1. Equação de uma reta que passa por um determinado ponto A(x 1 , sim 1) em uma determinada direção determinada pela inclinação k,
sim - sim 1 = k(x - x 1). (1)
Esta equação define um lápis de retas que passa por um ponto A(x 1 , sim 1), que é chamado de centro do feixe.
2. Equação de uma reta que passa por dois pontos: A(x 1 , sim 1) e B(x 2 , sim 2), escrito assim:
O coeficiente angular de uma linha reta que passa por dois pontos dados é determinado pela fórmula
3. Ângulo entre linhas retas A E Bé o ângulo pelo qual a primeira linha reta deve ser girada A em torno do ponto de intersecção dessas linhas no sentido anti-horário até coincidir com a segunda linha B. Se duas retas são dadas por equações com inclinação
sim = k 1 x + B 1 ,
Este artigo dá continuidade ao tópico da equação de uma reta em um plano: consideraremos esse tipo de equação como a equação geral de uma reta. Definamos o teorema e apresentemos sua prova; Vamos descobrir o que é uma equação geral incompleta de uma reta e como fazer transições de uma equação geral para outros tipos de equações de reta. Reforçaremos toda a teoria com ilustrações e soluções de problemas práticos.
Yandex.RTB RA-339285-1
Seja um sistema de coordenadas retangulares O x y especificado no plano.
Teorema 1
Qualquer equação de primeiro grau, tendo a forma A x + B y + C = 0, onde A, B, C são alguns numeros reais(A e B não são iguais a zero ao mesmo tempo) define uma linha reta em sistema retangular coordenadas no plano. Por sua vez, qualquer linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano é determinada por uma equação que tem a forma A x + B y + C = 0 para um determinado conjunto de valores A, B, C.
Prova
Este teorema consiste em dois pontos; provaremos cada um deles.
Seja algum ponto M 0 (x 0 , y 0) cujas coordenadas correspondem à equação A x + B y + C = 0. Assim: A x 0 + B y 0 + C = 0. Subtraia dos lados esquerdo e direito das equações A x + B y + C = 0 os lados esquerdo e direito da equação A x 0 + B y 0 + C = 0, obtemos uma nova equação que se parece com A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . É equivalente a A x + B y + C = 0.
A equação resultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 é uma condição necessária e suficiente para a perpendicularidade dos vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Assim, o conjunto de pontos M (x, y) define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares perpendicular à direção do vetor n → = (A, B). Podemos assumir que não é assim, mas então os vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) não seriam perpendiculares, e a igualdade A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 não seria verdade.
Consequentemente, a equação A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 define uma certa linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano e, portanto, a equação equivalente A x + B y + C = 0 define o mesma linha. Foi assim que provamos a primeira parte do teorema.
Vamos definir uma linha reta a em um sistema de coordenadas retangulares em um plano; o ponto M 0 (x 0 , y 0) por onde passa esta reta, bem como o vetor normal desta reta n → = (A, B) .
Que haja também algum ponto M (x, y) - um ponto flutuante em uma linha. Neste caso, os vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) são perpendiculares entre si, e seus produto escalar existe um zero:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
Vamos reescrever a equação A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definir C: C = - A x 0 - B y 0 e como resultado final obtemos a equação A x + B y + C = 0.
Então, provamos a segunda parte do teorema e provamos todo o teorema como um todo.
Definição 1
Uma equação da forma A x + B y + C = 0 - Esse equação geral de uma reta em um plano em um sistema de coordenadas retangularOxi.
Com base no teorema comprovado, podemos concluir que uma linha reta e sua equação geral definida em um plano em um sistema de coordenadas retangulares fixo estão inextricavelmente ligadas. Em outras palavras, a reta original corresponde à sua equação geral; a equação geral de uma reta corresponde a uma dada reta.
Da prova do teorema segue-se também que os coeficientes A e B para as variáveis x e y são as coordenadas do vetor normal da reta, que é dado pela equação geral da reta A x + B y + C = 0.
