Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo em que Aquiles percorre essa distância, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Quando Aquiles tiver dado cem passos, a tartaruga rastejará outros dez passos, e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.
Esse raciocínio veio como um choque lógico para todos. gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam na atualidade, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo do assunto ; nenhum deles se tornou uma solução universalmente aceita para o problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende qual é o engano.
Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicar em vez de constantes. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades de medida variáveis ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. A aplicação de nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, pela inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo desacelera até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não pode mais ultrapassar a tartaruga.
Se virarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixa. Aquiles corre a uma velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles ultrapassará a tartaruga infinitamente rapidamente".
Como evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para valores recíprocos. Na linguagem de Zeno, fica assim:
No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.
Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a intransponibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.
Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:
Uma flecha voadora é imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.
Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora repousa em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Há outro ponto a ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas não podem ser usadas para determinar a distância. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas não pode determinar o fato do movimento delas (naturalmente, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria o ajudará). No que eu quero focar Atenção especial, é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, pois oferecem diferentes oportunidades de exploração.
Muito bem as diferenças entre set e multiset estão descritas na Wikipedia. Nós olhamos.
Como você pode ver, "o conjunto não pode ter dois elementos idênticos", mas se houver elementos idênticos no conjunto, esse conjunto é chamado de "multiconjunto". Os seres racionais jamais compreenderão tal lógica do absurdo. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, no qual a mente está ausente da palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas ideias absurdas para nós.
Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.
Por mais que os matemáticos se escondam por trás da frase "cuidado comigo, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", há um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Vamos aplicar a teoria dos conjuntos matemáticos aos próprios matemáticos.
Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, pagando salários. Aqui um matemático vem até nós por seu dinheiro. Contamos o valor total para ele e o colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu "conjunto de salários matemáticos". Explicamos a matemática que ele só receberá o restante das contas quando provar que o conjunto sem elementos idênticos não é igual ao conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.
Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "você pode aplicar aos outros, mas não a mim!" Além disso, começarão as garantias de que existem números de notas diferentes nas notas da mesma denominação, o que significa que não podem ser considerados elementos idênticos. Bem, contamos o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático começará a recordar convulsivamente a física: em diferentes moedas há quantidade diferente sujeira, estrutura cristalina e arranjo atômico de cada moeda é único...
E agora eu tenho a pergunta mais interessante: onde está o limite além do qual elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Tal linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência aqui não está nem perto.
Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, conseguimos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como certo? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um ás de trunfo da manga e começa a nos contar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que está certo.
Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, atrelando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem nenhum "concebível como um todo" ou "não concebível como um todo".
A soma dos dígitos de um número é uma dança de xamãs com um pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas eles são xamãs para isso, para ensinar seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.
Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma de dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula em matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos com os quais escrevemos números e, na linguagem da matemática, a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número". Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs podem fazê-lo de forma elementar.
Vamos descobrir o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, digamos que temos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.
1. Anote o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número em um símbolo gráfico numérico. Esta não é uma operação matemática.
2. Cortamos uma foto recebida em várias fotos contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.
3. Converta caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.
4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.
A soma dos dígitos do número 12345 é 15. São os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.
Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Assim, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. A PARTIR DE um grande número 12345 Não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não consideraremos cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vejamos o resultado.
Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como encontrar a área de um retângulo em metros e centímetros lhe daria resultados completamente diferentes.
Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que . Uma pergunta para os matemáticos: como se denota em matemática aquilo que não é um número? O que, para os matemáticos, nada além de números existe? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas, não. A realidade não é apenas sobre números.
O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes depois de compará-los, então não tem nada a ver com matemática.
O que é matemática de verdade? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.
Ai! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para estudar a santidade indefinida das almas após a ascensão ao céu! Nimbus no topo e seta para cima. Que outro banheiro?
Feminino... Uma auréola em cima e uma seta para baixo é masculina.
