helytelen tört kisebb 1-nél?
Válasz: nem.
1. példa:
Ír:
a) minden tulajdontört 8-as nevezővel;
b) minden helytelen tört 4-es számlálóval.
Megoldás:
a) A tulajdontörteknek nagyobb a nevezője, mint a számlálónak. 8-nál kisebb számokat kell beírnunk a számlálóba.
\(\frac(1)(8), \frac(2)(8), \frac(3)(8), \frac(4)(8), \frac(5)(8), \frac( 6)(8), \frac(7)(8).\)
b) A helytelen törtben a számláló nagyobb, mint a nevező. A nevezőbe 4-nél kisebb számokat kell írnunk.
\(\frac(4)(4), \frac(4)(3), \frac(4)(2), \frac(4)(1).\)
2. példa:
B mekkora értékeinél a tört:
a) \(\frac(b)(12)\) helyes lesz;
b) \(\frac(9)(b)\) nem lesz helyes.
Megoldás:
a) b az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 értékeket veheti fel.
b) b az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 értékeket veheti fel.
1. feladat:
Hány perc egy óra? Az óra hány része 11 perc?
Válasz: Egy órában 60 perc van. Három perc az \(\frac(11)(60)\) óra.
Helyesre és helytelenre osztják őket.
Megfelelő tört egy közönséges tört, amelyben a számláló kisebb, mint a nevező.
Annak megállapításához, hogy egy tört helyes-e, össze kell hasonlítania a feltételeit egymással. A tört feltételeit a szerint hasonlítjuk össze szabály a természetes számok összehasonlítására.
Példa. Tekintsük a törtet:
| 7 |
| 8 |
Példa:
| 8 | = 1 | 1 |
| 7 | 7 |
Fordítási szabályok és további példák a témában találhatók Helytelen tört átalakítása vegyes számmá. A nem megfelelő tört vegyes számmá alakításához használhatja a online számológép.
Bármely helytelen közönséges tört nagyobb, mint egy megfelelő tört, mivel a megfelelő tört mindig kisebb egynél, a helytelen tört pedig nagyobb vagy egyenlő egynél.
Példa:
| 3 | > | 99 |
| 2 | 100 |
Összehasonlítási szabályok és további példák a témában találhatók A törtek összehasonlítása. A törtek összehasonlításához vagy az összehasonlítások ellenőrzéséhez is használhatja
A közönséges törteket \textit (helyes) és \textit (nem megfelelő) törtekre osztják. Ez a felosztás a számláló és a nevező összehasonlításán alapul.
Megfelelő tört Meghívunk egy közönséges $\frac(m)(n)$ törtet, amelyben a számláló kisebb, mint a nevező, azaz. millió dollár
1. példa
Például a $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ törtek helyesek. , tehát hogy mindegyikben a számláló kisebb, mint a nevező, ami megfelel a megfelelő tört definíciójának.
Létezik a megfelelő tört definíciója, amely a tört eggyel való összehasonlításán alapul.
helyes, ha egynél kisebb:
2. példa
Például a $\frac(6)(13)$ köztört megfelelő, mert A $\frac(6)(13) feltétel teljesül
Nem megfelelő tört Meghívunk egy közönséges $\frac(m)(n)$ törtet, amelyben a számláló nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező, azaz. $m\ge n$.
3. példa
Például a $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ törtek szabálytalanok. , tehát hogyan lehet mindegyikben a számláló nagyobb vagy egyenlő a nevezővel, ami megfelel a helytelen tört definíciójának.
Adjuk meg a nem megfelelő tört definícióját, amely az eggyel való összehasonlításon alapul.
A $\frac(m)(n)$ közönséges tört az rossz, ha egyenlő vagy nagyobb, mint egy:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
4. példa
Például a $\frac(21)(4)$ köztört helytelen, mert a $\frac(21)(4) >1$ feltétel teljesül;
a $\frac(8)(8)$ köztört helytelen, mert a $\frac(8)(8)=1$ feltétel teljesül.
Nézzük meg közelebbről a nem megfelelő tört fogalmát.