Vamos considerar exemplo específico equação geral de uma reta.
Seja dada a equação 2 x + 3 y - 2 = 0, que corresponde a uma linha reta em um determinado sistema de coordenadas retangulares. O vetor normal desta linha é o vetor n → = (2, 3) . Vamos desenhar a linha reta indicada no desenho.
Também podemos afirmar o seguinte: a reta que vemos no desenho é determinada pela equação geral 2 x + 3 y - 2 = 0, pois as coordenadas de todos os pontos de uma determinada reta correspondem a esta equação.
Podemos obter a equação λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 multiplicando ambos os lados da equação geral da reta por um número λ diferente de zero. A equação resultante é equivalente à equação geral original, portanto, descreverá a mesma reta no plano.
Definição 2Equação geral completa de uma reta– tal equação geral da reta A x + B y + C = 0, em que os números A, B, C são diferentes de zero. Caso contrário a equação é incompleto.
Vamos analisar todas as variações da equação geral incompleta de uma reta.
Vamos ilustrar graficamente todos os tipos acima de equações gerais incompletas de uma linha reta.
Exemplo 1
Sabe-se que a reta dada é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto 2 7, - 11. É necessário escrever a equação geral da reta dada.
Solução
Uma linha reta paralela ao eixo das ordenadas é dada por uma equação da forma A x + C = 0, em que A ≠ 0. A condição também especifica as coordenadas do ponto através do qual a linha passa, e as coordenadas deste ponto atendem às condições da equação geral incompleta A x + C = 0, ou seja, a igualdade é verdadeira:
A 2 7 + C = 0
A partir dela é possível determinar C se dermos a A algum valor diferente de zero, por exemplo, A = 7. Neste caso, obtemos: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Conhecemos os coeficientes A e C, substituímos-os na equação A x + C = 0 e obtemos a equação da linha reta necessária: 7 x - 2 = 0
Responder: 7 x - 2 = 0
Exemplo 2
O desenho mostra uma linha reta, você precisa anotar sua equação.
Solução
O desenho fornecido permite-nos obter facilmente os dados iniciais para resolver o problema. Vemos no desenho que a reta dada é paralela ao eixo O x e passa pelo ponto (0, 3).
A reta paralela à abcissa é determinada pela equação geral incompleta B y + C = 0. Vamos encontrar os valores de B e C. As coordenadas do ponto (0, 3), visto que a reta dada passa por ele, satisfarão a equação da reta B y + C = 0, então a igualdade é válida: B · 3 + C = 0. Vamos definir B com algum valor diferente de zero. Digamos B = 1, caso em que a partir da igualdade B · 3 + C = 0 podemos encontrar C: C = - 3. Usando os valores conhecidos de B e C, obtemos a equação necessária da reta: y - 3 = 0.
Responder: y - 3 = 0 .
Deixe a reta dada passar pelo ponto M 0 (x 0 , y 0), então suas coordenadas correspondem à equação geral da reta, ou seja, a igualdade é verdadeira: A x 0 + B y 0 + C = 0. Vamos subtrair os lados esquerdo e direito desta equação dos lados esquerdo e direito da equação geral completa da reta. Obtemos: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, esta equação é equivalente à geral original, passa pelo ponto M 0 (x 0, y 0) e tem um normal vetor n → = (A, B) .
O resultado que obtivemos permite escrever a equação geral de uma reta com as coordenadas conhecidas do vetor normal da reta e as coordenadas de um determinado ponto desta reta.
Exemplo 3
Dado um ponto M 0 (- 3, 4) por onde passa uma reta, e o vetor normal desta reta n → = (1 , - 2) . É necessário escrever a equação da reta dada.