Se você tem uma obra de arte de design piscando diante de seus olhos várias vezes ao dia,
Então não é de surpreender que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:
Pessoalmente, eu me esforço para ver menos quatro graus em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E eu não considero essa garota uma tola que não sabe física. Ela só tem um estereótipo de arco de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.
1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Isso é "pooping man" ou o número "vinte e seis" no sistema numérico hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente nesse sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.
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Definição
poliedro chamaremos uma superfície fechada composta de polígonos e delimitando alguma parte do espaço.
Os segmentos que são os lados desses polígonos são chamados costelas poliedro, e os próprios polígonos - rostos. Os vértices dos polígonos são chamados de vértices do poliedro.
Consideraremos apenas poliedros convexos (este é um poliedro que está em um lado de cada plano que contém sua face).
Os polígonos que compõem um poliedro formam sua superfície. A parte do espaço limitada por um dado poliedro é chamada de seu interior.
Definição: prisma
Considere dois polígonos iguais \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) localizados em planos paralelos para que os segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) são paralelos. Poliedro formado pelos polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , além de paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), é chamado (\(n\)-carvão) prisma.
Os polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) são chamados de bases do prisma, paralelogramo \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faces laterais, segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- costelas laterais.
Assim, as arestas laterais do prisma são paralelas e iguais entre si.
Considere um exemplo - um prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), cuja base é um pentágono convexo.
Altura Um prisma é uma perpendicular de qualquer ponto de uma base ao plano de outra base.
Se as arestas laterais não são perpendiculares à base, esse prisma é chamado oblíquo(Fig. 1), caso contrário - direto. Para um prisma reto, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos iguais.
Se um polígono regular está na base de um prisma reto, então o prisma é chamado correto.
Definição: conceito de volume
A unidade de volume é um cubo unitário (cubo com dimensões \(1\times1\times1\) units\(^3\) , onde unidade é alguma unidade de medida).
Podemos dizer que o volume de um poliedro é a quantidade de espaço que esse poliedro limita. Caso contrário: é um valor cujo valor numérico indica quantas vezes um cubo unitário e suas partes cabem em um determinado poliedro.
O volume tem as mesmas propriedades que a área:
1. Os volumes de números iguais são iguais.
2. Se um poliedro é composto por vários poliedros que não se cruzam, então seu volume é igual à soma volumes desses poliedros.
3. O volume é um valor não negativo.
4. O volume é medido em cm\(^3\) (centímetros cúbicos), m\(^3\) ( Metros cúbicos) etc
Teorema
1. A área da superfície lateral do prisma é igual ao produto do perímetro da base e a altura do prisma.
A área de superfície lateral é a soma das áreas das faces laterais do prisma.
2. O volume do prisma é igual ao produto da área da base pela altura do prisma: \
Definição: caixa
ParalelepípedoÉ um prisma cuja base é um paralelogramo.
Todas as faces do paralelepípedo (suas faces laterais \(6\) : \(4\) e bases \(2\)) são paralelogramos, e as faces opostas (paralelas entre si) são paralelogramos iguais (Fig. 2).
Diagonal da caixaé um segmento que liga dois vértices de um paralelepípedo que não se encontram na mesma face (seu \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc.).
cubóideé um paralelepípedo reto com um retângulo na base.
Porque é um paralelepípedo reto, então as faces laterais são retângulos. Assim, em geral, todas as faces de um paralelepípedo retangular são retângulos.
Todas as diagonais de um paralelepípedo são iguais (isso decorre da igualdade dos triângulos \(\triângulo ACC_1=\triângulo AA_1C=\triângulo BDD_1=\triângulo BB_1D\) etc.).
Comente
Assim, o paralelepípedo tem todas as propriedades de um prisma.
Teorema
A área da superfície lateral de um paralelepípedo retangular é igual a \
A área total da superfície de um paralelepípedo retangular é \
Teorema
O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de três de suas arestas saindo de um vértice (três dimensões de um paralelepípedo): \
Prova
Porque para um paralelepípedo retangular, as arestas laterais são perpendiculares à base, então também são suas alturas, ou seja, \(h=AA_1=c\) a base é um retângulo \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). É daí que vem a fórmula.