Vegyük például a $\frac(7)(7)$ helytelen törtet. Ennek a törtnek az a jelentése, hogy hét részt veszünk egy tárgyból, amelyet hét egyenlő részre osztunk. Így a rendelkezésre álló hét megosztásból a teljes objektum összeállítható. Azok. a $\frac(7)(7)$ helytelen tört az egész objektumot írja le, és a $\frac(7)(7)=1$. Tehát a nem megfelelő törtek, amelyekben a számláló egyenlő a nevezővel, egy egész objektumot írnak le, és egy ilyen tört helyettesíthető a $1$ természetes számmal.
$\frac(5)(2)$ -- teljesen nyilvánvaló, hogy ebből az öt második részből $2$ egész objektumot lehet alkotni (egy egész objektum $2$ részből fog állni, két egész objektum összeállításához pedig $2+2=4$ részvényre van szükség), és egy második részvény marad. Ez azt jelenti, hogy a $\frac(5)(2)$ nem megfelelő tört egy objektum $2$-ját, a $\frac(1)(2)$ pedig ennek az objektumnak a részét írja le.
$\frac(21)(7)$ -- huszonegy hetedrészből $3$ egész objektumot készíthet ($3$ objektum 7$ megosztással mindegyikben). Azok. a $\frac(21)(7)$ tört $3$ egész objektumot ír le.
A vizsgált példákból a következő következtetést vonhatjuk le: egy helytelen tört helyettesíthető természetes számmal, ha a számláló osztható a nevezővel (például $\frac(7)(7)=1$ és $\frac (21)(7)=3$) , vagy egy természetes szám és egy megfelelő tört összege, ha a számláló nem osztható teljesen a nevezővel (például $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Ezért nevezik az ilyen törteket rossz.
1. definíció
A nem megfelelő tört természetes szám és megfelelő tört összegeként való ábrázolásának folyamatát (például $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) ún. elválasztja az egész részt egy nem megfelelő törttől.
Ha nem megfelelő törtekkel dolgozik, szoros kapcsolat van köztük és a vegyes számok között.
A helytelen törtet gyakran vegyes számként írják fel – olyan számként, amely egész számból és tört részből áll.
Ha hibás törtet vegyes számként szeretne írni, a számlálót el kell osztani a nevezővel egy maradékkal. A hányados a vegyes szám egész része lesz, a maradék a tört rész számlálója, az osztó pedig a tört rész nevezője.
5. példa
Írja be a $\frac(37)(12)$ helytelen törtet vegyes számként.
Megoldás.
Ossza el a számlálót a nevezővel egy maradékkal:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (maradék\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Válasz.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Ha vegyes számot nem megfelelő törtként szeretne írni, meg kell szoroznia a nevezőt a szám teljes részével, hozzá kell adnia a tört rész számlálóját a kapott szorzathoz, és a kapott összeget be kell írnia a tört számlálójába. A helytelen tört nevezője egyenlő lesz a vegyes szám tört részének nevezőjével.
6. példa
Írja be a $5\frac(3)(7)$ vegyes számot nem megfelelő törtként.
Megoldás.
Válasz.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Vegyes szám kiegészítés$a\frac(b)(c)$ és megfelelő tört A $\frac(d)(e)$ végrehajtása úgy történik, hogy egy adott törthez hozzáadjuk egy adott vegyes szám tört részét:
7. példa
Adja hozzá a megfelelő $\frac(4)(15)$ törtet és a $3\frac(2)(5)$ vegyes számot.
Megoldás.
Használjuk a képletet egy vegyes szám és egy megfelelő tört összeadásához:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]
A \textit(5) számmal való osztással megállapíthatjuk, hogy a $\frac(10)(15)$ tört redukálható. Végezzük el a redukciót, és keressük meg az összeadás eredményét:
Tehát a megfelelő $\frac(4)(15)$ és a $3\frac(2)(5)$ vegyes szám összeadásának eredménye $3\frac(2)(3)$.
Válasz:$3\frac(2)(3)$
Helytelen törtek és vegyes számok összeadása két vegyes szám összeadására redukálódik, amihez elegendő az egész részt elkülöníteni a nem megfelelő törttől.
8. példa
Számítsa ki a $6\frac(2)(15)$ vegyes szám és a $\frac(13)(5)$ helytelen tört összegét!
Megoldás.
Először vegyük ki a teljes részt a helytelen $\frac(13)(5)$ törtből:
Válasz:$8\frac(11)(15)$.