Solução
As condições iniciais permitem obter os dados necessários para compor a equação: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Então:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
O problema poderia ter sido resolvido de outra forma. Equação geral a linha reta tem a forma A x + B y + C = 0. O vetor normal dado nos permite obter os valores dos coeficientes A e B, então:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
Agora vamos encontrar o valor de C usando o ponto M 0 (- 3, 4) especificado pela condição do problema, por onde passa a reta. As coordenadas deste ponto correspondem à equação x - 2 · y + C = 0, ou seja, - 3 - 2 4 + C = 0. Portanto C = 11. A equação da linha reta necessária assume a forma: x - 2 · y + 11 = 0.
Responder: x - 2 y + 11 = 0 .
Exemplo 4
Dada uma linha 2 3 x - y - 1 2 = 0 e um ponto M 0 situado nesta linha. Apenas a abcissa deste ponto é conhecida e é igual a -3. É necessário determinar a ordenada de um determinado ponto.
Solução
Vamos designar as coordenadas do ponto M 0 como x 0 e y 0 . Os dados de origem indicam que x 0 = - 3. Como o ponto pertence a uma determinada reta, então suas coordenadas correspondem à equação geral desta reta. Então a igualdade será verdadeira:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Defina y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Responder: - 5 2
Como sabemos, existem vários tipos de equações para a mesma reta num plano. A escolha do tipo de equação depende das condições do problema; é possível escolher aquele que for mais conveniente para resolvê-lo. A habilidade de converter uma equação de um tipo em uma equação de outro tipo é muito útil aqui.
Primeiro, vamos considerar a transição da equação geral da forma A x + B y + C = 0 para a equação canônica x - x 1 a x = y - y 1 a y.
Se A ≠ 0, então transferimos o termo B y para lado direito equação geral. No lado esquerdo, tiramos A dos colchetes. Como resultado, obtemos: A x + C A = - B y.
Esta igualdade pode ser escrita como uma proporção: x + C A - B = y A.
Se B ≠ 0, deixamos apenas o termo A x no lado esquerdo da equação geral, transferimos os demais para o lado direito, obtemos: A x = - B y - C. Tiramos – B dos colchetes, então: A x = - B y + C B .
Vamos reescrever a igualdade na forma de uma proporção: x - B = y + C B A.
Claro, não há necessidade de memorizar as fórmulas resultantes. Basta conhecer o algoritmo de ações ao passar de uma equação geral para uma canônica.
Exemplo 5
A equação geral da reta 3 y - 4 = 0 é dada. É necessário transformá-la em uma equação canônica.
Solução
Vamos escrever a equação original como 3 y - 4 = 0. A seguir procedemos de acordo com o algoritmo: o termo 0 x permanece no lado esquerdo; e no lado direito colocamos - 3 entre colchetes; obtemos: 0 x = - 3 y - 4 3 .
Vamos escrever a igualdade resultante como uma proporção: x - 3 = y - 4 3 0 . Assim, obtivemos uma equação de forma canônica.
Resposta: x - 3 = y - 4 3 0.
Para transformar a equação geral de uma reta em paramétrica, primeiro faça a transição para a forma canônica e depois a transição de equação canônica linha reta para equações paramétricas.
Exemplo 6
A reta é dada pela equação 2 x - 5 y - 1 = 0. Escreva as equações paramétricas para esta reta.
Solução
Façamos a transição da equação geral para a canônica:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Agora consideramos ambos os lados da equação canônica resultante iguais a λ, então:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Responder:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
A equação geral pode ser convertida em uma equação de uma linha reta com inclinação y = k · x + b, mas somente quando B ≠ 0. Para a transição, deixamos o termo B y no lado esquerdo, o restante é transferido para a direita. Obtemos: B y = - A x - C . Vamos dividir ambos os lados da igualdade resultante por B, diferente de zero: y = - A B x - C B.
Exemplo 7
A equação geral da reta é dada: 2 x + 7 y = 0. Você precisa converter essa equação em uma equação de inclinação.
Solução
Vamos realizar as ações necessárias de acordo com o algoritmo:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Responder: y = - 2 7 x .