Teorema
A diagonal \(d\) de um paralelepípedo é procurada pela fórmula (onde \(a,b,c\) são as dimensões do paralelepípedo)\
Prova
Considere a Fig. 3. Porque a base é um retângulo, então \(\triangle ABD\) é retangular, portanto, pelo teorema de Pitágoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Porque todas as arestas laterais são perpendiculares às bases, então \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendicular a qualquer linha neste plano, ou seja, \(BB_1\perp BD\) . Então \(\triangle BB_1D\) é retangular. Então pelo teorema de Pitágoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.
Definição: cubo
Cuboé um paralelepípedo retangular, cujos lados são quadrados iguais.
Assim, as três dimensões são iguais entre si: \(a=b=c\) . Então as seguintes são verdadeiras
Teoremas
1. O volume de um cubo com aresta \(a\) é \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. A diagonal do cubo é pesquisada pela fórmula \(d=a\sqrt3\) .
3. Área total da superfície de um cubo \(S_(\text(iterações completas do cubo))=6a^2\).
Um paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. Neste caso, todas as arestas serão paralelogramos.
Cada paralelepípedo pode ser considerado como um prisma com três jeitos diferentes, uma vez que cada duas faces opostas podem ser tomadas como bases (na Fig. 5, faces ABCD e A "B" C "D", ou ABA "B" e CDC "D", ou BC "C" e ADA "D" ).
O corpo considerado tem doze arestas, quatro iguais e paralelas entre si.
Teorema 3
. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto, coincidindo com o ponto médio de cada uma delas.
O paralelepípedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) tem quatro diagonais AC", BD", CA", DB". Devemos provar que os pontos médios de quaisquer dois deles, por exemplo, AC e BD, coincidem. Isso decorre do fato de que a figura ABC "D", que tem lados iguais e paralelos AB e C "D", é um paralelogramo .
Definição 7
. Um paralelepípedo reto é um paralelepípedo que também é um prisma reto, ou seja, um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares ao plano de base.
Definição 8
. Um paralelepípedo retangular é um paralelepípedo reto cuja base é um retângulo. Neste caso, todas as suas faces serão retângulos.
Um paralelepípedo retangular é um prisma reto, não importa qual de suas faces tomemos como base, pois cada uma de suas arestas é perpendicular às arestas que saem do mesmo vértice com ele e, portanto, serão perpendiculares aos planos das faces definido por essas arestas. Em contraste, uma caixa reta, mas não retangular, pode ser vista como um prisma reto apenas de uma maneira.
Definição 9
. Os comprimentos de três arestas de um paralelepípedo, das quais duas não são paralelas uma à outra (por exemplo, três arestas saindo do mesmo vértice), são chamadas de suas dimensões. Dois paralelepípedos retangulares com dimensões correspondentemente iguais são obviamente iguais entre si.
Definição 10
Um cubo é um paralelepípedo retangular, cujas três dimensões são iguais entre si, de modo que todas as suas faces são quadradas. Dois cubos cujas arestas são iguais são iguais. 
Definição 11
. Um paralelepípedo inclinado em que todas as arestas são iguais e os ângulos de todas as faces são iguais ou complementares é chamado de romboedro.
Todas as faces de um romboedro são losangos iguais. (A forma de um romboedro tem alguns cristais com grande importância, por exemplo, cristais spar islandês.) Em um romboedro, pode-se encontrar um tal vértice (e até dois vértices opostos) que todos os ângulos adjacentes a ele são iguais entre si.
Teorema 4
. As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais entre si. O quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados das três dimensões.
NO cubóide ABCDA "B" C "D" (Fig. 6) as diagonais AC "e BD" são iguais, pois o quadrilátero ABC "D" é um retângulo (a linha AB é perpendicular ao plano BC "C", no qual BC está " ).
Além disso, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 com base no teorema do quadrado da hipotenusa. Mas com base no mesmo teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; portanto, temos:
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.