A partir da equação geral de uma reta, basta obter simplesmente uma equação em segmentos da forma x a + y b = 1. Para fazer tal transição, movemos o número C para o lado direito da igualdade, dividimos ambos os lados da igualdade resultante por – C e, por fim, transferimos os coeficientes das variáveis x e y para os denominadores:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Exemplo 8
É necessário transformar a equação geral da reta x - 7 y + 1 2 = 0 na equação da reta em segmentos.
Solução
Vamos mover 1 2 para o lado direito: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
Vamos dividir ambos os lados da igualdade por -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Responder: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
Em geral, a transição reversa também é fácil: de outros tipos de equações para a geral.
A equação de uma reta em segmentos e uma equação com coeficiente angular podem ser facilmente convertidas em uma equação geral simplesmente coletando todos os termos do lado esquerdo da igualdade:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
A equação canônica é convertida em geral de acordo com o seguinte esquema:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Para passar dos paramétricos, primeiro passe para o canônico e depois para o geral:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Exemplo 9
As equações paramétricas da reta x = - 1 + 2 · λ y = 4 são fornecidas. É necessário escrever a equação geral desta reta.
Solução
Vamos fazer a transição das equações paramétricas para as canônicas:
x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
Vamos passar do canônico para o geral:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Responder: y - 4 = 0
Exemplo 10
A equação de uma linha reta nos segmentos x 3 + y 1 2 = 1 é dada. É necessário fazer uma transição para aparência geral equações
Solução:
Simplesmente reescrevemos a equação na forma exigida:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Responder: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
Dissemos acima que a equação geral pode ser escrita com as coordenadas conhecidas do vetor normal e as coordenadas do ponto por onde passa a reta. Tal linha reta é definida pela equação A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Lá também analisamos o exemplo correspondente.
Agora vejamos exemplos mais complexos, nos quais primeiro precisamos determinar as coordenadas do vetor normal.
Exemplo 11
Dada uma linha paralela à linha 2 x - 3 y + 3 3 = 0. O ponto M 0 (4, 1) por onde passa a reta dada também é conhecido. É necessário escrever a equação da reta dada.
Solução
As condições iniciais nos dizem que as retas são paralelas, então, como vetor normal da reta, cuja equação precisa ser escrita, tomamos o vetor diretor da reta n → = (2, - 3): 2 x - 3 anos + 3 3 = 0. Agora conhecemos todos os dados necessários para criar a equação geral da reta:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Responder: 2 x - 3 e - 5 = 0 .
Exemplo 12
A reta dada passa pela origem perpendicular à reta x - 2 3 = y + 4 5. É necessário criar uma equação geral para uma determinada reta.
Solução
O vetor normal de uma determinada reta será o vetor de direção da reta x - 2 3 = y + 4 5.
Então n → = (3, 5) . A linha reta passa pela origem, ou seja, através do ponto O (0, 0). Vamos criar uma equação geral para uma determinada reta:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Responder: 3 x + 5 y = 0 .
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Equação de uma reta que passa por dois pontos. No artigo" " Prometi a você olhar para a segunda maneira de resolver os problemas apresentados de encontrar a derivada, dado um gráfico de uma função e uma tangente a este gráfico. Discutiremos esse método em , não perca! Por que no próximo?
O fato é que ali será utilizada a fórmula da equação de uma reta. Claro, poderíamos simplesmente mostrar esta fórmula e aconselhar você a aprendê-la. Mas é melhor explicar de onde vem (como é derivado). É necessário! Se você esquecer, poderá restaurá-lo rapidamentenão será difícil. Tudo está descrito abaixo em detalhes. Então nós temos plano coordenado existem dois pontos A(x 1;y 1) e B(x 2;y 2), uma linha reta é traçada através dos pontos indicados: 
Aqui está a fórmula direta em si:
*Ou seja, ao substituir coordenadas específicas de pontos, obtemos uma equação da forma y=kx+b.
**Se você simplesmente “memorizar” esta fórmula, há uma grande probabilidade de se confundir com os índices quando X. Além disso, os índices podem ser designados de diferentes maneiras, por exemplo:
É por isso que é importante entender o significado.
Agora a derivação desta fórmula. Tudo é muito simples!
Os triângulos ABE e ACF são semelhantes em ângulo agudo (o primeiro sinal de semelhança dos triângulos retângulos). Segue-se disso que as proporções dos elementos correspondentes são iguais, ou seja:
Agora simplesmente expressamos esses segmentos através da diferença nas coordenadas dos pontos:
Claro, não haverá erro se você escrever as relações dos elementos em uma ordem diferente (o principal é manter a consistência):
O resultado será a mesma equação da reta. Isso é tudo!
Ou seja, não importa como os próprios pontos (e suas coordenadas) sejam designados, ao entender esta fórmula você sempre encontrará a equação de uma reta.
A fórmula pode ser derivada utilizando as propriedades dos vetores, mas o princípio de derivação será o mesmo, pois estaremos falando da proporcionalidade de suas coordenadas. Neste caso, a mesma semelhança de triângulos retângulos funciona. Na minha opinião, a conclusão descrita acima é mais clara)).
Veja a saída por meio de coordenadas vetoriais >>>
Seja construída uma linha reta no plano coordenado passando por dois pontos dados A(x 1;y 1) e B(x 2;y 2). Vamos marcar um ponto arbitrário C na reta com coordenadas ( x; sim). Também denotamos dois vetores:
Sabe-se que para vetores situados em retas paralelas (ou na mesma reta), suas coordenadas correspondentes são proporcionais, ou seja:
— anotamos a igualdade das proporções das coordenadas correspondentes:
Vejamos um exemplo:
Encontre a equação de uma linha reta que passa por dois pontos com coordenadas (2;5) e (7:3).
Você nem precisa construir a linha reta em si. Aplicamos a fórmula:
É importante que você compreenda a correspondência ao elaborar a proporção. Você não pode errar se escrever:
Resposta: y=-2/5x+29/5 vai y=-0,4x+5,8
Para ter certeza de que a equação resultante foi encontrada corretamente, certifique-se de verificar - substitua as coordenadas dos dados na condição dos pontos nela. As equações devem estar corretas.
Isso é tudo. Espero que o material tenha sido útil para você.
Atenciosamente, Alexandre.
P.S: Ficaria muito grato se você me falasse sobre o site nas redes sociais.
Definição. Qualquer linha reta no plano pode ser especificada por uma equação de primeira ordem
Machado + Wu + C = 0,
Além disso, as constantes A e B não são iguais a zero ao mesmo tempo. Esta equação de primeira ordem é chamada equação geral de uma reta. Dependendo dos valores constante A, B e C são possíveis os seguintes casos especiais:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – a reta passa pela origem
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - reta paralela ao eixo do Boi
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – reta paralela ao eixo Oy
B = C = 0, A ≠0 – a reta coincide com o eixo Oy
A = C = 0, B ≠0 – a reta coincide com o eixo do Boi
A equação de uma linha reta pode ser representada em em várias formas dependendo de quaisquer condições iniciais dadas.
Definição. No sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B) é perpendicular à linha, dado pela equação Machado + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(1, 2) perpendicular a (3, -1).
Solução. Com A = 3 e B = -1, vamos compor a equação da reta: 3x – y + C = 0. Para encontrar o coeficiente C, substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. 3 – 2 + C = 0, portanto, C = -1 . Total: a equação necessária: 3x – y – 1 = 0.
Sejam dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) dados no espaço, então a equação da reta que passa por esses pontos é:
Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero.No plano, a equação da reta escrita acima é simplificada:
se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, se x 1 = x 2.
A fração = k é chamada declive direto.
Exemplo. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).
Solução. Aplicando a fórmula escrita acima, obtemos:
Se o total Ax + Bu + C = 0, leve à forma:
e designar 
, então a equação resultante é chamada equação de uma linha reta com inclinaçãok.
Por analogia com o ponto, considerando a equação de uma reta que passa por um vetor normal, pode-se inserir a definição de uma reta que passa por um ponto e o vetor diretor da reta.
Definição. Cada vetor diferente de zero (α 1, α 2), cujos componentes satisfazem a condição A α 1 + B α 2 = 0, é chamado de vetor direto da linha
Machado + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com um vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).
Solução. Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Ax + By + C = 0. De acordo com a definição, os coeficientes devem satisfazer as condições:
1 * A + (-1) * B = 0, ou seja, A = B.
Então a equação da reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0. para x = 1, y = 2 obtemos C/ A = -3, ou seja, equação necessária:
Se na equação geral da reta Ах + Ву + С = 0 С≠0, então, dividindo por –С, obtemos: 
ou
O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente Aé a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo do Boi, e b– a coordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo Oy.
Exemplo.É dada a equação geral da reta x – y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta em segmentos.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Se ambos os lados da equação Ax + By + C = 0 forem multiplicados pelo número 
que é chamado fator de normalização, então obtemos
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
equação normal de uma reta. O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Exemplo. Dada a equação geral da reta 12x – 5y – 65 = 0. Você precisa escrever Vários tipos equações desta reta.
equação desta reta em segmentos: 
equação desta reta com inclinação: (dividir por 5)
; cos φ = 12/13; pecado φ= -5/13; p = 5.
Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas paralelas aos eixos ou passando pela origem das coordenadas.
Exemplo. A linha reta corta segmentos positivos iguais nos eixos coordenados. Escreva uma equação para uma linha reta se a área do triângulo formado por esses segmentos for 8 cm 2.
Solução. A equação da reta tem a forma: , ab /2 = 8; ab=16; uma=4, uma=-4. uma = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Exemplo. Escreva uma equação para uma linha reta que passa pelo ponto A(-2, -3) e pela origem.
Solução.
A equação da reta é: 
, onde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.
Definição. Se duas linhas forem dadas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como
.
Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2.
Teorema. As retas Ax + Bу + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 = λA, B 1 = λB são proporcionais. Se também C 1 = λC, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de intersecção de duas retas são encontradas como solução do sistema de equações dessas retas.
Definição. Uma reta que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à reta y = kx + b é representada pela equação:
Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for dado, então a distância até a linha Ax + Bу + C = 0 é determinada como
.
Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até uma determinada linha reta. Então a distância entre os pontos M e M 1:
(1)
As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas resolvendo o sistema de equações:
A segunda equação do sistema é a equação de uma reta que passa por um determinado ponto M 0 perpendicular a uma determinada reta. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
então, resolvendo, obtemos:
Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:
O teorema foi provado.
Exemplo. Determine o ângulo entre as retas: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Exemplo. Mostre que as retas 3x – 5y + 7 = 0 e 10x + 6y – 3 = 0 são perpendiculares.
Solução. Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, portanto, as retas são perpendiculares.
Exemplo. Dados são os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Encontre a equação da altura desenhada a partir do vértice C.
Solução. Encontramos a equação do lado AB: 
; 4 x = 6 anos – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
A equação da altura necessária tem a forma: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: 
de onde b = 17. Total: . 
Resposta: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.
Um número infinito de linhas retas pode ser traçado através de qualquer ponto.
Através de quaisquer dois pontos não coincidentes, uma única linha reta pode ser traçada.
Duas linhas divergentes em um plano ou se cruzam em um único ponto ou são
paralelo (segue do anterior).
EM espaço tridimensional existem três opções posição relativa duas linhas retas:
Direto linha— curva algébrica de primeira ordem: uma linha reta no sistema de coordenadas cartesianas
é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).
Equação geral de uma reta.
Definição. Qualquer linha reta no plano pode ser especificada por uma equação de primeira ordem
Machado + Wu + C = 0,
e constante A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo. Esta equação de primeira ordem é chamada em geral
equação de uma reta. Dependendo dos valores das constantes A, B E COM Os seguintes casos especiais são possíveis:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- uma reta passa pela origem
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO
. B = C = 0, A ≠0- a linha reta coincide com o eixo UO
. A = C = 0, B ≠0- a linha reta coincide com o eixo Oh
A equação de uma linha reta pode ser apresentada de diferentes formas, dependendo de qualquer
condições iniciais.
Equação de uma linha reta de um ponto e um vetor normal.
Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)
perpendicular à reta dada pela equação
Machado + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto UMA(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).
Solução. Com A = 3 e B = -1, vamos compor a equação da reta: 3x - y + C = 0. Para encontrar o coeficiente C
Vamos substituir as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto
C = -1. Total: a equação necessária: 3x - y - 1 = 0.
Equação de uma reta que passa por dois pontos.
Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) E M2 (x 2, y 2, z 2), Então equação de uma reta,
passando por estes pontos:
Se algum dos denominadores for zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. Sobre
plano, a equação da linha reta escrita acima é simplificada:
Se x 1 ≠ x 2 E x = x 1, Se x 1 = x 2 .
Fração = k chamado declive direto.
Exemplo. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).
Solução. Aplicando a fórmula escrita acima, obtemos:
Equação de uma linha reta usando um ponto e uma inclinação.
Se a equação geral da reta Machado + Wu + C = 0 leva a:
e designar 
, então a equação resultante é chamada
equação de uma reta com inclinação k.
Equação de uma linha reta de um ponto e um vetor de direção.
Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através de um vetor normal, você pode entrar na tarefa
uma linha reta que passa por um ponto e um vetor diretor de uma linha reta.
Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição
Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor diretor de uma linha reta.
Machado + Wu + C = 0.
Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com um vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).
Solução. Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Machado + Por + C = 0. De acordo com a definição,
os coeficientes devem satisfazer as seguintes condições:
1 * A + (-1) * B = 0, ou seja, A = B.
Então a equação da reta tem a forma: Machado + Ay + C = 0, ou x + y + C/A = 0.
no x = 1, y = 2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação necessária:
x + y - 3 = 0
Equação de uma reta em segmentos.
Se na equação geral da reta Ах + Ву + С = 0 С≠0, então, dividindo por -С, obtemos:
ou onde
O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de intersecção
reto com eixo Oh, A b- coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo OU.
Exemplo. A equação geral de uma linha reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta em segmentos.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Equação normal de uma reta.
Se ambos os lados da equação Machado + Wu + C = 0 dividir por número 
que é chamado
fator de normalização, então obtemos
xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.
O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ*C< 0.
R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha reta,
A φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.
Exemplo. A equação geral da reta é dada 12x - 5y - 65 = 0. Necessário para escrever diferentes tipos de equações
esta linha reta.
A equação desta reta em segmentos:
A equação desta reta com a inclinação: (dividir por 5)
Equação de uma reta:
cos φ = 12/13; pecado φ= -5/13; p = 5.
Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas,
paralelo aos eixos ou passando pela origem.
O ângulo entre linhas retas em um plano.
Definição. Se duas linhas forem fornecidas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas
será definido como
Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas linhas são perpendiculares
Se k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Direto Machado + Wu + C = 0 E A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo quando os coeficientes são proporcionais
A 1 = λA, B 1 = λB. Se também C 1 = λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas
são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas retas.
A equação de uma reta que passa por um determinado ponto perpendicular a uma determinada reta.
Definição. Reta que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b
representado pela equação:
Distância de um ponto a uma reta.
Teorema. Se um ponto for dado M(x 0, y 0), então a distância até a linha reta Machado + Wu + C = 0 definido como:
Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base de uma perpendicular largada de um ponto M para um dado
direto. Então a distância entre os pontos M E M1:
(1)
Coordenadas x 1 E em 1 pode ser encontrado como uma solução para o sistema de equações:
A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto M 0 perpendicularmente
dada linha reta. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:
UMA(x - x 0) + B(y - y 0) + Machado 0 + Por 0 + C = 0,
então, resolvendo, obtemos:
Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:
O teorema foi provado.
